Tecnicas de Simplificacion

IES LUIS DE LUCENA. DEP. ELECTRÓNICA

UT03: Técnicas de simplificación -1-

UT3. TÉCNICAS DE SIMPLIFICACIÓN

OBJETIVOS:

� Reducir al máximo las funciones.

� Expresar en un único tipo de puerta (NAND que es la puerta universal)

1. MINTERM / MAXTERM

Pasos a seguir:

1. Entender bien el enunciado del problema.

2. Expresar la tabla de verdad.

3. Obtener la función lógica. Se puede obtener en función de términos

maxterm o minterm.

Ejemplo:

1. Enunciado. Supongo la siguiente tabla de verdad.

2.

a b (Si tiene valor cero, los niego)

a b

3. Función :

Términos MÍNTERM:

1. Observamos donde hay uno en las salidas.

2. Ponemos los términos minterm correspondientes a estas

posiciones: (Términos mínterm: Suma de productos de variables)

S = a b a b+

La suma de esos términos mínterm, es la función.

a b S 0 0 1 � 0 1 1 � 1 0 0 1 1 0



Términos MAXTERM:

1. Observamos donde hay ceros en las salidas.

2. Ponemos los términos maxterm correspondientes a estas

posiciones: Ahora son sumas.

3. El producto de los términos maxterm, es la función resultante.

Ejemplo:

a + b a + b

S = ( a + b ) (a + b )

(Términos maxterm: Productos de sumas de variables)

Ejercicio de clase: Montar el circuito de la figura y comprobar su tabla de

verdad en el entrenador:

7404

7408

7432

a b c

S

a b c

b c a b c

b c

a b c

S = a b c + a b c

a b S 0 0 1 0 1 1 1 0 0 � 1 1 0 �



Ejemplo:

Representar el siguiente sistema mediante expresiones minterm. Dicho sistema

sumará en binario el valor de las tres entradas.

1

2

S = ( a b c ) + ( a b c ) + ( a b c ) + ( a b c)

S = ( a b c ) + ( a b c ) + ( a b c ) + ( a b c )

Simplificamos S1:

1S = ( a b c ) + ( a b c ) + ( a b c ) + ( a b c) =

= c ( a b + a b ) + a b (c + c ) = a b c + a b c + a b =

= ( a b ) c + a bÅ

Simplificamos S2:

2S = a ( b c + b c ) + a ( b c + b c ) = ( b c ) a + a b cÅ

a b c S1 S2

0 0 0 0 1

0 0 1 0 0

0 1 0 0 0

0 1 1 1 0

1 0 0 0 0

1 0 1 1 0

1 1 0 1 0

1 1 1 1 1

a b c S1 S2

0 0 0 0 0

0 0 1 0 1 �

0 1 0 0 1 �

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1 �

1 0 1 1 0

1 1 0 1 0

1 1 1 1 1 �



De modo que para montar éste circuito, necesitaremos.

� 1 C. I. XOR (7486) � 1 C. I. AND (7408) � 1 C. I. OR ( 7432) � 1 C. I. NOT (7404)

a b c

S

S

a

a bÅ

b cÅ

a b

a b c

a ( b c )Å

c ( a b )Å

a b c S1 S2

0 0 0 0 0

0 0 1 0 1

0 1 0 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 1 0

1 1 1 1 1



2. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES MEDIANTE PUERTAS NAND.

� INVERSOR:

® a a a = a

� AND:

a b = a ba b

(Según Morgan)

a b = a b®

a

bab

� OR:

a b = a + b

(Según Morgan)

a + b = a + b®

a

b

a

b

a

b

� NOR:

a b = a b = a + b

(Según Morgan)

a + b = a b®

a

b

a

b

a

b

3. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES MEDIANTE ALGEBRA DE BOOLE.

Es un método laborioso visto en el tema anterior. Se aplicarían las reglas vistas

en el tema del algebra de Boole.

Ejercicio: Realiza el esquema más simple con puertas NAND para que la salida sea 1

cuando al menos una de las entradas B y C estén a 1 y salida 0 siempre que A

sea 1, independientemente del valor que tengan B y C.



S = a b c + a b c + a b c = a b c +

+ a b ( c +c ) = a b c + a b =

= a ( b + b c ) = a ( b + b ) ( b c) =

a b + a c = a b + a c = a b a c

1. Representación del circuito:

74087404

7432a

b

c

aa b

a c

S = a b + a c

Necesitaríamos:

� 1 C. I. 7404 (1) � 1 C. I. 7408 (2) � 1 C. I. 7432 (1)

2. Representación del circuito con puertas NAND:

aa b

a c

S = a b a c

Solo necesitamos 1 C. I. 7400 (4).

a b c S

0 0 0 0

0 0 1 1 �a b c

0 1 0 1 �a b c

0 1 1 1 �a b c

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 0



4. DIAGRAMAS DE KARNAUGH.

Se basa en los teoremas del Algebra de Boole para simplificar gráficamente

funciones normalmente expresadas en términos minterm.

4.1. Diagramas de Karnaugh de dos variables:

No se suele usar porque es muy básico.

1. Tabla de verdad. Por ejemplo, la de una puerta OR.

S = a b + a b + a b (En términos minterm)o

S = a + b (En términos maxterm)

S = a b + a b + a b = a b + a ( b + b ) = a b + a = ( a + a ) + ( a + b ) = a + b

Cogemos los términos minterm, rodeamos las filas en las que se encuentran {1,

2,3}

2. Dibujamos el mapa de Karnaugh para dos variables.

a \ b 0 1

0 0 1 1

1 1 2 1 3

3. Se realizan grupos de unos adyacentes en potencias de 2: 1, 2, 4,

8, 16… sin que quede ningún uno por agrupar. El grupo de unos

será lo más grande posible.

La simplificación consiste en eliminar variables que dentro de la

agrupación estén complementadas y sin complementar, es decir,

aquellas que cambian de valor.

La función resultante es la suma de todos los términos una vez

simplificado.

a b S 0 0 0 0 1 1 �a b 1 0 1 �a b 1 1 1 �a b



Otro ejemplo:

� S = a (la b la despreciamos porque cambia su valor)

4.2. Diagramas de Karnaugh de tres variables:

La variable “a” es la de mayor peso. Las dos de menor peso se ponen indicando

las columnas. En vez de ponerlo ordenado se colocan de esta manera, porque

así se ve con mayor claridad.

a \ bc 00 10 11 01

0 0 2 3 1

1 4 6 7 5

a b S

0 0 1 �a b

0 1 1 �a b

1 0 0

1 1 0

a \ b 0 1

0 1 0 1 1

1 2 3



Ejemplo:

Suponiendo que esta fuese la tabla de verdad de una función, construyo un

diagrama de Karnaugh para cada salida:

S1 = a b c + a b c + a b c + a b c

+ a b c

S0 = a b c + a b c + a b c + a b c

+ a b c

S1 = b c + a c + b c

� b c � a c

� b c

S0 = a b + a c + a b

� a b � a b

� a c

Cada grupo va a ser un término minterm, pero con variables eliminadas (las

que cambian su valor dentro del grupo, se eliminan).

Lo representamos:

a b c S1 S0 0 0 0 0 1 �a b c 1 �a b c 1 0 0 1 0 1 �a b c 2 0 1 0 0 1 �a b c 3 0 1 1 1 �a b c 0

4 1 0 0 1 �a b c 0

5 1 0 1 1 �a b c 0

6 1 1 0 0 1 �a b c 7 1 1 1 1 �a b c 1 �a b c

a \ bc 00 10 11 01

0 1 0 2 1 3 1

1 1 4 6 1 7 1 5

a \ bc 00 10 11 01

0 1 0 1 2 3 1 1

1 4 1 6 1 7 5



a b c b c

b c

a c

a b

a c

a c

1S

0S

Supongamos una función que nos de un diagrama así:

= a c + b + a cf � b � a c

� a c Si los términos de la primera y la última columna, coinciden en la misma fila, se

pueden agrupar y si los de la primera y última fila coinciden en la misma

columna, también, pero siempre en grupos de dos, o potencia de dos (cuatro,

ocho, etc.)

4.3. Diagramas de Karnaugh de cuatro variables:

Grupo {2, 3, 10, 11}� b c

Grupo {9, 11, 15, 13}� a d

Grupo {8, 9, 12, 13}� a c

Grupo {2, 6}� a d

= b c + a d + a c + a df

a \ bc 00 10 11 01

0 1 0 1 2 3 1 1

1 1 4 6 1 7 1 5

ab \ cd 00 10 11 01

00 0 1 2 1 3 1

10 1 8 1 10 1 11 1 9

11 1 12 14 1 15 1 13

01 4 1 6 7 5



(Si está bien hecho, no se puede simplificar más)

Grupo {0, 1, 4, 5}� a c

Grupo {4, 5, 6, 7}� a b

Grupo {8, 10}� a b d

Grupo {10, 11}� a b c

= a b + a c + a b d + a b cf

EJERCICIOS: (Fotocopias) 1.

a b c d S0 S1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 �a b c d 0 2 0 0 1 0 1 �a b c d 0 3 0 0 1 1 1 �a b c d 0 4 0 1 0 0 1 �a b c d 0 5 0 1 0 1 0 0 6 0 1 1 0 0 0 7 0 1 1 1 0 0 8 1 0 0 0 1 �a b c d 1 �a b c d 9 1 0 0 1 0 0

10 1 0 1 0 1 �a b c d 0 11 1 0 1 1 1 �a b c d 1 �a b c d 12 1 1 0 0 0 0 13 1 1 0 1 0 0 14 1 1 1 0 0 0 15 1 1 1 1 0 0

S0 = a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d S1 = a b c d + a b c d

ab \ cd 00 10 11 01

00 1 0 2 3 1 1

10 1 8 1 10 1 11 9

11 12 14 15 13

01 1 4 1 6 1 7 1 5



0S = a b c d + a b c ( d + d ) + a b c d + a b c d + a b c ( d + d )=

= a b c d + a b c d + a b c d + b c ( a + a ) =

= a b c d + a b c d + a b c d + b c

1 Solo con puertas NAND sería:

0S = a b c d + a b c d + a b c d + b c =

= a b c d a b c d a b c d b c

1S = a b c d + a b c d = a b c d a b c d 2.

1S = ( a + b + c ) ( a + b + c )

2S = ( a + b + c ) ( a + b + c )

( a + b + c )

1 Preguntar.

a b c S1 S2 0 0 0 0 �a + b + c 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 �a + b + c 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 �a + b + c 1 1 0 1 0 �a + b + c 1 1 1 0 �a + b +c 1



1

2

S = ( a + b + c ) ( a + b + c )

S = ( a + b + c ) ( a + b + c ) ( a + b + c )

a + b + c

a + b + c

a + b + c

a + b + c

a + b + c

1S

2S

3.

a)

b c

a ba b c

S = a b c + a b c + a b c + a b c = a b ( c + c ) + b c ( a + a ) =

= a b + b c = a b + b c = a b b c

b)



S = a c a b c

a c

a b c

a c

b c b c = b c

S = a b c + a b c + a b c = a c ( b + b ) + a b c =

= a c + a b c = a c + a b c = a c a b c

4.

S = a b c + a b c + a b c + a b c

S = a c ( b + b ) + a c ( b + b ) =

= a c + a c = a c + a c = a c a c

� a c � a c

Para S = a c + a c necesitamos:

a b c S 0 0 0 1 �a b c 0 0 1 0 0 1 0 1 �a b c 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 �a b c 1 1 0 0 1 1 1 1 �a b c

a \ bc 00 10 11 01

0 1 0 1 2 3 1

1 4 6 1 7 1 5



▪ 1 C. I.: 7408 (2 AND) ▪ 1 C. I.: 7404 (2 NOT) ▪ 1 C. I.: 7432 (1 OR)

Mientras que para: S = a c a c

▪ 2 C. I.: 7400 (5 NAND)

S = a c a c

a

c

a c

a c

5.

a b c d S 0 0 0 0 0 1 �a b c d 1 0 0 0 1 0 2 0 0 1 0 0 3 0 0 1 1 0 4 0 1 0 0 1 �a b c d 5 0 1 0 1 0 6 0 1 1 0 0 7 0 1 1 1 1 �a b c d 8 1 0 0 0 0 9 1 0 0 1 1 �a b c d

10 1 0 1 0 0 11 1 0 1 1 0 12 1 1 0 0 0 13 1 1 0 1 1 �a b c d 14 1 1 1 0 0 15 1 1 1 1 1 �a b c d



�a c d �b c d

� a c d

S = ( a c d ) + ( b c d ) + ( a c d ) =( a c d ) + ( b c d ) + ( a c d ) =

= a c d b c d a c d

a c d

a b c d

S

a c d

b c d

dca

6.

ab \ cd 00 10 11 01

00 1 0 2 3 1

10 8 10 11 1 9

11 12 14 1 15 1 13

01 1 4 6 1 7 5

a b c d S0 S1 S2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 2 0 0 1 0 0 0 0 3 0 0 1 1 0 0 0 4 0 1 0 0 1 1 0 5 0 1 0 1 0 1 0 6 0 1 1 0 0 1 1 7 0 1 1 1 0 1 1 8 1 0 0 0 1 0 1 9 1 0 0 1 0 0 1

10 1 0 1 0 0 0 0 11 1 0 1 1 0 0 0 12 1 1 0 0 1 1 0 13 1 1 0 1 1 1 0 14 1 1 1 0 1 1 1 15 1 1 1 1 1 1 1



S0:

�a b

� c d S1:

�b

� a c S2:

�b c

� b c

0

1

2

S = a b + c d = a b + c d = a b c d

S = b + a c = b + a c = b a c

S = b c + b c = b c + b c = b c b c

ab \ cd 00 10 11 01

00 1 0 2 3 1

10 1 8 10 11 9

11 1 12 1 14 1 15 1 13

01 1 4 6 7 5

ab \ cd 00 10 11 01

00 1 0 2 3 1 1

10 8 10 11 9

11 1 12 1 14 1 15 1 13

01 1 4 1 6 1 7 1 5

ab \ cd 00 10 11 01

00 1 0 2 3 11

10 1 8 10 11 1 9

11 12 1 14 1 15 13

01 4 1 6 1 7 5



a b c dc d

a b

c a

b c

b c

0S

1S

2S

7.

R V N a b c d S1 S2 S3

0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 2 0 0 1 0 1 0 0 3 0 0 1 1 0 0 1 4 0 1 0 0 1 0 0 5 0 1 0 1 0 0 1 6 0 1 1 0 0 0 1 7 0 1 1 1 0 1 0 8 1 0 0 0 1 0 0 9 1 0 0 1 0 0 1

10 1 0 1 0 0 0 1 11 1 0 1 1 0 1 0 12 1 1 0 0 0 0 1 13 1 1 0 1 0 1 0 14 1 1 1 0 0 1 0 15 1 1 1 1 0 1 0



S1:

� a b c � a b d � b c d � a c d

1S = a b d + b c d + a b c + a c d

S2:

� a b c � a b d � b c d � a c d

2S = a b d + b c d + a b c + a c d

S3:

� a b c d � a b c d � a b c d � a b c d � a b c d � a b c d

3S = a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d S3 es la negación de la suma de S1 y S2; (Siempre que R y V son 0, N es 1) R V S = R + V 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

ab \ cd 00 10 11 01

00 1 0 1 2 3 11

10 1 8 10 11 9

11 12 14 15 13

01 1 4 6 7 5

ab \ cd 00 10 11 01

00 0 2 3 1

10 8 10 1 11 9

11 12 1 14 1 15 1 13

01 4 6 1 7 5

ab \ cd 00 10 11 01

00 0 2 1 3 1

10 8 1 10 11 1 9

11 1 12 14 15 13

01 4 1 6 7 1 5



8. S0:

� a c � a b d � b c d

0S = a c + a b d + b c d

S2:

� a b d

� b c d

� a c

2S = a c + b c d + a b d S1 es la negación de la suma de S0 y S2;

a b c d fA B =A B pA B A1 A0 B1 B0 S0 S1 S2

0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 2 0 0 1 0 0 0 1 3 0 0 1 1 0 0 1 4 0 1 0 0 1 0 0 5 0 1 0 1 0 1 0 6 0 1 1 0 0 0 1 7 0 1 1 1 0 0 1 8 1 0 0 0 1 0 0 9 1 0 0 1 1 0 0

10 1 0 1 0 0 1 0 11 1 0 1 1 0 0 1 12 1 1 0 0 1 0 0 13 1 1 0 1 1 0 0 14 1 1 1 0 1 0 0 15 1 1 1 1 0 1 0

ab \ cd 00 10 11 01

00 0 2 3 1

10 1 8 10 11 1 9

11 1 12 1 14 15 1 13

01 1 4 6 7 5

ab \ cd 00 10 11 01

00 0 1 2 1 3 1 1

10 8 10 1 11 9

11 12 14 15 13

01 4 1 6 1 7 5



S0 S2 S1 = 0 2S + S

0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 (Condición que

no sucederá)

a b c d a c

a b a b d

d cb d c

a c

b cb c d

a ba b d

a c + a b d

a c + a b d + b c d

a c + b c d

a c + b c d + a b d

0S

1S

2S

0 2S S

0

1 0 2 0 2 0 2 0 2

2

S = a c + a b d + b c d

S = S + S = S + S = S S = S S

S = a c + b c d + a b d

9.

a b c d S 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 0 1 0 0 3 0 0 1 1 0 4 0 1 0 0 0 5 0 1 0 1 0 6 0 1 1 0 0 7 0 1 1 1 0 8 1 0 0 0 0 9 1 0 0 1 0

10 1 0 1 0 1 11 1 0 1 1 1 12 1 1 0 0 1 13 1 1 0 1 1 14 1 1 1 0 1 15 1 1 1 1 1



S:

� a c

� a b

S = a c + a b = a c + a b = a c a b � � 2 C. I. 1 C. I. (7408) (7400) (7432) 10. C0:

� a

0C = a

ab \ cd 00 10 11 01

00 0 2 3 1

10 8 1 10 1 11 9

11 1 12 1 14 1 15 1 13

01 4 1 6 1 7 5

B. S. valor a b c d C0 C1 C2 C3

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 0 0 1 0 3 0 0 1 1 0 0 1 1 4 0 1 0 0 0 1 0 0 5 0 1 0 1 0 1 0 1 6 0 1 1 0 0 1 1 0 7 0 1 1 1 0 1 1 1 8 1 0 0 0 1 0 0 0 9 1 0 0 1 1 1 1 1

10 1 0 1 0 1 1 1 0 11 1 0 1 1 1 1 0 1 12 1 1 0 0 1 1 0 0 13 1 1 0 1 1 0 1 1 14 1 1 1 0 1 0 1 0 15 1 1 1 1 1 0 0 1

ab \ cd 00 10 11 01

00 0 2 3 1

10 1 8 1 10 1 11 1 9

11 1 12 1 14 1 15 1 13

01 4 6 7 5



C1:

� a b c � a b d � b c d � a b

1C = a b c + a b d + b c d + a b C2:

� c d � a c d � a c

2C = c d + a c + a c d C3:

� d

3C = d

Representar gráficamente con el mínimo número de circuitos integrados.

0C = a

1C = a b c + a b d + b c d + a b

2C = c d + a c + a c d

3C = d

ab \ cd 00 10 11 01

00 0 2 3 1

10 8 1 10 1 11 1 9

11 1 12 14 15 13

01 1 4 1 6 1 7 1 5

ab \ cd 00 10 11 01

00 0 1 2 1 3 1

10 8 1 10 11 1 9

11 12 1 14 15 1 13

01 4 1 6 1 7 5

ab \ cd 00 10 11 01

00 0 2 1 3 1 1

10 8 10 1 11 1 9

11 12 14 1 15 1 13

01 4 6 1 7 1 5



▪ 7404 (4) NOT = 1 C. I.

▪ 7408 (11) AND = 3 C. I.

▪ 7432 (5) OR = 2 C. I.� Total: 6 C. I.

o

▪ 7410 (6) NAND (3 entradas) = 2 C. I.

▪ 7400 (9) NAND (2 entradas) = 3 C. I.� Total: 5 C. I.

o

▪ 7400 (7) NAND (2 entradas) = 2 C. I.

▪ 7410 (6) NAND (3 entradas) = 2 C. I.

▪ 7408 (1) AND = 1 C. I.� Total: 5 C. I.

a b c d

a b c d

a b c

a b d

a b

b c d

a c

a b d

c d

a b b c d a b b c d = a b b c d

0C

1C

2C

3C



11. S0:

� a b d � b c d � a c

0S = a b d + b c d + a c S1:

� a b c � a c d � a b c � a c d

1S = a b c + a c d + a b c + a c d

a b c d B.S. A1 A0 B1 B0 S0 S1 S2

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 2 0 0 1 0 1 1 0 3 0 0 1 1 1 1 1 4 0 1 0 0 0 0 1 5 0 1 0 1 0 0 0 6 0 1 1 0 1 0 1 7 0 1 1 1 1 1 0 8 1 0 0 0 0 1 0 9 1 0 0 1 0 0 1

10 1 0 1 0 0 0 0 11 1 0 1 1 1 0 1 12 1 1 0 0 0 1 1 13 1 1 0 1 0 1 0 14 1 1 1 0 0 0 1 15 1 1 1 1 0 0 0

ab \ cd 00 10 11 01

00 0 1 2 1 3 1 1

10 8 10 1 11 9

11 12 14 15 13

01 4 1 6 1 7 5

ab \ cd 00 10 11 01

00 0 1 2 1 3 1

10 1 8 10 11 9

11 1 12 14 15 1 13

01 4 6 1 7 5



S2:

� b d � b d

2S = b d + b d = b dÅ 12. C = 1, como en una puerta X NOR la salida es uno siempre que las entradas sean iguales, entonces B = 1, y como en la X OR, para que la salida sea uno, han de ser distintas, entonces A = 0. = ( a b ) ( b c ) cf Å Å

a b c X 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 0 5 1 0 1 0 6 1 1 0 0 7 1 1 1 0

13. Cuando L = 1 y C = 0 � S = 1 Y cuando P = 1 y C = 1 � S = 1

ab \ cd 00 10 11 01

00 0 2 1 3 1 1

10 8 10 1 11 1 9

11 1 12 1 14 15 13

01 1 4 1 6 7 5

P C L a b c S 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 3 0 1 1 0 4 1 0 0 0 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 1



� b c � a b

S = b c + a b 14.

a b c d S 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 0 1 0 0 3 0 0 1 1 1 4 0 1 0 0 0 5 0 1 0 1 1 6 0 1 1 0 1 7 0 1 1 1 1 8 1 0 0 0 0 9 1 0 0 1 1

10 1 0 1 0 1 11 1 0 1 1 1 12 1 1 0 0 1 13 1 1 0 1 1 14 1 1 1 0 1 15 1 1 1 1 1

S:

� c d � a c � a d � a b � b d � b c

S = a b + a c + a d + b c + b d + c d = a b + a c + a d + b c + b d + c d =

= a b a c a d b c b d c d

En términos maxterm: S = ( a + b + c + d ) ( a + b + c + d ) ( a + b + c + d ) ( a + b + c + d )

( a + b + c + d )

a \ bc 00 10 11 01

0 0 2 3 1 1

1 4 1 6 1 7 1 5

ab \ cd 00 10 11 01

00 0 2 1 3 1

10 8 1 10 1 11 1 9

11 1 12 1 14 1 15 1 13

01 4 1 6 1 7 1 5



� a + b + c � a + b + d � b + c + d � a + c + d

S = ( a + b + c ) ( a + b + d ) ( a + c + d ) ( b + c + d )

ab \ cd 00 10 11 01

00 1 0 1 2 3 1 1

10 1 8 10 11 9

11 12 14 15 13

01 1 4 6 7 5

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