Aplicaciones

UG

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias IAplicaciones de las ecuaciones diferenciales

Jose Luis Alonzo Velazquez

Universidad de Guanajuato

Sesion 47

Jose Luis Alonzo Velazquez Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I

AplicacionesAplicaciones BiologicasAplicaciones a la Quımica

APLICACIONESBIOLOGICAS

Jose Luis Alonzo Velazquez Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I

AplicacionesAplicaciones BiologicasAplicaciones a la Quımica

Crecimiento Biologico:

Un problema fundamental en la biologıa es el crecimiento, sea esteel crecimiento de una celula, un organismo, un ser humano, unaplanta o una poblacion. La ecuacion diferencial fundamental es:

dy

dt= ay

cuya solucion esy = Ceat

Donde C es una constante arbitraria. De esto vemos que elcrecimiento ocurre si C > 0 mientras que el decaimiento (oencogimiento) ocurre sı C < 0.

Jose Luis Alonzo Velazquez Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I

AplicacionesAplicaciones BiologicasAplicaciones a la Quımica

Problema: Crecimiento de Bacterias

Un cultivo al inicio tiene P0 cantidad de bacterias. En t = 1 sedetermina que el numero de bacterias es 3

2P0. Si la rapidez esproporcional al numero de bacterias P(t) presentes en el tiempo t,determine el tiempo necesario para que se triplique el numero debacterias.

Jose Luis Alonzo Velazquez Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I

AplicacionesAplicaciones BiologicasAplicaciones a la Quımica

Solucion:

Primero se resuelve la ecuacion diferencial

dP

dt= kP

.

Se calcula el valor de la constante de integracion evaluando ent = 0.

Se calcula k evaluando la solucion en t = 1.

Se resuelve la ecuacion 3P0 = P0ekt .

Jose Luis Alonzo Velazquez Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I

AplicacionesAplicaciones BiologicasAplicaciones a la Quımica

Solucion:

Primero se resuelve la ecuacion diferencial

dP

dt= kP

.

Se calcula el valor de la constante de integracion evaluando ent = 0.

Se calcula k evaluando la solucion en t = 1.

Se resuelve la ecuacion 3P0 = P0ekt .

Jose Luis Alonzo Velazquez Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I

AplicacionesAplicaciones BiologicasAplicaciones a la Quımica

Solucion:

Primero se resuelve la ecuacion diferencial

dP

dt= kP

.

Se calcula el valor de la constante de integracion evaluando ent = 0.

Se calcula k evaluando la solucion en t = 1.

Se resuelve la ecuacion 3P0 = P0ekt .

Jose Luis Alonzo Velazquez Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I

AplicacionesAplicaciones BiologicasAplicaciones a la Quımica

Solucion:

Primero se resuelve la ecuacion diferencial

dP

dt= kP

.

Se calcula el valor de la constante de integracion evaluando ent = 0.

Se calcula k evaluando la solucion en t = 1.

Se resuelve la ecuacion 3P0 = P0ekt .

Jose Luis Alonzo Velazquez Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I

AplicacionesAplicaciones BiologicasAplicaciones a la Quımica

Crecimiento Exponencial

Jose Luis Alonzo Velazquez Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I

AplicacionesAplicaciones BiologicasAplicaciones a la Quımica

APLICACIONESA LA

QUIMICA

Jose Luis Alonzo Velazquez Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I

AplicacionesAplicaciones BiologicasAplicaciones a la Quımica

Ejemplo:

Un tanque esta lleno con 10 galones (abreviacion gal) de aguasalada en la cual estan disueltos 5lb de sal. Si el agua salada estaconteniendo 3lb de sal por gal que entra al tanque a 2 gal porminuto y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.

Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.

¿Cuanta sal esta presente despues de 10min?

¿Cuanta sal esta presente despues de un tiempo largo?

Grafique la solucion en [0,100].

Jose Luis Alonzo Velazquez Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I

AplicacionesAplicaciones BiologicasAplicaciones a la Quımica

Ejemplo:

Un tanque esta lleno con 10 galones (abreviacion gal) de aguasalada en la cual estan disueltos 5lb de sal. Si el agua salada estaconteniendo 3lb de sal por gal que entra al tanque a 2 gal porminuto y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.

Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.

¿Cuanta sal esta presente despues de 10min?

¿Cuanta sal esta presente despues de un tiempo largo?

Grafique la solucion en [0,100].

Jose Luis Alonzo Velazquez Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I

AplicacionesAplicaciones BiologicasAplicaciones a la Quımica

Ejemplo:

Un tanque esta lleno con 10 galones (abreviacion gal) de aguasalada en la cual estan disueltos 5lb de sal. Si el agua salada estaconteniendo 3lb de sal por gal que entra al tanque a 2 gal porminuto y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.

Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.

¿Cuanta sal esta presente despues de 10min?

¿Cuanta sal esta presente despues de un tiempo largo?

Grafique la solucion en [0,100].

Jose Luis Alonzo Velazquez Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I

AplicacionesAplicaciones BiologicasAplicaciones a la Quımica

Ejemplo:

Un tanque esta lleno con 10 galones (abreviacion gal) de aguasalada en la cual estan disueltos 5lb de sal. Si el agua salada estaconteniendo 3lb de sal por gal que entra al tanque a 2 gal porminuto y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.

Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.

¿Cuanta sal esta presente despues de 10min?

¿Cuanta sal esta presente despues de un tiempo largo?

Grafique la solucion en [0,100].

Jose Luis Alonzo Velazquez Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I

AplicacionesAplicaciones BiologicasAplicaciones a la Quımica

Formulacion del modelo Matematico:

Sea A el numero de libras de sal en el tanque despues de t minutos.Luego dA

dt es la tasa de cambio de esta cantidad de sal en el tiempoy esta dada por:

Jose Luis Alonzo Velazquez Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I

AplicacionesAplicaciones BiologicasAplicaciones a la Quımica

Formulacion del modelo Matematico:

Sea A el numero de libras de sal en el tanque despues de t minutos.Luego dA

dt es la tasa de cambio de esta cantidad de sal en el tiempoy esta dada por:

dAdt = tasa de cantidad ganada - tasa de cantidad perdida

Jose Luis Alonzo Velazquez Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I

AplicacionesAplicaciones BiologicasAplicaciones a la Quımica

Formulacion del modelo Matematico:

Sea A el numero de libras de sal en el tanque despues de t minutos.Luego dA

dt es la tasa de cambio de esta cantidad de sal en el tiempoy esta dada por:

dAdt = tasa de cantidad ganada - tasa de cantidad perdida

Puesto que entran 2gal/min. conteniendo 3lb/gal de sal tenemosque la cantidad de sal que entra por minuto es:

Jose Luis Alonzo Velazquez Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I

AplicacionesAplicaciones BiologicasAplicaciones a la Quımica

Formulacion del modelo Matematico:

Sea A el numero de libras de sal en el tanque despues de t minutos.Luego dA

dt es la tasa de cambio de esta cantidad de sal en el tiempoy esta dada por:

dAdt = tasa de cantidad ganada - tasa de cantidad perdida

Puesto que entran 2gal/min. conteniendo 3lb/gal de sal tenemosque la cantidad de sal que entra por minuto es:

2gal / min. x 3 lb./gal = 6 lb./min. Lo cual es la tasa a la cual segana sal.

Jose Luis Alonzo Velazquez Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I

AplicacionesAplicaciones BiologicasAplicaciones a la Quımica

Como siempre hay 10 gal en el tanque y debido a que hay A librasde sal en cualquier tiempo t, la concentracion de sal al tiempo t esA libras por 10gal.

Jose Luis Alonzo Velazquez Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I

AplicacionesAplicaciones BiologicasAplicaciones a la Quımica

Como siempre hay 10 gal en el tanque y debido a que hay A librasde sal en cualquier tiempo t, la concentracion de sal al tiempo t esA libras por 10gal.

La cantidad de sal que sale por minuto es, por tanto,Alb / 10gal x 2gal / min. = 2A lb. / 10min. = A lb./ 5min.

Jose Luis Alonzo Velazquez Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I

AplicacionesAplicaciones BiologicasAplicaciones a la Quımica

Como siempre hay 10 gal en el tanque y debido a que hay A librasde sal en cualquier tiempo t, la concentracion de sal al tiempo t esA libras por 10gal.

La cantidad de sal que sale por minuto es, por tanto,Alb / 10gal x 2gal / min. = 2A lb. / 10min. = A lb./ 5min.

de: dAdt ,(6 lb./min.) y (A lb./5min) tenemos que: dA

dt = 6− A/5.Puesto que inicialmente hay 5lb. de sal, tenemos que A = 5 ent = 0.

Jose Luis Alonzo Velazquez Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I

AplicacionesAplicaciones BiologicasAplicaciones a la Quımica

Ası, la formulacion matematica completa es:

dAdt = 6− A/5

A = 5 en t = 0.

Jose Luis Alonzo Velazquez Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I

AplicacionesAplicaciones BiologicasAplicaciones a la Quımica

Solucion:

Usando el metodo de separacion de variables, tenemos:

(dA/30− A) = (dt/5) o − ln(30− A) = t/5 + c

Puesto que A = 5 en t = 0, c = −ln25.Ası,

−ln(30− A) = t/5− ln25 = ln[(30− A)/25] = A = 30− 25e

La cual es la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t.Al final de los 10min. la cantidad de sal es A = 30− 25e2 = 26.6lb.Despues de un tiempo largo, vemos que A = 30lb.

Jose Luis Alonzo Velazquez Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I

AplicacionesAplicaciones BiologicasAplicaciones a la Quımica

Problema para clase, un punto a quien lo termine

Dos quımicos, A y B, reaccionan para formar otro quımico C. Seencuentra que la tasa a la cual C se forma varia con las cantidadesinstantaneas de los quımicos A y B presentes. La formacionrequiere 2lb. de A por cada libra de B. Sı 10lb. de A y 20lb. de Bestan presentes inicialmente, y si 6lb. de C se forman en 20min. ;Encontrar la cantidad del quımico C en cualquier tiempo.

Jose Luis Alonzo Velazquez Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I

AplicacionesAplicaciones BiologicasAplicaciones a la Quımica

Ecuaciones Diferenciales, Zill D.G. 6ed (1997).

Introduccion a las ecuaciones diferenciales. Nueva editorialinteramericana S.A. de C.V. Shepley L. Ross (1983).

http://maxima.sourceforge.net/

http://www.singular.uni-kl.de/

http://www.r-project.org/

Jose Luis Alonzo Velazquez Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I