Sucesiones y Series

INDICE

8. SUCESIONES Y SERIES NUMERICAS 1618.1. DEFINICION Y EJEMPLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1618.2. SUCESION CONVERGENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1628.3. TEOREMAS Y EJEMPLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1638.4. SUCESION MONOTONA Y EL NUMERO eee . . . . . . . . . . . . . . . . 1678.5. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698.6. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1708.7. SERIES NUMERICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1728.8. SERIE GEOMETRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738.9. CRITERIOS DE CONVERGENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

8.9.1. Criterio de Comparacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1778.9.2. Criterio de Comparacion por lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . 1798.9.3. Criterio de la raz de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1808.9.4. Criterio de la razon de D`Alambert . . . . . . . . . . . . . . . . . 1818.9.5. Criterio de la Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1828.9.6. Criterio de Leibnitz, para series alternantes . . . . . . . . . . . . 183

8.10. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

CAPITULO 8

SUCESIONES Y SERIES NUMERICAS

8.1. DEFINICION Y EJEMPLOS

Un conjunto ordenado de numeros se llama una sucesion, es decir, si armamos que unconjunto de numeros esta en sucesion, es que en dicho conjunto existe un primer elemento,un segundo elemento y as sucesivamente.

Formalmente, una sucesion de numeros reales es una funcion denotada a que asigna acada numero natural, un numero real.

Denicion 8.1.1. Se llama sucesion real o sucesion numerica a la funcion

a : D N! R tal que n 7! a(n):

Observacion 8.1.1.

a) La imagen a(n) se denota por an y decimos que es el n-esimo termino.

b) Podemos denotar la sucesion a por (an)n2N donde an es el termino general o terminon-esimo de la sucesion.

c) Otra forma de presentar una sucesion es mediante una ley de recurrencia, dondecada termino, excepto el primero, se expresa en funcion de terminos anteriores.

Ejemplo 8.1.1.

1. La sucesion

nn+1

n2N

tiene como termino general a an =n

n+1 de donde los tres

primeros terminos son a1 =12 ; a2 =

23 ; a3 =

34 ; : : :. Observe que los terminos son

decrecientes e intuitivamente, podemos postular que la sucesion tiende a 1.

161

162 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA

2. Sea (an)n2N una sucesion tal que a1 =p2 y an =

p2an1, n > 1.

En esta sucesion, denida recursivamente o por recurrencia tenemos

a1 =p2 ; a2 =

q2p2 ; a3 =

r2

q2p2 ; : : :

Podra interesarnos determinar el n-esimo termino de la sucesion, el cual sea inde-pendiente del conocimiento del termino anterior; con un poco de algebra basica y eluso de las secciones anteriores podemos realizarlo; tenemos,

a1 = 212 ; a2 = 2

12+ 122 ; a3 = 2

12+ 122+ 123 ; : : : ; an = 2

12+ 122+ 123++ 1

2n :

La expresion 12 +122

+ 123

+ + 12n es la suma de los n primeros terminos de unaprogresion geometrica con primer elemento a1 =

12 y razon r =

12 ; esta suma es

S =1

2 1

12

n1 12

= 11

2

n;

as, el termino general de la sucesion es an = 21( 12)

n

.

Si n crece indenidamente, >existe algun numero real al cual se aproxime an?.

8.2. SUCESION CONVERGENTE

Denicion 8.2.1. La sucesion (an)n2N tiene lmite L 2 R cuando n crece indenidamentesi y solo si 8 " > 0 9n0 2 N tal que 8n > n0 se cumple jan Lj < ".

Observacion 8.2.1.

1. Denotamos lmn!1 an = L o abreviadamente an

!n!1L.

2. Si la sucesion (an)n2N tiene lmite decimos que la sucesion es convergente, en casocontrario la sucesion es divergente.

Ejemplo 8.2.1. Demuestre que lmn!1

1

n= 0.

Solucion. Debemos demostrar que para todo " > 0 existe n0 2 N tal que 8n > n0 secumple

1n 0

< ".Como 1n > 0 entonces

1n

= 1n de donde, a partir de 1n < " concluimos que n > 1" . Taln0 es cualquier natural mayor que

1" .


1

npq

= 0, p; q 2 Z+.

Solucion. Sea" > 0 y consideremos el real1"

qp entonces, por Arqumedes existe n0 2 N

tal que n0 >1"

qp . Sea n 2 N, n > n0 entonces n >

1"

qp , obtenemos " >

1n

pq ; as, para

" > 0 dado, existe n0 2 N tal que si n > n0 concluimos que1n

pq < ".

Esto ultimo dice que lmn!1

1

npq

= 0.

HERALDO GONZALEZ SERRANO 163

Teorema 8.2.1. Si una sucesion es convergente, su lmite es unico.

Demostracion. Supongamos que lmn!1 an = L1 y lmn!1 an = L2. La demostracion larealizaremos por reduccion al absurdo, para ello supongamos que L1 6= L2.

Como lmn!1 an = L1 y lmn!1 an = L2 entonces para " =jL1L2j

2 > 0 existiranN1; N2 2 N tal que jan L1j < "; 8n N1 y jan L2j < "; 8n N2.

Si consideramos N = max fN1; N2g entonces lasdos ultimas armaciones se cumplenconjuntamente y tenemos

" =1

2jL1 L2j = 1

2jL1 an + an L2j 1

2(jan L1j+ jan L2j) < 1

2"+

1

2" = "

esto ultimo es una contradiccion, de donde, el lmite es unico.

Denicion 8.2.2. Decimos que la sucesion (an)n2N es una sucesion acotada si existeM 2 R tal que janj M , 8n 2 N.

Teorema 8.2.2. Si (an)n2N es una sucesion convergente entonces es acotada.

Demostracion. Supongamos que lmn!1 an = L entonces, dado " > 0 existe n0 tal quejan Lj < ", 8n > n0.

Como janj jLj jan Lj < " entonces janj < " + jLj = M1. Por otro lado, existeM2 = max fja1j; ja2j; : : : ; janjg, as, si tomamos M > max fM1;M2g se cumple que janj n0 y ademas que lmn!1 an = lmn!1 bn = L, entonceslmn!1 cn = L.

Demostracion. Si lmn!1 an = L entonces existe n1 2 N tal que jan Lj < ", 8n n1,es decir L " < an < L+ ".

Si lmn!1 bn = L entonces existe n2 2 N tal que jbn Lj < ", 8n n2, es decirL " < bn < L+ ".

Como an cn bn; 8n > n0 entonces tomando N > max fn1; n2; n0g se cumple queL " < an cn bn < L+ "; 8n N , esto ultimo indica que lmn!1 cn = L.



sen(n)

n= 0.

Solucion. Como se cumple 1 sen(n) 1, 8n 2 N, entonces 1n sen(n)n 1n , lasexpresiones que acotan a sen(n)n convergen a cero, entonces por el teorema del acotamiento

obtenemos lmn!1sen(n)

n = 0.


pnpn+ 1 = 0.

Solucion. Comopnpn+ 1 = (

pnpn+1)(pn+

pn+1)p

n+pn+1

= 1pn+

pn+1

entonces

lmn!1

pnpn+ 1 = lm

n!11p

n+pn+ 1

:

Por otro lado, podemos acotar an =1p

n+pn+1

como sigue, 0 1pn+

pn+1

1pnde don-

de, como lmn!1 1pn = 0 entonces, por el Teorema del Acotamiento concluimos quelmn!1

pnpn+ 1 = 0.

Observacion 8.3.1.

1. Nuestro principal interes no es de vericar el lmite usando la denicion, sino que elde determinarlo; para ello necesitamos algo mas de teora.

2. Aceptamos la siguiente armacion. Sea (an)n2N una sucesion y f(n) = an; si lafuncion real f tiene imagen f(x) denida para x 2 R, x > 1 y si lmx!1 f(x) = Lentonces lmn!1 an = L.

Es inmediato que el siguiente Teorema no necesita de demostracion, conforme seanconocidos en el Calculo.

Teorema 8.3.2. Si lmn!1 an = L y lmn!1 bn = M , entonces

a) lmn!1 (an + bn) = L+M .

b) lmn!1 anbn = LM .

c) lmn!1 kan = kL; k 2 R.

d) lmn!1 k = k; k 2 R.

e) lmn!1

anbn

=L

M; M 6= 0.

f) Si an 0 entonces lmn!1 an 0.

g) Si an bn entonces lmn!1 an lmn!1 bn.


h) lmn!1(an)

n =lmn!1 an

n.

i) lmn!1

pan = sqrt lm

n!1 an.

j) lmn!1 ln(an) = ln

lmn!1 an

.

Ejemplo 8.3.3. Sea (an)n2N una sucesion tal que an = n3n+2 entonces

lmn!1 an = lmn!1

n

3n+ 2= lm

n!1

nn

3nn +

2n

= lmn!1

1

3 + 2n=

1

3:

Ejemplo 8.3.4. Calcule lmn!1

2n3

(3n+ 1)(2n 1)(n+ 2) .

Solucion. Simplicando por n3 obtenemos

lmn!1

2n3

n3

3n+1n 2n1n n+2n

= lmn!1

23 + 1n

2 1n

1 + 2n

= 26=

1

3:


pnq

n+pn+

pn.

Solucion.

lmn!1

pnq

n+pn+

pn

= lmn!1

pnpnq

n+pn+

pnp

n

= lmn!1

pnpnq

n+pn+

pn

n

= lmn!1

1q1 +

pn+

pn

n

= lmn!1

1r1 +

qn+

pn

n2

= lmn!1

1s1 +

r1n +

q1n3

= 1:



pn+ 1pnrn+ 1

3.

Solucion.

lmn!1

pn+ 1pnrn+ 1

3= lm

n!1

pn+ 1pn pn+ 1 +pnp

n+ 1 +pn

rn+

1

3

= lmn!1

1pn+ 1 +

pn

rn+

1

3

= lmn!1

qn+ 13p

n+ 1 +pn

= lmn!1

q1 + 13q

1 + 1n +p1

=1

2:


nXk=1

k

(k + 1)!.

Solucion.

lmn!1

nXk=1

k

(k + 1)!= lm

n!1

nXk=1

(k + 1) 1(k + 1)!

= lmn!1

nXk=1

k + 1

(k + 1)! 1

(k + 1)!

= lm

n!1

1

k! 1

(k + 1)!

= lm

n!1

nXk=1

(1)

1

(k + 1)! 1k!

= lm

n!1

1

(n+ 1)! 1

= 1:

Ejemplo 8.3.8. Determine x 2 R f0g tal que

lmn!1

an+1an < 1 donde an = 1n2 (x+ 1)n:


Solucion. Como an+1an

= 1(n+ 1)2 (x+ 1)n+1 n2(x+ 1)n

= jx+ 1j n2

(n+ 1)2

entonces

lmn!1

an+1an = lmn!1 jx+ 1j n2(n+ 1)2

= jx+ 1j lmn!1

n2

(n+ 1)2

= jx+ 1j lmn!1

n

n+ 1

2= jx+ 1j lm

n!1

1

1 + 1n

!2= jx+ 1j:

Imponiendo la condicion tenemos

lmn!1

an+1an < 1, jx+ 1j < 1, x 2 (2; 0) f1g :

8.4. SUCESION MONOTONA Y EL NUMERO eee

Denicion 8.4.1. Decimos que (an)n2N es una sucesion

a) monotona creciente si y solo si n > k ) an ak.

b) monotona decreciente si y solo si n > k ) an ak.

Teorema 8.4.1. Si la sucesion (an)n2N es creciente y acotada superiormente entonces esconvergente.

Demostracion. Si (an)n2N es acotada superiormente entonces existe supremo de la su-cesion, supongamos que tal supremo es = sup(A) donde A = fan = n 2 Ng. Por lacaracterizacion del supremo se cumple que 8 " > 0; 9 aM 2 A tal que " < aM ,as, 8" > 0; 9M 2 N tal que si n > M entonces " < aM an < + ", esta esprecisamente la condicion para que lmn!1 an = .

Teorema 8.4.2. La sucesion1 + 1n

nes convergente.

Demostracion. Demostraremos que la sucesion es creciente y acotada superiormente.


a) Acotamiento.1 +

1

n

n= 1 +

1

n n+ n(n 1)

2! 1n2

+n(n 1)(n 2)

3! 1n3

+ + n(n 1) 2 1n!

1nn

= 1 + 1 +1 1n2!

+

1 1n

1 2n

3!

+ +1 1n

1 2n

1 n1n n!

1 + 1 + 12+

1

2 2 +1

2 2 + +1

2n1

= 1 +1 12n1 12

= 1 + 2

1

1

2

n< 3:

b) Acotamiento. Demostraremos que an < an+1.

an =

1 +

1

n

n= 1 +

1

n n+ n(n 1)

2! 1n2

+n(n 1)(n 2)

3! 1n3

+ + n(n 1) 2 1n!

1nn

= 1 + 1 +1 1n2!

+

1 1n

1 2n

3!

+ +1 1n

1 2n

1 n1n n!

:

Analogamente tenemos

an =

1 +

1

n+ 1

n+1

= 1 + 1 +1 1n+1

2!+

1 1n+1

1 2n+1

3!

+ +1 1n+1

1 2n+1

1 nn+1

(n+ 1)!

:

Se nota facilmente que los sumandos de an+1 son mayor o igual que los respectivossumandos que forman an, as, an < an+1.

Como la sucesion es creciente y acotada superiormente entonces la sucesion es con-vergente y

lmn!1

1 +

1

n

n= e = 2; 71826182 : : :



3n+ 1

3n

2n.

Solucion.

lmn!1

3n+ 1

3n

2n= lm

n!1

1 +

1

3n

3n( 23)=

"lmn!1

1 +

1

3n

3n# 23= e

23 :

8.5. EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio 8.1. Compruebe que lmn!1

npa = 1, a 2 R+.

Solucion. Si a > 1 consideremos xn = npa 1 > 0 entonces (1 + xn)n = a y ademas,

a = (1 + xn)n = 1 + nxn +

n(n 1)2!

x2n + + xnn 1 + nxn;

as se cumple 0 < xn a1n . Por el Teorema de Acotamiento y como lmn!1 a1n = 0entonces lmn!1 xn = lmn!1 ( n

pa 1) = 0 de donde lmn!1 n

pa = 1.

Si a < 1 sea a0 = 1a > 1 entonces lmn!11npa= 1.

Si a = 1 la proposicion es inmediata.


npn = 1.

Solucion. Sea xn = npn 1 > 0 entonces

n = (1 + xn)n

= 1 + nxn +n(n 1)

2! x2n + + xnn

n(n 1)2

x2n;

as entonces 0 xn q

2n1 ! 0 cuando n!1; entonces

lmn!1xn = lmn!1

npn 1 = 0

de donde lmn!1 npn = 1.


nk

ak= 0, a > 1, k > 0.

Solucion. Si k = 1 sea a = 1 + h, h > 0, as,

0 0, as entonces

lmn!1

nk

an= lm

n!1

24 na1k

n35k = 0:

8.6. EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio 8.1. Calcule usando el Teorema de acotamiento

a) lmn!1

(1)nn

. Resp. 0.

b) lmn!1

n

3nResp. 0.

c) lmn!1

n+ sen(n)

n (1)n . Resp. 1.

d) lmn!1

(1)n cos(n)n2

. Resp. 0.

e) lmn!1

n+ cos(n)

3n. Resp. 0.

Ejercicio 8.2. Calcule:

a) lmn!1

n3p8n3 + 7

. Resp. 12 .

b) lmn!1

3

n+

1

2

n. Resp. 0.

c) lmn!1

1

n2+

2

n2+ + n 1

n2

. Resp. 12 .

d) lmn!1

hpn2 + 2n

pn2 + n

i. Resp. 12 .

e) lmn!1

2n4 + 3n2 + 2

5n4 + 2n

. Resp. 25 .

f) lmn!1

12 + 22 + + n2n3

. Resp. 13 .

g) lmn!1

pnp

n+ 1pn. Resp. 12 .


h) lmn!1

nXk=1

1

k(k + 1). Resp. 1.

i) lmn!1

1p

n2 + 1+

1pn2 + 2

+ + 1pn2 + n

. Resp. 1.

j) lmn!1

1

2!+

2

3!+ + n

(n+ 1)!

.

k) lmn!1

1 + 3 + 5 + + (2n 1)2n2

. Resp. 12 .

l) lmn!1

1 + 3 + 5 + + (2n+ 1)

n+ 1 2n+ 1

2

. Resp. 12 .

m) lmn!1

1 + 5 + 52 + + 5n5n + n

. Resp. 54 .

n) lmn!1n

"3

r8 +

2

n 2

#. Resp. 16 .

o) lmn!1

4 + 16 + + (2n)23n3

. Resp. 49 .

p) lmn!1

3n+1 + 5n+1

3n + 5n. Resp. 5.

Ejercicio 8.3. Si (an)n2N es una sucesion acotada demuestre que lmn!1

ann

= 0.

Ejercicio 8.4. Calcule lmn!1

an+1an

si an =nn

n! . Resp. e.

Ejercicio 8.5. Determine x 2 Rf0g para que lmn!1

an+1an < 1 donde an = n!xnnn . Resp.

x 2 (e; e) f0g.

Ejercicio 8.6. Calcule

a) lmn!1

1 +

3

n

4nb) lm

n!1

1 +

1

2n+ 1

2n+3

c) lmn!1

2n+ 7

2n+ 4

n+12

d) lmn!1

2n 35n+ 4

n


Ejercicio 8.7. Sea (an)n2N tal que a1 =p2, an =

p2an1, 8n > 1. Determine lm

n!1 an.Resp. 2

Ejercicio 8.8. Sea (an)n2N tal que a1 = 1; an+1 = 2an + 1, 8n > 1. Determine lmn!1 an.

Resp. 1.

Ejercicio 8.9. Si jrj < 1 verique que lmn!1nr

n = 0.

8.7. SERIES NUMERICAS

Presentaremos una aproximacion intuitiva del tema, nos interesa decidir si una seriees o no convergente.

Introduccion

Una serie innita es una expresion que tiene la forma a1 + a2 + ::: + ak + ::: A lascantidades a1; a2; :::; ak; ::: se les llama terminos de la serie, a ak se le llama terminogeneral. En esta seccion estudiaremos series cuyos terminos son numeros reales. Por

brevedad usaremos el smbolo

1Xk=1

para representar la serie.

Las series innitas se presentan con frecuencia en matematicas y sus aplicaciones.Generalmente el primer termino representa una aproximacion inicial a una determinadacantidad de interes y los terminos siguientes son correcciones sucesivas de esaaproximacion, la suma termina cuando se ha alcanzado una exactitud suciente.

No podemos asignar una suma a la serie tan solo sumando todos los terminosdisponiendo de un tiempo nito para ello, al igual que en muchos campos de la matematicaprocederemos como sigue. Si hacemos que Sn sea la suma de los primeros n terminos dela serie entonces

S1 = a1; S2 = a1 + a2; S3 = a1 + a2 + a3; :::; Sn = a1 + a2 + :::+ an

Los numeros S1; S2; S3; :::; Sn; ::: forman una sucesion fSng que se llama sucesion desumas parciales de la serie. Si la sucesion de las sumas parciales tiene un lmite cuando ntiende al innito entonces, denimos a este valor lmite como la suma de la serie.

Denicion 8.7.1. Para la serie

1Xn=1

an = a1 + a2 + a3 + :::+ ak + ::: se dene la sucesion

fSng de sumas parciales de modo que Sn =nX

n=1

ak = a1 + a2 + a3 + :::+ an; n = 1; 2; 3; :::.

Decimos que la serie

1Xn=1

an = a1 + a2 + a3 + :::+ ak + ::: converge y que tiene suma S si

y solo si la sucesion fSng converge al lmite S, en este caso se escribe1Xk=1

ak = S, en otro

caso decimos que la serie diverge.


Ejemplo 8.7.1. Determinar si la serie 1+ 13 +19 +

127 + :::+(

13)

n+ ::: =

1Xk=0

(1

3)k converge,

y en tal caso calcular su suma.

Solucion.

Debemos determinar el termino n de la sucesion de sumas parciales de la serie, taltermino es Sn = 1 +

13 +

19 +

127 + :::+ (

13)

n. Reconocemos la presencia de una Progresion

Geometrica, con primer termino 1, razon 13 y n + 1 sumandos, de donde Sn =1( 1

3)n+1

1 13

,

ahora veamos el limite. Como lmn!1Sn = lmn!1

1 (13)n+11 13

=123

=3

2, entonces la serie

converge a 32 .

8.8. SERIE GEOMETRICA

La Serie Geometrica 1 + r + r2 + :::+ rn + ::: =

1Xk=0

rk; r 6= 1 se puede manejar como

la serie del ejemplo anterior, tenemos Sn =

nXk=0

rk =1 rn+11 r ; r 6= 1. Debemos analizar

varios casos

Si jrj < 1 entonces rn+1 ! 0 cuando n!1, en consecuencia lmn!1Sn =

1

1 r .Si jrj > 1 entonces rn+1 es no acotada cuando n!1, entonces fSng diverge.

Si r = 1 entonces Sn = 1 (1)n+1

2=

(0 n impar

1 n par

Como Sn oscila entre los dos valores 0 y 1, la sucesion fSng diverge.Si r = 1 no se aplica la formula de la Progresion Geometrica, sin embargo, en este caso

cada termino de la serie tiene valor 1 y entonces Sn = n + 1, as, la sucesion de sumasparciales fSng diverge.Resumiendo, la serie geometrica es tal que:

1Xk=0

rk =

(converge a 11r si 1 < r < 1diverge si jrj 1

Ejemplo 8.8.1. Como una aplicacion de lo anterior, si consideramos el numero decimalperiodico: x = 0; 32 entonces:

Sn =32

100+

32

(100)2+

32

(100)3+ :::+

32

(100)n

Sn =32

100

1 +

1

100+

1

(100)2+ :::+

1

(100)n1

;

el parentesis es una progresion Geometrica.


Sn =32

100

(1 ( 1100)n1 1100

), luego si

n!1) Sn ! 32100

(1

1 1100

)=

32

99

As podemos sostener que32

100< 0; 32 N . Esto dice que la convergencia de una serie se maniesta cuando el residuo,despues de los n primeros terminos es arbitrariamente peque~no, note que los primerosterminos de la serie no son considerados.

Teorema 8.8.1. Si la serie1Xk=1

ak es convergente entonces lmk!1

ak = 0

Demostracion. Para k grande, ak = Sk Sk1 entonces lmk!1

ak = lmk!1

(Sk Sk1)

Si S es suma de la serie

1Xk=1

ak entonces lmk!1 Sk = S;

de donde lmk!1

ak = lmk!1

(Sk Sk1) = S S = 0

Corolario 8.8.1. Si en la serie

1Xk=1

ak ocurre que lmk!1

ak 6= 0 entonces la serie diverge.

Observacion 8.8.2. El empleo principal del teorema consiste en establecer la divergenciade la serie.


Ejemplo 8.8.5. Analizar la convergencia de la serie

1

3+

2

5+

3

17+

1

20+ :::+

n

2n+ 1+ ::: =

1Xk=1

k

2k + 1

Solucion.

Como lmn!1 an = lmn!1

n

2n+ 1=

1

26= 0 entonces la serie

1Xk=1

k

2k + 1diverge.

Ejemplo 8.8.6. Analizar la convergencia de la serie1Xk=1

21 1

2k

Solucion. Por el criterio de la condicion necesaria y como lmn!1 an = lmn!1 2

1 12n

=2 6= 0,la serie diverge.

Ejemplo 8.8.7. Determinar si la serie

1Xk=1

1

k= 1+

1

2+1

3+ :::+

1

n+ ::: converge o diverge.

Solucion.La serie propuesta se conoce como la serie armonica. Se puede demostrar que tal

serie diverge, para ello se muestra que las sumas parciales se hacen no acotadas.

Teorema 8.8.2. Si las series1Xk=1

ak y1Xk=1

bk son convergentes a las sumas S y W

respectivamente entonces la combinacion lineal1Xk=1

(pak + qbk) tambien es convergente y

su suma es pS + qW ; p; q 2 RDemostracion. inmediata.

Observacion 8.8.3. No es cierto, en general, el reciproco del teorema, la convergencia de la

serie

1Xk=1

(pak + qbk) no asegura la convergencia de las series

1Xk=1

ak y

1Xk=1

bk. Por ejemplo,

se demostro que la serie

1Xk=1

1

k 1k + 1

converge, y sabemos que las series armonicas

1Xk=1

1

ky

1Xk=1

1

k + 1divergen.

Teorema 8.8.3. Si la serieP

an es de terminos no negativos entonces, ella converge siy solo si su sucesion fSng es acotada.Demostracion. Sabiendo que fSng es monotona creciente ella converge si y solo s esacotada superiormente como se ha observado en el tema de sucesiones.

Observacion 8.8.4. Para el trabajo posterior de analisis de la convergencia de las series,se hace necesario conocer algunas por lo que a la serie geometrica, debemos agregar sinjusticar por el momento la llamada serie p:


a)P

an converge para jaj < 1 y diverge para jaj , con a llamada la razon de laserie.

b)P 1

np , converge si p > 1 y diverge para p 1

8.9. CRITERIOS DE CONVERGENCIA

8.9.1. Criterio de Comparacion

Teorema 8.9.1. Si 0 < ak bk; 8k entonces

a) Si

1Xk=1

bk es convergente entonces

1Xk=1

ak es convergente.

b) Si

1Xk=1

ak es divergente entonces

1Xk=1

bk es divergente.

Demostracion. Sean Sn =

1Xk=1

ak y Wn =

1Xk=1

bk las sumas parciales de las dos series.

Sabemos que Wn tiene limite, por ejemplo B, cuando n!1. Necesitamos demostrar quetambien converge la sucesion fSng. Como ak > 0 entonces fSng es monotona creciente,ademas 0 < Sn Wn < B, de manera que fSng es acotada, por lo tanto fSng converge,de donde, la serie

1Xk=1

ak converge. La otra parte del teorema es analoga.

Observacion 8.9.1. Notese que en este criterio no se conoce la suma de la serie y laaplicacion de el supone de algun modo una presuncion de convergencia o divergenciapara poder determinar la comparacion.

Ejemplo 8.9.1. Probar la convergencia de un numero decimal innito por comparacioncon una serie geometrica.

Solucion.

Si denotamos un decimal innito cualesquiera como:

n = e; d1d2d3:::::::::dn:::::::::; 0 di 9si lo escribimos como una serie:

n = e+d110

+d2102

+d3103

+ :::::::::+dn10n

+ :::::::

Si

Sn = e+d110

+d2102

+d3103

+ :::::::::+dn10n

Sn e+ 910

+9

102+

9

103+ :::::::::+

9

10n


) Sn e+ 910

1 +

1

10+

1

102+

1

103+ :::::::::+

1

10n

(progresion geometrica), o sea:

Sn a + 910

1 110n1 110

!, si n ! 1, la serie mayorante converge a a + 1, luego la

sucesion fSng converge y por ello la serie decimal innito converge. Este resultado incluyecomo caso particular a un numero decimal periodico.

Ejemplo 8.9.2. Discutir la convergencia de

1Xk=1

2 + sin k

k2

Solucion. Como 1 sin k 1) 1 2 + sin k 3 entonces 0 2+sin kk2

3k2. Como la

serie mayorante1Xk=1

3

k2es una serie p con p > 1 es convergente, por comparacion lo sera la

propuesta.

Ejemplo 8.9.3. Analizar por comparacion la serie

1Xk=1

2k

k

Solucion. Sabiendo que:1

k 2

k

ky como la serie

1Xk=1

1

kdiverge como serie p con p = 1,

tambien por comparacion lo hara la propuesta.

Ejemplo 8.9.4. Estudiar la serie1Xk=1

1

k!= 1 +

1

2!+

1

3!+ :::.

Solucion. Como k! crece extremadamente rapido, es razonable creer que la serie converge.

Dado que 1k! 11222:::::2 = 12k1 y como la serie1Xk=1

1

2k1converge, por ser una serie

geometrica de razon r = 12 < 1, la nuestra tambien converge.

Ejemplo 8.9.5. Analizar la serie1Xk=1

ak, con ak =h

1p4k3 +

1p4k1 1p2k

iSolucion. Como presumimos que podra ser divergente y ak >

h1

2pk+ 1

2pk 1p

2pk

ientonces ak >

1pkh1 1p

2

i 1pk[1 34 ]

) ak > 14pk y como1Xk=1

1pkdiverge, (serie p < 1), lo

mismo pasa con la serie mayor1Xk=1

ak.

Ejemplo 8.9.6. Probar que la serie

1Xk=1

ln kpk2 + k

es divergente.


Solucion.ln kpk(k + 1)

=ln k

k kp

k(k + 1)=

ln k

k 1q

1 + 1k

ln kk

1p2Pero ln kk >

1k ,

y como la serie armonica diverge, tambien lo hace1p2

1Xk=1

ln k

ky por lo tanto la serie

propuesta, segun el criterio de comparacion.

Ejemplo 8.9.7. Analizar por comparacion la serie1Xk=1

(1 cos k)

Solucion. Teniendo como referencia la identidad sin

2=

r1 cos

2

entonces 1 cos n= 2 sin2

2ny como 2 sin2

2k< 2

2

4k2 09n0 2 N 3 si

n > n0 )n+pXn+1

janj = jjan+1j+ jan+2j+ jan+3j+ :::+ jan+pjj < ", como

jan+1 + an+2 + an+3 + :::+ an+pj n+pXn+1

janj < " entonces1Xk=1

ak es convergente.


Ejemplo 8.9.20. La serie de terminos positivos y negativos 1 12 + 13 14 + ::: escondicionalmente convergente, ya que la serie formada por los valores absolutos de susterminos, converge.

Ejemplo 8.9.21. La serie de terminos positivos y negativos 1 12! + 13! 14! + ::: esabsolutamente convergente, ya que la serie formada por los valores absolutos de susterminos,

8.10. EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejemplo 8.10.1. Decidir la convergencia de las siguientes series:

a)

1Xk=1

k

k2 1

b)1Xk=4

k(k + 1)

(k 2)(k 3)

c)

1Xk=1

k

(k + 1)3

d)

1Xk=1

cos2 k

3k

Ejemplo 8.10.2. Encontrar la suma de las series

a)

1Xk=2

k + 5

(k2 1)(k + 2)

b)

1Xk=1

2

2(k + 2)

c)

1Xk=1

k + 12

k3 + 5k2 + 6k

Ejemplo 8.10.3. Analizar la convergencia de1

2+

1

3

+

1

22+

1

32

+ :::+

1

2n+

1

3n

+ :::

Ejemplo 8.10.4. Determine si convergen

a)

1Xk=1

k(k + 1)

(k + 2)(k + 3)


b)

1Xk=1

(1)kk(k + 1)

c)

1Xk=1

1pk + 1 +

pk

Ejemplo 8.10.5. Usando el criterio de comparacion, analizar las series:

a)

1Xk=1

1pk(k + 1)

b)

1Xk=1

4

2(k 1)

c)1Xk=1

k

2k + 1

Ejemplo 8.10.6. Con el criterio de la integral estudiar:

a)1Xk=1

2k

k2 + 1

b)

1Xk=1

earctan k

1 + k2

c)

1Xk=1

1

k + 1

d)

1Xk=1

k

(k2 + 1)2

Ejemplo 8.10.7. Con el criterio de la razon analizar:

a)1Xk=1

k

2k+1

b)1Xk=1

k + 3

k(k + 1)(k + 2)

c)

1Xk=1

k!

1 3 5 ::: (2k 1)


Ejemplo 8.10.8. Con el criterio de la Cauchy analizar:

a)

1Xk=1

k

2k

b)

1Xk=1

k!

kk

Ejemplo 8.10.9. Analizar las series alternantes:

a)1Xk=1

(1)k1kk + 1

b)

1Xk=1

(1)k1kk + 1

c)

1Xk=1

(1)k+1(k + 2)2k + 1

Ejemplo 8.10.10. Analizar la convergencia de las siguientes series:

a) 1 +1

22+

1

32+ :::+

1

n2+ :::

b) 1 +1p2+

1p3+ :::+

1pn+ :::

c) 1 +1

1 2 +1

1 2 3 + :::+1

1 2 3 ::: n + :::

d)2

1+

22

2+

23

3+ :::+

2n

n+ :::

e)

1Xk=1

ek

k

f)

1Xk=1

k + 5

(k + 1)(k 1)(k + 2)

g)2

5+ (

4

7)2 + (

6

11)3 + :::+ (

2n

3n+ 1)n + :::

h)

1Xk=1

(k + 1)k!

4k

i)

1Xk=1

kk2

(k + 1)k2


j)

1Xk=1

(1)k+1(3k + 1)(2k + 3)

k)P1

k=1(1)k+1 ln k

k

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