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GUA: SUCESIONES Y LMITES

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Srta. Marina Salam Salam

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N de inscripcin en el Registro de Propiedad Intelectual # ___ . ____ de fecha ___-___-___. INACAP 2002.

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1. SUCESIONES Y LMITES

1.1 SUCESIONES

1.1.1 Definiciones

Definicin 1: Una sucesin numrica es toda funcin

iai

IRIN:f

Una sucesin genrica se simboliza por a1, a2, a3, ..., an , ... o ms

simplificadamente {an}. En la que el subndice denota, con toda

exactitud, el lugar que cada trmino ocupa en la misma. Los

subndices recorren los nmeros naturales porque una sucesin tiene

tantos elementos como nmeros naturales hay; es decir, una sucesin

tiene una cantidad infinita numerable de trminos.

As, a5 es el quinto trmino de la sucesin.

Definicin 2: El trmino general de una sucesin es una frmula que permiteconocer el valor de un determinado trmino si se conoce previamente

el lugar que ocupa en la misma. Por costumbre, al trmino general de

una sucesin se le denota por an y se hablar de trmino n-simo.

1.1.2 Progresiones

Las progresiones constituyen el ejemplo ms sencillo del concepto de sucesin. Desde

los albores de la historia de las matemticas se han estudiado sus propiedades, y stas

han sido aplicadas, sobre todo, a la aritmtica comercial.

El estudio de las progresiones aritmticas es paralelo al de las geomtricas por cuanto

las propiedades de estas ltimas emanan de las primeras sin ms que convertir las

sumas en productos, diferencias en cocientes, y el producto por un nmero natural en

una potencia de exponente natural.

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El origen de las progresiones, al igual que el de tantas otras ramas de las matemticas,

es incierto. No obstante, se conservan algunos documentos que atestiguan la presencia

de progresiones varios siglos antes de nuestra era, por lo que no se debe atribuir su

paternidad a ningn matemtico concreto.

Es conocido el problema de calcular en cunto tiempo se doblara una cantidad de dinero

a un determinado inters compuesto, propuesto por los babilonios (2000 a.C. - 600

a.C.), lo cual hace pensar que conocan de alguna manera la frmula del inters

compuesto y, por tanto, las progresiones geomtricas.

En el libro IX de Los Elementos de Euclides aparece escrita una frmula, semejante a la

actual, de la suma de n trminos consecutivos de una progresin geomtrica. Bhaskara,

matemtico hind del siglo XII, plantea en su ms conocida obra, el Lilavati , diversos

problemas sobre progresiones aritmticas y geomtricas.

Progresiones Aritmticas

Definicin 1: Una progresin aritmtica es una sucesin en la que cada elementose obtiene sumando al anterior un nmero fijo llamado diferencia, que

se representa por la letra d .As, si {an} es una progresin aritmtica,

se verifica que:

an = an - 1 + d

Definicin 2: Trmino general de una progresin aritmtica esta dado por

an = a1 + (n - 1) d

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La frmula del trmino general de una progresin aritmtica {an} se encuentra sin msque observar que:

a1 = a1

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2 d

a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d

a5 = a4 + d = (a1 + 3d) + d = a1 + 4d

........................................................

Ntese que en todos los casos el trmino correspondiente es la suma de dos cantidades:

- La primera es siempre a1

- La segunda es el producto (n - 1) d

Esto es: an = a1 + (n - 1) d

Propiedades:

1) Si la diferencia de una progresin aritmtica es positiva, la progresin es

creciente; es decir cada trmino es mayor que el anterior.

2) Si la diferencia de una progresin aritmtica es cero, la progresin es

constante, es decir, tiene todos sus trminos iguales.

3) Si la diferencia de una progresin aritmtica es negativa, la progresin es

decreciente, es decir, cada trmino es menor que el anterior.

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Trminos equidistantes de una progresin aritmtica El inters de las progresiones aritmticas no acaba en el clculo del trmino general.

Estudiando ms detalladamente algunos modelos de progresiones aritmticas, se

pueden deducir propiedades de enorme inters:

En cada uno de estos tres modelos se han elegido al azar dos parejas distintas de

trminos, de forma que la suma de los subndices es igual en ambos casos. Sumando el

valor de los trminos en cada una de las dos parejas, se observa que los resultados

coinciden.

Esto conduce a la pregunta de si, elegidas cualesquiera dos parejas de trminos cuyas

sumas de subndices coincidan, tambin coincidirn las sumas de sus trminos

correspondientes.

Dicho en lenguaje matemtico, cabe preguntarse si ser cierto que el hecho de ser r + s

= u + v, se desprende la igualdad ar + as = au + av.

La respuesta es afirmativa, y este resultado se conoce con el nombre de propiedad de

los trminos equidistantes de una progresin aritmtica.

Propiedad 1:

Si an es una progresin aritmtica de diferencia d y r + s = u + v,

entonces ar + as = au + av.

Definicin 3: Interpolacin de medios aritmticosInterpolar (de inter , entre y polos) n nmeros entre otros dosconocidos a y b; consiste en construir una progresin aritmticaa, a1, a2, ... , an, b.Los nmeros a1, a2, ... , an reciben el nombre de medios aritmticos.

Para resolver este problema basta con conocer la diferencia que ha de tener la

progresin, la cual se deduce sin ms que tener en cuenta dos cosas:

1) La sucesin tiene n + 2 trminos

2) El primer trmino es a y el trmino an + 2 es b.

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Aplicando la frmula del trmino general de una progresin aritmtica, se tiene que:

b = a + [(n + 2) - 1] d

Una vez conocido el valor de la diferencia,

a1 se obtiene como la suma de a y d ;

a2 es la suma de a1 y d , y as sucesivamente.

Progresiones Geomtricas

Definicin 4: Una progresin geomtrica es una sucesin en la que cadaelemento se obtiene multiplicando el anterior por un nmero fijo

llamado razn, y que se representar por la letra r .

As, si {an} es una progresin geomtrica, se verifica que:

an = an - 1 r

Definicin 5: Trmino general de una progresin geomtrica esta dado por :

an = a1 rn - 1

La frmula del trmino general de una progresin geomtrica {an} se encuentra sin msque observar que: a1 = a1

a2 = a1 r a3 = a2 r = (a1 r) r = a1 r

2

a4 = a3 r = (a1 r

2) r = a1 r3

a5 = a4 r = (a1 r

3) r = a1 r4

.......................................................

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Ntese que, en todos los casos, el trmino correspondiente es el producto de dos

cantidades:

- La primera es siempre a1

- La segunda es una potencia de base r y exponente un cierto nmero, que se

obtiene restando una unidad al subndice

Esto es: an = a1 rn 1

Propiedad 2:

1) Si la razn de una progresin geomtrica es mayor que uno, la progresin

es creciente, es decir, cada trmino es mayor que el anterior.

2) Si la razn de una progresin geomtrica est comprendida entre cero y

uno, la progresin es decreciente, es decir, cada trmino es menor que el

anterior.

2) Si la razn de una progresin geomtrica es igual a uno, la progresin es

constante, es decir, tiene todos los trminos iguales.

4) Si la razn de una progresin geomtrica es menor que cero, la progresin

es alterna, es decir, sus trminos son alternativamente positivos y

negativos.

Ntese la similitud que hasta el momento se da entre las progresiones aritmticas y las

geomtricas. Se seguirn comprobando todas las propiedades, sin ms que cambiar

sumas por productos.

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Trminos equidistantes de una progresin geomtrica

La analoga observada hasta ahora conduce a la pregunta de s, elegidas cualesquiera

dos parejas de trminos cuyas sumas de subndices coincidan, tambin coincidirn los

productos de sus trminos correspondientes.

Dicho en lenguaje matemtico, cabe preguntarse si ser cierto que del hecho de ser

t + s = u + v, se desprende la igualdad at as = au av.

La respuesta es afirmativa, y este resultado se conoce con el nombre de propiedad de

los trminos equidistantes de una progresin geomtrica.

Propiedad 3:Si en una progresin geomtrica t + s = u + v, entonces

at as = au av

Definicin 6: Interpolacin de medios geomtricosInterpolar n medios geomtricos entre otros dos conocidos a y b,consiste en construir una progresin geomtrica

a, a1, a2, ..., an, b. Para resolver este problema basta con conocer la razn que ha de tener la progresin, la

cual se deduce sin ms que tener en cuenta dos cosas:

1) La sucesin tiene n + 2 trminos.

2) El primer trmino es a y el n + 2 es b.

Aplicando la frmula del trmino general de una progresin geomtrica se tiene que:

b = a rn + 2 - 1, de donde Una vez conocido el valor de la razn,a1 se obtiene como el producto de r por a;a2 es el producto de a1 por r , y as sucesivamente.

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1.2 OPERATORIA CON SUCESIONES

Operatoria con sucesiones :

Sean an y bn dos sucesiones, entonces:

1) Adicin de sucesiones:an + bn = (a1 + b1 ), (a2 + b2 ), (a3 + b3 ),......... (an + bn )

2) Sustraccin de sucesiones:an - bn = (a1 - b1 ), (a2 - b2 ), (a3 - b3 ),............. (an - bn )

3) Multiplicacin de sucesiones:

an bn = a1 b1, a2 b2 , a3 b3,........................... an bn

4) Divisin de sucesiones:

= ,ba

,b

a,ba

ba

3

3

2

2

1

1

n

n n

nba , bn 0

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1.3 CLASIFICACIN DE SUCESIONES

1.3.1 Sucesin montonas y estrictas

Sucesin montonas y estrictas:

Sea { an } : sucesin numrica, entonces:

1) {an} es una sucesin montona creciente, o es una sucesin no

decreciente, si y slo si: INnaa 1nn +

2) {an} es una sucesin estricta creciente, si y slo si: INnaa 1nn < +

3) {an} es una sucesin montona decreciente, o es una sucesin no

creciente, si y slo si: INnaa 1nn +

4) {an} es una sucesin estricta decreciente, si y slo si:

INnaa 1nn +

5) {an} es una sucesin oscilante, si y slo si no cumple alguna de lascuatro definiciones anteriores.

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1.3.2 Sucesin acotadas

Sucesiones acotadas:

Sea { an } : sucesin numrica, entonces:

1) {an} es una sucesin acotada superiormente ( en IR), si y slo si:

IRk tal que INn,kan

2) {an} es una sucesin acotada inferiormente ( en IR), si y slo si:

IRk tal que INn,ak n

3) {an} es una sucesin acotada ( en IR), si y slo si est acotada

superior e inferiormente. Es decir, + IRk tal que

INn,kan

1.3.3 Sucesin convergentes

Lmite de una sucesin

Definicin 1: Dado un punto (nmero) a, un entorno centrado en a es un intervalo

de la forma (a - , a + ); es decir, es el conjunto de puntos x tales que

a - < x < a + .

El problema del lmite

Encontrar el lmite de una sucesin es un problema que consiste en determinar a qu

nmero, si es que existe, se aproximan sus trminos.

En la sucesin ,41,

31,

21,1 cuyo termino general es,

n1an =

al aumentar n (el nmero de orden), an est cada vez ms prximo a cero:

51a5 = ; 001,01000

1a1000 == ; 000001,000010001a 0000001 ==

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1. Ningn trmino de la sucesin llega a valer cero.2. Elegido un entorno centrado en cero, por pequeo que ste sea, siempre se

encuentra un trmino tal que a partir de l todos los trminos de la sucesin estn

dentro de ese entorno.

Por ejemplo, si se elige el entorno (-0,0001 ; 0,0001), a partir del trmino a 10 000, todos

los dems trminos (an , n > 10 000) estn en dicho entorno.

En efecto:

a 10 000 = 0,0001. Coincide con uno de los extremos del intervalo y, por definicin, no

tiene cabida en l.

0001,00000999,010010

1a 10001 10 001, a n < a 10 001 < 0,0001

Se concluye que si n > 10 000, an (-0,0001; 0.0001).

Este ejemplo pone las cosas a punto para comprender la definicin de lmite de una

sucesin.

Definicin 2: Dada una sucesin {an }, se dice que {an} tiene por lmite l, tiende a l oconverge a l cuando n tiende a infinito ( ), y se simbolizar

lalm nn

=

o ms simplificadamente { an } l

Si para todo > 0 (psilon) tan pequeo como se quiera, existe un subndice n 0 tal que

para todo n n 0, an pertenece al entorno (I - , I + ).

Es decir, a partir de un elemento en adelante todos caen en el entorno citado.

Esto significa que para n n 0, | an - I | <

Y recordando el significado de valor absoluto, | an - I | <

se traduce en :

- < an - I < , y sumando I a los tres miembros de la desigualdad,

I - < an < I +

EL nmero n0 que se ha de encontrar para cada , depende de ste.

En general, cuando ms pequeo se tomo , mayor ha de ser el n0 correspondiente.

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Definicin 3: Toda sucesin que tenga lmite se dice que es convergente.Una sucesin {an} que tenga por lmite I, se dir que tiende a I o que

converge a I.

Propiedad de las sucesiones convergentes

1) Si una sucesin (an ) tiene lmite I positivo, existe un trmino a partir

del cual todos los trminos de la sucesin son positivos.

2) Si una sucesin (an ) tiene lmite I negativo, existe un trmino a partir

del cual los trminos de la sucesin son negativos.

3) Si una sucesin converge a cero, no se puede asegurar nada acerca

del signo de cada uno de los trminos de la sucesin.

Demostracin:

1) Si l es positivo, se toma 2l

= y se considera el entorno

2l3,

2l

Por definicin de lmite de una sucesin, existe un subndice n0 tal que para

n n0 , a n est en el entorno

2l3,

2l

Esto quiere decir que 0 < 21 < a n , lo que prueba que a partir de un trmino en

adelante, los que siguen son positivos

2) Si l es negativo, se considera el entorno

2l3,

2l , donde

2l

=

El razonamiento es anlogo al del caso anterior.

3) Basta con poner un ejemplo. La sucesin ,,61,

51,

41,

31,

2l,1

cuyo trmino general es ( )n1 n , convergente a 0 y sus trminos son

alternadamente positivos y negativos

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Definicin 4: Sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sustrminos (positivo, negativo, positivo......).

1.3.4 Sucesin divergentes

Definicin 1: Una sucesin es divergente si los trminos se aproximan cada vezms a infinito o a menos infinito (- , + ).

Expresado de forma rigurosa:

Una sucesin {an } tiene por lmite + diverge a + si elegido un nmero k tan

grande como se quiere, se puede encontrar un subndice no tal que para cualquier

n n 0, an > k .

Esto es equivalente a afirmar que para n n 0, an est en el intervalo (k, + )

es decir, los trminos se hacen tan grandes como se quiera.

Una sucesin {an } tiene por lmite - diverge a - si elegido un nmero k tan

grande como se quiere, se puede encontrar un subndice no tal que para cualquier

n n 0, an < - k .

Esto es equivalente a decir que para n n 0, an est en el intervalo (- , -k)

es decir, los trminos se hacen tan grandes como se quiera.

Igual que en las sucesiones convergentes, para cada nmero k elegido, el subndice no

ser distinto. Cuanto mayor sea k, mayor resultar no .

Definicin 2: Una sucesin { an } se dice que es oscilante si no es convergente nidivergente

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Otras propiedades

Propiedades de las sucesiones convergentes :

1) Toda sucesin montona creciente y acotada superior mente es

convergente.

2) Toda sucesin montona decreciente y acotada inferiormente es

convergente.

3) Si {an } y {bn } son dos sucesiones convergentes con lmites L1 y L2respectivamente, y tales que an bn para todo n, entonces L1 L2.

Es decir, de an bn se deduce que nn

alm

nn

blm

4) Si {an }, {bn } y {cn } son tres sucesiones convergentes tales que

an bn cn para todo n, y nn

alm

= L = nn

clm

, entonces Lblm nn

=

Esta propiedad se utiliza en numerosas ocasiones para determinar el

lmite de una sucesin si se conocen los lmites de otras dos

sucesiones, una de ellas con trminos mayores que las de la primera y

la otra con trminos menores.

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Infinitsimos

Definicin 1: Una sucesin es un infinitsimo si es convergente y tiene por lmite

cero. {an } es un infinitsimo si nn

alm

= 0. Por definicin de lmite,

{an} es un infinitsimo si para todo existe un n0 tal que para todon n 0 ,

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1.4 PROPIEDADES DE LMITES DE SUCESIONES

Propiedades de lmites de sucesiones

1) La suma de dos sucesiones convergentes es convergente y su lmite es la sumade los lmites.

( )n 1n

n n 1 2nn 2n

lim a Llim a b L L

lim b L

= + = +=

2) La diferencia de dos sucesiones convergentes es convergente y su lmite es ladiferencia de los lmites.

( )n 1n

n n 1 2nn 2n

lim a Llim a b L L

lim b L

= = =

3) El producto de dos sucesiones convergentes es convergente y su lmite es elproducto de los lmites.

( )n 1n

n n 1 2nn 2n

lim a Llim a b L L

lim b L

= = = 4) Si una sucesin (an ) tiene lmite L, distinto de 0, y tiene todos sus trminos

tambin distintos de 0, entonces la sucesin n 1 2 3

1 1 1 1, , ,........a a a a

=

es

convergente y su lmite es 1L

nn

n nn

lim a L 0 1 1lima La 0 n

= =

5) Sean { an } y { bn } dos sucesiones convergentes que tienen por lmites L1 y L2.

Si adems bn 0 para todo n y L2 0, la sucesin nn

ab

es convergente y tiene

por lmite 12

LL

n 1nn 1

n 2n n n 2

n

lim a La L

lim b L 0 limb L

b 0 n

= = =

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1.5 CLCULO DE LMITES SUCESIONES

1) Lmites de sucesiones an = m1

a, siendo m un nmero natural

Es claro que m1 10

nn . Se ha comprobado que

n

1lim 0n

=

Por una de las propiedades de sucesiones convergentes,

mn n n

1 1lim 0 lim limnn

Como mn n n1 1lim 0 0 y lim 0 entonces lim 0n n

= = =

2) Lmites de sucesiones de trmino general an = nm, con m nmero natural

La sucesin an = n tiende a , ya que sus trminos se hacen tan grandes como se

quiera.

Para cualquier nmero natural m, nm > n. Por tanto, si nlim n

= , entonces

mnlim n

=

Antes de pasar a estudiar el siguiente caso de lmites de sucesiones es preciso conocer

una propiedad que ser de frecuente uso.

Propiedad

Si { an } es una sucesin que tiene lmite a 0 y { bn } es otra sucesin que

converge a cero, entonces nn n

alim

b=

nn n

nn nn

lim a a 0 alim

lim b 0 b

= = =

3) Lmites de sucesiones de trmino general un cociente de polinomios

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Se trata de calcular p p 1 1

p p 1 1 0q q 1 1n q q 1 1 0

a n a n .........a n alim

b n b n .........b n b

+ + +

+ + +

Se distinguen tres casos:

A) p > q.

Se divide numerador y denominador entre np con lo que la fraccin no vara.

p p 1 1

p p 1 1 0q q 1 1n q q 1 1 0

a n a n .........a n alim

b n b n .........b n b

+ + +

+ + +

=p p 1 1 0p 1 p

nq q 1 1 0p q p q 1 p 1 p

1 1 1a a .........a an n nlim

1 1 1 1b b .........b bn n n n

+

+ + +

+ + +

Pero p 1 1 0p 1 pn n n1 1 1lim a ......... lim a lim a 0n n n

= = =

Por tanto, el lmite del numerador es ap sin ms que aplicar la propiedad dellmite de una suma de sucesiones.

q q 1 1 0p q p q 1 p 1 pn n n n

1 1 1 1lim b lim b ........ lim .b lim b 0n n n n +

= = = =

por lo que el lmite del denominador es cero.

Por lo tanto, p p 1 1

p p 1 1 0 pq q 1 1n q q 1 1 0

a n a n .........a n a alim

0b n b n .........b n b

+ + += =

+ + +

Si ap > 0, el lmite es +

Si ap < 0, el lmite es -

B) p = q

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En este caso se divide numerador y denominador entre np :

p p 1 1p p 1 1 0

p p 1 1n p p 1 1 0

a n a n .........a n alim

b n b n .........b n b

+ + +=

+ + +

p p 1 1 0p 1 p

np p 1 1 0p 1 p

1 1 1a a ......... a an n nlim1 1 1b b ......... b bn n n

+ + + +

=+ + + +

Pero p 1 1 0p 1 pn n n1 1 1lim a ......... lim a lim a 0n n n

= = = =

Por lo que el lmite del numerador es ap

Y p 1 1 0p 1 pn n n1 1 1lim b ......... lim b lim b 0n n n

= = = =

El lmite del denominador es bp.

p p 1 1p p 1 1 0 p

p p 1 1n pp p 1 1 0

a n a n .........a n a alim

bb n b n .........b n b

+ + +=

+ + +

El lmite es, por tanto, el cociente de los coeficientes de los monomios de mayor

grado del numerador y denominador.

C) p < q

Se divide numerador y denominador entre nq :

p p 1 1p p 1 1 0

q q 1 1n q q 1 1 0

a n a n .........a n alim

b n b n .........b n b

+ + +

+ + +

p 1 0q p q 1 q

nq q 1 1 0q 1 q

1 1 1a .........a an n nlim

1 1 1b b .........b bn n n

+ +

+ + +

Anlogamente a los casos anteriores,

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p 1 0q p q 1 qn n n

1 1 1lim a ........ lim a lim a 0n n n

= = = =

por lo que el lmite del numerador es cero.

Se observa, como en los casos anteriores, que el lmite del denominador es bq .Aplicando la propiedad del lmite de un cociente,

p p 1 1p p 1 1 0

q q 1 1n qq q 1 1 0

a n a n .........a n a 0lim 0bb n b n .........b n b

+ + += =

+ + +

Si P y Q son dos polinomios de la forma descrita y tales que grado P = p y grado

Q = q, entonces:

n

p

n q

n

PSi p q, limQ

aPSi p q, limQ b

PSi p q, lim 0Q

> =

= =

< =

4) Si una sucesin {an}, cuyos trminos son todos positivos, tiene lmite a 0, entonces:

nnlim log a loga

=

5) Si p es un nmero positivo y {an} es una sucesin que tiene por lmite a, entonces:

na anlim p p

=

6) Si {an} es una sucesin de trminos positivos que converge a un nmero a tambinpositivo, entonces, para cualquier exponente s

( )s snnlim a a =

7) Si {an} es una sucesin de trminos positivos convergente a un nmero a, mayor quecero, y {bn} es otra sucesin convergente a b, entonces

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nb bnn

lim a a

=

1.6 CLCULO DE LMITES CON SUCESIONES DIVERGENTES

Al aplicar las propiedades de clculo de lmites a sucesiones divergentes hay que tomar

ciertas precauciones. Por ejemplo, cul es el lmite de una suma de dos sucesiones,

una de las cuales diverge a + y la otra converge a un nmero cualquiera? Segn la

propiedad del lmite de una suma de sucesiones, dicho lmite habra de ser { + +a},

siendo a el lmite de la sucesin convergente. Ahora bien, qu significa la suma{ + +a}? Intuitivamente significa que se est sumando una cantidad infinitamente

grande a un nmero; desde luego la cantidad resultante ha de ser infinitamente grande.

Esto puede simbolizarse escribiendo: ( + ) + a = + lo cual induce a pensar que la

suma de una sucesin divergente y otra convergente, necesariamente es divergente.

Anlogamente, si un nmero menor que 1 se multiplica consigo mismo, cada vez que se

hace uno de estos productos, el resultado va hacindose menor.

En efecto, 2 3 41 1 1 1 1 1; ; , etc.

2 4 2 8 2 16 = = =

Si este proceso se repite hasta el infinito, no parece descabellado pensar que si una

sucesin {an} converge a un nmero positivo y menor que 1 y otra sucesin

{bn} tiende a + , el limite de nbna sea cero.

Este hecho puede simbolizarse por a+ = 0, siendo 0 < a < 1.

1.7 LMITES INDETERMINADOS

Se llaman lmites indeterminados a los que presentan alguna de estas formas:

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0 00; 0 ; ; ; ; 0 o 10

Contra lo que se pudiera pensar, un lmite de la forma no da, en general, como

resultado cero, tampoco un lmite de la forma 1 da siempre como resultado uno. Por

esta razn se les llama lmites indeterminados y se requiere hacer un estudio particular

para cada caso.

Obsrvese que ya se han estudiado varios casos de indeterminaciones de la forma

al

tratar los lmites de cocientes de polinomios y el resultado variaba de - a + pasando

por todos los valores intermedios.

El nmero e

El limite de la sucesin n

n1a 1n

= +

, cuando n es:

n

n

1lim 1 1n

+ =

, indeterminado.

Sin embargo, se demuestra que n

n

1lim 1 en

+ =

El nmero e puede expresarse tambin as:

1 1 1 1 1 1e 1 ................. ...................2! 3! 4! 5! 6! n!

= + + + + + + +

Con la ayuda de una calculadora se pueden calcular algunos trminos de esta sucesin:

1

11a 1 21

= + =

100

1001a 1 2,7048138

100 = + =

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1000

10001a 1 2,7169239

1000 = + =

1.000.000

1.000.0001a 1 2,7182805

1.000.000 = + =

El lmite de esta sucesin es el nmero irracional e = 2,7182818... Este resultado tienegran importancia, ya que el nmero e aparecer, en general, en los lmites de la

forma 1

Propiedad para calcular lmites de la forma 1

Si {an} y {bn} son dos sucesiones tales que nlim

an = 1 y ( )n nnlim b a 1 c = , entoncesnb c

nnlim a e

=

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Ejercicios Resueltos

1) Encontrar el quincuagsimo trmino de la sucesin 1, 3, 5, 7,...

Resolucin:

Es una progresin aritmtica de diferencia 2.

Su trmino general es:

a n = 1 + (n - 1)2 = 2n - 1

a50 = 250 - 1 = 99

2) Encontrar el trmino general de la sucesin 3 5 7 9, , , ,......10 26 50 82

Resolucin:

Los numeradores forman una progresin aritmtica de diferencia 2. Su trmino

general es an = 2n + 1Cada denominador es el cuadrado de su numerador aumentado en una unidad:

10 = 32 + 1; 26 = 52 + 1; 50 = 72 + 1; 82 = 92 + 1

El trmino general de la sucesin es:

( )n

n 2 2 2n

a 2n 1 2n 1ba 1 4n 4n 22n 1 1

+ += = =

+ + ++ +

3) Demostrar que la sucesin 1 1 1 11, , , , ,......2 3 4 5

converge a cero

Resolucin:

Se toma un cualquiera (sin especificar ms).

Hay que encontrar un no tal que para n no , 0 - < an < 0 + .

Como an= 1n

, hay que encontrar un n0 tal que para n n0 , - < 1n

<

De 1n

< se deduce, sin ms que multiplicar por n, que 1< n y despejando n, n

> 1

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Como n n0, basta elegir n0 de modo que n n0 > 1

As, si se elige, 11000

= , el n0 que hay que tomar es n0 > 1 10001

1000

=

En efecto, si 0 n1 1n n 1000, an 1000

> = < = . De este modo se cumple que

1 1 11000 n 1000

< < =

Esto significa que elegido un 11000

= , a partir del trmino n0 = 1001, todos los

trminos de la sucesin 1n

se encuentran en el intervalo 1 1,1000 1000

.

De todo lo anterior se deduce que 1 0n

4) Decidir si la sucesin de trmino general n2n 3an 5

=

+ es convergente y, en caso

afirmativo, hallar el lmite.

Resolucin:

Para n =1, a1 = - 16

= -0,1666

Para n = 7, a7 = 0,9166

Si n = 142, a142 = 1,91156; a12002 1200 3 1,9975;1200 5

= =+

a5000 = 1,9974;

a10 000 = 1,9997001; a30 000 = 1,9995667;...

Todo parece indicar que el lmite de esta sucesin, cuando n tiende a infinito, es

2.

Para probarlo, se har uso de la definicin.

Se toma un cualquiera.

Hay que ver a partir de qu n se cumple |an - 2| < .

2n 3 13 132n 5 n 5 n 5

= = <

+ + +

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Hay que resolver la inecuacin 13n 5

< +

13 < (n + 5) = n + 5 13 5 < n.

Dividiendo los dos miembros entre : 13 5 n 13 5

Por ejemplo, si 0

113 51 1000, n 1299511000

1000

= > =

En consecuencia, a12 966, a12 997, a12 998 ... estn todos contenidos en el entorno

1 12 , 21000 1000

+

5) Probar que la sucesin an = 5n2 - 9 diverge a +Resolucin:Se elige un nmero k tan grande como se desee. Por ejemplo k = 108.

Hay que encontrar los valores de n para los cuales an >108, es decir, 5n2- 9 >108.

En 5n2 - 9 > 108 se suma 9 a los dos miembros: 5n2 > 108 + 9 = 100 000 009.

Se divide entre 5 : 2 100000009 100000009n n 44725 5

> >

A partir del trmino a4 473, an > 108.

6) Tiene lmite la sucesin an = (-1)n 3 ?Resolucin:Los trminos de esta sucesin son: -3, 3, -3,3, -3,3, ...

La sucesin an = (-1)n 3 es oscilante.

Se ha de probar que no tiene lmite: los posibles lmites son 3 y -3.

Supngase que nnlim a 3

=

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Si se toma = 1, los trminos impares a2n-1 = -3 no estn en el intervalo

(I - , I + ) = (2, 4). No se puede encontrar un n0 a partir del cual todos los

trminos estn dentro del intervalo (2, 4).

Supngase que nnlim a 3

=

Si se toma = 1, los trminos pares a2n = 3 no se encuentran en (I - , I + ) = (-

4, 2). No se puede encontrar un n0 a partir del cual todos los trminos estn dentro

del intervalo (-4, 2).

Es fcil observar que nnlim a

Por lo tanto la sucesin es oscilante.

Es fcil caer en la tentacin de tomar el intervalo (-4,10) y pensar que puesto quetodos los trminos de la sucesin pertenecen a l, la sucesin debera tener lmite.

Sin embargo, la definicin de lmite obliga a que elegido un cualquiera todos,

salvo una cantidad finita de trminos, queden en el intervalo (I - , I + ) . Basta,

pues, elegir un para el que no se cumpla esta premisa y concluir que la sucesin

no tiene lmite.

7) Probar que la sucesin de trmino general 2

n 22n 1a

n+

= esta acotada

inferiormente por 2 y superiormente por 3.

Resolucin:

Hay que demostrar que 2

n 22n 1a 2

n+

=

Multiplicando ambos miembros por n2: 2 n2 + 1 2n2.

Restando 2n2 : 1 0, lo cual es cierto.

Por lo tanto 2

n22n 1 2 y a

n+

esta acotada inferiormente por 2.

Hay que probar que 2

2 22

2n 1 3 ; es decir, 2n 1 3n .n

+ +

Restando 2 n2 a los dos miembros, 1 n2.

Y esto es cierto ya que n es un nmero natural.

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Luego 2

22n 1 3

n+

y an esta acotada superiormente por 3

8) Probar que la sucesin 2

n 22n 1a

n+

= esta acotada.

Resolucin:

En el ejemplo anterior se ha visto que 2

22n 12 3

n+

Escribiendo 2

22n 14 2 3 4

n+

< < , se tiene que 2

22n 1 4

n+