INFORME ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIASTema: Aplicaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de Orden SuperiorNombre:Dayana MendozaIng:Vernica ProaoAPLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE ORDEN SUPERIOREste captulo se estudia las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Desde que se comenzaron a estudiar las ecuaciones diferenciales ha resultado evidente que es difcil obtener resultados muy generales que permitan obtener las soluciones de un tipo determinado de ecuacin. Aplicaciones: Movimiento armnico simple Vibraciones amortiguadas libres Vibraciones forzadasMovimiento Armnico Simple

Consideremos un cuerpo de masa (m) que est unido a una pared por medio de un resorte de constante (k) (sistema masa-resorte) el cual se encuentra sobre una mesa horizontal. Por simplicidad supongamos tambin que no existe friccin entre el cuerpo y la mesa y que el sistema se encuentra inicialmente en equilibrio. De repente, el resorte se comprime (o se elonga) una distancia pequea x0, medida desde la posicin de equilibrio (ver figura anterior), y se le aplica una velocidad v0.Desde ese momento, el resorte ejerce una fuerza sobre la masa que tiende a regresarla a su posicin de equilibrio inicial. En general, esta fuerza depende de la distancia comprimida (o elongada) del resorte. Si la compresin (o elongacin) es pequea, se puede suponer que la fuerza es directamente proporcional a dicha deformacin y que siempre apunta hacia la posicin de equilibrio o en sentido contrario a la deformacin. Dicha suposicin se conoce como ley de Hooke para resortes lineales.Es decir, la fuerza (FR) que en todo momento ejerce el resorte sobre la masa est dada por:

donde x es la deformacin y k > 0 es la constante del resorte.Por otra parte, y de acuerdo con la segunda ley de Newton, la suma de todas las fuerzas que se aplican a un cuerpo produce un cambio a su movimiento que se rige por la ecuacin

Igualando estos dos resultados, se obtiene el PVI que modela el sistema masa-resorte:

o equivalentemente:

El modelo encontrado es una ecuacin diferencial de segundo orden con coeficientes constantes. Para resolverla, proponemos como solucin de la ecuacin diferencial una funcin del tipo

Derivando dos veces con respecto al tiempo y sustituyendo obtenemos la ecuacin algebraica

cuyas dos races son imaginarias debido a que m y k son constantes positivas,

Si definimos la frecuencia natural del sistema como tendremos r=iw de tal forma que un conjunto fundamental de soluciones lo constituyen las dos funciones sinusoidales co wt y senwt. Entonces la solucin general de la ecuacin diferencial es: (1)Derivando la ecuacin, se obtiene la velocidad del cuerpo, sta es(2)Las constantes c1 & c2 que aparecen en las ecuaciones (1) y (2) se deben determinar a partir de las condiciones iniciales de movimiento. Como la masa se encuentra inicialmente (t = 0) a una distancia X0 de la posicin de equilibrio, y se suelta con velocidad inicial V0; entonces se debe cumplir que

de donde:

Finalmente, integrando los resultados anteriores (1) a la ecuacin (2), se obtiene la siguiente expresin para la posicin instantnea de la masa en todo tiempo t:

Por otra parte, para poder analizar la ecuacin anterior conviene escribirla en cualquiera de las dos formas compactas equivalentes

Periodo:

Amplitud de la oscilacin:

Angulo de fase:

Frecuencia del oscilador:

Ejemplo:Considere una masa de 10 kg que est unida a una pared por medio de un resorte de constante k = 10 N/m. Si se alarga el resorte una distancia de 0.02 m y se suelta a partir del reposo, determine la posicin y la velocidad de la masa en el tiempo, la frecuencia de oscilacin, la amplitud, el ngulo de fase y las energa cintica y potencial en el tiempo t:1.- El PVI que modela la posicin x(t) de la masa es:

Proponiendo como solucin derivando dos veces con respecto al tiempo, usando estos resultados en la ecuacin diferencial y simplificando, obtenemos la ecuacin caracterstica

Las races de esta ecuacin son Como ambas son complejas, las dos funciones que resuelven la ecuacin diferencial, y que son linealmente independientes, son De suerte que la solucin general de la ecuacin diferencial es la combinacin lineal de ellas, es decir:

Derivando obtenemos la velocidad de la masa:

Para determinar los coeficientes c1 & c2 utilizamos las condiciones iniciales. Para ello utilizamos en el tiempo t = 0 los valores X0 = 0.02 y V=0: As obtenemos:

Finalmente, usando los coeficientes en las expresiones para la posicin y la velocidad, obtenemos:

Tanto la posicin como la velocidad son funciones sinusoidales de frecuencia natura Periodo Amplitud La frecuencia de oscilacin es

El ngulo de fase es Por otra parte la energa cintica y potencial estn dadas por

Vibraciones Amortiguadas LibresContinuando el desarrollo del estudio de las vibraciones, supongamos que se agrega ahora un dispositivo mecnico (amortiguador) al sistema masa-resorte que tiene el efecto de reducir la velocidad de la masa cuando el sistema se encuentra vibrando (vase la figura a continuacin).

El amortiguador ejerce una fuerza dependiente de la velocidad de la masa; entre mayor sea la velocidad, mayor es la fuerza que ejerce. Por simplicidad supondremos que esta fuerza en magnitud es proporcional a la rapidez, es decir: |FA|= c|v.(t)|, donde c > 0 es la constante de proporcionalidad.Entonces, la fuerza que ejerce el amortiguador es

donde el signo negativo indica que la fuerza de amortiguacin va en sentido contrario a la velocidad del cuerpo. La fuerza total ejercida sobre la masa es, entonces:

lo que se puede escribir como:

Es de notar que todos los parmetros del modelo (m, c y k) son cantidades positivas. La misma ecuacin diferencial modela al sistema masa-resorte colocado verticalmente.La ecuacin caracterstica de la ecuacin diferencial es:

Las dos soluciones de esta ecuacin cuadrtica son

El signo del radicando determina el tipo de movimiento del sistema. Tenemos tres posibilidades: que el radicando en cuestin sea positivo, negativo o cero. Analicemos a continuacin cada uno de estos casos.Movimiento sobre amortiguado > 0 es decir c > En el caso > 0 las dos races que aparecen en (1) son diferentes y ambas son negativas, esto implica directamente que la solucin de la ED lineal homognea es:

Las dos funciones exponenciales que aparecen en (2) son decrecientes, en consecuencia, no se espera vibracin alguna y el sistema tiende rpidamente a regresar a su posicin de equilibrio, por esa razn decimos que el movimiento es sobre amortiguado. La forma explcita del movimiento depende de las condiciones iniciales, que adems sirven para determinar las constantes c1, c2.Por ejemplo, consideremos el caso de un sistema masa-resorte-amortiguador con condiciones iniciales X(0) = X0, V(0) = 0. La primera condicin X(0) = X0 se obtiene evaluando la expresin (2) en el tiempo t = 0. As obtenemos:(3)Derivando la ecuacin (2), obtenemos:

Evaluando en t D 0, obtenemos la segunda ecuacin a considerar, es decir,

El sistema de ecuaciones lineales (3) y (4) para C1, C2 se puede resolver de diferentes formas; en este caso, si seleccionamos la regla de Cramer, obtenemos:

Finalmente, sustituyendo en (2) obtenemos la siguiente expresin para la posicin

De la ecuacin (1), tenemos que

Esto nos permite simplificar la ecuacin (5) de forma que

EjemploConsidere un sistema masa-resorte-amortiguador con las constantes siguientes:

En este caso la ecuacin diferencial por resolver es

cuya ecuacin caracterstica es

Como las dos races de esta ecuacin cuadrtica son

la solucin general de la ecuacin diferencial es

Para determinar las constantes, necesitamos calcular la velocidad y utilizar las condiciones iniciales. La velocidad se obtiene derivando la posicin y est dada por

Si ahora utilizamos las condiciones iniciales X(0)=1 & V(0)=0, obtenemos el sistema de ecuaciones siguiente:

De la segunda ecuacin se tiene Sustituyendo en la primera resulta Finalmente

As se obtiene que la posicin en todo tiempo est dada por la expresin:

de donde es posible determinar tanto la velocidad como la aceleracin, derivando una y dos veces:

Movimiento crticamente amortiguado C=En este caso las dos races de la ecuacin caracterstica son iguales a La solucin de la ecuacin diferencial homognea es Ahora consideremos, por ejemplo, que las condiciones iniciales de un sistema masa-resorte-amortiguador son x(0)=x0; v(0)= v0. Derivando la ecuacin, se obtiene la velocidad.

Las condiciones iniciales X(0)=x0; v(0)=v0 se aplican evaluando en t = 0.

Resolviendo el sistema se obtiene:

Sustituyendo en la ecuacin (5.7), obtenemos finalmente que

Ejemplo:Considere un sistema masa-resorte-amortiguador con las constantes siguientes:

Encuentre la posicin en el tiempoSOLUCINLa ecuacin diferencial del movimiento es

Las dos soluciones de esta ecuacin son iguales a r = -1, de forma que la solucin de la ecuacin diferencial es

Derivando obtenemos la velocidad:

Las constantes se determinan utilizando las condiciones iniciales x(0) = 1 & v(0)=0. Tenemos en este caso el sistema de ecuaciones

de donde c1 = c2 = 1. Sustituyendo en las expresiones de posicin y velocidad obtenemos:

Movimiento subamortiguado es decirEn este caso las dos races de la ecuacin caracterstica son complejas y estn dadas por:

La solucin general se obtiene considerando una combinacin lineal de estas dos funciones.

Definamos primero

Entonces la posicin y la velocidad estn dadas por

Ejemplo:Considere un sistema masa-resorte-amortiguador con las constantes siguientes:

Encuentre la funcin posicin.SolucinEn este caso la ecuacin diferencial que modela la posicin x(t) de la masa es

cuyas soluciones estn dadas porDos soluciones linealmente independientes son entonces

Finalmente, la solucin general de la ecuacin diferencial se obtiene considerando una combinacin lineal de las dos soluciones previas:

La velocidad instantnea se obtiene derivando la posicin

Para determinar el valor de las constantes c1 & c2, utilizamos las condiciones iniciales x(0) = 1 & v(0)= 0.Tenemos entonces el sistema de ecuaciones

cuya solucin es &Sustituyendo en la posicin y la velocidad:

Vibraciones ForzadasLos sistemas estudiados hasta ahora exhiben una dinmica que depende de ciertas constantes intrnsecas al sistema, es decir, las nicas fuerzas que actan son internas al sistema. Supondremos en esta seccin que se aplica una fuerza externa llamada de excitacin FE sobre el sistema masa-resorte-amortiguador (vase la siguiente figura):

En este caso la fuerza total ejercida sobre la masa est dada por

Usando nuevamente la segunda ley de Newton, obtenemos la ED que modela el sistema.

Esta ecuacin se puede reescribir como

o bien en la forma:

La fuerza de excitacin desempea un papel diferente al de las otras fuerzas internas del sistema, pues a veces provoca una reduccin de la velocidad y en otras provoca un aumento. Es decir, la fuerza de excitacin puede reducir o aumentar la energa cintica del sistema. Cuando la fuerza de excitacin sea distinta de cero, diremos que el sistema masa-resorte-amortiguador est forzado.Sin embargo, cuando la fuerza FE es del tipo sinusoidal

suelen ocurrir fenmenos fsicos de inters. En este caso la ecuacin por resolver es

Movimiento Vibratorio AmortiguadoUna masam1est sujeta al extremo de un resorte flexible suspendida de un soporte rgido (el techo o cualquier otro). Cuando se cambia la masam1por una masa diferente, pues el alargamiento ser obviamente distinto.Por la ley de Hooke, el resorte en s ejerce una fuerzaFopuesta al alargamiento y que es proporcional a su magnituds.La ecuacinF = ksen dondekes la constante de proporcionalidad que en diferentes resortes puede o no ser el mismo; el resorte elstico est caracterizado por el nmerok.