Conduccion Unidimensional estado estacionarioIng Electromecanica

M. En C Miguel MoctezumaITSPR

Transferencia de calor

La distribución de temperatura en la pared se determina resolviendo la ecuación de calor con las condiciones de frontera apropiadas.

Para condiciones de estado estable sin una fuente o sumidero de energía dentro de la pared, la forma apropiada de la ecuación de calor, ecuación 2.17, es

        En consecuencia, de la ecuación 2.2 se sigue que, para la

conduce ion unidimensional de estado estable en una pared plana sin generación interna de calor, el flujo de calor es una constante independiente de x

Ecuación de Calor en Planos

0

dtdTk

dtd

Si la conductividad térmica del material de la pared se supone constante, la ecuacion se integra dos veces para obtener la solucion general

   Para obtener las constantes de integracion,

C1 y C2. deben introducirse las condiciones de frontera.

 

Solución de la Ecuacion de calor Unidimensional

21 cxcT

2

1

)(,)0(

s

s

TLTTT

 De donde se puede obtener C2=Ts1

La constante C1 se puede obtener despejando de la Ecuación (2)

 

Al sustituir en la ecuación general se obtiene:  

LTTc ss 12

1

112

sss Tx

LTTT

Al sustituir en la ecuación general se obtiene:  

De este resultado es evidente que, para la conduccion unidimensional en estado estable de una pared plana sin generacion interna de calor ni conductividad termica constante, la temperatura varia de forma lineal con x.

112

sss Tx

LTTT

Ahora que tenemos la distribucion de temperaturas, utilizaremos la ley de Fourier, ecuacion 2 I. para determinar la transferencia de calor por conduccion. Es decir,

Advierta que A es el area de la pared normal hacia la direccion de la transferencia de calor y. para la pared plana, es una constante independiente de x. El flujo de calor es entonces

Las ecuaciones 3 4 y 3.*5 indican que tanto la transferencia de calor qx como el flujo de calor q" son constantes independientes de x

Flujo de Calor en una Pared Plana

LTTkA

dxdTkAq ss

x21

LTTkqq ss

xx21¨

En este punto notamos que la ecuacion 3.4 propone un concepto muy importante. En particular, existe una analogia entre la difusion de calor y la carga electrica.

De la misma manera que se asocia una resistencia electrica con la conduccion de electricidad, se asocia una resistencia termica con la conduccion de calor. Al definir la resistencia como la razon de un potencial de transmision a la transferencia de calor correspondiente, se sigue de la ecuacion 3 4 que la resistencia termica para la conducción es:

Resistencia termica

kAL

qTTRtx

ss

21

Resistencia termica de varias capas paralelas en una Pared

EL Flujo de calor en este caso se escribe como:

Cuando se toma en cuenta la conveccion en cada lado de la pared (h1,lado caliente, h2, lado frio)

coldhotTot

x TTR

q 1¨

33

3

22

2

11

1

AkL

AkL

AkLRtot

233

3

22

2

11

1

1

11hAk

LAkL

AkL

hRtot

Los sistemas cilindricos y esfericos a menudo experimentan gradientes de temperatura solo en la direccion radial y, por consiguiente, se tratan como unidimensionales

Ademas, bajo condiciones de estado estable sin generacion interna de calor, estos sistemas se analizan con el metodo estandar, que comienza con la forma apropiada de la ecuacion de calor, o el metodo alternativo, el cual inicia con la fonna apropiada de la ley de Fourier

En esta seccion, el sistema cilindrico se analiza por medio del metodo estandar y el sistema esferico mediante el metodo alternativo.

Sistemas en coordenadas Cilindricas y Esfericas

Coordenadas cilindricas

Los flujos son qr, q y qz Son las componentes del flujo en la direccion radial, angular y axial, respectivamente.

Cuando el operador de la ecuación 2.3 se expresa en coordenadas cilindricas, la forma general del vector del flujo de calor, y por ello de la ley de Fourier es:

Ecuación de calor en coordenadas cilindricas

Aplicando un balance de energía al volumén de control diferencial de la figura, se obtiene la siguiente forma general de la ecuación de calor para coordenadas cilindricas:

En forma Unidimensional, esta ecuación se escribe:

Un ejemplo común es el cilindro hueco, cuyas superficies interna y extema se exponen a fluidos con diferentes temperaturas (figura 3.6).

Para condiciones de estado estable sin generacion de calor, la forma apropiada de la ecuacion de calor, ecuacion 2.20, es

donde, por el momento, k se trata como una variable El significado fisico de este resultado se vuelve evidente si consideramos tambien la forma apropiada de la ley de Fourier.

La rapidez a la que se conduce la energia a traves de cualquier superficie cilindrica en el solido se expresa como

Ecuación de calor en un Cilindro

donde A = 2rL es el area normal a la direccion de la transferencia de calor.

Como la ecuacion 3.23 dicta que la cantidad kr(dT/dr) es independiente de r, se sigue de la ecuacion 3 24, que la transferencia de calor por conduccion q (no el flujo de calor q'') es una constante en la direccion radial.

Es posible determinar la distribucion de temperaturas en el cilindro resolviendo la ecuacion 3 23 y aplicando las condiciones de frontera apropiadas. Si se supone que el valor de k es constante, la ecuacion 3.23 se integra dos veces para obtener la solucion general

Solución de la Ecuación en dirección radial

Tenga presente que la distribucion de temperaturas asociada con la conduccion radial a traves de una pared cilindrica es logaritmica, no lineal, como lo es para la pared plana bajo las mismas condiciones

La distribucion logaritmica se dibuja en el recuadro de la figura 3.6.

Si la distribucion de temperaturas, ecuacion 3.26, se usa ahora con la ley de Fourier. ecuacion 3.24, obtenemos la siguiente expresion para la transferencia de calor

Flujo de Calor en dirección radial

Resistencias en Serie en un Sistema Cilíndrico

De este resultado es evidente que, para la conduccion radial en una pared cilindrica, la

resistencia termica es de la forma

Resistencia termica de una pared cilindrica

Esta resistencia se muestra en el circuito en serie de la figura 3.6 Note que como el calor de qr es independiente de y el resultado precedente se pudo obtener con el método alternativo.

Considere ahora el sistema compuesto de la figura 3.7 Si se recuerda como tratamos la pared plana compuesta y dejando de lado las resistencias termicas de contacto interfacial, la transferencia de calor se expresa como

Espesor Optimo de aislamiento ?? Se puede obtener?•La posible existencia de un aislamiento optimo para sistemas radiales lo sugiere la presencia de efectos que compiten asociados con un aumento en este espesor.•EN particular aunque la resistencia de conducción aumenta al agregar un aislante, la resistencia de convección disminuye debido al aumento del area de la superficie exterior.•Por ello puede existir un espesor de aislamiento que minimice la perdida de calor al maximizar la resistencia total a la transferencia de calor.

Problema de Espesor Optimo

Considere el siguiente sistema:1. Un tubo de cobre con pared delgada de radio ri

se usa para transportar un fluido refrigerante de baja temperatura y está a una temperatura Tf que es menor a la del aire del medio a T alrededor del tubo ¿ Hay un espesor optimo asociado con la aplicación del aislante al tub0?

2. Confirme el resultadoa anterior con el calculo de la resistencia térmica total por unidad de longitud del tubo, para un tubo de 10 mm de diametros que tiene los siguientes espesores del aislante 0,2,5,10, 20 y 40 mm. El aislante se compone de vidrio celular, y el coeficiente de convección de la superficie externa es 5 W/m2.K

Resistencia de aislamiento y por conveccion de pelicula

Análisis:

1. La resistencia a la transferencia de calor entre el fluido refrigerante y el aire es dominada por la conducción del aislante y la convección del aire. Por lo tanto el circuito térmico es:

rhkrrR i

tot 21

2/ln

totRTq

Donde la resistencia de conduccion y conveccion por unidad de longitud se dieron previamente. La resistencia termica total por unidad de longitud de tubo es entonces:

Y la transferencia de calor por unidad de longitud del tubo es:

Valor de r para Maximo o minimo

Un espesor optimo de aislamiento estaria asociado con el valor de r que minimiza q´o maximiza R´. Este valor se obtiene del requerimiento que

De aquí.

0´ drdR tot

hkr

hrkrdrdR tot

021

21´

2

Para determinar si el resultado anterior maximiza o minimiza la resistencia total debe evaluarse la segunda derivada. De Aquí: