SUCESIONES

1. DEFINICIÓN:

Se denomina sucesión de números reales a toda función de N en R y se denota por:

a: N R

n a(n) =an

N n R

1 a1

2 a2

3 a3

4 a4

. .

. .

. .

n an

Los números a1, a2, a3,…, an o an n≥1 son llamadas términos de la sucesión siendo an el elemento enésimo.

2/1, 2/2, 2/3, 2/4, …, 2/n = an

12, 22, 32, 42, …, n2 = an

-1, 1, -1, 1, …, (-1)n = an

1/2, 2/3, 3/4, …, n/(n+1) = an

2. CONVERGENCIA DE SUCESIONES

2.1. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN:

La sucesión {an} n≥1 se dice que tiene límite L y escribimos:

limn→ ∞

an = L Dado Ɛ >0, Ǝ NЄN/ ∀ n>N

|an-L| <Ɛ L-Ɛ <an <Ɛ+L

Observación: si una sucesión ann>1 tiene un límite se dice que la sucesión es convergente y decimos que ann>1 converge a este límite. Si la sucesión no es convergente decimos que es divergente.

Determinar si la sucesión {n. sin(πn)} n≥1 es convergente o divergente.

limn

n .sinπn

Hacemos x=1/nn , x=0

limn

sinπn1n

limx 0

sin (πx )x

limx .π 0

πsin(πx)

πx

π.(1) = π

limn

n .sinπn

= π, converge.

2.2. PROPIEDADES DE LAS SUCESIONES

Sean {an} n≥1 y {bn} n≥1 sucesiones convergentes y C es una constante, entonces:

1¿ limn

C=C 2) limn

C .an= C.lim

na

n

3) limn¿

n±bn)=limna

n±limnb

n 4) lim

n¿¿

n.bn)=limna

n.limnb

n

5) limn

an

bn=lim

nan

limn

bn

, limn

bn≠0

2.3. PRUEBA DE LA CONVERGENCIA DE SUCESIONES

Sea ann≥1 sucesión de números reales, Si limn

an+1

an<1 entonces lim

nan=0

Determinar si la sucesión {n !

nn }n≥1 es convergente o divergente

{n !

nn }n≥1 ={1 ,12

,29

,…} Solución:

|an+1

an|=|(n+1) ! /(n+1)(n+1)n !/nn |

=| nn . (n+1 ) .n !

n ! . (n+1 ) .(n+1)n|=| nn

(n+1 )n|=|( n

n+1 )n|

limn

an+1

an lim

n ( nn+1 )

n

1

limn (1+ 1n )

n1e

donde1e

<1, Por lo tanto limn

n !

nn =0 entonces converge

2.4. SUCESIONES MONÓTONAS Y ACOTADAS

Dada la sucesión ann≥1 diremos que.

1) Es creciente, si an≤an+1, ∀n≥1.2) Es estrictamente creciente, si an<an+1,∀n≥1.3) Es decreciente, si an≥an+1, ∀n≥1.4) Es estrictamente decreciente, si an>an+1, ∀n≥1.

*Si una sucesión es creciente o decreciente, se llama monótona

1/nn≥1 1, 1/2, 1/3, 1/4,… estrictamente decreciente

n2 n≥1 1,4,9,… estrictamente creciente

(-1)2 n≥1 -1,1,-1,1,… no es creciente ni decreciente

*Sucesión Acotadas

1) Se dice que la sucesión an n≥1 es acotada inferiormente si y sólo si Ǝ k1 Є R tal que k1 ≤an, ∀n∈N

2) Se dice que la sucesión an n≥1 es acotada superiormente si y sólo si Ǝ k2 Є R tal que k2 ≥an,∀n∈N

3) La sucesión an n≥1 es acotada si existe k1 y k2 Є R/ k1≤an≤k2 ∀n∈N

Observación

La menor de todas las cotas superiores, se llama SUPREMA La mayor de todas las cotas inferiores, se llama ÍNFIMAS

*La sucesión an n≥1 están definida como a1=1

an+1= 3 - 1/an

a1 = 1 a4 =2, 6

a2 = 2 a5 =34/3 =2,615

a3 = 2, 5 a6 = 2, 61764

Por Principio de Inducción:

an < an+1 / ∀nЄN

n=1 a, < a2

1 < 2… N

2.5. HIPÓTESIS INDUCTIVA:

Supongamos que se cumple para n = h

Tesis debes probar que sea Hipótesis Inductiva

an < an+1

1ah+1

< 1ah

−1ah+1

> - 1ah

= 3 - 1

ah+1 > 3 -

1ah

ah+1 < ah+2 (tesis)

an < an+1, ∀nЄN

Series:

1. CRITERIOS:

a. CRITERIO DE ACOTACIÓN:

∑n=1

+∞

an, con an; ∀n>1 converge, si Ǝ un número KЄR/ a1+a2+a3+…+ an ≤ K

b. CRITERIO DE COMPARACIÓN:

*CRITERIO DE COMPARACIÓN 1:

Sean ∑n=1

+∞

an y ∑n=1

+∞

bn mayores

Mayores

a) Si an≤ bn ʌ ∑n=1

+∞

bn converge

∑n=1

+∞

bn converge

Menores

b) Si bn≤ an ʌ ∑ bn diverge

an diverge

*CRITERIO DE COMPARACIÓN 2:

Sean ∑n=1

+∞

an ʌ ∑n=1

+∞

an , serie ter. positivo.

a) Si limn→ ∞

Cn es positivo ʌ ∑

n=1

+∞

an converge

∑n=1

+∞

Cn.an converge

b) Si limn→ ∞

Cn es negativo ʌ ∑

n=1

+∞

an diverge

∑n=1

+∞

Cn.an diverge

c. CRITERIO DEL COCIENTE

Sea ∑n=1

+∞

an serie term. positivo y supongamos limn→ ∞

an+1

an = r

a) r < 1 ∑n=1

+∞

an Converge

b) r > 1 ∑n=1

+∞

an Diverge

c) r = 1, no decide

Sugerencia: se aplica cuando “an” hay productos, cocientes o factoriales

d. CRITERIO DE LA RAÍZ

Sean ∑n=1

+∞

an Serie term. positivo y supongamos limn→ ∞

n√an=r

a) r < 1 ∑n=1

+∞

an Converge

b) r > 1 ∑n=1

+∞

an Diverge

c) r = 1 ∑n=1

+∞

an no decide

Sugerencia: aplicar cuando “an” tenga exponente “n”

e. CRITERIO DE LA INTEGRAL

Sea f una función positiva decreciente y que f(n) = an ∀nЄN

a) Si la integral impropia ∫1

+∞

f (x ) dx existe

Ǝ, ∑n=1

+∞

an converge

b) Caso contrario diverge

2. SERIES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTES

a) CRITERIO DE LA RAZÓN:

limn→ ∞|an+1

an|=r

a) r<1 absolutamente convergente

b) r>1 diverge

c) r=1, no decide

b) CRITERIO DE LA RAÍZ:

R= limn→ ∞

n√(an)

a) R<1 absolutamente convergente

b) R>1 diverge

c) R=1, no decide

Ejercicios:

1. Verificar la convergencia o divergencia de:

Solución:

Acotando superiormente la serie se tiene:

Luego, como:

es convergente, ya que es una serie geométrica y , por criterio de comparación, la serie converge.

2. Verificar la convergencia o divergencia de:

Solución:

Luego como:

Diverge, entonces por criterio de comparación la serie diverge.

3. Verificar la convergencia o divergencia de :

Solución:

Utilizando el criterio de la raíz se tiene que:

Por lo tanto la serie converge.

4. Verificar la convergencia o divergencia de:

Solución:

Utilizando criterio de comparación al límite y la serie divergente:

Se tiene que:

Luego como:

La serie diverge, entonces por criterio de comparación al límite, la serie diverge.

5. Verificar la convergencia o divergencia de :

∑n=1

∞e Arctgn

1+n2

Solución:

Utilizando el criterio de la integral sea f ( x )>0, tal que

f ( x )= e Arctg x

1+x2

Como el criterio solo sirve para funcionesf ( x ) decrecientes, es necesario

encontrar un intervalo (a ,+∞ )en el que f ( x ) sea decreciente, para ello se deriva f ( x )

f ´ ( x )=e Arctg x .

1

1+x2−2x e Arctgx

(1+x2)2

f ´ ( x )= e Arctgx

(1+x2 )2(1−2 x )

eArctg x

(1+x2)2 Es siempre positivo, por lo tanto no sirve para determinar el intervalo.

f ´ ( x )<0↔1−2 x<0↔x> 12

Luego f ( x ) decreciente en ( 12 ,+∞), como 1>12

se elige conveniente los límites de

integración (1 ,+∞ )

∫1

+∞e Arctg x

1+x2dx= lim

t →+∞∫1

teArctg x

1+x2dx= lim

t →+∞e Arctgx ∕ t

1= lim

t →+∞(e¿¿Arctg t ¿−e

π4 )=e

π2−e

π4 ¿¿

Como ∫1

+∞e Arctg x

1+x2dx es convergente, la serie ∑

n=1

∞e Arctgn

1+n2 converge.

∑n=1

∞

( n(n+1))

n2

Utilizando el criterio de la raíz, se tiene que

limn→ ∞

n√( n(n+1))

n2

= limn→ ∞ ( n

(n+1))n

=limn→ ∞

1

(1−1n )n = e−1<1

Por lo tanto la serie ∑n=1

∞

( n(n+1))

n2

converge.

6. Demuestre que la siguiente serie es convergente:

∑n=1

∞

( 1n− 1n+1 )

Solución:

S1=1−12

S2=(1−12 )+(12−13 )=1−13S3=(1−12 )+( 12−13 )+( 13−14 )=1− 14

…

Sn=(1−12 )+( 12−13 )+( 13−14 )+…+( 1n− 1n+1 )=1− 1

n+1

Y así

limn→ ∞

Sn=limn→ ∞ (1− 1

n+1 )=1Luego la serie:

∑n=1

∞

( 1n− 1n+1 ) es convergente.

7. Demuestre que la serie:

∑n=1

∞n2

5n2+4 , diverge.

Solución:

limn→ ∞

an=limn→∞ ( n2

5n2+4 )=15 ≠0

Luego por el criterio divergencia, la serie diverge.

8. Calcular la suma de la serie:

∑n=1

∞

( 3n(n+1)

+ 12n )

Solución:

Es claro que

∑n=1

∞1

2n=¿∑n=1

∞12 ( 12 )

n−1

=

12

1−12

=1¿

Y,

∑n=1

∞1

n(n+1)=∑

n=1

∞

( 1n− 1n+1 )=1

Luego la serie original es convergente y su suma es

∑n=1

∞

( 3n(n+1)

+ 12n )=3∑n=1

∞1

n(n+1)+∑

n=1

∞12n=3∗1+1=4

9. Utilice el criterio de comparación de límites para determinar si la serie:

∑n=1

∞1

2n−1 , Converge o diverge.

Solución:

Sean las sucesiones an=1

2n−1 y bn=

1

2n . Entonces,

limn→ ∞

an

bn

=limn→ ∞

1

2n−112n

=limn→ ∞

2n

2n−1=lim

n→∞

1

1− 12n

=1

Como el límite existe y ∑n=1

∞12n es una serie geométrica convergente,

entonces la serie original converge, de acuerdo al criterio de comparación de límite.

10.Verifique la convergencia absoluta o la divergencia de la serie utilizando el criterio de la razón:

∑n=1

∞ (−1 )n n2

2n

Solución:

limn→ ∞

¿an+1∨¿

¿an∨¿=lim

n→∞ | (−1 )n+1(n+1)2

2n+1

(−1 )n n2

2n |=limn→ ∞|(−1 )n+1(n+1)22n

(−1 )n n22n+1 |=limn→∞ |−(n+1)2

2n2 |= limn→∞(n+1)2

2n2=limn→ ∞

(nn+ 1

n)2

2n2

n2

=limn→∞

(1+ 1n)2

2=12<1¿¿

Luego, por el criterio de la razón la serie ∑n=1

∞ (−1 )n n2

2n es absolutamente

convergente.

11.Pruebe la convergencia absoluta o la divergencia a de la serie utilizando el criterio de la raíz

∑n=1

∞ (−1 )n

3n

Solución:

limn→ ∞

n√¿an∨¿¿ = limn→ ∞

n√|(−1 )n3n |= limn→ ∞1

3 = 13<1

Luego la serie:

∑n=1

∞ (−1 )n

3n

Es absolutamente convergente.

12.Calcula la suma de la serie geométrica:

5−103+ 209−4027+…

Solución:

El primer término es a=5 y la razón r=−23

y como |r|=|−23 |=23<1, luego la

serie es convergente y su suma es

∑n=1

∞

5 (−23 )n−1

= 5

1+ 23

=3

13.Calcule :

límn→∞ (√n + 1 − √n )

Solución:

√n + 1 − √n = (√n + 1 − √n )(√n + 1 + √n )(√n + 1 + √n )

= 1√n + 1 + √n

∴límn→∞ (√n + 1 − √n ) =

límn→∞

1(√n + 1 + √n )

= 0

14.Verifique la convergencia o divergencia de:

∑n = 1

∞ n

n2 + 2

Solución:

n

n2 + 2> 1

n + 3

∀ n ∈ ΙΝ ⇒ ∑n = 1

∞ n

n2 + 2> ∑

n = 1

∞ 1n + 3

y como ∑

n = 1

∞ 1n + 3

= 14+ 15+ 16+ . . . . .

(Serie armónica) − (1 + 1

2+ 13)

La serie armónica es Divergente ⇒ ∑

n = 1

∞ n

n2 + 2 es Divergente.

15.Averiguar convergencia de :

∑n = 1

∞ 1

np∀ p > 1

Solución:

∑n ∈ ΙΝ

1

np= 1 + 1

2p+ 1

3 p+ . . . + 1

np+ . . . ≤

¿ 1 + 1

2p+ 1

2p+ 1

4 p+ 1

4 p+ 1

4p+ 1

4 p+ 1

8p+ . . . =

= 1 + 2

2 p+ 4

4 p+ 8

8p+ 1616 p

+ . . . . =

= 1 + 1

2 p − 1+ 1

4 p − 1+ 1

8p − 1+ 1

16p − 1+ . . . =

1 + 1

2 p − 1+ 1

(2p − 1 )2+ 1

(2 p − 1 )3+ 1

(2p − 1 )4+ . . . + 1

(2 p̄ − 1 )n+ . . . . . =

=

∑n ∈ ΙΝ ( 1

2p − 1)n − 1

= 1

1 − 12p − 1

⇒ ∑n = 1

∞ 1

n p≤ 1

1 −1

2p − 1

∀ p > 1

, Serie Convergente.

16.Verificar la convergencia o divergencia de:

∑n=1

∞n2

n3+100

Solución:

Por el criterio de comparación:

an=n2

n3+100nb=1n

limn→ ∞

an

bn

=limn→ ∞

n2

n3+1001n

=limn→∞

n3

n3+100=limn→∞

n3

n3

n3+100n3

=limn→ ∞

1

1+100n3

=1

Como 1>0 entonces ∑n=1

∞n2

n3+100 diverge.

17. Calcular:

limn→ ∞

n√( n2

3n2+2n+1 )( 16 )( 312 )… ( 2n−16n )

Solución

limn→ ∞

n√( n2

3n2+2n+1 ) . limn→ ∞

n√( 16 )( 312 )…( 2n−16 n )

limn→ ∞ ( n2

3n2+2n+1 )1n . lim

n→ ∞ ( 2n−16n )

limn→ ∞ (1−2n2+2n+1

3n2+2n+1 )1n . lim

n→ ∞ (2nn−1

n6nn

)limn→ ∞ (1−2n2+2n+1

3n2+2n+1 )(1n )(2n2+2n+1

3n2+2n+1 )(3n2+2n+12n2+2n+1 ). lim

n→∞( 2−1n6 )

(e limn →∞ (1n )(2n2+2n+13n2+2n+1 )) .( 26 )

(e0 )( 26 )=1318.Calcular:

limn→ ∞ ( 1

√n2+1+

1

√n2+22+…+

1

√n2+n2 ) Solución:

Aplicando Riemann:

→∑i=1

n1

√n2+i2in=x

¿∑i=1

n1

√1+( in )

2=∑

i=1

n1

√1+x2

¿∫0

11

√1+x2dx

¿∫0

1s ec2θsecθ

dθ=∫0

1

sec θdθ

¿¿¿

¿ ln|√1+12+1|−ln|√1+02+0|

¿ ln|√2+1|

19.Calcular:

limn→ ∞

n√( 85 )( 523 )…( n2−15n2+1 )

Solución:

Por el teorema de la media geométrica:

limn→ ∞ ( n2−1

5n2+1 )

¿ limn→ ∞ (

n2−1n2

5n2+1n2

)=limn→∞ ( 1−1n2

5+1

n2)=15

20.Calcular:

∑n→ ∞

∞7n+3

n (n+1 ) (n+3 )

Solución:

→7n+3

n (n+1 ) (n+3 )= A

n+ B(n+1 )

+ C(n+3 )

→7n+3

n (n+1 ) (n+3 )=

A (n+1 ) (n+3 )+B (n ) (n+3 )+C (n ) (n+1 )n (n+1 ) (n+3 )

→7n+3=A (n2+4 n+3 )+B (n2+3n )+C (n2+n )

→7n+3= (A n2+4 An+3 A )+(Bn2+3Bn )+(Cn2+Cn )

→7n+3=n2 ( A+B+C )+n (4 A+3B+C )+3 A

3 A=3→ A=1 (4 A+3B+C )=7

o (4 A+3B+C )−(A+B+C )=7∴3+2B=7→ B=2→ C=3

⟹ Tenemos:

a1=11+ 22− 34

a2=12+ 23−35

a3=13+ 24−36

…

an−2=1

n−2+ 2

n−1− 3

n+3

an−1=1

n−1+ 2

n− 3

n+2

an=1n+ 2

n+1− 3

n+3

Su suma:

Sn=3+12− 3

n+3

Sn=72− 3

n+3

Luego:

limn→ ∞

Sn=limn→ ∞

7

2−limn→∞

3

n+3

¿72−limn→ ∞

3n

1+3n

=72

21.Calcular:

∑n→ ∞

∞1

(n+2 ) (2n+2 )

Solución:

→1

(n+2 ) (2n+2 )= A

(n+2 )+ B(2n+2 )

→1

(n+2 ) (2n+2 )=

A (2n+2 )+B (n+2 )(n+2 ) (2n+2 )

→1=A (2n+2 )+B (n+2 )

→1=n (2 A+B )+2 (A+B )

2 A+B=0 2 A+2B=1

o (2 A+2B )−(2 A+B )=1

∴B=1→ A=−12

⟹ Tenemos:

a1=−16+ 14

a2=¿−18+ 16

a3=¿−110+ 18

…

an−2=−12n+ 12n−2

an−1=−12 (n+1 )

+ 12n+4

an=−12 (n+2 )

+ 12n+2

Luego:

limn→ ∞

Sn=limn→ ∞

1

2+limn→ ∞

1

2 (n+2 )=12

22.Calcular:

limn→ ∞ ( 7n

3√1−27n3 )[( ln 7nln 9n ) . (5

12+5

34+5

78+…+5

2n−12n )]

Solución:

limn→ ∞ ( 7n

3√1−27n3 )[( ln 7nln 9n ) . (5

12+5

34+5

78+…+5

2n−12n )]( 1n ) (n )

¿ limn→ ∞ ( 7n

3√1−27n3 ). limn→ ∞

[(52n−12n ) ]

¿ limn→ ∞ (

7nn

3√ 1n3−27nn3

3 ) .[(5limn→ ∞

2nn−1n

2nn )]

¿5 limn→∞ (

7nn

3√ 1−n3

−27n−n3

3 )

¿5 limn→∞ ( 7

3√ 1−n3

+27 )¿5.( 73 )¿ 353

23.Calcular:

∑n=1

∞2n−1

(n2−2n+2 ) (n2+1 )

Solución:

∑n=1

∞2n−1

(n2−2n+2 ) (n2+1 )=

limn→ ∞

1

(n2−2n+2 )+limn→∞

1

(n2+1 )

Como:

an=1

(n2+1 ) →limn→ ∞ (1− 1

(n2+1 ) )=1−limn→ ∞

1

(n2+1 )

¿1−limn→ ∞

1

n2

(1+ 1n2 )=1

Por lo tanto:

∑n=1

∞2n−1

(n2−2n+2 ) (n2+1 )=1

24.Calcular:

Solución:

25.Analizar la serie:

Solución:

Entonces la serie diverge.

26.Calcular la suma de la serie

∑n=1

+∞2n+1

n2(n+1)2=34+ 536+ 714+…

Solución:

Evaluando:

S1=3 /4S2=2 /9

S3=15 /16…

Sn=(n+1)2−1(n+1)2

Entonces:

limn→ ∞

(n+1)2−1(n+1)2

¿1−limn→ ∞

1

n2+2n+1

¿1−limn→ ∞

1

1+2n+1

n2

=1

∴∑n=1

+∞2n+1

n2(n+1)2=34+ 536+ 714+…=1

27.La serie es convergente o divergente:

∑n=1

∞1√n

Solución.

∑n=1

∞1√n=∑

n=1

∞1

n12

Serie p , donde p=12

≤1, luego la serie es divergente.

28.Utilice el criterio de comparación para determinar si la serie converge o diverge.

∑n=1

∞12+5n

Solución:

Para n≥1, es fácil aceptar que 5n<2+5n , entonces 12+5n<

15n=(15 )

n

.

La serie ∑n=1

∞15n es convergente por ser serie geométrica, luego la serie

∑n=1

∞12+5n converge, de acuerdo al criterio de comparación.

29.La serie armónica alternante es convergente.

∑n=1

∞ (−1)n−1

n

Solución:

Tenemos

∑n=1

∞ (−1)n−1

n=1−1

2+ 13−14+ 15−16+…

an+1=1

n+1

an=1n

Satisface

i. an+1<an, ya que 1

n+1< 1

n

ii. limn→ ∞

an=0

Entonces la serie converge según el criterio de la serie alternante.

30.La serie armónica alternante es convergente, pero no es absolutamente convergente.

∑n=1

∞ (−1)n−1

n

Solución

∑n=1

∞ |(−1)n−1n |=∑n=1

∞1n

La serie ∑n=1

∞1n

, es la serie armónica, la cual es divergente.