E.D.O - Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

E.D.OEcuaciones Diferenciales Ordinarias

Prof. Jorge Enrique TrivinoFacultad de Matematicas Y Fisica

Universidad De La Amazonia

Fecha: 30, 31 De Mayo

Prof. Jorge Enrique Trivino - Universidad De La Amazonia E.D.O

TallerPROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES

• El taller esta orientado hacia la construccion de ecuaciones diferen-ciales que modelen situaciones de la vida diaria. Las ecuaciones difer-enciales tratan de como predecir el futuro.

• Para ello, de todo lo que disponemos es el conocimiento de como sonlas cosas y cuales son las reglas que gobiernan los cambios que ocur-riran. Del calculo sabemos que el cambio es medido por las derivadasy usarlas para describir como se modifica una cantidad es de lo quetratan las ecuaciones diferenciales.

• Convertir las reglas que gobiernan la evolucion de una cantidad esuna ecuacion diferencial se llama una modelacion y en este tallerconstruiremos algunos modelos. Nuestra meta es que a traves de lasecuaciones diferenciales podamos predecir el futuro de la cantidad quese esta modelando.

• Existen tres tecnicas para efectuar dichas predicciones:

1 Las tecnicas analıticas implican hallar metodos para valores futurosde la cantidad.

2 Las tecnicas cualitativas que se apoyan en un esbozo burdo de lagrafica de la cantidad de como funcion del tiempo, y en ladescripcion del comportamiento a largo plazo.

3 Las tecnicas numericas que requieren calculos aritmeticos que denaproximaciones de los valores futuros de la cantidad.

• Se requiere que el asistente al taller tenga una idea mınima del calculode derivadas y de la teoria de integracion.

Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:

Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que unicamente sobreel actua la fuerza de gravedad.De la segunda ley de Newton tenemos que:

ma = F ⇐⇒ md2y

dt2= −mg ⇐⇒ a(t) =

dt2= −g (1)

Que representa la aceleracion con que cae el cuerpo. Integrando una vezla ecuacion (1), obtenemos que:

v(t) =dy

dt= −gt+ c1 (2)

Que representa la velocidad con que cae el cuerpo.

Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que unicamente sobreel actua la fuerza de gravedad.

De la segunda ley de Newton tenemos que:

ma = F ⇐⇒ md2y

dt2= −mg ⇐⇒ a(t) =

dt2= −g (1)

v(t) =dy

dt= −gt+ c1 (2)

ma = F ⇐⇒ md2y

dt2= −mg ⇐⇒ a(t) =

dt2= −g (1)

v(t) =dy

dt= −gt+ c1 (2)

ma = F ⇐⇒ md2y

dt2= −mg ⇐⇒ a(t) =

dt2= −g (1)

v(t) =dy

dt= −gt+ c1 (2)

ma = F ⇐⇒ md2y

dt2= −mg ⇐⇒ a(t) =

dt2= −g (1)

v(t) =dy

dt= −gt+ c1 (2)

ma = F ⇐⇒ md2y

dt2= −mg ⇐⇒ a(t) =

dt2= −g (1)

v(t) =dy

dt= −gt+ c1 (2)

Integrando una vez mas la ecuacion (2) obtenemos que:

y(t) = −1

2gt2 + c1t+ c2 (3)

Es la posicion del cuerpo en el tiempo t.

¿Como hallar las contantes c1 y c2?¿Como podemos llamar la ecuacion (3)?

y(t) = −1

2gt2 + c1t+ c2 (3)

y(t) = −1

2gt2 + c1t+ c2 (3)

y(t) = −1

2gt2 + c1t+ c2 (3)

2) Determinar la velocidad de una partıcula proyectada en direccion ra-dial fuera de la Tierra, cuando sobre esta actua unicamente la fuerzade gravedad. Supondremos una velocidad inicial en cierta direccionradial de modo que el movimiento de la partıcula se lleve a efectopor completo sobre una recta que pasa por el centro de la Tierra. Lagrafica ilustra la situacion:

La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleracion de una partıculasera inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre lapartıcula y el centro de la Tierra.La aceleracion es:

dt= −K

Notese que la aceleracion es negativa, pues la velocidad va disminuyendo.Si r = R entonces a = −g −→ aceleracion devida a la gravedad en lasuperficie de la Tierra.

Luego, − g = −Ka

De (1) K = −ar2 (3)

La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleracion de una partıculasera inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre lapartıcula y el centro de la Tierra.

La aceleracion es:

dt= −K

De (1) K = −ar2 (3)

dt= −K

De (1) K = −ar2 (3)

dt= −K

De (1) K = −ar2 (3)

dt= −K

De (1) K = −ar2 (3)

dt= −K

De (1) K = −ar2 (3)

y de (2) K = gR2 (4)

De (3) y (4): a = −gR2

Ahora, como a =dv

dty V =

dt, entonces

dr, 0 , a = v

Reemplazando (5) en (4) tenemos que:

dr=−gR2

y de (2) K = gR2 (4)

De (3) y (4): a = −gR2

Ahora, como a =dv

dty V =

dt, entonces

dr, 0 , a = v

dr=−gR2

y de (2) K = gR2 (4)

De (3) y (4): a = −gR2

Ahora, como a =dv

dty V =

dt, entonces

dr, 0 , a = v

dr=−gR2

y de (2) K = gR2 (4)

De (3) y (4): a = −gR2

Ahora, como a =dv

dty V =

dt, entonces

dr, 0 , a = v

dr=−gR2

y de (2) K = gR2 (4)

De (3) y (4): a = −gR2

Ahora, como a =dv

dty V =

dt, entonces

dr, 0 , a = v

dr=−gR2

y de (2) K = gR2 (4)

De (3) y (4): a = −gR2

Ahora, como a =dv

dty V =

dt, entonces

dr, 0 , a = v

dr=−gR2

y de (2) K = gR2 (4)

De (3) y (4): a = −gR2

Ahora, como a =dv

dty V =

dt, entonces

dr, 0 , a = v

dr=−gR2

Separando variables en (6) e integrando obtenemos

r+ c1, 0 , v

2 =2gR2

r+ C, donde C = 2c (7)

Supongamos que v(0) = v0 cuando r = R, luego la ecuacion (7) toma laforma

v2 =2gR2

r+ v20 − 2gR (5)

Que es la velocidad con que viaja la particula

r+ c1, 0 , v

2 =2gR2

v2 =2gR2

r+ v20 − 2gR (5)

r+ c1, 0 , v

2 =2gR2

v2 =2gR2

r+ v20 − 2gR (5)

r+ c1, 0 , v

2 =2gR2

v2 =2gR2

r+ v20 − 2gR (5)

r+ c1, 0 , v

2 =2gR2

v2 =2gR2

r+ v20 − 2gR (5)

La ecuacion (5) es positiva si y solamente si v20 − 2gR ≥ 0.

Si v20 − 2gR ≤ 0, habra un punto crıtico de r para el cual el miembroderecho de la ecuacion (5) es cero. Es decir la partıcula se detendra, lavelocidad cambiara de positiva a negativa y la particula regresaria a laTierra.

Luego, si v0 ≥√2gR = V e, la partıcula escapara de la Tierra.

Ejemplo: Hallar la velocidad de escape de la Tierra. Considerarg = 9,81m/seg2 y R = 6370Km

ENFRIAMIENTO DE CUERPOS

La ley de Newton sobre el enfriamiento de un cuerpo establece que la razonde cambio de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferenciaentre la temperatura de este y la del medio ambiente. Esto es si T es latemperatura del cuerpo y Tm es la temperatura del medio ambiente, setiene entonces

dt= K(T − Tm)

donde K < 0. La ecuacion se puede resolver por el metodo de separacionde variables, para obtener la solucion general:

T (t) = Tm + (T0 − Tm)ekt

dt= K(T − Tm)

Ejemplo: Un termometro que ha presentado una lectura de 70◦F en elinterior de una casa, es colocado afuera donde la temperatura ambiente es10◦F . Tres minutos despues se descubre que la lectura del termometro esde 25◦F .

¿Cual es la temperatura en el tiempo t ?.

Solucion:Sea T (t) : Temperatura en el tiempo t. De los datos dados obtenemos queT (0) = T0 = 70◦F , Tm = 10◦F , T (3) = 25◦F y al aplicarlos en lasolucion general obtenemos que

T (t) = 10 + 60e−0,46t

Solucion:

Sea T (t) : Temperatura en el tiempo t. De los datos dados obtenemos queT (0) = T0 = 70◦F , Tm = 10◦F , T (3) = 25◦F y al aplicarlos en lasolucion general obtenemos que

T (t) = 10 + 60e−0,46t

CONVERSION QUIMICA SIMPLE

La conversion quimica simple se utiliza cuando mediante una reaccionquimica una sustancia A se transforma en una sustancia B. Si x(t) es lacantidad de sustancia presente en el tiempo t, entonces la cantidad dex de sustancia sin transformar es proporcional a la cantidad de sustanciapresente. Lo anterior se puede expresar mediante la ecuacion diferencial

dt= −kx, donde k > 0

y cuya solucion es de la forma:

x(t) = x0e−kt

La grafica de la solucion es de la forma:

Ejemplo: Supongamos que al final de medio minuto en t = 30s, dosterceras partes de la cantidad original x0 se han transformado. Determinarla cantidad de sustancias sin transformar en t = 60s.

Del x(30) = x0e−30K =

, obtenemos que K =Ln3

x(t) = x0e−Ln3

30 t, luego x(60) =x09

Del x(30) = x0e−30K =

x(t) = x0e−Ln3

30 t, luego x(60) =x09

Del x(30) = x0e−30K =

x(t) = x0e−Ln3

30 t, luego x(60) =x09

CRECIMIENTO POBLACIONAL

Hallar la ecuacion diferencial que expresa el numero de habitantes y de unpais en funcion del tiempo. Como el aumento de la poblacion se rige porla mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas esta dadapor:

dt= ky − hy = (k − h)y,

donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente.La ecuacion anterior se puede escribir como:

dt= ay donde a = k − h

Si hay inmigracion, la nueva ecuacion es:

dt= ay + b,

donde b representa el numero de inmigrantes.

dt= ky − hy = (k − h)y,

dt= ay + b,

dt= ky − hy = (k − h)y,

dt= ay + b,

dt= ky − hy = (k − h)y,

donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente.

La ecuacion anterior se puede escribir como:

dt= ay + b,

dt= ky − hy = (k − h)y,

dt= ay + b,

dt= ky − hy = (k − h)y,

dt= ay + b,

dt= ky − hy = (k − h)y,

dt= ay + b,

dt= ky − hy = (k − h)y,

dt= ay + b,

Separando variables e integrando obtenemos que la solucion general es dela forma:

y(t) = ceat − b

De la condicion inicial y(0) = c − b

a= y0, obtenemos que c = y0 +

por lo tanto una solucion particular es

y(t) =

)eat − b

¿Como es la grafica de y(t)?

y(t) = ceat − b

y(t) =

)eat − b

y(t) = ceat − b

y(t) =

)eat − b

y(t) = ceat − b

y(t) =

)eat − b

y(t) = ceat − b

y(t) =

)eat − b

y(t) = ceat − b

y(t) =

)eat − b

CRECIMIENTO POBLACIONALEjemplo: Un modelo simple

Se sabe que la poblacion de cierta comunidad aumenta proporcionalmentea la cantidad presente. Si la poblacion se duplico en cinco anos. ¿En cuantotiempo se triplicara y cuadruplicara?

Si P (t) es el mınimo de personas en el tiempo t, entonces el problema devalor inicial asociado es:

dt= kP

P (0) = Po

dt= kP

P (0) = Po

dt= kP

P (0) = Po

dt= kP

P (0) = Po

Cuya solucion general es P (t) = Poekt. Utilizando los datos del problema

obtenemos que la poblacion es:

P (t) = Poe0,138629t

Notese que P (3) = 7,92 anos y P (4) = 10 anos.

P (t) = Poe0,138629t

ACUMULACION DE CAPITAL

Consideremos el problema sobre la acumulacion de capital. La funciony = f(t) representa el capital presente en el tiempo t. Como el interesaumenta el capital y el consumo lo disminuye, tenemos que:

(incremento de capital) = (interes) - (consumo) , o,

dt= ky − b,

Donde k > 0 y la solucion general de la ecuacion es de la forma y(t) =cekt + b. Al analizar la condicion inicial y(0) = ce0t + b = yo, obtenemosque c = y − b y la solucion particular toma la forma:

y(t) =

(yo −

)ekt +

dt= ky − b,

y(t) =

(yo −

)ekt +

dt= ky − b,

y(t) =

(yo −

)ekt +

dt= ky − b,

y(t) =

(yo −

)ekt +

dt= ky − b,

y(t) =

(yo −

)ekt +

dt= ky − b,

y(t) =

(yo −

)ekt +

Notese que si:

si yo >b

kel capital y(t) crece.

si yo <b

kel capital y(t) decrece.

si yo =b

kel capital y(t) permanece constante.

La siguiente grafica ilustra la situacion anterior.

Notese que si:

si yo >b

si yo <b

si yo =b

Notese que si:

si yo >b

si yo <b

si yo =b

Notese que si:

si yo >b

si yo <b

si yo =b

Notese que si:

si yo >b

si yo <b

si yo =b

Notese que si:

si yo >b

si yo <b

si yo =b

ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuacion diferencial homogenea con coeficientes constantes

La ecuacion de la forma

ay′′+ by

′+ cy = 0 (1)

Si y(x) = eλx es solucion de (1), entonces y′(x) = λeλx y y

′′(x) = λ2eλx.

Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que:

(λ2 + bλ+ c)eλx = 0

Como eλx 6= 0, λ2 + bλ+ c = 0 se llama ecuacion auxiliar.

Las raices de la ecuacion auxiliar son λ1, λ2 =−b±

√b2 − 4ac

La naturaleza de las raices depende del discriminante√b2 − 4ac. Consid-

eremos tres casos:

ay′′+ by

′+ cy = 0 (1)

′′(x) = λ2eλx.

(λ2 + bλ+ c)eλx = 0

√b2 − 4ac

eremos tres casos:

ay′′+ by

′+ cy = 0 (1)

′′(x) = λ2eλx.

(λ2 + bλ+ c)eλx = 0

√b2 − 4ac

eremos tres casos:

ay′′+ by

′+ cy = 0 (1)

′′(x) = λ2eλx.

(λ2 + bλ+ c)eλx = 0

√b2 − 4ac

eremos tres casos:

ay′′+ by

′+ cy = 0 (1)

′′(x) = λ2eλx.

(λ2 + bλ+ c)eλx = 0

√b2 − 4ac

eremos tres casos:

ay′′+ by

′+ cy = 0 (1)

′′(x) = λ2eλx.

(λ2 + bλ+ c)eλx = 0

√b2 − 4ac

eremos tres casos:

ay′′+ by

′+ cy = 0 (1)

′′(x) = λ2eλx.

(λ2 + bλ+ c)eλx = 0

√b2 − 4ac

eremos tres casos:

ay′′+ by

′+ cy = 0 (1)

′′(x) = λ2eλx.

(λ2 + bλ+ c)eλx = 0

√b2 − 4ac

eremos tres casos:

a) Si b2 − 4ac > 0, o λ1, λ2 son numeros reales y λ1, 6= λ2. En estecaso y1(x) = eλ1x, y2(x) = eλ2x y la solucion general es:

y(x) = c1eλ1x + c2e

b) Si b2 − 4ac = 0, λ1 = λ2 = − b

2a= λ. En este caso y1(x) = eλx y

y2(x) = xeλx y la solucion general es:

y(x) = c1eλx + c2xe

c) Si b2 − 4ac < 0, λ1 = a + bi y λ2 = a − bi. En este caso y1(x) =eax cos(bx); y2(x) = eax sin(bx) y la solucion general es:

y(x) = c1eax cos(bx) + c2 sin(bx)

b) Si b2 − 4ac = 0, λ1 = λ2 = − b

Vibraciones en sistemas mecanicos

¿Cuando se producen vibraciones?Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema fısico estable. En este casoel sistema queda sujeto a fuerzas que tendran que restaurar el equilibrio.Las situaciones anteriores conducen a ecuaciones de la forma:

dt2+ P (t)

dt+Q(t)x = R(t)

Tipo 1: Vibraciones armonicas no amortiguadas.

¿Cuando se producen vibraciones?

Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema fısico estable. En este casoel sistema queda sujeto a fuerzas que tendran que restaurar el equilibrio.Las situaciones anteriores conducen a ecuaciones de la forma:

dt2+ P (t)

dt+Q(t)x = R(t)

dt2+ P (t)

dt+Q(t)x = R(t)

dt2+ P (t)

dt+Q(t)x = R(t)

dt2+ P (t)

dt+Q(t)x = R(t)

dt2+ P (t)

dt+Q(t)x = R(t)

La carreta al desplazarse x unidades el resorte ejerce una fuerza de restau-racion FR = −kx (Ley Hooke), k > 0. k: Donde k es una medida de larigidez del resorte.

Segunda Ley De Newton:

FR = -kx = ma = md2x

mx = 0, o,

dt2+ a2x = 0 ; a2 =

mx = 0, o,

dt2+ a2x = 0 ; a2 =

mx = 0, o,

dt2+ a2x = 0 ; a2 =

mx = 0, o,

dt2+ a2x = 0 ; a2 =

mx = 0, o,

dt2+ a2x = 0 ; a2 =

Ecuacion auxiliar: λ2 +k

m= 0⇐⇒ λ = ±

x1t = cos

)= cos(at)

x2t = sin

)= sin(at)

x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at)︸︷︷︸

Solucion General

m= 0⇐⇒ λ = ±

x1t = cos

)= cos(at)

x2t = sin

)= sin(at)

Solucion General

m= 0⇐⇒ λ = ±

x1t = cos

)= cos(at)

x2t = sin

)= sin(at)

Solucion General

Si la carreta se lleva a la posicion inicial x(0) = xo y se suelta con unavelocidad inicial v(0) = vo = 0. Entonces de:

x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at) y x′(t) = −ac1 sin(at) + ac2 cos(at)

x(0) = c1 + c2(0) = xo −→ c1 = xox

′(0) = −ac1(0) + ac2 = 0 −→ c2 = 0

La solucion particular es:

x(t) = xo cos(at)

x(0) = c1 + c2(0) = xo −→ c1 = xox

′(0) = −ac1(0) + ac2 = 0 −→ c2 = 0

x(t) = xo cos(at)

x(0) = c1 + c2(0) = xo −→ c1 = xox

′(0) = −ac1(0) + ac2 = 0 −→ c2 = 0

x(t) = xo cos(at)

x(0) = c1 + c2(0) = xo −→ c1 = xo

x′(0) = −ac1(0) + ac2 = 0 −→ c2 = 0

x(t) = xo cos(at)

x(0) = c1 + c2(0) = xo −→ c1 = xox

′(0) = −ac1(0) + ac2 = 0 −→ c2 = 0

x(t) = xo cos(at)

x(0) = c1 + c2(0) = xo −→ c1 = xox

′(0) = −ac1(0) + ac2 = 0 −→ c2 = 0

x(t) = xo cos(at)

aT = 2π ; T =2π

2π√k

Tambien f =1

aT = 2π ; T =2π

2π√k

Tambien f =1

aT = 2π ; T =2π

2π√k

Tambien f =1

Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas

Ocurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-tiguacion. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda).

Fa = −cdxdt, c > 0: c: Mide la resistencia del medio.

Luego, la nueva ecuacion es:

dt2= FR + Fa ⇐⇒ m

dt2+ kx+ c

⇐⇒ md2x

dt2+ c

dt+ kx = 0⇐⇒ d2x

mx = 0

⇐⇒ d2x

dt2+ 2b

dt+ a2x = 0, donde 2b =

m⇐⇒ b =

2my a2 =

dt2+ kx+ c

⇐⇒ md2x

dt2+ c

dt+ kx = 0⇐⇒ d2x

mx = 0

⇐⇒ d2x

dt2+ 2b

m⇐⇒ b =

2my a2 =

dt2+ kx+ c

⇐⇒ md2x

dt2+ c

dt+ kx = 0⇐⇒ d2x

mx = 0

⇐⇒ d2x

dt2+ 2b

m⇐⇒ b =

2my a2 =

dt2+ kx+ c

⇐⇒ md2x

dt2+ c

dt+ kx = 0⇐⇒ d2x

mx = 0

⇐⇒ d2x

dt2+ 2b

m⇐⇒ b =

2my a2 =

dt2+ kx+ c

⇐⇒ md2x

dt2+ c

dt+ kx = 0⇐⇒ d2x

mx = 0

⇐⇒ d2x

dt2+ 2b

m⇐⇒ b =

2my a2 =

dt2+ kx+ c

⇐⇒ md2x

dt2+ c

dt+ kx = 0⇐⇒ d2x

mx = 0

⇐⇒ d2x

dt2+ 2b

m⇐⇒ b =

2my a2 =

dt2+ kx+ c

⇐⇒ md2x

dt2+ c

dt+ kx = 0⇐⇒ d2x

mx = 0

⇐⇒ d2x

dt2+ 2b

m⇐⇒ b =

2my a2 =

Vibraciones amortiguadas

La ecuacion auxiliar: λ2 + 2bλ+ a2 = 0

λ1,2 =−2b±

√4b2 − 4a2

2=−2b± 2

√b2 − a2

2= −b±

√b2 − a2

La naturaleza de las raices dependen del discriminante√b2 − a2. Consid-

eremos los siguientes casos:

a) Si b2−a2 > 0⇐⇒ b > a: La fuerza de friccion debida a la viscocidades grande en comparacion con la rapidez del resorte. En este casoλ1, λ2 ∈ R y λ1 6= λ2.

x1(t) = eλ1t, x2(t) = eλ2t, y, x(t) = c1eλ1t + c2e

λ1,2 =−2b±

√4b2 − 4a2

2=−2b± 2

√b2 − a2

2= −b±

√b2 − a2

λ1,2 =−2b±

√4b2 − 4a2

2=−2b± 2

√b2 − a2

2= −b±

√b2 − a2

λ1,2 =−2b±

√4b2 − 4a2

2=−2b± 2

√b2 − a2

2= −b±

√b2 − a2

Como x(0) = xo y x′(0) = v(0) = vo = 0, entonces de:

x(t) = c1eλ1t + c2e

λ2t y x′(t) = c1λ1e

λ1t + c2λ2eλ2t

x(0) = c1 + c2 = xo y x′(0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0

{c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xo

c1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0

(λ2 − λ1)c2 = −λ1xo, c2 =−λ1xoλ2 − λ1

=λ1xoλ1 − λ2

c1 = xo − c2 =xo1

+λ1xoλ1 − λ2

=λ1xo − λ2xo + λ1xo

λ1 − λ2=−λ2xoλ1 − λ2−λ2xoλ1 − λ2−λ2xoλ1 − λ2

λ1t + c2λ2eλ2t

x(0) = c1 + c2 = xo y x′(0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0

{c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xo

c1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0

(λ2 − λ1)c2 = −λ1xo, c2 =−λ1xoλ2 − λ1

=λ1xoλ1 − λ2

c1 = xo − c2 =xo1

+λ1xoλ1 − λ2

λ1t + c2λ2eλ2t

x(0) = c1 + c2 = xo y x′(0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0

{c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xo

c1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0

(λ2 − λ1)c2 = −λ1xo, c2 =−λ1xoλ2 − λ1

=λ1xoλ1 − λ2

c1 = xo − c2 =xo1

+λ1xoλ1 − λ2

λ1t + c2λ2eλ2t

x(0) = c1 + c2 = xo y x′(0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0

{c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xo

c1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0

(λ2 − λ1)c2 = −λ1xo, c2 =−λ1xoλ2 − λ1

=λ1xoλ1 − λ2

c1 = xo − c2 =xo1

+λ1xoλ1 − λ2

λ1t + c2λ2eλ2t

x(0) = c1 + c2 = xo y x′(0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0

{c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xo

c1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0

(λ2 − λ1)c2 = −λ1xo, c2 =−λ1xoλ2 − λ1

=λ1xoλ1 − λ2

c1 = xo − c2 =xo1

+λ1xoλ1 − λ2

λ1t + c2λ2eλ2t

x(0) = c1 + c2 = xo y x′(0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0

{c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xo

c1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0

(λ2 − λ1)c2 = −λ1xo, c2 =−λ1xoλ2 − λ1

=λ1xoλ1 − λ2

c1 = xo − c2 =xo1

+λ1xoλ1 − λ2

λ1t + c2λ2eλ2t

x(0) = c1 + c2 = xo y x′(0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0

{c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xo

c1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0

(λ2 − λ1)c2 = −λ1xo, c2 =−λ1xoλ2 − λ1

=λ1xoλ1 − λ2

c1 = xo − c2 =xo1

+λ1xoλ1 − λ2

Reemplazando los valores anteriores en la solucion general, obtenemos:

x(t) =−λ2xoλ1 − λ2

eλ1t +λ1xoλ1 − λ2

x(t) =xo

λ1 − λ2[λ1e

λ2t − λ2eλ1t], λ1 6= λ2

x(t) =−λ2xoλ1 − λ2

x(t) =xo

λ1 − λ2[λ1e

λ2t − λ2eλ1t], λ1 6= λ2

x(t) =−λ2xoλ1 − λ2

x(t) =xo

λ1 − λ2[λ1e

λ2t − λ2eλ1t], λ1 6= λ2

b) Si b2 − a2 = 0⇐⇒ b = a, esto significa la viscocidad disminuye.λ1 = λ2 = −b = −a = λ.x1(t) = e−at, x2(t) = te−at, x(t) = c1e

−at + c2te−at

x′(t) = −ac1e−at+ c2e

−at− ac2te−at = −ac1e−at+ c2e−at(1− at)

Aplicando las condiciones iniciales:x(0) = c1 + c2(0) = xo, c1 = xox

′(0) = −ac1 + c2 = −axo + c2 = 0, c2 = axoc2 = axoc2 = axo

−at + c2te−at

Aplicando las condiciones iniciales:

x(0) = c1 + c2(0) = xo, c1 = xox

−at + c2te−at

Aplicando las condiciones iniciales:x(0) = c1 + c2(0) = xo, c1 = xo

x′(0) = −ac1 + c2 = −axo + c2 = 0, c2 = axoc2 = axoc2 = axo

−at + c2te−at

x(t) = xoe−at + axote

−at = xoe−at [1 + at]

c) Si b2 − a2 < 0⇐⇒ b < a. En este caso se hace disminuir la viscoci-dad para cualquier cantidad por pequena que sea. El movimiento esvibratorio y decimos que esta sub-amortiguado.

λ1 = −b±√a2 − b2i = −b± αi, α =

√a2 − b2

x1(t) = e−bt cos(αt), x2(t) = e−bt sin(αt)

x(t) = c1e−bt cos(αt) + c2e

−bt sin(αt)

λ1 = −b±√a2 − b2i = −b± αi, α =

√a2 − b2

−bt sin(αt)

λ1 = −b±√a2 − b2i = −b± αi, α =

√a2 − b2

−bt sin(αt)

λ1 = −b±√a2 − b2i = −b± αi, α =

√a2 − b2

−bt sin(αt)

λ1 = −b±√a2 − b2i = −b± αi, α =

√a2 − b2

−bt sin(αt)

λ1 = −b±√a2 − b2i = −b± αi, α =

√a2 − b2

−bt sin(αt)

Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x′(0) = v(0) = vo = 0

−bt sin(αt) yx

′(t) = −bc1e−bt cos(αt)−αc1e−bt sin(αt)−bc2e−bt sin(αt)+αc2e−bt cos(αt)

x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo

x′(0) = −bc1 + αc2 = 0; −bxo + αc2 = 0; αc2 = bxo =

La solucion particular es de la forma:

x(t) = xoe−bt cos(αt) +

−bt sin(αt)

x(t) =xoαe−bt [α cos(αt) + b sin(αt)]

−bt sin(αt) yx

x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo

−bt sin(αt)

−bt sin(αt) y

x′(t) = −bc1e−bt cos(αt)−αc1e−bt sin(αt)−bc2e−bt sin(αt)+αc2e−bt cos(αt)

x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo

−bt sin(αt)

−bt sin(αt) yx

x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo

−bt sin(αt)

−bt sin(αt) yx

x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo

−bt sin(αt)

−bt sin(αt) yx

x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo

−bt sin(αt)

−bt sin(αt) yx

x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo

−bt sin(αt)

−bt sin(αt) yx

x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo

−bt sin(αt)

−bt sin(αt) yx

x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo

−bt sin(αt)

Ahora:

α cos(αt) + b sin(αt) = 1 cos(αt− θ)= cos(αt). cos θ − sin(αt). sin θ

La igualdad anterior es cierta si y solo siα = cos θ; sin θ = −b | α2 = cos2 θ; sin2 θ = b2, α2 + b2 = 12

− bα

=sin θ

cos θ= tan θ | θ = tan−1

(− bα

x(t) =xoαe−bt [cos(αt− θ)] | x(t) =

xo√a2 + b2

αe−bt [cos(αt− θ)]x(t) =

xo√a2 + b2

αe−bt [cos(αt− θ)]

Ahora:

− bα

=sin θ

(− bα

xo√a2 + b2

Ahora:

− bα

=sin θ

(− bα

xo√a2 + b2

Ahora:

− bα

=sin θ

(− bα

xo√a2 + b2

Ahora:

− bα

=sin θ

(− bα

xo√a2 + b2

Ahora:

− bα

=sin θ

(− bα

xo√a2 + b2

Como αT = 2π, T =2π

2π√a2 − b2

=2π√

m− c2

√a2 − b2 =

m− c2

2π√a2 − b2

=2π√

m− c2

√a2 − b2 =

m− c2

2π√a2 − b2

=2π√

m− c2

√a2 − b2 =

m− c2

Bibliografia

• Dennis G. Zill. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modela-do. Editorial Thomson. Sexta Edicion.

• Rainville - Bedien. Ecuaciones Diferenciales. Ed. Prentice Hill. OctaveEdicion 1998.

• R. Kent Nagle, Eduard B. Saff. Fundamentos de Ecuaciones Diferen-ciales. Ed. Addison Wesley. Iberoamericana 1998.

• J. E. Trivino M. Ecuaciones Diferenciales. Libro en proceso de edicion.

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