Tema 1 – Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias ...

Tema 1 – Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales

Ordinarias (E.D.O.)

1.1 Definiciones

Se llama ecuacion diferencial a toda ecuacion que contiene las derivadas de una o mas

variables dependientes respecto a una o mas variables independientes.

Se llama ecuacion diferencial ordinaria (E. D. O.) a una ecuacion diferencial en la que aparecen

derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes respecto a una unica variable

independiente.

Se llama ecuacion diferencial en derivadas parciales (E. D. P.) a una ecuacion diferencial

en la que aparecen derivadas parciales de una o mas variables dependientes respecto a mas

de una variable independiente.

1

2 1. Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.)

Muchas de las leyes generales de la naturaleza encuentran su expresion mas natural en el lenguaje

de las ecuaciones diferenciales. Tambien tienen multiples aplicaciones en Geometrıa, Ingenierıa,

Economıa y muchos otros campos de las Ciencias Aplicadas.

Se denomina orden de una ecuacion diferencial al orden de la derivada mas alta entre todas

las que figuran en dicha ecuacion.

Ejemplo 1 La ecuacion:d2y

dx2+ xy(

dy

dx)3 = ex tiene orden 2.

Una ecuacion diferencial ordinaria lineal de orden n en la variable dependiente y y en la variable

independiente x es una ecuacion que puede expresarse de la forma:

a0(x)dny

dxn+ a1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · · + an−1(x)

dy

dx+ an(x)y = b(x),

donde a0(x) es una funcion no identicamente nula.

1.1 Definiciones 3

Ejemplo 2

1.

3d3y

dx3+ y = 2

es una E. D. O. lineal de orden 3 y coeficientes constantes.

2.d2y

dx2+ 5

dy

dx+ (x2 − 2)y = 22x

es una E. D. O. lineal de orden 2 y coeficientes variables.

3.

xexd4y

dx4= 25x3

es una E. D. O. lineal de orden 4 y coeficientes variables.

4. (d2y

dx2

)2

+ 5ydy

dx= x

es una E. D. O. no lineal de orden 2.


Consideremos la E. D. O. de orden n:

F (x, y,dy

dx,d2y

dx2, . . . ,

dny

dxn) = 0,

donde F es una funcion real de sus (n+2) argumentos.

Sea f una funcion real definida para todo x en un intervalo real I que posea derivada n-esima

en todo I. La funcion f es una solucion explıcita de la E. D. O. en el intervalo I si:

F (x, f (x), f ′(x), f ′′(x), . . . , f (n(x))

esta definida para todo x de I y verifica:

F (x, f (x), f ′(x), f ′′(x), . . . , f (n(x)) = 0, ∀x ∈ I.

Es decir, la sustitucion de y por f en la E. D. O. reduce la ecuacion a una identidad en I .

Se dice que una relacion g(x, y) = 0 es una solucion implıcita de la E. D. O. en el intervalo I

si esta relacion define, al menos, una funcion real f de la variable x en I de manera que esta

funcion sea una solucion explıcita de la E. D. O. en dicho intervalo I.

1.1 Definiciones 5

Ejemplo 3

1. La funcion f definida en toda la recta real mediante:

f (x) = a sen(x) + b cos(x), a, b ∈ R

es una solucion explıcita de la E. D. O.

d2y

dx2+ y = 0

en todo R, pues: f ′′(x) + f (x) = 0, ∀x ∈ R.

2. La relacion:

x2 + y2 − 25 = 0

es una solucion implıcita de la E. D. O.

x + ydy

dx= 0

en el intervalo I = (−5, 5). En efecto, dicha relacion define dos funciones:

f1(x) =√25− x2, ∀x ∈ I,

f2(x) = −√

25− x2, ∀x ∈ I,

que son soluciones explıcitas de la E. D. O. en I.


Observacion 1 La relacion:

x2 + y2 + 25 = 0

tambien podrıa ser una solucion implıcita de la E. D. O.

x + ydy

dx= 0,

pues si derivamos dicha relacion respecto a x se obtiene:

2x + 2ydy

dx= 0,

que es equivalente a la E. D. O.

Por tanto, esta relacion satisface formalmente la E. D. O. pero de aquı no podemos deducir que sea

una solucion implıcita, ya que no define una solucion real explıcita. (La funcion:

f (x) = ±√

−25− x2

toma valores complejos en toda la recta real).

En consecuencia, la relacion es meramente una solucion formal.

1.2 Familias de curvas. Trayectorias ortogonales 7

1.2 Familias de curvas. Trayectorias ortogonales

Sea la familia de funciones o curvas:

g(x, y, c1, c2, . . . , cn) = 0

dependiente de n parametros. La derivacion n veces con respecto a la variable x conduce a

(n+ 1) ecuaciones de las que se podran eliminar las n constantes y obtener una relacion de tipo:

F (x, y, y′, y′′, . . . , y(n) = 0,

esto es, una E. D. O. de orden n.

A dicha familia de curvas se le denominara solucion general de la E. D. O. correspondiente.

Ejemplo 4

1. g(x, y, c) = y − x2 − c es una familia de parabolas.

2. g(x, y, a, b, r) = (x− a)2 + (y − b)2 − r2 es una familia de circunferencias.


Observacion 2 En general, la familia de curvas no englobara todas las soluciones de la E. D. O.

Observacion 3 Tampoco se podra asegurar que para una E. D. O. dada, exista una familia de

curvas que sea su solucion.

Ejemplo 5 Sea la E. D. O. de primer orden:dy

dx= 2x .

Las funciones de la forma:

g(x, c) = hc(x) = x2 + c , ∀x ∈ R,

son soluciones de dicha ecuacion para cualquier c ∈ R. Es decir, tenemos una familia de soluciones,

que se denomina solucion general.

Cada una de las funciones de la familia es una solucion particular de la ecuacion.

Sea la E. D. O. de primer orden:dy

dx= G(x, y),

donde G es una funcion real que hace corresponder a cada punto (x, y) una pendiente G(x, y).

Supongamos que dicha E. D. O. tiene una familia de soluciones de la forma y = g(x, c) donde

c es el parametro de la familia.


A su representacion geometrica en el plano se le llama familia uniparametrica de

curvas (las pendientes de cada punto de las curvas vienen dadas directamente por la E. D. O.).

Cada una de las curvas de la familia recibe el nombre de curva integral de dicha ecuacion.

Ejemplo 6 Consideremos de nuevo la E. D. O. de primer orden:

dy

dx= 2x.

Esta ecuacion tiene una familia de soluciones:

y = x2 + c, ∀x ∈ R.

Su representacion geometrica es la familia uniparametrica de curvas, donde cada una de las curvas

integrales es una parabola.


Ejemplo 7 La E. D. O. de tercer orden:

y′′′(1 + (y′)2)− 3y′(y′′)2 = 0

tiene como familia de soluciones:

(x− a)2 + (y − b)2 = r2

Su representacion geometrica es una familia de curvas que depende de tres parametros, a, b y r,

donde cada una de las curvas integrales es una circunferencia.

Observacion 4 Puede ocurrir que la eliminacion de los n parametros de una familia de curvas

lleve a una E. D. O. de orden menor que n. Esto ocurre cuando los parametros no son esenciales.

Por ejemplo, la familia de 2 parametros:

y = c1 + log(c2x)

tiene asociada la ecuacion de primer orden:

dy

dx=

1

x.

Pero, en realidad, dicha familia puede escribirse simplificadamente como dependiente de un unico

parametro:

y = log(c x)


Trayectorias ortogonales

Sea g(x, y, c) = 0 una familia uniparametrica de curvas. Cuando una curva corta a todas

las curvas de la familia en angulos rectos, recibe el nombre de trayectoria ortogonal a la

familia dada.

Por ejemplo, dada la familia uniparametrica de circunferencias centradas en el origen, x2+ y2 = r2,

cualquier recta pasando por el origen es una trayectoria ortogonal.

Si g(x, y, c) = 0 es una familia uniparametrica de curvas, tendra asociada una E. D. O. de

primer orden:dy

dx= G(x, y).

Por tanto, cualquier curva de la familia que pase por el punto (x, y) debera tener pendiente

G(x, y) en ese punto. Puesto que una trayectoria ortogonal a la familia corta a cada curva de la

familia formando un angulo recto, la pendiente de la trayectoria ortogonal en el punto (x, y)

debera ser − 1

G(x, y).


Por tanto, la E. D. O. de la familia de trayectorias ortogonales sera:

dy

dx= − 1

G(x, y),

que tendra como solucion una familia uniparametrica g1(x, y, k) = 0.

Ejemplo 8 Las trayectorias ortogonales a la familia uniparametrica de parabolas: y = cx2,

son las elipses de la familia: x2 + 2y2 = k.

Trayectorias oblicuas

Sea g(x, y, c) = 0 una familia uniparametrica de curvas. Se denomina trayectoria oblicua a la

familia a cualquier curva que corta a todas las curvas de la familia formando un angulo cons-

tante α = π2 .

Si la familia uniparametrica de curvas tiene asociada una E. D. O. de primer orden:

dy

dx= G(x, y),

entonces la pendiente de la curva de la familia que pase por el punto (x, y) esG(x, y), esto es,

el angulo que forma es arctg(G(x, y)). Por tanto, la trayectoria oblicua a la familia formara

un angulo arctg(G(x, y)) + α en el punto (x, y).


En consecuencia, la E. D. O. de la familia de trayectorias oblicuas sera:

dy

dx= tg(arctg(G(x, y)) + α).

Teniendo en cuenta que:

tg(a + b) =tg(a) + tg(b)

1− tg(a) · tg(b)

se deduce que la ecuacion de las trayectorias oblicuas es:

dy

dx=

G(x, y) + tg(α)

1−G(x, y) · tg(α).


1.3 Problemas de valor inicial y de contorno

Supongamos una E. D. O. de orden n. Si buscamos una solucion de la ecuacion tal que en un

punto x0 verifique unas condiciones suplementarias (tantas condiciones como indique el orden

de la ecuacion) diremos que estamos ante un problema con condiciones iniciales.

Ejemplo 9

1. El problema de condiciones iniciales: {y′ = 2x,

y(1) = 4,

tiene como solucion unica: y(x) = x2 + 3.

2. El problema de condiciones iniciales: y′′ + y = 0,

y(π) = 3,

y′(π) = −4,

tiene como solucion unica: y(x) = 4 sen(x)− 3 cos(x).

1.3 Problemas de valor inicial y de contorno 15

Si lo que buscamos es una solucion de la ecuacion tal que en diferentes puntos verifiquen unas

condiciones suplementarias diremos que estamos ante un problema con condiciones de

contorno.

Ejemplo 10

1. El problema de condiciones de contorno:y′′ + y = 0,

y(0) = 1,

y(π2) = 5,

tiene como solucion unica: y(x) = cos(x) + 5 sen(x).

2. El problema de condiciones de contorno:y′′ + y = 0,

y(0) = 1,

y(π) = 5,

no tiene solucion.

Tema 2 – E.D.O. de primer orden

2.1 El problema de Cauchy para ecuaciones de primer

orden

Sea una E. D. O. de primer orden:dy

dx= f (x, y) , donde f es una funcion definida en un

cierto dominio D ⊂ R2.

El problema de Cauchy (o de valor inicial) asociado a dicha ecuacion consiste en hallar una

solucion y de la ecuacion diferencial definida en un intervalo real que contenga al punto x0 y que

satisfaga la condicion inicial: y(x0) = y0.

Generalmente, el problema de Cauchy se escribe de la forma abreviada:{y′ = f (x, y),

y(x0) = y0.

Geometricamente, se puede interpretar el problema de Cauchy como la busqueda de aquella

curva perteneciente a la solucion general de la E. D. O. que pasa por el punto (x0, y0).

17

18 2. E.D.O. de primer orden

2.2 Existencia y unicidad de solucion

Teorema 1 Teorema de existencia y unicidad de solucion del problema de Cauchy

Consideremos la E. D. O.dy

dx= f (x, y).

Supongamos que se verifica:

1. La funcion f es continua en las variables (x, y) en un dominio D.

2. La funcion∂f

∂yes continua en las variables (x, y) en un dominio D.

Entonces, para cualquier punto (x0, y0) ∈ D existe una unica solucion y de la ecuacion

diferencial definida en un intervalo (x0 − ε, x0 + ε) que satisface la condicion:

y(x0) = y0.

Observacion 5 Las condiciones que se imponen en el teorema anterior son suficientes pero no

necesarias, es decir, pueden rebajarse. En efecto, la continuidad de∂f

∂ypuede sustituirse

por una propiedad mas debil para f , conocida como condicion de Lipschitz (en la variable y):

∃L > 0 / | f (x, y1)− f (x, y2) |≤ L | y1 − y2 | , ∀ (x, y1), (x, y2) ∈ D.

2.2 Existencia y unicidad de solucion 19

Ejemplo 11 Consideremos el problema:{y′ = −x2 + y2 + 1,

y(1) = 1.

Tanto f (x, y) = −x2 + y2 + 1 como∂f

∂y= 2y son continuas en todo R2. Por tanto, el problema de

Cauchy tiene solucion unica y(x) definida en el intervalo (1− ε, 1 + ε).

En realidad, puede probarse que y(x) = x, ∀x ∈ R.

Ejemplo 12

1. Consideremos el problema: y′ =y√x,

y(1) = 2.

Tanto f (x, y) =y√xcomo

∂f

∂y=

1√xson continuas en todos los puntos (x, y) ∈ R2 tales que

x > 0. Por tanto, el problema de Cauchy tiene solucion unica y(x) definida en el intervalo

(1− ε, 1 + ε).

En realidad, puede probarse que y(x) = 2 e2(√x−1), ∀x ∈ (0,∞).


2. Consideremos ahora el problema: y′ =y√x,

y(0) = 2.

Como f (x, y) =y√xno es continua en el punto (0, 2), no podemos asegurar que el problema

tenga solucion, pero tampoco que no la tenga.

Ejercicio 1 Se considera la funcion:

f (x, y) =x3 + x2y − xy2 − y3

2x2y + 4xy2 + 2y3.

1. Estudiar la existencia y la unicidad de solucion del problema:

y′ = f (x, y), y(1) = 3.

2. Estudiar la existencia y la unicidad de solucion del problema:

y′ = f (x, y), y(1) = −1.

2.3 Prolongacion de soluciones. Solucion maximal 21

2.3 Prolongacion de soluciones. Solucion maximal

Sean las funciones:

y1 : I1 ⊂ R −→ R,

y2 : I2 ⊂ R −→ R.

Diremos que y2 es una prolongacion de y1 cuando I1 ⊂ I2 y se verifique que y1(x) = y2(x), ∀x ∈I1.

Si y1 e y2 son dos soluciones de una E. D. O. se dice que la solucion y2 prolonga a la solucion

y1.

Diremos que una solucion es maximal cuando no existe ninguna otra solucion que la pro-

longue. El intervalo en que esta definida esta solucion se llamara intervalo maximal.

Teorema 2 Sea f una funcion continua en D y verificando la condicion de Lipschitz.

Entonces todo problema de Cauchy:{y′ = f (x, y),

y(x0) = y0,

con (x0, y0) ∈ D, admite una solucion maximal.


Teorema 3 Sean y1 e y2 dos soluciones de la E. D. O. y′ = f (x, y) definidas, respectivamente,

en los intervalos I1 = [a, x0] e I2 = [x0, b], verificando que y1(x0) = y2(x0). Entonces la funcion

y, construida como prolongacion de ambas, y definida en [a, b] como:

y(x) =

{y1(x), x ∈ [a, x0],

y2(x), x ∈ [x0, b],

es solucion de y′ = f (x, y) en [a, b].

2.4 Dependencia respecto a los datos del problema

Teorema 4 (dependencia continua de la solucion respecto a la condicion inicial)

Sea f una funcion continua en (x, y) y que satisface una condicion de Lipschitz en y con

constante k en un dominio D. Sean y1, y2 tales que los problemas de Cauchy:{y′ = f (x, y),

y(x0) = y1,

{y′ = f (x, y),

y(x0) = y2,

tengan solucion unica definida en el intervalo | x−x0 |≤ h y que denotaremos, respectivamente,

y1(x) y y2(x). Entonces, si | y1 − y2 |= δ:

| y1(x)− y2(x) |≤ δ · ekh, en | x− x0 |≤ h.

2.4 Dependencia respecto a los datos del problema 23

Esto es, la solucion depende con continuidad de la condicion inicial.

Teorema 5 (dependencia continua de la solucion respecto al segundo miembro)

Sean f1 y f2 dos funciones continuas en (x, y) y que satisfacen una condicion de Lipschitz

en y con constante k en un dominio D, k = max{k1, k2}. Sea (x0, y0) ∈ D tal que los problemas

de Cauchy: {y′ = f1(x, y),

y(x0) = y0,

{y′ = f2(x, y),

y(x0) = y0,

tengan solucion unica definida en el intervalo | x−x0 |≤ h y que denotaremos, respectivamente,

y1(x) y y2(x). Entonces, si | f1(x, y)− f2(x, y) |≤ ε, ∀(x, y) ∈ D:

| y1(x)− y2(x) |≤ ε

k· (ekh − 1), en | x− x0 |≤ h.

Esto es, la solucion depende con continuidad del segundo miembro de la ecuacion.

Observacion 6 Todos los resultados previos se pueden generalizar, como veremos en proximos

temas, al caso de un problema de Cauchy de orden superior, esto es, una E. D. O. de

orden n con n condiciones iniciales.


Para el caso de los problemas con condiciones de contorno, la obtencion de resultados

similares es mucho mas costosa. Ası, por ejemplo, podemos considerar una ecuacion lineal de

segundo orden:

a0(x)y′′ + a1(x)y

′ + a2(x)y = f (x), ∀x ∈ (x0, x1),

y plantear el siguiente problema:

Encontrar las soluciones de la E. D. O. anterior que verifiquen las dos condiciones de contorno:

αy(x0) + βy′(x0) = y0,

γy(x1) + δy′(x1) = y1,

donde algunos de los coeficientes α, β, γ, δ son no nulos.

Los teoremas de existencia y unicidad de solucion de este tipo de problemas de contorno son, en

general, mucho mas complicados que los correspondientes al problema de Cauchy, y recaen siempre

en la busqueda de soluciones no triviales del correspondiente problema homogeneo (y0 = y1 =

0, f (x) = 0). Es lo que se denomina la busqueda de autofunciones y autovalores.

Tema 3 – Resolucion de E.D.O. de orden 1

Dada una E. D. O. de primer orden: y′ = f (x, y), estudiaremos distintos metodos para

calcular la solucion y(x) de la ecuacion, verificando la condicion inicial: y(x0) = y0.

3.1 Ecuaciones exactas

Una ecuacion del tipo: y′ = − P (x, y)

Q(x, y)

se dice que es una ecuacion diferencial EXACTA si existe una funcion V (x, y) verificando:

P (x, y) = ∂xV (x, y), Q(x, y) = ∂yV (x, y).

La unica solucion y(x) de la ecuacion verificando y(x0) = y0 vendra dada por la expresion:

V (x, y) = V (x0, y0).

Ejemplo 13 La ecuacion: y′ = − y

x, y(x0) = y0,

es exacta, pues basta tomar V (x, y) = x · y

25

26 3. Resolucion de E.D.O. de orden 1

Por tanto, la solucion del problema sera:

x · y = x0 · y0 ⇒ y(x) =x0 · y0x

.

Teorema 6 Condicion necesaria y suficiente de exactitud

La E. D. O. y′ = − P (x, y)

Q(x, y)es exacta si y solo si:

∂yP (x, y) = ∂xQ(x, y).

Ademas, en caso de exactitud, se tiene la expresion:

V (x, y)− V (x0, y0) =

∫ x

x0

P (x, y)dx +

∫ y

y0

Q(x0, y)dy,

lo que proporciona la solucion implıcita:

V (x, y)− V (x0, y0) = 0.

Ejercicio 2 Demostrar que la E. D. O.

y′ =x2 − y

x + y2

es exacta y calcular la solucion tal que y(0) = 1.

3.2 Ecuaciones en variables separadas 27

3.2 Ecuaciones en variables separadas

Una ecuacion en VARIABLES SEPARADAS es un tipo de ecuacion exacta muy sencillo:

y′ = − P (x)

Q(y).

La solucion de la ecuacion verificando y(x0) = y0 sera entonces:∫ x

x0

P (x)dx +

∫ y

y0

Q(y)dy = 0.

Ejemplo 14 La ecuacion:

y′ = − x

y, y(x0) = y0,

tiene como solucion:

x2 + y2 = x20 + y20.

Ejercicio 3 Resolver la E. D. O.

y′ = (1 + y2) · tg2(x)

con la condicion inicial y(x0) = y0.


3.3 Ecuaciones homogeneas

Recibe el nombre de ecuacion HOMOGENEA toda ecuacion que se pueda expresar en la forma:

y′ = G(y

x).

Se resolvera mediante el cambio de variable u =y

x:

y = u · x ⇒ y′ = u′ · x + u ⇒ u′ =y′ − u

x.

Por tanto, tenemos que resolver la ecuacion en variables separadas:

u′ =G(u)− u

x= − 1/x

1−G(u)+u

.

Ejercicio 4 Demostrar que la ecuacion:

y′ =x2 + y2

xy, y(x0) = y0,

tiene solucion implıcita:

−log(x) +y2

2x2= −log(x0) +

y202x20

.

3.4 Factores integrantes 29

3.4 Factores integrantes

Dada la ecuacion diferencial no exacta: y′ = − P (x, y)

Q(x, y),

si existe una funcion µ(x, y) tal que la ecuacion:

y′ = − P (x, y) · µ(x, y)Q(x, y) · µ(x, y)

es exacta, se dice que µ(x, y) es un FACTOR INTEGRANTE de la ecuacion.


Ejemplo 15 La ecuacion:

y′ = − 3y + 4xy2

2x + 3x2y

no es exacta, pues:

∂yP = 3 + 8xy = 2 + 6xy = ∂xQ.

Si consideramos la funcion µ(x, y) = x2y, entonces:

y′ = − 3y2x2 + 4x3y3

2x3y + 3x4y2

ya es exacta, pues:

∂y(P · µ) = 6x2y + 12x3y2 = ∂x(Q · µ).

Por tanto, µ(x, y) = x2y es un factor integrante.

A fin de calcular un factor integrante de la ecuacion: y′ = − P (x, y)

Q(x, y),

debemos imponer que la ecuacion:

y′ = − P (x, y) · µ(x, y)Q(x, y) · µ(x, y)

sea exacta, o equivalentemente:

3.4 Factores integrantes 31

∂y(P · µ) = ∂x(Q · µ) ⇔

∂yP · µ + P · ∂yµ = ∂xQ · µ +Q · ∂xµ ⇔

(∂yP − ∂xQ) · µ = Q · ∂xµ− P · ∂yµ.

Esta ecuacion en derivadas parciales puede resolverse en algunos casos sencillos:

1. Si∂yP − ∂xQ

Q= Φ depende unicamente de x, entonces se tiene el factor integrante

dependiente exclusivamente de x:

µ(x) = e∫Φ(x)dx.

2. Si∂yP − ∂xQ

P= Ψ depende unicamente de y, entonces se tiene el factor integrante

dependiente exclusivamente de y:

µ(y) = e−∫Ψ(y)dy.

3. Tambien puede calcularse el factor integrante cuando se conoce la dependencia de x e y.

Por ejemplo:

µ(x · y), µ(x + y), µ(x · ey), . . .


Ejemplo 16 La E. D. O. no exacta:

y′ = − 2x2 + y

x2y − x, y(x0) = y0

admite un factor integrante de la forma:

µ(x) =1

x2,

lo que permite resolver la ecuacion, obteniendose la solucion implıcita:

2x− y

x+

y2

2= 2x0 −

y0x0

+y202.

Ejercicio 5 Demostrar que la E. D. O.

y′ = − y

x− 3x3y2, y(x0) = y0

admite un factor integrante de la forma µ(x · y) y, a continuacion, resolver dicha ecuacion.

3.5 Ecuaciones lineales 33

3.5 Ecuaciones lineales

Una ecuacion LINEAL de primer orden tiene la expresion: y′ + p(x) · y = q(x), o equivalen-

temente:

y′ = − p(x) · y − q(x)

1= − P (x, y)

Q(x, y).

Como:∂yP − ∂xQ

Q= p(x),

admite el factor integrante:

µ(x) = e∫p(x)dx.

Entonces, la solucion de la ecuacion lineal viene dada por:

y(x) = e−∫p(x)dx ·

[ ∫q(x) · e

∫p(x)dxdx + C

],

donde C es una constante que se determina imponiendo la condicion inicial.

Ejercicio 6 Comprobar que la solucion del problema:

y′ +y

x− 3x = 0 , y(1) = 2 es y(x) = x2 +

1

x.

Tema 4 – E.D.O. lineales de orden dos

4.1 Resultados basicos

Sea una E. D. O. lineal de orden 2 de la forma:

a0(x)d2y

dx2+ a1(x)

dy

dx+ a2(x)y = F (x),

donde vamos a suponer de modo general que:

1. a0, a1, a2, F son funciones reales continuas en un intervalo real [a, b].

2. a0(x) = 0, ∀x ∈ [a, b].

Al termino F (x) se le denomina termino no homogeneo (o segundo miembro de la ecuacion).

En el caso en que F sea nula, se dice que es una ecuacion homogenea.

Tenemos los siguientes resultados de existencia y unicidad de solucion:

35

36 4. E.D.O. lineales de orden dos

Teorema 7 Sea una E. D. O. lineal de orden 2:

a0(x)d2y

dx2+ a1(x)

dy

dx+ a2(x)y = F (x)

en las hipotesis anteriores.

Sea x0 ∈ [a, b] y sean α0, α1 constantes reales arbitrarias. Entonces, existe una unica

solucion y de la ecuacion definida en [a, b] tal que:

y(x0) = α0, y′(x0) = α1.

Corolario 1 Sea y la solucion de la E. D. O. lineal homogenea de orden 2:

a0(x)d2y

dx2+ a1(x)

dy

dx+ a2(x)y = 0

en las hipotesis anteriores, tal que:

y(x0) = 0, y′(x0) = 0 .

Entonces:

y(x) = 0, ∀x ∈ [a, b].

4.2 Caracterizacion de la solucion general en el caso homogeneo 37

4.2 Caracterizacion de la solucion general en el caso

homogeneo

Teorema 8 Sean y1, y2 2 soluciones de la E. D. O. lineal homogenea de orden 2:

a0(x)d2y

dx2+ a1(x)

dy

dx+ a2(x)y = 0.

Entonces, la combinacion lineal:

c1 · y1 + c2 · y2

es tambien solucion de la E. D. O. para cualesquiera c1, c2, constantes reales arbitrarias.

Se dice que las 2 soluciones y1, y2 son linealmente dependientes en el intervalo [a, b] si existen

constantes c1, c2 no todas nulas, tales que:

c1 · y1(x) + c2 · y2(x) = 0, ∀x ∈ [a, b].

En caso contrario, se diran linealmente independientes.

Teorema 9 Toda E. D. O. lineal homogenea de orden 2 posee siempre 2 soluciones

linealmente independientes en [a, b].


Ademas, si y1, y2 son 2 soluciones linealmente independientes de la ecuacion, toda solu-

cion de dicha ecuacion se puede expresar como combinacion lineal de ellas:

c1 · y1 + c2 · y2.

mediante una adecuada eleccion de las constantes ck.

Al conjunto de las 2 soluciones linealmente independientes en el intervalo [a, b] de la E.

D. O. lineal homogenea de orden 2 se le denomina sistema fundamental de soluciones de la

ecuacion, y la solucion definida por:

y(x) = c1 · y1(x) + c2 · y2(x), x ∈ [a, b]

se llama solucion general de la ecuacion en [a, b].

Dadas 2 funciones reales f1, f2 derivables hasta el orden 1 en el intervalo [a, b], el siguiente

determinante se llama wronskiano de las 2 funciones y constituye una funcion real definida en

[a, b].

W (f1, f2)(x) =

∣∣∣∣∣ f1(x) f2(x)

f ′1(x) f ′

2(x)

∣∣∣∣∣

4.2 Caracterizacion de la solucion general en el caso homogeneo 39

Teorema 10 Las 2 soluciones y1, y2 de una E. D. O. lineal homogenea de orden 2 son lineal-

mente independientes en [a, b] si y solo si el wronskiano de estas funciones es distinto

de cero para algun punto del intervalo [a, b].

Observacion 7 En realidad puede probarse que el wronskiano es no nulo en algun punto del

intervalo si y solo si es no nulo en todos los puntos del intervalo.

Ejemplo 17 Consideramos la ecuacion homogenea y′′ + y = 0.

Las funciones y1(x) = sen(x), y2(x) = cos(x) son soluciones de la ecuacion.

Ademas, son linealmente independientes, pues su wronskiano:∣∣∣∣∣ sen(x) cos(x)

cos(x) −sen(x)

∣∣∣∣∣ = −1 = 0.

Por tanto, la solucion general de la ecuacion es y(x) = c1 sen(x) + c2 cos(x).


Reduccion del orden

Sea f una solucion no trivial de la E. D. O. lineal homogenea de orden 2, entonces la

transformacion y = f · v REDUCE la ecuacion anterior a una E. D. O. lineal homogenea de

orden (1) en la nueva variable:

w =dv

dx.

Ejemplo 18 Sea f una solucion de la E. D. O. lineal homogenea de orden 2:

a0(x)d2y

dx2+ a1(x)

dy

dx+ a2(x)y = 0.

Mediante la transformacion y = f · v se obtiene, en la variable w =dv

dx, la ecuacion lineal de orden

1:

a0(x)f (x)dw

dx+ [2a0(x)f

′(x) + a1(x)f (x)]w = 0,

que se puede resolver facilmente, pues es una ecuacion en variables separadas. Una vez calculada

w(x), mediante integracion se determina v(x) , y finalmente, multiplicando por f (x), se obtiene la

solucion buscada y(x).

4.3 Caracterizacion de la solucion general en el caso no homogeneo 41

4.3 Caracterizacion de la solucion general en el caso no

homogeneo

Teorema 11 Sea la E. D. O. lineal no homogenea de orden 2:

a0(x)d2y

dx2+ a1(x)

dy

dx+ a2(x)y = F (x)

Sean v una solucion cualquiera de la ecuacion no homogenea y u una solucion cualquiera de la

ecuacion homogenea correspondiente, entonces u+ v es tambien una solucion de la E. D. O. no

homogenea.

Consideremos la E. D. O. lineal no homogenea de orden 2:

a0(x)d2y

dx2+ a1(x)

dy

dx+ a2(x)y = F (x)

y la E. D. O. lineal homogenea correspondiente:

a0(x)d2y

dx2+ a1(x)

dy

dx+ a2(x)y = 0 .


La solucion general de la ecuacion homogenea se denomina funcion complementaria de

la ecuacion no homogenea. La denotaremos por yc .

Una solucion cualquiera de la ecuacion no homogenea se denomina solucion o integral

particular. La denotaremos por yp .

Por tanto, el teorema anterior puede resumirse diciendo que la suma y = yc + yp de la funcion

complementaria de la ecuacion no homogenea y de una solucion particular constituye la

solucion general de la ecuacion no homogenea.

En consecuencia, el calculo de la solucion general de una ecuacion no homogenea pasa por la

busqueda de la solucion general de la homogenea correspondiente y una solucion particular de la no

homogenea.

4.3 Caracterizacion de la solucion general en el caso no homogeneo 43

Ejemplo 19

Consideramos la ecuacion no homogenea y′′ + y = x.

La funcion complementaria de la ecuacion es yc(x) = c1 sen(x) + c2 cos(x).

Una solucion particular es, por ejemplo, yp(x) = x.

Por tanto, la solucion general de la ecuacion es y(x) = x + c1 sen(x) + c2 cos(x).

Teorema 12 Sean y1, y2 soluciones particulares de las E. D. O. lineales no homogeneas de orden

2 :

a0(x)d2y

dx2+ a1(x)

dy

dx+ a2(x)y= F1(x) , a0(x)

d2y

dx2+ a1(x)

dy

dx+ a2(x)y= F2(x) .

Entonces, para k1, k2 ∈ R , k1 · y1 + k2 · y2 es solucion particular de la ecuacion:

a0(x)d2y

dx2+ a1(x)

dy

dx+ a2(x)y = k1F1(x) + k2F2(x) .

Ejemplo 20 Consideramos la ecuacion no homogenea y′′ + y = 3x + 5 tg(x) .

Una solucion particular de la ecuacion y′′ + y = x es y1(x) = x.

Una solucion particular de la ecuacion y′′ + y = tg(x) es y2(x) = −cos(x) · log(sec(x) + tg(x)).

Una solucion particular de y′′ + y = 3x + 5 tg(x) es yp(x) = 3 x−5 cos(x) · log(sec(x) + tg(x)).

Entonces, la solucion general de la ecuacion es:

y(x) = 3x− 5cos(x) · log(sec(x) + tg(x)) + c1 sen(x) + c2 cos(x).


4.4 Calculo de la solucion de una ecuacion homogenea

con coeficientes constantes

Consideraremos una ecuacion homogenea lineal de orden 2 con coeficientes constantes:

a0d2y

dx2+ a1

dy

dx+ a2 y= 0 .

Buscaremos soluciones de la forma exponencial:

y(x) = emx.

Teniendo en cuenta quedky(x)

dxk= mkemx, ∀k ∈ N y sustituyendo en la ecuacion, se obtiene

a0m2emx + a1memx + a2 e

mx= 0.

De modo que m debe ser raız del polinomio:

a0m2 + a1m + a2 = 0,

conocido con el nombre de ecuacion caracterıstica de la E. D. O.

Vamos a ver que, a partir de las raıces de la ecuacion caracterıstica se puede obtener la

solucion general de la E. D. O. Para ello veremos tres casos distintos:

4.4 Calculo de la solucion de una ecuacion homogenea con coeficientes constantes 45

4.4.1 Caso de raıces reales simples

Teorema 13 Sea una ecuacion homogenea lineal de orden 2 con coeficientes constantes.

Si la ecuacion caracterıstica de la E. D. O. tiene 2 raıces reales distintas m1,m2, entonces

el sistema fundamental de soluciones es:

{em1x, em2x} .

Por tanto, la solucion general de la E. D. O. es:

y(x) = c1 em1x + c2 e

m2x

donde c1, c2 son constantes arbitrarias.

Ejemplo 21

Sea la ecuacion y′′ − 3y′ + 2y = 0.

Su ecuacion caracterıstica es m2 − 3m + 2 = 0,

cuyas raıces son m1 = 1, m2 = 2.

Entonces, la solucion general es y(x) = c1 ex + c2 e

2x.


4.4.2 Caso de una raız real doble


Si la ecuacion caracterıstica de la E. D. O. tiene una raız real m de multiplicidad 2

entonces el sistema fundamental de soluciones correspondiente a esa raız es:

{emx, x emx} .

Por tanto, la solucion general de la E. D. O. correspondiente a esa raız viene dada por:

(c1 + c2x) emx

donde c1, c2 son constantes arbitrarias.

Ejemplo 22

Sea la ecuacion y′′ − 6y′ + 9y = 0.


cuyas raıces son m1 = m2 = 3.

Entonces, la solucion general es y(x) = (c1 + c2x) e3x.

4.4 Calculo de la solucion de una ecuacion homogenea con coeficientes constantes 47

4.4.3 Caso de dos raıces complejas conjugadas


Si la ecuacion caracterıstica de la E. D. O. tiene dos raıces complejas conjugadas

simples m1 = a + bi, m2 = a − bi, entonces el sistema fundamental de soluciones

correspondiente a ambas raıces es:

{eax sen(bx), eax cos(bx)} .

Por tanto, la solucion general de la E. D. O. correspondiente a ambas raıces viene dada por:

eax (c1 sen(bx) + c2 cos(bx)).


Ejemplo 23

1. Sea la ecuacion y′′ + y = 0.

Su ecuacion caracterıstica es m2 + 1 = 0,

cuyas raıces son m1 = i, m2 = −i.

(Esto es, a = 0, b = 1).

Entonces, la solucion general es y(x) = c1 sen(x) + c2 cos(x).

2. Sea la ecuacion y′′ − 6y′ + 25y = 0.


cuyas raıces son m1 = 3 + 4i, m2 = 3− 4i.

(Esto es, a = 3, b = 4).

Entonces, la solucion general es y(x) = e3x (c1 sen(4x) + c2 cos(4x)).

4.5 Calculo de la solucion de una ecuacion no homogenea 49

4.5 Calculo de la solucion de una ecuacion no homogenea

Estudiaremos dos metodos diferentes para el calculo de una solucion particular de las ecuaciones no

homogeneas lineales de orden 2:

4.5.1 Metodo de Coeficientes Indeterminados

Diremos que una funcion es de tipo CI si es de alguno de los siguientes tipos:

1. xn, con n ∈ N.

2. eax, con a una constante arbitraria.

3. sen(bx + c), con b, c constantes.

4. cos(bx + c), con b, c constantes.

o bien un producto finito de dos o mas funciones de los tipos anteriores.

Sea f una funcion de tipo CI. Al conjunto formado por f y todas las funciones de tipo

CI linealmente independientes tales que f y todas sus derivadas son combinaciones

lineales de ellas se llama conjunto CI de f .


Ejemplo 24

1. Sea f (x) = x3. Su conjunto CI es S = {x3, x2, x, 1}.

2. Sea f (x) = e2x. Su conjunto CI es S = {e2x}.

3. Sea f (x) = x2 sen(x). Su conjunto CI es

S = {x2 sen(x), x2 cos(x), x sen(x), x cos(x), sen(x), cos(x)}.

Observacion 8 RESTRICCIONES del metodo de Coeficientes Indeterminados:

• Solo es utilizable para coeficientes constantes.

• Solo es utilizable cuando el segundo miembro es de tipo CI.

Consideraremos una ecuacion no homogenea lineal de orden 2 con coeficientes constantes:

a0d2y

dx2+ a1

dy

dx+ a2 y = F (x),

donde F es una combinacion lineal finita de funciones de tipo CI de la forma:

F (x) = b1 u1(x) + b2 u2(x) + · · · + bm um(x).


Entonces, para construir una solucion particular de la ecuacion se procede del modo siguiente:

1. Para cada ui se calcula su conjunto CI correspondiente, que denotaremos por Si.

2. Se eliminan los conjuntos Si que son identicos o estan contenidos en otros.

3. Si alguno de los conjuntos restantes incluye soluciones de la correspondiente ecuacion

homogenea, se multiplican todas las funciones del conjunto por la potencia mas

baja de x tal que el conjunto resultante no contenga ya soluciones de la ecuacion

homogenea.

4. Se forma una combinacion lineal de todos los elementos de todos los conjuntos resultantes.

5. Se determinan los coeficientes de dicha combinacion lineal, sustituyendola en la

ecuacion.

Ejemplo 25 Resolver la ecuacion:

y′′ − 2y′ − 3y = 2 ex − 10 sen(x).

(H) La ecuacion homogenea asociada es y′′ − 2y′ − 3y = 0 ,

cuya ecuacion caracterıstica es m2 − 2m− 3 = 0 , con raıces m1 = 3 , m2 = −1 .

Entonces, la funcion complementaria es yc(x) = c1e3x + c2e

−x.


(N H1) El termino no homogeneo consta de dos funciones de tipo CI:

u1(x) = ex, u2(x) = sen(x),

cuyos conjuntos CI son S1 = {ex}, S2 = {sen(x), cos(x)}.(N H2, 3) No son reducibles ni contienen soluciones de la homogenea.

(N H4) Por tanto, la solucion particular sera:

yp(x) = A1ex + A2sen(x) + A3cos(x).

(N H5)Derivando, sustituyendo en la ecuacion e igualando coeficientes se obtiene:A1 −2A1 −3A1 = 2

−A2 +2A3 −3A2 = −10

−A3 −2A2 −3A3 = 0

cuya solucion es A1 = −12, A2 = 2, A3 = −1, de donde

yp(x) = − 1

2ex + 2sen(x)− cos(x).

Entonces, la solucion general de la ecuacion es

y(x) = yc + yp = c1e3x + c2e

−x− 1

2ex + 2sen(x)− cos(x).


Ejemplo 26 Resolver la ecuacion y′′ − 3y′ + 2y = 2x2 + ex + 2xex + 4e3x .

(H) La ecuacion homogenea asociada tiene ecuacion caracterısticam2−3m+2 = 0, cuyas raıces

son: m1 = 1 , m2 = 2 . Entonces, la funcion complementaria es yc(x) = c1ex + c2e

2x .

(N H1) El termino no homogeneo consta de las funciones de tipo CI:

u1(x) = x2 , u2(x) = ex , u3(x) = xex , u4(x) = e3x ,

cuyos conjuntos CI son: S1 = {x2, x, 1} , S2 = {ex} , S3 = {xex, ex} , S4 = {e3x} .

(N H2) Como S2 ⊂ S3 se puede ELIMINAR el conjunto S2.

(N H3) Ademas, en S3 la funcion ex es solucion de la homogenea, por tanto se tiene el

nuevo conjunto S ′3 = {x2ex, xex} .

(N H4) Finalmente, tenemos S1 = {x2, x, 1} , S4 = {e3x} , S ′3 = {x2ex, xex} .

La solucion particular sera de la forma: yp(x) = A1x2 + A2x + A3 + A4e

3x + A5x2ex + A6xe

x .

(N H5) Derivando y sustituyendo en la ecuacion se llega a:

A1 = 1, A2 = 3, A3 =7

2, A4 = 2, A5 = −1, A6 = −3.

Entonces, la solucion general es:

y(x) = yc + yp = c1ex + c2e

2x+x2 + 3x +7

2+ 2e3x − x2ex − 3xex.


4.5.2 Metodo de Variacion de Constantes

Como se ha mencionado anteriormente, el metodo de coeficientes indeterminados presenta

varias restricciones. Vamos a ver ahora un metodo que puede ser utilizado en el caso general:

el metodo de variacion de constantes (o variacion de parametros). Por simplicidad se descri-

bira el metodo para una ecuacion de orden 2, aunque es aplicable para ecuaciones de cualquier

orden.

Consideremos, entonces, la ecuacion lineal de orden 2:

a0(x)d2y

dx2+ a1(x)

dy

dx+ a2(x) y = F (x) ,

donde suponemos conocidas dos soluciones linealmente independientes y1 , y2 de la ecuacion

homogenea correspondiente. Entonces la solucion general de la homogenea sera:

yc(x) = c1y1(x) + c2y2(x).

Sustituyendo los parametros por funciones, vamos a buscar funciones v1 , v2 , que se

determinaran a partir de la ecuacion, de forma que la solucion de la ecuacion no homogenea sea:

y(x) = v1(x) · y1(x) + v2(x) · y2(x).


Derivando la expresion de y(x) se tiene:

y′(x) = v′1(x) · y1(x) + v1(x) · y′1(x) + v′2(x) · y2(x) + v2(x) · y′2(x).

De las infinitas soluciones de la E.D.O. buscamos la que, ademas, verifica:

v′1(x) · y1(x) + v′2(x) · y2(x) = 0 ,

De esta forma la expresion anterior se reduce a:

y′(x) = v1(x) · y′1(x) + v2(x) · y′2(x).

Derivando de nuevo:

y′′(x) = v′1(x) · y′1(x) + v1(x) · y′′1 (x) + v′2(x) · y′2(x) + v2(x) · y′′2 (x).

Sustituyendo en la ecuacion y reordenando se tiene:

v1(x) · [a0(x) · y′′1 (x) + a1(x) · y′1(x) + a2(x) · y1(x)]+

v2(x) · [a0(x) · y′′2 (x) + a1(x) · y′2(x) + a2(x) · y2(x)]+

a0(x) · [v′1(x) · y′1(x) + v′2(x) · y′2(x)] = F (x).

Como y1, y2 son soluciones de la ecuacion homogenea esto se reduce a:

v′1(x) · y′1(x) + v′2(x) · y′2(x) =F (x)

a0(x).


En resumen, se tiene que v′1, v′2 deben ser solucion del siguiente S. E. L.:

(y1(x) y2(x)

y′1(x) y′2(x)

).

(v′1(x)

v′2(x)

)=

0F (x)

a0(x)

,

cuyo determinante es el wronskiano W (y1, y2), que es no nulo.

Por tanto, el sistema tiene solucion unica (v′1, v′2) que, mediante integracion, nos proporciona

v1 y v2, salvo constantes de integracion.


Ejemplo 27 Resolver la ecuacion y′′ + y = tg(x).

Claramente, la funcion tg(x) no es de tipo CI, por tanto aplicaremos el metodo de variacion de

constantes:

La funcion complementaria es yc(x) = c1sen(x) + c2cos(x).

Buscamos una solucion de la forma y(x) = v1(x)sen(x) + v2(x)cos(x).

El sistema a resolver queda

(sen(x) cos(x)

cos(x) −sen(x)

).

(v′1(x)

v′2(x)

)=

(0

tg(x)

),

cuya solucion es v′1(x) = sen(x), v′2(x) = − sen2(x)

cos(x),

Mediante integracion, v1(x) = −cos(x) + c1, v2(x) = sen(x)− log | sec(x) + tg(x) | +c2.

Entonces, la solucion general es:

y(x) = −cos(x) · log | sec(x) + tg(x) | + c1 sen(x) + c2 cos(x) .


4.6 La ecuacion de Cauchy-Euler

La dificultad principal en el metodo de variacion de parametros es obtener la funcion

complementaria en el caso en que los coeficientes no son constantes. Sabemos como ob-

tenerla en el caso de coeficientes constantes por medio de la ecuacion caracterıstica, pero el caso de

coeficientes variables no puede ser tratado de la misma forma. Solamente en algunos casos

puede ser obtenida la solucion de manera explıcita.

En este apartado veremos un caso particular en que, mediante un cambio de variable, se

pueden transformar determinadas ecuaciones de coeficientes no constantes en otras de coe-

ficientes constantes y, por tanto, se pueden resolver.

4.6 La ecuacion de Cauchy-Euler 59

Estudiemos la ecuacion de Cauchy-Euler (o ecuacion equidimensional), que es una ecuacion

de coeficientes variables de la forma:

a0 x2 d

2y

dx2+ a1 x

dy

dx+ a2 y = F (x), x = 0.

Para los valores de la variable independiente x > 0, la transformacion x = et, t ∈ R reduce

la ecuacion de Cauchy-Euler a una ecuacion lineal con coeficientes constantes. (Para x < 0,

el cambio adecuado es x = −et ). Por simplicidad lo veremos en el caso de orden 2, pero es valido

para ecuaciones de cualquier orden.

Sea entonces la ecuacion de segundo orden

a0 x2 d

2y

dx2+ a1 x

dy

dx+ a2 y = F (x), x > 0.

Teniendo en cuenta que x = et ⇔ t = log(x)

se tiene:dy

dx=

dy

dt· dtdx

=1

x· dydt

,

d2y

dx2=

d

dx(1

x· dydt

) =1

x· d

dx(dy

dt)− 1

x2· dydt

=1

x· d

2y

dt2· dtdx

− 1

x2· dydt

=1

x2· (d

2y

dt2− dy

dt).


Con lo que, sustituyendo en la ecuacion, se obtiene la ecuacion lineal de orden 2 y coeficientes

constantes:

a0d2y

dt2+ (a1 − a0)

dy

dt+ a2 y = F (et) ,

que puede ser resuelta por los metodos ya vistos.

Observacion 9 A partir de aquı hay dos opciones:

1. Aplicar el metodo CI para obtener la solucion particular y, posteriormente, deshacer

el cambio de variable (si F (et) es de tipo CI).

2. Deshacer el cambio de variable y aplicar el metodo de variacion de constantes

a la ecuacion de Cauchy-Euler.

Ejemplo 28 Encontrar la unica solucion del problema con condiciones iniciales:x2

d2y

dx2− 2x

dy

dx+ 2y = x3, x > 0

y(1) = 1,dy

dx(1) = 2.

Haciendo el cambio de variable x = et se tiene la ecuacion de coeficientes constantes:

d2y

dt2− 3

dy

dt+ 2y = e3t.

4.6 La ecuacion de Cauchy-Euler 61

Como su ecuacion caracterıstica es m2 − 3m + 2 = 0, con raıces m1 = 1, m2 = 2, la funcion

complementaria de esta ecuacion es:

yc(t) = c1et + c2e

2t.

Como el segundo miembro es la funcion de tipo CI e3t, cuyo conjunto CI es S = {e3t}, la solucionparticular la buscamos de la forma:

yp(t) = Ae3t.

Derivando y sustituyendo en la ecuacion se obtiene que A = 12, por tanto, la solucion sera:

y(t) = c1et + c2e

2t +1

2e3t.

Deshaciendo el cambio de variable se tiene entonces:

y(x) = c1x + c2x2 +

1

2x3.

Al imponer las condiciones iniciales, se tiene que c1 =12, c2 = 0. Ası pues,

y(x) =x + x3

2

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