67

r

. • Cuestiones baslcas 1. Halla La resuLtante de dos fuerzas de 8 NY6 Ncuando:

a) Se ejercen en La misma direccien y sentido.

b) Se ejercen en La misma direccion perc sentidos opuestos.

c) Se ejercen formando un anqulo de 90°.

ResueLve eL ejercicio numerica y graficamente.

8 N 0 1--- - - - - -+

o 2N •

c) Direcciones perpendicuLares: IF:I = ~ 1 F; 1 2 + 1F;12 =

= J(8 N)2+ (6 N)2 = 10 N

8N 10 N,, : : !

1<..- : 6 N

2. HaLLa gnificamente La resuLtante de cada uno de estos grupos de fuerzas y calcuLa su intensidad.

[2 r [5F. RtfSJF"

3. Se tiene una fuerza de 10 Nque forma un anguLo de 30° con La horizontal. CaLcuLa y dibuja Las componentes de dicha fuerza.

y

1--- - -----,""'- 10 N

F Xx

1;:1 = IFI cos a = 10 N cos 30° = 8,7 N

1;:1 = IFI sen a = 10 N sen 30° = 5 N

4. Intentas mover un armario y no Lo consigues. iEsta aplican­do una fuerza aunque no haya movimiento ni deformacion? Indica Lo que crees que ocurre.

D1NAMICA

La fuerza que apLicas es inferior a La necesaria para moverLa. Es debida a que hay otras fuerzas que La contrarrestan como eL peso deL armaria 0 eL rozamienta con eL sueLo.

5. Dadas dos fuerzas de 10 N Y15 N que forman un anguLo de 90°, apLicadas en eL punta (0, 0) de los ejes cartesianos, dibuja y calcula el valor de la fuerza necesaria para equiLi­brar ambas.

, / FR

10N / ~

15 N FeQUilibrante

1':;1 = ~ 1 F; 1 2 + 1F;1 1 = J(10 N/ + (15 N)2 = 18 N

Lueg a La fuerza equiLibrante sera tarnbien de 18 N, pero su di­recci6n y sentido es taL y como se muestra en La Figura.

6. Un caballo tira de un carromato con una fuerza de 2000 N YLe ayuda eL carretero con una fuerza de 250 N. Si eL sueLo opone una fuerza de rozamiento de 150 N, caLcuLa La fuerza que reaLmente impuLsa al carromato.

FR = 2000 N + 250 N - 150 N = 2100 N

7. Una barca atraviesa un rio empujada por eL remere con una fuerza de 350 NYpor La corriente que La arrastra perpendicu­Larmente con otra fuerza de 100 N. iCuaL es La fuerza que hace avanzar La barca?

Se apLica La ecuaci6n:

1':;1 = ~ 1 F; 12 + IFzl2 = ) (350 N)2+ (100 N)2 = 364 N

En direcci6n aproximada de 74° can La horizontaL deL no.

Actividades 1. iQue diferencias encuentras entre Las ideas de Aristoteles

y Las de Galileo sobre el movimiento de Los cuerpos?

Para Arist6teLes, La veLocidad de caida de Los cuerpos depende de su peso, y un cuerpo no se mueve si no actua sobre eL aLguna fuerza .

Sequn Galilee. tados Los cuerpos caen can La misma aceLeraci6n, y un cuerpa permanece en repose 0 se mueve can movimiento rectilineo y uniforme si no actuan fuerzas sobre el.

2. iQue novedades introduce Galileo en eL estudio deL movi­miento de Los cuerpos? iPor que se dice que eL establecid Los fundamentos de La Dinamica?

EmpLe6 La observaci6n y La experimentaci6n para obtener sus conclusiones. Midi6 espacios y tiernpos. en Lugar de basarse en principios fiLos6ficos 0 creencias reLigiosas; es decir, introdujo eLmetodo cientifico.

D1NAMICA68

3. El nino de la Fig. 6.10 tiene un peso de 200 NYesta situado sobre un plano inclinado 25 0 respecto a la horizontal.

0) ,Cual es el modulode las componentes del peso P. y ~? b) Compruepa q!!e no te has equivocado, calculando el mo­"

dulo de P, + Py que debe ser 200 N.

0) P, = P sen a = 200 N . sen 25° = 84,5 N

Py = P cos a = 200 N . cos 25° = 181,3 N

b) IPx + p) = J84,52 + 18,33 = 200 N

4. ,A que tipo de interacciones esta sujeto un cuerpo libre? ,Tiene aceleracion?

No esta sometido a interacciones. No tiene aceleraci6n.

5. ,Que entiendes por sistema de referencia inercial? Pon algun ejemplo de sistemas de referencia inerciales y no inerciales.

Un sistema de referencia inercial es un sistema libre, es decir, no esta sujeto a interacciones. Un sistema es inercial cuando esta en reposo 0 tiene movimiento rectilineo y uniforme. En caso contrario, es un siste ma no inercial. Un sistema de referencia ligado a un tren que se mueve en linea recta con velocidad constante respecto al suelo es inercial. Un sistema de referencia ligado a una piedra que cae libremente no es inercial, porque la piedra cae con movimiento uniformemente acelerado.

6. Responde a las siguientes preguntas:

0) ,Que entiendes por masa inerte?

b) ,Por que cuando un coche frena sus ocupantes se van hacia adelante? ,Realmente actiia alguna fuerza sobre ellos?

0) La masa inerte de un cuerpo es la expresion cuantitativa de su inercia.

b) Cuando un coche frena, sus ocupantes se van hacia delante por inercia, tienden a permanecer en movimiento. Ninguna fuerza real actCta sobre ellos.

7. Calcula el peso en kp y en N de un libro de masa, m = 850 g.

P = m g = 0,85 kg . 9,8 mS-2 = 8,3 N = 0,85 kp

8. Un coche de 1,4 t, que esta parade, arranca y alcanza la ve­loddad de 81 km h-1 despues de recorrer 150 m.

0) ,Cuanto vale su aceleracion supuesta constante?

b) ,Que fuerza ha ejerddo su motor?

v2 - v~ (22,5 m S- I)2 - 0 -2 0) 0 = = = 1,7 ms

2 x 300 m

b) F= m 0 = 1400 kg . 1,7 m5-2 =2,4 . 103 N

9. ~obre una pi!..rticula de masa m = 25 9 actuan las fuerzas F1 (2, -4) Y F2 (5, 3) expresadas en N.

0) Averigua graticamente la resultante de ambas fuerzas.

b) Expresa vectorialmente la fuerza resultante que actua so­bre la particula.

c) ,Cual es el vector aceleracion de la particula?

0) Solucion grafica no incluida.

b) F (7 llx- lly) NR= -e

-+ F -+ -+ 2c) 0 = -

x = (280 U R- 40 U y) m s" m

10. Un ascensor que transporta un pasajero de 70 kg de masa se mueve con una velocidad de regimen constante, y al arrancar o detenerse lo hace con una aceleracion de 1,4 m 5- 2

• Calcula la fuerza que ejerce el pasajero sobre el piso del ascensor en los siguientes casas:

0) El ascensor arranca para subir.

b) El ascensor frena y se detiene en la subida.

c) El ascensor desciende a velocidad constante.

0) F= P + m 0 = m (g + 0) = 70 kg . (9,8 + 1,4) m5-2 = = 7,8 . 102 N

2=5,9b)F=m(g -o)=70kg ' (9,8 -1,4)ms' . 1Q2 N

c) F=P=mg=70kg· 9,8ms-2=6,9· 102N

11. Dos imanes de masas una doble que la otra se repelen rnu ­tuamente.

0) ,Que puedes decir acerca de la fuerza que actua sobre cada uno de los imanes?

b) Enunda el prindpio en que te basas para responde r el apartado anterior.

c) Al dejarlos en libertad, ,cual se movera con mayor ace­leracion?

0), b) SegCtn el principio de accion y reaccion. el m6d ulo de lz fuerza que actua sobre los dos imanes es el mismo.

c) Se mueve con mayor aceleracion el iman que tiene menor masa.

12. Un rifle de masa 4,5 kg dispara una bala de 20 9 con una velocidad de 220 m S-I. ,Con que velocidad retrocede el rifle?

- 0,02 kg . 220 m S-1 v, = - - - -=--- - - - = - 0,98 m S-1

4,5 kg

13. Dos vagones de 20 t Y 25 t se desplazan a lo largo de unz via horizontal sin rozamientos, en el mismo sentido, con ve­

Locidades de 1,2 m S-l y 1,8 m s-t, respectivamente. Cuando chocan se enganchan y contimian moviendose juntos. ,CuaL es su veLocidad despues deL choque?

mlVI + mzvz= (ml + mz) v', 20 . 103 kg . 1,2 m S-I + 25 . 103 kg . 1,8 m S- I

v' = ------''------------'---'---­45 . 103 kg

= 1,53 mS-I

14. Una boLa de 20 9 de masa rueda a 10 m S-l hacia una boLa de 120 9 de masa que se encuentra parada.

Despues deL choque, La primera boLa rebota con una veLod­dad de 1,5 m s-t,

0) ,Que veLocidad adquiere La segunda boLa?

b) ,En que direccitin y sentido se mueve La segunda boLa despuesdeLchoque?

a} ml V1+ mzVz = m1 v; + m, v;

0,02 kg . 10 mS-l + 0,12 kg . °=

= 0,02 kg . (- 1,5 ms') + 0,12 kg . v; v; = 1,9 ms'

b} La segunda boLa se mueve en La direcci6n y sentido que tenia La primera boLa antes deL choque.

15. ,Por que La fuerza gravitatoria, que es La mas debil de to­das Las interacciones fundamentaLes, es La responsabLe de La estructura deL Universo?

Porque es una fuerza atractiva de aLcance infinito.

16. Cuando un muelle se aLarga 0 se comprime vueLve a recu­perar su Longitud inicial. ,CuaL de Las cuatro interacciones fundamentaLes interviene en este fenomeno?

La interacci6n eLectromagnetica.

17. ,Que fuerza ejerce La Tierra sobre una piedra de 430 g? ,Y La piedra sobre La Tierra?

F= P = m9 = 0,43 kg . 9,8 ms" = 4,2 N. La misma.

18. CaLcuLa La fuerza gravitatoria con que se atraen dos neutro­nes situados en eL ruideo de un atomo a una distanda de 1,1 .10-15 m, La masa deL neutron es m; = 1,67 . 10- z4 g.

m' 6,67. 10-11 N mZ kg-Z. (1,67 . 1O-z7 kg) Z F= G . - =-------=-- '---------::..: ­

RZ (1,1 . 10-15 m)Z

= 1,54 . 10-34 N

19. CaLcuLa eL peso de una manzana de 250 9 a una aLtura de 300 km sobre La superficie terrestre.

zgh RT

90 (RT+ h)Z

9,8 m s-z . (6,38 . 106 m)Z -z 9h= = 8,94 m s

(6,68 . 106 m)Z

P = m 9h= 0,2 5 kg . 8,94 m s-z = 2,24 N

DINAMICA

20. Busca en una enciclopedia La masa y eL radio de Jupiter y contesta: ,Donde pesa mas un cuerpo, en La Tierra 0 en Jupiter? ,Donde es mayor su masa?

El peso deL cuerpo es mayor en Jupiter. La masa es constante, por tanto, iguaL en La Tierra que en Jupiter.

MJ =317,95 MT

RJ = 11,2 RT

9J = 2,53 9T

21. Un sate Lite meteoroloqico de masa 340 kg se encuentra en una orbtta circuLar aLrededor de La Tierra a 4500 km de aLtura. CaLcuLa:

a) La fuerza gravitatoria que La Tierra ejerce sobre el.

b) Su veLocidad orbital.

Datos: Masa de La Tierra = 5,98 . lO z4 kg; radio de La Tierra = 6,38 . 106 m,

a] F = G M m = 6,67 . 10-11 N mZ kg-Z •

(RT + h)Z

5,98 . 10z4 kg . 340 kg 3 ------=-----=-- = 1,1 . 10 N (6,38 . 106 m + 4,5 . 106 m)Z

bJG MT m = m VZ

• v = ) GMT

RZ R' R

-Zv = I 6,67 . 10-11 N mZ kg • 5,98 .

-V 1,09 . 107 m

= 6,0 . 103 m s'

22. ,CuaLes son Las unidades deL coeficiente de rozamiento? ,Puede ser mayor que La unidad?

EL coeficiente de rozamiento es adimensional, no tiene unida­des. Puede ser mayor que La unidad.

23. CaLcuLa La aceleracion con que desciende un cuerpo aL desLizarse por un pLano inclinado 25° sobre La horizontaL si eL coeficiente de rozamiento ctnetico entre ambos es u, = 0,35.

0=9 sen a - I.l 9 cos a = 9 (sen a - I.l cos a) = = 9,8 ms-z . (sen 25° - 0,35 . cos 25°)

0= 1,03 rn s"

24. ,Por que eL rozamiento entre dos superficies deL mismo materiaL sueLe ser mayor que entre materiaLes diferentes? ,Que interaccion fundamentaL es La responsabLe de La exis­tencia de fuerzas de rozamiento?

Porque Las rugosidades de Las superficies en contacto son seme­jantes, y Los saLientes y entrantes de ambas superficies encajan mejor. La interacci6n electromaqnetica es La responsabLe de La existencia de fuerzas de rozamiento.

25. Determina eL vaLor de todas Las fuerzas que actUan sobre un bLoque de 12 kg de masa apoyado sobre una.superficie horizontal. EL coeficiente de rozamiento cinetico entre eL

ill

i !

70 DINAMICA

bloque y la superficie es 0,42. Si se le empuja con una fuer­za horizontal de 75 N, (.que distancia recorre el bloque en 4 s partiendo del reposo?

P = m 9 = 12 kg . 9,8 mS·2= 117,6 N;

Fr=~P=0,42 . 117,6N=49,4N

F- Fr 75 N- 49,4 N -2 0=-- = = 2,13 ms ;

m 12 kg

1 2 1 -2 2x =- at =- . 2,13ms . (4s) =17m 2 2

26. Describe como determinarias experimentalmente el coefi­ciente estatico de rozamiento entre dos superficies.

Mediante un pLano inclinado. Determinando eL anqulo minima necesario (ex) para iniciar eL desLizamiento: u, = tg ex.

27. Un cuerpo de 5,4 kg esta situado sobre un plano inclinado 20° sobre la horizontal. El coeficiente de rozamiento esta­tico entre el bloque y el plano es u, = 0,40. (.Desciende el bLoque por el pLano? (.(ual es el angulo minima a partir del cual se inicia el movimiento?

P, = m 9 sen ex = 5,4 kg . 9,8 mS·2 . sen 20° = 18,1 N

Fr=~mgcos ex=0,40 ' 5,4 kg . 9,8ms'2 . cos200=19,9N

No desciende.

tg ex = ~e ; tg ex = 0,40; ex = 21,8°

28. a) Describe la constitucion de un dinamometro.

b) Basandote en la Ley de Hooke, explica su funcionamiento.

c) Dos dinamometros de un mismo fabricante tienen la misma longitud y aparentemente las mismas caracteris­ticas, pero uno de ellos puede medir fuerzas de hasta 2 N de modulo, mientras el otro solo puede hacerlo has­ta 1 N. (.Que se puede afirmar acerca de sus constantes elasticas?

0) Es un mueLLe que consta de un indice que marca sobre una esca ­La graduada.

b) El aLargamiento deL muelle deLdinam6metro esproporcionaL a La fuerza deformadora. Una vez caLibrado, permite medir La fuerza que Lo deforma.

c) Se puede afirmar que sera mayor La constante elastica deL pri­mer dinam6metro, puesto que para conseguir eL mismo aLarga­miento hay que apLica r sobre el una fuerza mayor.

29. Un muelle de acero se aLarga 2,4 cm al colgarle un bloque de 5 kg.

a) (.(ual es el valor de la fuerza deformadora?

b) (.(ual es su constante elastica?

c) (.(uanto se alargaria al colgarle un cuerpo de 12 kg? 2=49No)F=P=mg=5kg·9,8ms·

b) k =.!..-. = 49 N = 2,04 . 103 Nrn? 6;< 0,024 m

~ F __ 12 kg . 9,8 m s'c) L>A A

---=----- = 0,059 m= 5,9 cm k 2 . 103 N m?

30. Se coloca un cuerpo de masa m = 59 kg sobre un resorte CUya constante elastica k = 4,2 . 103 N m".

a) (.(uanto vale la fuerza deformadora?

b) (.Que Longitud se acorta el resorte?

c) (.Que longitud se alarga el resorte si el cuerpo se cuelga de el?

0) F = P = m9 = 59 kg . 9,8 mS·2= 5,8 . 102 N

F 5,8 . 102 N b) fu(= -= =014 m

k 4,2 · 103 N rn' '

c) La misma. EL aLargamiento depende de Fy k, no de si es aLarga ­miento 0 acortamiento.

31. ,De que factores depende La velocidad maxima con que un vehiculo puede tomar una curva horizontal sin patinar?

Depende deL coeficiente de rozamiento de Los neurnaticos con eL sueLo y deL radio de La curva:

V= flliR

32. Un coche toma una curva de 60 m de radio en una carretera horizontal. El coeficiente de rozamiento de las ruedas con eL suelo es de 0,75. (.(on que velocidad maxima podria tomar la curva sin derrapar?

2m vFe = Fr ; - - - = ~ m g; V = ~ /l . 9 . R =

R

= J0,75 . 9,8 m S·2 . 60 m = 21 m5. 1

33. ,Influye el radio de una curva en el anqulo de peralte que debe tener?

Sf. v = JR 9 tg ex

34. Se hace girar en un pLano vertical una piedra de masa 50 9 mediante una cuerda de 50 cm de longitud dando 120 vueltas por minuto. ,Que tension soporta la cuerda cuando la piedra esta en el punta mas alto y en el mas bajo de su trayectoria?

2 RFe= P + T1; T1 = Fe - P = m 00 - m 9 =

rad )2 = 0,05 kg· 4 1t -s- . 0,5 m - 0,05 kg . 9,8 mS·2 (

TI = 3,46 N

T2 = Fe+ P = 3,95 N+ 0,49 N = 4,44 N

Problemas propuestos

Para afianzar

1. Calcula eL modulo deL vector F= 17 Ii. - 26 ~ N. Calcula tam­bien el angulo que forma con el eje Ox.

F= J(17 N) 2+ (-26 N)2 = 31 N

-26 tg ex = - - = -1 ,53 ex = -57° = 303°

17

r f~

­

m

p =

2. Sobre una masa m actua una fuerza constante de 250 N du­rante 15 s, transmitiendcle una velocidad de 37,5 m S-l.

CaLcula La masa m y la cantidad de movimiento de la misma aL cabo de ese tiempo.

Ft = l:1(m v) = m v

F t 250 N . 15 5 k = -= = 100 g

v 37,5 m 5-1

m v = 100 kg . 37,5 m 5- 1 = 3750 kg m 5-1

3. CaLcula La fuerza que ejerce sobre eL piso deL ascensor un hombre de 70 kg de masa:

a) Cuando esta en reposo.

b) Cuando asciende a 1 m 5- 2•

c) Cuando asciende a 5 m 5-1 •

d) Cuando desciende a 2 m 5- 2 •

a) F = P = m g = 70 kg . 9,8 m5-2 = 6,9 . 102N

b) F = P + ma = m (g + a) = 70 kg (9,8 + 1) m5-2 = 7,6 . 102N

c) F = P = 6,9 . 102 N

d) F= m (g - a) = 70 kg (9,8 - 2) m 5-2 = 5,5 . 102 N

4. ;.Por que te des pLazas hacia adelante cuando eL autobus en eL que viajas frena bruscamente?

Sequn el principia de inercia, tiendes a mantener tu movi­miento.

5. ;.Porque no se anuLan entre S1 Las fuerzas de accion y reaccion si siempre son iguaLes y de sentido contrario?

Se aplican en cuerpos distintos.

6. Se Lanza una pelota verticalmente hacia arriba. Cuando se encuentra subiendo, y considerando nuLo eL rozamiento con eL aire, ;.cuaL de Los siguientes diagramas representa correc­tamente Las fuerzas que actuan sobre La peLota?

a) b) c) d)

c) Solo actua la fuerza gravitatoria.

7. Dos imanes se atraen mutuamente. Si La masa de uno es menor que La del otro, ;.cuaL experimenta una fuerza mayor? ;.CuaL de Los dos se movers con mayor velocidad?

La fuerza es igual y opuesta en uno y en otro (accion y reac­cion). Se mueve can mayor velocidad el irnan que tiene menos masa. porque tiene mas aceleracion,

DINAMICA

8. Sobre eL cuerpo de la figura, cuya masa es m = 5 kg, actuan las fuerzas que se indican. CaLcuLa:

N

p

a) El peso deL cuerpo.

b) La reaccion normaL N.

c) La aceleracion deL cuerpo.

a) P = mg = 5 kg . 9,8 m 5-2 = 49 N

b)N=P=49N

c) a = IF = 40 N- 20 N = 4 m5-2 m 5 kg

9. Una pelota de 75 9 de masa llega a La pared de un Ironton con una veLocidad de 16 m S-l y rebota con una velocidad de 12 m 5- 1

• El tiempo de contacto con La pared es de 0,03 s. CaLcuLa:

a) La variacion que experimenta eL momenta LineaL de la pelota.

b) La fuerza media que actua sobre La pelota.

a) sp = P 2 - P I = m V2 - (-m VI) = m (v2 + VI) =

= 0,075 kg . (12 + 16) m5-1 = 2,1 kg m5-1

b) FM = Sp F= .s: = 2,1 kg m 5-1

= 70 N M 0,035

10. Para arrastrar con veLocidad constante un piano de 140 kg de masa sobre un sueLo horizontal hay que reaLizar una fuerza de 650 N. Calcula eL coeficiente de rozamiento.

F= F, = 11 m g; 650 N= 11 • 140 kg . 9,8 m 5-2; 11 = 0,47

11. El muelle de un dinamometro se alarga 3,0 cm aL colgarLe una masa de 100 g. ;.CuaL es su constante elastica?

F 0,1 kg . 9,8 m 5- 2 N ­k =--= =32,7 m 1

f:,.x 0,03 m

12. CalcuLa la fuerza de atraccion gravitatoria entre la Tierra y un astronauta, que con eL traje espacial tiene una masa de 120 kg, que se encuentre a 20000 km de La superficie de La Tierra. ;.Cual es eL valor de g a esa aLtura?

Datos: Mr = 5,98 . 10 24 kg; Rr = 6380 km

G m1 m2F = n (RT + h)2

6,67 . 10-11 N m' kg-2 . 5,98 . 1024 kg . 120 kg

(26,38 . 106 m)2 = 68,8 N

72 DINAMICA

GMT 18. Una madre y su hija, con masas de 60 kg y 45 kg, respeetiva. mente, estan paradas en una pista de hieLo. La hija empuja(RT + h)2 a su madre horizontaLmente con una fuerza de 40 N durante

6,67 . 10.11 N m2 kg-2 • 5,98 . 1024 kg

= 0,573 m 5.2 0,5 s. CaLcuLa: (26,38 . 106 mr

a) La aceleracion y La veLocidad de La madre.

b) La fuerza que actua sobre La hija, su aceleracion y su13. Tenemos un nino sentado en un trineo en una pendiente veLocidad.cubierta de nieve. No se desliza, pero empujando con Los

pies consigue poner en movimiento eL trineo, y a partir de F 40 N 1 0) 0 = - = --= 0,67 m 5' ese momento, y sin ayuda por parte deL nino, desciende m 60 kg

aumentando continuamente su veLocidad. (.Podrias dar una v = Vo + 0 t = 0,67 m 5. 1 . 0,5 5 = 0,33 m 5. 1

explicacion de Lo sucedido?

- 40 NElcoeficiente de rozamiento cinetico es menor que el coeficien ­ b) F= - 40 N 0 = - - = -0 ,89 m 5. 1

te de rozamiento estatico. 45 kg

v = -0,89 m5-1 • 0,5 5 = -0,44 m5-1

14. (.A que aLtura sobre La Tierra debe encontrarse una nave es­paciaL para que eL vaLor de La aceleracion de La gravedad sea

19. Un bLoque de masa m = 6 kg se encuentra en reposo sobre 9,00 m S·2? una superficie horizontaL Lisa. AL actuar sobre eL una fuerza

Datos: MT = 5,98 . 1024 kg; RT = 6380 km. 1constante Le transmite una aceleracion de 8,5 m 5- • CaLcula eL vaLor de La fuerza:h = RT.rg; - RTs: a) Si es paraLeLa a La superficie.

b) Si forma un anqulo de 30° con La horizontaL.6,38 . 106 m . ,jg,8 m 5-2

h = --- - -----'------- RT = 2,77 . 105 m = 277 km 0) F = m 0 = 6 kg . 8,5 m5- 1 = 51 NJ9m 5. 2

b) F, = m 0 = F cos a 15. (.Puede existir fuerza de rozamiento sobre un objeto en eL 1

F = ~ = 6 kg . 8,5 m 5. = 59 N que La suma de todas Las demas fuerzas sea nuLa? Pon un

cos a cos 30 0

ejempLo.

S1. Un cuerpo lanzado con una determinada velocidad in icial que 20. Una peLota de tenis de 50 g LLega a un jugador con una ve­se desliza sabre un pLano horizontal.

Locidad de 20 m 5- 1• Despues de ser goLpeada por eL jugador

saLe con una veLocidad dobLe en sentido opuesto. Si La raque­ta ha ejercido una fuerza media sobre La peLota de 200 N,

Para repasar (.cuanto tiempo ha estado en contacto con La raqueta?

F t = m VI - m Va 16. Un avion de 90 t que esta parado arranca y aLcanza La ve­Locidad de despegue, 144 km h-1

, tras recorrer 1,6 km por 0,05 kg . 60 m 5-1

- --=-- - - - = 0,015 5La pista. (.Que fuerza, supuesta constante, han ejercido sus 200 N motores?

2 1) 2v - vJ (40 m5- - ° a = = = 0,5 m 5. 1 21. Dos cuerpos de 400 y 500 g, respectivamente, cueLgan de 2 x 2 . 1600 m Los extremos de una cuerda inextensibLe y de masa despre ­

F = m 0 = 90 . 103 kg . 0,5 m 5.1 = 4,5 . 104 N ciabLe que pasa por una poLea que suponemos no infLuye en eL probLema (maquina de Atwood). (.Con que aceleracion se moveran? (.Cual es La tension de La cuerda?

17. Un autornovil ejerce una fuerza de tracdon de 120 kp y arras ­tra un remoLque con un cabLe. El automovil tiene una masa de 800 kg Y eL remoLque 1000 kg. Si se desprecian Los roza ­mientos, caLcuLa: (0,5 kg - 0,4 kg) 9,8 m 5.2

---'-----'----"---_---'-----=..:c---'--- = 1,09 m 5-2

a) La aceleracion deL movimiento. 0,9 kg

b) La tension de La cuerda. T - m2 g = m, 0

c) La veLocidad deL conjunto cuando, habiendo partido deL 1T= 0,4 kg . (9,8 + 1,09) m 5- = 4,36 N reposo, haya recorrido 20 m.

F 120 kp . 9,8 N . kp' .1 0 ) 0 = = 0,65 m 5 22. Un cuerpo de masa m = 3 kg esta situado sobre un pLano

m, + m, 1800 kg incLinado 30 0 sobre La horizontaL sin rozamientos. j; b) T= m 0 = 1000 kg . 0,65 m 5 .

1 = 650 N a) Dibuja un diagrama con todas Las fuerzas que actuan 50 ­j

c) v = ~ = h . 0,65 m 5-1 . 20 m = 5,1 m 5. 1 bre eL cuerpo.

' j ,..:

b) 0 =- =- = = g . sen 30° =

b) ,Con que aceleraci6n desciende por el plano?

0) Soluci6n qrafica no incluida.

F r, m g sen 30°

m m m

= 9,8 rn s" . 0,5 = 4,9 ms"

23. Lasmasas de los cuerpos A y B de la figura son 300 9 Y 200 g, respectivamente. Considerando que no existen rozamientos, que la cuerda es inextensible y de masa despreciable y que la polea no infLuye en el movimiento, calcula:

0) La aceleraci6n del sistema.

b) La tensi6n de la cuerda.

mBg 0,2 kg . 9,8 m 5-2 0)0= = 3,9 ms-2

m, + mB 0,5 kg

b) PB - T = mB0

T= PB - mB0 = mB(g - 0) = 0,2 kg . (9,8 - 3,9) m 5-2= 1,2 N

24. Dos bolas de masas ml = 30 9 Y m, = 75 9 se mueven sobre una superficie horizontal lisa de forma que se pueden con­siderar como particulas libres sin rozamiento. Se dirigen en linea recta una hacia la otra con velocidades de 5 y 7 m S-I,

respectivamente. Despues del choque, la primera bola rebo­ta con una velocidad de 12,1 m S-I. ,Que velocidad adquiere la segunda bola despues del choque?

PI = ml VI + m 2 v 2 = 0,03 kg . 5 m 5-1 + 0,075 kg . (-7 m 5-1) =

= -0,375 kg m 5-1

PI = P 2

-0, 375 kg m5-1 = 0,03 kg (-12,1 m5-1) + 0,075 kg . v~

V~ = -0,16 m 5-1

25. Los bloques m, = 2 kg y m, = 3 kg de la figura se apoyan sobre una superficie horizontal sin rozamiento. La fuerza F = 20 N empuja al conjunto de los bloques que estan en contacto. CaLcula la aceleraci6n del conjunto y las fuerzas de acci6n y reacci6n entre los bloques.

/ /

/ m2

m, -,

1/) ­ --

1/

D1NAMICA

F 20 N 2 0= --- = --- = 4 m5­

5 kg

F - T= m1 0

T= F - m, 0 = 20 N - 2 kg . 4 m 5-2= 12 N

T= m20 = 3 kg . 4 m 5-2= 12 N

26. Una tecnica utiLizada para determinar la velocidad de una bala consiste en disparar sobre un blanco de modo que esta se incruste en el, observando el movimiento del blanco tras el choque. Sup6n que una bala de 17 9 de masa, tras in crus­tarse en un blanco de 1500 g, hace que el conjunto se mueva con una velocidad de 0,64 m 5- 1

• En ausencia de rozamientos, determina la velocidad de la bala antes del impacto.

tn , VI = (ml + m2) v'

1,517 kg . 0,64 m 5-1

- - ---.:::-...- --- = 57 m5- 1

0,017 kg

27. Un plano incLinado forma un angulo de 40° sobre la hori ­zontal. En la parte mas alta se abandona un cuerpo para que baje deslizandose, Sabiendo que el coeficiente de rozamien­to estatico es 0,5, averigua si se deslizara,

Descendera si P, > F,; m g sen a > 1-1 m g cos a ; tg a > 1-1;

tg a > 0,5

Como tg 40° = 0,84> 0,5, descenders.

28 . ,Cual es la masa y el peso de un cuerpo de 40,0 kg en la Tierra y en la Luna?

Datos: My =5,98 . 1024 kg; ML = 7,35 . 1022kg; Ry=6380 km; RL = 1740 km.

mT= ml = 40 kg

GmT 6,67· 10-11 N m2 kg-2 . 5 98 . 1024 kggT= - - = ' = 9,8 m 5-2

Ri (6,38 . 106 m)2

Gm; 6,67 · 10-11 N m2 kg-2 . 7 35 . 1022 kg g l= - -= ' = 1,62 m 5-2

RC (1,74 . 106 rn)"

Py= mgy= 40 kg . 9,8 m 5-2 = 392 N

Pl = m g l = 40 kg . 1,62 m5-2= 64,8 N

29. Un cicLista toma la curva de un vel6dromo de 40 m de diame­tro con una velocidad de 40 km h". Suponiendo que el roza­miento entre las ruedas y el suelo es despreciable, calcula el anqulo de peralte para que el cicLista no se salga de la pista.

v2 (11,11 m 5-1)2 tg a = - - = = 0,630; a = 32°

R g 20 m . 9,8 m 5-2

30. La longitud de un mueLLe aumenta 1,0 em cuando se cuelga de el un objeto A de 1,5 kg de rnasa.

a) ,Cual es la constante elastica del mueLLe?

b) Cuando se cuelga otro objeto B del muelle, este se alarga 3 em. ,Cual es la masa de B?

F P 1,5 kg . 9,8 m 5-2 0) k = - = - = = 1470 N m'

g tv. 0,01 m

DINAMICA74

k /).x 1470 Nrn' . 3 . 10-2 m b) m = - = = 4,5 kg

g 9,8 m 5- 2

31. Una atraccion de feria consiste en Lanzar un trineo de 2,0 kg por una rampa ascendente que forma un anqulo de 30° con La horizontal. Si eL coeficiente de rozamiento es 0,15, (,con que veLoddad se debe Lanzar para que ascienda una aLtura de 4,0 m?

- P, - F, - m g sen a - Jl mg cos a 0=--- = = -g (sen a + Jlcos a) =

m m i:. = -9,8 m5-2

• (sen 30° + 0,15 . cos 30°)

a = -6,17 m5- 2; vo= ~ -2 0 x = ~r 2- ( --6-,1-7-m- ) -·-4-:--m =_- .--:- s--:l:7""

= 7,0 m 5-1

32. Dados Los cuerpos representados en La figura, caLcuLa La ace­leracion con que se mueven y La tension de La cuerda. El coeficiente de rozamiento es eL mismo para ambos cuerpos y vaLe 0,200.

ml g sen 30° - T - ~ ml g cos 30° = ml 0 }

T -~m2g=m2o

-m l g (sen 30° - Jl cos 30°) - Jl m2 go = - --.::...:=--.:..- - - -'-- - --'-- '------'' ­

ml + m2 5kg· 9,8ms-2 • (sen300-0,2 · cos300)-0,2· 2kg · 9,8ms-2

0= = ?kg

= 1,73 m5-2

T= mdo + ~ g) = 2 kg . (1,73 + 0,2 . 9,8) m5-2 = 7,38 N

33. Un cuerpo de 50 kg esta en repose sobre una superficie ho­rizontaL. Elcoeficiente cinetico de rozamiento vaLe 0,20 y eL estatico 0,50. CaLcuLa:

0) La fuerza de rozamiento entre eL cuerpo y La superfide.

b) La fuerza minima necesaria para iniciar eL movimiento.

c) (,Cuanto vaLe La fuerza de rozamiento si La fuerza horizon­taL apLicada es de 40 kp? En este caso, (,cuanto vaLe La aceleracion?

0) El cuerpo esta en reposo y no se ejerce ninguna fuerza sabre el: F, = 0

b) F = F, = ~ e mg = 0,50 . 50 kg . 9,8 m5-2 = 245 N

c) Como F = 40 kp . 9,8 m5-2 = 392 N, que es mayor que 245 N, el cuerpo llevara un MRUA, y entonces:

F = u, mg = 0,2 . 50 kg . 9,8 m5- 2 = 98 N

F- F, 40 . 9,8 N- 98 N

r

0= = 5,9 m 5- 2

m 50 kg

Para profundizar

34. Un bLoque de 5 kg esta sostenido por una cuerda y se eleva con una aceleracion de 2 m S-2.

0) (,CuaL es La tension de La cuerda?

b) Si despuesde inidado eL movimiento, La tension de La cuerda se reduce a 49 N, lque dase de movimiento tendra Lugar?

c) Si se afloja La cuerda por complete, se observa que eL blo. que continua moviendose, recorriendo 2 m antes de dets. nerse. laUe veLocidad tenia?

0) T - m g = m 0

T = mg + m0 = m (g + 0) = 5 kg . (9,8 + 2) m5-2 = 59 N

b) 0 = T - m g = 49 N- 5 kg . 9,8 m 5-2

= 0 (MRU) m 5 kg

c) T= 0 mg = m 0 v2 - v~ = 2 0 5

o- v~ = 2 . (-9,8 m5-2) • 2 m Vo = 6,3 m5-1

35. Una grua eLeva un peso de 2000 kp con un cabLe cuya resis­tenda a La ruptura es 3000 kp. (,CuaL es La maxima aceLera­don con que puede subir el peso?

T=mg+mo T- mg 3000 kp . 9,8 Nkp' - 2000 kg . 9,8 m 5-2

0= - -- = -----:..-...:.--~---~----'---

m 2000 kg = 4,9 m5-2

36. Una barca situada en medio de un canal, con Las aguas en re­poso, es arrastrada mediante dos cuerdas con Las que se ejer­cen fuerzas de 250 N Y320 N, respectivamente. La primera cuerda forma un anqulo de 60° con La direccion deL canal. laUe anguLo debe formar La segunda cuerda con La direcdon deL canaL si La barca se mueve paraLeLamente a Las orillas? laUe fuerza arrastra a La barca?

Fix= F1 cos 60° = 250 N . cos 60° = 125 N FlY= Fl sen 60° = 250 N . sen 60° = 217 N F2y = FlY: F2y = 217 N= F2 sen a

217 N sen a =- - - 0=43°

320 N Fx= Fix+ F2, = 125 N+ (320 N . cos 43°) = 359 N

37. Un montacargas posee una veLocidad de regimen, tanto en el ascenso como en eL descenso, de 4 m S-1. Tarda 1 sen adqui­rirLa aL arrancar 0 en detenerse por compLeto en Las paradas. Si en eL montacargas hay un peso de 800 kp y La masa del montacargas es de 1000 kg, calcuLa:

0) La fuerza que ejercera eL cuerpo sobre eL piso deL menta­cargas en eL instante deL arranque para ascender.

b) La misma fuerza cuando se mueve entre pisos a veLocidad constante.

c) La misma fuerza en eL momenta de detenerse durante La subida. .

d) La tension deL cabLe en Los tres casos anteriores.

v - Vo 4 m5- 1 - 0

0) 0 = - - = = 4 m5-2

t 1 5

Fl = m, (g + 0) = 800 kg . (9,8 + 4) m5-2 = 11040 N

75

= 0 2FI = mIg = 800 kg . 9,8 m 5- = 7840 N

= -4 m5-2

2=4640NFI = ml (g + o) = 800 kg . (9,8-4)ms­

b) 0

c) 0

d) T - (PI + P2) = (ml + m2) 0

T= (ml + m2) g + (ml + m2) 0 = (ml + m2) (g + 0)

1) T = 1800 kg . (9,8 + 4) m 5-2= 24840 N 2) T=1800 kg · 9,8 ms-2= 17640 N 3) T= 1800 kg . (9,8 - 4) rn s" = 10440 N

38. Una explosion rompe una roca en tres trozos. Dos de eLLos, de 1 kg y 2 kg, salen despedidos en angulo recto con una velocidad de 12 m S-I y 8 m S- I, respectivamente.

EL tercero sale con una velocidad de 40 m S-I .

a) Dibuja un diagrama que muestre la direccion y sent ido de este tercer fragmento.

b) ,Cual es la masa de la roca?

0) El t ercer fragmento de la roca sale can un ci ngula de 37° ca n el eje OY negat ivo (233°).

x

2

/ ' 3 Y

b) 0 = 1 . 12 Ll,+ 2 . 8 Lly + mJ ~J

m, vJ = ) (- 12? + (16)2 = 20 kg m5-1

20 20 kg m 5-1 k

mJ = - = = 0,5 g VJ 40 m 5-1

m- = 3,5 kg

39. HaLLa la fuerza constante que hay que aplicar a un cuerpo de 20 kg de masa para:

0) Transmitirle una aceleracion de 1,2 m S- 2.

b) Transmitirle una velocidad de 12 m S-I a los 4 s de inicia ­do el movim iento.

c) Recorrer 450 m en los primeros 15 s.

d) Lo mismo del c) si existe ademas una fuerza contraria de 35 N.

0) F = m 0 = 20 kg . 1,2 mS-2= 24 N 1v - Vo 12 m 5- - 0 - 2

b) 0 = - - = = 3 ms t 4 m S-I

F= m 0 = 20 kg . 3 m 5-2= 60 N

2 x 2 . 450 m c) x = 1/ 2 0 t 2 0 = - - = = 4 m5-2

f (15 5)2 F= m 0 = 20 kg . 4 m5-2= 80 N

d) 80 N+ 35 N= 115 N

40. Un ascensor, cuya masa total es 729 kg, sube a una altura de 25 m. A los 2 s de arrancar adquiere una velocidad de

DINAMICA

1 m S-I. Cuando faltan 2,5 m para LLegar a su destine, frena , apareciendo una aceleracion negativa de 0,2 m S- 2. Calcula la tension del cable:

0) En el primer segundo del movimiento.

b) Cuando el ascensor recorre el ultimo metro de la subida.

v - Vo 1 m5-1- 0 20) 0 =-- = = 0,5 m5­

t 2 s T= m (g + 0) = 729 kg . (9,8 + 0,5) mS-2= 7,5 . 10J N

b) T = m (g + 0) = 729 kg . (9,8 - 0,2) m 5-2= 7 . 10J N

41. a) Indica en que sentido se mueve el sistema en la figura y calcula con que aceleracion.

b) ,Que valor tiene la tension de la cuerda?

Datos: ml = 2,0 kg; m2 = 700 g; ex = 30° .

ex

0 ) mIg sen ex - m2 g = (ml + m2) 0

2 kg . 9,8 m 5-2 . 0,5 - 0,7 kg . 9,8 m 5-2= 2,7 kg . 0

2o = 1,lms­

b) T-m2g =m 2o

T= m2 (g + 0) = 0,7 kg . (9,8 + 1,1) mS-2= 7,6 N

42. Por un plano incLinado 30° sobre la horizontal se Lanza hacia arriba un cuerpo de 5,0 kg, con una velocidad de 10 m S-I,

siendo el coeficiente de rozamiento cinetico entre el cuerpo y el plano 0,20.

a) ,Cual sera la aceleracion de su movimiento?

b) ,Que espacio recorre hasta que se para?

c) ,Que tiempo tarda en pararse?

-P, - F, - m g sen ex - 11 m g cos ex 0) 0 = = - -=-- -----'----''---- ­

t m = - g (sen ex + 11 cos ex) =

2= -9 ,8 m 5- . (sen 30° + 0, 2 . cos 30°)

o = - 6,6 mS-2

v2 - vJ 0 - (10 m5-1)2

b) x= --= =7,6m2 0 2 . (- 6,6 m 5- 2

)

v - Vo 0 - (10 m 5-1)

c) t = - - = = 1,5 s a -6,6 m S-2

43. Un bloque de 5,0 kg se Lanza hacia arriba a lo largo de un plano incLinado 37° con una velocidad inicial de 9,8 m S- I.

Se observa que recorre una distancia de 6,0 m y despues se desliza hacia abajo hasta el punta de partida. _

DINAMICA76

CaLcuLa: 0) La fuerza de rozamiento que actua sobre eL bLoque.

b) La veLocidad de este cuando vueLve a su posicion inicial.

v2 - vJ 0 - (9,8 m S·1) 2 0) 0 = = -8,0 m S· 2

2x 2·6m

F, = -Px - m 0 = -m g sen ex - m 0 = -m (g sen ex - 0) =

= -5 kg . (9,8 mS-2 . sen 37° - 8 mS· 2) = 10,5 N

- Px - F, -m g sen ex + F,b) 0=--­

m m -5 kg . 9,8 m S·2 . sen 3]0 + 10,5 N

= 3,8 m S· 2 5 kg

v = h . (-3,8) . (-6) = 6,8 m S· l

44. Un cuerpo de 2,0 kg de masa se encuentra sujeto aL extrema de una cuerda de 100 cm de Longitud, y aL girar verticaL­mente describiendo una circunferencia cuando pasa por eL punta mas bajo, La tension vaLe 100 N. Si en ese momenta se rompe La cuerda:

0) iCon que veLocidad saldra despedido eL cuerpo?

b) lCuaL es La tension de La cuerda en eL punta mas aLto?

2m v0) - R- = T- m g;

1 m - 2 kg . 9,8 m S· 2 . = ~ 100 N .

2 kg

b) La veLocidad en eL punta mas aLto es: 2

VI = Jvo - 2 g . 2 R =

=J(6,34 m S· 1)2 - 2 . 9,8 m s' . 2 m = 1 ms'

En eL punta mas aLto: Fe= T + m g; por tanto, como maximo:

m v: Fe= mg; - R- = mg; V2 = fffg

V2 = h m . 9,8 m S· 2 = 3,13 ms'

Como VI < v2, eL cuerpo no describe La circunferencia: T= O.

45. El bLoque de La Figura 6.53, de 7 kg de masa, esta apoyado sobre un pLano inclinado 60 0 sobre La horizontaL y sujeto por un resorte que sufre un aLargamiento de 16,4 cm. lCuaL es La constante elastica deL mueUe?

m g sen exP, = k &; m g sen ex = k & ; k = =

Sx

?kg . 9,8 m S· 2 . sen 60° - --=-- - - - - - - = 3,6 .102 Nm·1

0,164 m

46. Dos cuerpos m1 = 2,0 kg y m2 =3,0 kg estan unidos por una cuerda de masa despreciabLe, seqtin se representa en La fi. gura. Si Los respectivos coeficientes de rozamiento son 0,20 y 0,40, caLcuLa:

a) La aceleracion deL sistema.

b) La tension de La cuerda.

m 1 g sen ex + m 2 g sen ex - III m 1 g cos ex - 112 m 2 g cos a

ml + m2

2 kg . 9,8 m S-2 . sen 30° + 3 kg . 9,8 m S· 2 . sen 30° 0= ---=----------"------- - ­

5 kg

- 0,2 . 2 kg . 9,8 m S-2 . cos 30° ­

5 kg - 0,4 . 3 kg . 9,8 m S-2 . cos 30° ----=--- ------ = 2,18 m S-2

5 kg

b) T+ m 2 g sen ex - ~ 2 m 2g cos ex= m20

T = m2 0 + ~ 2 m 2 g cos ex - m 2 g sen ex

T= 3 kg . 2,18 rn s" + 0,4 . 3kg . 9,8 rn s" . . cos 300

- 3 kg . 9,8 mS-2 . sen 30° = 2,02 N

47. lA que veLocidad tienen que pasar Los ciclistas por una cur­va, de radio 40 m y peraLtada 60°, en una cornpeticion si utilizan un tipo de rueda que eLimina por compLeto eL ro­zamiento LateraL? Si existiera ese tipo de rueda, lse podria utilizar para mejorar eL comportamiento de un ciclista en eL Tour de Francia?

V = JRg tg ex = J40 m . 9,8 m S· 2 . tg 60° = 26 mS· I

No. Las curvas no tienen eL peraLte adecuado como en eL caso caLcuLado y, aL no rozar, seria imposibLe tomar Las curvas.

48. Un bLoque de madera de 3 kg esta situado sobre un pLano inclinado 5° sobre La horizontal. El coeficiente de rozamien­to entre eL bLoque y eL pLano es 0,5. iCon que veLocidad descenders eL bLoque por eL pLano a Los 5 s de iniciado eL movimiento? lTe da una veLocidad negativa?

D1NAMIGA

ra i. !O

F,

"­ri

J

P,» mg sen u= 3 kg " 9,8 ms" sen 5° = 2,6 N a) Fx = Px - F, = m a

F, max = fl m9 cos a = 0,5 . 3 kg . 9,8 mS- 2 • cos 5° = 14,6 N; F cos 20° - m9 sen 30° - fl m9 cos 30° = m a

= 2,6 N F a = - cos 20° - 9 (sen 30° + fl cos 30°) =

No desciende. EL valorde la fuerza de rozamiento es igual al de P" m no puede ser mayor. 122 N 2

= k ' 0,94 - 9,8 m5- . (0,5 + 0,48 . 0,87) = 12,5 g

49. Un cuerpo de 12,5 kg de masa asciende por eL pLano in­ = 9,17 m5-2 - 8,99 m5- 2 = 0,18 m5- 2

dinado de La figura aL apLicarLe La fuerza F = 122 N. EL coeficiente de rozamiento dnetico vale 0,48. Calcula: 1 2

b) x = x o + Vo t + - a t ~ como Xo = °y Vo = 0, 0) La aceteracion deL cuerpo. 2

b) EL tiempo que tarda en recorrer 18,2 m. 1 2 x =- at 2

t = -V 2 x = {2 · 18,2 m = 14,2 5 2a V 0,2 m 5 ­