Sesión 7 Invop2 - Pdd - Producción e Inventarios - Presentación

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2Sesión 7: PDD – Producción e Inventarios

LOGRO DE LA SESIÓN

• Los estudiantes al finalizar la sesión

tendrán las competencias para resolver

problemas de decisión de producción e

inventarios mediante el uso de

programación dinámica determinística.

PROGRAMACIÓN DINÁMICA DE LA PRODUCCIÓN E INVENTARIOS

• Se descompone el tiempo en N períodos.

• Demanda conocida, se debe satisfacer a tiempo (Inventario + Producción)

• Capacidad de producción limitada.

• Costos de producción (fijos y variables).

• Capacidad limitada de almacenamiento, costos asociados.

• Niveles de inventario inicial y final conocidos.

• ¿Cuántas unidades se deben producir en cada período?

• Minimizar el CT de satisfacer las demandas a tiempo.

CASO 1: PRODUCCIÓN E INVENTARIOS

Se tiene una empresa que fabrica máquinas de afeitar eléctricas, con las siguientes

características:

• La demanda para los próximos 6 meses se ha pronosticado en 200, 300, 400, 500,

600 y 200 unidades respectivamente.

• El costo de producción es de $25 por unidad.

• El costo de almacenamiento es de $0.20 por unidad-mes.

• La producción se hace en lotes de 100.

• La capacidad máxima de producción es de 800 unidades.

• La capacidad máxima de almacenamiento es de 600 unidades.

• No se cuenta con inventario inicial.

• El inventario final, en el sexto mes, debe ser 0 unidades con el fin de reducir costos.

Determinar el plan de producción para los próximos 6 meses que minimice los costos

totales.


Variables de Decisión:

xi : Cantidad (cientos) de máquinas a producir el mes i

Variables de Estado:

yi : Inventario de máquinas (cientos) al inicio del mes i

i = 1, 2, 3, 4, 5, 6

1 2 3

y1 y2 y3 y7

x1 x2 x6

f1(x1,y1) f2(x2,y2) f6(x6,y6)

y6

…


Condiciones de borde:

y1 = 0 y7 = 0

Parámetros:

di: demanda de cientos de máquinas durante el mes i

d1 = 2 d2 = 3 d3 = 4 d4 = 5 d5 = 6 d6 = 2

1 2 3

y1 y2 y3 y7

x1 x2 x6

f1(x1,y1) f2(x2,y2) f6(x6,y6)

y6

…


Reglas de transformación:

IF = II + Producción – demanda

yi + 1 = yi + xi – di ≥ 0

y7 = y6 + x6 – 2 ≥ 0 y6 = y5 + x5 – 6 ≥ 0 y5 = y4 + x4 – 5 ≥ 0

y4 = y3 + x3 – 4 ≥ 0 y3 = y2 + x2 – 3 ≥ 0 y2 = y1 + x1 – 2 ≥ 0

1 2 3

y1 y2 y3 y7

x1 x2 x6

f1(x1,y1) f2(x2,y2) f6(x6,y6)

y6

…


Funciones de retorno:

fi(xi, yi) = costos de producción + costos de almacenamiento

fi(xi, yi) = 25xi + 0.2(yi + xi – di) para: i= 1, 2, 3, 4, 5, 6

Funciones recursivas:

F6(Y6) = mín {25x6 + 0.2(y6 + x6 – 2)}

F5(Y5) = mín {25x5 + 0.2(y5 + x5 – 6) + F6(Y6)}

F4(Y4) = mín {25x4 + 0.2(y4 + x4 – 5) + F5(Y5)}

F3(Y3) = mín {25x3 + 0.2(y3 + x3 – 4) + F4(Y4)}

F2(Y2) = mín {25x2 + 0.2(y2 + x2 – 3) + F3(Y3)}

F1(Y1) = mín {25x1 + 0.2(y1 + x1 – 2) + F2(Y2)}


• Etapa 6: y6 + x6 – 2 ≥ 0, d6= 2

X6

Y60 1 2 F6(Y6) X6

0 NP NP[ (25 * 2) + 0.2 * (0

+ 2 - 2) ]= 5050 2

1 NP[ (25 * 1) + 0.2 * (1

+ 1 - 2) ] = 25NP 25 1

2[ (25 * 0) + 0.2 * (2

+ 0 - 2) ] = 0NP NP 0 0


• Etapa 5: 6 ≤ y5 + x5 ≤ 8, d5 = 6

X5

Y50 1 2 3 4 5 6 7 8 F5(Y5) X5

0 NP NP NP NP NP NP

[ (25 * 6) +

0.2 * (0 + 6 -

6) ] + 50 =

200

[ (25 * 7) +

0.2 * (0 + 7 -

6) ] + 25 =

200.2

[ (25 * 8) +

0.2 * (0 + 8 -

6) ] + 0 =

200.4

200 6

1 NP NP NP NP NP

[ (25 * 5) +

0.2 * (1 + 5 -

6) ] + 50 =

175

[ (25 * 6) +

0.2 * (1 + 6 -

6) ] + 25 =

175.2

[ (25 * 7) +

0.2 * (1 + 7 -

6) ] + 0 =

175.4

NP 175 5

2 NP NP NP NP

[ (25 * 4) +

0.2 * (2 + 4 -

6) ] + 50 =

150

[ (25 * 5) +

0.2 * (2 + 5 -

6) ] + 25 =

150.2

[ (25 * 6) +

0.2 * (2 + 6 -

6) ] + 0 =

175.4

NP NP 150 4

3 NP NP NP

[ (25 * 3) +

0.2 * (3 + 3 -

6) ] + 50 =

125

[ (25 * 4) +

0.2 * (3 + 4 -

6) ] + 25 =

125.2

[ (25 * 5) +

0.2 * (3 + 5 -

6) ] + 0 =

125.4

NP NP NP 125 3

4 NP NP

[ (25 * 2) +

0.2 * (4 + 2 -

6) ] + 50 =

100

[ (25 * 3) +

0.2 * (4 + 3 -

6) ] + 25 =

100.2

[ (25 * 4) +

0.2 * (4 + 4 -

6) ] + 0 =

100.4

NP NP NP NP 100 2

5 NP

[ (25 * 1) +

0.2 * (5 + 1 -

6) ] + 50 = 75

[ (25 * 2) +

0.2 * (5 + 2 -

6) ] + 25 =

75.2

[ (25 * 3) +

0.2 * (5 + 3 -

6) ] + 0 =

75.4

NP NP NP NP NP 75 1

6[ (25 * 0) +

0.2 * (6 + 0 -

6) ] + 50 = 50

[ (25 * 6) +

0.2 * (1 + 6 -

6) ] + 25 =

175.2

[ (25 * 7) +

0.2 * (1 + 7 -

6) ] + 0 =

175.4

NP NP NP NP NP NP 50 0


• Etapa 4: 5 ≤ y4 + x4 ≤ 11, d4 = 5

X4

Y40 1 2 3 4 5 6 7 8 F4(Y4) X4

0 NP NP NP NP NP

[ (25 * 5) +

0.2 * (0 + 5 -

5) ] + 200 =

325

[ (25 * 6) +

0.2 * (0 + 6 -

5) ] + 175 =

325.2

[ (25 * 7) +

0.2 * (0 + 7 -

5) ] + 150 =

325.4

[ (25 * 8) +

0.2 * (0 + 8 -

5) ] + 125 =

325.6

325 5

1 NP NP NP NP

[ (25 * 4) +

0.2 * (1 + 4 -

5) ] + 200 =

300

[ (25 * 5) +

0.2 * (1 + 5 -

5) ] + 175 =

300.2

[ (25 * 6) +

0.2 * (1 + 6 -

5) ] + 150 =

300.4

[ (25 * 7) +

0.2 * (1 + 7 -

5) ] + 125 =

300.6

[ (25 * 8) +

0.2 * (1 + 8 -

5) ] + 100 =

300.8

300 4

2 NP NP NP

[ (25 * 3) +

0.2 * (2 + 3 -

5) ] + 200 =

275

[ (25 * 4) +

0.2 * (2 + 4 -

5) ] + 175 =

275.2

[ (25 * 5) +

0.2 * (2 + 5 -

5) ] + 150 =

275.4

[ (25 * 6) +

0.2 * (2 + 6 -

5) ] + 125 =

275.6

[ (25 * 7) +

0.2 * (2 + 7 -

5) ] + 100 =

275.8

[ (25 * 8) +

0.2 * (2 + 8 -

5) ] + 75 =

276

275 3

3 NP NP

[ (25 * 2) +

0.2 * (3 + 2 -

5) ] + 200 =

250

[ (25 * 3) +

0.2 * (3 + 3 -

5) ] + 175 =

250.2

[ (25 * 4) +

0.2 * (3 + 4 -

5) ] + 150 =

250.4

[ (25 * 5) +

0.2 * (3 + 5 -

5) ] + 125 =

250.6

[ (25 * 6) +

0.2 * (3 + 6 -

5) ] + 100 =

250.8

[ (25 * 7) +

0.2 * (3 + 7 -

5) ] + 75 =

251

[ (25 * 8) +

0.2 * (3 + 8 -

5) ] + 50 =

251.2

250 2

4 NP

[ (25 * 1) +

0.2 * (4 + 1 -

5) ] + 200 =

225

[ (25 * 2) +

0.2 * (4 + 2 -

5) ] + 175 =

225.2

[ (25 * 3) +

0.2 * (4 + 3 -

5) ] + 150 =

225.4

[ (25 * 4) +

0.2 * (4 + 4 -

5) ] + 125 =

225.6

[ (25 * 5) +

0.2 * (4 + 5 -

5) ] + 100 =

225.8

[ (25 * 6) +

0.2 * (4 + 6 -

5) ] + 75 =

226

[ (25 * 7) +

0.2 * (4 + 7 -

5) ] + 50 =

226.2

NP 225 1

5

[ (25 * 0) +

0.2 * (5 + 0 -

5) ] + 200 =

200

[ (25 * 1) +

0.2 * (5 + 1 -

5) ] + 175 =

200.2

[ (25 * 2) +

0.2 * (5 + 2 -

5) ] + 150 =

200.4

[ (25 * 3) +

0.2 * (5 + 3 -

5) ] + 125 =

200.6

[ (25 * 4) +

0.2 * (5 + 4 -

5) ] + 100 =

200.8

[ (25 * 5) +

0.2 * (5 + 5 -

5) ] + 75 =

201

[ (25 * 6) +

0.2 * (5 + 6 -

5) ] + 50 =

201.2

NP NP 200 0

6

[ (25 * 0) +

0.2 * (6 + 0 -

5) ] + 175 =

175.2

[ (25 * 1) +

0.2 * (6 + 1 -

5) ] + 150 =

175.4

[ (25 * 2) +

0.2 * (6 + 2 -

5) ] + 125 =

175.6

[ (25 * 3) +

0.2 * (6 + 3 -

5) ] + 100 =

175.8

[ (25 * 4) +

0.2 * (6 + 4 -

5) ] + 75 =

176

[ (25 * 5) +

0.2 * (6 + 5 -

5) ] + 50 =

176.2

NP NP NP 175.2 0


• Etapa 3: 4 ≤ y3 + x3 ≤ 10, d3 = 4

X3

Y30 1 2 3 4 5 6 7 8 F3(Y3) X3

0 NP NP NP NP

[ (25 * 4) +

0.2 * (0 + 4 -

4) ] + 325 =

425

[ (25 * 5) +

0.2 * (0 + 5 -

4) ] + 300 =

425.2

[ (25 * 6) +

0.2 * (0 + 6 -

4) ] + 275 =

425.4

[ (25 * 7) +

0.2 * (0 + 7 -

4) ] + 250 =

425.6

[ (25 * 8) +

0.2 * (0 + 8 -

4) ] + 225 =

425.8

425 4

1 NP NP NP

[ (25 * 3) +

0.2 * (1 + 3 -

4) ] + 325 =

400

[ (25 * 4) +

0.2 * (1 + 4 -

4) ] + 300 =

400.2

[ (25 * 5) +

0.2 * (1 + 5 -

4) ] + 275 =

400.4

[ (25 * 6) +

0.2 * (1 + 6 -

4) ] + 250 =

400.6

[ (25 * 7) +

0.2 * (1 + 7 -

4) ] + 225 =

400.8

[ (25 * 8) +

0.2 * (1 + 8 -

4) ] + 200 =

401

400 3

2 NP NP

[ (25 * 2) +

0.2 * (2 + 2 -

4) ] + 325 =

375

[ (25 * 3) +

0.2 * (2 + 3 -

4) ] + 300 =

375.2

[ (25 * 4) +

0.2 * (2 + 4 -

4) ] + 275 =

375.4

[ (25 * 5) +

0.2 * (2 + 5 -

4) ] + 250 =

375.6

[ (25 * 6) +

0.2 * (2 + 6 -

4) ] + 225 =

375.8

[ (25 * 7) +

0.2 * (2 + 7 -

4) ] + 200 =

376

[ (25 * 8) +

0.2 * (2 + 8 -

4) ] + 175.2 =

376.4

375 2

3 NP

[ (25 * 1) +

0.2 * (3 + 1 -

4) ] + 325 =

350

[ (25 * 2) +

0.2 * (3 + 2 -

4) ] + 300 =

350.2

[ (25 * 3) +

0.2 * (3 + 3 -

4) ] + 275 =

350.4

[ (25 * 4) +

0.2 * (3 + 4 -

4) ] + 250 =

350.6

[ (25 * 5) +

0.2 * (3 + 5 -

4) ] + 225 =

350.8

[ (25 * 6) +

0.2 * (3 + 6 -

4) ] + 200 =

351

[ (25 * 7) +

0.2 * (3 + 7 -

4) ] + 175.2 =

351.4

NP 350 1

4

[ (25 * 0) +

0.2 * (4 + 0 -

4) ] + 325 =

325

[ (25 * 1) +

0.2 * (4 + 1 -

4) ] + 300 =

325.2

[ (25 * 2) +

0.2 * (4 + 2 -

4) ] + 275 =

325.4

[ (25 * 3) +

0.2 * (4 + 3 -

4) ] + 250 =

325.6

[ (25 * 4) +

0.2 * (4 + 4 -

4) ] + 225 =

325.8

[ (25 * 5) +

0.2 * (4 + 5 -

4) ] + 200 =

326

[ (25 * 6) +

0.2 * (4 + 6 -

4) ] + 175.2 =

326.4

NP NP 325 0

5

[ (25 * 0) +

0.2 * (5 + 0 -

4) ] + 300 =

300.2

[ (25 * 1) +

0.2 * (5 + 1 -

4) ] + 275 =

300.4

[ (25 * 2) +

0.2 * (5 + 2 -

4) ] + 250 =

300.6

[ (25 * 3) +

0.2 * (5 + 3 -

4) ] + 225 =

300.8

[ (25 * 4) +

0.2 * (5 + 4 -

4) ] + 200 =

301

[ (25 * 5) +

0.2 * (5 + 5 -

4) ] + 175.2 =

301.4

NP NP NP 300.2 0

6

[ (25 * 0) +

0.2 * (6 + 0 -

4) ] + 275 =

275.4

[ (25 * 1) +

0.2 * (6 + 1 -

4) ] + 250 =

275.6

[ (25 * 2) +

0.2 * (6 + 2 -

4) ] + 225 =

275.8

[ (25 * 3) +

0.2 * (6 + 3 -

4) ] + 200 =

276

[ (25 * 4) +

0.2 * (6 + 4 -

4) ] + 275.2 =

276.4

NP NP NP NP 275.4 0


• Etapa 2: 3 ≤ y2 + x2 ≤ 9, d2 = 3

X2

Y20 1 2 3 4 5 6 7 8 F2(Y2) X2

0 NP NP NP

[ (25 * 3) +

0.2 * (0 + 3 -

3) ] + 425 =

500

[ (25 * 4) +

0.2 * (0 + 4 -

3) ] + 400 =

500.2

[ (25 * 5) +

0.2 * (0 + 5 -

3) ] + 375 =

500.4

[ (25 * 6) +

0.2 * (0 + 6 -

3) ] + 350 =

500.6

[ (25 * 7) +

0.2 * (0 + 7 -

3) ] + 325 =

500.8

[ (25 * 8) +

0.2 * (0 + 8 -

3) ] + 300.2 =

501.2

500 3

1 NP NP

[ (25 * 2) +

0.2 * (1 + 2 -

3) ] + 425 =

475

[ (25 * 3) +

0.2 * (1 + 3 -

3) ] + 400 =

475.2

[ (25 * 4) +

0.2 * (1 + 4 -

3) ] + 375 =

475.4

[ (25 * 5) +

0.2 * (1 + 5 -

3) ] + 350 =

475.6

[ (25 * 6) +

0.2 * (1 + 6 -

3) ] + 325 =

475.8

[ (25 * 7) +

0.2 * (1 + 7 -

3) ] + 300.2 =

476.2

[ (25 * 8) +

0.2 * (1 + 8 -

3) ] + 275.4 =

476.6

475 2

2 NP

[ (25 * 1) +

0.2 * (2 + 1 -

3) ] + 425 =

450

[ (25 * 2) +

0.2 * (2 + 2 -

3) ] + 400 =

450.2

[ (25 * 3) +

0.2 * (2 + 3 -

3) ] + 375 =

450.4

[ (25 * 4) +

0.2 * (2 + 4 -

3) ] + 350 =

450.6

[ (25 * 5) +

0.2 * (2 + 5 -

3) ] + 325 =

450.8

[ (25 * 6) +

0.2 * (2 + 6 -

3) ] + 300.2 =

451.2

[ (25 * 7) +

0.2 * (2 + 7 -

3) ] + 275.4 =

451.6

NP 450 1

3

[ (25 * 0) +

0.2 * (3 + 0 -

3) ] + 425 =

425

[ (25 * 1) +

0.2 * (3 + 1 -

3) ] + 400 =

425.2

[ (25 * 2) +

0.2 * (3 + 2 -

3) ] + 375 =

425.4

[ (25 * 3) +

0.2 * (3 + 3 -

3) ] + 350 =

425.6

[ (25 * 4) +

0.2 * (3 + 4 -

3) ] + 325 =

425.8

[ (25 * 5) +

0.2 * (3 + 5 -

3) ] + 300.2 =

426.2

[ (25 * 6) +

0.2 * (3 + 6 -

3) ] + 275.4 =

426.6

NP NP 425 0

4

[ (25 * 0) +

0.2 * (4 + 0 -

3) ] + 400 =

400.2

[ (25 * 1) +

0.2 * (4 + 1 -

3) ] + 375 =

400.4

[ (25 * 2) +

0.2 * (4 + 2 -

3) ] + 350 =

400.6

[ (25 * 3) +

0.2 * (4 + 3 -

3) ] + 325 =

400.8

[ (25 * 4) +

0.2 * (4 + 4 -

3) ] + 300.2 =

401.2

[ (25 * 5) +

0.2 * (4 + 5 -

3) ] + 275.4 =

401.6

NP NP NP 400.2 0

5

[ (25 * 0) +

0.2 * (5 + 0 -

3) ] + 375 =

375.4

[ (25 * 1) +

0.2 * (5 + 1 -

3) ] + 350 =

375.6

[ (25 * 2) +

0.2 * (5 + 2 -

3) ] + 325 =

375.8

[ (25 * 3) +

0.2 * (5 + 3 -

3) ] + 300.2 =

376.2

[ (25 * 4) +

0.2 * (5 + 4 -

3) ] + 275.4 =

376.6

NP NP NP NP 375.4 0

6

[ (25 * 0) +

0.2 * (6 + 0 -

3) ]+ 350 =

350.6

[ (25 * 1) +

0.2 * (6 + 1 -

3) ] + 325 =

350.8

[ (25 * 2) +

0.2 * (6 + 2 -

3) ] + 300.2 =

351.2

[ (25 * 3) +

0.2 * (6 + 3 -

3) ] + 275.4 =

351.6

NP NP NP NP NP 350.6 0


• Etapa 1: 2 ≤ x1 ≤ 8, d1 = 2

Plan óptimo de producción:

x1 = 2 y2 = 0

x2 = 3 y3 = 0

x3 = 4 y4 = 0

x4 = 5 y5 = 0

x5 = 6 y6 = 0

x6 = 2 y7 = 0

X1

Y10 1 2 3 4 5 6 F1 ( Y1) X1

0

[ (25 * 2) +

0.2 * (0 + 2 -

2) ] + 500 =

550

[ (25 * 3) +

0.2 * (0 + 3 -

2) ] + 475 =

550.2

[ (25 * 4) +

0.2 * (0 + 4 -

2) ] + 450 =

550.4

[ (25 * 5) +

0.2 * (0 + 5 -

2) ] + 425 =

550.6

[ (25 * 6) +

0.2 * (0 + 6 -

2) ] + 400.2 =

551

[ (25 * 7) +

0.2 * (0 + 7 -

2) ] + 375.4 =

551.4

[ (25 * 8) +

0.2 * (0 + 8 -

2) ] + 350.6 =

551.8

550 2

Mes II Prod di IF

1 0 200 200 0

2 0 300 300 0

3 0 400 400 0

4 0 500 500 0

5 0 600 600 0

6 0 200 200 0

PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO …

PROBLEMA 1:

Se tiene una empresa que fabrica máquinas de afeitar eléctricas, con las siguientes

características:

• La demanda para los próximos 6 meses se ha pronosticado en 300, 200, 300, 200,

300 y 400 unidades respectivamente.

• El costo de producción es de $50 por unidad.

• El costo de almacenamiento es de $0.50 por unidad-mes.

• La producción se hace en lotes de 100.

• La capacidad máxima de producción es de 500 unidades.

• La capacidad máxima de almacenamiento es de 400 unidades.

• Se cuenta con inventario inicial de 100 unidades.

• El inventario final, en el sexto mes, debe ser 0 unidades con el fin de reducir costos.

Determinar el plan de producción para los próximos 6 meses que minimice los costos

totales.

BIBLIOGRAFÍA

N° CÓDIGO AUTOR TITULOEDICIÓN,AÑO DE

PUBLICACIÓN,EDITORIAL

1658.4034

TAHATaha, Hamdy Investigación de Operaciones

9na. Ed., Pearson

Educación, México D.F.,

México, 2012.

2658.4034

WINS/IWinston, Wayne.

Investigación de Operaciones:

Aplicaciones y Algoritmos

4ta. Ed., Thomson, México

D.F., 2005.

Sesión 7 Invop2 - Pdd - Producción e Inventarios - Presentación

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