Sucesiones y Series de Matrices

Cap tulo 2

Normas de Vectores y Matrices

2.1.

Introduccin o

En este cap tulo repasaremos brevemente el concepto de norma de un vector para centrarnos en el estudio de las normas de matrices o, si se quiere, en las normas de los operadores lineales. El estudio de las normas de matrices es importante por varias razones. Es necesario, por ejemplo, para denir de forma precisa conceptos tales como series de potencias de matrices; y desde luego es bsico para precisar lo a que se entiende por proximidad o lejan entre matrices, aspectos fundamentales en a el anlisis de algoritmos en la computacin numrica. Un par de ejemplos pueden a o e servir para ilustrar estas ideas. Es conocido que si x es un nmero complejo de mdulo menor que 1 entonces u o

p1 xq1 1 x x2 x3 . . .Esto sugiere la frmula o

pI Aq1 I A A2 A3 . . .27

28


para calcular la inversa de la matriz I A. Pero cundo es tal frmula vlida?. a o a Resulta que es suciente que una norma de la matriz A sea menor que 1, y adems a cualquier norma sirve. De forma parecida se puede ver que bajo ciertas condiciones relativas a la norma de A la serie V 1 Ak k i0 es convergente y sirve para denir la funcin matricial eA . o Por otra parte, el clculo numrico con matrices que proceden de datos experia e mentales, no es exacto; por lo general matrices estn sometidas, bien sea por errores a de redondeo o por imprecisin en las mediciones,a pequeas perturbaciones. Cun o n a pequeas son estas perturbaciones, o lo que es lo mismo, cun lejos est la matriz n a a verdadera de la calculada son conceptos que se pueden hacer precisos utilizando normas. En todo este cap tulo supondremos que F es el cuerpo R de los nmeros reales u o el cuerpo C de los nmeros complejos. u

2.2.2.2.1.

Normas de VectoresDenicin y Ejemplos o

Como es bien sabido, el concepto de norma de un vector es una generalizacin o del concepto de valor absoluto o mdulo de un nmero complejo. o u Denicin 2.1 .-Sea V un espacio vectorial sobre F (R o C). Una funcin : o o V R es una norma en V si satiface las siguientes propiedades: (i) x $ 0 pxq 0. (ii) pxq || pxq,

d F. dx V(desigualdad triangular)

(iii) px y q pxq py q,

2.2 Normas de Vectores

29

Tres importante propiedades se siguen de forma inmediata de la Denicin 2.2. o Para cualquier norma 1. p0q 0 porque p0q p0xq 0 pxq 0.

2. pxq pxq porque pxq | 1| pxq pxq

3. | pxq py q| px y q. En efecto, hay dos posibilidades:

b) pxq py q. Entonces | pxq py q| py q pxq y de nuevo por la desigualdad triangular py q py xq pxq px y q pxq. Ejemplo 2.2 Se puede denir una innidad de normas en Fn , sin embargo las ms utilizadas son las llamadas normas de Hlder o normas p . En lo que sigue a o supondremos que x px1 , x2 , . . . , xn q Fn es un vector de Fn . Para cada una de las normas dibujamos, a modo de ilustracin la correspondiente o bola unidad en R2 ; i.e., el conjunto B p0, 1q tx R2 | x 1u.

a) pxq py q. En este caso | pxq py q| pxq py q y por la desigualdad triangular pxq ppx y q y q px y q py q.

(a)

La norma x

1:

1

n i 1

| xi | .

(b)

La norma x

2

o norma eucl dea:dn

2

i 1

| xi | 2 .

30


(c)

La norma V : x V mx |xi |. a 1in

(d)

La norma x

p

general (p 2):n i 1

p

| xi | p

1{p

.

Demostrar que las normas p son, en efecto, normas es fcil salvo la desigualdad a triangular que, en el caso general, se conoce como desigualdad de Minkowsky. sta e a su vez, es consecuencia de otra desigualdad importante; la desigualdad de Hlder: o 1 1 Si p y q son nmeros reales tales que p q 1 entonces u

| x y |

x

p

y

q

.

En el caso particular en que p 2 (y entonces tambin q e Hlder se convierte en una desigualdad bien conocida: o

2) la desigualdad de

| x y | la desigualdad de Cauchy-Schwartz.

x

2

y

2,

Aparentemente la norma V no es una norma p . Sin embargo se la puede considerar como tal porque para cualquier x Fn se tiene que x V l m pV xp

.


31

Algo de esto ya se intuye en la forma que tienen las bolas unidad en R2 para las normas p . Tambin admite, claro est, una demostracin rigurosa: Sea e a o x y supongamos que x V mx |xi | |xi1 | |xiq | m. a 1in Es decir, que las componentes i1 , . . . , iq son, en mdulo, mayores que todas las o dems, y que en todas ellas el valor de dicho mdulo es el mismo e igual a m. As a o , si tj1 , . . . , jnq u t1, . . . , nuzti1 , . . . , iq u tenemos que x xj k p p

p|x1|p xn|pq1{p,

pqmp |xj |p |xj |pq1{p p 1{p p m q xj xjm . m1 n q 1 n q

m como se deseaba demostrar.

Como

1 conclu que pl xj 0 y pl mos m m V m Vk

p

x

p

m

x V , tal y

2.2.2.

Equivalencia de normas

Las normas son herramientas bsicas para denir y analizar la convergencia de a una sucesin de vectores en espacios vectoriales. Como es habitual, una sucesin o o txk u V se dice que converge a x (y se escribe xk x) si la sucesin de nmeros o u reales t pxk xqu converge a cero, pxk xq 0, siendo una norma denida en V . Esta denicin depende de la norma . En principio podr suceder que una o a sucesin de vectores convergiera para una norma pero no para otra. De hecho, esto o es perfectamente posible en espacios de dimensin innita, pero no en espacios de o dimensin nita. Ello es consecuencia de que todas las normas en un espacio vectorial o de dimensin nita son equivalentes en el siguiente sentido: o Denicin 2.3 Sean y normas denidas en V , espacio vectorial sobre F. Se o dice que y son equivalentes si existen nmeros reales positivos c1 y c2 tales que u c1 pxq c2, dx V. pxq

32


Debe notarse que as se dene, en efecto, una relacin de equivalencia en el o conjunto de todas las normas denibles en un espacio vectorial. (Se ver en los a ejercicios que hay una innidad de normas denibles en cualquier espacio vectorial). Nuestro objetivo es demostrar que todas las normas en un espacio de dimensin o nita son equivalentes. Para ello debemos recordar algunos resultados bsicos de a topolog En todo espacio normado, pM, . q podemos denir una distancia: a. dpx, y q x y , que hace de pM, dq un espacio mtrico, y por lo tanto topolgico con una base de e o abiertos dada por las bolas abiertas centradas en cada punto de M . Por consiguiente, si V es un espacio vectorial en el que tenemos denida una norma, automticamente a tenemos en V estructuras de espacio mtrico y topolgico. Si en M tenemos denidas e o dos normas, las bolas abiertas denidas por ambas normas pueden ser diferentes (vese el Ejemplo 2.2). A pesar de que las bases de abiertos determinadas por dichas a normas sean diferentes, las topolog determinadas por stos pueden ser iguales. La as e propiedad de que las normas son equivalentes determina que, en efecto, las topolog as inducidas por ellas son la misma; es decir, todo abierto respecto de una de las normas lo es respecto de la otra. En efecto, recordemos que si es una norma en M , un conjunto A M es abierto si para cada x A existe un nmero real 0 tal que B px, q ty V | px y q u u est contenido en A. Ahora, si en M hay denidas dos normas equivalentes, digamos a y , entonces existen constantes positivas c1 y c2 tales que c1 pxq pxq c2 pxq para todo x M . Supongamos que A es abierto respecto de la norma . Esto signica que para todo x A existe r 0 tal que px y q r implica que y A. Veamos que A es abierto respecto de . Sea x A un elemento cualquiera y denamos s de modo que 0 s cr2 . Si px y q s tenemos que px y q c2 px y q c2 r c2

r.

Por lo tanto y A y A es abierto respecto a . La demostracin de que todo abierto o respecto a lo es respecto a se hace igual. As pues, todas las normas equivalentes denidas en un conjunto M inducen la misma topolog en dicho conjunto. En consecuencia, todos los invariantes topolgia o cos (compacidad, conexin, . . . ) se mantienen. Es decir, si un conjunto es compacto o o conexo respecto de una de las normas lo es respecto de la otra.


33

Estas propiedades tienen un inters sobre todo terico, pero nos ahorra tener que e o estar prestando atencin continuamente a las normas empleadas cuando se prueban o resultados topolgicos. En cualquier caso, una primera consecuencia es que la cono vergencia de sucesiones de vectores en espacios de dimensin nita es independiente o de la norma elegida. La demostracin de que todas las normas denidas en un espacio vectorial de o dimensin nita son equivalentes se puede hacer de diversas formas. La que adopo tamos aqu no es la ms directa pero tiene la virtud de poner de maniesto una a propiedad fundamental de los espacios vectoriales de dimensin nita: estos espao cios vectoriales estn caracterizados por el hecho de que las esferas unidades respecto a de cualquier norma son conjuntos compactos. Demostraremos esta importante propiedad (que usaremos de manera signicativa posteriormente) en el siguiente Lema. En la prueba usaremos que las normas 1 y 2 en Fn son equivalentes. En efecto, tal y como se propone demostrar en los ejercicios, se tiene la siguiente desigualdad para todo xFn : c (2.1) }x}2 }x}1 n}x}2. Una ultima observacin: ntese que la acotacin no se conserva por homeomors o o o mo (el intervalo p0, 1q es homeormorfo a R) pero si dos normas son equivalentes y un conjunto es acotado respecto de una de ellas lo es, por la denicin de equivalencia o de normas, respecto de la otra. Lema 2.4 (a) Todas las normas denidas en V , espacio vectorial sobre F, son funciones continuas cuando en V se considera la topolog inducida por y a en R la topologa habitual (la inducida por el valor absoluto). (b) Sea V un espacio vectorial de dimensin nita y una norma en V . La esfera o unidad de V respecto de la norma , S tx V | pxq 1u, es un conjunto compacto con la topologa en V inducida por dicha norma. Demostracin.o (a) Sea una norma denida en V y consideremos en V la topolog inducida a por esta norma. Sea 0 un nmero real arbitrario. Escogemos 0 . u Entonces, como para todo x, y V

| pxq pyq| px yq,

34


resulta que si px y q es continua.

entonces | pxq pyq| . Esto demuestra que n y sea tv1, . . . , vnu una base de V . Denimos la v

(b) Supongamos que dim V siguiente funcin: o g :

Fn a pa1 , . . . , an q

a1 v 1 an v n

V

donde el ndice indica que la topolog en V es la derivada de la norma . a Esta aplicacin es un isomorsmo de espacios vectoriales; es decir, es una o aplicacin lineal y biyectiva. Y desde el punto de vista topolgico es tambin o o e n un homeomorsmo cuando en V y F se consideran las topolog derivadas de as las normas y 1 . Es decir, g es una aplicacin continua con inversa continua. o No obstante, para llegar al resultado deseado slo necesitamos que g sea contio nua. Aunque, tal y como se acaba de decir, ste es un hecho conocido, lo demose tramos porque la demostracin es muy sencilla y esta propiedad se usar con o a frecuencia en este curso. Que la inversa de g tambin es continua requiere ms e a trabajo. Aunque no se va a utilizar, demostraremos esta propiedad al nal de la seccin. o

Sea 0 un nmero real dado. Tenemos que encontrar un nmero real u u tal que si a b 1 entonces pg paq g pbqq . Ahora bien pg paq g pbqq

0

n i 1

n

|ai bi| pviq M a b 1,

i 1

paivi biviq

donde M mxt pv1 q, . . . , pvn qu. Observamos que M 0 porque vi $ 0 para a todo i 1, . . . , n por ser vectores de una base de V . Basta escoger 0 M para obtener el resultado deseado.

Sea S V la esfera unidad respecto de la norma : S tx V | pxq 1u. Este conjunto es acotado respecto de la mtrica determinada por . Y e tambin es cerrado porque es la anteimagen por la aplicacin continua del e o 1 pS q es cerrado. El conjunto g 1 pS q cerrado t1u de R. Como g es continua, g tambin es acotado. Esto es, en realidad, una consecuencia inmediata de un e resultado que veremos en la prxima leccin. Sin dicho resultado, necesitamos o o


35

una demostracin. Ya hemos visto que g : Fn V y : V o continuas. Entonces, la composicin de ambas o f : Fn p a1 , . . . , a n q

R son funciones

;

R pa1 v1 an vn q

n tambin lo es. Sea S1 1 tx Fn |}x}1 1u la esfera unidad de Fn respecto de e la norma 1 . Este conjunto es cerrado y acotado respecto de la norma 1 . Por (2.1) tambin es cerrado y acotado respecto de la norma eucl e dea. Ahora bien, sabemos (Teorema de Heine-Borel) que ser cerrado y acotado en Fn (F R n o C) respecto de la norma eucl dea equivale a ser compacto. As pues S1 1 n1 es compacto. Consecuentemente, f restringida a S1 alcanza su m nimo. Sea n1 m m yS1 1 f py q. Notemos que m 0 porque si y S1 entonces y $ 0, n n por lo que vy y1 v1 yn vn $ 0 y f py q pvy q 0.

Sea ahora a pa1 , . . . , an q g 1 pS q. Esto signica que x a1 v1 an vn S y as 1 pxq

n

} a} 1

i 1

ai vii 1

n ai

Pero como

}}

a1 , . . . an1 a 1 a

}}

S1n1 resulta que

}a}1

vi

Por lo tanto

n ai i 1

}a}1

vi

f

a1 an ,... }a}1 }a}1

m.

1 pxq }a}1 m, 1 . As pues, g 1 pS q est acotado en a y como m 0 obtenemos }a}1 m la norma 1 ( y por lo tanto en al norma 2 ). Y como tambin es cerrado e en ambas normas por ser equivalentes, y F R o C, g 1 pS q es compacto. Finalmente, como g biyectiva, g pg 1 pS qq S . Ahora bien, la imagen de un compacto por una aplicacin continua es compacto. Conclu o mos entonces que S es compacto, tal y como se deseaba demostrar. El rec proco del apartado (b) del lema anterior tambin es verdadero. Aunque no e lo vamos a utilizar lo exponemos por completitud. La demostracin usa el siguiente o resultado de Riesz, que no demostramos:

36


Lema 2.5 (Lemma de Riesz) Sea E un espacio vectorial y una norma denida en l. Sea S E un subespacio propio y 0 1. Existe x E zS tal que e px q 1 y ps x q para cada s S. Teorema 2.6 Un espacio vectorial V es de dimensin nita si y slo si la esfera o o unidad en V , respecto de cualquier norma, es un conjunto compacto. Demostracin.- La necesidad de que la esfera unidad sea un conjunto compacto o para que V sea de dimensin nita se ha probado en el Lema 2.4. Demostremos ahora o la suciencia. Sea una norma en V y supongamos que V es de dimensin innita. Sea x1 V o cualquier vector tal que px1 q 1. Sea V1 x1 el subespacio generado por x1 . Como V es de dimensin innita, V1 es un subespacio propio de V , por el Lema de o 1 Riesz, existe x2 V tal que px2 q 1 y px2 y q 2 para todo y V1 . Sea V2 x1 , x2 el subespacio generado por x1 y x2 . De nuevo, V2 V es un subespacio propio de V . Aplicando otra vez el Lema de Riesz, existe x3 V tal que 1 px3 q 1 y px3 y q 2 para todo y V2 . Siguiendo as sucesivamente, constru mos una sucesin de vectores txn u con las o siguientes propiedades: (a) pxn q 1 para n 1, 2, . . . (b) pxn xm q 1 2

para n $ m, n, m N.

Por lo tanto hemos constru una sucesin de vectores en la esfera unidad de V , do o respecto de la norma , que no admite una subsucesin convergente. Esto signica o que la esfera unidad no es un conjunto compacto en V , contradiciendo la hiptesis. o Demostramos nalmente el resultado sobre la equivalencia de normas que buscbaa mos. Teorema 2.7 Todas las normas denidas en un espacio vectorial de dimensin o nita son equivalentes.


37

Demostracin.- Sea V un espacio vectorial de dimensin nita sobre F, y sean o o y dos normas denidas en V . Sea S tx V |pxq 1u. Por una parte, este conjunto es compacto con la topolog en V inducida por la a norma . Hemos visto en la demostracin del Lema 2.4 que si o g : Fn a pa1 , . . . , an q

v

a1v1 anvn

V

a entonces g 1 pS q es compacto en Fn con la topolog habitual (la derivada de la norma eucl dea o de la 1 ). Tambin se ha demostrado g es continua cuando en V e se considera la topolog derivada de la norma . Como la imagen de un compacto a por una aplicacin continua es un compacto y g es biyectiva, conclu o mos que S es compacto en V con la topolog inducida por la norma . aAs pues, cuando en V consideramos la topolog inducida por tenemos que a es una aplicacin continua y S un compacto. Por lo tanto, alcanza en S su o mximo y su m a nimo. Pongamos c1 m py q y c2 mx py q. Entonces, para n a y S y S x S y x V , tenemos que p xq pxq pxq Y de la misma forma pxq pxq

x pxq

pxq m pyq c2pxq. n y S

x pxq

pxq mx pyq c1pxq. a y S

Una consecuencia inmediata de la equivalencia de normas en espacios de dimensin nita es que los isomorsmos algebraicos de espacios vectoriales normados son o isomorsmos topolgicos u homeomorsmos: o Corolario 2.8 Sean V1 y V2 dos espacios vectoriales de dimensin nita n sobre o F y sea f : V1 V2 un isomorsmo. Sean y normas denidas en V1 y V2 , respectivamente. Entonces f y f 1 son aplicaciones continuas cuando en V1 y V2 se consideran las topologas inducidas por estas normas. Demostracin Probamos la continuidad de f , la de f 1 se demuestra igual. o

38


En primer lugar, es fcil demostrar que la aplicacin : V1 R denida por a o pxq pf pxqq es una norma en V1 . Como V1 es de dimensin nita, y son o equivalentes. Existe una constante positiva c2 tal que pxq c2 pxq para todo x V1 . Sea ahora 0 un nmero real dado. Escojamos de modo que 0 u Entonces, si x, y V1 cumplen que px y q , se sigue pf pxq f py qq pf px y qq px y q c2 px y q c2 Esto demuestra que f es uniformemente continua en V1 . Una consecuencia inmediata es el siguiente resultado anunciado en la demostracin del Lema 2.4: la inversa de o g : Fn a pa1 , . . . , an q

. c2

.

v

a1v1 anvn

V

es una aplicacin continua. o

2.3.2.3.1.

Normas de MatricesDeniciones, Ejemplos y Primeras Propiedades

Dado que Fmn es un espacio vectorial todo lo dicho en la seccin anterior es o de aplicacin a las matrices de tamao m n con elementos en el cuerpo de los o n nmeros reales o complejos. En particular, todas las normas denidas en Fmn son u equivalentes; i.e. generan la misma topolog son funciones continuas. a,y Debemos observar que las propiedades que denen una norma tienen en cuenta las operaciones propias de la estructura de espacio vectorial sobre el que se denen: el producto por escalares y la suma de vectores (desigualdad triangular). Sin embargo las matrices, en algunos casos, se pueden multiplicar. Una norma sobre Fnn se dir que es una norma de matriz cuando respecto al producto se verica una a propiedad similar a la desigualdad triangular para la suma. Tomar en consideracin o esta propiedad de las matrices nos conduce a la siguiente denicin: o

2.3 Normas de Matrices

39

Denicin 2.9 .- Sean , y normas denidas en Fmn , Fnp y Fmp , respectio vamente. Diremos que , y son consistentes si para todas matrices A Fmn y B Fnp se verica pAB q pAq pB q. En particular una norma denida en Fnn se dice que es consistente si pAB q pAq pB q para todas A, B Fnn . Una norma denida en Fnn consistente tambin se dice que es multiplicae tiva o submultiplicativa. Una norma denida en Fnn se dice que es una norma de matriz si es consistente.

Un caso particular importante es el de las normas consistentes (tambin llamadas e en este caso compatibles) con las normas de vector: Si es una norma denida en Fnn y es una norma denida en Fn entonces se dice que es consistente o compatible con la norma de vector si para toda matriz A Fnn y todo vector x Fn se tiene que pAxq pAq pxq Ejemplo 2.10 1. - La norma eucl dea en Fmn ser a A

m n i 1j 1

| aij |2

1

2

A esta norma se le llama tambin norma de Frobenius y se suele representar e por A F . En algunos sitios se le llama tambin norma de Schur o de Hilberte Schmidt. Nosotros utilizaremos el nombre de norma eucl dea o de Frobenius. La norma de Frobenius en Fnn es una norma de matriz. En efecto, teniendo en cuenta que la desigualdad de Cauchy-Schwartz y quen k 1

aik bkj

40


es el producto escalar de la i-sima la de A por la j-sima columna de B, e e AB2 F

n i,k 1

| aik |

2 n n aik bkj i,j 1 1 k n 2j,k 1

n i,j 1

n

k 1

| aik |2 F

2

n

k 1 2 F

| bkj |

&2

| bkj |2

A

B

.

2. - La norma V en Fmn ser: a A1 i m 1 j n

mx |ai,j | a

Esta norma en Fnn no es una norma de matriz como lo demuestra el siguiente ejemplo: & & 1 1 2 2 2 A A AA 1 1 2 2 y AA 2 1 A A 3. - En general la normap

en Fmn se denir como: a A

m n i 1j 1

|aij |

12

p

Utilizando la desigualdad de Hlder se puede demostrar que en Fnn esta o norma es una norma de matriz si y slo si 1 p 2. o 4. - Una pequea modicacin en la denicin de la norma V nos permite obtener n o o nn una norma de matriz en F : A

n

1 i,j n

mx |ai,j | a

En efecto, si a mx |aij | y b mx |bij | entonces a a1 i,j n

AB

mx a

n

n n mx aik bkj a 1i,j n k 1 n k 1

1 i,j n

n

1 i,j n

mx a

n k 1

1 i,j n

ab na nb A

|aik bkj |

B


41

La norma de Frobenius se puede escribir alternativamente de cualquiera de las dos formas siguientes: a) b) AF

A a1 2 a2 2 . . . an 2 , donde A 2 2 2 est escrita en trminos de sus vectores columna. a e

2 F

trpA Aq

ra1

a2 an s

Fnn

2.3.2.

Normas de Matriz Inducidas

Consideremos en Fn y Fm normas }}n y }}m , respectivamente. Es un hecho conocido que las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales normados de dimensin nita o son operadores acotados. Que un operador h : E1 E2 entre dos espacios normados es acotado signica que dx E1 existe una constante M 0 tal que }hpxq} M }x} donde hemos representado con el mismo signo, }}, y sin posibilidad de confusin,las o dos normas denidas en E1 y E2 . Si E1 y E2 son espacios vectoriales de dimensin o nita, hemos visto en el Corolario 2.8 que las aplicaciones lineales son continuas. x a Si x E1 entonces }x} est en la esfera unidad S1 de E1 que, por el Lema 2.4, es un conjunto compacto en E1 . Por consiguiente, si h es lineal entonces, como las normas son siempre funciones continuas, } } h restringido a S1 alcanza su mximo a x 1 x y m nimo. Sea M mx }hpy q}. Entonces }hp }x} } M . Pero }hp }x} } }x} }hpxq}, a de donde se sigue que }hpxq} M }x}.y S1

Una tcnica general para obtener normas de matriz a partir de normas vectoriales e es la siguiente: Sea A Fmn y pensemos en A como una transformacin u operador o lineal: A : Fn Fm x Ax

En particular para la aplicacin lineal A se tiene que dx Fn existe una constante o M 0 tal que }Ax}m M }x}n . Y esto signica que el conjunto4

}Ax}m : x Fn, x $ 0B }x}n

est acotado superiormente. Consecuentemente, tiene un supremo. Podemos as dea nir la siguiente funcin: o f : Fmn R A f pAq

42


donde

f pAq

0 x F

$

sup n

Ax x

m n

Es claro que el cociente Ax xm n

es no negativo. Probaremos que f es una norma consistente con las normas de vector que sirven para denirla. Comenzaremos observando que el sup se alcanza y que, por lo tanto, podemos sustituir sup por max. Para ello probamos, en primer lugar, que (supondremos siempre x Fn ): f pAq sup Ax m .xn

1

En efecto si M Axm,

dx Fn tal que x n 1, con lo que M xsup 1 Ax m. Rec procamen te, si M sup Ax m , entonces M Ax m , dx Fn tal que x n 1. Sea x 1 x Fn un vector no nulo arbitrario; entonces xx es un vector unitario, de modo Ax m . Por lo tanto M sup Ax . En conclusin o que M A xx m x1 x 0$xF f pAq sup Ax n . x 1n n n m n n n n n

sup0 x

$

Ax m x n

entonces M

Ax m , x n

dx $ 0. En particular M

Ahora bien, m es una funcin continua respecto de cualquier norma de Fn o y tambin A es una funcin continua (por ser una funcin lineal). Por otra parte, e o o la esfera unidad es un conjunto compacto (respecto de cualquier norma) de Fn , y cualquier funcin continua alcanza sus valores mximo y su m o a nimo en ella. As pues f pAq mx axn 1

Ax

m

0 x F

mxn a

$

Ax x

m n

.

Demostraremos ahora que f pAq es una norma vectorial consistente con las normas } }m y } }n . Teorema 2.11 .- Sea

n

y

m

normas denidas en Fn y Fm , respectivamente.


43

a) La funcin real f denida en Fmn por o f pAq mx axn

1

Ax

m

0 x F

mxn a

$

Ax x

m n

es una norma que denotaremos con b) Si A Fmn y B

m,n .

Fnp entonces }AB }m,p }A}m,n}B }n,p. } }n,n es una norma de matriz. m

En particular, si m n entonces la norma c) Las normas

m,n ,

m

y

n

son consistentes. y

d) Si es cualquier otra norma de matriz consistente con A m,n pAq, dA Fmn .

n,

entonces

En lo sucesivo, y para evitar una notacin excesivamente pesada, no escribio remos los sub ndices que asocian cada norma al espacio en el que est denida y a representaremos todas las normas con el s mbolo } }. La razn es que en todo moo mento es claro en qu espacio est el vector o la matriz sobre el que acta la norma. e a u As escribiremos }x} y }A} en vez de }x}n o }A}m,n porque si A Fmn entonces la , norma en Fmn es }}m,n y no se necesita precisar los sub ndices; y, adems, Ax slo a o n tiene sentido si x F y no se precisa especicar el sub ndice en el correspondiente s mbolo de la norma. Demostracin.- a) Debemos vericar todos los axiomas que denen las normas o de matriz (i) Si A $ 0 existe x mx a Ax 0.x

Fn tal que Ax $ 0. Por lo tanto

Ax

0y

A

1

(ii) Para todo F A

||

x

mx ax

mx a

1

Ax

1

Ax

||

v

A

mx || ax

.

1

Ax

44


(iii) Probamos ahora que si A, B efecto AB

Fmn entonces pA B qx Bx mx ax

AB

A

Bx

B . En

p

mx ax

1

1Ax

Ax Bx

mx ax

1

Ax B .

q

mx ax

1

mx ax

1

A

b) Sean A Fmn y B

Fnp. Por denicin o AB mx ABx a }x}1

. AB

Sea x0 Fp un vector con x0 1 donde se alcanza el mximo: a Ahora bien, para cada matriz X X de donde resulta que Xy

ABx0 .

mx ay 0

$

Xy y

X y , dy $ 0. As AB ApBx0 q A Bx0 A B x0 A B ,

porque

1; que es lo que se quer demostrar. a En particular si m n p y A, B Fnn entonces }AB }n,n }A}n,n }B }n,n. Es decir, } }n,n es una norma de matriz.x0 c) Ya hemos visto que dA Fnn y dx Fn , x $ 0, se tiene que Axm

A

m,n

x

n

.

Y para x 0 se obtiene la igualdad de forma evidente. Por consiguiente, las normas m,n, m y n son consistentes.


45

d) Tambin hemos visto ms arriba que existe x0 e a A Como es consistente con A

Fn con

x0

1 tal que

n

Ax0

.

m

y

resulta que x0n

Ax0

m

pAq

pAq,

tal y como se deseaba demostrar.

Ejemplo 2.12 .- Vamos a ver cmo se denen expl o citamente las normas de matriz p para p 1, 2, V. 1. - La norma de matriz 1 : Sea A Fmn y escribamos esta matriz en funcin o de sus columnas A ra1 a2 an s. Vamos a probar que la norma de matriz inducida por la norma 1 es : A o, equivalentemente, A En efecto, pongamos M1 1

1 j n

mx a

m i 1

|aij |1

1 j n

mx a

1mxn }aj }1. Vamos a demostrar que M }m1 }Ax}1. a ax j x} Para ello probamos primero que M }Ax}1 para todo x Fn con }x}1 1;1

aj

i.e. que M es una cota superior del conjunto

t}Ax}1 : }x}1 1, x Fnu,Y a continuacin que esta cota se alcanza. Es decir, que existe x0 o }x0} 1 y M }Ax0}1. Sea x Fn con }x}1

Fn tal que

1, y sean px1, . . . , xn) sus componentes. Entonces

}Ax}1 }x1a1 xnan}1 p|x1|}a1}1 |xn|}an}1q p|x1| |xn|q 1mxn }aj }1 M }x}1 M a j

46


Por lo tanto, M es una cota superior de t}Ax}1 : }x}1 1, x Fn u. Ahora, si el mx }aj }1 se alcanza, digamos, para la columna k entonces M }ak }1 . a1 j n

k Tomando x0

ek p0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0q Fn, tenemos que }x0}1 1 yM

}ak }1 }Aek }1 }Ax0}, 1, x Fnu que se

de modo que M es una cota superior de t}Ax}1 : }x}1 alcanza. Esto es mx }aj }1 mx }Ax}1 }A}1 a a1 j n

}x}1 1

2. - La norma de matriz V : De forma similar a lo que hemos visto ms arriba, a vamos a demostrar que la norma de matriz inducida por la norma V es A V mx a 1inn n j 1

|aij |.

Pongamos M

1mxn |aij |. Por una parte a ij 1

Ax V

1mxn a |a i j 1 ij M }x}V.As pues

n n mx a aij xj mx aij xj a 1in j 1 1in j 1 & n n

|

|x V

1 k n

mx |xk | a

1 i n j 1

mx a

|aij |

}A}V

x

mx a

V 1

Ax V M.

(2.2)

Para demostrar la desigualdad en sentido contrario vamos a probar que para cada i 1, . . . , n existe un vector xi con }xi }V 1 tal quen j 1

|aij |

n aij xi . j j 1

(2.3)

2.4 Sucesiones y Series de Matrices

47

Supuesto esto demostrado es fcil ver que }A}V a i 1, . . . , n

M . En efecto, para cada

}A}V }x}V1 }Ax}V }Axi} mx a

n mx aij xi a j 1in j 1 n 1 i nj 1

|aij |.

mx a

|aij | M

As pues, debemos demostrar (2.3). Basta encontrar xi tal que aij xi j Pero esta misma identidad nos sirve de denicin: o xi j |aij | aij

o siempre que aij $ 0 y xi 1 si aij 0. Con esta denicin de xi tenemos que j i i }x }V 1 y se verica (2.3) porque cada sumando aij xj |aij | es positivo. En conclusin on j 1

}A1}V }x}V1 }Ax}V M 1mxn mx a a ital y como se deseaba demostrar.

|aij |

3. - La norma de matriz 2 : A la norma de matriz inducida por la norma 2 se le llama tambin Norma Espectral. Veremos en un tema posterior que tiee ne un signicado muy importante que todav no estamos en condiciones de a comprender bien.

2.4.

Sucesiones y Series de Matrices

Tal y como hemos dicho en la seccin anterior, el uso de normas nos permite o hablar de convergencia de sucesiones de vectores y, por lo tanto, de matrices. El objetivo de esta seccin es introducir las serie de matrices y demostrar un resultado o que necesitaremos en un tema posterior.

48


Sea tAk uV 0 una sucesin innita de matrices con elementos en Fnm , recordemos o k que F R o C. Con esta sucesin formamos otra, la de las sumas parciales o Sk

k j 0

Aj ,

k

0.

Denicin 2.13 La serie ok

V j 0

existe el l Sk . Adems, si S m a

Aj converge si la sucesin tSk u es convergente; i.e. si o

V

kl Sk entonces escribiremos m VV Aj

S.

j 0

La convergencia de la serie

V j 0

V j 0

}Aj } de la siguiente forma:

Aj se puede reducir a la de la serie numrica e

Proposicin 2.14 Si la serie numrica o e

V j 0

}Aj }Aj .

converge para alguna norma de

matriz, tambin converge la serie matricial e

V

j 0

Demostracin.- Sea 0 un nmero real dado. Veremos que existe un entero o u N 0 tal que si p, q N entonces Sp Sq . Esto demuestra que la sucesin o mn tSnu de sumas parciales es una sucesin de Cauchy. Como F es completo, tSnu o converge. En efecto Sp Sq Ahora bien, si q Aj j p1 q j p 1

V j 0

}Aj } Aj

p Aj j 0

} }

q j 0

} }

Aj .

}Aj } converge, existe N 0 tal que si p, q N entonces p Aj j 0

} }

q j 0

} } ,

2.4 Sucesiones y Series de Matrices

49

que es lo que se quer demostrar. a En particular, para matrices cuadradas la serie de potencias gente si lo es la serie numrica e

V j 0

V j 0

particular de la Proposicin 2.14 pero se demuestra igual teniendo en cuenta que la o norma elegida es una norma de matriz. En efecto, basta observar que si Bj aj Aj entonces }Bj } |aj | }Aj } |aj | }A}j , donde la ultima desigualdad se debe a que las normas de matriz tienen la propiedad submultiplicativa. Como muchas funciones escalares se pueden denir como series de potencias convergentes en ciertas regiones del plano complejo, la posibilidad de reducir la convergencia de una serie de potencias matriciales a la de sus correspondientes normas permite denir de forma sencilla algunas funciones matriciales. Concretamente, sea f pz q

|aj | }A} . En realidad, este resultado no es un casoj

aj Aj es conver-

V j 0

aj z j en un entorno de z

0 con un radio de Fnn . Si hay converge y

convergencia R y consideremos la serie matricial alguna norma de matriz para la que }A} podemos denir f pAq

V j 0

aj Aj con A

R, la serie

V j 0

|aj | }A}j

V j 0

aj Aj .

En particular, cada una de las siguientes funciones est perfectamente denidas: a eA 1 j! Aj , dA Fnn. j 0 V p1qj 2j 1 n n senpAq p2j 1q! A , dA F . j 0 V p1qj 2j nn cospAq p2j q! A , dA F .j 0

V

De la misma forma se podr denir otras funciones matriciales como ln A, tanpAq, an

50


etc. Nos interesa especialmente la serie geomtrica e a 1z 1

V j 0

p1 zq1 si |z| 1:

z j que sabemos que converge

Fnn y }A} 1 para alguna norma de matriz, entonces V j In A es invertible. Adems, en tal caso pIn Aq1 a A y }pIn Aq1 } Proposicin 2.15 Si A oj 0

1 }A}

1

.

Demostracin.- Si }A} 1 entonces la serie geomtrica o e te, y por la Proposicin 2.14 la serie matricial o pongamos Sk Entonces

V j 0

V j 0

}A}j es convergenV j 0

Aj converge. Sea B

Aj y

k j 0

Aj .

pI AqSk pIn AqpIn A Ak q In Ak1. Como l Sk B resulta que m kVk

l pIn AqSk m

V

pIn AqB,

y tambin e

kl pIn Ak1q. m V V Ahora bien, l pIn Ak1 q In porque }In Ak1 In } m kVk

l pIn AqSk m

numrica e

t}A}k u converge a cero por ser }A} 1. En consecuencia pIn AqB In y pIn Aq1 B

}A}k1 y la sucesin o

V j 0

Aj .

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