Tema 1. Sucesiones y Series. LV

Capítulo 1

Sucesiones y series de números

reales.

1.1 Sucesión de números reales.

Definición 1.1.1 Una sucesión de números reales es cualquier conjunto infinito

numerable (que se pueden enumerar), de números reales.

Cualquier aplicación de N en R define una sucesión de números reales, con tal

de que a cada n ∈ N le corresponda un an ∈ R.

La sucesión de término general an , se expresa por {an}n∈N .Una sucesión será acotada, si como subconjunto de R es acotado.

Una sucesión, se dice monótona

{

creciente

decrecientesi ∀n ∈ N ⇒

{

an ≤ an+1

an ≥ an+1

1.2 Límite de una sucesión de números reales.

Se dice que la sucesión {an}n∈N tiene límite l cuando n → ∞, si:

∀ε > 0, ∃ν (ε) ∈ N/∀n > ν ⇒ |an − l| < ε

o expresado en términos de intervalo:

limn→∞

{an} = l ⇔ ∀ε > 0, ∃ν (ε) ∈ N/∀n > ν ⇒ an ∈ (l − ε, l + ε)

3

TEORÍA MATEMÁTICAS - 2º FINANZAS - M. Díaz Gabela

4 CAPÍTULO 1. SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES.

Diremos que:

limn→∞

{an} = 0 si ∀ε > 0, ∃ν (ε) ∈ N/∀n > ν ⇒ |an| < ε

limn→∞

{an} = ∞ si ∀k > 0,∃ν (k) ∈ N/∀n > ν ⇒ an > k

limn→∞

{an} = −∞ si ∀k > 0, ∃ν (k) ∈ N/∀n > ν ⇒ an < −k

Ejemplo 1.2.1 Demostrar que limn→∞

n+ 1

2n=

1

2

––

Veamos que

∀ε > 0,∃ν (ε) ∈ N/∀n > ν ⇒∣∣∣∣

n + 1

2n− 1

2

∣∣∣∣< ε

planteamos ∣∣∣∣

n+ 1

2n− 1

2

∣∣∣∣=

∣∣∣∣

n + 1− n

2n

∣∣∣∣=

1

2n< ε

cuando 2n >1

ε⇒ n >

1

2ε, por lo que ∀ε > 0 ⇒ ∃ν, entero ≥ 1

2εtal que si

n > ν ≥ 1

2εse verifica

∣∣∣∣

n+ 1

2n− 1

2

∣∣∣∣< ε

1.3 Convergencia de una sucesión de números re-

ales.

Una sucesión {an}n∈N se dice convergente si limn→∞

{an} = l, número real finito.

Una sucesión cuyo límite es ±∞ , se dice divergente.

Cuando una sucesión no es convergente ni divergente, se dice oscilante.

Ejemplo 1.3.1 La sucesión: 1 + 12, 122, 1 + 1

23, 124, 1 + 1

25, · · · es oscilante.

––

Pues contiene dos subsucesiones convergentes:

Sa : 1 +1

2, 1 +

1

23, 1 +

1

25, · · ·· → 1

y

Sb :1

22,1

24,1

26,1

28,1

210,1

212, · · · → 0


1.4. PROPIEDADES DEL LÍMITE DE UNA SUCESIÓN DE NÚMEROS REALES.5

1.4 Propiedades del límite de una sucesión de núme-

ros reales.

1. Si una sucesión es convergente, su límite es único.

Demostración

Por reducción al absurdo:

Supongamos que tiene al menos dos límites: l1 y l2 , por lo que:

Si limn→∞

an = l1 ⇒ ∀ε > 0, ∃ν1 (ε) ∈ N/∀n > ν1 ⇒ |an − l1| < ε

Si limn→∞

an = l2 ⇒ ∀ε > 0, ∃ν2 (ε) ∈ N/∀n > ν2 ⇒ |an − l2| < ε

luego para cualquier n > max(ν1, ν2) y para ε =|l1 − l2|

3se tendría qué:

|l1 − l2| = |l1 − an + an − l2| ≤ |l1 − an|+ |an − l2| < 2ε =2 |l1 − l2|

3

lo que es absurdo, por tanto el supuesto es falso y el límite único.

�

2. Si dos sucesiones {an} y {bn} toman valores iguales a partir de un n ∈ N , am-

bas sucesiones tienen el mismo límite. (consecuencia de la propiedad anterior).

�

3. Toda sucesión convergente está acotada.

Demostración

Pues si limn→∞

an = l se tiene que

∀ε > 0, ∃ν (ε) ∈ N/∀n > ν ⇒ |an − l| < ε

lo que significa que:

l − ε︸︷︷︸

α< an <

l + ε︸︷︷︸

β

es decir :an es mayor que cualquier α < l

an es menor que cualquier β > l


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Si llamamos {

M1 = max (a1, a2, · · ·aν)

m1 = mın (a1, a2, · · ·aν)

se tiene que

∀n ∈ N ⇒ m < an < M, siendo

{

M = max(M1, l + ε)

m = mın(m1, l − ε)

�

5. Si lim ann→∞

= l > 0 ⇒ a partir de un n, todos los an > 0.

Demostración

Sea ε > 0 con ε < l, entonces ∃ν / ∀n > ν ⇒ |an − l| < ε, luego an ∈(l − ε, l + ε) , como l − ε > 0 ⇒ an > 0 ;∀ n > ν.

�

6. Si lim ann→∞

= l < 0 ⇒ a partir de un n, todos los an < 0.

Demostración

Efectivamente, si limn→∞

an = l , a partir de un n, todos los an < β ,∀β > l y si

l < 0, para cualquier β entre l y 0 se tiene que an < β < 0.

�

7. Si limn→∞

an = a y limn→∞

bn = b y a < b, entonces a partir de un n ⇒ an < bn.

Demostración

Efectivamente, si a < b ⇒ ∃α / a < α < b y por ser.

limn→∞

an = a ⇒ ∀n > ν1 ⇒ an < α

limn→∞

bn = b ⇒ ∀n > ν2 ⇒ bn > α⇒ ∀n > max(ν1, ν2) : an<bn

�

8. Si desde un n en adelante an ≤ bn y limn→∞

an = a y limn→∞

bn = b , entonces

a ≤ b.

Pues si a partir de un n se verificase que a > b, por el apartado anterior⇒ an > bn

lo que es absurdo ya que partimos de que an ≤ bn.


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1.5. CRITERIO GENERAL DE CONVERGENCIA DE CAUCHY. 7

9. Regla del sandwich: “Si a partir de un n se verifica que an ≤ cn ≤ bn y

limn→∞

an = limn→∞

bn = l , entonces limn→∞

cn = l.”

Pues por el resultado anterior, si limn→∞

cn = c , se tiene:

{

l ≤ c

c ≤ l⇒ c = l

10. Toda sucesión monótona creciente acotada superiormente, tiene límite.

Demostración

Efectivamente.

A = {a1, a2, a3, · · ·, an, an+1, · · ·} ,con an ≤ an+1∀n ∈ N , es un subconjunto de

R, acotado superiormente y por tanto admite extremo superior: l.

Veamos que este valor l es precisamente el limn→∞

an , pues para cada ε > 0 existe

un ν tal que l-ε < aν ≤ l , ya que si no fuese así , l− ε sería cota superior de A, ya

que todos los an serían < l − ε, en contra de ser l la menor de las cotas superiores.

Por otra parte, al ser la sucesión monótona creciente, se tiene que ∀n > ν ⇒ l− ε ≤aν ≤ an ≤ l esto es: |an − l| < ε con lo que lim

n→∞an = l.

�

11. Toda sucesión monótona decreciente acotada inferiormente, tiene límite.

Se demuestra de forma análoga al caso anterior. El límite será ahora el extremo

inferior de A = {a1, a2, a3, · · ·, an, an+1, · · ·} .

1.5 Criterio general de convergencia de Cauchy.

La condición necesaria y suficiente para que una sucesión {an}n∈N , de números

reales , sea convergente es que:

∀ε > 0, ∃ν (ε) ∈ N/∀n > ν y ∀p ∈ N ⇒ |an+p − an| < ε

Toda sucesión que cumple esta condición se llama de Cauchy.

Es fácil demostrar la condición necesaria:

Si lim ann→∞

= l ⇒{

∀ ε2> 0, ∃ν (ε) ∈ N/∀n > ν ⇒ |an − l| < ε

2

∀ ε2> 0, ∃ν (ε) ∈ N/∀n > ν ⇒ |an+p − l| < ε

2

⇒ |an+p − an| = |an+p − l + l − an| ≤ |an+p − l|+ |an − l| < ε

2+

ε

2= ε


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1.6 Límite de las operaciones con sucesiones.

• Si limn→∞

an = a y limn→∞

bn = b ⇒ limn→∞

(an + bn) = a+ b

Pues si:

limn→∞

an = a ⇒ ∀ ε2> 0, ∃ν1 (ε) ∈ N / ∀n > ν1 ⇒ |an − a| < ε

2

limn→∞

bn = b ⇒ ∀ ε2> 0,∃ν2 (ε) ∈ N / ∀n > ν2 ⇒ |bn − b| < ε

2

luego

∀n > max (ν1, ν2) ⇒ |an + bn − (a+ b)| ≤ |an − a|+ |bn − b| < ε

(a) Si limn→∞

an = ±∞ y {bn} es acotada ⇒ limn→∞

(an + bn) = ±∞.

(b) Si limn→∞

an = ±∞ y limn→∞

bn = ∓∞Nada puede decirse del lim

n→∞(an + bn) .

• Si limn→∞

an = a y lim bnn→∞

= b ⇒ limn→∞

(an · bn) = a · b

Pues como las sucesiones {an} y {bn} son convergentes, ∃λ /|an| < λ y |bn| < λ,

∀n ∈ N. por lo que ∀ ε2λ

> 0 , se tiene :

∃ν( ε

2λ

)

/∀n > ν ⇒ |an · bn − a · b| = |an · bn − an · b+ an · b− a · b|= |an · (bn − b) + (an − a) · b| ≤ |an| · |bn − b|+ |b| · |an − a| << λ · ε

2λ+ λ · ε

2λ= ε

(a) Si limn→∞

an = a ⇒ limn→∞

λan = λa ; λ ∈ R.

(b) Si limn→∞

an = a y p ∈ N ⇒ limn→∞

(an)p = ap .

(c) Si limn→∞

an = ∞ y {bn} acotada inferiormente por una cota positiva

⇒ limn→∞

(an · bn) = ∞.

(d) Si limn→∞

an =

{

0

∞y lim

n→∞bn =

{

∞0

Nada puede decirse de limn→∞

(an · bn) .


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1.6. LÍMITE DE LAS OPERACIONES CON SUCESIONES. 9

• Si limn→∞

an = a �= 0 ⇒ limn→∞

1

an

=1

a

Efectivamente

∀ε > 0, ∃ν (ε) ∈ N/∀n > ν ⇒∣∣∣∣

1

an− 1

a

∣∣∣∣< ε

Considerando ε′ = εα2 ; donde α es el valor real tal que |an| > α > 0 tenemos

que:

∀εα2 > 0,∃ν(εα2)∈ N/∀n > ν ⇒

∣∣∣∣

1

an− 1

a

∣∣∣∣≡∣∣∣∣

a− an

a · an

∣∣∣∣<

ε · α2

α · α = ε

• Si limn→∞

an = a y limn→∞

bn = b �= 0 ⇒ limn→∞

an

bn=

a

b

• Si {an} es acotada y limn→∞

bn = ∞ ⇒ limn→∞

an

bn= 0

Pues si {an} acotada ocurre que

∃A/ |an| < A ,∀n ∈ N

por otra parte si limn→∞

bn = ∞ se tiene que

∀Aε> 0,∃ν

(A

ε

)

∈ N/∀n > ν ⇒ |bn| >A

ε

por lo que a partir de un n se verifica que∣∣∣∣

anbn

∣∣∣∣<

AA

ε

= ε

es decir limn→∞

an

bn= 0.

• Si {an} es acotada inferiormente por un valor positivo y limn→∞

bn = 0,entonces

limn→∞

an

bn= ∞.

Pues si {an} acotada inferiormente por un valor positivo se tiene que

∃A > 0/an > A ∀n ∈ N

Por otra parte, si limn→∞

bn = 0 significa que

∀ε > 0,∃ν (ε) ∈ N/∀n > ν ⇒ |bn| < ε


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Considerando ε = Ak, vemos que lim

n→∞

an

bn= ∞ , pues:

∀k > 0, ∃ν (k) ∈ N/∀n > ν ⇒∣∣∣∣

anbn

∣∣∣∣>

AAk

= k

• Si

limn→∞

an = ±∞limn→∞

bn = ±∞, nada puede decirse de lim

n→∞

an

bn

• Si

limn→∞

an = 0

limn→∞

bn = 0, nada puede decirse de lim

n→∞

an

bn

• Si limn→∞

an = a > 0 y b > 1 ⇒ limn→∞

logb (an) = logb a.

• Si a > 1 ⇒ limn→∞

an = ∞

Pues si a > 1

a = 1 + h, con h > 0 ⇒ an = (1 + h)n =

(n

0

)

+

(n

1

)

h + · · ·+(n

n

)

hn

y por tanto

limn→∞

an = limn→∞

(

1 + nh+n (n− 1)

2!· h2 + · · ·+ hn

)

= ∞

• Si 0 < a < 1 entonces limn→∞

an = 0.

Pues podemos escribir a = 11+h

, con h > 0 ⇒ limn→∞

an = 1∞ = 0

• Si a > 1 entonces limn→∞

a1n = 1.

• Si a > 0 y limn→∞

bn = b ⇒ limn→∞

abn = ab.

Pues∣∣abn − ab

∣∣ =∣∣ab(abn−b − 1

)∣∣ y como lim

n→∞bn = b ⇒ lim

n→∞abn−b = 1 ⇒ lim

n→∞ab(abn−b − 1

)= 0 ⇒ lim

n→∞abn = ab.

• Si limn→∞

bn = b y limn→∞

an = a > 0 ⇒ limn→∞

abnn = ab.

Tomando logaritmos en base c: logc(abnn

)= bn logc an ⇒ abn

n = cbn logc an tomando

límites:

limn→∞

abnn = lim

n→∞cbn logc an = c

limn→∞

bn logc an = cb logc a = clogc(ab) = ab.


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1.7. INDETERMINACIONES. 11

• Límite de expresiones racionales.

Si an =a0n

p + a1np−1 + · · ·+ ap

b0nq + b1nq−1 + · · ·+ bq, entonces el lim

n→∞an , se calcula dividiendo

numerador y denominador por la potencia de n que corresponde al polinomio de

menor grado.

• Límite de expresiones irracionales.

El limn→∞

k√

a0np + a1np−1 + · · ·+ ap, puede resolverse como el de una potencia de

exponente1

k

1.7 Indeterminaciones.

Los casos de indeterminación se presentan cuando operando con los límites aparecen

algunas de las formas:

∞−∞ ; 0×∞ ;∞∞ ;

0

0; 1∞ ; 00 ;∞0

1.8 El número “e”.

El número “e” es el límite de la sucesión

(

1 +1

1

)

,

(

1 +1

2

)2

, · · · ,(

1 +1

n

)n

, · · ·

Su convergencia se prueba viendo que dicha sucesión es:

a)Monótona creciente.

b)Está acotada superiormente.

Efectivamente.

a) Vemos que an ≤ an+1 ∀n ∈ N.


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an =

(

1 +1

n

)n

=

(n

0

)

+

(n

1

)1

n+

(n

2

)1

n2+ · · ·+

(n

n

)1

nn=

= 1 + n · 1n+

n (n− 1)

2!n2+ · · ·+ n (n− 1) (n− 2) · · · (n− n+ 1)

n!nn

Por tanto

an = 2 +1

2!

(

1− 1

n

)

+ · · ·+ 1

n!

(

1− 1

n

)(

1− 2

n

)

· · ·(

1− n− 1

n

)

an+1 = 2 +1

2!

(

1− 1

n+ 1

)

+ · · ·+ 1

(n + 1)!

(

1− 1

n+ 1

)(

1− 2

n+ 1

)

· · ·(

1− n

n+ 1

)

Se aprecia efectivamente que an ≤ an+1 ,∀n ∈ N.

b) La sucesión está acotada superiormente (e inferiormente).

Pues se tiene que la sucesión de término general:

an = 2+1

2!

(

1− 1

n

)

+1

3!

(

1− 1

n

)(

1− 2

n

)

+· · ·+ 1

n!

(

1− 1

n

)(

1− 2

n

)

· · ·(

1− n− 1

n

)

está acotada por la de término general:

bn = 2 +1

2!+

1

3!+ · · ·+ 1

n!

y ésta a su vez por la sucesión de término general:

cn = 2 +1

2+

1

22+

1

23+ · · ·+ 1

2n−1

obteniéndose que a partir de un n se verifica: 2 < an < bn < cn , donde

cn = 2 +

(a1 − anr

1− r

)

= 2 +12− 1

2n

12

= 3− 1

2n−1, con lim

n→∞cn = 3

Luego la sucesión {an}n∈N ≡{(

1 +1

n

)n}

n∈Nestá acotada y su límite está entre

2 y 3.

El valor numérico de este limite: 2, 718281 · · · es el llamado número ”e”.


1.9. CRITERIOS DE CONVERGENCIA. 13

1.9 Criterios de convergencia.

Son útiles para resolver el límite cuando se presenta alguna de estas indetermina-

ciones.

Veremos algunos criterios generales como son:

1.9.1 Criterio de Stolz-Cesaro.

Si la sucesión {bn} es monótona divergente ó bien {an} y {bn} son monótonas con

limn→∞

an = limn→∞

bn = 0,entonces

si ∃ limn→∞

an − an−1

bn − bn−1=

{

±∞l

,se verifica que limn→∞

an

bn= lim

n→∞

an − an−1

bn − bn−1

1.9.2 Ejemplo:

Calcular

limn→∞

1 + 2 + 3 + · · ·+ n

n2

––

limn→∞

1 + 2 + 3 + · · ·+ n

n2= lim

n→∞

n

n2 − (n− 1)2= lim

n→∞

n

2n− 1=

1

2

1.9.3 Criterio de la media aritmética.

Si la sucesión c1, c2, c3, · · · , cn,······ tiene límite

{

±∞l

, se verifica que

limn→∞

c1 + c2 + c3 + · · ·+ cnn

= limn→∞

cn

Se demuestra aplicando el criterio de Stolz.

1.9.4 Ejemplo:

Calcular

limn→∞

1 + 12+ 1

3+ · · ·+ 1

n

n

––

limn→∞

1 + 12+ 1

3+ · · ·+ 1

n

n= lim

n→∞

1

n= 0



1.9.5 Criterio de la media geométrica.

Si la sucesión c1, c2, c3, · · · , cn,······ con los ci estrictamente positivos, tiene límite{

±∞l

, entonces

limn→∞

n√c1 · c2 · · · cn = lim

n→∞cn

Se demuestra tomando logaritmos y aplicando criterio anterior.

1.9.6 Ejemplo:

Calcular

limn→∞

n

√

(3 + 1) (3 + 2) · · · (3 + n)

n!

––

limn→∞

n

√

(3 + 1) (3 + 2) · · · (3 + n)

n!= lim

n→∞

n

√

(3 + 1)

1

(3 + 2)

2· · · (3 + n)

n= lim

n→∞

3 + n

n= 1

1.9.7 Criterio de la raíz o razón.

Si en la sucesión a1, a2, a3, · · · , an,······ , de términos estrictamente positivos, existe

limn→∞

an

an−1=

{

±∞l

, se verifica que

limn→∞

n√an = lim

n→∞

an

an−1

Se demuestra escribiendo

an =(a11

)(a2a1

)

· · ·(an−1

an−2

)(an

an−1

)

y aplicando el criterio anterior.

1.9.8 Ejemplo

Calcular

limn→∞

n√n− 2

––

limn→∞

n√n− 2 = lim

n→∞

n− 2

n− 3= 1


1.10. INFINITÉSIMOS. 15

1.10 Infinitésimos.

1.10.1 Definición.

Diremos que una sucesión {an} es un infinitésimo (n → ∞) si limn→∞

an = 0

1.10.2 Infinitésimos del mismo orden.

Los infinitésimos {an} y {bn} se dicen del mismo orden si

limn→∞

an

bn= l

{

�= 0

�= ±∞

1.10.3 Infinitésimos equivalentes.

Los infinitésimos {an} y {bn} se dicen equivalentes si

limn→∞

an

bn= 1

1.10.4 Comparación del orden de dos infinitésimos.

• Si limn→∞

an

bn= 0, decimos que {an} es de mayor orden que {bn} .

• Si limn→∞

an

bn= ∞, decimos que {an} es de menor orden que {bn} .

• Si no existe limn→∞

an

bn, decimos que {an} y {bn} no son comparables.

1.10.5 Determinación del orden de un infinitésimo.

Si {cn} es un infinitésimo tal que

limn→∞

an

(cn)r = l

{

�= 0

�= ±∞

se dice que {an} es de orden r respecto a {cn} .

1.10.6 Infinitésimo principal.

Es el infinitésimo con el que se comparan los demás, para determinar el orden.

El infinitésimo principal para la tendencia n → ∞ es cn =1

n



1.10.7 Parte principal de un infinitésimo.

Si limn→∞

an

(cn)r = l , se tiene que a partir de un n se verifica que:

an

(cn)r = l + ε ⇒ an = (cn)

r (l + ε) = l · (cn)r + ε · (cn)r

esta es la llamada forma normal de an.

La expresión

an = l · (cn)r

se llama parte principal del infinitésimo an.

≫ Todo infinitésimo es equivalente a su parte principal.

1.10.8 Tabla de Infinitésimos equivalentes.

Si an → 0 ⇒

sen an <> an <> arcsen an <> tg an <> arctg an

1− cos an <>a2n2

ln (1 + an) <> an

Si an → 1 ⇒ ln an <> an − 1.

Los infinitésimos sólo pueden sustituirse por sus equivalentes, si son factores.

1.11 Infinitos.

1.11.1 Definición.

Diremos que una sucesión {an} es un infinito (n → ∞) si limn→∞

|an| = ∞

1.11.2 Infinitos del mismo orden.

Los infinitésimos {an} y {bn} se dicen del mismo orden si

limn→∞

an

bn= l

{

�= 0

�= ±∞


1.11. INFINITOS. 17

1.11.3 Infinitos equivalentes.

Los infinitésimos {an} y {bn} se dicen equivalentes si

limn→∞

an

bn= 1

1.11.4 Comparación del orden de dos infinitos.

• Si limn→∞

an

bn= 0, diremos que {an} es de menor orden que {bn} .

• Si limn→∞

an

bn= ∞, diremos que {an} es de mayor orden que {bn} .

• Si no existe limn→∞

an

bn, diremos que {an} y {bn} no son comparables.

1.11.5 Determinación del orden de un infinito.

Si {cn} es un infinito tal que

limn→∞

an

(cn)r = l

{

�= 0

�= ±∞

se dice que {an} es de orden r respecto a {cn} .

1.11.6 Infinito principal.

Es el infinito con el que se comparan los demás, para determinar el orden.

El infinito principal para la tendencia n → ∞ es cn = n.

1.11.7 Parte principal de un infinito.

Si limn→∞

an

(cn)r = l , se tiene que a partir de un n se verifica:

an

(cn)r = l + ε ⇒ an = (cn)

r (l + ε) = l · (cn)r + ε · (cn)r

esta es la llamada forma normal de an.

La expresión

an = l · (cn)r

se llama parte principal del infinito an.

Todo infinito es equivalente a su parte principal.



1.11.8 Tabla de infinitos equivalentes.

Para n → ∞

n! <> e−nnn√2πn [fórmula de Stirling]

a0nk + a1n

k−1 + a2nk−2 + · · ·+ ak <> a0n

k

ln(a0n

k + a1nk−1 + a2n

k−2 + · · ·+ ak

)<> ln

(nk); a0 > 0

Sk = 1k + 2k + 3k + · · ·+ nk <>nk+1

k + 1

Los infinitos sólo pueden sustituirse por sus equivalentes, si son factores.

1.12 Ordenes de infinitud.

El orden de infinitud decrece (de Izda. a Dcha) en los infinitos que enumeramos a

continuación:

nan ; a > 0 bn ; b > 1 nc ; c > 0 (logd (n))p ; d > 1, p > 0

Potencial-exponencial Exponencial Potencial Logaritmo

Esto es:

limn→∞

nan

bn= ∞ ; lim

n→∞

bn

nc= ∞ ; lim

n→∞

nc

(logd (n))p = ∞

1.13 Series de números reales.

Definición 1.13.1 Dada una sucesión a1, a2, a3, · · · , an, · · · de números reales, la

sucesión S1, S2, S3, · · · , Sn, · · · donde:

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

· · · · · · · · · · · ·Sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

se dice que es la serie asociada a la sucesión de partida: a1, a2, a3, · · · , an, · · ·


1.14. CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE NÚMEROS REALES. 19

Término general de la serie: an.

Representación de la serie :∞∑

n=1

an.

1.14 Convergencia de una serie de números re-

ales.

Dada la serie∞∑

n=1

an, diremos que es convergente si ∃ l ∈ R finito tal que limn→∞

Sn = l.

Si limn→∞

Sn = ±∞ , diremos que la serie∞∑

n=1

an es divergente.

Si no existe limn→∞

Sn , diremos que la serie∞∑

n=1

an es oscilante.

Una serie convergente se dice que es sumable y su suma es precisamente

limn→∞

Sn = l ≡ S.

Resto de orden k de una serie, es la suma Rk =∞∑

n=k+1

an.

1.15 Propiedades de las series numéricas.

1. El carácter de una serie no varía si se suprimen un número finito de términos.

2. El carácter de una serie no varía al dividir o multiplicar todos los términos por

una constante k �= 0.

3. La suma o diferencia de series convergentes es convergente.

4. Si los términos son positivos, la suma de dos series divergentes es divergente,

de la diferencia no se puede decir nada.

5. Si la serie es convergente, su carácter no varía y su suma tampoco, si se

sustituye un grupo de términos consecutivos por su suma.

6. Si la serie es divergente, su carácter no varía si se sustituye un grupo de

términos consecutivos por su suma.



7. Si la serie es oscilante, en general no es cierta la propiedad asociativa señalada

en 5) y6).

Lo vemos en la serie:∞∑

n=1

(−1)n ⇒{

−1 + (1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + · · · → −1

(−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · → 0

1.15.1 Serie geométrica. Carácter y suma.

Una serie geométrica, representa la suma de los términos de una progresión geo-

métrica indefinida:

a+ a · r + a · r2 + a · r3 + · · ·+ a · rn + · · · =∞∑

n=1

a · rn−1

Carácter de una serie geométrica:

Se tiene que:

Sn = a + a · r + a · r2 + a · r3 + · · ·+ a · rn−1

r · Sn = a · r + a · r2 + a · r3 + · · ·+ a · rn−1 + a · rn

(1− r)Sn = a− a · rn = a (1− rn)

Sn =a− a · rn1− r

= a · 1− rn

1− r

Tomando límites:

limn→∞

Sn = limn→∞

a− a · rn1− r

= limn→∞

a · 1− rn

1− r=

a

1− r− lim

n→∞

a · rn1− r

El valor de este límite depende del valor de r :

Si |r| < 1 ⇒ limn→∞

rn = 0 ⇒ limn→∞

Sn =a

1− r⇒ Convergente, S =

a

1− rSi |r| > 1 ⇒ lim

n→∞rn = ∞ ⇒ lim

n→∞Sn = ∞ ⇒ Divergente

Si |r| = 1 :

r = 1 ⇒∞∑

n=1

a · rn−1 =∞∑

n=1

a ⇒ Sn = a · n ⇒ limn→∞

Sn = ∞ ⇒ Divergente

r = −1 ⇒∞∑

n=1

a · rn−1 = a− a+ a− a + a− · · · ⇒ Oscilante


1.16. CONDICIÓN NECESARIA DE CONVERGENCIA DE UNA SERIE. 21

Luego la serie geométrica, sólo converge cuando |r| < 1

y su suma es:

S =a

1− r

1.16 Condición necesaria de convergencia de una

serie.

Para que la serie∞∑

n=1

an sea convergente es condición necesaria (que no suficiente)

que limn→∞

an = 0.

En efecto.

Si la serie∞∑

n=1

an es convergente, quiere decir que ∃ limn→∞

Sn = S , finito, por tanto:

Sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an

Sn−1 = a1 + a2 + · · ·+ an−1

Sn − Sn−1 = an

por lo que tomando límites :

limn→∞

(Sn − Sn−1) = limn→∞

an = 0

Como hemos dicho, esta condición no es suficiente para que la serie converja, así

por ejemplo, la serie armónica∞∑

n=1

1

ncumple la condición necesaria: lim

n→∞

1

n= 0 y

sin embargo no es convergente ya que :

∞∑

n=1

1

n= 1 +

1

2︸︷︷︸

+1

3+

1

4︸︷︷︸

+1

5+

1

6+

1

7+

1

8︸︷︷︸

+1

9+

1

10+ · · · >

>

(1

2+

1

2

)

+

(1

4+

1

4

)

+

(1

8+

1

8+

1

8+

1

8

)

+ · · ·

por lo que∞∑

n=1

1

n> 1 +

1

2+

1

2+ · · ·

es decir que Sn > 1 + 12· p


WINXP

sello3


Tomando límites:

limn→∞

Sn ≥ 1+ limn→∞p→∞

1

2· p = ∞ ⇒

∞∑

n=1

1

nes una serie Divergente.

1.17 Criterio general de convergencia de Cauchy.

La condición necesaria y suficiente para que la serie∞∑

n=1

an sea convergente es que

∀ε > 0, ∃ν (ε) ∈ N/∀p, q > ν ⇒ |Sp − Sq| < ε ; con p > q”

Es decir que

∀p, q > ν ⇒ |aq+1 + aq+2 + aq+3 + ap| < ε

como ha de ser ∀p, q ⇒ lo será cuando p → ∞ y por tanto

|aq+1 + aq+2 + aq+3 + ap + ap+1 + · · ·| < ε

es decir que ∣∣∣∣∣

∞∑

n=q+1

an

∣∣∣∣∣< ε ⇒ |Rq| < ε

Lo que nos permite enunciar el criterio de Cauchy de la forma:

“La condición necesaria y suficiente para que la serie∞∑

n=1

an sea convergente es

que

∀ε > 0, ∃ν (ε) ∈ N /∀n > ν ⇒ |Rn| < ε

es decir limn→∞

Rn = 0”.

1.18 Series de términos positivos.

Son series∞∑

n=1

an , donde an ≥ 0 , ∀n ∈ N. Se observa como una serie de términos po-

sitivos, sólo puede ser convergente o divergente, ya que la sucesión S1, S2, S3, · · · , Sn, · · ·es monótona creciente: S1 ≤ S2 ≤ S3 ≤ · · · ≤ Sn ≤ · · · que tendrá límite (conver-gente) si está acotada superiormente y será divergente si no lo está.

Debemos destacar que en las series de términos positivos, es condición suficiente

de divergencia, el hecho de que limn→∞

an �= 0. Pues en estas series la no convergencia

⇒divergencia.


1.19. CRITERIOS DE CONVERGENCIA (TÉRMINOS POSITIVOS). 23

1.19 Criterios de convergencia (términos positi-

vos).

Para una serie de términos positivos veamos los criterios siguientes:

1.19.1 Criterios de comparación:

1. Criterio de la mayorante.

Si∞∑

n=1

an es mayorante de∞∑

n=1

bn , es decir que a partir de un n se verifica que

an ≥ bn, entonces si∞∑

n=1

an es convergente ⇒∞∑

n=1

bn es convergente.

2. Criterio de la minorante.

Si∞∑

n=1

bn es divergente y es minorante de∞∑

n=1

an entonces∞∑

n=1

an es divergente.

3. Criterio del límite del cociente.

Si limn→∞

an

bn= ∞ y

∞∑

n=1

bn divergente ⇒∞∑

n=1

an divergente.

Si limn→∞

an

bn= 0 y

∞∑

n=1

bn convergente ⇒∞∑

n=1

an convergente.

Si limn→∞

an

bn= k

{

�= 0

�= ∞⇒

∞∑

n=1

an y∞∑

n=1

bn tienen el mismo carácter.

1.19.2 Criterio de la raíz o de Cauchy.

Una serie∞∑

n=1

an tal que a partir de un n verifica:

n√an < r < 1 o bién lim

n→∞n√an < 1 ⇒ es convergente.

n√an > r > 1 o bién lim

n→∞n√an > 1 ⇒ es divergente.

n√an > 1 y lim

n→∞n√an = 1 ⇒ es divergente.

En cualquier otro caso el criterio no decide → carácter dudoso

Efectivamente:



- Si desde un n en adelante se conserva n√an < r < 1 ⇒ an < rn y por tanto

∞∑

n=1

an <∞∑

n=1

rn con r < 1, por tanto∞∑

n=1

an convergente.

- Si desde un n en adelante se conserva n√an > r > 1 ⇒ an > rn y por tanto

∞∑

n=1

an >∞∑

n=1

rn con r > 1, por tanto∞∑

n=1

an diververgente.

- Si n√an > 1 y lim

n→∞n√an = 1 ⇒ an > 1 ⇒ lim

n→∞an �= 0 ⇒

∞∑

n=1

an divergente.

Ejemplo 1.19.1 Estudiar el carácter de la serie

∞∑

n=1

n2e−n

––

Aplicamos el criterio de la raiz:

limn→∞

n√an = lim

n→∞

n√n2e−n =

1

elimn→∞

n√n2 =

1

elimn→∞

n2

(n− 1)2=

1

e< 1

luego Convergente

1.19.3 Criterio de D’Alembert o del cociente.

Una serie∞∑

n=1


an

an−1

< r < 1 o bién limn→∞

an

an−1

< 1 ⇒ es convergente.

anan−1

> r > 1 o bién limn→∞

an

an−1> 1 ⇒ es divergente.

anan−1

> 1 y limn→∞

an

an−1

= 1 ⇒ es divergente.


Efectivamente:

- Si desde un n en adelante se conserva

anan−1

< r < 1

entonces:

an < r · an−1


WINXP

sello3

WINXP

sello3


an+1 < r · an < r2 · an−1

an+2 < r · an+1 < r3 · an−1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

∞∑

i=n

ai < an−1

(r + r2 + r3 + r4 + · · ·

)

︸︷︷︸

serie geometrica conv.

= an−1

(r

1− r

)

por tanto∞∑

i=n

ai es un valor finito yn−1∑

i=1

ai es suma de un número finito de términos,

por tanto también valor finito, con lo que∞∑

i=1

ai será convergente.

- Si desde un n en adelante se conserva

anan−1

> r > 1

an > r · an−1

an+1 > r · an > r2 · an−1

an+2 > r · an+1 > r3 · an−1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

∞∑

i=n

ai > an−1

(r + r2 + r3 + r4 + · · ·

)

︸︷︷︸

serie geometrica diverg.

⇒∞∑

i=1

ai es divergente

- Sian

an−1> 1 y lim

n→∞

an

an−1= 1 ⇒ a partir de un n se tiene que an > an−1,

por tanto {an} sucesión creciente de números positivos ⇒ limn→∞

an �= 0 y∞∑

n=1

an

divergente.

Ejemplo 1.19.2 Estudiar el carácter de la serie∞∑

n=1

nn

3nn!

––

Aplicando criterio del cociente:

limn→∞

an

an−1= lim

n→∞

nn

3nn!(n− 1)n−1

3n−1 (n− 1)!

=1

3limn→∞

(n

n− 1

)n−1

=e

3< 1 ⇒ Convergente

.



1.19.4 Serie armónica. Carácter.

Corresponde a una serie de la forma∞∑

n=1

1

np, donde p ∈ R+.

Estudiamos su carácter, según valores de p:

Si p > 1:

∞∑

n=1

1

np= 1 +

1

2p+

1

3p+

1

4p+

1

5p+

1

6p+

1

7p+

1

8p+

1

9p+ · · · <

< 1 +

(1

2p+

1

2p

)

+

(1

4p+

1

4p+

1

4p+

1

4p

)

+

(1

8p+

1

8p+ · · ·

)

+ · · ·

= 1 +2

2p+

4

4p+

8

8p+ · · · = 1 +

1

2p−1+

1

4p−1+

1

8p−1+ · · ·

serie geométrica de razón :1

2p−1< 1 y por tanto convergente.

Por tanto para p > 1, la serie∞∑

n=1

1

npes convergente.

Si p < 1 :

np < n ya que np = n1−q (q > 0) =n

nq< n

por lo que∞∑

n=1

1

np>

∞∑

n=1

1

n, que sabemos es divergente ⇒

∞∑

n=1

1

npdivergente.

Por tanto para p < 1, la serie∞∑

n=1

1

npes divergente.

Si p = 1:

Se tiene que la serie∞∑

n=1

1

np≡

∞∑

n=1

1

nque es diververgente.

1.19.5 Criterio de Pringsheim.

Se plantea el limn→∞

nα.an = l

{

Si α > 1 y l �= ∞ ⇒ Serie convergente.

Si α ≤ 1 y l �= 0 ⇒ Serie divergente.

- Si desde un n en adelante nα · an < 1 , con α > 1, se tiene que an <1

nαy por

tanto∞∑

n=1

an <∞∑

n=1

1

nα(armónica convergente)

luego∞∑

n=1

an convergente.


WINXP

sello3


- Si desde un n en adelante nα · an > 1 , con α ≤ 1, se tiene que an >1

nαy por

tanto∞∑

n=1

an >∞∑

n=1

1

nα(armónica divergente)

luego∞∑

n=1

an divergente.


∞∑

n=1

1√n+ 1

Aplicando el criterio de Pringsheim:

limn→∞

nα.an = limn→∞

nα.1√n+ 1

α=1/2= 1 ⇒ Divergente.

1.19.6 Criterio logarítmico.

Una serie∞∑

n=1


L

(1

an

)

Ln> α > 1 o bién lim

n→∞

L

(1

an

)

Ln> 1 ⇒ La serie es convergente.

L

(1

an

)

Ln< α < 1 o bién lim

n→∞

L

(1

an

)

Ln< 1 ⇒ La serie es divergente.

L

(1

an

)

Ln< 1 y lim

n→∞

L

(1

an

)

Ln= 1 ⇒ es divergente.


En efecto:

- Si

L

(1

an

)

Ln> α > 1 se tiene que

L

(1

an

)

> αLn = L (nα) ⇒ 1

an> nα ⇒

∞∑

n=1

an <∞∑

n=1

1

nα, que es convergente


WINXP

sello3

WINXP

sello3


por tanto∞∑

n=1

an es convergente.

- Si

L

(1

an

)

Ln< α < 1 se tiene que

L

(1

an

)

< αLn = L (nα) ⇒ 1

an< nα ⇒

∞∑

n=1

an >∞∑

n=1

1

nα, que es divergente

por tanto∞∑

n=1

an es divergente.

- Si limn→∞

L

(1

an

)

Ln= 1, pero a partir de un n se tiene que

L

(1

an

)

Ln< 1

entonces

L

(1

an

)

< Ln ⇒ 1

an< n ⇒ an >

1

n⇒

∞∑

n=1

an ≥∞∑

n=1

1

n, que es divergente

por tanto∞∑

n=1

an es divergente.


∞∑

n=2

1

LnLn

––

Aplicamos el criterio del logaritmo:

limn→∞

L

(1

an

)

Ln= lim

n→∞

L[LnLn

]

Ln= lim

n→∞

Ln · L [Ln]

Ln= lim

n→∞

Ln · L [Ln]

Ln= ∞ > 1

por tanto la serie es Convergente.


WINXP

sello3

WINXP

sello3

1.20. SUMA DE SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS. 29

1.19.7 Criterio de Raabe.

Cuando al aplicar el criterio del cociente, se llega al caso dudoso de

limn→∞

an

an−1= 1 , se aplica este criterio, que dice:

Si limn→∞

n

(

1− an

an−1

)

=

l < 1 ⇒ Serie divergente.

l > 1 ⇒ Serie convergente

l = 1 ⇒ Caso dudoso


∞∑

n=1

21+12+1

3+···+ 1

n

––

Aplicamos el criterio del cociente:

limn→∞

an

an−1

= limn→∞

21+12+ 1

3+···+ 1

n

21+12+1

3+···+ 1

n−1

= limn→∞

21n = 1 ⇒ Dudoso

Aplicamos a continuación Raabe:

limn→∞

n

(

1− an

an−1

)

= limn→∞

n(

1− 21n

)

= − limn→∞

n(

21n − 1

)

= − limn→∞

nL[

21n

]

= −L2 < 1

por tanto la serie es Divergente.

1.20 Suma de series de términos positivos.

Sabemos que la suma de una serie∞∑

n=1

an , si existe, es S = limn→∞

Sn. Sin embargo,

el trabajo de obtención de esta suma se puede simplificar notablemente cuando la

serie es de un determinado tipo.

Estudiaremos el cálculo de la suma para distintos tipos de series de términos

positivos.

1.20.1 Series aritmético-geométricas.

Una serie∞∑

n=1

an es aritmético-geométrica, si su término general es de la forma:

an = bn · cn



donde:

- bn es el término general de una progresión aritmética.

- cn es el término general de una progresión geométrica de razón r.

Probada la convergencia, generalmente mediante el criterio del cociente, se pro-

cede de la siguiente forma:

Sn = b1c1 + b2c2 + b3c3 + · · ·+ bn−1cn−1 + bncn

rSn = rb1c1 + rb2c2 + rb3c3 + · · ·+ rbn−1cn−1 + rbncn

(1− r)Sn = (1− r) b1c1 + (1− r) b2c2 + · · ·+ (1− r) bncn

Sn =1

1− r[(1− r) b1c1 + (1− r) b2c2 + · · ·+ (1− r) bncn]︸︷︷︸

no finito términos prog. geométrica razón r,± algo

La suma de la serie será: S = limn→∞

Sn

Si :

bn = an + b → aritmética de primer orden.

bn = an2 + bn+ c → aritmética de segundo orden.

bn = an3 + bn2 + cn + d → aritmética de tercer orden.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·En estos casos se repite el proceso tantas veces como indica el orden de la arit-

mética.

Ejemplo 1.20.1 Sumar si procede la serie

∞∑

n=1

n + 2

2n+2

Se trata de una serie aritmético-geométrica, convergente (basta aplicar criterio

del cociente).

Se tiene que:

Sn =3

23+

4

24+

5

25+

6

26+ · · ·+ n+ 1

2n+1+

n + 2

2n+2

1

2Sn =

3

24+

4

25+

5

26+

6

27+ · · ·+ n+ 1

2n+2+

n + 2

2n+3

1

2Sn =

3

23+

[1

24+

1

25+

1

26+ · · ·+ 1

2n+2

]

− n+ 2

2n+3



Sumando y tomando límites:

1

2limn→∞

Sn =3

23+ lim

n→∞

[ 124

− 12n+3

1− 12

]

− limn→∞

n + 2

2n+3=

3

23+

1

8=

1

2

Por cuanto limn→∞

Sn ≡ S = 1

1.20.2 Series hipergeométricas.

Son series∞∑

n=1

an tal quean+1

an=

αn+ β

αn + γcon α, β y γ ∈ R

Cuando α = 0 , tenemos una serie geométrica de razón r =β

γConvergencia

Aplicando el criterio del cociente:

limn→∞

an+1

an= lim

n→∞

αn + β

αn + γ= 1

aplicando Raabe tenemos:

limn→∞

n

(

1− an+1

an

)

= limn→∞

n

(

1− αn + β

αn+ γ

)

= limn→∞

n

(αn+ γ − αn− β

αn + γ

)

= limn→∞

n (γ − β)

αn+ γ=

γ − β

α

por tanto la serie será convergente cuandoγ − β

α> 1 , es decir cuando γ > α + β.

Suma

La relación que se verifica en la serie hipergeométrica nos permite escribir:

a2a1

=α + β

α + γ⇒ (α + β) a1 = (α+ γ) a2

a3a2

=2α + β

2α+ γ⇒ (2α + β) a2 = (2α + γ) a3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·an−1

an−2=

(n− 2)α + β

(n− 2)α + γ⇒ ((n− 2)α + β) an−2 = ((n− 2)α + γ) an−1

an

an−1=

(n− 1)α + β

(n− 1)α + γ⇒ ((n− 1)α + β) an−1 = ((n− 1)α + γ) an

sumando a derecha e izquierda de las segundas igualdades:

αa1 + 2αa2 + · · ·+ (n− 1)αan−1 + β (a1 + a2 + a3 + · · ·+ an−1) =

= αa2 + 2αa3 + · · ·+ (n− 1)αan + γ (a2 + a3 + · · ·+ an−1 + an)



esto es:

αa1 + αa2 + αa3 + · · ·+ αan−1 − nαan + αan =

= γ (a2 + a3 + · · ·+ an−1 + an)− β (a1 + a2 + a3 + · · ·+ an−1)

por lo que

αSn − nαan = γ (Sn − a1)− β (Sn − an) = (γ − β)Sn − γa1 + βan

(α− γ + β)Sn = nαan − γa1 + βan = β (an + nα)− γa1

por tanto

Sn =an (β + nα)− γa1

α− γ + β=

γa1 − an (β + nα)

γ − (α + β)

tomando límites:

limn→∞

Sn = limn→∞

γa1 − an (β + nα)

γ − (α + β)

pero tenemos en cuenta que limn→∞

an = 0, ya que esta es la condición necesaria de

convergencia, y que limn→∞

n · an = 0, puesto que si limn→∞

n · an �= 0, tendríamos por el

criterio de Pringsehim (α = 1), que la serie sería divergente.

Por tanto

limn→∞

Sn ≡ S =γa1

γ − (α + β)

Ejemplo 1.20.2 Probar si es hipergeométrica la serie

∞∑

n=1

1

(n+ 1) (n + 3)

––

Planteamos el cociente

an+1

an

=

[1

(n+ 2) (n+ 4)÷ 1

(n + 1) (n+ 3)

]

=n2 + 4n + 3

n2 + 6n + 8�= αn + β

αn+ γ

por tanto esta serie no es hipergeométrica.


∞∑

n=1

1

(n+ 2) (n + 3)

––



Planteamos el cociente

an+1

an=

[1

(n + 3) (n+ 4)÷ 1

(n+ 2) (n + 3)

]

=n+ 2

n+ 4⇒

α = 1

β = 2

γ = 4

Por lo que la serie es hipergeométrica.

Es además convergente, pues γ > α + β

Su suma será:

S =γ · a1

γ − (α+ β)=

4 · 13·4

4− 3=

1

3

1.20.3 Series no hipergeométricas reducibles a suma de hi-

pergeométricas.

• Series∞∑

n=1

an , con an =P (n)

Q (n), donde:

P (n) es un polinomio en n de grado p.

Q (n) es un polinomio en n de grado q.

q ≥ p+ 2.

Q (n) formado por q factores en progresión aritmética de razón r = 1.

La suma de la serie se obtiene como suma de las series, ya hipergeométricas, que

se obtienen al descomponer el término general an en suma de p+1 sumandos que son

fracciones, con numerador constante a determinar y con denominador el producto

de q − p factores, que conservan la progresión aritmética.


∞∑

n=1

3n+ 1

(n+ 1) (n + 2) (n+ 3)

No es hipergeométrica y vemos que cumple las condiciones que exponemos arriba,

por tanto descomponemos el término general de la forma:

3n + 1

(n + 1) (n+ 2) (n+ 3)=

A

(n+ 1) (n + 2)+

B

(n + 2) (n+ 3)



identificando coeficientes:

3n + 1 = (n+ 3)A+ (n+ 1)B = n (A+B) + 3A+B

A+B = 3

3A +B = 1

}

⇒ A = −1, B = 4

por lo que:

∞∑

n=1

3n+ 1

(n+ 1) (n + 2) (n+ 3)= −

∞∑

n=1

1

(n+ 1) (n + 2)︸︷︷︸

S1:HIPERGEOMETRICA

+4∞∑

n=1

1

(n+ 2) (n + 3)︸︷︷︸

S2:HIPERGEOMETRICA

Para la serie S1:

an+1

an=

[1

(n+ 2) (n+ 3)÷ 1

(n + 1) (n+ 2)

]

=n+ 1

n+ 3⇒

α = 1

β = 1

γ = 3

⇒ S1 =1

2

Para la serie S2:

an+1

an=

[1

(n+ 3) (n+ 4)÷ 1

(n + 2) (n+ 3)

]

=n+ 2

n+ 4⇒

α = 1

β = 2

γ = 4

⇒ S2 =1

3

Luego

S = −S1 + 4S2 = −1

2+

4

3=

5

6

• Series∞∑

n=1

an , con an =P (n)

Q (n), donde:

P (n) es un polinomio en n de grado p.

Q (n) es un polinomio en n de grado q.

q ≥ p+ 2.

Q (n) formado por q factores en progresión aritmética de razón r �= 1.

En este caso, se desarrolla la serie y a la vista de sus términos, se descompone

en suma de series que serán hipergeométricas.


∞∑

n=1

1

n (n+ 3)



Es fácil comprobar que no es hipergeométrica, escribimos unos cuantos términos:

∞∑

n=1

1

n (n+ 3)=

1

1 · 4 +1

2 · 5 +1

3 · 6 +1

4 · 7 +1

5 · 8 +1

6 · 9 +1

7 · 10 +1

8 · 11 + · · ·

Agrupando términos:

∞∑

n=1

1

n (n + 3)=

[1

1 · 4 +1

4 · 7 +1

7 · 10 + · · ·]

+

[1

2 · 5 +1

5 · 8 +1

8 · 11 + · · ·]

+

+

[1

3 · 6 +1

6 · 9 +1

9 · 12 + · · ·]

=

=∞∑

n=1

1

(3n− 2) (3n+ 1)+

∞∑

n=1

1

(3n− 1) (3n+ 2)+

∞∑

n=1

1

(3n) (3n + 3)

La suma de la serie será por tanto la suma de estas tres series que sí son hiper-

geométricas.

1.20.4 Series de Stirling.

Son series∞∑

n=1

an , tal que an =P (n)

Q (n), donde:

P (n) es un polinomio de grado p.

Q (n) = (n+ b1) (n + b1 + b2) (n + b1 + b3) · · · (n+ b1 + bq)con b1 ∈ R y b2, b3, · · · , bq ∈Z

El grado de Q (n) es q ≥ p+ 2.

Se resuelven descomponiendo el término general en fracciones simples, obtenién-

dose la suma de la serie como suma algebraica de series divergentes.

Ejemplo 1.20.6 La serie∞∑

n=1

1

(n− 1)(n+ 1

3

)

no es de Stirling, pues b2 =43/∈ Z

Ejemplo 1.20.7 La serie∞∑

n=1

1(n− 1

3

) (n+ 2

3

)

si es de Stirling, pues b1 =13∈ R y b2 = 1 ∈ Z



Ejemplo 1.20.8 Sumar, si procede, la serie

∞∑

n=1

1

n2 + 5n+ 4

––

La serie ∞∑

n=1

1

n2 + 5n+ 4=

∞∑

n=1

1

(n + 1) (n+ 4)

es una serie de Stirling y la sumamos descomponiendo el término general:

1

(n+ 1) (n + 4)=

A

n + 1+

B

n+ 4

identificando coeficientes: A = 13;B = −1

3

∞∑

n=1

1

n2 + 5n+ 4=

∞∑

n=1

1

(n+ 1) (n + 4)=

1

3

∞∑

n=1

1

n + 1− 1

3

∞∑

n=1

1

n+ 4

=1

3

[1

2+

1

3+

1

4+

1

5+

1

6+

1

7+ · · ·

]

− 1

3

[1

5+

1

6+

1

7+ · · ·

]

=1

3

[1

2+

1

3+

1

4

]

=13

36

1.20.5 Series cuyo término general es de la forma an =P (n)

n!.

Para obtener la suma, se descompone el término general en la suma de p + 1 frac-

ciones, siendo p el grado de P (n):

P (n)

n!=

A1

n!+

A2

(n− 1)!+

A3

(n− 2)!+ · · ·+ Ap+1

(n− p)!

La suma de cada serie∞∑

n=1

Ai

(n− (i− 1))!

se calcula sabiendo que ek =∞∑

n=0

kn

n!.


∞∑

n=1

n + 3

n!



––n+ 3

n!=

A

n!+

B

(n− 1)!

identificando coeficientes: A = 3 ; B = 1

∞∑

n=1

n+ 3

n!=

∞∑

n=1

3

n!+

∞∑

n=1

1

(n− 1)!= 3 (e− 1) + e = 4e− 1


∞∑

n=1

32n3

n!

––

32n3

n!=

(

323

)n

n!=

(3√9)n

n!⇒

∞∑

n=1

32n3

n!=

∞∑

n=1

(3√9)n

n!= e

3√9 − 1


Tema 1. Sucesiones y Series. LV

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