ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON CONDICIONES …

1

ECUACIONES

DIFERENCIALES

ORDINARIAS CON

CONDICIONES DE BORDE

Universidad Simón Bolívar

2

Capítulo IV

Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones de borde

Método del Disparo para problemas lineales

Método del Disparo para problemas no-lineales

Aplicación con MATLAB

Referencias

3


En algunas ocasiones, las condiciones sobre la EDO se

conocen en puntos distintos. En este caso tratamos con

lo que se denomina un problema de valor de la

frontera. En el caso de ecuaciones de 2do orden estos

problemas pueden escribirse como

La solución numérica de ésta EDO dependerá de la

garantía de existencia de una solución única.

=dx

dyyxf

dx

yd,,

2

2

bxa ≤≤( )( )

==

βα

by

ay

4


Esa existencia esta garantizada siempre y cuando

(a) f y sus derivadas parciales

sean continuas en

y

f

y

f

′∂∂

∂∂

,

( ){ }∞<′<−∞∞<<−∞≤≤′= yybxayyxD ,,/,,

(b) se verifique que, en el dominio D

( ) 0,, >′∂∂

yyxy

f

( ) Myyxy

f ≤′∂∂

,, M=constante

5


En el caso que f se puede expresar como

se tiene que la EDO es lineal y, una solución única existe

si

(a) p(x),q(x) y r(x) son continuas en [a,b]

(b) q(x)>0

En el caso del problema lineal, la solución puede ser

hallada resolviendo los problemas de valor inicial

( ) ( ) ( ) ( )xryxqyxpyyxf ++′=′,,

( ) ( ) ( )xryxqyxpy ++′=′′ bxa ≤≤ ( ) ( ) 0; =′= ayay α

( ) ( )yxqyxpy +′=′′ bxa ≤≤ ( ) ( ) 1;0 =′= ayay

6


Si las soluciones a cada uno de esos problemas son

y1(x) y y2(x) tendremos que la solución al problema de

valor en la frontera es dado por

( ) ( ) ( )( ) ( )xyby

byxyxy 2

2

11

−+= β

siempre y cuando y2(b)≠0.Esto puede verse sustituyendo y(x) en la EDO original

( ) ( ) ( )xryxqyxpy ++′=′′

7


Tenemos

Reagrupando comprobamos que

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) +

−+=

−+'

2

2

11

''

2

2

11 xy

by

byxyxpxy

by

byxy

ββ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xrxyby

byxyxq +

−++ 2

2

11

β

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]+−−− xrxyxqxyxpxy 1

'

1

''

1

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 02

'

2

''

2

2

1 =−−

−xyxqxyxpxy

by

byβ

0

0

8


Sobre los extremos tenemos

El método del disparo se basa en la solución de los

problemas de valor inicial

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) αβαβ =−+=−+= 02

12

2

11

by

byay

by

byayay

( ) ( ) ( )( ) ( ) ββ =−+= byby

bybyby 2

2

11

( ) ( ) ( )xryxqyxpy ++′=″111

bxa ≤≤ ( ) ( ) 0; 11 =′= ayay α

( ) ( ) 222 yxqyxpy +′=″bxa ≤≤ ( ) ( ) 1;0 22 =′= ayay

utilizando cualquiera de los métodos ya estudiados para

luego aplicar la relación ( ) ( ) ( )( ) ( )xyby

byxyxy 2

2

11

−+= β

9


Aplicación: El problema de valor en la frontera

tiene la solución exacta

( ) ( ) ( ) 22y,11y ;21 ;ln2222

==≤≤++′−=′′ xx

xseny

xyx

y

)cos(ln10

1)(ln

10

32

21 xxseny

x

cxcy −−′+=

donde

( ) ( )[ ]

21

2

10

11

2lncos42ln12870

1

cc

senc

−=

−−=

Encuentre la solución numérica y compárela con la

solución exacta.

10


Verifiquemos que este problema tiene solución única.

(a) La función

es continua en 1≤x≤2; -∞ ≤y≤ ∞; -∞ ≤y´≤ ∞ .

(b) Las derivadas ∑f/∑y y ∑f/∑y´

( ) ( )22

ln22,,

x

xseny

xyx

yyxf ++′−=′

( )2

2,,

xyyxf

y=′

∂∂

son continuas en 1≤x≤2; -∞ ≤y≤ ∞; -∞ ≤y´≤ ∞ .

( )x

yyxfy

2,, −=′

′∂∂

(c) ( ) 02

,,2

>=′∂∂

xyyxf

y

en 1≤x≤2; -∞ ≤y≤ ∞; -∞ ≤y´≤ ∞ .

11


(d) Existe M=2 tal que

en 1≤x≤2; -∞ ≤y≤ ∞; -∞ ≤y´≤ ∞ .

Verifiquemos ahora que el problema es lineal.

Entonces f(x,y,y´) se expresa como

donde

( ) M2

,,2

≤=′∂∂

xyyxf

y

( ) ( ) ( ) ( )xryxqyxpyyxf ++′=′,,

( )22

ln)( ;

2)( ;

2)(

x

xsenxr

xxq

xxp ==−=

12


Aún cuando no hace falta verificar que el problema

lineal tiene solución única (ya fue verificado para la

ecuación de 2do orden), con fines didácticos podemos

verificar que:

(e) p(x), q(x) y r(x) son continuas en [a,b]

(f) q(x)>0 en [a,b]

por lo que el problema tiene solución única.

Los problemas de valor inicial a resolver son:

( ) ( ) ( ) 01,11 ;21 ;ln22

1121211 =′=≤≤++′−=″yyx

x

xseny

xyx

y

( ) ( ) 11,01 ;21 ;22

222222 =′=≤≤+″−=″yyxy

xyx

y

13


Un programa en Matlab que permite resolver ambas

ecuaciones de 2do orden es mostrado a continuación

14


15


16


La solución se presenta a continuación:

x y1 y2 y_num y_exacta Error

1.000 1.00000000 0.00000000 1.00000000 1.00000000 0.00000000000

1.100 1.00896058 0.09117986 1.09262916 1.09262930 0.00000013435

1.200 1.03245472 0.16851175 1.18708471 1.18708484 0.00000013367

1.300 1.06674375 0.23608704 1.28338227 1.28338236 0.00000009780

1.400 1.10928795 0.29659067 1.38144589 1.38144595 0.00000006016

1.500 1.15830000 0.35184379 1.48115939 1.48115942 0.00000003063

1.600 1.21248371 0.40311695 1.58239245 1.58239246 0.00000001077

1.700 1.27087454 0.45131840 1.68501396 1.68501396 0.00000000054

1.800 1.33273851 0.49711137 1.78889854 1.78889853 0.00000000505

1.900 1.39750618 0.54098928 1.89392951 1.89392951 0.00000000441

2.000 1.46472815 0.58332538 2.00000000 2.00000000 0.00000000000

17

Capítulo IV

Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias




Referencias

18


Cuando el problema a resolver no es lineal, su solución

no puede expresarse como una combinación lineal de

soluciones.

Una opción para resolver el problema

consiste en resolver la sucesión de problemas de valor

inicial

=dx

dyyxf

dx

yd,,

2

2

bxa ≤≤( )( )

==

βα

by

ay

=dx

dyyxf

dx

yd,,

2

2

bxa ≤≤( )( )

=′=tay

ay α

hasta encontrar t de manera que

( ) ( ) β==∞→

bytbylim kk

,

19


El método se basa en aproximar sucesivamente la

solución de la EDO no lineal cambiando la pendiente

(“disparando”) hasta llegar, con una tolerancia dada a

“acertar” la condición de frontera en el punto x=b.

Para determinar los parámetros tk debemos resolver la

ecuación

( ) 0, =− βtby

para lo cual podemos utilizar un método iterativo

como el de la secante

( )( ) ( )

21

21

11 ,,

,

−−

−−

−−

−−

−−=

kk

kk

kkk

tt

tbytby

tbytt

β

20


Dos valores iniciales de t hacen falta para iniciar el

proceso iterativo. Ellos pueden ser construidos a partir

de:

Los pasos a seguir son los siguientes:

0.- Determinamos t0 y t1 con las expresiones anteriores

1.- Con el valor de t0 determine la solución del

problema

abt

−−= αβ

0ab

t−−= αβ

9.01

=dx

dyyxf

dx

yd,,

2

2

bxa ≤≤( )( )

=′=

0tay

ay α

Obtenga ( ) ( )bytby =0,

21



problema

3.- Determine el valor de t2 a partir de

=dx

dyyxf

dx

yd,,

2

2

bxa ≤≤( )( )

=′=

1tay

ay α


( )( ) ( )

01

01

112 ,,

,

tt

tbytby

tbytt

−−

−−= β

22



problema

5.- Si es menor a cierta tolerancia, la

solución y obtenida es la solución numérica sino haga

=dx

dyyxf

dx

yd,,

2

2

bxa ≤≤( )( )

=′=

2tay

ay α


( ) β−2, tby

( ) ( ) ( ) ( )2110

2110

,, ;,,

;

tbytbytbytby

tttt

====

y repita los pasos 3 al 5 hasta la convergencia.

23


Ejemplo: Encontrar la solución del problema de valor

en la frontera

Para resolver este problema, debemos resolver de

manera sucesiva los problemas:

( )yyxy ′−+=′′ 32328

131 ≤≤ x

==

3/43)3(

17)1(

y

y

( )yyxdx

yd ′−+= 3

2

2

2328

1 ( )( )

=′=ty

y

1

17131 ≤≤ x

El procedimiento seguido es el siguiente:

0.- Determinamos t0 y t1

33333.113

173

43

0 −=−

−=

−−=ab

tαβ 2.1

13

34317

9.01 −=

−

−=t

24


1.- Con el valor de t0=1.3333 determinamos la

solución del problema

( )( )

−=′=

33333.11

171

y

y

Obtenga ( ) ( ) .20.4792...3....33333.1,3 == yy

( )yyxy ′−+=′′ 32328

131 ≤≤ x

2.- Con el valor de t1= 1.2 determine la solución del

problema

( )( )

−=′=

2.11

171

y

y

Obtenga ( ) ( ) 20.5338...32.1,3 == yy

( )yyxy ′−+=′′ 32328

131 ≤≤ x

25


3.- Determine el valor de t2 a partir de

( )( ) ( ) .16.3389...-

...3333.12.1

...4792.20...5338.20

3/43...5338.202.1

,,

,

01

01

112 =

+−−

−−−=

−−

−−=

tt

tbytby

tbytt

β

(se utilizaron todos los decimales en la operación)

4.- Con el valor de t2 =-16.3389.. determine la solución

del problema

( ) ( ) 12.891933389.16,3 ==− yy

( )( )

−=′=

3389.161

171

y

y( )yyxy ′−+=′′ 32328

131 ≤≤ x

Obtenga

26


5.- Si

es menor a cierta tolerancia, la solución y obtenida es

la solución numérica sino haga

( ) 1.44153/438919.12, 2 =−=− βtby

( ) ( ) ( ) ( ) 8919.12,, ;20.5338,,

-16.3389 ;2.1

2110

2110

======−==

tbytbytbytby

tttt

y repita los pasos 3 al 5 hasta la convergencia.

La gráfica del proceso de convergencia es mostrada en

la figura siguiente:

27

Método del Disparo para problemas no-linealest y

1.00 17.00000000

1.10 15.75547517

1.20 14.77335271

1.30 13.99770094

1.40 13.38856550

1.50 12.91664509

1.60 12.55996299

1.70 12.30171308

1.80 12.12882377

1.90 12.03097526

2.00 11.99991165

2.10 12.02894955

2.20 12.11262071

2.30 12.24640787

2.40 12.42654662

2.50 12.64987487

2.60 12.91371697

2.70 13.21579366

2.80 13.55415128

2.90 13.92710562

3.00 14.33319703

1 1.5 2 2.5 3 3.510

12

14

16

18

20

22 EDO 2do Orden no lineal

x

y

28


29


30


31

Capítulo IV





Referencias

32

Aplicación en MATLAB

En MATLAB escribimos nuestra ecuación diferencial

ordinaria original

como un sistema de EDO de primer orden

( )3

'

' 1'' 32 2

8

dyy

dx

dyy x yy

dx

=

′= = + −

( )yyxy ′−+=′′ 32328

131 ≤≤ x

==

3/43)3(

17)1(

y

y

con las condiciones de borde

(1) 17 (3) 43/ 3y y= =

33


Luego, definimos las funciones

y el sistema se escribe como

1

12 '

y y

dyy y

dx

=

= =

con las condiciones de borde

1 1(1) 17 (3) 43/ 3y y= =

( )2

231

2 1 22

'

1' '' 32 2

8

y y

d yy y x y y

dx

=

= = = + −

34


Se generan los archivos .m que incluyen a las EDO:function dydx = twoode(x,y)

dydx = [ y(2)

(1/8)*(32+2*(x.^3)-y(1).*y(2))];

y a las condiciones de bordefunction res = twobc(ya,yb)

res = [ ya(1)-17

yb(1) - 43/3];

> solinit = bvpinit(linspace(1,3,5),[1 0]);

solinit define la malla (5 puntos igualmente espaciados

entre 1 y 3; y una suposición inicial para los

valores de las funciones y1(x)=1 e y2(x)=0

(constantes en este ejemplo).

35


Luego, para calcular, evaluar y graficar la solución

podemos hacer

>> sol = bvp4c(@twoode,@twobc,solinit);

>> x = linspace(1,3);

>> y = deval(sol,x);

>> plot(x,y(1,:));

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 312

12.5

13

13.5

14

14.5

15

15.5

16

16.5

17

36


Todos los archivos pueden escribirse en uno solo:

37

Capítulo IV





Referencias

38

Referencias

1. Análisis Numérico, Burden R., Faires J. D., 6ta

Edición, International Thomson Editores, 1998

2. Applied Numerical Methods, Carnahan B., Luther H.

A., Wilkes J. O., John Wiley and Sons, Inc, 1969

39

ECUACIONES

DIFERENCIALES

ORDINARIAS CON

CONDICIONES INICIALES

Universidad Simón Bolívar

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