Presenta:

Mtro. Javier Solis Noyola

COMPETENCIA

CONCIMIENTOS VALORES YACTUTIDES

HABILIDADES YDESTREZAS

Previo al análisis de un conjunto de ecuaciones que rigen comportamientos de sistemas físicos establecidos,

• El Alumno solucionará y simulará con un alto sentido de precisión y profesionalismo, ecuaciones diferenciales ordinarias de sistemas físicos específicos.

¿Qué es un Modelo Matemático?

E = - dφ

dt

i

• Es una representación abstracta de la realidad. La representación abstracta hace uso del simbolismo matemático; ésta involucra datos conocidos y variables por conocer.

• Los Modelos matemáticos, buscan describir la realidad mediante el simbolismo: numérico o gráfico. Esta realidad puede ser estática o dinámica.

• La finalidad del uso de los modelos matemáticos es, encontrar una descripción de un fenómeno (sistema físico o proceso), y orientar la solución a un equilibrio matemático, y que posteriormente sea aplicada en el campo real .

JUSTIFICACIÓN

PENSAMIENTO FORMAL

E = - dφ

dt

i

Modelo Matemático

V = IR

P = VI cosθ

R = ρL

A

a11I1 + a12 I2 + a13 I3 = b1

a21I1 + a22 I2 + a23 I3 = b2

a31I1 + a32 I2 + a33 I3 = b3

L d2q + R dq + 1 q = E (t)

dt2 dt C

SISTEMA FÍSICO

MÉTODO CIENTÍFICO(Antecedentes)

EXPERIMENTACIÓN CON PROTOTIPOS FÍSICOS

+

Sesión experimental Heurística en tema concreto de Campo Eléctrico (E).

Ley descubierta: E = 0

El campo Eléctrico dentro de un conductor es cero.

+ + ++

+++

+++

+

++++

++

+ + + ++

E

R

r ∞

q

E = k q r2

R

r < R E =0r = R E = Máximor ≥ R E ≠ 0 (decrece)

PROCESO DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON MODELOS MATEMÁTICOS

Solución al Sistema Físico

Identificación del Problema

Variables Involucradas

Modelo MatemáticoM (x,y) dx + N(x,y) dy = 0

SISTEMA FÍSICO

Solución y modelación matem.

tiempo (t)

Un Modelo Matemático de un sistema físico frecuentemente involucra la variable tiempo (t). La solución de un modelo representa el estado del sistema en un tiempo determinado. En otras palabras, para valores apropiados de tiempo (t), los valores de la variable (o variables) dependiente describen el sistema al sistema en el pasado, el presente y el futuro.

tiempo (t)t

T

T= f(t)

Tm

T= temperaturaTm= Temperatura del medio t= tiempo

MODELO DE LEY DE ENFRIAMIENTO DE

NEWTON

La Ley del Enfriamiento de Newton dice que un cuerpo que se está enfriando, la rapidez con que la temperatura T(t) cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante Tm del medio que lo rodea. Esto es,

En donde k es una constante de proporcionalidad.

t

T

T= f(t)

Tm

T= temperaturaTm= Temperatura del medio t= tiempo

Caso de análisis y solución.LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 300º F. Tres minutos después , su temperatura es de 200º F. ¿Cuánto demorará en enfriarse a una temperatura ambiente de 70º F?

Condiciones iniciales:

Tm = 70ºF To(0) = 300ºF

Condiciones posteriores:

T1(3) = 200ºF

Ecuación Diferencial de variables SeparablesM (x,y) dx + N(x,y) dy = 0

Solución General Solución particularCondiciones iniciales:

Tm = 70ºF , To(0) = 300ºFCondiciones posteriores:T1(3) = 200ºF

T = 70 + Cekt

Obtención de C sust. t0 = 0, T= 300

T= 70 + Cek(0)

300= 70 + C

Por tanto C= 230

T = 70 + 230ekt

Obtención de k.Sust. t1 = 3, T= 200

200 = 70 + 230ek(3)

200= 70 + 230e3k

200 – 70 =230e3k

130 = e3k

230

3k = ln (130/230)

k= - 0.19018

T = 70 +230 e-0.19018t

T = 70 + 230e-0.19018t

TIEMPO (t)

TEMPERATURA (T)0 3001 260.16636782 227.23151063 200.00063164 177.48586055 158.8704166 143.47897497 130.75317298 120.23134889 111.5317963

10 104.338916711 98.3917698412 93.4746075913 89.4090472214 86.0476000515 83.2683209316 80.9703843417 79.0704267118 77.4995221819 76.2006821420 75.1267878321 74.2388809622 73.5047504123 72.8977637224 72.3959008825 71.9809555126 71.6378744127 71.3542114228 71.1196759529 70.925759630 70.7654275731 70.6328633932 70.5232579733 70.4326350734 70.3577071335 70.29575594

30 MINUTOS APROXIMADAMENTE TARDA EN ENFRIARSE EL PASTEL

Lim 70 + 230e-0.19018t

t ∞ = 70

¿Qué se espera de un Modelo Matemático?

• Tenga una solución congruente con el comportamiento conocido del sistema físico.

• Complementar, reforzar y validar las hipótesis del sistema.

t = tiempo T(t)= Temperatura

El Medio Ambiente Externo puede ser afectado por diversosfactores que pueden ocasionar variabilidad en la Temperaturaambiente (Tm).

REFERENCIAS INFORMÁTICAS

Kreyszing, Erwin. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. Editorial Limusa.

Rainville, Earl. Ecuaciones Diferenciales. Editorial Prentice Hall.

Spiegel, Murray R.. Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. Editorial Prentice Hall.

Zill, Dennis G. Ecuaciones Difenciales con Aplicaciones.

Editorial Iberoamérica.

Ley de enfriamiento de Newton. Simulador de la ecuación de la Ley de enfriamiento de Newton. Acceso en internet , en:

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/otros/enfriamiento/enfriamiento.htm#Ley%20del%20enfriamiento%20de%20Newton