Sistemas de resorte y masa

Ecuaciones diferenciales

Sistemas de resorte y masa: movimiento forzado.

• Teniendo en cuenta una fuerza externa f(t), que actúa sobre una masa oscilatoria en un resorte. La inclusión de f(t) en la formulación de la segunda ley de Newton da la ecuación del movimiento forzado:

• De tal forma que si dividimos toda la expresión por m obtenemos lo siguiente:

• Donde F(t)= f(t)/m y, al igual que en el caso anterior vamos a considerar, para resolver esta ecuación no homogénea tenemos el método de coeficientes indeterminados o el variación de parámetros.

Ejemplo

• Interprete y resuelva el problema de valor inicial:

Ecuaciones diferenciales del movimiento forzado sin amortiguamiento

• Cuando se ejerce una fuerza periódica y no existe fuerza de amortiguamiento, no hay parte transitoria en la solución de un problema.

• Si se ejerce una fuerza periódica cuya frecuencia es igual o casi igual ala de las vibraciones no amortiguadas libres, se puede originar un grave problema e un sistema mecánico oscilatorio.

Hallemos la fórmula para movimiento forzado no amortiguado

• Sea En donde es constante y

La función complementaria es Para obtener una solución particular supondremos que de modo

que…

• De tal forma que después de igualas los coeficientes y aplicar las condiciones iniciales y así obtener los valores de c1 y c2 obtenemos la siguiente expresión:

Resonancia Pura

• La ecuación anterior no está definida para gama igual a w pero podemos obtener su limite aplicando L’Hôpital el cual este proceso se le conoce como una «Sintonización» de la frecuencia de la fuerza impulsora con la de las vibraciones libre, de tal forma que nos queda:

• -

La figura representa un movimiento característico de la resonancia pura.

• Si una fuerza como la de la ecuación anterior representa en realidad los desplazamientos de un sistema de resorte y masa, este sistema se destruiría. En último término, las oscilaciones grandes de la masa forzarían al resorte a rebasar su límite elástico.

• También se podría decir que el modelo resonante de la figura 5.14 es irreal por completo, porque no tiene en cuenta los efectos re tardantes de las siempre presentes fuerzas de amortiguamiento. Si bien es cierto que no se puede tener resonancia pura cuando se considera un amortiguamiento mínimo, también es cierto que se pueden desarrollar amplitudes grandes e igualmente destructivas de vibración.