SUCESIONES Y SERIES SUCESIONES - bienvenidos · 2018-09-11 · Cálculo I Integral (MAT201),...

12
Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363 Resumen Teórico sobre Criterios de Convergencia para Series Página 1 de 12 SUCESIONES Y SERIES SUCESIONES La convergencia en una sucesión tiene como fundamento la tendencia de la misma y básicamente se refiere a la existencia de un valor al cual se acercan los términos de la sucesión; divergente es sucesión la que establecer podemos entonces , existe no o L si e convergent es sucesión la que establecer podemos entonces , negativo o positivo sea ya numérico valor un es m donde , m L si a lim n n Para comprender mejor el concepto de sucesión, analizaremos un ejercicio sencillo, pero altamente didáctico; 1 de valor un a acercan se os min tér sus y e convergent es sucesión la , to tan lo por 1 n 1 1 1 lim n 1 n 1 1 n n lim 1 n n lim 1 n n lim a lim 1 n n ,..., 9 8 , 8 7 , 7 6 , 6 5 , 4 3 , 3 2 , 2 1 1 n n n n n n n n 1 n

Transcript of SUCESIONES Y SERIES SUCESIONES - bienvenidos · 2018-09-11 · Cálculo I Integral (MAT201),...

Page 1: SUCESIONES Y SERIES SUCESIONES - bienvenidos · 2018-09-11 · Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series Documento

Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363

Resumen Teórico sobre Criterios de Convergencia para Series Página 1 de 12

SUCESIONES Y SERIES

SUCESIONES

La convergencia en una sucesión tiene como fundamento la tendencia de la misma y básicamente se refiere a la existencia de un valor al cual se acercan los términos de la sucesión;

divergenteessucesiónlaqueestablecerpodemosentonces,existenooLsi

econvergentessucesiónlaqueestablecerpodemosentonces,negativoopositivoseayanuméricovalorunesmdonde,mLsi

alim nn

Para comprender mejor el concepto de sucesión, analizaremos un ejercicio sencillo, pero altamente didáctico;

1devalorunaacercanseosmintérsusyeconvergentessucesiónla,totanlopor

1n

11

1lim

n1n

1

1nn

lim

1nn

lim1n

nlimalim

1nn

,...,98

,87

,76

,65

,43

,32

,21

1nn

nn

nnn

n

1n

Page 2: SUCESIONES Y SERIES SUCESIONES - bienvenidos · 2018-09-11 · Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series Documento

Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363

Resumen Teórico sobre Criterios de Convergencia para Series Página 2 de 12

Lalim nn

Ejemplo de Repaso Determine si la sucesión planteada converge o diverge:

0nlnn

1n3

1limH'L

nnlnlnn3ln

lim

nnlnn3

lnlim

nlnn3

lnn1

lim

1eeelimnlnn3

lim

nlnn3

limnlnn3

limalim

nlnn3

nn

nn

0nlnn3

lnn1

limnlnn3

lnn1

n

n1

n

0n1

n

n1

nn

n

2n

n1

n

Page 3: SUCESIONES Y SERIES SUCESIONES - bienvenidos · 2018-09-11 · Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series Documento

Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363

Resumen Teórico sobre Criterios de Convergencia para Series Página 3 de 12

SERIES

n1n

n a...54321a

La convergencia en una serie tiene como fundamento la existencia del acercamiento a una sumatoria definida por parte de todos los términos que la conforman. Los criterios de convergencia que se estudiaran a continuación, únicamente cumplen la función de indicarnos si la serie posee una sumatoria específica (convergente) o no posee dicha sumatoria específica (divergente), pero el material no incluye determinar el valor de la sumatoria, excepto en los casos donde la serie estudiada se encuentre dentro de las series típicas (geométricas, telescópicas, entre otras.)

Procedimiento Recomendado sobre la aplicación de Criterios de Convergencia para Series de Términos Positivos

1.-) Criterio del n-ésimo Término para la Divergencia

0alim nn

NO

SERIE DIVERGENTE

SI 2.-) Utilizar Criterios de Series Conocidas

2.1.-) Serie geométrica 2.2.-) Serie armónica

2.3.-) Serie telescópica 2.4.-) Serie – p

o 3.-) Utilizar Criterio de la Integral

o 4.-) Criterio de la Comparación

Ordinaria o

5.-) Criterio de la Comparación Límite o

6.-) Utilizar Criterio de la Raíz o

7.-) Utilizar Criterio del Cociente

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Page 4: SUCESIONES Y SERIES SUCESIONES - bienvenidos · 2018-09-11 · Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series Documento

Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363

Resumen Teórico sobre Criterios de Convergencia para Series Página 4 de 12

1.-) Criterio del n-ésimo Término para la Divergencia

Teoremas Importantes

1.1.-) si

1nna converge, entonces 0alim n

n

1.2.-) si 0alim nn

ó nn

alim

no existe, entonces

1nna diverge.

Ejemplo:

adivergencideomintérésimondelcriteriopordivergenteesn2n3

n

totanlopor;031

n23

1lim

n1n

1

n2n3

nlim

n2n3

nlim

n2n3

nlim

n2n3

n

1n23

3

n3

3

23

3

n23

3

n

23

3

n

1n23

3

2.-) Criterios de Series Conocidas

2.1.-) Serie Geométrica

Una serie del tipo

1n

1nar converge si y solo si, 1r donde “r” se denomina razón y por lo tanto

dicha serie tiene una suma S = r1

a

2.2.-) Serie Armónica

Una serie del tipo

1n n1

...31

21

1n1

se denomina armónica y por definición o demostración

matemática, esta serie es divergente. Cabe mencionar que ésta serie es especial, ya que representa una excepción al criterio del n-ésimo

término para la divergencia, tal como se muestra a continuación:

1n n0

n1

limn1

Page 5: SUCESIONES Y SERIES SUCESIONES - bienvenidos · 2018-09-11 · Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series Documento

Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363

Resumen Teórico sobre Criterios de Convergencia para Series Página 5 de 12

Bajo este resultado y de acuerdo a la estructura de trabajo predeterminado para las series de términos positivos, como el límite del n-ésimo termino nos brinda una respuesta de cero, entonces deberíamos continuar con el proceso matemático destinado para probar su convergencia o divergencia, esto a través de los criterios, pero en este caso no es necesario ya que la serie armónica ha sido definida como divergente. 2.3.-) Serie Telescópica

Una serie del tipo

1n1nn bb se denomina telescópica o colapsante y su estructura básicamente

consiste en el término n-ésimo menos el término siguiente.

2.3.1.-)

1n1nn bb converge si LSlim n

n

,

2.3.2.-)

1n1nn bb diverge sí n

nSlim

, no existe o brinda como resultado infinito.

Donde Sn se denomina suma parcial y es un término que será creado a partir de la generación de los primeros términos de la serie y observación/análisis de su comportamiento. Ejemplo:

n

1nnn

n

1nn

1n

Sparcialsumasudelímiteelexiste

porqueeconvergentes3n2n

1totanlopor;

31

3n1

31

limSlim

3n1

2n1

2n1

1n1

...61

51

51

41

41

31

3n1

2n1

S

entonces;3n

12n

1...

3nB

2nA

3n2n1

parcialesfraccionesaplicamos,atelescópicserieunadeformatoelbuscando

3n2n1

Page 6: SUCESIONES Y SERIES SUCESIONES - bienvenidos · 2018-09-11 · Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series Documento

Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363

Resumen Teórico sobre Criterios de Convergencia para Series Página 6 de 12

2.4.-) Serie – p

Una serie del tipo ppp

1np n

1...

3

1

2

11

n

1

, se denomina serie – p.

2.4.1.-) una serie

1npn

1 converge si y solo si 1p .

2.4.2.-) una serie

1npn

1 diverge si y solo si 1p . (si p=1 es una serie armónica)

3.-) Criterio de la Integral

Sea f(x) una función de

1nna donde f(x) es continua, positiva y decreciente durante todo el intervalo

donde la serie está definida ([1,+oo[ para éste caso de explicación), entonces:

3.1.-) si

1dxxf diverge, entonces

1nna diverge.

3.2.-) si

1dxxf converge, entonces

1nna converge.

Ejemplo:

divergenteestambiénnlnn

1entonces,divergenteesdx

xlnx1

como

xlnlnwlnwdw

xdxdw

xlnw

dxxlnx

1

2lnlnlimulnlnlimxlnlnlimdxxlnx

1limdx

xlnx1

egralintladecriterioelaplicarpodemostotanlopory,2ervalointelen

derivadaera1signosdetablaedecrecientypositiva,continuaesxlnx

1xf

entonces,estudiadaserieladefunciónunaxlnx

1xfsea

nlnn1

2n2

uu

u2u

u

2u2

2n

Page 7: SUCESIONES Y SERIES SUCESIONES - bienvenidos · 2018-09-11 · Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series Documento

Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363

Resumen Teórico sobre Criterios de Convergencia para Series Página 7 de 12

4.-) Criterio de la Comparación Ordinaria

Éste criterio consiste en comparar la serie requerida en un ejercicio contra una serie conocida (geométrica, armónica o serie–p), que por lo general es extraída apoyándonos en los elementos que conforman el ejercicio a ser resuelto y como la serie comparativa es una serie típica que ya posee una estructura definida por los postulados matemáticos pertenecientes a éste tema, entonces conoceríamos también si la misma es convergente o divergente. 4.1.-) Si decidimos comparar el ejercicio contra una serie conocida divergente, entonces debemos verificar el cumplimiento de la siguiente desigualdad:

nn

1nn

1nn

ab

divergenteconocidaserieb

ejercicioseriea

Luego procedemos a simplificar algebraicamente esa desigualdad y si obtenemos como resultado que la misma se cumple, entonces la “serie ejercicio” será declarada “divergente” porque fue comparada con una “divergente conocida”; Caso contrario, NO podemos establecer que la “serie ejercicio” es convergente, únicamente basados en el incumplimiento de la desigualdad; motivo por el cual se facilitan dos recomendaciones de procedimiento en los casos donde la desigualdad no se cumple: Seleccionar y probar con otra serie conocida divergente ó Seleccionar y probar con otro criterio de convergencia para series positivas

Ejemplo:

ordinariancomparaciódecriteriodeltravésadivergenteconocidaserieunaconcomparadaseraldivergentees

nlnn1

serielaentonces,cumpleseddesigualdalacomo

verdadero0nlnnnnln

nnlnnnlnn

1n1

;definiciónpordivergenteyarmónicalaesquen1serielaconentarint

podemos,iónrecomendacdichadevistaenyejercicioelenpropuestaserieladeelementoslosreferenciacomotomandoconocidaacomparativserielaextraemos

nlnn1

1n

1n

1n

Page 8: SUCESIONES Y SERIES SUCESIONES - bienvenidos · 2018-09-11 · Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series Documento

Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363

Resumen Teórico sobre Criterios de Convergencia para Series Página 8 de 12

4.2.-) Si decidimos comparar el ejercicio contra una serie conocida convergente, entonces debemos verificar el cumplimiento de la siguiente desigualdad:

nn

1nn

1nn

ba

econvergentconocidaserieb

ejercicioseriea

Luego procedemos a simplificar algebraicamente esa desigualdad y si obtenemos como resultado que la misma se cumple, entonces la “serie ejercicio” será declarada “convergente” porque fue comparada con una “convergente conocida”; Caso contrario, NO podemos establecer que la “serie ejercicio” es divergente, únicamente basados en el incumplimiento de la desigualdad; motivo por el cual se facilitan dos recomendaciones de procedimiento en los casos donde la desigualdad no se cumple: Seleccionar y probar con otra serie conocida convergente ó Seleccionar y probar con otro criterio de convergencia para series positivas

5.-) Criterio de la Comparación en el Límite

Éste criterio consiste en comparar la serie requerida en un ejercicio contra una serie conocida (geométrica, armónica o serie–p), que por lo general es extraída apoyándonos en los elementos que conforman el ejercicio a ser resuelto y como la serie comparativa es una serie típica que ya posee una estructura definida por los postulados matemáticos pertenecientes a éste tema, entonces conoceríamos también si la misma es convergente o divergente.

Sean

1nna (serie ejercicio) y

1nnb (serie conocida convergente o divergente) series con términos

positivos, entonces:

.divergeaentonces,divergeb&Lsi).3.5

.convergeaentonces,convergeb&0Lsi).2.5

divergebsidivergea

yconvergebsiconvergeaentonces;0Lsi).1.5

Lba

lim

1nn

1nn

1nn

1nn

1nn

1nn

1nn

1nn

n

nn

Page 9: SUCESIONES Y SERIES SUCESIONES - bienvenidos · 2018-09-11 · Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series Documento

Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363

Resumen Teórico sobre Criterios de Convergencia para Series Página 9 de 12

Luego de resolver el límite, debemos comprobar la respuesta contra el esquema mostrado anteriormente; Si en dado caso, no es posible establecer una coincidencia con ninguno de los parámetros predeterminados, entonces NO se puede concluir una respuesta puntual/definitiva sobre la convergencia/divergencia en relación a la serie estudiada en el ejercicio; motivo por el cual se facilitan dos recomendaciones de procedimiento en los casos donde no existe coincidencia: Seleccionar y probar con otra serie conocida convergente/divergente ó Seleccionar y probar con otro criterio de convergencia para series positivas

Ejemplo:

límiteelenncomparaciódecriterio

poreconvergentes11n2n

2n3seriela,03Lcomofinalmentey

3

n11

n21

n23

lim

n1n

1

11n2n

n2n3lim

11n2n

2n3nlim

n

111n2n

2n3

limba

lim

12pporqueeconvergentpserie

unaesquen

1serielaconentarintpodemos,anteriorlodevistaenqueasi

n

1

n

n

n11

n21n

n2nn

11n2n

2n3

initoinfallímitestrabajardemomentoalldiferenciacálculoenestudiadaebraicalgaaherramientunaaplicando,ejercicioelenpropuestaserielade

elementoslosreferenciacomotomandoconocidaacomparativserielaextraemos11n2n

2n3

1n23

3n

3

3

23

23

n23

2

n2

23

nn

nn

1n2

233

323

1n23

Page 10: SUCESIONES Y SERIES SUCESIONES - bienvenidos · 2018-09-11 · Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series Documento

Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363

Resumen Teórico sobre Criterios de Convergencia para Series Página 10 de 12

6.-) Criterio de la Raíz

Sea

1nna la serie a estudiar, el criterio de la raíz consiste en aplicar el siguiente procedimiento:

.econcluyentesnoraízladepruebala;1Lsi).3.6

.divergenteesaserielaentonces;Ló1Lsi).2.6

.econvergent

nteabsolutameesaserielaentonces;1Lsi).1.6

Lalim

1nn

1nn

n nn

Cuando la prueba de raíz no es concluyente, lamentablemente éste criterio no ayuda a determinar la convergencia o divergencia de la serie estudiada, motivo por el cual debemos probar con otro criterio. Ejemplo:

.raízdecriterioporeconvergentes2n33n2

entonces,132Lcomo

32

n23n

32lim

n1n

1

2n33n2

lim

2n33n2

lim2n33n2

lim2n33n2

limalim

2n33n2

1n

n

nn

nn

nn

n

nn

n

nn n

n

1n

n

Page 11: SUCESIONES Y SERIES SUCESIONES - bienvenidos · 2018-09-11 · Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series Documento

Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363

Resumen Teórico sobre Criterios de Convergencia para Series Página 11 de 12

7.-) Criterio del Cociente

Sea

1nna la serie a estudiar, el criterio del cociente consiste en aplicar el siguiente procedimiento:

.econcluyentesnococientedelpruebala;1Lsi).3.7

.divergenteesaserielaentonces;Ló1Lsi).2.7

.econvergent

nteabsolutameesaserielaentonces;1Lsi).1.7

La

alim

1nn

1nn

n

1n

n

Cuando la prueba del cociente no es concluyente, lamentablemente éste criterio no ayuda a determinar la convergencia o divergencia de la serie estudiada, motivo por el cual debemos probar con otro criterio. Ejemplo:

!n1n123...3n2n1nn1n!1n

123...3n2n1nn!n

e1n

nlim&e

n1n

limsmatemáticaesDefinicion

.cocientedecriteriopordivergentees!n

nentonces,1eLcomo

en1

1limn

1nlim

n

1nlim

n!n1n

!n1n1nlim

n!1n

!n1nlim

!nn

!1n1n

lim

!nn

!1n1n

lima

alim

!nn

1n

n

n

n

1n

n

n

n

n

nn

n

nn

1n

n

n

1n

nn

1n

nn

1n

nn

1n

n

1n

n

Page 12: SUCESIONES Y SERIES SUCESIONES - bienvenidos · 2018-09-11 · Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series Documento

Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363

Resumen Teórico sobre Criterios de Convergencia para Series Página 12 de 12

Bibliografía Utilizada para la Conformación Teórico/Práctica del Contenido Propuesto 1. Purcell, E. (2009). Cálculo 1, 1ª ed. México. Pearson Educación. 2. Sánchez, G.; Castro, J. (2001). Cálculo Integral (Ejercicios y Problemas), 1ª ed. Instituto Tecnológico y de Estudios

Superiores de Monterrey (ITESM). México. Thomson Editores 3. Stewart, J. (2002). Cálculo, Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. Thomson Editores. 4. Zill, D. (1994). Cálculo con Geometría Analítica, 1ª ed. México. Grupo Editorial Iberoamericana. 5. Stewart, J. (2008). Cálculo de una Variable, Trascendentes Tempranas, 6ª ed. México. Cengage Learning Editores. 6. Edwards, H.; Penney, D. (2008). Cálculo con Trascendentes Tempranas, 7ª ed. México. Pearson Educación. 7. Thomas, G. (2010). Cálculo Una Variable, 12ª ed. México. Pearson Educación. 8. Larson, R. (2010). Cálculo 1 de Una Variable, 9ª ed. México. McGraw-Hill Educación. 9. Zill, D. (2011). Cálculo de Una Variable. Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. McGraw-Hill Educación. 10. Cálculo Diferencial e Integral. Ingeniería Matemática; Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. Universidad de

Chile. Santiago de Chile. 11. Carrasco, P.; Torres, G. (2008). Matemáticas IV – Cálculo Integral, 1ª ed. México. Cengage Learning Editores. 12. Cortes, I. (1978). Cálculo Elemental. Universidad Nacional Experimental de Táchira. Táchira, República Bolivariana

de Venezuela. 13. Rojas, D. Matemáticas II: Ingeniería Mecánica y Química. Instituto Universitario de Tecnología “José Antonio

Anzoátegui”. República Bolivariana de Venezuela. 14. Universidad de Santiago de Chile, (2001-2010). Pruebas acumulativas y exámenes parciales Cálculo 10001. Santiago

de Chile, Chile. 15. Jiménez, B. Cruz, L. Meza, M. (2009). Elementos de Cálculo Integral. 1ª ed. Instituto Tecnológico y de Estudios

Superiores de Monterrey (ITESM). México. Limusa, Grupo Noriega Editores.

JCLZ1209® D.R.2015