Sucesiones Series Completo

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Cap ´ ıtulo 2 Sucesiones y Series 2.1. Progr esione s aritm´eticas y geom´ etrica s 2.1.1. Sucesio nes Definicion 1 Se llama sucesi´ on a cualquier secuencia innita y ordenada de n´ umeros ({a  j }  jN = a 1 ,a 2 ,a 3 ,...,a n ,...) tal que cualquier elemento de esta secuencia este ´ unica- mente determinado. 1 Ejemplo 2.1.1 (de sucesiones) 2, 6, 12, 20, 30,..., a n = n(n + 1) 1,2, 2,3, 3,4, 4,5, 5,5, ..., a n = 0,1 + 1,1n 1 2 , 1 5 , 1 10 , 1 17 , 1 26 ,..., a n = 1 n 2 + 1 150, 200, 250, 300,..., a n = 150 + (n 1)50 1, 2, 8, 16, 32,..., a n = 2 n1 1, 4, 1, 5, 9,..., a n = n esimo decimal de π 2.1.2. Progresiones aritm´ eticas Una sucesi´ on de n´ umeros reales, es una progresi´ on ari tm´etica (P.A) si la difer- encia entre cada ermino y el anterior es constante. La constante en una P.A se llama diferencia com´ un y la simbolizaremos con la letra d. Para que una P.A. quede com- pletamente denida, adem´ as de especicar su diferencia com´ un d, debemos especicar el primer t´ ermino de l a p rogresi ´ on que usualmente se denota a 1 . Ejemplo 2.1.2 (de P.A.’s) 0, 1, 2, 3, 4,... a 1 = 0, d = 1 7, 14, 21, 28, 35,... a 1 = 7, d = 7 10, 1, 8, 17, 26,... a 1 = 10, d = 9 1 as ecnica mente, una sucesi ´ on de n´ umeros reales es cualquier funci´ on f : N R

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Capıtulo 2

Sucesiones y Series

2.1. Progresiones aritmeticas y geometricas

2.1.1. Sucesiones

Definicion 1 Se llama sucesion a cualquier secuencia infinita y ordenada de n´ umeros({a j} j∈N = a1, a2, a3, . . . , an, . . .) tal que cualquier elemento de esta secuencia este ´ unica-mente determinado.1

Ejemplo 2.1.1 (de sucesiones)

2, 6, 12, 20, 30, . . . , an = n(n + 1)

1,2, 2,3, 3,4, 4,5, 5,5, . . . , an = 0,1 + 1,1n1

2

,1

5

,1

10

,1

17

,1

26

, . . . , an =1

n2

+ 1150, 200, 250, 300, . . . , an = 150 + (n − 1)50

1, 2, 8, 16, 32, . . . , an = 2n−1

1, 4, 1, 5, 9, . . . , an = nesimo decimal de π

2.1.2. Progresiones aritmeticas

Una sucesion de numeros reales, es una progresion aritmetica (P.A) si la difer-encia entre cada termino y el anterior es constante. La constante en una P.A se llamadiferencia comun y la simbolizaremos con la letra d. Para que una P.A. quede com-pletamente definida, ademas de especificar su diferencia comun d, debemos especificarel primer termino de la progresion que usualmente se denota a1.

Ejemplo 2.1.2 (de P.A.’s)

0, 1, 2, 3, 4, . . . a1 = 0, d = 1

7, 14, 21, 28, 35, . . . a1 = 7, d = 7

10, 1, −8, −17, −26, . . . a1 = 10, d = −9

1Mas tecnicamente, una sucesion de numeros reales es cualquier funcion f  : N →R

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44 Sucesiones y Series

Observacion 1 Si a1 es el primer termino de una progresi´ on aritmetica cuya diferencia com´ un es d ,entonces :

an = a1 + (n

−1)d

Suma de los primeros n terminos de una P.A.

Un problema muy frecuente, es saber calcular la suma de los primeros n terminos deuna progresion aritmetica. Existe un metodo, bastante sencillo e ingenioso para calculardicha suma y se ilustra a continuacion.Consideremos una P.A. definida por a1 = 1, d = 1. Llamemos S n a la suma de losprimeros n terminos de esta P.A. Nuestra tarea sera calcular S n.

S n = 1 + 2 + 3 + · · · + nS n = n + (n - 1) + (n - 2) + · · · + 1

2S n = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + · · · + (n + 1) = n (n + 1)

⇒ S n = n2 (n + 1) (2.1)

Ejemplo 2.1.3 Calcular la suma de los primeros 100 n´ umeros naturales.

S 100 = 1 + 2 + . . . + 100 =100(100 + 1)

2=

100 · 101

2= 5050

Ejercicio 2.1.1 Sea  {a j} j∈N una progresi´ on aritmetica cuyo primer termino es a1 y cuya diferencia com´ un es d. Demostrar que la suma de los primeros n terminos es :

a1 + a2 + · · · + an =n

2[2a + (n − 1)d]

2.1.3. Progresiones geometricas

Una sucesion de numeros reales es una progresion geometrica (P.G) si el cuo-ciente de cada termino con el anterior es constante. Esta constante se llama razoncomun y la denotaremos con la letra r. Ademas, para que una P.G quede completa-mente definida, debemos especificar el primer termino de la progresion que denotaremosa1.

Ejemplo 2.1.4 (de P.G.)

1, 2, 4, 8, . . . a1

= 1, r = 2

−3, 3, −3, 3 . . . a1 = −3, r = −1

x,mx,m2x, m3x, . . . , a1 = x, r = m

Observacion 2 Si  a1 es el primer termino de una progresi´ on geometrica cuya raz´ on com´ un es r, entonces :

an = a1 rn−1

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2.1 Progresiones aritmeticas y geometricas 45

Suma de los primeros n terminos de una P.G.

Consideremos una P.G cuya razon comun es r y cuyo primer termino es a1. LlamemosS n a la suma de los primeros n terminos de esta progresion. Nuestra tarea sera calcularS n.

S n = a1 + a1r + a1r2 + · · · + a1rn−1

rS n = a1r + a1r2 + · · · + a1rn−1 + a1rn

S n − rS n = a1 - a1rn

S n(1 − r) = a1 - a1rn

⇒ S n = a11−rn

1−r(2.2)

Series geometricas

Sea S n la suma de los primeros n terminos de una P.G. De acuerdo a 2.2 ,sabemos

que :S n = a1

1 − rn

1 − r=

a11 − r

− a11 − r

rn (2.3)

Definicion 2 Llamaremos serie geometrica a la suma de los infinitos terminos de una progresi´ on geometrica y la denotaremos S ∞.

A primera vista, puede que para alguien la suma de infinitos terminos deba ser infinita.En realidad, esto no es necesariamente cierto. De hecho, los griegos se sorprendieronmucho con este hecho. Pero, ¿como se comporta la expresion S n si hacemos crecer nhacia el infinito, es decir, si la convertimos en su serie geometrica S ∞? Para respondera la pregunta enunciemos lo siguiente :

Principio 1 Sea c una constante, entonces

Si 

|r| < 1 ⇒ crn → 0 a medida que n → ∞|r| = 1 ⇒ |crn| = c ∀n|r| > 1 ⇒ |crn| → ∞ a medida que n → ∞

Ahora, claramente el primer termino de 2.3 permanecera constante(no depende de n)mientras que el segundo termino de 2.3 variara dependiendo del valor de n. De acuerdoal principio 1, la unica manera de que el valor de S ∞ este bien definido y sea finito (oconverja) es que |r| < 1. En caso contrario, S ∞ crece al infinito (o diverge) incluido elcaso en que r = 1 (¿por que?).

Corolario : Sea S n una progresion geometrica cuya razon comun es |r| < 1. Entonces,su serie geometrica converge(es finita y bien definida) y es:

S ∞ =a1

1 − r(2.4)

Ejemplo 2.1.5 (series geometricas) Expresarar, en forma racional, las siguientesseries geometricas :

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46 Sucesiones y Series

1.0, 3 = 0, 3333 . . . = 0, 3 + 0, 03 + 0, 003 + 0, 0003 + · · · = S ∞

Esta es una serie geometrica definida por  a1 = 3/10 y  r = 1/10. Entonces, seg´ un la ecuaci´ on 2.4,

S ∞ =3/10

1 − 1/10=

3/10

9/10=

3

9=

1

3

2.1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ · · · = S ∞

Esta es una serie geometrica definida por  a1 = 1/2 y  r = 1/2. Entonces, seg´ un la ecuaci´ on 2.4,

S ∞ =1/2

1 − 1/2=

1/2

1/2= 1

3. 1

2− 1

4+

1

8− 1

16+ · · · = S ∞

Esta es una serie geometrica definida por  a1 = 1/2 y  r = −1/2. Entonces, seg´ un la ecuaci´ on 2.4,

S ∞ =1/2

1 − (−1/2)=

1/2

3/2=

1

3

4.0, 183 = 0, 18383 . . . = 0, 1 + 0, 083 + 0, 00083 + 0, 0000083 + · · ·

   serie geometrica

= S ∞

Dejemos a un lado, por mientras, el primer termino de esta serie. Entonces, ten-emos una serie geometrica definida por  a1 = 83/1000 y  r = 1/100. Entonces,utilizando la ecuaci´ on 2.4 y considerando el primer decimal que habıamos dejadoa un lado, tenemos que:

S ∞ =1

10+

83/1000

1 − 1/100=

1

10+

83/1000

99/100=

1

10+

83

990=

1

10+

83

990

=99 + 83

990=

182

990=

91

95

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2.2 Sımbolo de sumatoria y sus propiedades 47

2.2. Sımbolo de sumatoria y sus propiedades

Supongamos que tenemos una sucesion de numeros reales tales que sus terminos

estan dados mediante una formula en terminos de una variable que llamaremos ındice yque toma valores enteros consecutivos. Cada termino de esta sucesion depende del valordel ındice i y lo denotaremos ai (ai se denomina el termino general de la sucesion).

Ejemplo 2.2.1

2, 6, 12, 20, 30, . . . ai = i(i + 1)

4, 7, 10, 13, 16, . . . ai = 3i + 11

2,

1

4,

1

6,

1

8,

1

10, . . . ai =

1

2i

Denotamos la suma de todos los terminos de una sucesion desde el que corresponde alındice p hasta el que corresponde al ındice q mediante :

qi= p

ai = a p + a p+1 + a p+2 · · · + aq.

Ejemplo 2.2.2

8i=3

i(i − 2) = 3 + 8 + 15 + 24 + 35 + 48 = 133

Ejemplo 2.2.3

ni=1

(i2 + 1) = 2 + 5 + 10 + 17 + · · · + (n2 + 1)

Ejemplo 2.2.4

ni=1

i

(2i − 1)(2i + 1)=

1

1 · 3+

2

3 · 5+

3

5 · 7+

4

7 · 9+ · · · +

n

(2n − 1)(2n + 1)

Ejemplo 2.2.5 ni=1

i = 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + n

entonces, seg´ un la f´ ormula 2.1,

ni=1 i = n(n+1)

2

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48 Sucesiones y Series

Propiedades de la

(sumatoria)

1. Propiedad 1 Sea c una constante cualquiera, entonces :

qi= p

c = c + c + c + . . . + c   q− p+1 veces

= (q − p + 1) · c

2. Propiedad 2 (de homogeneidad) Sea  c una constante cualquiera, entonces :

qi= p

cai = cq

i= p

ai

En efecto,

q

i= p

cai = ca p + ca p+1 + ca p+2 + · · · + caq = c(a p + a p+1 + a p+2 + · · · + aq = cq

i= p

ai

3. Propiedad 3q

i= p

(ai + bi) =

q

i= p

ai

+

q

i= p

bi

En efecto,

ni=1

(ai + bi) + (a2 + b2) + (a3 + b3) + · · · + (an + bn) =

= (a1 + a2 + a3 + · · · + an) + (b1 + b2 + b3 + · · · + bn) =

n

i=1

ai + n

i=1

biComunmente esta propiedad junto con la anterior de homogeneidad se ensamblanpara formar una sola propiedad que se denomina la propiedad de linealidad y seenuncia a continuacion.

4. Propiedad 4 (de linealidad) Sean c y d constantes cualesquiera, entonces :

qi= p

(cai + dbi) = c

q

i= p

ai

+ d

q

i= p

bi

En efecto,

qi= p

(cai + dbi) = (ca p + db p) + (ca p+1 + db p+1) + · · · + (caq + dbq) =

= c(a p + a p+1 + · · · + aq) + d(bq + bq+1 + · · · + bq) =

c

q

i= p

ai

+ d

q

i= p

bi

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2.2 Sımbolo de sumatoria y sus propiedades 49

5. Propiedad 5 (indice mudo)q

i= p

ai =q

 j= p

a j

6. Propiedad 6 (corrimiento del ındice) Sea c un n´ umero natural fijo, entonces:

qi= p

ai =q−c

i= p−c

ai+c

7. Propiedad 7 (telescopica)n

i=1

(ai+1 − ai) = an+1 − a1

En efecto, los terminos de la sumatoria se cancelan de a pares :

ni=1

(ai+1 − ai) = (a2 − a1) + (a3 − a2) + (a4 − a3) + · · · + (an+1 − an) = an+1 − a1

En general todas estas propiedades son muy importantes y elementales pero esta ´ ultima propiedad puede llegar a ser de mucha utilidad en el momento de querer calcular sumatorias mas complicadas, como mostraremos en uno de los ejemplosa continuaci´ on. Adem´ as de su utilidad en el c´ alculo de sumatorias, la propiedad telesc´ opica es la contrapartida del Teorema Fundamental del C´ alculo para el casodiscreto. El Teorema Fundamental del C´ alculo ser´ a visto en el capıtulo 4.

Ejemplo 2.2.6 Calcular el valor de8

i=2 5.

8i=2

5 = 5 · (8 − 2 + 1) = 5 · 7 = 35

Ejemplo 2.2.7 Calcular en terminos de n la suma :n

k=1

k2

Definamos ak = k3, entonces ak+1 = (k + 1)3 y, utilizando la propiedad telesc´ opica,n

k=1

(ak+1 − ak) =n

k=1

(k + 1)3 − k3

= (n + 1)3 − 1 (2.5)

Por otro lado, (k + 1)3 − k3 = 3k2 + 3k + 1, por lo tanto,n

k=1

(k + 1)3 − k3

=

nk=1

(3k2 + 3k + 1)

= 3n

k=1

k2 + 3n

k=1

k +n

k=1

1

= 3n

k=1

k2 + 3n(n + 1)

2+ n (2.6)

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50 Sucesiones y Series

igualando 2.5 con 2.6 tenemos que:

(n + 1)3

−1 = 3

n

k=1 k2 + 3n(n + 1)

2

+ n (2.7)

y despejandon

k=1 k2 de 2.7,

3n

k=1

k2 = (n + 1)3 − 3n(n + 1)

2− (n + 1)

= (n + 1)[(n + 1)2 − 3n/2 − 1]

=(n + 1)(2n2 + n)

2

nk=1 k2 = n(n+1)(2n+1)

6 (2.8)

Ejemplo 2.2.8 Calcular en terminos de n la suma :

1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + n(n + 1) =n

 j=1

 j( j + 1) =n

 j=1

( j2 + j)

=n

 j=1

 j2 +n

 j=1

 j =n(n + 1)(2n + 1)

6+

n(n + 1)

2

=n(n + 1)

2

2n + 1

3+ 1

=

n(n + 1)

2· 2n + 1 + 3

3

=n(n + 1)(2n + 4)

6=

n(n + 1)(n + 2)

3

= n(n + 1)(n + 2)3

Ejemplo 2.2.9 Calcular en terminos de n la suma :

1

3+

1

15+

1

35+ · · · +

1

4n2 − 1=

nk=1

1

4k2 − 1

Observemos que :

1

4k2 − 1=

1

(2k + 1)(2k − 1)=

1

2

1

2k − 1− 1

2k + 1

en efecto,

1

2

1

2k − 1− 1

2k + 1

=

1

2

(2k + 1) − (2k − 1)

(2k − 1)(2k + 1)=

1

2

2

(2k − 1)(2k + 1)=

1

(2k − 1)(2k + 1)

entonces, tenemos que :

nk=1

1

4k2 − 1=

nk=1

1

2

1

2k − 1− 1

2k + 1

= −1

2

nk=1

1

2k + 1− 1

2k − 1

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2.2 Sımbolo de sumatoria y sus propiedades 51

definamos ak = 12k−1 . Luego, ak+1 = 1

2(k+1)−1 = 12k+2−1 = 1

2k+1 y, producto de nuestra definici´ on, podemos escribir la sumatoria original como sigue :

−12

nk=1

12k + 1

− 12k − 1

= −12

nk=1

(ak+1 − ak) = 12

(a1 − an+1) = 121 − 1

2n + 1

Aquı, hemos hecho uso de la propiedad telesc´ opica.

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52 Sucesiones y Series

2.3. Teorema del binomio y numeros combinatorios

Comenzaremos este capıtulo enunciando el siguiente principio fundamental del anali-

sis combinatorio.

Principio 2 Supongamos que tengo m maneras de realizar una cierta operaci´ on  A y que tengo n maneras de realizar otra cierta operaci´ on  B. El n´ umero de maneras quetengo de realizar  conjuntamente las operaciones A y  B es m · n.

Supongamos que tenemos n objetos distribuidos en n casilleros. ¿De cuantas maneraspodemos ordenar estos n objetos? En el primer casillero podemos colocar cualquierade los n objetos distintos. Una vez colocado un objeto en el primer casillero, tenemosn − 1 objetos restantes, y por ende, n − 1 posibilidades para colocar un objeto en elsegundo casillero. Sabemos que el numero de maneras que tenemos para realizar ambas

operaciones, de acuerdo con el principio 2, es n · (n − 1). Es facil darse cuenta que elnumero de maneras en que podemos colocar, u ordenar, los n objetos distintos dentrode los n casilleros es : n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1.

Definicion 3 Se define n! (lease n factorial) recursivamente como sigue :

(n + 1)! = n!(n + 1) ∀n ∈ N

0! = 1

Nota: n! = n(n − 1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1 ∀n ∈ N

Corolario de la definicion:El numero de maneras de ordenar n objetos distintos es n!

2.3.1. Numeros combinatorios

Definicion 4 Se define el n´ umero combinatorial n

k

(lease n sobre k) como sigue :

n

k

=

n!

k!(n − k)!n, k enteros positivos tales que 0 ≤ k ≤ n

Ejemplo 2.3.1 4

2

=

4!

2!(4 − 2)!=

24

2 · 2= 6

Ejemplo 2.3.2 10

7

=

10!

7!(3)!=

10 · 9 · 8

3 · 2 · 1= 120

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2.3 Teorema del binomio y numeros combinatorios 53

2.3.2. Triangulo de Pascal

Construyamos un triangulo o arbol invertido de tal manera que contenga puros 1’sen sus bordes y que cada numero restante sea resultado de sumar los dos numeros queesten justo por encima de el. A este arbol se le conoce como triangulo de Pascal y sepresenta a continuacion.

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 1...

. . .

La utilidad de construir un triangulo de Pascal se debe a su directa relacion con el calculo

de los numeros combinatorios. A modo de ejemplo, calculemos los siguientes numeroscombinatorios :

4

0

,

4

1

,

4

2

,

4

3

,

4

4

Estos numeros son iguales a 1, 4, 6, 4 y 1 respectivamente. Es decir, son exactamenteiguales a la 5◦ fila del triangulo de Pascal. En general, los numeros:

n

0

,

n

1

,

n

2

, . . . ,

n

n

aparecen al escribir la (n + 1)esima fila en el triangulo de Pascal.

2.3.3. Propiedades de los numeros combinatorios o coeficientes bino-

miales

Propiedad 8 n

k

=

n

n − k

En efecto : n

k

=

n!

k!(n

−k)!

=n!

(n

−k)!(n

−(n

−k))!

=

n

n

−k

Ejemplo 2.3.3 n

0

=

n

n

= 1 ∀n

n

1

=

n

n−1

= n ∀n

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54 Sucesiones y Series

Propiedad 9 n + 1

k

=

n

k

+

n

k − 1

Ejercicio 2.3.1 Demostrar la propiedad anterior 

Ejemplo 2.3.4 Verificar que : 8

3

=

7

2

+

7

3

En efecto, 83

= 56

72

+

73

= 21 + 35

=

Ejemplo 2.3.5 Verificar que : 8

6

=

7

5

+

7

6

En efecto, 86

= 287

5

+76

= 21 + 7

=

2.3.4. Teorema del binomio

Como lo harıa Ud. si se le pidiese desarrollar por ejemplo (a + b)10? Multiplicandolos diez factores termino a termino? Afortunadamente hay una manera mas facil dehacerlo y se consigue empleando el Teorema del binomio. Enunciamos este teorema acontinuacion.

Teorema 2.3.1 (del binomio)

(a+b)n =

n

0

an+

n

1

an−1b+

n

1

an−2b2+· · ·+

n

n−2

a2bn−2+

n

n−1

abn−1+

n

n

bn

Usando un ındice k, el termino general del teorema del binomio es:n

k

an−kbk

y luego,

(a + b)n =n

k=0

n

k

an−kbk (2.9)

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2.3 Teorema del binomio y numeros combinatorios 55

Esta expresion se conoce como el teorema de binomio y nos dice como desarrollar unbinomio elevado a cualquier potencia natural. La demostracion de este teorema la de-sarrollaremos al final del capıtulo, cuando contemos con mas herramientas para hacerlo.

Ademas, si el lector esta interesado, le podemos contar que existen generalizaciones deeste teorema. Existe un teorema para desarrollar una potencia entera de un polinomiodenominado Teorema del Multinomio. Ademas, de la teorıa de la variable compleja sedesprende una formula para desarrollar un binomio elevado a una potencia no necesari-amente entera pero esta formula consiste en una serie de infinitos terminos.

Ejemplo 2.3.6 Hallar el termino central y el coeficiente de x14 en el desarrollo de

(1 − x)16

Solucion :

(1−

x)16 =16

k=0

16

k 116−k(−

x)k =16

k=0

16

k (−

1)kxk

El termino central es el 9 y este corresponde a  k = 8 :16

8

(−1)8x8 =

16

8

x8 = 12870x8

Ahora, el coeficiente que acompa˜ na a  x14 corresponde a  k = 14 y luego el coeficientees :

(−1)14

16

14

=

16

2

= 120

Ejemplo 2.3.7 Hallar el termino constante (independiente de x) en el desarrollo de

x2 − 1

x4

12Solucion :

x2 − 1

x4)12

=12

k=0

12

k

(x2)12−k · (− 1

x4)k =

12k=0

(−1)k

12

k

x24−2k · 1

x4k

=1

x=0

2(−1)k

12

k

x24−2k−4k =

12k=0

(−1)k

12

k

x24−6k

La ´ unica manera de que (−1)

k12k x

24−6k

sea constante es que24 − 6k = 0 ⇒ k = 4

Por lo tanto, el termino constante es :

(−1)4

12

4

=

12!

4! · 8!= 495

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56 Sucesiones y Series

Ejercicio 2.3.2 Buscar el termino independiente (que no depende de x) de :

x2

−1

x3

10

Respuesta : 210

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2.4 El principio de induccion y sus aplicaciones 57

2.4. El principio de induccion y sus aplicaciones

2.4.1. Introduccion

¿Habra alguna formula para calcular

nk=1

k3 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + · · · + n3 ? (2.10)

Una manera de hacerlo es definir ak = k4 y utilizar la propiedad telescopica, de igualmanera como hicimos para calcular

nk=1 k2. De hecho, este metodo nos permite calcular

recursivamenten

k=1 km para cualquier m ∈ N. Pero existe otro metodo, bastante utilpara demostrar propiedades que involucran numeros naturales, denominado metodoinductivo. La verdad es que este metodo no nos permite calcular  expresiones compli-cadas pero, si somos capaces de intuir algun calculo o alguna propiedad, este metodo nos

otorga una herramienta para probar la validez de dicho calculo o propiedad para todonatural.A modo de ejemplo veamos si somos capaces de intuir, luego de un poco de experi-mentacion, el valor de 2.10.

n = 1 13 = 1 = 12 = 12

n = 2 13 + 23 = 9 = 32 = (1 + 2)2

n = 3 13 + 23 + 33 = 36 = 62 = (1 + 2 + 3)2

n = 4 13 + 23 + 33 + 43 = 100 = 102 = (1 + 2 + 3 + 4)2

n = 5 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 225 = 152 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2

Sospechamos que :

13 + 23 + 33 + · · · + n3 = (1 + 2 + 3 + · · · + n)2 =

n(n + 1)

2

2Para aceptar matematicamente la formula anterior es necesario demostrar que se

cumple para cualquier entero positivo n, lo cual no hemos hecho todavıa

Principio 3 (de induccion matematica) Consideremos el conjunto de los n´ umerosnaturales N  = {1, 2, 3 . . .}. Si A es una sucesi´ on de n´ umeros naturales que cumple losiguiente :

A contiene al 1

Si A contiene al n´ umero k, entonces necesariamente contiene al n´ umero natural siguiente k + 1

entonces A = N .CorolarioDe acuerdo a este principio, para demostrar que una regla, teorema, propiedad,etc. secumple para cualquier entero positivo n, basta :

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58 Sucesiones y Series

Demostrar o verificar que se cumple para n = 1.

Demostrar que si se cumple para n = k ≥ 1 entonces necesariamente debe cumplirse

para n = k + 1

Ejemplo 2.4.1 Demostrar por inducci´ on matem´ atica que :

13 + 23 + 33 + · · · + n3 =

n(n + 1)

2

2∀n

Demostraci´ on :Primero, verifiquemos que al propiedad se cumple para  n = 1 :

13 = 1(1 + 1)

22

1 = 1

Luego, la propiedad se satisface para  n = 1.Ahora, supongamos que la igualdad que queremos probar se cumple para  n = k ≥ 1 ,osea,

13 + 23 + 33 + · · · + k3 =

k(k + 1)

2

2(Hip´ otesis de inducci´ on)

A partir de esta hip´ otesis, debemos probar que la igualdad se cumple para  n = k + 1

, o sea,13 + 23 + 33 + · · · + k3 + (k + 1)3 =

(k + 1)(k + 2)

2

2En efecto,

13 + 23 + 33 + · · · + k3 + (k + 1)3 =

k(k + 1)

2

2+ (k + 1)3 =

k2(k + 1)2

4+ (k + 1)3

=k2(k + 1)2 + 4(k + 1)3

4=

(k + 1)2k2 + 4(k + 1)

4

= (k + 1)2[k2 + 4k + 4]

4

=(k + 1)2(k + 2)2

4

luego,

13 + 23 + 33 + k3 + (k + 1)3 =

(k + 1)(k + 2)

2

2y, por lo tanto, la igualdad se cumple para  n = k + 1.Concluimos que la propiedad se cumple para todo n ≥ 1.

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2.4 El principio de induccion y sus aplicaciones 59

Ejemplo 2.4.2 Demostrar por inducci´ on matem´ atica que 9n −4n es divisible por  5 para todo n ≥ 1Demostracion :

Primero, verifiquemos que la propiedad se cumple para  n = 1. En efecto,

91 − 41 = 5

y  5 es divisible por  5, por tanto, la afirmaci´ on se cumple para  n = 1.Ahora, supongamos que la propiedad que queremos probar se cumple para  n = k, o sea :

9k − 4kes divisible por  5. (Hip´ otesis de inducci´ on)

Tenemos que demostrar que la propiedad se cumple para  n = k + 1, o sea,

9k+1

−4k+1es divisible por 5.

Por hip´ otesis, sabemos que 9k − 4k es divisible por 5. Esto significa que 9k − 4k = 5 p con  p alg´ un entero. Es decir  9k = 5 p + 4k. Teniendo presente esta ´ ultima expresi´ on 

9k+1 − 4k+1 = 9 · 9k − 4k+1

= 9(5 p + 4k) − 4k+1 = 45 p + 9 · 4k − 4 · 4k = 45 p + 5 · 4k

9k+1 − 4k+1 = 5(9 p + 4k)(multiplo de 5)

Luego, la afirmaci´ on se cumple para  n = k + 1 si se cumple para  n = k.Por lo tanto la afirmaci´ on es v´ alida para todo entero n ≥ 1 quedando completada nuestra 

demostraci´ on.

Una de las aplicaciones de la induccion consiste en generalizar propiedades.

Ejemplo 2.4.3 Probar la validez de la siguiente desigualdad y luego generalizarla para n sumandos :

|a + b| ≤ |a| + |b|Parentesis :Recordemos que si  a es un n´ umero real, entonces:

|a| = a si  a≥

0−a si  a < 0

Algunas propiedades de |a| f´ acilmente verificables por el lector son:

|a|2 = a2

|ab| = |a||b|

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60 Sucesiones y Series

Demostracion:

|a + b|2 = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = |a|2 + 2ab + |b|2

pero ab ≤ |ab| = |a||b|, luego

|a + b|2 = |a|2 + 2ab + |b|2≤ |a|2 + 2|a||b| + |b|2 = (|a| + |b|)2

⇒ |a + b|2 ≤ (|a| + |b|)2

entonces|a + b| ≤ | |a| + |b||

pero

|a

|+

|b

| ≥0, con lo cual podemos concluir :

|a + b| ≤ |a| + |b|

A modo de ilustraci´ on, sean  a = 3, b = −5, entonces

|a + b| = |3 + (−5)| = | − 2| = 2|a| + |b| = |3| + | − 5| = 3 + 5 = 8

claramente 2 ≤ 8. Por lo tanto, |a + b| ≤ |a| + |b|

Generalizacion :Si  a1, a2, a3, · · · , an son n´ umeros reales, entonces

|a1 + a2 + a3 + · · · + an| ≤ |a1| + |a2| + |a3| + · · · |an|o sea 

ni=1

ai

≤n

i=1

|ai| ∀n ≥ 1

Demostracion (por induccion sobre n) :Primero, verifiquemos que la propiedad se cumple para  n = 1,1

i=1 ai ≤ 1

i=1 |ai|⇒ |a1| ≤ |a1|

Efectivamente |a1| ≤ |a1| y, por lo tanto, la desigualdad se cumple para  n = 1.Supongamos que la desigualdad se cumple para  n = k ,o sea,

|a1 + a2 + a3 + · · · + ak| ≤ |a1| + |a2| + · · · + |ak| (Hip´ otesis de inducci´ on)

Demostraremos que en tal caso tambien se cumple para  n = k + 1, o sea,

|a1 + a2 + · · · + ak + ak+1| ≤ |a1| + |a2| + · · · + |ak| + |ak+1|

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2.4 El principio de induccion y sus aplicaciones 61

pero

|a1 + a2 + · · · + ak + ak+1| = | (a1 + a2 + · · · + ak)

   A

+ak+1| = |A + ak+1|

Como hemos demostrado que la desigualdad es v´ alida para 2 sumandos (n = 2) entonces:

| (a1 + a2 + · · · + ak)    A

+ak+1| ≤ |A| + |ak+1| = |a1 + a2 + · · · + ak| + |ak+1|

≤ (|a1| + |a2| + · · · |ak|) + |ak+1| = |a1| + |a2| + · · · + |ak| + |ak+1|o sea, bajo la hip´ otesis de inducci´ on, la desigualdad tambien se cumple para  n = k + 1.Concluimos que la desigualdad es v´ alida para todo n´ umero natural.

Ejercicio 2.4.1 Probar que :

|a1 a2 a3 a4 · · · an| = |a1||a2||a3| · · · |an| ∀n ≥ 1

Demostracion (por induccion) del teorema del binomio :

(a + b)n =n

k=0

n

k

an−kbk =

n

0

an +

n

1

an−1b + · · · +

n

n

bn

Verifiquemos que el teorema se cumple para n = 1 :

(a + b)1 = a + b

1k=0

1ka1−kbk =

10a +

11b = a + b

=

luego el teorema del binomio se cumple para n = 1. Supongamos que el teorema delbinomio se cumple para n = p , o sea,

(a + b) p = p

k=0

 p

k

a p−kbk (Hipotesis de induccion)

Demostraremos bajo la suposicion anterior que el teorema se cumple para n = p + 1 , osea, debemos probar que:

(a + b) p+1 = p+1

k=0

 p+1

k

a p+1−kbk

en efecto,

(a + b) p+1 = (a + b)(a + b) p = (a + b) p

k=0

 p

k

a p−kbk

= (a + b)

 p

0

a p +

 p

1

a p−1b +

 p

2

a p−2b2 + · · · +

p

 p−1

+

 p

 p

b p

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62 Sucesiones y Series

=

 p

0

a p+1 +

 p

1

a pb +

 p

2

a p−1b2 +

 p

3

a p−2b3 + · · ·

+ p

 p−1a

2

b p−1

+  p

 pab

 p

+  p

0a

 p

b +  p

1a

 p−1

b2

+  p

2a

 p−2

b3

+ · · ·

+

p

 p−2

a2b p−1 +

p

 p−1

ab p +

 p

 p

b p+1

Factorizando de a pares y usando el hecho de que p0

= p+1

0

y p

 p

= p+1

 p+1

, tenemos

(a + b) p+1 =

 p+1

0

a p+1 +

 p

1

+

 p

0

a pb +

 p

2

+

 p

1

a p−1b2 +

 p

3

+

 p

2

a p−2b3

+ · · · +

p

 p

−1

+

p

 p

−2

a2b p−1 +

 p

 p

+

p

 p

−1

ab p +

 p+1

 p+1

b p+1

ahora, usando la propiedad n

k−1

+n

k

=n+1

k

, tenemos

(a + b) p+1 =

 p+1

0

a p+1 +

 p+1

1

a pb +

 p+1

2

a p−1b2 +

 p+1

3

a p−2b3

+ · · · +

 p+1

 p−1

a2b p−1 +

 p+1

 p

ab p +

 p+1

 p+1

b p+1

= p+1k=0

 p+1

k

a p+1−kbk

y el teorema, bajo la hipotesis de induccion, es valido para n=p+1. Concluimos que elteorema del binomio es valido para todo n natural.

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64 Sucesiones y Series

10. a ) Una progresion aritmetica tiene diferencia comun igual a p. Por otro lado unaprogresion geometrica tiene razon comun igual a p. Tanto el primer termino dela progresion aritmetica como el primer termino de la progresion geometrica

son iguales a 1.1) Escriba, en funcion de p, los cuatro primeros terminos de la progresion

geometrica y de la progresion aritmetica.

2) Si el tercer termino mas el cuarto termino de la progresion aritmeticas esigual al tercer termino mas el cuarto termino de la progresion geometrica,encuentre los 3 posibles valores para p.

3) ¿ Para cual de los valores de p hallados en (a)(ii) existe la suma de losinfinitos terminos de la progresion geometrica ?

b) 1) Tomando el valor de p hallado en (a)(iii) halle el valor exacto de la sumade los infinitos terminos de esta progresion geometrica.

2) Tomando el mismo valor de p, halle la suma de los veinte primeros termi-nos de la progresion aritmetica escribiendo su respuesta en la forma :a + b

√c a, b, c ∈ Q.

Indicacion : p3 + p2 − 5 p − 2 = ( p − 2)( p2 + 3 p + 1)

2.5.2. El sımbolo de sumatoria y sus propiedades

1. Usar el sımbolo de

para expresar las sumas siguientes:

a ) 1 − 12 + 1

3 − 14 + · · · − 1

100

b) an + an−1b + an−2b2 + an−3b3 +

· · ·+ abn−1 + bn

c) 13 + 1

8 + 115 + 1

24 + 135 + · · · + hasta n terminos

2. Calcular las sumas siguientes:

a )4

k=1 kk

b)5

i=1 22i−1

c)6

r=11

r(r+1)

3. Suponiendo conocidas las formulas siguientes:

nk=1

k = n(n + 1)2

nk=1

k2 = n(n + 1)(2n + 1)6

determinar en funcion de n las siguientes sumas:

a )n

k=1 2k(2k + 1)

b) 3 + 8 + 15 + 24 + 35 + · · · + n terminos

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2.5 Problemas propuestos 65

4. a ) Usar la siguiente identidad

1

i(i + 1)

=1

i −

1

i + 1para calcular, en terminos de n, la siguiente suma:

ni=1

1

i(i + 1)

b) Aplicar

a ambos lados de la identidad siguiente

(k + 1)3 − k3 = 3k2 + 3k + 1

y obtener la formula para

nk=1 k2 suponiendo conocida la formula para

n

k=1 k.5. Usar las propiedades del sımbolo

para probar que:

a )n

r=1[a + (r − 1)d] = n2 [2a + (n − 1)d]

b)n

i=1 ari−1 = a rn−1r−1

6. Si x1, x2, x3, . . . , xn son n numeros reales, el promedio o medio aritmetico de ellosse define por,

X  =1

n

ni=1

xi

Probar que :1

n

ni=1

(xi − X )2 = 1

n

ni=1

x2i

− X 

2

7. a ) Calcular en terminos de n la suma:

S  =1

n

ni=1

k2k

Indicacion : Calcular primero S-2S

b) Generalizar el procedimiento usado en (a) para calcular en terminos de n y qla suma:

S  = nk=1

kqk

8. Calcular en terminos de n las sumas:

a )n

k=1[3(k + 1) + (−1)k

3k]

b) 1 + 9 + 25 + 49 + · · · + hasta n terminos

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66 Sucesiones y Series

9. Usar la identidad (k + 1)4 − k4 = 4k3 + 6k2 + 4k para obtener:

n

k=1 k3 = n(n + 1)

2 2

10. En el triangulo ∆ABC  rectangulo en B se tiene AB = BC  = 1cm. y se divideel lado AB en n partes iguales, construyendose en cada subdivision un rectangulocomo lo indica la figura.Calcular en terminos de n la suma de las areas de todos los rectangulos. ¿Que sucede

 

C

...

A B

si n toma valores cada vez mas grandes?

2.5.3. Teorema del binomio. Triangulo de Pascal y numeros combina-

torios

1. Usar el teorema del Binomio para desarrollar completamente:

a ) (x − 7y)3

b)

1 + 3y

3c)

23x

+ 3xy4

2. Desarrollar (a+b)6 y comprobar que los coeficientes que acompanan a cada terminocorresponden a los coeficientes del Triangulo de Pascal.

3. Hallar el/los termino/s central/es de los siguientes binomios:

a ) (1 + 4y)5

b) (2x − 3y)6

c)

1 − x2

2

13

4. a ) Hallar el cuarto termino del binomio siguiente:

a

3+ 9b

10

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2.5 Problemas propuestos 67

b) Hallar el coeficiente de x18 del siguiente binomio:

x3 +3a

x 15

5. Hallar el desarrollo de (1 + 2x − x2)4

6. Utilize el Teorema del Binomio para encontrar el valor de (1, 001)5 con 5 decimalesexactos.Indicacion: utilize el Teorema del Binomio, separando 1,001 en una suma, y luegoaproxime.

7. Demuestre que si n es un numero natural mayor que cero, se tiene que:

n

0 + n

1 + n

2 + n

3 + · · · + n

n = 2

n

Indicacion : Utilize el Teorema del Binomio, notando que 2n = (1 + 1)n.

8. Hallar la relacion entre r y n para que los coeficientes de los terminos de lugares3r y (r + 2) del binomio (1 + x)2n sean iguales.

9. a ) Utilizando el Teorema del Binomio, desarrollar los siguientes binomios:

1) (x − 3)5

2)

2 − 3x2

2

4b) Hallar el cuarto termino y el termino independiente de la siguiente expresion:

3

2x2 − 1

3x

9

10. Usando el Teorema del Binomio, encontrar el valor numerico de (0,998)6 con 5decimales exactos.

11. Los 2◦, 3◦ y 4◦ terminos del desarrollo de (x + y)n son 240, 720 y 1080 respectiva-mente. Hallar x,y ,n.

2.5.4. Principio de Induccion y sus aplicaciones

1. Deducir y probar las correspondientes formulas para la suma de los primeros nnumeros pares e impares.

2. Demuestre por induccion que el numero maximo de diagonales que se le puedendibujar a un polıgono de n lados es igual a n(n−3)

2 .

3. Demostrar por induccion que xn − yn es divisible por x + y cuando n es par.

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68 Sucesiones y Series

4. Ocupando sumas conocidas, encuentre la formula de :

S  = 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + (n − 1)n

y demuestrela por induccion.

5. Demuestre por induccion que para todo n natural :

1

1 · 2+

1

2 · 3+

1

3 · 5+ · · · +

1

n · (n + 1)=

n

n + 1

6. Demuestre por induccion que para todo n natural :

2nk=1

(−1)k(2k + 1) = αn

y determine el valor de la constante α.

7. Demuestre por induccion que para todo n natural :1 +

1

1

2 1 +

1

2

3 1 +

1

3

4

· · ·

1 +1

n

n+1

=(n + 1)n+1

n!

8. SeaS  = 1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6 + · · · + n(n + 3)

a ) Calcule el valor de S .

b) Demuestre su resultado por induccion.

9. Demuestre que para todo numero natural n :1 +

1

n

n

1 +1

n + 1

n+1

10. Demuestre por induccion que para todo n natural :

a ) 1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n+1)2

b) 12 + 22 + 32 + · · · + n2 = n(n+1)(2n+1)6

c) 13 + 23 + 33 + · · · + n3 = n(n+1)

2 2

11. Demuestre que para todo n natural se tiene que :

1 +1√

2+

1√3

+ · · · +1√n

< 2√

n

12. Demuestre por induccion que la suma de los angulos interiores de un polıgono den lados es igual a π(n − 2) .

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8/8/2019 Sucesiones Series Completo

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2.5 Problemas propuestos 69

13. Pruebe que para todo n natural,

a ) 32n+1 + 2n+2 es divisible por 7.

b) n3

+ 5n es divisible por 6.

14. Pruebe por induccion que :

1 +1

4+

1

9+ · · · +

1

n2≤ 2 − 1

n