Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Mtodos Numricos para su Resolucin

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)

Definicin: una ecuacin diferencial es una ecuacin que involucra a una funcin y sus derivadas

Si adems la funcin depende de una nica variable independiente: ecuacin diferencial ordinaria (EDO)

Ejemplos: y'=2x2+y o y'''-7y'=6y Donde las primas (') indican el orden de la

derivada, y la x es la variable independiente En ocasiones suele usarse tambin t para

representar la variable independiente

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)

Encontrar una solucin a una EDO es encontrar una funcin y=g(x) que cumpla dicha ecuacin

Ejemplo: y'=2x2+y tiene solucin y(x)=ex-2x2-4x-4 y'''-7y'=6y tiene solucin y(x)=e-x

No siempre es posible conocer la solucin analtica de una EDO (ejemplo?)

En esos casos hay que recurrir a mtodos numricos para encontrar soluciones aproximadas a EDOs de primer orden: y'=f(x,y) dadas la condiciones iniciales x=x0 e y=y0

Mtodo de EulerEste mtodo rara vez se emplea en la prctica. Pero es de simple deduccin y permite ilustrar las tcnicas que e aplican en mtodo mssofisticados.Pretendemos resolver numricamente:

dydt = f t , y atb con y a=

Lo que obtendremos ser una tabla de valores aproximados, para algunospuntos uniformemente ditribuido en el intervalo [a,b]

t i=aih i=0,1 ,2 , , N donde h=baN es el paso o tamaodel intervalo

Mtodo de Euler

Desarrollamos y(t) en serie de Taylor alrededor del punto ti

y t i1= y t ih y ' ti 12 h

2 y ' ' t i

donde h=t i1t itruncamos a primer orden, y generamos sucesin wi (para diferenciarlodel resultado exacto yi)

w i1=wih f t i ,w i w0=

Mtodo de Euler

w i1=wih f t i ,w i w0=

Ejemplo: Mtodo de Euler

y '= yt1 0t1 y 0 =1

solucin exacta: y=tet

t w y error0,0 1,000000 1,000000 0,0000000,1 1,000000 1,004837 0,0048370,2 1,010000 1,018731 0,0087310,3 1,029000 1,040818 0,0118180,4 1,056100 1,070320 0,0142200,5 1,090490 1,106531 0,0160410,6 1,131441 1,148812 0,017371

Error en el mtodo de Euler

y t i1= y t ih f t i , y i12 h

2 y ' ' i

Por el teorema de Taylor, podemos escribir el polinomio de Taylor

El error es O(h)!

i1=y i1 y i

h f t i , y i

i1=h2 y ' ' i para algni , t iit i1

sustituyendo y operando, llegamos a

El error cometido en cada paso es

Mtodos de Runge-KuttaConsideremos nuevamente la EDO

y '= f t , y y t 0=

Para calcular el valor yi+1 en ti+1=ti+h, dado el valor yi integramos la ecuacin anterior en el intervalo [ti , ti+1]

y i1= y it i

t i1

f t , y dt

Ahora es cuestin de aproximar la integral por medio de algn mtodo numrico, en este caso por trapecios

ti

t i1

f t , y dt12h f t i , y i f ti1 , y i1

Mtodo de Runge-Kutta de orden 2Las aproximaciones son: integral mediante el mtodo de los Trapecios aproximacin de Euler inicial para yi+1

y i1= y ih f t i , y i

y i1= y ih2 [ f t i , y i f t i1y i1 ]

Mtodo de Runge-Kutta de orden 2Forma Cannica

k1=h f t i , y i

k 2=h f t i1 , y ik 1

y i1= y i12 k 1k 2

Ejemplo: y'=t-y y(0)=1 en [0 , 0.6]

t w(i) k1 k2 w(i+1)0 1,000000 -0,100000 -0,080000 0,910000

0,1 0,910000 -0,081000 -0,062900 0,8380500,2 0,838050 -0,063805 -0,047425 0,7824350,3 0,782435 -0,048244 -0,033419 0,7416040,4 0,741604 -0,034160 -0,020744 0,7141520,5 0,714152 -0,021415 -0,009274 0,6988070,6 0,698807

Mtodo de R-K de orden 3

Partimos de la misma aproximacin que RK2: slo que esta vez usamosel mtodo de simpson 1/3 para aproximar la integral

yn1= ynh6 [ f t n , y n4 f t n12 , yn12 f t n1 , yn1]

yn1/2= ynh2 f t n , yn

yn1= ynh [ f t n , yn1 f yn1 /2 ]donde q es un parmetro que debe optimizarse a los efectos de minimizar el error

Mtodo de R-K de orden 3

En forma cannica, esto queda expresado as:

k1=h f tn , yn

k 2=h f tnh2, y n

12k 1

k3=h f t nh , y n k 11k 2

yn1=yn16k 14 k 2k 3

Mtodo de R-K de orden 3Para encontrar el q ptimo, desarrollaremos k1, k2 y k3 en una serie deTaylor alrededor del punto (tn,yn)

k1=hf

k 2=hf 12 h

2 f t f y f 18 h

3 f t t2 f ty f yy f2

k3=hf h2 f t f y f

12 h

3 f t t2 f ty f f yy f 21 f t f y f f y

Mtodo de R-K de orden 3Consideremos el desarrollo en serie de Taylor para yn+1

yn1= ynhf h2

2 f t f y f

h3

6 f t t2 f ty f f yy f

2 f t f y f y2 f

Comparando trmino a trmino con el desarrollo anterior, llegamosa que ambos desarrollos coinciden hasta el orden 3 si tomamos q=-1

k 1=h f t n , y n

k2=h f t nh2, yn

12k1

k 3=h f t nh , y nk 12 k 2

yn1= yn16 k14 k 2k 3

RK3

Mtodo de Runge-Kutta de cuarto orden

ste mtodo es uno de lo ms empleado en la prctica. Surge de aproximarla integral mediante la regla 1/3 de Simpson.La solucin aproximada coincide con un desarrollo en serie de Tayor hasta el cuarto orden

k1=h f t i , y i

k 2=h f t ih2, y i

k 12

k3=h f tih2, y i

k 22

k 4=h f t ih , y ik 3

y i1= y i16 [ k 12k 22 k 3k 4 ]

Ejemplo: R-K cuarto ordeny'=t-y y(0)=1 en [0,1] con h=0.1

t w(i) k1 k2 k3 k4 w(i+1)0 1,000000 -0,100000 -0,090000 -0,090500 -0,080950 0,909675

0,1 0,909675 -0,080968 -0,071919 -0,072372 -0,063730 0,8374620,2 0,837462 -0,063746 -0,055559 -0,055968 -0,048149 0,7816370,3 0,781637 -0,048164 -0,040756 -0,041126 -0,034051 0,7406410,4 0,740641 -0,034064 -0,027361 -0,027696 -0,021294 0,7130620,5 0,713062 -0,021306 -0,015241 -0,015544 -0,009752 0,6976240,6 0,697624

Errores cometidos en mtodos numricos para resolver EDOs

error de truncacin (local) error de propagacin error de redondeo (nmeros en punto flotante)

ti ti+1 ti+2

yi+2

wi+2

propagacin

truncacin

yi+1

wi+1

Ejemplo: Reactor QumicoConversin de Almidn en Glucosa

q,[Af]

q,[A]Reactor bien agitado

Se asume que la reaccin es de segundo orden respecto a concentracin de Almidn

d [A]dt

= qV[ A f ]k [ A]

2 qV[ A]

Vflujo: q=100 gal/minvol. reactor: V=10000 galconc. entrada: [Af]=5 lb/galcte. reaccin: k=0.004 gal/min-lb

Cond. iniciales: t=0 [A]=[Af]

Reactor en rgimen: [A]=0.5[Af]

Ej: Conversin de Almidn en Glucosa

Para simplificar, usaremos variables adimensionales

=tqV

dt=Vq

d

y=[ A][ A f ]

d [A]=[A f ]dy

d [A]dt

= qV[ A f ]k [ A]

2 qV[ A]

d [A]dt

= qV[ A f ]

dyd

= qV[A f ]k [A f ] y

2 qV[ A f ] y

dyd

=12 y 2 y , 0=0 , y 0=1

Ej: Reacciones secundarias en el reactor

A k 1 B

AB k 2 C

CC k3 D

V d [A]dt

=q [A f ]q[ A]k 1[A]k 2 [A][B ]

V d [B]dt

=q [B ]k 1[A]k 2 [A][B ]

V d [C ]dt

=q [C ]k 2[ A] [B]k 3[C ]2

Las EDOs asociadas a estas reacciones son:

Sea el mismo reactor donde ocurren una serie de reacciones secundarias

Sistemas de EDOs

y '= f t , y , u , v y t 0= y0u '=g t , y , u , v ut 0=u0

v '=p t , y , u , v v t 0=v0

Sistema de EDOs con condiciones iniciales

Cmo resolvemos este tipo de problemas?

Sistema de EDOsSean los vectores:

X=[ yuv ] X '=[y 'u 'v ' ] F t , X =[

f t , y , u , v g t , y , u , v

p t , y , u , v ]

Podemos aplicar simultaneamente a todas las ecuacionesalguno de los mtodos ya vistos, por ej.: RK4

K 1=F t , X

K 2=F th2

, X h2

K1

K 3=F th2

, Xh2

K 2

K 4=F th , Xh K 3

X th=X t h6 K 12 K 22 K 3K 4

De la misma manera que aplicamos RK4 podramos haberaplicado cualquiera de los otros mtodos vistos

EDOs de orden superior

Para resolver EDOs de segundo orden o superior, el truco consiste en transformar la ecuacin deorden m en un sistema de m ecuaciones de orden 1,mediante simples cambios de variables

ym= f t , y , y ' , y ' ' , , ym1 y t 0=0 , y ' t 0=1 , , y

m1t 0=m1

du1dt

=dydt

=u2du2dt

=dy 'dt

=u3dumdt

=dym1

dt= ym = f t , u1,u2 , ;um

Ejemplo: EDO de orden 3

y ' ' '= y 't y2

Lo transformamos en un sistema de 3 EDOs de primer orden, mediante los cambios de variable

y '=uu '=vv '=uty2