Sucesiones y Series 1

8/16/2019 Sucesiones y Series 1

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Universidad Centroccidental “Lisandro Alvarado”

Decanato de Ingeniería CivilDepartamento de Ciencias Básicas

Matemática II

SU ESIONES Y SERIES

Definiciones y Teoremas

Realizado por:Ing. David González

MSc. en MatemáticasBarquisimeto. Mayo, 2010



Sucesiones y Series Infinitas 1

Realizada por : Ing. David A. González Barquisimeto, Mayo de 2010

SUCESIONESDEFINICIÓN: Una sucesión (o secuencia) es una función cuyo dominio es el conjuntode los enteros positivos {Z+ = 1, 2, 3,...}.

DEFINICIÓN: Una sucesión {an} tiene el límite L, si para todo > o existe un número

N>0 tal que Lan para todo entero n>N; escribimos entonces .Lalim nn

TEOREMA: Si , y f está definida para todo entero positivo, entonces

también cuando n Z+.

L)x(f limx

L)n (f limn

TEOREMA: Una sucesión {an} se dice que Converge a L si . Si la sucesión

no converge se dice que Diverge.

Lalim nn

TEOREMA: Si {an} y {bn} son sucesiones convergentes y c es una constante, entonces:

i. La sucesión constante {c} tiene a c como su límite

ii. n n

nn

alimcaclim

iii. n n

nn

Nnn

blimalim)ba(lim

iv. n n

nn

Nnn

blimalim)ba(lim

v. 0by0blimSi

blim

alim

b

alim nn

nnn

nn

n

n

n

DEFINICIÓN: Una sucesión {an} se dice que es:

i. Creciente si an an+1 para toda n Z+.

ii. Decreciente si an an+1 para toda n Z+.

iii. Estrictamente Creciente si an < an+1

iv. Estrictamente Decreciente si an > an+1

Una Función creciente o decreciente es MONÓTONA

DEFINICIÓN: Una sucesión {an} se dice que está acotada, si y sólo si tiene unacota superior y una cota inferior.

TEOREMA: Una Sucesión Monótona Acotada es Convergente.

TEOREMA: Una Sucesión Monótona Convergente es Acotada.





SERIES INFINITASSERIES INFINITAS CON TÉRMINOS CONSTANTES

DEFINICIÓN: Sea una serie infinita y sea {Sn} la sucesión de sumas parciales

que define esta serie infinita. Entonces, si existe y es igual a S, decimos que la

serie infinita dada es convergente y que S es la suma de la serie infinita dada. Si

no existe, se dice que la serie es divergente y la serie no tiene suma.

1n n

a

nn

Slim

nn

Slim

TEOREMA: Si es convergente, entonces

1n

na 0alim nn

, pero si 0alim nn

no

implica que sea convergente. Si

1n

an 0alim nn

, entonces es divergente.

1n

na

TEOREMA: Si y son dos series infinitas, que solamente difieren el los

primeros m términos (es decir, ak = bk si k > m), entonces ambas series convergen obien ambas series divergen.

1n

na

1n

nb

TEOREMA: Sea c cualquier constante distinta de cero.

i. Si la serie

es convergente y su suma es S, entonces la serie

también es convergente y su suma es Sc

1n

na

1n

nac .

ii. Si la serie

es divergente, entonces la serie también es divergente.1n

na

1n

nac

TEOREMA: Si y son dos series infinitas

convergentes cuyas sumas son, respectivamente S y

R, entonces:

1n

na

1n

nbTEOREMA: Si la Serie

es convergente y

1n

es divergente,

entonces la serie

1n

es

DIVERGENTE.

1n

na

nb

nn )ba(

i. es Convergente y su suma es S+R

1n

nn )ba(

ii. es Convergente y su suma es S-R.

1n

nn )ba(





CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS

TEOREMA: Una serie de términos positivos es convergente si y sólo si su sucesión desumas parciales tiene una cota superior.

TEOREMA (Criterio de Comparación Directa): Sea la serie una serie de

términos positivos.

1n

na

i. Si

es convergente y , entonces

es convergente.1n

nb Znba nn

1n

na

ii. Si

es divergente y , entonces

es divergente.1n

nb Znba nn

1n

na

TEOREMA (Criterio de Comparación por Paso al Límite): Sean y dos

series de términos positivos, y sea

1n

na

1n

nb

Lb

alim

n

n

n

, entonces:

i. Si L = 0 y

Converge, entonces

Converge.1n

nb1n

na

ii. Si L = + y

Diverge, entonces

Diverge.1n

nb1n

na

iii. Si L > 0, entonces las dos series Convergen o las dos series Divergen.

TEOREMA: Si es una serie Convergente de términos positivos, sus términos se

pueden agrupar en cualquier forma y la serie resultante también será Convergente ytendrá la misma suma que la serie dada.

1n

na

TEOREMA: Si es una serie Convergente de términos positivos, el orden de los

términos se puede modificar y la serie resultante también será Convergente y tendrá lamisma suma que la serie dada.

1n

na

TEOREMA (Criterio de la Integral): Sea f una función continua, positiva y decreciente

para toda x que pertenece a [1, +), entonces la serie infinita:

1N1

CONVERGEdx)x(f egralintlasiCONVERGE)n(f

Y es Divergente si la integral impropia crece sin límite, es decir: ó

sea que es Divergente.

b

1bdx)x(f lim





SERIES INFINITAS DE TÉRMINOS ALTERNANTES

DEFINICIÓN: Si an > 0 para todo entero positivo, entonces la serie: la

serie se llaman SERIES ALTERNANTES O ALTERNAS.

1n

n

1n a)1( y

1n

n

n

a)1(

TEOREMA (Criterio de las Series Alternantes): Sea la serie alterna

donde an > 0 y

1n

n

1n a)1( ,

Znaa n1n . Si 0alim n

n

, la Serie alternante es Convergente.

CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONDICIONAL

DEFINICIÓN: La serie infinita es ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE (AC), si

la serie

1n

na

1n

na (Serie Modular Asociada) es Convergente. Si la Serie dada es

Convergente y su modular asociada es Divergente, se dice que la serie esCONDICIONALMENTE CONVERGENTE (CC).

TEOREMA: Si la Serie Infinita es AC, Converge y

1n

na

1n

n

1n

n aa .

TEOREMA (Criterio de la Razón): Sea la serie infinita para la cual toda an es

diferente de cero, y sea

1n

na

La

alim

n

1n

n

, entonces:

i. Si L < 1 la serie es Absolutamente Convergente.

ii. Si L > 1 ó si L = + la serie es Divergente.

iii. Si L = 1 No hay decisión sobre la Convergencia.

TEOREMA (Criterio de Raabe): Sea la serie infinita para la cual toda an es


1n

na

La

a1nlimn

1nn

, entonces:

i. Si L > 1 la serie es Absolutamente Convergente.

ii. Si L < 1 Divergente.

iii. Si L = 1 Falla el Criterio.





TEOREMA (Prueba de la Raíz): Sea la serie infinita para la cual toda an es


1n

na

Lalim nn

n

, entonces:

i. Si L < 1 la serie es Absolutamente Convergente.

ii. Si L > 1 ó si L = + la serie es Divergente.

iii. Si L = 1 Falla el Criterio.

SERIES DE POTENCIA

NOTACIÓN: Usamos la notación para representar la serie. Cuando a = 0,

se convierte en una serie de potencia en x:

0n

n

n )ax(C

n

n

2

210

n

n

xCxCxCCxC

CRITERIOS DE SERIES DE POTENCIA

TEOREMA: Si la serie de potencia es convergente para x = x1 (x1 0),

entonces es Absolutamente Convergente para todos los valores de x para los cuales

0n

n

n xC

1xx .

TEOREMA: Si la serie de potencia es divergente para x = x2, entonces es

Divergente para todos los valores de x para los cuales

0n

n

n xC

2xx .

TEOREMA: Sea una serie de potencias. Exactamente una de las condiciones

siguientes se cumple:

0n

n

n xC

i. La serie converge solamente cuando x = 0

ii. La serie es Absolutamente Convergente para toda x.

iii. Existe un número R > 0 tal que la serie es absolutamente convergente para todos

los valores de x para los cuales Rx y es Divergente para todos los valores de

x para los cuales Rx .

NOTA: Hay que estudiar la serie de potencia en los extremos, para determinar laconvergencia y definir bien el intervalo.





TEOREMA (Criterio de la Razón para Series de Potencia): Sea la serie infinita

para la cual toda an es diferente de cero, y sea

1n

na

La

alim

n

1n

n

, entonces:

i. Si L = 0, la serie es Absolutamente Convergente para toda x R.

ii. Si L = + (Excepto en x = 0 ó x = a) Converge sólo cuando x = 0 ó x = a. Rc = 0.

iii. Si L 0 ó L +, Entonces se toma L<1 para x1 < x < x2 la serie será

Absolutamente Convergente. Para x (x1, x2)2

xxR 12

c

DESARROLLO DE SERIES DE POTENCIA

TEOREMA (Series Geométricas de Potencias): Dada la funciónbx

a)x(f se

verifica que su desarrollo en series de potencia:

i. Centrada en x = 0 es: 0bx,bx

a

0n

n

b

x

b

a

ii. Centrada en x = c es: 0cbcx,bx

a

0n

n

cb

cx

cb

a

DIFERENCIACIÓN DE SERIES DE POTENCIASTEOREMA: Sea una serie de potencias cuyo Radio de Convergencia es R > 0.

Entonces si f es la función definida por , f’(x) existe para toda x en el

intervalo abierto (-R, R) y está dada por

0n

nn xC

0n

n

n xC)x(f

0n

nn xnC)x( 1f .

INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS

TEOREMA: Sea una serie de potencias cuyo Radio de Convergencia es R > 0.

Entonces si f es la función definida por , f(x) es integrable en todo

subintervalo cerrado de (-R, R), entonces

0n

nn xC

0n

n

n xC)x(f

0n

nx

1n

Cdt)t(f 1n

0x con Radio de C. = R.





SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN

FÓRMULA DE TAYLOR:

n)n(

2

0n

n)n(

)ax(

!n

)a(f )ax(

!2

)a(''f )ax()a('f )a(f )ax(

!n

)a(f

FÓRMULA DE MACLAURIN:

n)n(

2

0n

n)n(

x!n

)0(f x

!2

)0(''f x)0('f )0(f )x(

!n

)0(f

SERIES NOTABLES

SERIES HIPERARMÓNICAS:

1Npn

1 SERIES GEOMÉTRICAS:

1N

1nr a

1n32

1N

1n r r r r 1ar a

Si r < 1, entonces le Serie Converge

a

Si p > 1, entonces la serie Converge.

Si p 1, entonces la serie Diverge.

En particular:

1N n

1 (Serie Armónica)

es Divergente. r 1

aS

r 1

)r 1(a n

nS

Si r 1, entonces le Serie Diverge

SERIES TELESCÓPICAS:

1N

)1n(b)n(b

)1n(b)n(bn nn

Slim

1nnn bba

1n

na

nn

1

1n

n blimLdondeLba

Donde a y Sn = b(1) – b(n+1) Convergen si existe.

TEOREMA (Series Telescópicas): Sean {an} y {bn} dos sucesiones tales que:

para toda x Z+. Entonces la serie converge si y sólo si la

sucesión {bn} converge y en este caso se tiene:

NOTA: Para aplicar este teorema se ha de considerar aquellas series tales

que cada término se pueda expresar como diferencia de la forma: a .

1n

na

1nnn bb





4) Determine si la serie es Absolutamente Convergente, CondicionalmenteConvergente o Divergente:

.C.C:.spRen1

n)1()a

1n2

1n

.C.C:.spRe

)1n(n

1)1()b

1n

1n

.C. A:.spRe!n

2)1()c

1n

n1n

.C.C:.spRe1n

1)1()d

1n2

n

5) Encuentre el intervalo de convergencia para la Serie de Potencias dada:

)1,1(:.spRexn)a1n

n

)1,1(:.spRex)1n()b1n

1n2

)1,1[:.spRen

x

)c 1n

n

21

)2,2(:.spRe

2

x)1()d

1nn

nn

]3,1[:.spRe)1n(

)2x()e

1n2

1n

)2,16(:.spRe

3

)7x(n)f

1nn2

n2

6) Encuentre la representación en serie de potencias de f(x) y especifique el radiode convergencia y su intervalo:

2)1n(

1)x(f )a

x

0

2 dt)t1ln()x(f )b2)1n(

x)x(f )c

x23

1)x(f )d

x

0dt)t1ln()x(f )e

7) En los siguientes ejercicios obtenga los cuatro primeros elementos de lasucesión de sumas parciales {Sn} y obtenga una fórmula para Sn en términos den. Determine también si la serie infinita es Convergente o Divergente. Si esconvergente, obtenga su suma:

2

1

1n

S:.spRe)1n4()3n4(

2)a

Diverge:.spRen)b

1n

4

1

1n2

S:.spRe1n

1)c

1S:.spRenn

n1n)d

1n2

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