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Series y Sucesiones

Sucesiones

Es un conjunto de trminos formados por una ley o regla determinada. Es

conjunto es una funcin cuyo dominio son los nmeros enteros positivos (Z +).

Para simboliar un trmino general se utilia la letra a s! y las variables con la

letra minscula n.

Ejemplos"

Notacin

#a sucesin {a1 , a2 , a3 ,,an } tambin se denotar$ por {an } o {an }n=1

Ejemplo 1.%lgunas sucesiones se pueden definir mediante una frmula para el n&

simo trmino! as' se tienen"

a. { nn+3 }n=1

! donde! an= n

n+3 y la sucesin es {14, 25 ,36 ,, nn+3 ,}


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b.

1( n)(n+2)

2n

! donde!

1( n)(n1)

2n

an=

y la sucesin es

1( n)(n+2)

2n

,

32 ,4

4,

5

8, 6

16,,

Ejemplo 2.

%lgunas sucesiones no tienen una ecuacin definitoria sencilla. al es el caso de la

sucesin de ibonacci { fn } ! dada de manera recurrente por"f1=1, f2=1, fn=fn1+ fn2n3 . *ada trmino es la suma de los anteriores. #os

primeros trminos son" {1,1,2,3,5,8,13, }

Definicin" na sucesin{an }

tiene l'mite Ly se escribe

lim

n

an

,LoanL

cuando n .

-i para >0 eiste un entero correspondiente / tal 0ue |anL|


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Nota" -ilimn

an= ! entonces la sucesin {an } es divergente.

Ejemplo 3

#a sucesin { n2

n+1 } es divergente ya 0ue limn n2

n+1= .

Propiedades de las sucesiones converentes

-ean {an } y {bn } sucesiones convergentes y c una constante! entonces

2. lim

n

(anbn)=limn

an limn

bn

3. lim

n

can=c limn

an

4.

(anbn)=limn

an limn

bn

limn

5.

(an

bn)= lim

n

an/ limn

bn

limn

! si

limn

bn0

El teorema del emparedado tambin se puede adaptar para sucesiones en la

siguiente forma.

Teorema -i anbncn ! para n n0 y

an= limn

cn=L

limn

entonceslimn

bn=L .


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6tro 7ec7o de utilidad respecto a los l'mites de las sucesiones se establece en el

teorema siguiente.

Teorema" -ilimn

|an|=0 entoncesan=0limn

Ejemplos

a. 8etermine limn

2n+3n+1

8ividamos el numerador y el denominador por la potencia m$s alta de n y

utilicemos las leyes de los l'mites limn

2n+3n+1

= limn

2+3

n

1+1

n

=2+01+0

=2

b. *alcule limn

ln (n)n

/ote 0ue el denominador y numerador y denominador se van par infinito conforme

n . #a regla de #9:ospital no se puede aplicar en forma directa. -in

embargo podemos aplicarla a la funcin relacionada f(x )=ln(x)x y obtener"

1

x

1=0

ln (x )

x =limx

limx

Por lo tanto tenemos limn

ln (n)n =0


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c. 8etermine si la sucesin an=(1)n

converge o diverge.

-i escribimos los trminos de la sucesin tendremos {1,1,1,1,1,1} ! ya

0ue los trminos de la sucesin oscilan entre &2 y 2 infinidad de veces! an no se

aproima a ningn nmero; como consecuencia ellimx

(1)nno eiste; es decir!

la sucesin {(1)n } diverge.

d. Evale

1n

limn

en caso de 0ue eista

%plicando un teorema visto antes tenemos

1 n

=limn

1

n2 =0

limn

Por tanto!

1n

limn

El siguiente teorema establece un criterio para las sucesiones llamadas

geomtricas


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Teorema!#a sucesin {rn } converge si 1


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= se tiene el siguiente teorema.

Teorematoda sucesin acotada y montona es convergente

Serie

Es la sumatoria de una sucesin

Ejemplos"

Tipos de series"

-erie finitas" ienen un nmero limitado de trminos.

-eries infinitas" el nmero de trminos es ilimitado.

-eries montonas" son a0uellas 0ue mantienen una misma tendencia 7as

el infinito

$recientes" a2> a3>a4>;??>; an(va aumentando trmino a trmino)

Decreciente" a21; a31; a41;??1; an (va disminuyendo trmino a trmino)


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%lunos tipos de series

Serie &eom'trica!

Es a0uella serie cuyo trmino de formacin es"

donde"

a" es una constante!

r" es la base

$riterios para la serie!

-i @r@ > 2 la serie converge! entonces se aplica la siguiente frmula para determinar

el valor de la convergencia.

-i @r@ 12 la serie diverge.


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(Serie %rmnica!



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-iempre diverge.

Serie p!


-i pA2 la serie es convergente

-i p , 2 la serie es divergente

Propiedades de las series"

-i las series %,Bany C,Bbnconvergen a las sumas indicadas y c es una

constante! entonces las series

Ban +bn, %+C y Bcantambin convergen! como sumas.

2.& Bcan, cBan

3.& Ban +bn,Ban+Bbn

4.& Ban &bn,Ban&Bbn

Teorema de la $onverencia

-i la serie es convergente! entonces el l'mite en el infinito es igual a

cero.


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$riterio de la diverencia!

-i el l'mite no eiste o distinto de cero! entonces la serie es divergente. Este

criterio est$ basado en el teorema de la convergencia. -i el limite llegara a dar

cero el criterio no es concluyente puesto 0ue el teorema dice 0ue las series

convergente siempre dan cero mas no lo contrario. :ay algunas series divergentes

0ue su l'mite en el infinito es igual a cero! como es el caso de las serie armnica.

Ejercicios relacionados al tema!


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Serie Telescpica o desplea)le"

Es a0uella serie cuyo trmino de formacin se puede representar por de la

siguiente manera"

8e una ecuacin compleja en el denominador se lleva a dos m$s sencillas! por

varios mtodos"

-i es un polinomio por el proceso de fraccin simple! si una funcin logar'tmica

por sus propiedades.


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Suma parcial.

Para la serie Banla n&esima suma parcial viene dada por"

-n, a2+a3+a4+ ???+an

-i la sucesin de parciales D -n converge a -! se dir$ 0ue la Banconverge.

8onde - es la suma de la serie. -i D -n diverge la serie tambin lo 7ar$.

$riterio de la interal.

Este criterio relaciona los conceptos de divergencia y convergencia de una integralimpropia con los mismos de una serie infinita. Es para funciones continuas! no

negativas y decrecientes.


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$riterios de $omparacin

$omparacin Directa

#a comparacin directa es trmino a trmino y se aplican los siguientes criterios"

FGanGbn

2.& -i Bb converge! entonces Ba tambin converge


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3.& -i Ba diverge! entonces Bb tambin diverge

$omparacin en el l*mite

8onde Bb es convergente o divergente.

*riterios para la toma de decisin"

-i l ,F para b convergente entonces a tambin converge.

l , H para b divergente entonces a tambin diverge.

l, I (es una constante) para b convergente o divergente! entonces a ser$ convergente o divergente.


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$riterio de la ra+n o cociente!

-i l 12 o H diverge

-i l > 2 converge

-i l,2 no concluye


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