Revista de Didáctica de las Matemáticas Julio de 2014 Volumen 86

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

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Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas

http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984

Volumen 86, julio de 2014, página 2

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, se ocupa de la enseñanza y el aprendizaje desde infantil

hasta la universidad, aunque atiende preferentemente la educación primaria y secundaria. Publica trabajos de interés para el profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseñanza,

aplicaciones de la investigación…

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas aparece en las bases de datos bibliográficas Latindex, Dialnet y DICE, y es recensionada en Mathematics Education Database.

Directora

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Comité editorial

Hugo Afonso, Dolores de la Coba, Miguel Domínguez, Fátima García, Israel García, Mª Aurelia Noda, Josefa Perdomo e Inés Plasencia.

Consejo asesor

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Portada. Autor: Juan Afonso. Título: “Homotecia”. Venecia.

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Email: [email protected]

Web: http://www.sinewton.org

Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas

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(Bibliotecario). Coordinadores insulares: Ramón Galán González (Gran Canaria), Roberto Rodríguez Cruz

(La Palma), Dolores de la Coba García (Tenerife).

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, es una publicación de la Sociedad Canaria Isaac

Newton de Profesores de Matemáticas. Se editan tres números ordinarios al año, los meses de marzo, julio y

noviembre.


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http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 86, julio de 2014, páginas 3-4

Índice

Artículos

Procesos matemáticos en Educación Infantil: 50 ideas clave 5

A. Alsina Un vistazo a la Biomatemática

29 A. Lombardero

La motivación para las matemáticas en la ESO. Un estudio sobre las diferencias en función del curso y del sexo 39

J. Gasco, J. D. Villarroel

Comportamientos de alumnos de secundaria frente a diferentes herramientas de evaluación del contenido función afín 51

A. Canulli, N. Sgreccia

Las demostraciones en la didáctica de las Matemáticas. Una experiencia con alumnos de 3º ESO 79

E. Sánchez, J.A. Gil

Influencia de la estructura y el contexto en el desempeño de los estudiantes al resolver problemas de probabilidad condicional 95

G, Mejía; L, Sierra; F. Fernández

De los errores identificados en la investigación a los errores encontrados en un aula de primero de bachillerato 111

A. Escudero. J. Domínguez Secciones

Astronomía

88 constelaciones - 88 municipios 131

L. Balbuena

Juegos

Algo más sobre Poliprismas y Policubos. Puzzles lógicos 137

J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)

Problemas

Estrategias y Competencias. Problemas Comentados XXXVII 149

J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)

Índice (continuación)

4 NNÚÚMMEERROOSS Vol. 86 julio de 2014

Experiencias de aula

Tiempo de (Video)Juegos 161

C. Ueno

Leer Matemáticas

Gauss: La teoría de números. Si los números pudieran hablar. Antonio Rufián Lizana 173

Reseña: D. Hernández Aritmética para padres y madres. Ron Aharoni

177 Reseña: C. G. Espinoza

Informaciones 181

Normas para los autores 187




ISSN: 1887-1984

Volumen 86, julio de 2014, páginas 5-28

Procesos matemáticos en Educación Infantil: 50 ideas clave

Angel Alsina (Universidad de Girona. España)

Fecha de recepción: 22 de mayo de 2013

Fecha de aceptación: 20 de diciembre de 2013

Resumen En este artículo se argumenta que el desarrollo de la competencia matemática se inicia en

la Educación Infantil, y que para favorecer su adquisición progresiva es necesario

incorporar el trabajo sistemático de los procesos matemáticos. Para conseguir este

propósito se exponen 50 ideas clave, diez para cada uno de los cinco estándares de

procesos matemáticos que propone el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas de

Estados Unidos: resolución de problemas, razonamiento y prueba, comunicación,

conexiones y representación. El artículo concluye con una experiencia de aula en un

contexto de aprendizaje de vida cotidiana, en la que se documenta e interpreta el trabajo

sistemático de los contenidos y procesos matemáticos con un grupo de niños de 3º de

Educación Infantil.

Palabras clave Contenidos matemáticos, procesos matemáticos, alfabetización matemática, competencia

matemática, Educación Infantil

Abstract This article argues that the development of mathematical competency begins in early

childhood education, and that systematic work on mathematical processes must be

incorporated to support its progressive acquisition. To achieve this goal, 50 key ideas are presented, ten for each of the five standards of mathematical processes proposed by the

National Council of Teachers of Mathematics of the United States: problem solving,

reasoning and proof, communication, connections and representation. The article

concludes with a classroom experience in a learning context of daily living that

documents and analyses systematic work with mathematical processes and contents by a

group of third-year early childhood education students.

Keywords Mathematical contents, mathematical processes, mathematical literacy, mathematical

competence, early childhood education

1. Introducción

A raíz de la publicación de la última versión de los estándares para la educación matemática del

Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas de Estados Unidos (NCTM, 2000), los currículos de

matemáticas de la mayoría de países han ido incorporando paulatinamente los procesos matemáticos

que, junto con los contenidos matemáticos, constituyen el conjunto de conocimientos matemáticos que

favorecen la competencia matemática.

Diversos autores de reconocido prestigio han subrayado la importancia de esta innovación

curricular. Así, por ejemplo, de Guzmán (2001, p. 9) ya puso de manifiesto que:


Procesos matemáticos en Educación Infantil: 50 ideas clave A. Alsina

6 NÚMEROS Vol. 86 julio de 2014

“En la situación de transformación vertiginosa de la civilización en la cual nos encontramos, está claro que los procesos verdaderamente eficaces de

pensamiento, que no se vuelven obsoletos con tanta rapidez, es lo más

valioso que podemos enseñar a nuestros jóvenes. En nuestro mundo

científico e intelectual tan rápidamente mutante vale mucho más proveerse de

procesos de pensamiento útiles que de contenidos que rápidamente se

convierten en ideas inertes..."

Para este autor la matemática es, sobre todo, saber hacer, es una ciencia en la que el método

predomina claramente sobre el contenido. Por este motivo considera que los procesos son el centro de

la educación matemática. En una línea similar, Niss (2002) señala la necesidad de substituir los currículos de matemáticas orientados a la adquisición de contenidos, ya que se centran exclusivamente

en la adquisición de símbolos y de técnicas, por currículos orientados al uso significativo de estos

contenidos en una variedad de situaciones en las que las matemáticas pueden desempeñar un papel. También de Castro, Molina, Gutiérrez, Martínez y Escorial (2012) ponen de relieve el papel de los

procesos matemáticos en la adquisición de la competencia matemática, y realizan una comparación en

la que ponen de manifiesto, entre otros aspectos, las coincidencias existentes entre los procesos de

pensamiento matemático propuestos por el NCTM (2000) y las competencias matemáticas definidas en el Informe PISA 2003 (OCDE, 2004). En la Tabla 1 se reproduce esta comparación, que se

completa con la definición de las ocho competencias matemáticas establecidas por Niss (2002) por su

repercusión en el campo de la educación matemática.

Estándares de procesos

matemáticos (NCTM, 2000)

Competencias matemáticas Niss

(2002)

Competencias matemáticas en

PISA 2003 (OCDE, 2004)

Resolución de problemas

Planteamiento y resolución de

problemas matemáticos

Planteamiento y resolución de

problemas

Uso de recursos y herramientas

Razonamiento y prueba

Dominio de modos de pensamiento matemático

Pensamiento y razonamiento

Razonamiento matemático Argumentación

Comunicación Comunicación en, con y acerca de

las matemáticas Comunicación

Conexiones - -

Representación

Representación de entidades

matemáticas

Representación y uso de

operaciones y lenguaje técnico,

simbólico y formal

Análisis y construcción de

modelos Construcción de modelos

Manejo de símbolos matemáticos

y formalismos

Tabla 1. Comparación entre los estándares de procesos del NCTM (2000) y las competencias matemáticas

(Niss, 2002; OCDE, 2004).

Los procesos matemáticos y las competencias matemáticas que se exponen en la Tabla anterior

enfatizan una misma idea: la capacidad de usar de forma comprensiva y eficaz las matemáticas que se

aprenden en la escuela en una variedad de contextos, además del escolar. Desde este prisma, Alsina

(2012a) pone de manifiesto la necesidad de trabajar de forma sistemática los procesos de pensamiento matemático en la Educación Infantil para favorecer el uso de los contenidos e incentivar de este modo


7 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 86 julio de 2014

el desarrollo de la competencia matemática, que en este trabajo se concibe como una capacidad del individuo para identificar y entender la función que juegan las matemáticas en el mundo, emitir juicios

bien fundados y utilizar y relacionarse con las matemáticas de forma que se puedan satisfacer las

necesidades de la vida de estos individuos como ciudadanos constructivos, interesados y reflexivos

(OCDE, 2004).

En la actualidad existe un acuerdo generalizado sobre la necesidad de incorporar esta visión

competencial en los currículos de matemáticas que, como se ha indicado, se ha materializado ya en

muchos países. En España esta transformación curricular se empieza a vislumbrar en la Ley Orgánica de Educación (BOE, 2006). Y en el caso concreto de la Educación Infantil en la Orden

ECI/3960/2007, de 19 de diciembre, por la que se establece el currículo y se regula la ordenación de la

educación infantil (BOE, 2007). En esta Orden Ministerial se aprecia ya la presencia de diversos

procesos de pensamiento matemático que indican las formas de trabajar los diferentes contenidos, y

cuyo análisis se puede consultar en Alsina (2012a).

Sin embargo, esta novedad a menudo no ha venido acompañada de directrices que faciliten su

incorporación en las prácticas matemáticas que se llevan a cabo en las aulas, por lo que en este artículo

se ofrecen algunas orientaciones para que el profesorado de esta etapa educativa pueda integrar el trabajo sistemático de los procesos matemáticos en sus prácticas docentes, y poder avanzar así en el

logro de una sociedad que tenga la capacidad de pensar y razonar matemáticamente, y una base útil de

conocimientos y destrezas matemáticas. Estas orientaciones se concretan en 50 ideas clave, 10 para

cada uno de los cinco estándares de procesos matemáticos que propone el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas de Estados Unidos: resolución de problemas, razonamiento y prueba,

comunicación, conexiones y representación (NCTM, 2000). En términos generales se trata, asumiendo

la acepción de “idea” del Diccionario de la Lengua Española de la Real Academia Española, de conceptos, opiniones o juicios formados a partir de la revisión de la literatura especializada sobre estos

diversos procesos de pensamiento matemático, y por este motivo en la presentación de cada proceso se

ofrece en primer lugar una breve síntesis de dichas aportaciones. Del conjunto de ideas posibles para cada proceso, se han seleccionado a modo de decálogo las que, a criterio del autor, pueden favorecer la

adquisición de conocimiento matemático y didáctico de manera más accesible y comprensible para el

profesorado de Educación Infantil, en el sentido señalado por Alsina y Planas (2008). Así, pues, las 10

ideas relativas a cada proceso se clasifican en dos grandes grupos: las ideas relativas al conocimiento matemático que utiliza el profesorado en el aula y las ideas relativas al conocimiento didáctico que

utiliza el profesorado para favorecer el aprendizaje matemático de los niños. A grandes rasgos, y sin

pretender profundizar en ello ya que escapa de las finalidades de este artículo, esta clasificación se inspira en el modelo MKT (Mathematical knowledge for Teaching) de Hill, Ball y Schilling (2008) y

en el modelo teórico sobre el conocimiento didáctico-matemático del profesor propuesto por Godino

(2009). El artículo concluye con una experiencia de aula implementada en la Escuela Balandrau de

Girona, en la que se muestra el trabajo sistemático de los contenidos y los procesos matemáticos con

un grupo de niños de 3º de Educación Infantil.

2. La resolución de problemas: 10 ideas clave

El planteamiento y la resolución de problemas permite preguntar y responder preguntas dentro de las matemáticas, y con las matemáticas (Niss, 2002). Si bien existe un consenso generalizado en

este sentido, no parece existir el mismo grado de acuerdo respecto al significado o el uso de los

problemas en el aula.

Respecto al significado, varios autores han hecho hincapié en la distinción entre ejercicio de

aplicación y situación problemática (Puig, 1996; Vila y Callejo, 2004; Alsina, 2006; entre otros). Estos autores han puesto de manifiesto que a pesar de la confusión generalizada entre los dos tipos de



actividad, hay múltiples diferencias. Puig (1996), por ejemplo, expone que los ejercicios de aplicación son cuestiones cerradas que requieren la aplicación de técnicas de repetición y responden a

aprendizajes mecánicos. A diferencia de los ejercicios de aplicación, una situación problemática

implica pensar. Este autor argumenta que las dificultades de la mayoría de niños ante la resolución de problemas hacen pensar que sólo la práctica de ejercicios no es suficiente para la transferencia de

conocimiento matemático a nuevos contextos y que, por lo tanto, tiene que procurarse que los

ejercicios de aplicación no tengan un peso demasiado excesivo en el trabajo del aula. Desde la perspectiva de la enseñanza, pues, las dificultades se centran en la busca de equilibrios entre la

práctica de ejercicios y la de problemas.

Por otro lado, no existe consenso sobre qué conocimientos tendría que incluir una propuesta

curricular que enfatice la resolución de problemas ni sobre que significa “tratar la resolución de

problemas como un conocimiento a enseñar”. Compartimos con Planas (2010) que, para superar esta situación, tienen que considerarse tres ejes: enseñar para la resolución de problemas, enseñar sobre la

resolución de problemas y enseñar a través de la resolución de problemas.

Considerando el conjunto de aportaciones expuestas, en la Tabla 2 se presentan las 10 ideas

clave seleccionadas entorno a este proceso de pensamiento matemático en el aula de Educación

Infantil:

1. Hay cuatro aspectos referentes a la resolución de problemas que se deberían trabajar desde la Educación Infantil (NCTM, 2000): a) construir nuevo conocimiento matemático por medio de la

resolución de problemas, planteando retos en una variedad de contextos (como por ejemplo

pensar una estrategia adecuada para comparar si hay más cantidad de árboles o de niños en el patio del colegio); b) resolver problemas que surgen de las matemáticas y en otros contextos,

desde las situaciones de vida cotidiana y las rutinas diarias a las situaciones de experimentación

con materiales o las que surgen de los cuentos y las canciones; c) aplicar y adaptar una variedad de estrategias apropiadas para resolver problemas, como por ejemplo plantear buenas preguntas;

fomentar la interacción, la negociación y el diálogo en el aula; etc.; y d) controlar y reflexionar

sobre el proceso de resolver problemas matemáticos.

2. Una situación problemática es una situación nueva de la que no se conoce de antemano el método

de resolución. Esta novedad implica que los niños tengan que pensar para encontrar estrategias o

técnicas que les ayuden a encontrar la solución (implican pensar). Deben distinguirse de los

ejercicios de aplicación, en los que se conoce de antemano el método de resolución y sirven principalmente para poner en práctica un conocimiento previamente aprendido (implican

mecanizar).

3. La resolución de problemas se puede entender como el marco de aplicación de los diferentes

bloques de contenido matemático a partir de situaciones reales o simuladas, extraídas del entorno

más inmediato y cercano de los niños. Desde esta perspectiva es indispensable romper el

estereotipo que los problemas son sólo de cálculo, es decir, que se pueden resolver con una operación aritmética (una suma, una resta, etc.). Además de considerar los problemas según el

tipo de contenido, también se pueden interpretar en base a otros criterios, como por ejemplo

según el tipo de enunciado (visual o verbal), según la finalidad (aprender una estrategia, aplicar una técnica, etc.), o bien según el tipo de respuesta (abierta, cerrada).

4. Los problemas no se resuelven escuchando al maestro ni repitiendo. Se aprende a resolver

problemas haciendo, manipulando, simulando, discutiendo, compartiendo, imaginando, observando, visualizando, etc.

5. En el proceso de resolución se tendría que permitir que cada niño utilice la estrategia que se ajuste mejor a sus posibilidades: un dibujo, un esquema, el cálculo mental, la manipulación de un

determinado material, etc.




6. Deben plantearse a los niños diferentes tipos de situaciones problemáticas (de la vida cotidiana,

manipulativas, a partir de cuentos y canciones, con diferentes tipos de contenidos, etc.),

priorizando siempre el apoyo visual y gráfico o bien la transmisión oral. Los problemas

presentados por escrito, por ejemplo a través de fichas o cuadernos de actividades, no son recomendables todavía en las primeras edades ya que pueden dar lugar a qué los niños no

comprendan la utilidad y el sentido de los aprendizajes.

7. Una posible secuencia de tipo de problemas a trabajar en las primeras edades es la siguiente

(Alsina, 2006): situaciones reales; situaciones dramatizadas; situaciones manipulativas; una parte

del enunciado con material y la otra parte verbal; situaciones gráficas, con imágenes e

ilustraciones; enunciado oral-respuesta oral; enunciado oral-respuesta gráfica; enunciado gráfico-respuesta gráfica; introducción al enunciado escrito y la respuesta oral o gráfica; introducción al

enunciado escrito y la respuesta escrita. Se trata, en definitiva, de partir de lo concreto

(situaciones reales) para avanzar progresivamente a lo simbólico (lenguaje escrito).

8. La resolución de problemas favorece la construcción de conocimiento matemático, sobre todo si se consideran las perspectivas “enseñar para la resolución de problemas” ofreciendo estrategias

diversas para resolver situaciones también diversas, como por ejemplo relacionar una situación

problemática con una experiencia vivida; desmenuzar la situación en partes más “pequeñas” y comprensibles; etc.; “enseñar sobre la resolución de problemas” como por ejemplo incidir en las

distintas fases de resolución propuestas por Polya (1945): comprender el problema; concebir un

plan; ejecución del plan; examinar la solución obtenida; y “enseñar a través de la resolución de problemas”, es decir, plantear retos que permitan adquirir nuevos conocimientos matemáticos.

9. La resolución de problemas, como el resto de procesos matemáticos, es una herramienta que

ofrecen las matemáticas para introducir a los niños en las formas de pensar propias de las

matemáticas, como por ejemplo razonar, argumentar, descubrir, representar, modelizar, demostrar, etc., a la vez que permite aplicar los contenidos aprendidos en la escuela en otros

contextos, mejorando en definitiva la comprensión del entorno (NCTM, 2000).

10. Durante el proceso de resolución de situaciones problemáticas, y también durante la comunicación de los resultados obtenidos, se favorece que los niños tomen conciencia de sus

capacidades y, a la vez, se muestra su proceso de pensamiento.

Tabla 2. 10 ideas clave sobre la resolución de problemas

3. Razonamiento y prueba: 10 ideas clave

Actualmente se considera que el trabajo sistemático del razonamiento y la prueba es

fundamental en todas las edades para que los niños aprendan desde pequeños a razonar (argumentar, explicar, justificar) y probar (en las primeras edades comprobar, más que validar o demostrar) sus

acciones y proposiciones, puesto que es el camino necesario para comprender el verdadero significado

de las matemáticas. A pesar de la importancia del razonamiento y la prueba en el aula de matemáticas,

tradicionalmente este proceso ha tenido una presencia explícita muy escasa e incluso nula en los

currículos de Educación Infantil.

Aún así, progresivamente ha habido un interés creciente desde el ámbito de la investigación en

educación matemática para analizar las problemáticas asociadas a la enseñanza y el aprendizaje del

razonamiento y la prueba, principalmente en relación al bajo rendimiento de los niños en la comprensión y elaboración de este proceso de pensamiento matemático. Schoenfeld (1994), por

ejemplo, pone de manifiesto que el razonamiento es un componente esencial del hacer, comunicar y

registrar las matemáticas que tiene que ser incorporado en los currículos de todos los niveles.



En Alsina (2011a) se indica que en las primeras edades el razonamiento es informal y de carácter muy intuitivo, ya que los niños y niñas empiezan a razonar a partir de lo que ellos conocen,

pero progresivamente debería ensancharse el repertorio de tipos de razonamiento propios de las

matemáticas, como por ejemplo:

- El razonamiento algebraico, que implica representar, generalizar y formalizar patrones y regularidades en cualquier aspecto de las matemáticas. A medida que se desarrolla este

razonamiento, se va progresando en el uso del lenguaje y el simbolismo necesarios para apoyar y

comunicar el pensamiento algebraico (Godino y Font, 2003). - El razonamiento geométrico, que se refiere a tareas que requieren “ver” o “imaginar” mentalmente

los objetos geométricos espaciales, así como relacionar los objetos y realizar determinadas

operaciones o transformaciones geométricas (Fernández, Cajaraville y Godino, 2008).

- El razonamiento estadístico, que incide en el ciclo de aprendizaje planificación-conjetura-comprobación. Desde esta perspectiva, Batanero (2001) expone que el análisis estadístico de datos

no es un proceso mecánico, sino una manera de pensar que puede ayudar a resolver problemas en

las ciencias y en la vida cotidiana. - El razonamiento probabilístico, que se refiere a las ideas de azar y probabilidad, el razonamiento

combinatorio, la intuición, la frecuencia relativa, etc. (Piaget e Inhelder, 1951).

Respecto a la demostración, Recio (1999) expone que en la clase de matemáticas presenta una

gran diversidad de formas, aunque se subraya de nuevo que en las primeras edades predomina una

matemática informal y a medida que se avanza en la escolaridad las formas típicas son la demostración

empírico-inductiva y la deductiva-informal.

Desde este marco, en la Tabla 3 se exponen 10 ideas clave para la incorporación del

razonamiento y la prueba en el currículo de matemáticas de Educación Infantil y, por extensión, en las

prácticas de aula. Se trata de una selección de ideas, como se ha indicado, que se refieren al

conocimiento matemático y didáctico del profesorado:

1. Hay cuatro aspectos referentes al razonamiento y la prueba que se deberían trabajar desde la

Educación Infantil (NCTM, 2000): a) reconocer el razonamiento y la prueba como aspectos

fundamentales de las matemáticas, ya que se trata de elementos básicos para la comprensión y

uso eficaz de las matemáticas en diversos contextos, además del escolar; b) formular e investigar conjeturas matemáticas, por ejemplo formulando a los niños buenas preguntas que les animen a

construir nuevo conocimiento sobre lo que ya saben; c) desarrollar y evaluar argumentos y

pruebas matemáticas, preguntándoles por ejemplo cómo saben que algo es verdad para que desarrollen progresivamente destrezas que les permitan verificar o refutar sus propias aserciones;

y d) escoger y usar varios tipos de razonamiento y métodos de prueba, por ejemplo creando,

analizando y describiendo patrones numéricos y geométricos o bien clasificaciones a partir de diferentes criterios.

2. En nuestro contexto educativo el razonamiento y la prueba han estado tradicionalmente poco presentes en los currículos de matemáticas de Educación Infantil, y hasta hace relativamente

poco tiempo se habían priorizado otros aspectos mucho más mecánicos, como por ejemplo el

reconocimiento de figuras geométricas estereotipadas, la copia sin sentido de las notaciones convencionales de los números o bien el aprendizaje de los algoritmos para sumar y restar.

3. En las primeras edades el razonamiento es sobre todo informal y se refiere principalmente a la capacidad de explicar, argumentar o justificar las acciones realizadas y las proposiciones,

mientras que la prueba implica comprobar el resultado de dichas acciones y proposiciones, más

que demostrarlas o validarlas (la demostración, tal como se entiende en matemáticas,




corresponde a etapas posteriores). Desde este prisma, razonar y comprobar en Educación Infantil

implica argumentar las afirmaciones que se hacen (con preguntas, como por ejemplo “¿por qué

piensas que es verdad?”); descubrir (con preguntas, como por ejemplo “¿qué piensas que pasará ahora?”); justificar proposiciones (con preguntas, como por ejemplo “¿por qué funciona esto?”);

y hacer razonamientos inductivos, basados en la propia experiencia (Alsina, 2011a).

4. A medida que los niños avanzan en la escolaridad deberían interiorizar progresivamente otros

tipos de razonamiento propios de las matemáticas: el razonamiento algebraico, por ejemplo al

argumentar que el patrón de dos series de cubos “azul-verde” y “rojo-amarillo” es el mismo, y representarlo (por ejemplo, con las letras AB); el razonamiento geométrico, que en el caso

concreto de Educación Infantil se puede iniciar describiendo y comparando propiedades

geométricas elementales de formas geométricas que no están físicamente presentes; o los

razonamientos estadístico y probabilístico, que en las primeras edades se puede fomentar a través de tareas que impliquen la recogida y organización de datos, la comparación, etc. (Alsina, 2013).

5. Las buenas prácticas realizadas a partir de proyectos pueden favorecer el razonamiento y la

demostración, junto a otras prácticas necesarias en las aulas de Educación Infantil como las

situaciones de experimentación y juego, en contraposición a otras prácticas docentes más

descontextualizadas, poco significativas y a menudo orientadas a la adquisición de técnicas y símbolos a través de la repetición y la práctica.

6. Una gestión de las prácticas matemáticas que favorezca el razonamiento y la prueba en las

primeras edades implica plantear buenas preguntas, más que dar explicaciones; favorecer la

interacción y el contraste; e incentivar la indagación y el aprendizaje autónomo con la guía del

adulto, no con la imposición del adulto. Así, por ejemplo, cuando un niño hace un descubrimiento, más que decirle si es correcto o no, se debería fomentar que lo averigüe por él

mismo.

7. Cuando un niño argumenta críticamente el proceso de resolución y la solución de una situación,

usando su propio lenguaje o bien otros recursos, estructura su pensamiento a la vez que muestra y

va desarrollando su capacidad de razonar.

8. La estructuración progresiva del pensamiento y el desarrollo de la capacidad de razonar permite

empezar a hacer generalizaciones de un modo natural, por ejemplo cuando un niño analiza diversas figuras planas que tienen los lados rectos podría llegar a generalizar que “todas las

figuras planas tienen los lados rectos”. Dado que los niños de las primeras edades generalizan a

partir de ejemplos (Carpenter y Levi, 1999), es recomendable guiarles en el empleo de ejemplos y contraejemplos (en el caso anterior, dándoles diversas figuras planas que no tengan todos los

lados rectos) para que puedan comprobar si sus generalizaciones son adecuadas.

9. Razonar y comprobar en Educación Infantil favorece que los niños adquieran conciencia de sus

propias aptitudes por la actividad matemática, a la vez que adquieren seguridad y confianza en

ellos mismos.

10. Aprender a razonar y comprobar es una necesidad básica de los niños que los ayuda a entender

las matemáticas, y les permite pasar de sus creencias personales a las concepciones aceptadas como válidas en el contexto de las matemáticas (NCTM, 2000).

Tabla 3. 10 ideas clave sobre el razonamiento y la prueba



4. La comunicación: 10 ideas clave

Nadie niega que las matemáticas son, entre otras cosas, un lenguaje universal que permite

comunicarse. Aun así, debido a que se expresan a menudo a través de símbolos, la comunicación oral

y escrita no se reconoce todavía suficientemente como una parte esencial de la educación matemática (NCTM, 2000). En este sentido, cuando se piensa en las matemáticas como un lenguaje se tiende a

asociarlas sólo a objetos semióticos transmitidos culturalmente como por ejemplo el “8”, que es un

símbolo de origen indú transmitido a Occidente por los matemáticos musulmanes durante la Edad

Media (por esta razón se denomina una cifra indo-arábiga). Efectivamente, se trata de una notación simbólica que las personas alfabetizadas usamos para comunicar una idea matemática compartida,

pero el lenguaje simbólico no es la única herramienta de comunicación de la que disponemos.

El lenguaje oral y el escrito son herramientas imprescindibles, y previas al lenguaje simbólico,

para desarrollar y comunicar el pensamiento matemático: cuando un niño verbaliza en voz alta sus ideas matemáticas se favorece la comprensión y la estructuración del pensamiento, ya que para

comunicar deben organizarse las ideas. Desde la perspectiva del maestro, el hecho de verbalizar es una

ventana abierta que permite “mirar” qué hay dentro de la mente de los niños. Y, con respecto al resto

de compañeros del aula, escuchar las explicaciones de los otros les da la oportunidad también de desarrollar su comprensión. Así, pues, los niños que tienen oportunidades y se sienten motivados y

apoyados para hablar, escribir, leer y escuchar en las clases de matemáticas se benefician doblemente:

comunican para aprender matemáticas, y aprenden a comunicar matemáticamente. Por esta razón es

tan importante fomentar la comunicación en el aula de matemáticas.

En la Tabla siguiente se presentan 10 ideas clave que procuran reflejar algunos de los

conocimientos didáctico-matemáticos imprescindibles para favorecer este proceso de pensamiento

matemático en las aulas de Educación Infantil:

1. Hay cuatro aspectos referentes a la comunicación que se deberían trabajar desde la Educación

Infantil (NCTM, 2000): a) organizar y consolidar su pensamiento matemático a través de la

comunicación, por ejemplo cuando los niños exponen sus estrategias para resolver una situación,

cuando justifican su razonamiento o bien cuando hacen preguntas sobre algo que no saben o les resulta extraño; b) comunicar su pensamiento matemático con coherencia y claridad a los

compañeros, maestros y otras personas, por ejemplo dando oportunidades a los niños para que

puedan poner a prueba sus ideas y propiciando un ambiente en el aula en el que se sientan libres para expresarlas; c) analizar y evaluar las estrategias y el pensamiento matemático de los otros,

por ejemplo poniendo en común las estrategias usadas para resolver un problema; y c) usar el

lenguaje matemático para expresar ideas matemáticas con precisión, por ejemplo haciendo ver a

los niños que algunas palabras que se usan en el lenguaje ordinario, tales como “ordenar” o “redonda”, tienen un significado más preciso o diferente en matemáticas (en el lenguaje

coloquial, “ordenar” se usa por ejemplo para colocar las cosas en su sitio: “tienes que ordenar la

habitación”, mientras que en el aula de matemáticas cuando se recogen los objetos a menudo se hace una clasificación: “vamos a guardar las pelotas en una caja y las muñecas en otra”; de la

misma forma, la palabra genérica “redonda” se puede precisar mucho en la clase de matemáticas

según el significado específico: circunferencia, círculo o esfera).

2. Las matemáticas son, entre otras cosas, un lenguaje universal que permite comunicarse. Aun así,

cuando se piensa en las matemáticas como un lenguaje se tiende a asociarlas al lenguaje simbólico, como por ejemplo los números escritos, pero no es la única herramienta para

comunicar las ideas matemáticas.

3. El lenguaje oral y escrito son herramientas imprescindibles (y previas al lenguaje simbólico) para

desarrollar y comunicar el pensamiento matemático en las primeras edades, ya que favorecen la




comprensión del conocimiento y la estructuración del pensamiento (NCTM, 2000). Así, por

ejemplo, cuando se pide a un niño que exprese oralmente una idea primero debe haberla

interiorizado y organizado en su mente.

4. La comunicación se tiene que distinguir de la información: informar implica transmitir en sentido

unidireccional desde un emisor hacia un receptor; en cambio comunicar implica interactuar en sentido bidireccional dos o más personas (Alsina, 2011a). Por ejemplo, en una clase expositiva en

la que la maestra muestra a los niños un cuadrilátero y describe algunas de sus propiedades

geométricas elementales se produce una situación de información, mientras que en una clase en la que la maestra muestra un cuadrilátero y pregunta a los niños qué características tiene,

fomentando la participación y el diálogo se produce una situación de comunicación.

5. Los niños empiezan muy pronto a comunicar matemáticamente, por ejemplo cuando expresan

que: “faltan dos niños”, “hay muchos papeles”, o “mi pelota es diferente”. A estas edades, el

desarrollo de su vocabulario matemático depende en buena medida de la interacción verbal con las familias, pero el papel de la escuela es también fundamental si se tiene en cuenta que el

lenguaje es tan importante para aprender matemáticas como lo es para aprender a leer.

6. El trabajo sistemático de la comunicación en el aula de matemáticas de cualquier nivel educativo,

incluida la etapa de Educación Infantil, requiere integrar los procesos de interacción, diálogo y

negociación alrededor de los contenidos matemáticos y su gestión, puesto que los niños a menudo interpretan las normas establecidas de maneras diferentes, y muy a menudo también

estas interpretaciones difieren de las que los maestros esperan. Planas (2005) se refiere, sobre

todo, al conjunto de significados legitimados que delimitan la cultura del aula, como por ejemplo

qué se acepta como situación problemática, a qué criterios se da prioridad en el proceso de resolución de un problema, qué papel se otorga a la maestra; etc.

7. En los procesos de interacción, diálogo y negociación en el aula de matemáticas, las preguntas se erigen como uno de los instrumentos de mediación más idóneos, justamente porque pueden hacer

avanzar desde unos primeros niveles de concienciación sobre lo que uno ya sabe o es capaz de

hacer hacia niveles más superiores en los cuales va entreviendo la manera como puede avanzar mejor en el aprendizaje (Mercer, 2001).

8. A nivel curricular se insiste en la necesidad de plantear buenas preguntas para favorecer la comunicación en el aula, sin embargo en términos generales ha habido escasas aportaciones sobre

qué características debería tener una buena pregunta, qué tipos de preguntas se tendrían que

formular y cómo se tendrían que formular para favorecer el desarrollo del pensamiento matemático en las primeras edades.

9. Las buenas preguntas para enseñar matemáticas, de acuerdo con Sullivan y Lilburn (2002), tienen tres características: a) más que recordar un hecho o reproducir una acción, requieren comprensión

de la tarea, aplicación de técnicas y estrategias y análisis y síntesis de los conceptos implicados;

b) permiten que los niños aprendan respondiendo preguntas, y que los maestros aprendan a partir de las respuestas de los niños; y c) permiten diversas respuestas aceptables. Por ejemplo, es muy

distinto plantear a los niños la situación: “Tienes cuatro vasos de cristal y se rompe uno.

¿Cuántos vasos te quedan?” que “Tienes cuatro vasos de cristal y se rompe uno. ¿Qué pasa después?” (Alsina, 2011a)

10. Los niños que tienen oportunidades, están motivados y se sienten apoyados para hablar, escribir, leer y escuchar en las clases de matemáticas se benefician doblemente: comunican para aprender

matemáticas, y aprenden a comunicar matemáticamente (NCTM, 2000).

Tabla 4. 10 ideas clave sobre la comunicación



5. Las conexiones: 10 ideas clave

Las conexiones matemáticas se refieren a: las relaciones entre los diferentes bloques de

contenido matemático y entre los contenidos y los procesos matemáticos (intradisciplinariedad); las

relaciones de las matemáticas con otras áreas de conocimiento (interdisciplinariedad); y las relaciones

de las matemáticas con el entorno que nos rodea (enfoque globalizado).

En el caso concreto de la Educación Infantil, hace ya muchos años que en los currículos -tanto a nivel internacional como nacional- se insiste en plantear el trabajo de los niños de las primeras edades

a partir de un enfoque globalizado. Así, por ejemplo, en la Orden ECI/3960/2007, de 19 de Diciembre,

por el que se establece el currículo y se regula la ordenación de la educación infantil se expone que:

“Los contenidos de una área adquieren sentido desde la complementariedad

con el resto de las áreas, y tendrán que interpretarse en las propuestas didácticas desde la globalidad de la acción y de los aprendizajes. Así, por

ejemplo, el entorno no puede ser comprendido sin la utilización de los

diferentes lenguajes y del mismo modo, la realización de desplazamientos

orientados tiene que hacerse desde el conocimiento del propio cuerpo y de su

ubicación espacial” (BOE, 2007, p. 1023).

Aprender matemáticas desde esta triple visión: intradisciplinar, interdisciplinar y de manera

globalizada, pues, es uno de los principios del aprendizaje de las matemáticas en la etapa de Educación

Infantil y, por supuesto, en el resto de etapas educativas. Pero, como indica Alsina (2011b, 2012b), se trata de un enfoque muchas veces repetido pero todavía poco implementado. Considerando esta

realidad, en la Tabla 4 se ofrecen algunos andamios para ayudar al profesorado de la etapa de

Educación Infantil a incorporar las conexiones matemáticas en las prácticas escolares.

1. Hay tres aspectos referentes a las conexiones que se deberían trabajar desde la Educación Infantil

(NCTM, 2000): a) reconocer y usar las conexiones entre ideas matemáticas, como por ejemplo reconociendo que se necesitan las cantidades para expresar la medida de una magnitud o

analizando patrones en los cuentos y en las canciones que cantan; b) comprender cómo las ideas

matemáticas se interconectan y construyen una sobre otras para producir un todo coherente, por

ejemplo al reconocer la misma estructura matemática en contextos aparentemente diferentes como clasificar piezas según su color, o monedas según su valor; c) reconocer y aplicar las

matemáticas en contextos no matemáticos, como por ejemplo temas propios de otras disciplinas o

contextos de vida cotidiana.

2. Las conexiones matemáticas, de acuerdo con Alsina (2011b, 2012b), se refieren a las relaciones

entre los diferentes bloques de contenido matemático y entre los contenidos y los procesos

matemáticos (intradisciplinariedad), como por ejemplo cuando se analiza el número de lados de una figura geométrica o bien cuando esta figura se representa en un papel; las relaciones entre las

matemáticas con otras áreas de conocimiento (interdisciplinariedad), como por ejemplo cuando

se identifica el patrón de un ritmo musical; y las relaciones entre las matemáticas con el entorno que nos rodea (enfoque globalizado).

3. Las conexiones entre los diferentes bloques de contenido matemático ponen de manifiesto que las

matemáticas de las primeras edades no son una colección fragmentada de bloques de contenido, aunque con frecuencia se dividen y presentan así, sino que constituyen un campo integrado de

conocimiento. Desde esta perspectiva, hay unas mismas estructuras matemáticas que se repiten:

identificar (definir o reconocer); relacionar (comparar); y operar (transformar), lo único que varía

es el tipo de contenido: calidades sensoriales, cantidades, posiciones y formas, atributos medibles, y datos y hechos (Alsina, 2006). Dentro todavía de las conexiones intradisciplinares,




los estrechos vínculos entre los contenidos y los procesos matemáticos evidencian que no son

conocimientos independientes de una misma disciplina sino que se interrelacionan, se

retroalimentan para favorecer la competencia matemática. Al combinarse los contenidos y los

procesos generan nuevas miradas que hacen hincapié no solamente en el contenido y el proceso sino y especialmente en las relaciones que se establecen entre ellos, por ejemplo al interpretar la

resolución de problemas como el marco de aplicación de los diferentes contenidos, no

únicamente los referidos al cálculo (Alsina, 2012b).

4. Las conexiones entre las matemáticas y las otras áreas de conocimiento ponen de manifiesto que,

a pesar de que actualmente la práctica educativa más habitual sigue siendo todavía el trabajo

aislado de los contenidos matemáticos, las actividades interdisciplinares van ocupando un lugar cada vez más importante en las aulas de Educación Infantil. Así, en las primeras edades las

matemáticas pueden trabajarse en conexión con la literatura infantil, por ejemplo trabajando las

matemáticas a partir de cuentos (Saá, 2002); con el arte, por ejemplo, trabajando las matemáticas a partir de pinturas y esculturas (Edo, 2008); con la música, trabajando a partir de canciones (Saá,

2002) o con la psicomotricidad, trabajando aspectos diversos relativos a la orientación y la

estructuración espacial (Benavides y Núñez, 2007).

5. Las conexiones entre las matemáticas y el entorno evidencian que el uso de contextos de vida

cotidiana en la primeras edades puede contribuir a facilitar el aprendizaje de las matemáticas,

pero sobre todo a comprender cuál es el sentido de las matemáticas, cuáles son sus verdaderas

funciones: formativa, teniendo en cuenta que los contextos de vida cotidiana permiten pasar progresivamente de situaciones concretas o situaciones abstractas (matematización progresiva);

instrumental, al considerar que los contextos son, en realidad, herramientas que favorecen la

motivación, el interés o el significado de las matemáticas; y aplicada, al fomentar el uso de las matemáticas en contextos no exclusivamente escolares y, por lo tanto, contribuir a la formación

de personas matemáticamente más competentes (Alsina, 2011b, 2012b).

6. En el aula de Educación Infantil se favorecen las conexiones matemáticas cuando se reta a los niños a aplicar el aprendizaje matemático en investigaciones y proyectos matemáticos amplios,

como por ejemplo en contextos de vida cotidiana (llamados contextos reales o realistas en el

marco de la Educación Matemática Realista planteada por Freudenthal, 1973) o en situaciones de manipulación, experimentación y juego, en las que formulan preguntas y diseñan encuestas,

toman decisiones sobre métodos de recogida y registro de información, y planifican

representaciones para comunicar los datos y para que los sirvan de ayuda para hacer conjeturas e

interpretaciones razonables.

7. Para trabajar las matemáticas a partir de propuestas globalizadas en Educación Infantil se

plantean las siguientes fases de trabajo (Alsina, 2011b, 2012b): 1) matematización del contexto, para que el maestro pueda identificar los contenidos matemáticos que se pueden trabajar, y

planificar a través de qué procesos matemáticos trabajarlos; 2) trabajo previo en el aula, para

identificar los conocimientos previos de los niños a través del diálogo, así como para establecer

entre todos los recursos necesarios para trabajar en el contexto escogido (cámara digital, materiales diversos como cintas métricas, libreta para representar los descubrimientos, etc.); 3)

trabajo en contexto, para que los niños descubran que fuera de las aulas también hay

matemáticas; 4) trabajo posterior en el aula a través de puestas en común para identificar los conocimientos aprendidos y favorecer su interiorización.

8. El uso de objetos concretos en situaciones de manipulación y experimentación en el aula

favorece también la conexión de las ideas matemáticas nuevas con las anteriores, siempre que haya una buena planificación y gestión ya que el material por sí mismo no es garantía de nada.

Por ejemplo, cuando un niño levanta tres dedos y pregunta “¿tengo tres años?” trata de conectar

la palabra “tres” con el número que representa su edad, a través de un conjunto concreto de objetos, sus dedos (NCTM, 2000).



9. Cuando los niños pueden conectar ideas matemáticas, su comprensión mejora. En el caso

concreto de Educación Infantil, por ejemplo, es evidente que la comprensión de los números

varía mucho si la práctica consiste exclusivamente en reseguir el trazo para aprender la notación

convencional que si se propicia la observación de los números escritos que hay en el entorno para comprender para qué se utilizan, la identificación de cantidades en diversos contextos, la

comparación de colecciones de objetos en el aula, etc.

10. Cuando se contemplan las conexiones en el aula de matemáticas se eliminan las barreras que separan las matemáticas aprendidas en la escuela de las aprendidas en otros contextos. Dicho de

otra manera, se conectan las matemáticas informales e intuitivas que los niños han aprendido a

través de su experiencia con las más formales, por ejemplo poniendo de relieve las muchas situaciones en las que los niños encuentran matemáticas fuera y dentro de la escuela: los números

que hay en las calles, en las tiendas, en las matrículas de los coches, … son los mismos números

que hay en la escuela; o los cuerpos tridimensionales que puede haber en un parque, como por ejemplo el cilindro y la esfera que componen una farola, tienen las mismas propiedades

geométricas que los cuerpos geométricos de madera que puede haber en la escuela.

Tabla 5. 10 ideas clave sobre las conexiones

6. La representación: 10 ideas clave

Las representaciones se refieren a las formas de representar las ideas y procedimientos

matemáticos, como por ejemplo imágenes, materiales concretos, tablas, gráficos, números, letras, entre otras. Muchas de las representaciones que existen actualmente son el resultado de una construcción

cultural, que llevó muchos años determinar. Cuando los niños comprenden las representaciones

matemáticas que se les presenta y además tienen oportunidades de crear otras, mejoran su capacidad

para modelar e interpretar fenómenos físicos, sociales y matemáticos. La representación es, pues, un proceso indispensable para poder aprender. Si no hay representación del conocimiento no hay

aprendizaje.

En Educación Infantil las representaciones más habituales para representar las ideas y

procedimientos matemáticos son objetos físicos, el lenguaje natural, gestos, dibujos, diagramas y símbolos inventados o convencionales, aunque éstos últimos en menor medida. Así, por ejemplo,

agrupar tres caramelos es ya una representación del “tres”, en este caso con objetos; representar el

“tres” con tres dedos es otro tipo de representación usando objetos físicos, en este caso los dedos;

cuando se dice la palabra “tres”, es una representación a través del lenguaje oral; dibujar tres caramelos es una representación concreta del valor cardinal “tres”, en la que se usan dibujos; cuando

se hacen tres cruces (XXX) o tres rayitas (///) es un tipo de representación pictórica; y el símbolo

convencional 3 es ya una representación convencional resultado de una construcción cultural, como se decía hace unas líneas. Todas estas representaciones son poderosos procedimientos de comunicación

(ambos procesos están muy relacionados) y, a la vez, poderosas herramientas de pensamiento. En

definitiva, representar ideas y conectar las representaciones a las matemáticas constituye el núcleo de la comprensión de éstas, por lo que en la Tabla 6 se ofrecen algunas ideas clave para favorecer su

desarrollo desde las primeras edades.




1. Hay tres aspectos referentes a la representación que se deberían trabajar desde la Educación

Infantil (NCTM, 2000): a) crear y usar representaciones para organizar, registrar, y comunicar

ideas matemáticas, por ejemplo cuando en una clase de Educación Infantil se hace una votación a

mano alzada para decidir el proyecto que se va a trabajar, se pueden organizar los resultados en la pizarra a través de cruces para hacer el recuento; b) seleccionar, aplicar y traducir

representaciones matemáticas para resolver problemas, por ejemplo, los niños de las primeras

edades deberían saber representar por escrito una adición a través de una representaciones concretas o pictóricas que mantienen una correspondencia término a término; y c) usar

representaciones por modelizar e interpretar fenómenos físicos, sociales y matemáticos, por

ejemplo empezando a asociar las cantidades a las regletas, que son un modelo matemático que

representa una versión idealizada de las cantidades elementales (del 1 al 9).

2. La representación de las ideas y procedimientos matemáticos es un proceso indispensable para poder aprender. Si no hay representación no hay comprensión, y sin comprensión no puede haber

aprendizaje de las matemáticas (Alsina, 2011a). En Educación Infantil, por ejemplo, el primer

cálculo es manipulativo, pero progresivamente las operaciones deben representarse mentalmente

y también por escrito (con representaciones adecuadas a su edad), ya que si el niño queda estancado en la manipulación no se avanza en la adquisición de conocimiento matemático.

3. La representación de las ideas y procedimientos matemáticos puede tener formas diversas en las

primeras edades, por ejemplo a través de objetos físicos (una pieza con forma de triángulo), el

lenguaje natural (la palabra “triángulo”), dibujos (triángulos de diferentes características:

triángulos rectángulos, triángulos con dos lados iguales y uno diferente, etc.), y símbolos convencionales (un triángulo equilátero), aunque éstos últimos en menor medida ya que en las

primeras edades se tiende erróneamente a asociar el concepto con la imagen estereotipada (por

ejemplo, el triángulo equilátero con la idea de triángulo).

4. El desarrollo progresivo de la representación de las ideas y procedimientos matemáticos va de lo

concreto a lo abstracto (Freudenthal, 1973). En este sentido, se respeta y favorece su proceso de adquisición cuando en Educación Infantil se fomenta por ejemplo que las primeras

representaciones sea concretas, a partir de objetos o dibujos y usando el lenguaje natural;

posteriormente pictóricas, usando tablas o diagramas; y finalmente convencionales, usando símbolos abstractos. Aunque el desarrollo de la representación vaya de lo concreto a lo abstracto,

en términos generales el proceso de enseñanza-aprendizaje no es unidireccional sino

bidireccional, es decir, de lo concreto a lo abstracto y de lo abstracto otra vez a lo concreto,

aunque la finalidad sea siempre la misma: aprender (y sobre todo comprender) el símbolo que representa un objeto o una situación real.

5. A través de las interacciones con las diferentes representaciones, con la maestra y con el resto de

los niños, los niños desarrollan sus propias imágenes mentales sobre las ideas matemáticas

(NCTM, 2000). Estas representaciones internas son las que permiten avanzar en el aprendizaje de

las matemáticas.

6. La adquisición progresiva de la representación de las ideas y procedimientos matemáticos aumenta la capacidad para modelar e interpretar fenómenos físicos, sociales y matemáticos. En

otras palabras, permite hacer modelos e interpretar la realidad. Un modelo es, pues, una

representación ideal de un aspecto concreto de la realidad usada con finalidades de

interpretación. Por esta razón los modelos simplifican la realidad subrayando los elementos fundamentales y eliminando los aspectos secundarios. Por ejemplo, cuando en Educación Infantil

se dibuja el itinerario de un recorrido en el que se sitúan diversos puntos que facilitan la

localización, se trata de un modelo simulador de la realidad que, aunque no se ajuste a la realidad física (ya que no es fiel a aspectos básicos como las distancias), permite orientarse (Alsina,

2011a).



7. El término modelo se usa de maneras diferentes: a) modelos manipulables (materiales físicos con

los que trabajan los niños, como por ejemplo una regleta que representa el número cinco); b)

modelos ejemplificadores o simuladores (por ejemplo el dibujo de un itinerario que puede hacer un niño, o en términos más complejos, el plano esquemático de la red del metro de una gran

ciudad); y c) como sinónimo de representación (NCTM, 2000).

8. Ya desde las primeras edades es importante distinguir entre dos aspectos relacionados pero

distintos: a) el acceso y la comprensión de modelos matemáticos elaborados previamente; b) la

elaboración de representaciones y modelos matemáticos (Alsina, 2011a). Un niño de cuatro años que está aprendiendo la noción de número puede acceder a representaciones y modelos

matemáticos elaborados previamente como por ejemplo un material manipulativo compuesto por

botones con diferentes cantidades de agujeros para agruparlos o clasificarlos; pero

progresivamente debe favorecerse la elaboración de sus propias representaciones acerca de las cantidades.

9. La representación de las ideas y procedimientos matemáticos está estrechamente ligada con la

comunicación, cada uno de ellos coopera con el otro y le da apoyo.

10. A través de las representaciones y los modelos matemáticos se comprenden mejor las ideas

matemáticas, puesto que representaciones y modelos diferentes aclaran diferentes aspectos de

una idea matemática compleja (NCTM, 2000). Así por ejemplo, para un niño de tres años “3” es una abstracción, y por lo tanto una idea matemática compleja que comprende e interioriza

progresivamente a medida que se le presentan representaciones y modelos diferentes: tres

caramelos, tres dedos, la carta de tres espadas, la palabra “tres”, tres cruces (XXX) o tres rayitas

(///), la regleta del 3, etc.

Tabla 6. 10 ideas clave sobre las conexiones

Tomando en consideración las 50 ideas clave descritas que, como se ha indicado, pretenden ser

una ayuda para favorecer la incorporación progresiva de los procesos matemáticos en las prácticas docentes desde las primeras edades, dado su importante papel en el desarrollo de la competencia

matemática, en la segunda parte de este artículo se describe una experiencia en un contexto de

aprendizaje de vida cotidiana en la que se documenta e interpreta el trabajo sistemático de los

contenidos y procesos matemáticos con un grupo de niños de 3º de Educación Infantil.

7. Una experiencia de aula: observación, documentación e interpretación de los

contenidos y procesos matemáticos

Una educación de alta calidad en las primeras edades requiere profesionales competentes que

observen las acciones de los niños, documenten lo observado para llegar a múltiples interpretaciones y

realicen una confrontación a través del diálogo. Esta es una de las principales obsesiones de Malaguzzi (2001) que aquí se asume en su totalidad. Rinaldi (2001) indica que una variada y amplia

documentación (fotografías, videos, transcripciones, notas, etc.):

- Hace visible los procesos de aprendizaje y las estrategias utilizadas por cada niño, aunque de

manera parcial y subjetiva.

- Permite la lectura, el reencuentro y la evaluación. Estas acciones se convierten en parte integral del proceso de construcción del aprendizaje.

- Parece ser esencial para el proceso meta-cognitivo y para el entendimiento de niños y adultos.




“La observación, la documentación y la interpretación se tejen juntas en lo que yo definiría como un “movimiento espiral”, en el que ninguna de estas acciones

puede separarse de las otras. Es imposible, de hecho, documentar sin observar e

interpretar. Por medio de la documentación, el pensamiento o la interpretación

del documentador llega a ser tangible y capaz de ser interpretado. Las notas,

grabaciones y fotografías representan fragmentos de la memoria. Mientras cada

fragmento está saturado con la subjetividad de quien documenta, al mismo

tiempo es sujeto a la interpretación de otros, como parte de un proceso colectivo

de construcción del aprendizaje. En estos fragmentos se encuentra el pasado y

también el futuro (por ejemplo: “Qué hubiera pasado si...”). El resultado es un

conocimiento abundante, co-construido y enriquecido por las contribuciones de

muchos” (Rinaldi, 2001, p. 4)

Es desde esta perspectiva desde la que se ha observado, documentado e interpretado la

experiencia “Nuestra escuela tiene nombre de montaña”, en la que se trabajan de manera integrada los contenidos y los procesos matemáticos. Se trata de una experiencia implementada por la maestra

Fátima Dalmau en 3º de Educación Infantil de la Escuela Pública Balandrau de Girona a partir de las

fases descritas por Alsina (2011b, 2012b) para trabajar matemáticas en Educación Infantil a partir de propuestas globalizadas: 1) matematización del contexto (se consideran los posibles contenidos

matemáticos que pueden trabajarse, y a través de qué procesos matemáticos pueden trabajarse); 2)

trabajo previo en el aula: se presenta la propuesta y se establece un diálogo con los niños para identificar sus conocimientos y experiencias previas; 3) trabajo en contexto: los niños usan sus

conocimientos y descubren nuevos conocimientos en situaciones de observación, manipulación,

experimentación, juego, etc.; 4) trabajo posterior en el aula: se establece un diálogo con los niños para

que comuniquen lo que han aprendido, para favorecer de este modo la comprensión e interiorización

de los conocimientos matemáticos trabajados.

7.1. Matematización del contexto

En la experiencia se han considerado de forma previa los contenidos matemáticos siguientes, ya

que ayudan a no perder de vista las ideas matemáticas que enmarcan la propuesta educativa:

- Contenidos de lógica (cualidades sensoriales): observación e identificación de las cualidades

de los materiales usados; agrupación y comparación de los objetos según sus características;

etc.

- Contenidos de numeración y cálculo (cantidades): uso comprensivo de los cuantificadores y las cantidades elementales; comparación entre cantidades; operaciones de suma y resta.

- Contenidos de geometría (posición y forma): posición relativa (arriba-abajo, delante-detrás,

etc.); dirección (hacia arriba, hacia abajo); y distancia de los objetos entre ellos (más lejos, más cerca, etc.); identificación de las propiedades geométricas elementales de las formas.

- Contenidos de medida (atributos mesurables): reconocimiento y comparación de magnitudes

como la longitud (largo-corto; alto-bajo); el tamaño (grande-pequeño); etc. - Contenidos de estadística y probabilidad: recogida de datos y análisis de hechos posibles e

imposibles.

Se planifica que el trabajo de estos contenidos va a realizarse a través de los diferentes procesos

de pensamiento matemático:

- Resolución de problemas: planteamiento de buenas preguntas, retos, etc. que impliquen tener

que buscar (a menudo de manera cooperativa) diversas estrategias para resolver situaciones

que vayan surgiendo. - Razonamiento y prueba: justificación y argumentación de las acciones que vayan realizando

los niños, y comprobación de los resultados obtenidos.



- Comunicación y representación: puesta en común de las ideas y acciones de los niños usando vocabulario matemático adecuado.

- Conexiones: relaciones entre diferentes contenidos y conexiones de las ideas matemáticas con

el contexto que les rodea.

7.2. Trabajo previo en el aula

Al tratarse de una escuela de nueva creación, durante el curso 2011-2012 se eligió el nombre de

la escuela con gran implicación por parte de toda la comunidad educativa. El nombre elegido fue

“Escuela Balandrau”, que es el nombre de una montaña próxima.

A partir de aquí se inicia un proyecto de trabajo para profundizar en el conocimiento de la

montaña de Balandrau en particular y de los diferentes tipos de montañas y sus características en general. Los conocimientos previos de los niños sobre las montañas (ver Tabla 7) son el punto de

partida para iniciar el proyecto:

- “Yo subí una montaña muy alta con mi padre”

- “En las montañas que hay nieve los esquiadores bajan muy rápido y a veces se estrellan

abajo” - “También hay montañas de piedra que unos escaladores suben con cuerdas”

- “He hecho una montaña muy grande en el arenal pero me la han destrozado”

- “Haremos una montaña con las maderas y pondremos las cuerdas para subir y un río que baje y llegue hasta allí en la puerta”

Tabla 7. Conocimientos previos de los niños sobre las montañas

Partiendo de la observación y la escucha atenta, la maestra va detectando los intereses de los niños y propone construir una montaña. En clase se inicia una conversación preguntando qué

materiales se podrían usar para “construir montañas”:

- “Con las maderas”

- “También con los cilindros que tenemos” - “Con piedras”

- “No porque pesan y se nos caen y nos hacemos daño”

- “Y las piedras no se aguantarían porque son un poco redondas” - “Con las almohadas”

- “Y con los vasos quizás”

- “No, con los vasos sólo podemos hacer una torre”

- “O con las cajas y las ruedas del patio” - “Y con los “porexpan. Pero son demasiado grandes, un día queríamos hacer una torre y no

llegábamos, con los porexpan sólo podemos hacer caminos (…) pero si Fàtima (la maestra)

nos pone las de arriba sí que lo podemos hacer”

Tabla 8. Puesta en común sobre los posibles materiales a usar para construir una montaña




7.3. Trabajo en contexto

Desde la toma de decisiones y el aprendizaje autónomo los niños prueban diferentes maneras de “construir montañas” usando tanto los materiales que hay habitualmente en la clase como otros que se

ponen a su alcance. Se organizan en parejas o grupos de 3 ó 4, eligen el material y deciden el espacio

en el que quieren ir, que está en función de las dimensiones del material.

Empieza el trabajo, la acción, el diálogo, la comunicación de ideas, la búsqueda de soluciones compartidas, la toma de decisiones. Los niños se concentran en el material, prueban, ensayan, hacen y

deshacen, expresan sus ideas pero también escuchan las de los demás e intentan buscar soluciones

conjuntamente, llegando a acuerdos. Y la gestión de la maestra se basa en ayudar a los niños a ser

conscientes de lo que están haciendo: recoge sus ideas para avanzar e ir más allá; deja que los niños aprendan a partir de la propia experiencia, pero también poniéndolos en contacto con nuevos retos que

conducen a los niños a buscar estrategias, por ejemplo para conseguir un orden o equilibrio; formula

buenas preguntas; favorece el planteamiento de hipótesis y pide argumentos que justifiquen sus acciones, el proceso seguido, el resultado; etc.; y ayuda a los niños a expresar sus ideas y

descubrimientos usando lenguaje matemático apropiado. Además favorece el trabajo en parejas o en

pequeño grupo para promover las primeras formas de cooperación al construir, crear y representar con

los materiales a partir de un objetivo común y el esfuerzo para abrirse a las ideas de los demás.

La manipulación de los diferentes materiales pone en contacto a los niños con situaciones de

aprendizaje relacionadas con las matemáticas intuitivas, informales, que los niños aprenden a través de

sus experiencias (NCTM, 2000). En las Tablas 9, 9bis y 10 se documentan pequeños episodios de

clase y, a partir de ellos, se hace una interpretación de los posibles conocimientos matemáticos que se

ponen en juego.

Documentación Interpretación

- Nil: “Ponemos las maderas largas tumbadas, sino caen” - “Si ponemos el tubo en medio de las maderas se aguantan”

Contenidos: Geometría: posición relativa de las

maderas.

Medida: longitud de las maderas.

Procesos: Resolución de problemas: colocación

adecuada de las maderas para que no se

caigan. Razonamiento y prueba: Justificación de la

colocación de las maderas y posterior

comprobación.

Comunicación: explicación a los demás.

Iu y Jana buscan y prueban diferentes medidas y formas de las cajas

para conseguir la simetría que los permitirá controlar el equilibrio de

su construcción.

Contenidos: Geometría: formas de las cajas; posición de las cajas.

Procesos: Resolución de problemas: colocación

adecuada de las cajas para que no se

caigan.

Razonamiento y prueba: comprobación de

la acción realizada.



Ander y Katerin han construido torres con los cilindros. Ander

observa la distancia que hay entre las dos torres, quiere poner maderas largas para conectar las dos estructuras.

Contenidos: Geometría: distancia entre las dos torres.

Medida: longitud de la madera para unir

las dos torres.

Procesos: Resolución de problemas: estrategias para

que las torres no se caigan.

Jan está un rato colocando los vasos uno dentro del otro, pero

después de probar varías maneras con Naia han encontrado una

solución: hacen hileras intercalando los vasos, y calculando bien la

distancia entre un vaso y el otro, colocándolos con precisión,

consiguen hacer una construcción más larga, más ancha y más alta.

Contenidos: Geometría: posición relativa de los vasos

(unos dentro de otros; unos encima de

otros); distancia entre los vasos.

Medida: longitud y anchura de las hileras.


hacer una construcción más larga, más

ancha y más alta.

- Adrià: “Mira, si ponemos un

vaso hacia abajo, un vaso

hacia arriba, un vaso hacia

abajo ¡también se aguanta!”

Con los cubos del patio siguen el

mismo procedi-miento que con

los vasos.

Contenidos: Geometría: posición relativa de los vasos y

los cubos (unos dentro de otros; unos encima de otros); distancia entre ellos.

Medida: longitud y anchura de las hileras.


hacer una construcción más larga, más

ancha y más alta.

Razonamiento y demostración:

transferencia a otros materiales (cubos); comprobación de la acción.

- Jana: “Si tapamos con ropas las almohadas haremos una montaña

un poco redonda”

Contenidos: Geometría: posición de las almohadas;

forma de la montaña.

Resolución de problemas: Resolución de problemas: estrategias para

hacer una construcción.

Tabla 9. Documentación e interpretación de los contenidos y procesos matemáticos que usan los niños al

construir una montaña.




Van probando con otras estructuras, y experimentan que cuando la base es más pequeña es más fácil que caiga la construcción. A nivel de documentación e interpretación, los contenidos y procesos

matemáticos que se usan tienden a ser los mismos que los que se indican en la Tabla 9, aunque varíen

los materiales (Tabla 9bis):

Tabla 9bis. Documentación e interpretación de los contenidos y procesos matemáticos que usan los niños al

construir una montaña

Un grupo de cinco o seis niños se animan a completar y ampliar su proyecto: quieren construir un río que baje por la montaña. En la clase la maestra invita al equipo promotor de la iniciativa a

explicar su proyecto al resto de compañeros. El tema genera bastante entusiasmo, y todos quieren expresar sus ideas, se verbalizan muchas nociones espaciales cómo: “con un río que baje; que gire

hacia allá; que dé la vuelta a la montaña; arriba; lejos de...; cerca de...; que vaya hacia este lado; etc.”

Se propone que dibujen cómo les gustaría que fuera la montaña, donde tendría que ir el río, etc.

Cada niño hace su representación y después la explican al resto del grupo: a algunos les es más fácil

expresarlo a nivel oral, y en otros empieza a haber un significado en la producción del dibujo. En definitiva, se trata de ayudarles a verbalizar nociones espaciales, formulando preguntas que ayuden a

reflexionar, concretar, aclarar o consolidar algunos conceptos.

Posteriormente, en pequeño grupo concretan en el arenal lo que han hablado o dibujado. La

maestra observa y facilita la acción y las ideas de los niños pero no se anticipa a ellas, permitiendo así que cada grupo siga su proceso, que es propio y diferente. El resultado es fruto del diálogo entre ellos,

de cómo buscan soluciones a las dificultades que se van encontrando y de lo que finalmente

construyen en base a diversos ensayos y errores.



Documentación Interpretación

- “Tenemos que poner mucha arena para hacer una montaña muy

alta”.

- “La arena que echamos arriba cae hacia abajo”.

Contenidos: Cantidades (cuantificadores): cantidad

de arena para construir la montaña.

Geometría: posición y dirección de la

arena.

Medida: altura de la montaña.


construir una montaña que sea muy alta

Comunicación: vocabulario matemático

para expresar sus ideas.

- Leire: “Podemos poner agua que baje por la montaña y vaya a

parar al río”.

- Maestra: “¿Cómo lo podemos hacer?”. - Jan: “Cogemos agua con las botellas y la echamos aquí encima de

la montaña”.

- Naia: “Pero el agua se va dentro de la arena, no va al río.

- Maestra: “¿Podríamos usar el tubo que tenemos en la clase?

Contenidos: Geometría: dirección del agua.

Procesos: Resolución de problemas: con la

mediación de la maestra, buscan una

estrategia para que el agua no vaya

dentro de la arena.

Razonamiento y prueba: argumentan que si vierten agua arriba irá dentro de

la arena, no hacia el río.

Comunicación: usan vocabulario

matemático para expresar sus ideas.

Colocan un embudo en un extremo del tubo por el que entrará el agua,

y durante un rato prueban diferentes maneras de colocar el tubo, ya

que tienen que orientarlo bien para que al echar el agua por el embudo

ésta vaya a parar al río. Deben tener en cuenta la orientación y

dirección del tubo, la situación del río, y la altura y la pendiente que

dan al tubo para que el agua llegue hasta el río. Encuentran la solución haciendo pasar el tubo por dentro de la montaña de arena de forma que

quede fijado, y una vez consiguen hacer bajar el agua, se animan a

alargar el recorrido del río (de este modo el agua baja con más fuerza,

y avanza siguiendo el recorrido que ellos han marcado haciendo

curvas, rectas, girando, llegando cada vez más lejos).

Contenidos: Geometría: posición y orientación del

tubo para que el agua vaya hacia abajo;

distancia del recorrido del agua;

trayectoria del agua en línea recta y curva; giros en el recorrido del agua.

Medida: longitud del recorrido del río.

Procesos: Resolución de problemas: prueban

diferentes maneras de colocar el tubo

para que el agua vaya a parar al río.

Razonamiento y prueba: explican la

posición del tubo y comprueban como

llega el agua al río. Comunicación: usan vocabulario

matemático para expresar sus ideas.

Tabla 10. Documentación e interpretación de los contenidos y procesos matemáticos que usan los niños al

construir un río que baja por la montaña




7.4. Trabajo posterior en el aula

Una vez finalizado el trabajo en contexto, y como una parte más de la gestión que lleva a cabo la maestra, se establece un diálogo con los niños para poner en común los conocimientos usados

durante la experiencia y favorecer así su comprensión e interiorización. Se trata, como ya señaló

Brousseau (1994), de realizar una síntesis e institucionalización de los conocimientos utilizados que permita que los niños sean capaces de reconocerlos como contenidos matemáticos que han construido

y aprendido en la escuela. En caso contrario, los niños habrán realizado diversas acciones, pero será

difícil que sepan que los conocimientos que han usado tengan relación con las matemáticas.

Alsina (2011b, 2012b) indica que durante esta fase en la que los niños comunican lo que han

descubierto y aprendido debe procurarse que usen un lenguaje matemático adecuado. Para fomentar el uso de vocabulario matemático ajustado a su nivel, en la experiencia descrita se utiliza la

documentación realizada durante la fase de trabajo en contexto (sobre todo imágenes) como base para

que los niños identifiquen los conocimientos matemáticos que se han puesto en juego.

8. Conclusiones

A modo de conclusión, en primer lugar es preciso señalar que en la experiencia de aula descrita se da la conexión más importante en los primeros aprendizajes matemáticos, que es la existente entre

las matemáticas intuitivas que los niños aprenden a través de sus experiencias, en el contexto de

prácticas informales, y las matemáticas más formales que se aprenden en la escuela (NCTM, 2000). Baroody (1987) y Hugues (1986) introdujeron el término “matemáticas informales” para referirse a las

matemáticas intuitivas e informales que los niños de las primeras edades van recopilando a partir de

sus intereses y actividades cotidianas y que, como ya se puso de manifiesto en Alsina (2012b), son una base fundamental para ir desarrollando su pensamiento matemático. Diversos autores han analizado

las prácticas informales que asocian a la adquisición de conocimientos matemáticos informales:

Starkey y Cooper (1980), por ejemplo, indican que los niños aprenden nociones logicomatemáticas

guardando objetos, o que adquieren nociones espaciales en juegos de construcción; Anderson (1997) señala la variedad de experiencias numéricas informales en las cuales se implican niños de cuatro

años, como por ejemplo en actividades de contar, nombrar, estimar y comparar cantidades, reconocer

números escritos, sumar y restar con cantidades pequeñas, etc; y también Ginsburg, Klein y Starkey (1998) exponen algunas situaciones, como por ejemplo cuando los niños señalan la edad con los dedos

o ponen velas en un pastel, en las que interactúan con las cantidades. En todos estos trabajos previos,

como en los episodios de aula descritos en este artículo, se pone de manifiesto que los niños adquieren conocimientos matemáticos intuitivos en el marco de prácticas informales que son el fundamento para

un posterior aprendizaje formal de las matemáticas.

En segundo lugar cabe considerar que en los procesos de interpretación de las acciones de los

niños puede producirse un efecto que Brousseau (2007) denominó “efecto Jourdain”, y que se da

cuando se intelectualizan y sacralizan las respuestas y los comportamientos de los niños para “reconocer” indicios de conocimiento matemático, aunque estas respuestas y comportamientos tengan

causas, motivaciones y significados triviales. En otras palabras, puede ocurrir que quien interpreta vea

matemáticas por todas partes, mientras que los niños simplemente están jugando y no perciben los elementos matemáticos que observa el adulto por ninguna parte. Esto sería efectivamente así si en las

propuestas educativas no hubiera una planificación previa y una gestión adecuada por parte del

profesorado, como por ejemplo plantear retos que provoquen la búsqueda de estrategias o la aplicación

de técnicas para resolver situaciones problemáticas; formular buenas preguntas que conduzcan a los niños a explicar, argumentar y justificar sus acciones, a usar lenguaje matemático de forma adecuada;

realizar una síntesis e institucionalización de los conocimientos matemáticos usados, etc. En

contraposición, cuando no hay una planificación y gestión que provoque la construcción autorregulada



y progresiva de nuevo conocimiento matemático, no sólo se puede dar el efecto Jourdain en los adultos, sino que ocurre algo todavía más preocupante en los niños, y es que los resultados de

aprendizaje tienden a ser poco satisfactorios. En Alsina y López (en prensa) por ejemplo, a partir de

una muestra formada por 149 niños de 3º de Educación Infantil que han aprendido matemáticas durante tres cursos a partir de un método de enseñanza basado en el enfoque conceptual (Baroody y

Coslick, 1998), que se caracteriza a grandes rasgos por el aprendizaje de procedimientos a través de

materiales manipulativos, se ha obtenido un bajo rendimiento matemático a pesar de que, como indican Alsina y Planas (2008, p. 50), “la manipulación de materiales es en ella misma una manera de

aprender que ha de hacer más eficaz el proceso de aprendizaje sin hacerlo necesariamente más

rápido”. En este estudio los resultados se atribuyen al hecho de que no se han proporcionado las

ayudas adecuadas durante las actividades de manipulación ni se ha realizado una síntesis de los conocimientos utilizados, y se concluye que los materiales (como el resto de recursos) no son ninguna

garantía de éxito por sí mismos, sino que deben ir acompañados de una planificación y gestión

adecuadas que promuevan el aprendizaje.

Y en tercer lugar es preciso remarcar, tal como ya se ha indicado, que en la planificación y en la gestión de la experiencia descrita en la segunda parte de este artículo se han considerado las cuatro

fases descritas por Alsina (2011b, 2012b) para trabajar a partir de propuestas globalizadas. Desde este

planteamiento, en primer lugar se ha realizado una matematización del contexto que ha permitido a la

maestra establecer los contenidos matemáticos que se pueden trabajar a partir de la “construcción de montañas” y planificar a través de qué procesos matemáticos trabajarlos, dejando lógicamente margen

para la espontaneidad que conlleva la acción libre de los niños; en segundo lugar se ha establecido un

diálogo con los niños para identificar sus conocimientos previos en relación a los distintos tipos de montañas, sus formas, etc., y se han decidido los materiales que pueden ser útiles para “construir

montañas”; en tercer lugar, durante el trabajo en contexto los niños han llevado a cabo diversas

acciones -rigurosamente observadas, documentadas e interpretadas- en las que han usado distintos tipos de conocimientos matemáticos; y finalmente se ha realizado una puesta en común a partir de la

documentación realizada para que los niños comuniquen los conocimientos que han descubierto y

aprendido. Esta puesta en común ha permitido hacer una síntesis e institucionalización de los

conocimientos utilizados durante la “construcción de montañas” con el objeto de que los niños sean

capaces de reconocerlos como contenidos matemáticos que han aprendido en la escuela.

Todo ello ha contribuido, en último término, a favorecer que progresivamente los niños puedan

ir desarrollando su nivel de alfabetización y de competencia matemática, que es una de las finalidades

de la educación matemática en todas las edades.

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Angel Alsina es profesor de Didáctica de las Matemáticas en la Universidad de Girona (España). Sus

líneas de investigación están centradas en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en las

primeras edades y en la formación del profesorado de matemáticas. Ha publicado numerosos artículos

científicos y libros sobre cuestiones de educación matemática, y ha llevado a cabo múltiples actividades

de formación permanente del profesorado de matemáticas en España y en América Latina.





ISSN: 1887-1984


Un vistazo a la Biomatemática

Antón Lombardero Ozores (Centro Público de Educación Básica “El Salvador”. España)

Fecha de recepción: 5 de noviembre de 2013

Fecha de aceptación: 28 de abril de 2014

Resumen La Biomatemática, o la utilización de herramientas matemáticas para tratar aspectos de la

Biología, Medicina, Ecología o las Ciencias Ambientales, es una activa rama científica con previsible proyección en las próximas décadas. Las repercusiones positivas de la

introducción de técnicas y conceptos propios de la Matemática en el ámbito de las

ciencias de la vida son ya notables. En este artículo se presenta una breve introducción a

esta disciplina, tratándose tanto aspectos históricos como ejemplos de aplicación.

Palabras clave Biomatemática, Biología Matemática, Dinámica de Poblaciones, Modelización

Matemática, ecuaciones Lotka-Volterra, Sistema Complejo, Autómata Celular, Teoría de

Grafos, Redes Biológicas.

Abstract Mathematical Biology, or the use of mathematical tools to deal with aspects of Biology,

Medicine, Ecology or Environmental Sciences, is an active branch of Science with a

major predictable projection in the coming decades. The positive impact of the

introduction of mathematical concepts and techniques in the field of Life Sciences are

already noticeable. This article is a brief introduction to this discipline, dealing with both

historical aspects and application examples.

Keywords Biomathematics, Mathematical Biology, Population Dynamics, Mathematical Modelling,

Lotka-Volterra equations, Complex System, Cellular Automaton, Graph Theory,

Biological Nets.

1. Introducción

Un viejo chiste del ámbito de la Biología cuenta que un granjero, con intención de acrecentar

sus beneficios, solicita un estudio de su sistema de producción de leche. El trabajo es encomendado a

un matemático. Tras semanas de espera, llega una carta con los resultados del análisis. El hombre la abre ansioso, pero a los pocos segundos, indignado, la tira sin terminar de leerla. La primera frase de la

carta dice: Supongamos, para empezar, que sus vacas son esféricas…

Aunque solo sea una broma, siempre hay algo de verdad detrás. El chiste sintetiza de manera

magistral la difícil relación histórica entre Biología y Matemática. Hasta hace muy poco, la corriente principal de pensamiento en el campo de las ciencias de la vida ha defendido la inutilidad de las

Matemáticas para un análisis y comprensión profundos de la naturaleza. Tradicionalmente, la mayoría

de los investigadores han considerado la vida como algo demasiado complicado como para ser traducido a ecuaciones. No les faltaba razón. El grado de complejidad que exhiben los organismos

vivos no tiene comparación en el resto de la materia. Abarcar desde el enfoque matemático la totalidad

de los aspectos de un proceso biológico es tarea imposible, dado el incalculable número de variables


Un vistazo a la Biomatemática A. Lombardero


implicadas. Así, son obligadas las simplificaciones de la realidad, las reducciones, los resúmenes. Y en muchas ocasiones estas síntesis han sido excesivas, constituyéndose caricaturas de la realidad que

provocan en los profesionales de la Biología el mismo desengaño que sufre el granjero de nuestra

historia.

En este artículo vamos a echar un vistazo rápido a la Biología Matemática, llamada con más frecuencia Biomatemática. Se trata de una rama científica en auge y, como ocurre con la ciencia más

puntera, de marcado carácter interdisciplinario. En ella confluyen principalmente biólogos y

matemáticos, pero también investigadores de otras ramas del conocimiento, con el reto de aplicar las técnicas matemáticas al estudio de procesos biológicos. Dando un repaso a su historia, a sus métodos

de trabajo y a algunos ejemplos clásicos, para concluir con las perspectivas futuras, pretendemos

presentar una disciplina que a nuestro juicio ya ha superado sus limitaciones históricas (en forma de

vacas esféricas o engendros similares) para constituirse en una de las más emocionantes y necesarias

áreas de crecimiento científico de nuestro siglo.

2. Historia: una relación controvertida

Las formas en que la ciencia ha estudiado los mundos físico y natural han sido radicalmente

distintas. La Biología ha sido más que nada experimental. La Física también se hace en el laboratorio, pero con un uso intensivo de matemáticas avanzadas. La mecánica clásica, la relatividad, la

termodinámica, la teoría cuántica, etc., han sido reducidas a ecuaciones. Y esta fórmula de convertir

las leyes del Universo en matemáticas ha funcionado a la perfección. Cabe preguntarse si es posible algo semejante cuando tratamos de aprehender la materia orgánica, o es cierta la ley de Harvard

(prima hermana de la de Murphy), que afirma que en condiciones rigurosamente controladas de

presión, temperatura, volumen, humedad y otras variables, un ser vivo actúa como le da la gana. De ser así, la Biología sería fundamentalmente una ciencia empírica, en la que muchos resultados se

podrían obtener sin apenas base teórica; y de existir ésta, no sería de índole matemática: se llama

Teoría de la Evolución y no contiene una sola ecuación1.

No obstante, hay lugar para la esperanza. ¿No es cierto que la materia viva está hecha de materia ordinaria? ¿Y no es cierto que como tal materia ordinaria deberá estar sujeta a las conocidas leyes físico-matemáticas? Un gato, a fin de cuentas, es un conjunto de átomos. Ni más ni menos que

un cristal. La vida es tan solo una configuración especialmente compleja de los bloques constituyentes

inorgánicos habituales.

Por desgracia las cosas no son tan sencillas. La base matemática subyacente en los seres vivos es tan sutil, está tan profundamente oculta, que es una constante histórica la desconfianza de los

biólogos para con las ciencias exactas, como si existiesen ciertos principios característicos de los seres

vivos que por su complejidad no se pudiesen reducir a las toscas leyes de la Física y la Matemática.

Con todo, ha habido heterodoxos. Y uno de ellos fue el físico teórico de origen ucraniano

Nicolas Rashevsky. Asentado en Norteamérica como profesor de la Universidad de Chicago, publicó en 1938 el que se considera primer texto científico sobre Biología Matemática, y un año después crea

la primera revista especializada en el tema, The Bulletin of Mathematical Biology. Sus trabajos, de

corte eminentemente teórico, tuvieron un impacto nulo en la comunidad de biólogos de la época, a

pesar de lo cual se le considera el fundador de la Biomatemática como disciplina científica.

1 Aunque R. A. Fisher, en su Teorema fundamental de la selección natural (1930), ha traducido a una ecuación

la esencia de la Teoría de la Evolución de Darwin.




Antes que él otros ya habían dado algunos pasos en el tema de la dinámica de poblaciones, tradicionalmente el principal objeto de estudio de la Biomatemática. En la primera mitad del s. XIX el

británico T. R. Malthus y el belga P. F. Verhulst desarrollan respectivamente las ecuaciones

malthusiana y logística. Estos trabajos, un tanto ingenuos, no consideraban las muchas variables internas y externas que delimitan un crecimiento poblacional. Pero a pesar de su sencillez, sus

funciones siguen considerándose válidas para significar la evolución de epidemias, número de células

de un embrión o usuarios de una red social como Facebook. Se ha teorizado que la propia población humana parece ajustarse, en su crecimiento, a una función logística, lo cual es esperanzador ya que

esta función de crecimiento es una sigmoide, cuya importancia radica en que es una función acotada.

Otra figura clave de la disciplina es Alan Turing. Matemático, lógico, criptógrafo, científico de la computación y filósofo británico, es bien conocido tanto como precursor de la Informática como por

su notable influencia en la victoria aliada en la II Guerra Mundial2. Su trágica muerte alimenta el mito.

Turing se interesó en la Morfogénesis, los procesos biológicos que hacen que un organismo desarrolle

su particular y específica forma final. Sus ecuaciones aún son interesantes hoy en día, y salen a la

palestra en el análisis de la cicatrización de heridas o en la clasificación de tumores entre benignos y malignos. A este prodigio de la ciencia, que publicó estos estudios a principios de los años cincuenta

del pasado siglo, se le considera el introductor de la Biología Matemática contemporánea. Su trabajo

ya integraba tres de los ingredientes fundamentales de la actual Biomatemática: modelización, empleo

de ecuaciones diferenciales y utilización del ordenador como herramienta básica3.

3. Modelización, ecuaciones diferenciales y computadoras

¿En qué consiste un proceso de modelización? Un modelo matemático es una síntesis de la

realidad (en nuestro caso de una realidad biológica) que nos ayuda a entenderla. Se trata de traducir aspectos de la naturaleza al lenguaje matemático. Por lo general el resultado es un sistema de

ecuaciones, cuyas soluciones nos aportarán la información cuantitativa esencial respecto del fenómeno

estudiado. Si logramos, por ejemplo, traducir a funciones matemáticas los mecanismos de transmisión

de señales en el sistema nervioso, dispondremos de una valiosísima herramienta para comprender y controlar esos procesos. El problema es lograr una traducción adecuada y realista, que encierre todos

los elementos clave del sistema. Este es el paso crucial en el trabajo del biomatemático, y requiere de

altas dosis de imaginación, intuición y conocimientos biológicos. Además de, como es habitual en la

ciencia, un inagotable proceso de ensayo-error, hasta dar con el modelo más apto.

Inevitablemente, esta técnica conlleva una simplificación. Un modelo que pretenda ser tan

complejo como el mundo real es una utopía. Además, englobaría tantas variables y ecuaciones que

sería intratable incluso para las computadoras más potentes. Es más práctico trabajar con modelos

sencillos, sin un grado de complicación mayor que el necesario para englobar todos los factores de importancia vital. Obviamente los modelos matemáticos en Biología no ambicionan ser infalibles. Tan

solo pretenden ser útiles. Y lo serán siempre que nos proporcionen respuestas realistas, sin necesidad

de una complejidad superflua en su planteamiento.

Además de hacernos comprender mejor los procesos biológicos, los modelos nos facilitan el pronóstico de comportamientos futuros. La predicción meteorológica se basa hoy en día en el trabajo

2 Turing trabajó exitosamente en el descifrado de códigos nazis en Bletchley Park, un centro de inteligencia británico clave para el devenir del conflicto. Tras la guerra contribuyó al diseño y construcción de una de las

primeras computadoras electrónicas programables. 3 El británico fue uno de los primeros científicos que hicieron un uso cotidiano del ordenador en su trabajo.

Utilizaba el legendario Ferranti Mark I, el primer computador disponible comercialmente.



de cientos de complejas ecuaciones con las que los meteorólogos modelizan el clima. La evolución de la gripe estacional en cuanto a número de afectados también puede ser pronosticada mediante un

modelo matemático de epidemias. Y el ahorro de costes es otra ventaja. Los modelos salen muy

baratos. Si queremos cuantificar el efecto de un accidente nuclear sobre la fauna y la flora de una

región, ¿no es mejor simularlo con unas cuantas ecuaciones que masticará un ordenador?

A la hora de modelizar procesos biológicos, las expresiones matemáticas utilizadas son con

frecuencia las ecuaciones diferenciales. ¿Qué convierte a las ecuaciones diferenciales en el objeto

matemático más apropiado para modelizar fenómenos de la vida? Su propia naturaleza. La

característica principal que experimenta un proceso biológico tf es que evoluciona con el tiempo. Y

el significado matemático de la derivada tf ' es fundamentalmente el cambio de tf en función del

tiempo. Así, una ecuación en la que aparezcan derivadas de la función estudiada se convierte en la

forma natural de simbolizar un sistema cambiante.

Generalmente el resultado final no es una asequible ecuación aislada, sino un sistema con un

número de ecuaciones que va desde cuatro o cinco hasta varias decenas. Su resolución, es decir, el

encontrar las funciones tf que describan el fenómeno, no es sencilla con los métodos analíticos

clásicos. En las últimas décadas se han desarrollado paquetes de software específicos para resolver este tipo de sistemas, lo que ha convertido al ordenador en una herramienta indispensable en el trabajo

del biomatemático. Las computadoras han sido el instrumento clave para estrechar el vínculo entre

Matemática y Biología.

4. Un ejemplo clásico

Un problema típico es determinar cómo el tamaño de ciertas poblaciones animales cambia con

el tiempo. Ya hemos mencionado las excesivamente simplificadoras ecuaciones malthusiana y

logística. En el mundo real, excepto en condiciones de laboratorio muy controladas, las diferentes especies interfieren entre si; y de forma muy notable cuando establecen una relación predador-presa.

Aunque hay miles de ejemplos que se ajustan al modelo que vamos a desarrollar (tiburones-peces,

ranas-insectos, leones-cebras…) el más usual a la hora de presentarlo es el de lobos-conejos.

Las ecuaciones que vamos a exponer fueron desarrolladas de forma independiente en la década de los años veinte del pasado siglo por el norteamericano Alfred J. Lotka y el italiano Vito Volterra.

Su estudio es imprescindible para quien desee introducirse en el campo de la Biomatemática.

Denotemos por tx al número de conejos de un cierto ecosistema en el instante t , y por ty al

número de lobos. Los lobos están hambrientos de conejos, los cuales por su parte tienen comida en

abundancia. En un ejercicio de simplificación, no tan trascendente como podría pensarse, omitiremos

otros factores externos que puedan influir sobre el número de animales de ambas especies. Con estos

ingredientes, las llamadas Ecuaciones de Lotka-Volterra quedan:

tytbxtaxtx '

tytdxtcyty '

donde a , b , c y d son números reales positivos que dependen del par predador-presa particular

estudiado.




¿De dónde salen estas ecuaciones? ¿Por qué creemos que tienen sentido? ¿Para qué sirven? Las

derivadas tx' e ty' se interpretan como las variaciones respectivas del número de conejos y lobos.

Como los conejos tienen alimento ilimitado, a mayor número más encuentros sexuales y por tanto

mayor tasa de crecimiento poblacional. Esto lo representa el monomio tax . Pero los encuentros con

lobos, representados por tytbx , suponen lógicamente una disminución de su número. Por el

contrario los lobos compiten entre ellos por el alimento, así que a mayor número de ellos menor

crecimiento poblacional: tcy . No obstante, se ven beneficiados por los encuentros con conejos:

tytdx .

Establecido el sistema de ecuaciones diferenciales, el siguiente paso es resolverlo para dar con

las funciones desconocidas tx e ty que indican el número de animales de cada especie. Es aquí

cuando entran en escena nuestros amigos los ordenadores, que además de facilitar las soluciones nos

proporcionan gráficas tan ilustrativas como la que sigue:

Figura 1. Evolución de las poblaciones de lobos y conejos según el modelo Lotka-Volterra.

Observamos un comportamiento cíclico. El número de lobos aumenta si hay abundancia de conejos, pero al avivarse la competencia e irse mermando estos, la cantidad de lobos también decrece.

Posteriormente, debido a esta disminución de predadores, el número de conejos volverá a elevarse,

incrementándose también el de lobos e iniciándose así otra repetición del ciclo.

A pesar de su sencillez, el modelo clásico de Lotka-Volterra tiene valiosas aplicaciones

médicas. Su empleo en inmunología es notable, en la relación del sistema inmune con virus o con células cancerosas. También se aplica para predecir la evolución de epidemias, repoblar de especies

áreas naturales o determinar el número adecuado de tiburones y peces que cohabitarán en un acuario.

5. Presente y futuro

Pensamos que la Matemática puede aportar mucho a la Biología, y a su vez beneficiarse considerablemente de su contacto con esta. No en vano, el desarrollo de grandes áreas matemáticas del

siglo XX se debe al estímulo de comprender fenómenos biológicos. Pero las matemáticas que

intervienen son muy variadas y van más allá del paradigma de las ecuaciones diferenciales. La manera de anudarse una molécula de ADN, estudiada desde la rama topológica de la Teoría de Nudos,

provoca decisivos efectos sobre las tareas que desempeña en la célula. Las matrices surgen en los



lugares más variados, como la genética, la evolución de las especies o el análisis de las redes neuronales. La abstracta Teoría de Grupos aparece en la comprensión de algo tan terrenal como son

las diferentes formas de caminar de los animales. Encontramos la Matemática más actual al observar

que plantas, pulmones y vasos sanguíneos desarrollan estructuras fractales. Pero también nos tropezamos con la arcaica Geometría Euclídea cuando advertimos que la mayoría de los virus tienen

forma de icosaedro o de icosaedro truncado4.

En las últimas tres décadas el avance de la computación y el hallazgo de nuevos métodos de

cálculo han motivado que los biomatemáticos sean mucho más optimistas y ambiciosos. Bajo el nombre genérico de sistemas complejos se agrupan los problemas más enrevesados de la Biología

Matemática actual, caracterizados por constituirse de un número muy elevado de componentes

individuales que interaccionan entre si, de forma que el conocimiento de las partes no basta para

deducir las reglas de comportamiento del sistema global. El funcionamiento integral del cerebro, las colonias de hormigas, los ecosistemas en desequilibrio, la predicción del clima a largo plazo, el

problema de la contaminación en las ciudades… todos son sistemas complejos que con los medios de

1980 serían inabordables.

La dificultad de algunos de estos sistemas ha provocado que se sustituyan los métodos tradicionales de modelización por otros más innovadores. Uno de los más interesantes, por su

originalidad y eficacia, es el de los autómatas celulares5. Su enfoque es radicalmente diferente al de

las ecuaciones diferenciales. Un autómata celular es una simulación gráfica por ordenador de la

evolución temporal de un cierto ecosistema. Por ejemplo, la relación entre tiburones y peces en un mar: representemos en la pantalla a los individuos de ambas especies con puntos de diferente color;

establezcamos unas reglas de convivencia (cuando un tiburón se come a un pez, longevidades,

desplazamientos, reproducción…) e implementemos todo ello computacionalmente. Pulsemos el botón de play y observemos lo que va pasando en nuestro mar virtual. Veremos como cada pez y cada

tiburón se desplaza, se alimenta, muere… Dependiendo de las condiciones de partida podríamos

observar como se extinguen los peces por exceso de depredadores, como desaparecen los tiburones o quizá cómo se llega a un comportamiento cíclico de estabilidad entre ambas especies. Perdemos la

precisión cuantitativa que dan las ecuaciones, pero ganamos algo valiosísimo: una mejor comprensión

global de la evolución del fenómeno analizado.

Figura 2. Depredadores (rojo) y presas (azul) en una sencilla simulación con A.C. Estado inicial y tras 25

generaciones.

4 Efectivamente, un virus es como un balón de fútbol. 5 No está necesariamente relacionado con la idea de célula, se aplica a situaciones muy diversas.




En la línea comentada de enfocar los estudios biológicos desde un punto de vista global, debemos primero entender cómo los componentes individuales de un sistema biológico interactúan

entre sí, así como el significado biológico de dichas interacciones. Desde mediados de la década de los

90, una rama de la Topología ha sido utilizada con este objeto: la Teoría de Grafos trata los sistemas complejos reduciéndolos a componentes (nodos) e interacciones entre aquellos (ejes). Sin más

matices. En esta simplificación se pierde la riqueza funcional de cada nodo, pero a pesar de (o quizá

debido a) ella se pueden obtener descubrimientos muy interesantes6.

La concepción organizativa de la célula cambia de un mero saco de enzimas a una red de elementos altamente interrelacionados. Como en otros aspectos de la Biología, los avances iniciales se

han llevado a cabo sobre organismos modelo como levaduras, moscas o gusanos, pero los últimos

hallazgos ya tienen a la especie humana como objeto de estudio. Hasta el momento, varias redes

biológicas han sido mapeadas: en las redes proteínicas los nodos representan proteínas y los ejes ligaduras físicas entre ellas; como modelo de las interacciones entre genes surgen las redes de

regulación genética. Aquí los nodos representan genes individuales (fragmentos de ADN), y un eje,

que será unidireccional7, enlazará el gen A con el gen B si A regula la actividad de B; en una red

metabólica se describen todas las posibles reacciones bioquímicas de una célula: los nodos serán

metabolitos y los ejes enzimas que convierten un metabolito en otro; abriendo el foco más allá de la

célula, en las redes de enfermedad los nodos representan enfermedades, y dos de ellas estarán unidas

por un eje si existe alguna mutación genética causante de ambas patologías8...

Figura 3. Detalle de la red de enfermedades humana.

Los avances recientes en el mapeo de redes biológicas y los conocimientos teóricos sobre grafos

son las dos columnas que sostienen estas investigaciones. Un descubrimiento crítico de la década

6 Como muestra de ello se tiene el conocido problema de los puentes de Königsberg, resuelto por Euler en 1736 y que da origen a este campo de estudio de las Matemáticas. 7 En la terminología de la Teoría de Grafos se trata de grafos dirigidos. 8 Se ha confeccionado una red de enfermedades humanas con más de 500 nodos, cuya topología pone de

manifiesto el alto grado de interdependencia en el conjunto de los desórdenes genéticos.



anterior ha sido que las estructuras y evoluciones de estos grafos siguen siempre una serie de principios organizativos comunes: es destacable el papel que juegan los centros de actividad (hubs),

aquellos nodos con un índice de conexiones muy superior a la media. Las investigaciones apuntan a

que este tipo de nodos, además de sustentar la cohesión de la red desde el punto de vista topológico, poseen una especial relevancia biológica. En redes de regulación genética de organismos modelo

tienden a ser genes esenciales; en redes proteínicas de células humanas, aquellas proteínas vinculadas

al cáncer tienen de media el doble de conexiones que las no cancerígenas.

Además de los estudios de centralidad, otras propiedades estructurales de tipo matemático ampliamente analizadas son las distribuciones de los grados de incidencia en el conjunto de los

nodos9, las longitudes de los caminos presentes en la red

10 y los subgrafos más relevantes. Nos

detendremos en esto último.

Determinados patrones, subgrafos compuestos de entre tres y cinco nodos, aparecen en un

número considerablemente mayor del esperado (teniendo en cuenta la distribución de grados del grafo) en redes bioquímicas, neurobiológicas, ecológicas u otras. Estos subgrafos sobrerrepresentados

se han dado en llamar motifs, y a día de hoy es comúnmente aceptado que constituyen los ladrillos

básicos de las redes biológicas. En consecuencia, su identificación y clasificación ha pasado a un

primer plano.

Figura 4. Ejemplos de motifs encontrados en redes biológicas.

Lo sorprendente es que se ha comprobado que redes con funciones similares (¡biológicas o no!)

comparten los mismos motifs. Tanto el feed-forward loop como el bi-fan (ver Figura 4) han sido

encontrados en redes de regulación genética y en redes neuronales, ambas las cuales envuelven cierto tipo de procesamiento de la información. Otros tipos de redes biológicas, como las de alimentación

11,

no comparten motifs con las anteriores, pero curiosamente sí con ciertos grafos del ámbito de la

Ingeniería. En estos casos el objeto de la red consiste en facilitar un flujo de energía desde la base

9 Tienden a seguir distribuciones del tipo P(x) ≈ x-p (p>1), donde P(x) indica la proporción de nodos de grado x. 10 Parece que cumplen la conocida propiedad del mundo pequeño, o de los seis grados (en este caso ejes) de

separación. 11 En estas los nodos son especies animales y los ejes (dirigidos) indican relaciones predador-presa.




hasta la cima de la cadena, y en este caso el three-chain y el bi-parallel son los motifs más

abundantes.

Todo ello sugiere que los motifs reflejan los procesos subyacentes que se generan en cada tipo

de grafo, por lo que, siempre desde la prudencia que exige el estadio inicial en el que aún se

encuentran estas investigaciones, cabría considerar el utilizar los motifs como clasificadores de redes

en base a su funcionalidad.

En los últimos años se ha publicado un número significativo de artículos dedicados al análisis

de redes biológicas, y se han logrado importantes progresos en el mapeo e interpretación de estos

grafos. Las perspectivas para la medicina personalizada y predictiva son enormes: determinar el rol de

genes de función aún desconocida, diseñar estrategias para la contención de enfermedades infecciosas, desarrollar tratamientos más eficaces para patologías de alta complejidad (como el cáncer),

diagnosticar de forma temprana futuros desórdenes neurológicos... sin olvidar una importante

aplicación ya llevada a cabo con notable éxito: el ensamblado de las millones de secuencias de ADN

para elaborar un mapa físico del genoma humano12

.

En fin, se ha dicho que la vida es información13

. ¿Seremos capaces de codificar

matemáticamente esa información? Y si es así, ¿hasta qué nivel de detalle?14

Como ocurre con

cualquier ciencia nueva, nuestra comprensión matemática de la Biología es fragmentaria y abierta a la controversia. Sin embargo, la medida en que la Biomatemática está ampliando su impacto científico

nos hace sospechar que un entendimiento completo de la vida necesita de las ciencias exactas. Es

improbable que la Matemática domine alguna vez el pensamiento biológico tal y como ocurre en la

Física, pero creemos que el siglo XXI será testigo de la explosión de un nuevo tipo de Matemáticas

que iluminará en gran medida muchas de las grandes incógnitas de la naturaleza.

Bibliografía

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298, 824-827. Barabási, A.L. y otros (2007). The human disease network (póster). Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 104,

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12 En este proyecto se buscan ciclos eulerianos en grafos de De Bruijn. 13 La autoría conjunta de esta idea se atribuye a J. Von Neumann y a A. Turing. 14 C. H. Waddington ha planteado un (excesivamente) ambicioso proyecto: el establecimiento de un cuerpo de

axiomas de la Naturaleza del que se pudiesen deducir teoremas biológicos al modo matemático.

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Antón Lombardero Ozores. Profesor de Enseñanza Secundaria en el Centro Público de Educación

Básica "El Salvador" de Grandas de Salime (Asturias). Nacido en Oviedo en 1978, es Licenciado en

Matemáticas por la Universidad de Santiago de Compostela, y Máster Universitario en Matemáticas por

la misma Universidad. Segundo Premio del Certamen "Ensaya 2012", de divulgación científica (Univ. de

la Rioja). Miembro de la Sociedad Asturiana de Educación Matemática.




ISSN: 1887-1984


La motivación para las matemáticas en la ESO. Un estudio sobre las

diferencias en función del curso y del sexo

Javier Gasco Txabarri Jose Domingo Villarroel Villamor

(Universidad del País Vasco. España)

Fecha de recepción: 20 de junio de 2013

Fecha de aceptación: 10 de enero de 2014

Resumen Es conocida la importancia de la motivación en educación; la presente investigación

analiza este constructo psicoinstruccional en el aula de matemáticas de Educación

Secundaria Obligatoria (ESO). Para tal fin, se han estudiado las variaciones de la

motivación en función del curso académico y del sexo. La muestra empleada está

formada por 631 alumnos y alumnas de 2º, 3º y 4º de la ESO. La herramienta de medida

está compuesta por un cuestionario de autoinforme basado en el modelo de expectativa-

valor de Eccles et al. (1983) y adaptado para el aprendizaje de las matemáticas. Los

resultados indican una tendencia moderada a aumentar la motivación de 2º a 3º curso y

un estancamiento de 3º a 4º. En cuanto a las diferencias de sexo, se han encontrado

débiles variaciones en autoeficacia a favor de los chicos.

Palabras clave educación matemática, motivación, diferencias entre cursos, diferencias entre sexos,

educación secundaria

Abstract It is known the importance of motivation in education; the present research examines this

construct in math classroom of Secondary School. To this end, it have been studied the

variations of motivation in terms of the academic year and sex. The sample used consists

of 631 students from 8th, 9th and 10th grades. The measurement tool is comprised of a self-report questionnaire based on the expectancy-value model of Eccles et al. (1983) and

adapted for maths learning. The results indicate a moderate tendency to increase the

motivation from 8th to 9th grades and a stagnation from 9th to 10th. As for gender

differences, it have been found weak variations in self-efficacy in favor of boys.

Keywords math education, motivation, sex differences, course differences, secondary school

1. Introducción

Uno de los mayores retos para los docentes del presente siglo es proporcionar un ambiente que

puede estimular la motivación para aprender del alumnado (Theobald, 2006).

La motivación relacionada con el aprendizaje de las matemáticas ha sido estudiada en multitud

de niveles educativos; sin embargo, representa una variable psicoinstruccional compleja, tanto por la

multitud de enfoques y medidas que se le asocian, como por las variaciones que puede sufrir entre

diferentes disciplinas educativas (Bong, 2001).


La motivación para las matemáticas en la ESO. Un estudio sobre las diferencias en función del

curso y del sexo J. Gasco, J. D. Villarroel


La teoría de expectativa-valor (Expectancy-Value Theory), desarrollado por Eccles et al. (1983),

se encuentra entre las teorías motivacionales más relevantes debido a que se ha empleado ampliamente

como marco conceptual para explicar la motivación en diferentes disciplinas educativas. El modelo se basa en el análisis de las expectativas y el valor de la tarea percibido por el alumnado y sus

vinculaciones con el rendimiento escolar, la persistencia y la elección de estudios posteriores, entre

otros factores (Eccles y Wigfield, 2002).

Por tanto, los elementos principales del modelo se categorizan en dos: el valor de la tarea, que está relacionado con la importancia que se otorga al aprendizaje; y la expectativa, que se refiere a las

creencias acerca de la competencia educativa que tiene la persona de sí misma. En este contexto, la

expectativa coincide con el término de autoeficacia (Self-efficacy) introducido por Bandura (1977) y

que ha obtenido una gran repercusión en las investigaciones sobre motivación académica. Las personas con creencias de autoeficacia débiles pueden verse afectadas por dudas e incertidumbre,

mientras que una alta autoeficacia promueve la seguridad y los sentimientos positivos hacia las propias

habilidades.

El componente de valor incluye cuatro componentes: la importancia, el interés, la utilidad, y el coste. La importancia analiza el valor que da cada cual al aprendizaje de la materia en cuestión. El

interés, o valor intrínseco, hace referencia al disfrute que la persona obtiene al realizar la tarea. La

utilidad, o valor extrínseco, relaciona el aprendizaje con las metas personales actuales y futuras, ya

sean académicas o laborales. Por último, el coste mide los aspectos negativos que tiene implicarse en

la tarea, así como el esfuerzo que requiere y las actividades alternativas a las que debe renunciar.

La investigación previa apoya la validez de esta teoría motivacional demostrando que, tanto la

expectativa como el valor, están directamente relacionados con el rendimiento académico y con la

elección de líneas de estudio en el dominio específico de las matemáticas (Spinath, Spinath, Harlaar, y Plomin, 2006). Más concretamente, el rendimiento mantiene una relación más estrecha con las

expectativas que con el valor (Steinmayr y Spinath 2009), mientras que es el valor el predictor más

eficaz de la persistencia y de la conducta de elección de planes de estudio (Eccles, 2005a; Wigfield y

Eccles, 1992).

Los estudios realizados sobre la variación de la motivación para las matemáticas entre los cursos de Educación Secundaria no ofrecen una visión clara sobre la evolución de esta variable del

comportamiento. Las escasas investigaciones sobre el modelo motivacional de valor-expectativa que

se han realizado en la asignatura de matemáticas en este ciclo educativo (Cleary y Chen, 2009; Frederick y Eccles, 2002; Jacobs et al., 2002) parecen indicar que se da un decrecimiento a medida

que se avanza de curso; no obstante, los resultados no están exentos de matices.

Las diferencias de sexo también han sido estudiadas en el ámbito de la motivación en esta

disciplina educativa. A pesar de que estudios recientes informan sobre la ausencia de diferencias entre

alumnas y alumnos en el rendimiento en matemáticas, tanto en Primaria como en Secundaria (Hyde, Lindberg, Linn, Ellis, y Williams, 2008), los estudios no son unánimes al respecto. Las primeras

investigaciones, realizadas en los años 70, afirman que las mujeres se muestran menos confiadas en

sus habilidades matemáticas, sufren mayor ansiedad en el estudio y es menos probable que persistan

en tareas complicadas (Aiken, 1970; Fennema y Sherman, 1976).

Más recientemente, los resultados arrojan datos más complejos: se advierte de la ausencia de

variaciones en función del sexo en el valor atribuido al estudio de las matemáticas, si se tienen en

cuenta todos sus componentes (Jacobs et al., 2002); sin embargo, el análisis componente a





componente muestra que los chicos perciben mayor interés para las matemáticas (Frenzel, Goetz,

Pekrun, y Watt, 2010), aunque ambos sexos las consideran igual de útiles (Watt, 2004).

El componente de coste no se ha investigado lo suficiente como para obtener datos concluyentes

en función del sexo; de todos modos, puede ser sensible al sexo del alumnado ya que se relaciona con las emociones, tales como la ansiedad matemática y el miedo al rechazo por elegir

opciones tradicionalmente distintas al rol establecido (Eccles, 2005b).

En lo que respecta a la expectativa de autoeficacia, varios estudios indican que el sexo está

ligado a estas creencias. Concretamente, Gallagher y Kaufman (2005) señalan que los alumnos tienden

a mostrar percepciones de autoeficacia matemática más altas que las alumnas. En este mismo sentido, Vrugt , Oort, y Waardenburg (2009) indican que los chicos tienen sentimientos más positivos sobre

sus habilidades matemáticas que las chicas.

2. Objetivos

El objetivo general de esta investigación es analizar las diferencias en la motivación para las matemáticas en alumnado de Educación secundaria Obligatoria (ESO). Se indaga en las variaciones

tanto por curso como por sexo. Más generalmente, el estudio trata de ahondar en las potencialidades

de la motivación como impulsora de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, dada la

relevancia educativa de esta disciplina en Educación Secundaria.

3. Método

3.1. Instrumento de medida

La motivación académica está relacionada con las percepciones que el alumnado tiene de sí

mismo y de su entorno y que le incita a elegir una actividad, a comprometerse con ella y a perseverar en su finalización. Para el estudio de la motivación, se ha seguido el criterio de Berger y Karabenick

(2011) y el modelo de expectativa-valor. Por una parte, se mide la escala de expectativa de

autoeficacia, para la cual los ítems se han seleccionado de la escala de autoeficacia del cuestionario MSLQ (Pintrich et al., 1991). Por otra parte, se evalúa la escala de valor de la tarea que está

compuesta por cuatro categorías. Los componentes del valor de la tarea están definidos y evaluados

por Eccles y sus colaboradores (Eccles et al., 1983; Eccles y Wigfield, 1995). Todos los ítems han sido

adaptados por Berger y Karabenick (2011) para su aplicación en alumnado de matemáticas. Se ha

empleado una traducción al castellano de dicho cuestionario (ver Anexo).

Como recomiendan los autores del cuestionario original, se han agrupado los tres primeros

componentes de valor (interés, utilidad e importancia) y se ha medido el coste por separado. De esta

manera, los indicadores de motivación estudiados son tres: el valor, el coste y la expectativa de

autoeficacia.

Concretamente, el cuestionario consta de 9 ítems de la escala de valor (3 ítems pertenecientes al

interés, 3 para la utilidad y 3 para la importancia), 2 ítems que analizan el coste y 3 ítems que evalúan

la expectativa de autoeficacia

El alumnado debe responder con arreglo a una escala tipo Likert de 5 puntos (donde 1=

completamente en desacuerdo y 5= completamente de acuerdo).




3.2. Participantes

Los participantes en este estudio han sido 631 estudiantes de 2º de la Educación Secundaria

obligatoria (13-14 años), de 3º de la ESO (14-15 años) y de 4º de la ESO (15-16 años), de los cuales

292 eran mujeres y 242 hombres. Por motivos de errores u omisiones en los cuestionarios, la muestra

final se ha reducido a 598 sujetos.

La recogida de datos se ha realizado en 8 centros educativos pertenecientes a la Comunidad

Autónoma Vasca, de los cuales 5 eran integrantes de la red pública y 3 de la red privada concertada.

3.3. Análisis estadístico

Con el objetivo de estudiar las diferencias entre variables se realiza la prueba no paramétrica

para k muestras independientes de Kruskal-Wallis y la prueba U de Mann-Withney para 2 muestras independientes. Para realizar los test post-hoc se ha empleado, asimismo, la prueba no paramétrica U

de Mann-Withney. La razón de la elección de dichas pruebas no paramétricas es que los datos

recogidos no cumplen los criterios ni de normalidad ni de homocedasticidad.

En las pruebas para el análisis de dos muestras independientes, para la U de Mann-Withney, se ha calculado el tamaño del efecto (effect size), denotado por el parámetro r (Field, 2009; Rosenthal,

1991). La interpretación del coeficiente r es la siguiente: r=.10, tamaño del efecto débil; r=.30, tamaño

del efecto moderado; y a partir de r=.50 tamaño del efecto fuerte (r toma valores entre 0 y 1).

4. Resultados

Se muestran a continuación los resultados de la investigación.

En la tabla 1 se describe la distribución de la muestra:

CURSO SEXO

Mujer Hombre Total

2ºESO 104 88 192

(32.1%)

3ºESO 116 95 211

(35.3%)

4ºESO 103 92 195

(32.6%)

Total 323 275

N=598 (54%) (46%)

Tabla 1. Distribución de la muestra por cursos y sexos (N=598)

En la tabla 2 se expone el análisis de diferencias en las escalas de motivación de valor, coste y

autoeficacia en función del curso académico:





Descriptivos Prueba de Kruskal-Wallis

Escala Curso Media Desv. típ. χ² gl p

2º ESO 2.64 1.14

Valor 3º ESO 3.14 .96 22.33 2 .000

4º ESO 3.08 1.09

2º ESO 2.42 1.02

Coste 3º ESO 2.32 .94 1.96 2 .375

4º ESO 2.28 .90

2º ESO 2.54 1.39

Autoeficacia 3º ESO 3.17 1.12 23.09 2 .000

4º ESO 3.06 1.22

Tabla 2. Diferencias en las escalas de motivación en función del curso académico

Se dan diferencias estadísticamente significativas en las escalas de valor y autoeficacia. El

valor se refiere al interés, utilidad e importancia que otorga el alumnado al aprendizaje de las matemáticas. La autoeficacia mide la creencia de eficacia personal que tiene el alumnado en cuanto al

estudio de las matemáticas se refiere.

Con el objetivo de precisar las diferencias dos a dos existentes entre los cursos, se procede a

efectuar los correspondientes test post-hoc:

1) Diferencias entre los cursos 2º y 3º: Se encuentran diferencias estadísticamente significativas en las dos escalas de motivación (Valor (Z=-4.48, p<.001, r=.22, Mann Withney U-test);

Autoeficacia (Z=-4.54, p<.001, r=.23, U-test)).

En ambos casos, 3º de la ESO obtiene puntuaciones superiores a 2º, lo que indica una valoración de la tarea y una expectativa de autoeficacia en matemáticas mayor del alumnado

de 3º de la ESO.

El tamaño del efecto, representado por el parámetro r, es entre débil y moderado (.10<r<.30).

2) Diferencias entre los cursos 3º y 4º: No se encuentran diferencias estadísticamente significativas (Valor (Z=-.22, p=.831, Mann Withney U-test); Autoeficacia (Z=-.80, p=.434,

U-test)).

3) Diferencias entre los cursos 2º y 4º: Se dan diferencias estadísticamente significativas tanto en el valor como en la autoeficacia (Valor (Z=-3.69, p<.001, r=.19, Mann Withney U-test);

Autoeficacia (Z=-3.68, p<.001, r=.19, U-test)).

En ambos escalas, 4º de la ESO obtiene puntuaciones superiores a 2º.

El tamaño del efecto, representado por el parámetro r, es entre débil y moderado.




En la tabla 3 se exponen los resultados asociados a las variaciones de las escalas de motivación

en función del sexo:

Descriptivos Prueba U de Mann-Withney

Escala Sexo Media

Desviación Típica

χ² p r

Valor Mujer 2.90 1.03

2.98 .85 - Hombre 3.03 1.14

Coste Mujer 2.35 .95

.20 .887 - Hombre 2.33 .95

Autoeficacia Mujer 2.81 1.30

7.47 .006 .012 Hombre 3.08 1.23

Tabla 3. Diferencias de sexo en las escalas de motivación

Únicamente se dan diferencias estadísticamente significativas en autoeficacia (Z=7.47, p=.006,

r=.12, U-test).

Los hombres obtienen puntuaciones superiores a las de las mujeres en dicha escala.

El tamaño del efecto es débil.

5. Discusión

Los resultados obtenidos en esta investigación analizan la motivación para las matemáticas y su

variación en función del curso académico y el sexo.

Con respecto a las diferencias entre cursos, los resultados obtenidos no se ajustan a la expectativa de un decrecimiento en la motivación a medida que el curso aumenta. Sin embargo, la

motivación es mayor en las escalas de valor (el valor que se le da al aprendizaje de las matemáticas) y

autoeficacia (la eficacia percibida en matemáticas) a medida que el curso aumenta, es decir, el

alumnado de 3º de la ESO y de 4º de la ESO obtiene puntuaciones superiores en ambas escalas en comparación con el alumnado de 2º de la ESO, siendo el tamaño del efecto entre débil y moderado. En

la escala de coste no se hallan diferencias.

Los datos obtenidos en 3º de la ESO no coinciden con lo indicado por las escasas

investigaciones sobre el modelo motivacional de valor-expectativa que se han realizado en la asignatura de matemáticas (Cleary y Chen, 2009; Frederick y Eccles, 2002; Jacobs et al., 2002). No

obstante, no hay un consenso pleno sobre los cursos en que comienza a decrecer la motivación, ni

tampoco hasta qué nivel académico se mantiene dicha tendencia descendente, ni en la magnitud de las

diferencias. Se han detectado incluso incrementos en la importancia otorgada a las matemáticas en 4º

de la ESO (10º grado) (Frederick y Eccles, 2002).

La fluctuación de la motivación se atribuye a factores tanto individuales como contextuales

(Frederick y Eccles, 2002). En la transición de la Educación Primaria a la Secundaria, la competencia

se incrementa y por tanto los estudiantes son más propensos a experimentar un descenso en su





rendimiento; como consecuencia, los individuos muestran una percepción del valor menor con el fin

de proteger su autoestima (Steele, 1998).

En la misma línea, otros estudios advierten de que el cambio de ciclo educativo conlleva

percepciones del valor de la tarea y la autoeficacia negativas debido a las mayores oportunidades para realizar un aprendizaje autónomo, una exigencia mayor en la toma de decisiones y una orientación

hacia objetivos de rendimiento (Urdan y Migley, 2003). Dichos factores se traducen en conductas que

producen una merma en la motivación, el esfuerzo y la persistencia (Reeve y Jang, 2006; Zimmeman, 2000). Otros factores que influyen en la disminución en la percepción del valor y la autoeficacia son

el menor optimismo del alumnado al llegar a Secundaria, la menor atención personal, los cambios

actitudinales relacionados con la pubertad y la comparativa social entre pares (Frederick y Eccles,

2002).

Asociada al efecto que produce la comparación-competencia entre estudiantes, Zimmerman y Martínez-Pons (1990) distinguen entre autopercepción de la competencia y autoeficacia; yendo en

contradicción con otros estudios, indican que la autoeficacia va en aumento entre el penúltimo curso

de Primaria (5º grado), 2º de la ESO (8º grado) y primero de Bachillerato (11º grado). La explicación ofrecida es la siguiente: mientras las percepciones sobre el desempeño académico (autoeficacia)

crecen, la autopercepción de competencia en relación con los iguales decrece debido al efecto negativo

producido por la comparación social. Por tanto, sugieren tener en cuenta los factores que se están

evaluando.

Según algunos estudios, el descenso más acusado en la motivación en matemáticas se produce en los dos primeros cursos de Secundaria (Frederick y Eccles, 2002; Jacobs et al., 2002;); de hecho, a

partir de 2º de la ESO las diferencias tienden a desaparecer (Watt, 2004).

Según Watt (2004) y Watt et al. (2011), las características del currículo de Educación Secundaria son determinantes en la variación de la motivación en matemáticas, según un análisis

realizado desde el último curso de Primaria (7º grado) hasta 2º de Bachillerato (12º grado) en el

sistema educativo australiano. Se constata un decrecimiento del valor y la autoeficacia significativo

tanto en 1º de la ESO (8º grado) como en primero de Bachillerato (11º grado). Las razones argüidas son de carácter curricular. En ambos cursos se da un salto cualitativo en la dificultad de la materia,

mientras que los cursos inmediatamente anteriores eran fundamentalmente de repaso de los

conocimientos previamente adquiridos.

Los resultados obtenidos en este estudio podrían encajar con la explicación ofrecida en la bibliografía. El incremento del valor y la autoeficacia en 3º de la ESO puede responder a una mayor

competencia en matemáticas en general y en la resolución de problemas en particular. Los resultados

obtenidos en el apartado de resolución de problemas corroboran la diferencia existente entre 2º y 3º de la ESO en aptitud resolutoria. Es posible que en 2º de la ESO el nuevo procedimiento de resolución

algebraico todavía no esté afianzado y en 3º se consolide. El estancamiento de la motivación en 4º de

la ESO se explicaría por la creciente abstracción a la que se ven sometidas las matemáticas, lo que

puede suponer la percepción por parte del alumnado de un alejamiento de la realidad (Watt, 2004).

Sobre la escala de motivación de coste no se han encontrado estudios sobre la evolución educativa de la renuncia que supone el aprendizaje de las matemáticas de cara a realizar otras

actividades. Los resultados obtenidos en esta investigación indican que no se producen cambios en

dicha variable en los tres cursos analizados. Por tanto, el incremento del valor y la autoeficacia observados en el paso de 2º a 3º de la ESO no se corresponden con variaciones en el coste, lo que da a




entender que en esta escala no se observan los patrones evolutivos del resto de indicadores de la

motivación.

En definitiva, en Educación Secundaria, es evidente que son necesarias más investigaciones que

aclaren las causas del cambio de motivación en matemáticas y los múltiples factores involucrados en el mismo. Asimismo, sería conveniente ahondar en la evolución de la motivación en función del

contenido curricular de cada curso.

El segundo bloque sometido a estudio se ha ocupado del análisis de las diferencias de sexo en la

motivación. De acuerdo a los resultados, se concluye que tan solo existe variación estadísticamente

significativa a favor de los alumnos en la escala de autoeficacia.

En realidad, los estudios recogidos en educación matemática en Secundaria no son unánimes al respecto. Las primeras investigaciones realizadas en los años 70 muestran la relación entre la utilidad

percibida (escala perteneciente al valor de la tarea) y el rendimiento académico, señalando diferencias

entre las actitudes del alumnado en detrimento de las alumnas, que se muestran menos confiadas en sus habilidades matemáticas, sufren mayor ansiedad en el estudio y es menos probable que persistan

en tareas complicadas (Aiken, 1970; Fennema y Sherman, 1976). Más recientemente, en directa

conexión con la utilidad percibida de las matemáticas, se ha observado que los chicos muestran una mayor motivación extrínseca que las chicas (Anderman y Anderman, 1999; Midgley y Urdan, 1995;

Urdan, Midgley, y Anderman, 1998).

El informe internacional PISA 2003 (OCDE, 2005) advierte de las diferentes actitudes de chicas

y chicos. Así, aunque las chicas acceden más a la Educación Secundaria y a la Superior, muestran

menor autoeficacia matemática. Esta diferencia influye en la elección de su futuro profesional. El informe destaca que las alumnas demuestran un menor interés y disfrute en relación con la asignatura,

unos sentimientos inferiores hacia sí mismas y unos mayores índices de impotencia y estrés en las

clases de matemáticas.

En la misma línea, otros estudios indican que el sexo está ligado a las creencias de autoeficacia matemática, comprobando que los alumnos tienden a mostrar percepciones de autoeficacia matemática

más altas que las alumnas (Gallagher y Kaufman, 2005; Pajares y Miller, 1994).

El factor más sensible mencionado a la hora de abordar las diferencias en motivación en

matemáticas en Educación Secundaria es el estereotipo de género que históricamente ha impuesto que

las matemáticas sean un “dominio de los hombres” (Meece, Glienke, y Burg, 2006; Watt, 2004). Incluso aunque no haya diferencia en el rendimiento entre alumnas y alumnos, se ha comprobado que

las percepciones de valor y autoeficacia de los chicos son superiores (Eccles et al., 1993). Esta

diferencia de género ha sido amplificada por los mass media (Hyde, 2005); este refuerzo del estereotipo continúa siendo pernicioso para la confianza, la valoración y autoeficacia que las alumnas

perciben en la materia en cuestión. Las investigaciones al respecto advierten del importante papel que

juega el contexto social y educativo en la disminución de las desigualdades mencionadas (Frederick y

Eccles, 2002; Meece, Glienke, y Burg, 2006).

Como contrapunto a las diferencias mencionadas, diversos estudios indican que la brecha sexual en la motivación en matemáticas en Secundaria tiende a desaparecer, incluso no apareciendo en

algunos casos (NCES, 2004). Tanto Frederick y Eccles (2002) como Jacobs et al. (2002) encuentran

diferencias que van disminuyendo a medida que se avanza en la Educación Secundaria.





A este respecto, los resultados de este estudio van en la línea de la disminución de las

diferencias de sexo apuntadas. No se han hallado diferencias ni en el valor de la tarea ni en el coste; es

decir, las alumnas y alumnos evaluados perciben un interés, una utilidad, una importancia y un coste similares en el aprendizaje de las matemáticas. La única variación detectada, en detrimento de las

alumnas, se produce en la autoeficacia y no deja de ser leve (como indica en tamaño del efecto). Es

posible que los clásicos estereotipos de género, que han marcado la trayectoria de las diferencias

sexuales en motivación para las matemáticas, estén cambiando paulatinamente.

En esta línea y como perspectiva para investigaciones futuras, una muestra más amplia podría

esclarecer la previsible tendencia a la desaparición de desigualdades en las percepciones

motivacionales en función del sexo. Si persistieran las diferencias en las expectativas de autoeficacia,

el sistema educativo en general y los currículos científicos en particular deberían analizar cómo atajarlas. Una forma de incidir en este aspecto, tal y como apuntan diversas investigaciones, sería

eliminando estereotipos de género que históricamente han vinculado el aprendizaje de las matemáticas

(y de las ciencias en general) con el género masculino.

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Javier Gasco Txabarri. Es licenciado en Matemáticas y doctor en Psicodidáctica por la

Universidad del País Vasco-Euskal Herriko Unibertsitatea (UPV-EHU). Su área de estudio es la didáctica de las matemáticas. Actualmente, sus líneas de investigación están relacionadas con

las estrategias de aprendizaje, la motivación y la resolución de problemas en Educación

Secundaria.

Txomin Villlarroel Villamor. Es Profesor Agregado en el departamento de Didáctica de la Matemática y de las Ciencias Experimentales de la Universidad del País Vasco-Euskal Herriko

Unibertsitatea (UPV-EHU). Ha publicado multitud de artículos de investigación centrados en la

enseñanza de las ciencias y de las matemáticas.




Anexo

Cuestionario de motivación para las matemáticas (Traducción castellana del original de

Berger y Karabenick, 2011)

Notas:

1) Todas las respuestas se ajustan a una escala Likert 5 (donde 1=Completamente en desacuerdo,

2=En desacuerdo, 3=Ni de acuerdo ni en desacuerdo, 4=De acuerdo y 5= Completamente de acuerdo).

2) El orden de los ítems expuesto no se ajusta con el empleado en la prueba llevada a cabo con la

muestra.

Valor de la tarea

Interés

1. Me gustan las matemáticas. 2. Disfruto con las matemáticas.

3. Las matemáticas son emocionantes.

Importancia

1. Es importante para mí ser alguien que sea bueno en matemáticas. 2. Creo que ser bueno en matemáticas es parte importante de mi personalidad.

3. Es importante para mí ser alguien que puede razonar utilizando fórmulas y operaciones

matemáticas.

Utilidad

1. Creo que las matemáticas pueden ser útiles en el futuro porque me pueden ayudar. 2. Creo que ser bueno en matemáticas puede ser útil en el futuro.

3. Creo que ser bueno en matemáticas puede ser útil para encontrar trabajo o para ir a la

universidad

Coste 1. Tengo que dejar de hacer muchas cosas para aprender bien matemáticas.

2. Creo que el éxito en matemáticas requiere dejar otras actividades que me gustan.

Expectativa de autoeficacia

1. Creo que tendré una excelente nota en matemáticas.

2. Estoy seguro de que puedo entender los contenidos más difíciles en matemáticas.

3. Tengo confianza en que puedo aprender los conceptos básicos enseñados en matemáticas.




ISSN: 1887-1984


Comportamientos de alumnos de secundaria frente a diferentes

herramientas de evaluación del contenido función afín

Ariel Canulli (Instituto de Formación Docente y Técnica N° 5. Argentina)

Natalia Sgreccia (Universidad Nacional de Rosario y Consejo Nacional de Investigaciones

Científicas y Técnicas. Argentina)

Fecha de recepción: 15 de julio de 2013


Resumen Esta investigación se lleva a cabo con el interés de encontrar formas de evaluación que

brinden información en la acción constructiva del conocimiento propiamente dicho. Se

indaga acerca de las actitudes, comportamientos y valoraciones que los estudiantes tienen acerca de los métodos tradicionales de evaluación y los presentados en esta

investigación: diario, glosario, colección de situaciones problemáticas y proyecto,

abordados en su mayoría de manera grupal. La experiencia se realiza con estudiantes de

cuarto año del nivel secundario (16 años de edad) y con el contenido Función afín. Se

recogen evidencias que permiten obtener información sobre dimensiones emocionales,

instrumentales y matemáticas relativas al proceso de evaluación involucrado.

Palabras clave Evaluación, Escuela secundaria, Función afín.

Abstract This research is conducted in the interest of finding ways to provide information in

evaluating the constructive action of knowledge itself. We inquire about the attitudes,

behaviors and values that students have about the traditional assessment methods and the

presented ones in this research: diary, glossary, collection of problematic situations and

project, mostly addressed by a group manner. The experiment was performed with

students at the fourth-year secondary level (16 years old) and content related was affine function. We collect evidences that allow us to get information on emotional,

instrumental and mathematical dimensions on the involved assessment process.

Keywords Assessment, Secondary school, Affine function.

1. Introducción

Interesa encontrar formas de evaluación que brinden información en la acción constructiva del conocimiento propiamente dicho y no solamente la que pueden suministrar los exámenes que se toman

al final de una unidad. Este hecho es de vital importancia en el pensamiento constructivista, ya que

refleja fortalezas y falencias en los procesos tanto de aprendizaje como de enseñanza, identificando

cuestiones que se pueden revisar in situ para mejorar la práctica.

Una evaluación deficiente puede dar una aproximación errónea de la situación particular del sujeto en cuestión, pero una mala evaluación puede transformarse en una fuente de información

totalmente inexacta de las capacidades adquiridas por ese sujeto. Contribuir en el conocimiento acerca

de los comportamientos y actitudes de los alumnos frente a evaluaciones alternativas a la tradicional,


Comportamientos de alumnos de secundaria frente a diferentes herramientas de evaluación del

contenido función afín A. Canulli, N. Sgreccia


así como de las valoraciones que estas formas de evaluar le ofrecen al docente para una calificación

más amplia de sus alumnos, se constituye en el foco de interés de este trabajo.

La evaluación en las clases de Matemática no se caracteriza por ser motivo de reflexión por

parte de los docentes. Se ha naturalizado el hecho de utilizar determinados tipos de exámenes y de no contar con alguna otra forma alternativa que pueda dar indicios sobre la construcción de

conocimientos por parte de los alumnos.

Desde el enfoque tradicionalista, la evaluación se concibe como un factor de poder y dominio.

Poder y dominio que ejerce el evaluador (el docente) sobre el evaluado (el alumno) a través de

determinados tipos de exámenes (los cuales habitualmente nunca varían demasiado en su tipo) y por ser el enseñante el que determina de qué manera el alumno demostrará las aptitudes esperadas.

Generalmente, el docente es quien elabora sus herramientas de evaluación y quien determina qué

cosas son importantes o no para aprobar un examen. El alumno pareciera ser lo único que se somete a

evaluación y su influencia en decisiones referidas a la evaluación es prácticamente nula.

El reto consiste entonces en propiciar que los estudiantes tengan mayor participación en

procesos democráticos a partir de las dinámicas que se den desde las aulas de clases, particularmente

desde las de Matemática. En la medida en que ellos vivencien, desde la escuela, situaciones en las que sean agentes activos para la toma de decisiones y el desarrollo de las actividades, podrán transmitir tal

formación en su actuar y quehaceres como ciudadanos activos de una comunidad.

Surge entonces la pregunta de investigación: ¿Cuáles son los comportamientos, actitudes y

valoraciones de los alumnos de cuarto año de secundaria superior, durante y al finalizar el proceso

de evaluación del contenido Función afín a través de diferentes herramientas de evaluación?

La decisión de analizar métodos, formas o alternativas de evaluación en el contenido Función afín se fundamenta en el hecho de que se trata de un concepto que atraviesa, en mayor o menor

medida, todos los años de la escuela secundaria. Es un contenido que abarca una inmensa área de

aplicabilidad a situaciones cotidianas y familiares para los alumnos, por lo que facilita la búsqueda de

situaciones de examen alternativas a las tradicionales.

En cuanto a lo prescripto jurisdiccionalmente (Dirección General de Cultura y Educación, 2009), si bien en los años anteriores de la escolaridad se trabajó con el concepto de Función, y se

profundizó en particularmente en Funciones afines, el mismo debe ser retomado cada vez que se

aborda el estudio de Funciones más complejas. Los conceptos dominio, ceros, imagen y positividad deben ser revisados tanto en general como en las nuevas Funciones que se presentan. Se considera

importante involucrar sus distintas representaciones: mediante una tabla, un gráfico, un relato o una

fórmula, así como efectuar la conversión de un registro semiótico a otro. Se sugiere no apresurar el trabajo con Funciones específicas sin antes desarrollar conceptualmente nociones elementales para

todas las Funciones en general. Se establece que la diversidad de las situaciones planteadas, la

identificación de las variables, la elección de la escala para su representación y la lectura de gráficos

contribuyen a la construcción del concepto de Función afín.

2. Encuadre teórico

La corriente teórica desde la cual se enfoca esta investigación es la Educación Matemática

Crítica (Skovsmose, 1999), a la que le incumben: la educación dialógica y problematizadora, la

reflexión y acción, la emancipación, la competencia democrática, el conocimiento reflexivo





matemático, la relación Cultura y Matemática, la Matemática como construcción humana y social, y el docente-alumno como sujetos políticos y no solo cognitivos. El análisis de estos constructos debe

ayudar a docentes y alumnos a efectuar una reflexión práctica sobre el conocimiento didáctico del

contenido a enseñar y aprender, así como a reflexionar críticamente sobre cómo las acciones pedagógicas tienen repercusiones morales y éticas en el proceso educativo (Guerrero, 2008). Esta

investigación asienta sus bases sobre algunos de los principios básicos de la Educación Matemática

Crítica, tales como: el diálogo, la participación democrática y la reflexión crítica de todos los actores

implicados en el proceso de evaluación.

En muchas sociedades, la función de control que pueden ejercer los instrumentos de evaluación sobre los pueblos es una de las caras ocultas de la evaluación. Por la significación social que muchas

veces se le confieren a los resultados de la evaluación y sus implicaciones en la vida de los educandos,

y por utilizarse generalmente una misma forma de examinar contenidos en el área Matemática, la evaluación es un instrumento potente para ejercer el poder y la autoridad de unos sobre otros: del

evaluador sobre los evaluados. En el ámbito educativo tradicional el poder de control de los profesores

se potencia por las relaciones asimétricas en cuanto a la toma de decisiones, la definición de lo que es

normal, adecuado, relevante, bueno, excelente respecto al comportamiento de los estudiantes, a los resultados de su aprendizaje, a los contenidos a aprender, a las formas de comprobar y mostrar el

aprendizaje, al tiempo y condiciones de aprendizaje (González Pérez, 2001).

Desde la Educación Matemática Crítica se pregona por relaciones educativas democráticas, que

fomenten participaciones comprometidas de todos los implicados en el proceso evaluativo. Atendiendo al modo de evaluar y a los recursos o instrumentos que se utilizan, la evaluación ha de

romper los moldes de la homogeneidad y la uniformidad, propios del modelo productivo, para ofrecer

modelos adaptativos y polivalentes, más coherentes con una visión diferenciada e inclusiva (Bordas y

Cabrera, 2001).

Los comportamientos del ser humano son la manifestación de la motivación que el individuo presenta ante alguna situación, en este caso ante la Matemática y la posibilidad de usarla o aprenderla.

Se los considera como una materialización de las actitudes del hombre (Rivera Lara, 2011). Las

actitudes son la disposición del ánimo manifestada de forma observable como una conducta o un comportamiento. Tienen componente cognitiva, manifestada en creencias relacionadas con dicha

actitud; componente afectiva, que se manifiesta con sentimientos de aceptación o rechazo; e

intencional o de tendencia hacia algún tipo de comportamiento (Gómez-Chacón, 2000). Se puede decir que si todo comportamiento es una respuesta a una situación planteada, la actitud no es el

comportamiento, sino un indicador que permite explicar el paso de la situación que estimula la

respuesta. No es ni respuesta ni estímulo, sino una predisposición para actuar de un modo determinado

con preferencia a otro. Las valoraciones son consideradas referentes cognitivos que actúan de soporte para condicionar, de alguna manera, lo afectivo de los sujetos predisponiéndolos a actuar según ello.

Son pensadas como verdades personales, representan construcciones que el sujeto realiza en su

proceso de formación para entender su mundo, su naturaleza o su funcionamiento, y juegan un papel preponderante tanto en la generación de comportamientos y acciones específicas como en la

mediación para la comprensión de los mismos (Martínez Padrón, 2008).

Martínez Padrón (2008) establece relaciones entre los tres conceptos expuestos y se refiere a las

actitudes como: “predisposiciones o juicios valorativos, favorables o desfavorables, que determinan

las intenciones personales de los sujetos y son capaces de influir en sus comportamientos o acciones frente al objeto, sujeto o situación” (p.244). Sería desacertado considerar que en un examen entra solo

en juego el componente cognoscitivo y que las valoraciones personales quedan al margen.




Es posible reconocer diferentes concepciones de evaluación. Desde una perspectiva cuantitativa,

esta puede ser entendida como objetiva, neutral y predictiva, de manera tal que se centra en la

eficiencia y la eficacia. Desde una perspectiva cualitativa, la evaluación se centra en reconocer lo que está sucediendo y comprender qué significado tiene para las diferentes personas (Caldeiro, 2005).

Desde el paradigma crítico, adoptado en esta investigación, la evaluación no solo se centra en recoger

información sino que también implica diálogo y autorreflexión.

De acuerdo a su desarrollo histórico, García (2007) propone cuatro generaciones de evaluación en Matemática: la generación de la medida; la generación de los objetivos; la generación del juicio; la

generación del constructivismo. En esta cuarta generación la evaluación en Matemática es concebida

como una construcción mental del ser, para lo cual el evaluado solicita, reclama y limita su modalidad,

uso y alcance. En esta investigación se concibe a la evaluación como un proceso propicio para conocer las actuaciones e interpretaciones de logros personales y grupales, a fin de poder tomar decisiones

adecuadas para calibrar (mantener, enfatizar, corregir, reforzar, reorientar) el proceso enseñanza-

aprendizaje-evaluación donde el rol del evaluador está encauzado a permitir la participación activa del

alumno en la actividad evaluativa (González y Hernández, 2006).

Las técnicas de evaluación son las estrategias que pueden ser utilizadas para recabar

información sobre un alumno y responden a ¿cómo evaluar? Los instrumentos son las herramientas

físicas utilizadas por el docente para obtener información sobre los aspectos evaluados y atienden a

¿con qué evaluar? Eisner (1993) menciona algunos principios a considerar en el proceso de evaluación para la selección de instrumentos: reflejar las necesidades del mundo real, aumentar la construcción de

significado, promover el razonamiento para transferir aprendizaje, requerir el trabajo tanto individual

como grupal, permitir varias maneras de hacer las cosas, propiciar la transferencia de tareas, requerir

la comprensión del todo que trascienda las partes.

López Frías e Hinojósa Kleen (2000) presentan algunas alternativas de evaluación acorde a tales

principios:

2.1. Diarios de los alumnos

De acuerdo al perfil que históricamente se le ha dado al proceso de evaluación, la implicación

de los estudiantes en el mismo proporciona una excelente oportunidad para desmitificarlo y poder pasar algo de responsabilidad del profesor a cada uno de ellos. La autoevaluación de los estudiantes es

otro paso en esta dirección, que tiene el beneficio de la manifestación de los sentimientos y las

actitudes de los estudiantes, así como de sus procesos cognitivos. El Diario de los alumnos es una herramienta que se utiliza, principalmente, para la autoevaluación. Comprende otra forma de acceso al

pensamiento y a los sentimientos de los estudiantes donde estos escriben, en un espacio determinado,

las dudas, los aspectos que les causaron confusión y comentarios u opiniones sobre lo aprendido. Los Diarios tienen la particular virtud de desarrollar en los estudiantes la rutina de una reflexión regular

sobre su actividad y su aprendizaje matemático. Uno de los aspectos más importantes que el alumno

debe registrar son sus comentarios sobre su propio progreso académico, actitudes, capacidades y

habilidades; esto sensibiliza a los alumnos en sus propios modos de aprender.

En esta investigación, el Diario induce al trabajo sobre tres ejes fundamentales:

Relato de la actividad realizada semanalmente: el estudiante comenta brevemente lo que se

realiza en la semana. Es importante que sea el mismo alumno el que determina en su Diario la sucesión de actividades y que pueda marcar la connotación que le otorga a cada una de





ellas. Algunas preguntas para guiar el proceso son: ¿Qué hiciste esta semana en las clases de Matemática? ¿Qué tareas complementarias realizaste extraescolarmente?

Conceptos importantes que marcan esta etapa: el estudiante enumera y define con sus

propias palabras los conceptos que él considera fundamentales para el aprendizaje del tema.

Es importante que el docente no se tiente a inducir a que sus alumnos incluyan o excluyan alguna cuestión en particular. Es fundamental que el estudiante sienta total libertad para

plasmar en el Diario su jerarquización en lo que se refiere a los conceptos importantes.

Algunas preguntas para guiar el proceso son: ¿Qué aprendiste esta semana? ¿Cuáles son los

conceptos más importantes? ¿Qué entendiste por cada uno de ellos?

Desempeño personal en la clase: el estudiante vuelca en el Diario sus sensaciones y

pareceres en lo que respecta al contenido desarrollado semanalmente. Los comentarios que

se obtienen posiblemente giren en torno a la dificultad para aprender ciertos temas, al nivel

de entendimiento que logran en las clases, al grado de seguridad en la realización de las actividades propuestas, entre otros. Algunas preguntas para guiar el proceso son: ¿Cómo fue

tu trabajo esta semana? ¿Qué te parecieron los temas que se enseñaron?

2.2. Glosario de términos matemáticos

Se trata de una herramienta que le permite al alumno recopilar los términos que él crea que son

fundamentales en el desarrollo de una temática que está siendo tratada. Cada estudiante goza de la libertad para seleccionar los términos que considera necesarios y buscar definiciones alternativas o

marcadas con su propia impronta para que esta forma pueda personalizar en parte el aprendizaje. Si

bien en el Diario se pide hacer referencia a los conceptos más importantes que se abordaron en la clase, en esa instancia no se requiere una definición formal de los mismos; por el contrario, interesa

obtener una caracterización más bien informal. En cambio en el Glosario los estudiantes deben

plasmar las definiciones formales de cada término que aparezca como primordial para el aprendizaje del contenido Función afín. El docente puede aprobar o no la aparición de cada término en el Glosario

ante la consulta de los estudiantes, pero no debe inducir a la inclusión de conceptos que piense como

necesarios, ya que esto debe ser detectado por los mismos alumnos. Se destina, periódicamente, un

momento de la clase para la elaboración del Glosario.

2.3. Colección de Situaciones Problemáticas

Diariamente es necesario enfrentar problemas y conflictos a los cuales se les deben encontrar

soluciones aceptables de acuerdo al contexto. El proceso de resolver problemas implica una serie de

capacidades y habilidades del pensamiento muy importantes en Matemática (transferibles a otros ámbitos), las cuales requieren desarrollo y evaluación en la preparación académica. Actualmente los

que enseñan Matemática saben que el desarrollo de la actividad de resolver problemas merece una

atención especial. El término “resolución de problemas”, en muchas ocasiones, se fue convirtiendo en

un slogan que acompaña diferentes concepciones sobre qué es la educación, qué es la escuela, qué es la Matemática y por qué se debe enseñar Matemática en general y resolución de problemas en

particular. La resolución de problemas se ha convertido en una actividad mucho más rica que la

aplicación mecánica de un algoritmo, pues implica crear un contexto donde los datos guarden una cierta coherencia. Se han de establecer jerarquías, tales como: ver qué datos son prioritarios, rechazar

los elementos superfluos, escoger las operaciones que los relacionan, estimar el rango de la respuesta.

Para esta investigación se seleccionaron 10 actividades (luego de un recorte a la versión inicial) que conforman una Colección de Situaciones Problemáticas cuya secuenciación y complejidad es acorde al

tratamiento del tema que la docente piensa imprimirle al enseñar el contenido Función afín.




2.4. Proyectos

Para afrontar la herramienta Proyectos, aparte de demostrar sus conocimientos sobre

asignaturas específicas, se pueden evaluar las habilidades comunicativas, la capacidad para asumir

responsabilidades, tomar decisiones y satisfacer intereses individuales o grupales. La utilización de esta herramienta permite a los alumnos ser gestores de la resolución de un problema real dentro de un

ambiente de trabajo, donde el profesor actúa como facilitador de los medios de trabajo y guía

conceptual. La experiencia lograda a través del Proyecto permite dominar el conocimiento de la unidad didáctica en cuestión y la aplicación de los conceptos, experiencia que suele ser difícil lograr

mediante la forma tradicional de enseñanza-aprendizaje-evaluación. Para poder llevarlo a cabo, el

profesor comenta a los alumnos (reunidos en equipos de trabajo) algunas recomendaciones para

asegurar una realización adecuada: definición del propósito del Proyecto y su relación con los objetivos de instrucción, indicación de los materiales que pueden utilizar, los recursos necesarios, los

procedimientos y los criterios de evaluación. Estas recomendaciones también pueden ser expresadas

en las mismas consignas.

Algunas de las capacidades que se pretenden evaluar con esta técnica son:

Relación de la Matemática con otras áreas de conocimiento.

Utilización de herramientas que los alumnos consideren valiosas para el modelado de

situaciones reales (por ejemplo recursos tecnológicos).

Obtención, organización y presentación de información, de acuerdo al fin planteado en el

Proyecto.

Los Proyectos que se abordan en esta investigación relacionan el contenido Función afín con episodios de la vida cotidiana (fabricación de perchas, consumo de energía, tarifas de remolques y de

taxis). El estudiante investiga sobre el tema y trata de poner de manifiesto la relación existente a partir

de actividades que modelen la situación. La utilización de herramientas tecnológicas para la

elaboración de los Proyectos es un requisito a considerarse.

2.5. Portafolio

Se trata de una serie de

documentos del trabajo del estudiante que exhibe su

esfuerzo, progreso y logros

(Fig. 1). El Portafolio es una

herramienta que permite realizar un seguimiento del

proceso de aprendizaje tanto

por el profesor como por el mismo alumno, e ir

introduciendo cambios durante

dicho proceso. Es una forma de

recopilar información que muestra las habilidades y logros de los estudiantes, cómo piensan, cuestionan, analizan, sintetizan, producen, crean e interactúan (intelectual, emocional y socialmente)

con otros; es decir, permite identificar los aprendizajes de conceptos, procedimientos y actitudes.

Puede utilizarse en forma de evaluación, co-evaluación y autoevaluación. En este estudio, el Portafolio recopila las herramientas de evaluación antes mencionadas (Diario, Glosario, Colección de

Situaciones Problemáticas y Proyectos), atendiendo de esta manera a la diversidad pregonada.

Figura 1. Portafolio empleado en la investigación (un folio por grupo)





3. Método

Esta investigación se enmarca dentro del enfoque cualitativo-crítico de investigación educativa

(Ramírez, 2007). Se trata de abrir el diálogo en un tema (evaluación en Matemática) que generalmente

es patrimonio específico del docente. Estudia los comportamientos, actitudes y valoraciones de los

alumnos ante diferentes formas de evaluar el contenido Función afín en el cuarto año de una escuela secundaria de la ciudad de Pergamino (provincia de Buenos Aires, Argentina). Para poder comprender

acontecimientos y conductas, la investigación cualitativa opta por estudiarlos en el contexto en que

ocurren (Aravena, Kimelman, Micheli, Torrealba y Zúñiga, 2006). Aspectos como el clima que se genera en el salón ante determinado hecho, la expresión del rostro de algún alumno, la visión integral

del entorno, entre otros, suelen ser indicadores utilizados para comprender la percepción de una

situación propicia de ser analizada desde el enfoque cualitativo.

Este estudio tiene alcance descriptivo el cual -además de identificar qué ocurre, de identificar

los “por qué” y “para qué” de los hechos- busca profundizar la mirada mediante la reflexión y se orienta a la acción, a partir de la interpretación. El carácter empírico de esta investigación se ve

marcado en el objetivo de la misma: conocer comportamientos, actitudes y valoraciones de los

alumnos ante diferentes herramientas de evaluación. Se trata de caracterizar dichos comportamientos y elaborar conclusiones acerca de las actuaciones observadas. Se busca describir la estructura de los

fenómenos referidos a la evaluación en Matemática y su dinámica. Por ello se encuadra en un estudio

descriptivo longitudinal (Bravin y Pievi, 2008), ya que se analiza todo el proceso en el que se lleva a cabo la evaluación a través de las herramientas propuestas y los datos se recogen en diferentes

tiempos. Además, cabe advertir que se trata de un estudio con rasgos exploratorios, debido a que no se

han reportado investigaciones previas de interés relacionadas directamente con la temática abordada.

En cuanto a los participantes de la investigación, cabe mencionar que la misma se lleva a cabo

en cuarto año de una escuela agropecuaria de la ciudad de Pergamino. La cantidad de estudiantes que conforma el curso es de 30 (20 varones y 10 mujeres). Se trata de un grupo bastante diverso en cuanto

a los tiempos de aprendizaje e intereses. La participación en clase es una característica de los

estudiantes que vienen aprobando la materia (que son 10) y la mayoría no cumple con las tareas asignadas. Para llevar adelante este estudio el curso se dividió en 11 grupos: ocho de tres integrantes y

tres de dos integrantes. Estos agrupamientos, bajo la premisa de ser entre 2 o 3 por grupo, se realizaron

de manera espontánea por parte de los estudiantes. En la Fig. 2 se representa la distribución de los

participantes de la investigación en el salón de clases. Los recuadros numerados del 1 al 11

representan los grupos de trabajo.

Figura 2. Distribución de los participantes de la investigación, por grupo, en el salón de clases




El curso está a cargo de una profesora joven y entusiasta. Se la puede ver muy comprometida

con sus tareas y muy interesada en poder llevar a cabo esta investigación. Se desempeña como docente

en este cuarto año desde hace cinco años y, además, tiene a su cargo dos de los tres quintos años.

El método para llevar a cabo esta investigación es el estudio de caso. Se trata de un método muy útil para el análisis de problemas prácticos, situaciones o acontecimientos que surgen en la

cotidianidad, como por ejemplo lo es el tema de esta investigación: comportamientos, actitudes y

valoraciones ante diferentes herramientas evaluativas en el contenido Función afín en un curso específico. El estudio de caso, por sus peculiaridades, se convierte en un método básico de la Teoría

Crítica, que destaca la necesidad de atender a la individualidad, en las condiciones de educación en

colectivo.

Las técnicas de investigación que se aplican en las distintas fases de la investigación son

básicamente tres, siendo las dos últimas las involucradas en forma directa en este artículo:

Test de Evocación Jerarquizada. Consiste en la asociación libre que los individuos hacen a

partir de un término inductor o frase; en este caso: “la evaluación en Matemática”. Puede provocar una expresión verbal espontánea, auténtica y libre en la que aloren valoraciones

subyacentes. Con el objetivo de obtener palabras asociadas tanto a la metodología de

evaluación tradicional como a la nueva implementada aquí, el test se realizó en dos instancias: antes y después de la experiencia.

Observación de clases. Se describen mediante relatos los contextos o ambientes de trabajo

(lugar donde se desarrolla la clase), las actividades que se realizan (momentos de evaluación

del contenido Función afín), las personas que participan en tales actividades (características

del grupo en lo individual y lo colectivo) y los significados de las actividades (Función afín como contenido matemático).

Entrevista. Se aplica a los alumnos de forma abierta y no estructurada -es decir, sin

preguntas prefijadas- como cierre de la etapa de resolución de la Colección de Situaciones

Problemáticas (y no de las otras herramientas, por escasez de tiempo). La intención es promover la reflexión de los estudiantes y las preguntas a realizar a cada grupo se planifican

junto con la docente del curso de acuerdo a las falencias que se descubren en cada

producción. Por ejemplo, las que se le hicieron al Grupo 1 giraron en torno a: escritura de las

relaciones y de las expresiones funcionales; rol de dependencia e independencia de una variable para con otra; clasificación de rectas en crecientes y decrecientes; identificación de

rectas paralelas y perpendiculares a partir de una fórmula. Un buen desempeño en la

entrevista puede significar hasta un punto “bonus” para cada estudiante.

Esta investigación se desarrolla en el último trimestre del ciclo lectivo (que en Argentina comprende los meses septiembre-noviembre). Se contabilizan 13 clases, distribuidas en seis semanas,

destinadas al proceso de evaluación. La información se recolecta mediante notas manuales de campo,

audios de grabador periodístico y copias de las producciones de los alumnos; no fue posible filmar las clases (por disposición institucional). El estudio comprende cuatro fases o etapas, siendo la segunda de

ellas sobre la que se informa en este artículo:

Fase 1. Indagación de las concepciones y expectativas de los alumnos sobre las características

de la evaluación.

Fase 2. Estudio de los comportamientos del alumno frente a diferentes instrumentos de evaluación.

Fase 3. Análisis de los portafolios de los alumnos.

Fase 4. Postest.





En la fase 2 se pone en marcha el proceso de evaluación de la forma que se pretende en esta investigación. La docente enseña el contenido Funciones y les comunica a los alumnos las pautas para

que la evaluación se desarrolle de acuerdo a lo previsto. Se presencian todas las clases de la temática

Función afín, ya que la evaluación es de carácter progresivo, y se documentan los comportamientos. En equipos de dos o tres integrantes se resuelven las actividades propuestas en tres herramientas

distintas: Glosario, Proyectos y Colección de Situaciones Problemáticas. Solo se trabaja en forma

individual lo relativo al Diario. La docente es consultada y tiene influencia en las decisiones que se

toman en cuanto a la elaboración de las herramientas de evaluación antes mencionadas que, en un principio, están a cargo de los investigadores. A través de los registros de observación de clases se

identifican indicadores de interés para cada categoría de análisis y se sistematizan mediante relaciones

y clasificaciones. Para cada clase, se realiza un relato de lo acontecido y se distinguen aspectos

favorables y a mejorar, tanto de la docente como de los alumnos (Tabla 1).

Clase Nº… Fecha….... Horario…..... Cantidad de alumnos presentes…...

Aspectos Con respecto a la docente Con respecto a los alumnos

Favorables … …

A mejorar … …

Tabla 1. Matriz de síntesis de los aspectos observados que se fueron resaltando por clase

Las dimensiones de interés en el estudio, en concordancia con el tópico que analiza, son tres:

emocional, matemática e instrumental. Las categorías de análisis surgen luego de la inmersión en el campo empírico, como es propio de estudios cualitativos. A través de la observación de clases se ha

podido apreciar cuáles son aquellas actitudes, comportamientos y valoraciones que los estudiantes

manifiestan al interactuar con las herramientas de evaluación propuestas desde esta investigación. En la Tabla 2 se presentan las dimensiones y categorías de análisis de la fase 2, así como algunos

ejemplos ilustrativos.

Dimensiones Categorías de análisis Ejemplos

Emocional:

relaciones

interpersonales

propias de esta

metodología de evaluación, estados

de ánimo,

sentimientos

expuestos en

momentos

puntuales.

Reacciones ante la presentación de

las herramientas de evaluación

propuestas.

Incertidumbre.

Aceptación.

Subestimación.

Compromiso con las tareas asignadas.

Cumplimiento con las actividades.

Predisposición del grupo. Entrega de producciones.

Proceder del grupo durante el

proceso de evaluación.

Clima del aula. Tranquilidad de los alumnos.

Participación de los grupos.

Relaciones estudiante-grupo,

estudiante-docente, estudiante-

investigador.

Colaboración entre los alumnos.

Responsabilidad de los integrantes del grupo.

Respeto

Matemática: tratamiento del

contenido Función

afín y su relación

con el proceso de

evaluación

desarrollado.

Comprensión del concepto de

Función y de Función afín.

Precisión en los comentarios.

Construcción del concepto de Función.

Significatividad.

Dificultades en el aprendizaje de la

temática planteada.

Ausencia de conocimientos previos.

Realidad del grupo.

Reacciones ante diferentes

maneras de presentar un concepto.

Entendimiento de explicaciones.

Nivel de autonomía en el trabajo.

Utilización del lenguaje

matemático propio de esta unidad.

Registros de representación semiótica.

Conversiones entre registros.




Instrumental: manejo de las

herramientas de

evaluación

propuestas.

Interpretación de los enunciados

propuestos para cada actividad.

Lectura e interpretación de consignas.

Correspondencia entre las respuestas y lo solicitado.

Niveles de concreción de las

actividades.

Realización de lo propuesto.

Tiempos y momentos requeridos.

Empleo de TIC para resolver

situaciones planteadas.

Nivel de utilización de recursos tecnológicos.

Disponibilidad de las netbooks1.

Tabla 2. Dimensiones, categorías de análisis y ejemplos de la fase 2

Como técnica de procesamiento de la información se emplea la de análisis de contenido (Ander-Egg, 2003), ya que se trata de describir lo que se lee (producciones de los alumnos) o escucha

(interacciones docente-alumnos y alumnos-alumnos) sobre un asunto determinado (evaluación en

Matemática), en cierto lugar (aula) y tiempo (sesiones de clase). Recopila información que posibilita

estudiar el contenido manifiesto de una comunicación, clasificando sus diferentes partes de acuerdo con las dimensiones y categorías de análisis. Interesa el estudio de las ideas, significados, temas o

frases, y no necesariamente los estilos con que se expresan. Para una mayor profundidad, se tiene en

cuenta la función denotativa del contexto de las palabras que se emiten.

A continuación se presentan algunos extractos de los instrumentos de evaluación utilizados en la investigación de manera textual a como fueron presentados a los estudiantes. Se intercalan con las

rúbricas de calificación consideradas para cada herramienta aplicada (Tablas 3 a 6).

Diario del alumno

Se muestra la herramienta Diario correspondiente a una semana. Se presentaron tres

ejemplares del mismo correspondiente a cada una de las tres entregas que cada estudiante realizó.

Actividades realizadas semanalmente

¿Qué hicieron esta semana en las clases de Matemática?

¿Qué tareas complementarias realizaste extraescolarmente?

Conceptos importantes que se trabajaron en la semana

¿Qué aprendiste esta semana en las clases de Matemática?

¿Qué entendiste por cada uno de los conceptos enseñados?

1 En el marco del Programa Conectar Igualdad (http://www.conectarigualdad.gob.ar/).





Desempeño personal en las clases de Matemática

¿Cómo fue tu trabajo esta semana en las clases de Matemática?

¿Qué te parecieron los temas que se enseñaron esta semana?

Libre expresión: (puedes escribir lo que quieras)

Aspectos evaluados Puntaje asignado

Alumno 1 Alumno 2 Alumno 3

¿Qué hicieron esta semana en la clase de Matemática? (4 puntos) (1,1,0)2 (2,3,2) (1,0,0)

¿Qué aprendiste esta semana en la clase de Matemática? (4 puntos) (1,0,1) (3,2,1) (2,3,0)

¿Qué entendiste por cada uno de los conceptos enseñados? (5 puntos) (0,0,2) (2,1,0) (0,0,0)

¿Cómo fue tu trabajo esta semana en la clase de Matemática? (2 puntos) (2,1,0) (1,0,0) (1,0,0)

¿Qué te parecieron los temas que se enseñaron esta semana? (1 punto) (0,0,1) (0,1,0) (0,0,0)

Puntaje total (sobre 48 puntos posibles) 10 18 7

Nota de la herramienta Diario 2,1 3,75 1,46

Tabla 3. Rúbrica de calificación empleada para la herramienta Diario (completa con el desempeño del Grupo 1)

Glosario de términos matemáticos referidos al contenido Función afín

En una hoja o cuaderno anexo a la carpeta de utilización diaria de Matemática, se confecciona

el Glosario matemático relacionado al tema Función afín. En este Glosario se deben registrar los conceptos fundamentales referidos a la temática tratada. Tienen como actividad extraescolar buscar

las definiciones que crean más pertinentes para estos conceptos. Se exige citar la fuente de consulta

para la realización de la actividad. El registro de los conceptos fundamentales queda a cargo del

grupo y se realiza mientras el docente dicta su clase. Finalizada la unidad se debe entregar un

Glosario por grupo para su posterior corrección.

Concepto Definición

……..……………… ……………………………………………..………………

……..……………… ……………………………………………..………………

2 Se presenta el puntaje obtenido en cada ítem como una terna de manera tal que el primer número representa a la primera

semana, el que le sigue a la segunda y el último a la tercera.




Término

Definiciones

Correcta

1 punto

Confusa

0,50 punto

Incorrecta

0,25 punto

Incompleta

0,25 punto

Irrelevante

0 punto

Codominio Grupo 6

Coloquial Grupo 2

Conjunto/s Grupo 6 Grupo 8

Conjunto de partida Grupos 3 y 7

…

Constante de proporcionalidad directa; Creciente; Decreciente; Dependiente; Diagrama de Venn; Discreto; Dominio; Ejes cartesianos; Fórmula; Función; Función afín; Función constante; Función

creciente; Función decreciente; Función dependiente; Función lineal; Funciones; Gráfico cartesiano;

Imagen; Independiente; Lineal; Magnitud/es; Ordenada al origen; Par ordenado; Partida; Pendiente;

Perpendicular; Proporcionalidad; Proporcionalidad directa; Proporcionalidad inversa; Razón; Recta;

Rectas paralelas; Rectas perpendiculares; Relación/es; Representación gráfica

…

Variable Grupos 3 y 7

Variable dependiente Grupos 1 y 5 Grupo 6 Grupo 7

Variable independiente

Grupos 1 y 5 Grupo 6

Tabla 4. Rúbrica de calificación empleada para la herramienta Glosario (completa con el desempeño de todos

los Grupos)

Colección de Situaciones Problemáticas

Se presentan aquí tres de las 10 situaciones problemáticas consideradas en la versión final de

la Colección. En el anexo se presentan las siete restantes.

1) Escriban seis ejemplos de relaciones que les resulten familiares. Tres de ellas deberán ser del ámbito

matemático.

a) Represéntenlas a través de diagramas de Venn.

b) Identifiquen el conjunto de partida y el de llegada.

c) En las relaciones matemáticas, traten de establecer la ley que representa esa relación.

2) Dada la siguiente cuadrícula, completen el cuadro. Además, encuentren relaciones que se pueden

plantear entre los valores que aparecen en las columnas de la tabla.





Lado

l

Perímetro

p

Área

a

Puntos por lado

x

Puntos interiores

y

Puntos en la frontera

z

Total de puntos

W

1

2

3 12 9 4 4 12 16

4

5

6

7

8

3) En un laboratorio se intenta descubrir la ecuación que relacionara el crecimiento de dos cultivos

(medidos en mm) con la cantidad de fertilizante aplicada (medido en cm3). Al realizarse las mediciones se

obtienen los siguientes resultados:

Cultivo A Cultivo B

a) Observando ambas tablas, ¿qué pueden decir sobre la relación que existe entre la aplicación de

fertilizante y el crecimiento de ambos cultivos?

b) ¿Pueden afirmar que algunas de estas situaciones se tratan de proporciones directas? En caso de

haber alguna identifiquen la constante de proporcionalidad.

c) Representen ambas situaciones en un par de ejes cartesianos. ¿Qué conclusiones pueden obtener de

las mismas?

Problema 1 (30 puntos) Puntaje obtenido: 21 puntos

Cada relación correcta y

completa: 5 puntos

26 puntos

Se consideran 4 ejemplos correctos y los 2 restantes regulares.

Observaciones

En la devolución se pregunta cómo arreglarían una relación matemática donde los

conjuntos de partida y de llegada están invertidos y se corrige la forma de escritura de

los elementos de un conjunto.


Completar la tabla: 8

puntos 8 puntos

Cada relación descubierta:

3 puntos 9 puntos

Observaciones Establecen 3 de las 6 relaciones posibles entre los lados.


a) 5 puntos 2 puntos

No responden a la consigna, responden sobre la siguiente.

b) 6 puntos 6 puntos

c) 15 puntos 13 puntos

Observaciones Se marca una frase para preguntar en la devolución de los trabajos: “ambos cultivos

varían la cantidad de fertilizante a medida que va aumentado el crecimiento”.

Fertilizante Crecimiento

x y

1 2,5

2 5

3 7,5

8 20

Fertilizante Crecimiento

x y

1 2

2 4

3 8

8 22




Problema 4 (16 puntos: 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 2 + 3); Problema 5 (22 puntos: 3 + 2 + 3 + 5 + 3 + 3 + 3); Problema 6

(27 puntos: 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 6 + 3 +3); Problema 7 (23 puntos: 5 + 3 + 3 + 6 + 3 + 3); Problema 8 (51 puntos:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 8 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 4); Problema 9 (24 puntos: 15 + 9)

…



b) 3 puntos 0 punto

No responden.

Observaciones En la devolución se pregunta sobre la consigna b).

Puntaje obtenido: 172 puntos - Nota: 6,75

Tabla 5. Rúbrica de calificación empleada para la herramienta Colección de Situaciones Problemáticas

(completa con el desempeño del Grupo 1)

Proyectos: aplicación de la Función afín en la vida cotidiana

Se presenta aquí una de las cuatro temáticas que los grupos podían elegir para llevar adelante

la herramienta Proyectos. El resto de las temáticas figura en el anexo.

Costo de fabricación de perchas comunes en una fábrica de la ciudad de Pergamino

Búsqueda de información y conceptos previos

a) Definan los conceptos: Precio de Costo, Costo Fijo, Costo Variable y Costo Total.

b) Investiguen cuáles son los costos fijos que la fábrica afronta para la producción mensual de perchas.

(Esto incluye: alquileres, salarios, gastos de mobiliarios, impuestos que no se relacionen directamente

con la producción, etc.).

c) Investiguen cuál es el costo de fabricación de la producción mensual (material, insumos, uso de

electricidad u otra fuente de energía para la producción, etc.) y, también, cuál es la producción

mensual estimada.

Análisis de la información

a) ¿Cuál será el costo de producción de cada percha?

b) ¿Cuál será el precio de costo de cada unidad? Establezcan una función lineal que represente dicho

concepto. c) ¿Cuál será el Costo Total en la producción mensual de perchas?

d) ¿Se ve afectado el Costo Total por la variación en la cantidad de perchas que se fabrican

mensualmente? Expliquen.

e) Averigüen el valor de venta de cada percha. Establezcan una función lineal que represente dicho

valor.

f) Investiguen si hay diferentes precios de acuerdo a la cantidad de perchas a comprar. Planteen una

función que represente cada tarifa en caso de haberla.

g) Representen gráficamente, en un mismo par de ejes, las funciones que representen el precio de costo

y venta de las perchas. Utilicen el software GeoGebra para ello.

Problemática

¿Qué cantidad de perchas se deberá vender para que la relación costo-beneficio quede equilibrada?

¿Pueden extraer alguna conclusión relacionando este valor con la representación gráfica del punto g?





Apartado Puntaje obtenido

Búsqueda de

información


La definición de precio de costo resulta confusa.



Análisis de la

información




d) 3 puntos 0 punto

Realizan una explicación incorrecta.

e) 2 puntos 2 puntos

f) 2 puntos 0 punto

No consignan precios especiales o descuentos concretos por cantidad.

g) 8 puntos 8 puntos

Problemática 6 puntos 6 puntos

Total 38 puntos 34 puntos - Nota: 8,95

Tabla 6. Rúbrica de calificación empleada para la herramienta Proyecto (completa con el desempeño del Grupo 3)

En la Tabla 7 se muestra la rúbrica de calificación general -contemplando todas las

herramientas- empleada.

Herramienta

Estudiante 1 Estudiante 2 Estudiante 3

Nota en la

herramienta

Nota

final

Nota en la

herramienta

Nota

final

Nota en la

herramienta

Nota

final

Glosario (13%) 7,75 1,01 7,75 1,01 7,75 1,01

Diario (16%) 2,10 0,34 3,75 0,60 1,46 0,23

Colección de Situaciones problemáticas +

Entrevista (58%) 6,75 3,92 7 4,06 7 4,06

Proyecto (13%) 8,37 1,09 8,37 1,09 8,37 1,09

Total 6,36 6,76 6,39

Tabla 7. Rúbrica de calificación global empleada en la experiencia (completa con el desempeño del Grupo 1)

4. Resultados

A continuación se sintetizan los aspectos favorables (Tabla 8) y a mejorar (Tabla 9) observados

en cada una de las clases del proceso de evaluación transitado.

Clases Con respecto a la docente Con respecto a los alumnos

1

Buena predisposición para aceptar

sugerencias durante el desarrollo de la

clase.

Buena predisposición para trabajar. Ausencia de acciones que

demuestren que se intentan copiar. Ausencia de actitudes que

demuestren nervios.

2 Ídem Clase 1. Ídem Clase 1 + Preocupación de los que estuvieron ausentes por

“ponerse al día”.

3


sugerencias previas al desarrollo de la

clase.

Ídem Clase 1 + Reflexiones espontáneas acerca de esta

metodología de evaluación. Discusiones de temáticas referidas a

la resolución de los problemas.




4

Buena predisposición para oír

sugerencias diversas aunque estas no

sean aplicadas.

Buena predisposición para intentar comprender un tema ante la

ausencia de conocimientos previos fundamentales. Buena

predisposición para trabajar en las actividades e intentar

resolver los problemas a pesar del poco tiempo asignado.

5

Comentarios positivos sobre la forma

de trabajo. Aparición de situaciones

significativas para los estudiantes al

momento de presentar un concepto.

Ídem Clase 1 + Clima áulico cordial y distendido. Discusiones

de temáticas referidas a la resolución de los problemas. Ritmo

de trabajo óptimo, se mejoran los tiempos con respecto a las

clases anteriores.

6


sugerencias y conversar sobre los

pasos a seguir. Flexibilidad para

modificar la Colección de Situaciones

Problemáticas adecuándola al grupo.

Buena predisposición para trabajar. Ausencia de actitudes que

demuestren nervios. Comprensión del tema que se explica.

7 Buena predisposición para afrontar

los imponderables suscitados. Entusiasmo para afrontar esta nueva etapa.

8

Compromiso al proponer una

organización de tiempos y tareas.

Buena predisposición para adaptar las

herramientas de evaluación al curso.

Comprensión de los temas enseñados en esta clase. Realización

de los ejemplos propuestos por la profesora de manera correcta.

9 Interés por cumplir con los objetivos planteados para la clase.

Disminución en la frecuencia de consultas sobre dudas e

inquietudes. Utilización espontánea de un software matemático

por parte de un grupo. Compromiso, en general, al buscar la información requerida para realizar los Proyectos. Trabajo

auspicioso, en general, de los grupos al resolver los problemas.

Resolución de actividades que habían quedado incompletas.

10 Buena predisposición para comprobar

la validez de los datos encontrados.

Cumplimiento de la mayoría de los grupos con los pedidos

realizados. Casos donde se evidencia sentido de pertenencia y

responsabilidad para con la tarea asignada.

11

Participación activa en la supervisión

de tareas. Interés y entusiasmo en la

tarea desempeñada.

Dudas e inquietudes presentadas en menor medida de lo que se

esperaba. Maduración en el aprendizaje del tema, utilización de

vocabulario apropiado para referirse a conceptos específicos.

Demostración de interés y entusiasmo para utilizar las netbooks

en el ámbito matemático.

Buena labor, en general, de los grupos al abordar las consignas.

12

Interés por participar de las

devoluciones a pesar de los

inconvenientes.

Cumplimiento en la entrega de las gráficas. Tiempo propicio

empleado para las defensas.

13 Ídem Clase 12. Tiempo propicio empleado para las defensas. Relación muy

agradable con el investigador al momento de las devoluciones.

Tabla 8. Aspectos favorables observados clase a clase durante el proceso de evaluación

Clases Con respecto a la docente Con respecto a los alumnos

1

Referencia insuficiente a instalar esta metodología de

evaluación en el futuro lo que, quizás, llamaría la

atención de alumnos que ya se llevan la materia.

Demanda excesiva a la docente para comprobar

resultados.

2

Introducción del tema “Funciones definidas por

tablas y por fórmula” sin ninguna carga de sentido o

realidad. Intervención excesiva en consultas

realizadas para completar la segunda actividad.

Desconcentración en dos estudiantes de dos

grupos diferentes, no trabajan a la par de sus

compañeros. Ausencia de grupos completando el

Glosario o el Diario.

3

Explicación de un tema a partir de una tabla

desprovista de significados, lo que crea una

desconexión entre el tratamiento del tema a explicar

Lentitud en la realización de actividades, debido

a la deficiente base de conocimientos previos que

el grupo tiene sobre el tema función. Conceptos





y la resolución de los problemas. Pasividad al no

tomar medidas disciplinarias con los estudiantes que

impiden el normal desarrollo de la clase.

que fueron pensados como un repaso deben ser

enseñados en toda su dimensión.

4

Explicación de un tema de manera desprovista de

significatividad, creando una disociación entre la forma de explicar y la de evaluar.

Ausencia de conceptos previos que resultan

clave para el desarrollo de la unidad.

Protagonismo limitado del Diario de clases y del Glosario.

5

Exclusión de alumnos que no vienen trabajando al permitirles utilizar las netbooks para jugar,

suponiendo que continuarán con las mismas

actitudes observadas durante el ciclo anterior.

Aparición de dificultades por la ausencia de

conocimientos previos fundamentales para el

tema.

6 Presentación de los temas a partir de tablas y

fórmulas desprovistas de significatividad.

Actitudes sospechosas por parte de una alumna

que se había ausentado en clases anteriores, que

estarían denotando la copia de algún enunciado

para traerlo resuelto desde su casa.

7 No se observan aspectos a mejorar referidos a la

intervención de la docente.

Actitud indiferente de los grupos que venían sin

trabajar ante una nueva propuesta.

8

Escaso seguimiento sobre las herramientas Diario y

Glosario. No se realiza ningún comentario sobre

cómo están llevando adelante la resolución de las

mismas.

Asistencia a clase. Recién hoy se tiene al curso

completo, aunque solo sean 45 minutos ya que

varios estudiantes llegan tarde sin que haya algún

motivo. Escasa referencia por parte de los grupos

sobre los datos que debían obtener para la

realización de los Proyectos.

9

Escaso seguimiento sobre las herramientas Diario y

Glosario. Se realizan aislados comentarios sobre

cómo están resolviendo las mismas.

Retraso en la entrega de los Diarios y Glosarios.

No se observan demasiados alumnos

completando el Diario.

10 Negación a trabajar con nuevas tecnologías. Glosarios incompletos a simple vista.

11 Ausencia de vínculos y conocimiento sobre

softwares matemáticos.

Utilización de las netbooks para incorporar al

trabajo activo a algunos alumnos desinteresados.

12

La falta de tiempo por el ajustado calendario que

resta para concluir el año académico conspira contra

el adecuado desarrollo de las entrevistas dificultando

la participación plena de la docente.

Dificultad para escuchar a los estudiantes que

realizan la defensa a causa del bullicio de la

clase.

13

Participación escasa en las defensas. No se buscan

alternativas para mejorar este aspecto a pesar de la

experiencia suscitada en la clase anterior.

Ídem Clase 12.

Tabla 9. Aspectos a mejorar, observados clase a clase durante el proceso de evaluación

En lo que sigue se describe brevemente lo observado en función de las dimensiones y categorías

de análisis del estudio (Tabla 2).

4.1. Dimensión emocional

Reacciones ante la presentación de las herramientas de evaluación propuestas. En líneas generales la recepción de las herramientas de evaluación por parte del grupo-clase fue buena. En los

primeros momentos se observó algo de incertidumbre en los estudiantes en lo que se refiere a la

manera en que serían calificados al culminar la unidad. Algunos se precipitaron al emitir opiniones o

juicios de valor sobre las herramientas presentadas (con frases del tipo “¡prueba a carpeta abierta!”: clase 1). Luego de trabajar durante un par de jornadas, algunos alumnos emitieron opiniones

favorables sobre la metodología de trabajo (“no me pongo nervioso”, “no estás esperando que llegue el

momento de la prueba”: clase 3; “profe, si hubiera sido así el año pasado capaz que no me la llevaba”: clase 9). La recepción por parte de la docente también fue buena. En alguna ocasión se acercó al




investigador que asistió a las clases, mientras los estudiantes trabajaban, para realizar comentarios

positivos con respecto a la forma de trabajo (“me siento muy a gusto con esta forma y a los alumnos

también se los ve muy bien”: clase 5). También se percibió cierta subestimación por parte de algunos estudiantes con respecto a las herramientas Diario y Glosario, ya que transcurridas las primeras clases

no se los veía trabajar en ellas. De acuerdo a esto, el investigador le sugirió a la docente, en reiteradas

ocasiones, que les recordara la importancia de las mismas.

Compromiso con las tareas asignadas. El nivel de compromiso de los grupos con las tareas asignadas fue bueno. En general, la docente durante la clase proponía la realización de determinadas

actividades que los estudiantes debían llegar a concretar. Se presentaron ciertas situaciones donde las

dificultades para resolver dichas actividades llevaron a que quede alguna consigna sin cumplir (clase

2, clase 3). En general, la predisposición del grupo para abordar las tareas asignadas fue muy gratificante. Quizás la situación que, a priori, se presentó como más probable para que los estudiantes

no cumplan con alguna exigencia fue la de poder conseguir la información requerida para encarar los

Proyectos. A pesar de esta presunción, la mayoría de los grupos satisfizo lo requerido en tiempo y forma (clase 10). Se pueden citar algunas situaciones puntuales con respecto al incumplimiento de

algunas tareas asignadas: un grupo olvidó llevar los comprobantes del consumo de electricidad

exigidos para resolver la actividad encuadrada en la herramienta Proyectos (clase 10); se retrasó en

algunos días la entrega de los Diarios y Glosarios de algunos grupos (clase 9).

Proceder del grupo-clase durante el proceso de evaluación. El clima del aula en el que se llevó a cabo el proceso de evaluación fue muy bueno (clase 3, clase 5). La ausencia de nervios o situaciones

que demostraran intranquilidad fue una constante a lo largo de toda la investigación. Resultaría

improbable que algún grupo pueda justificar un mal desempeño o mala calificación por estos motivos. Ni siquiera en el momento de la realización de las entrevistas se percibieron estudiantes nerviosos o

impacientes (clase 13). Se puede señalar como aspecto negativo la “no” participación de dos grupos

(cinco estudiantes) en el proceso de evaluación. Esta situación llevó a que en varias ocasiones se adviertan las molestias que estos alumnos originaban en la clase, interrumpiendo explicaciones de la

docente y generando situaciones de tensión entre ellos y la profesora (clase 3, clase 5).

Relaciones estudiante-grupo, estudiante-docente, estudiante-investigador. La relación

estudiante-grupo al que pertenecía fue buena. En general, no se observaron casos donde algún

integrante no participara activamente de las tareas asignadas; solo se puede citar algún caso aislado (una alumna que se encontraba sola por haber faltado sus compañeros de grupo: clase 2). También en

esa clase sucedió una situación bastante particular donde quedó en evidencia la predilección de un

estudiante por el bien común del grupo en lugar de un logro personal. Una característica propia del tipo de evaluación propuesta que favoreció y estimuló esta relación de pertenencia fue que los grupos

debían estar compuestos por los mismos estudiantes a lo largo del proceso de evaluación. Esto, sin

dudas, llevó a que cada integrante del grupo asuma parte de la responsabilidad y sea consciente que el

beneficio personal redundaría a partir del beneficio grupal. En la relación estudiante-docente no se observaron comportamientos distintivos a los que pudieran suceder en cualquier clase, en el sentido de

trato, respeto, proceder de la misma, entre otros. Lo único que se podría mencionar como distintivo es

que en las primeras jornadas se consultó a la docente de manera excesiva con el objetivo de comprobar resultados (clase 1, clase 2). La relación estudiante-investigador creció significativamente con el correr

de las jornadas. De acuerdo a las percepciones del investigador, en las primeras jornadas los

estudiantes lo hicieron sentir como alguien que venía a controlar la clase. Al notar la mirada del investigador sobre algunos de sus actos, los jóvenes deponían la actitud o se excusaban pidiendo que

lo observado no forme parte de algún informe que se muestre a las autoridades. Con el paso del tiempo

se incorporó al investigador activamente a la cotidianeidad del aula (clase 3), observándose claramente

que las consultas referidas a conceptos matemáticos eran dirigidas a la docente, mientras que las dudas propias del procedimiento de evaluación se dirigían hacia él. En las últimas clases el investigador, por





pedido de la docente, se hizo cargo de la explicación sobre la utilización de un software matemático (clase 10) y de llevar adelante las devoluciones de la Colección de Situaciones Problemáticas (clase

12, clase 13). Cuando el trabajo de campo culminó, la relación del investigador con los estudiantes era

prácticamente la de un profesor con sus alumnos.

4.2. Dimensión matemática

Comprensión del concepto de Función y de Función afín. En las primeras jornadas, la palabra

“función” no se concebía como un concepto importante. Los primeros comentarios que el investigador

escuchó con relación al tema no demostraron precisión alguna sino que eran ideas vagas de alguna

actividad que se haya podido realizar en el pasado. Esta característica quizás se debía al escaso tratamiento que los estudiantes habían tenido del tema en los años anteriores. La docente afrontó la

explicación de este concepto a través del manejo de relaciones entre conjuntos. A pesar que se

esperaba afrontar la noción de “función” como un repaso, la marcada ausencia de conocimientos previos llevó a que sea tratado como un concepto nuevo. La forma de construcción del concepto

Función afín no fue, quizás, la más indicada según el parecer del investigador. La docente optó por

presentar tablas, desprovistas de significados, para introducir casi la totalidad de conceptos

presentados (clase 2, clase 3, clase 4, clase 6). Solo se observó que en una oportunidad la profesora introdujo un tema a partir de situaciones más significativas y, por sobre todo, en la misma sintonía que

las actividades propuestas en la Colección de Situaciones Problemáticas (la docente les dijo a los

alumnos que su maletín tiene un compartimento mágico, ya que si ella introducía $1 de él se extraían

$2: clase 5).

Dificultades en el aprendizaje de la temática planteada. Como se mencionó anteriormente, la

ausencia de conocimientos previos fundamentales para afrontar el estudio de la Función afín resultó

muy notoria. Esta característica llevó a que, en una decisión compartida, la docente y el investigador

debieran acordar en “recortar” la Colección de Situaciones Problemáticas seleccionando y

modificando problemáticas que mejor se adaptaran a la realidad del grupo (clase 3, clase 4, clase 5).

Reacciones ante diferentes maneras de presentar un concepto. Mientras que durante las

explicaciones y ejemplos propuestos por la docente no se observaron mayores inconvenientes en su

entendimiento, al enfrentarse a las situaciones problemáticas los alumnos requerían la ayuda de la profesora para que los oriente en cómo poder transformar estos enunciados a los algoritmos que

acostumbran trabajar. Se considera que esta característica es fruto de la disociación planteada en algún

momento entre la metodología propuesta en el marco de esta investigación y la forma en que la docente abordaba las explicaciones y ejemplos. En las primeras clases fue donde más se observa esta

tendencia (clase 1, clase 2). Con el pasar de las jornadas, cada grupo se hizo más autónomo hasta

llegar a los Proyectos donde se observó que la manera de trabajar era muy diferente a la de los

primeros encuentros.

Utilización del lenguaje matemático propio de esta unidad. El empleo de términos matemáticos propios y relacionados a las Funciones afines resultó bueno. Un aspecto positivo que se pudo observar

sucedió cuando se intentó “traducir” lo que una situación problemática planteaba a las estructuras que

se trabajan normalmente en clase. La identificación de conceptos resultó más sencilla durante las explicaciones o ejemplos derivados de ellas que cuando se enfrentaban a problemáticas propias de las

herramientas de evaluación. Por ejemplo, durante la clase el término “pendiente” se escuchó muchas

veces, en cambio cuando se trabajaba en los problemas esta palabra se reemplazaba por alguna otra

que la situación en cuestión demandara (inclinación, consumo, parte que irá variando). Los momentos de trabajo con el Glosario permitieron apreciar una cuestión interesante cuando el grupo debatía acerca

de la inclusión o no de determinados conceptos y si alguno de los que ya tenían consignados eran o no




sinónimos de los que se proponían para agregar. Por ejemplo, en un grupo sus integrantes se

preguntaron sobre la inclusión o no del término “dominio”, ya que en el Glosario el grupo tenía

consignado el concepto “conjunto de partida”. Aquí también la ausencia de conocimientos previos incidió notoriamente en el manejo de gráficos cartesianos. Solo un estudiante recordaba haber

trabajado alguna vez con representaciones en un par de ejes cartesianos. De acuerdo a esto, la docente

debió abordar esta temática como algo nuevo. Esta situación planteada, sumada a que en las primeras clases las representaciones gráficas consumían excesivo tiempo (clase 3), resultó disparadora para

realizar el recorte en la Colección de Situaciones Problemáticas. En las últimas actividades se pudo

apreciar una mejora considerable en el manejo de los gráficos, aunque en alguna en particular se

encontraron dificultades para representar lo que la situación demandaba (el problema 7 se refiere a

consumos -pendientes negativas- y la mayoría representa en primera instancia funciones crecientes).

4.3. Dimensión instrumental

Interpretación de los enunciados propuestos para cada actividad. Algo de lo que habitualmente

reniegan los docentes en las clases de Matemática es la falta de lectura e interpretación de las consignas por parte de los estudiantes. Este caso no fue la excepción. La mayoría de las preguntas

referidas a cuestiones propias de las herramientas de evaluación propuestas (dudas en las consignas,

plazos de entrega, organización de las respuestas) se realizaron al investigador, mientras que las

referidas a lo propiamente matemático se dirigieron a la docente (clase 3). En cuanto a cada herramienta en particular, la Colección de Situaciones Problemáticas generó inquietudes esperables sin

presentar algún obstáculo considerable en la interpretación de las consignas. El Glosario y los

Proyectos tampoco presentaron dificultades que valgan la pena ser remarcadas. El caso del Diario resultó muy curioso. Continuamente la docente y el investigador aclaraban las consignas sin que nadie

lo requiera para evitar que las respuestas consignen datos superfluos e innecesarios. Así y todo, la

corrección de esta herramienta permitió distinguir infinidades de respuestas que no se correspondían

con lo que las consignas demandaban.

Niveles de concreción de las actividades. En general, el nivel de concreción de las actividades

fue óptimo. La demanda de tiempo para su realización, en cambio, fue mayor al estipulado (clase 3).

Se presume que si se hubiera respetado la original Colección de Situaciones Problemáticas (sin

efectuar los recortes mencionados), el nivel de concreción hubiera sido menor ya que algunas de las actividades que fueron removidas eran más complejas y más extensas, por lo que hubiesen demandado

más tiempo para su realización. Solo en pocas oportunidades algún grupo no pudo concluir el trabajo

estipulado para una determinada jornada, por lo que utilizaron otro momento de una clase venidera para completar lo que quedaba sin resolver (clase 9). En cuanto al Glosario y al Diario, se dio la

posibilidad a los estudiantes de llevarse estas herramientas a sus casas para que puedan completarlas y

no existiese la excusa de no haber realizado lo requerido por falta de tiempo (clase 3). Las entrevistas

se concretaron en su totalidad a pesar de los inconvenientes que se afrontaban por esos momentos (realización de un repaso para la instancia institucional de evaluación integradora: clase 12, clase 13).

La realización de los Proyectos tampoco presentó dificultades significativas para concretar lo

requerido en las consignas. En términos generales, el momento de aplicación de la investigación (último trimestre) llevó a que los tiempos debieran ajustarse y optimizarse de la mejor manera, y se

excluyeran algunas actividades que habían sido planificadas con anterioridad: debates o grupos de

discusión, entrevistas personales, defensa de todo el Portafolio incluyendo las herramientas que

quedaron marginadas (Glosario, Proyectos).

Empleo de TIC para resolver situaciones planteadas. Si bien en la realización de los Proyectos

se utilizó el software matemático GeoGebra con muy buenos resultados, el nivel de utilización de

recursos tecnológicos no fue el que se presumía en los momentos en que se planificaba esta





investigación. La causa principal radicó en que a los estudiantes les entregaron las netbooks cuando la investigación ya se había iniciado (clase 5). Previo a este hecho, cuando se consultaba sobre la posible

entrega, ninguna autoridad arriesgaba una fecha estimativa. A pesar de ello, y con la investigación en

curso, se intentó aprovechar este recurso en algún tramo del proceso de evaluación encontrando su lugar en la realización de los Proyectos. Para que los estudiantes puedan utilizar el GeoGebra en las

tareas demandadas, el investigador les explicó su funcionamiento a pedido de la propia docente (clase

10, clase 11). No se observaron inconvenientes mayores en la utilización de este recurso tecnológico,

solo algunos problemas con la sintaxis o las escalas (clase 11). Se percibió que los dos grupos de estudiantes que venían sin participar manifestaron cierto interés cuando se anunció que se trabajaría

con un software matemático (clase 11). Un aspecto a considerar, que sorprendió gratamente al

investigador, fue la utilización de un software por parte de un grupo para comprobar errores en las gráficas contrastando sus construcciones con las realizadas en su computadora (clase 9). Esta situación

se dio por propia iniciativa del grupo y llevó a reflexionar a la docente y al investigador acerca de los

beneficios y desventajas de la utilización de estos programas.

5. Conclusiones

Se presentan algunas premisas que se desprenden de la investigación realizada:

Repensar la evaluación en Matemática en el transcurrir de la misma. Uno de los aspectos

favorables que emergen de esta investigación es la posibilidad de modificar las actividades durante el

proceso mismo de evaluación. En las primeras clases donde se trabajó con la Colección de Situaciones Problemáticas, la docente y el investigador advirtieron una notable ausencia de conocimientos previos,

lo que hacía retrasar el desarrollo planificado de las clases y, consecuentemente, del trabajo de campo

de la investigación. De acuerdo a esto, decidieron modificar algunos enunciados que hubiesen resultado complejos para los estudiantes y los reemplazaron por otros más acordes a la realidad del

grupo. Además, la falta de tiempo disponible hizo que se deba recortar dicha Colección, reduciendo la

cantidad de actividades de 12 a 10. Esta posibilidad de reestructurar una herramienta de evaluación mientras se desarrolla permite que el docente pueda seguir ajustando la elaboración de la misma de

acuerdo a las necesidades emergentes, ya sea por actividades poco adecuadas al grupo o por la

cantidad de tareas asignadas.

Atender al momento de realización del trabajo de campo. El momento de aplicación de la

metodología de evaluación en el marco de la investigación también es un factor no menor y en este

estudio no ha sido justamente el más auspicioso. A pesar de conocer las características de las

investigaciones empíricas, las cuales se desarrollan en contextos reales de acción, se señala que el

inminente cierre del ciclo lectivo y las obligaciones con las que la docente debía cumplir en ese tiempo actuaron como aspectos desfavorables para el desarrollo de la investigación como estaba previsto. Una

de las actividades que se vio afectada por estos inconvenientes fue la entrevista que se realizó a cada

grupo, que ofrecía la posibilidad de aumentar la nota obtenida en la resolución de la Colección de Situaciones Problemáticas si conseguían corregir o completar consignas erróneas o incompletas. En

esta instancia del proceso, la docente debía llevar adelante el repaso para la evaluación integradora

(requerida institucionalmente), por lo que no participó de manera activa en las conversaciones mantenidas con los estudiantes. La falta de tiempo también hizo que no se pueda establecer un debate

formal o premeditado sobre la forma de evaluación empleada una vez finalizada la experiencia.

Hubiese sido muy auspicioso poder conversar entre todos los actores involucrados en este proceso

sobre cuáles fueron los puntos fuertes y débiles si se quisiera aplicar esta metodología en años posteriores o en otras asignaturas. Otro aspecto relacionado al momento de aplicación de la

investigación fue que casi un 20% del total de los alumnos decidió no participar del proceso, alegando

que ya habían desaprobado la materia y obtener una buena nota en el último trimestre no modificaba




su situación al respecto. A pesar de intentos de la docente y el investigador por convencerlos, estos

alumnos no modificaron su posición. Esto a su vez da indicios de la fuerza de la tradición en “el

aprobar” por sobre “el aprender”.

Abrirse hacia nuevas formas de expresar el conocimiento. La idea de abrir nuevos

caminos de expresión del conocimiento matemático fue cumplida de manera parcial. Esto es razonable

si se tiene en cuenta que tal apertura involucra un proceso progresivo. La realización de las entrevistas

se destinó solo a corregir o completar consignas de la Colección de Situaciones Problemáticas sin que se permitiera “defender” el resto de las producciones. El motivo alegado para no extender la defensa a

las otras herramientas de evaluación fue la falta de tiempo para contemplar todas las producciones de

todo el curso. De todas maneras, se ha podido observar que casi un 70% de los alumnos elevó en alguna medida sus notas a partir de correcciones o aclaraciones realizadas en las entrevistas. La

utilización del Diario, como herramienta de autoevaluación, no fue tan productiva como se esperaba.

Entre los motivos se halla, quizás, el poco incentivo brindado por la docente para que los alumnos lo

completasen. En el transcurso de las clases el investigador resaltaba este comportamiento e intentaba persuadir a la profesora para que los reclamos sobre la importancia de esta herramienta fueran más

frecuentes. La errónea interpretación de las consignas de esta herramienta también se hizo notar en las

correcciones realizadas. Respuestas repetidas a preguntas diferentes o argumentos sin conexión a lo que se requería dejan entrever que se ha puesto muy poca voluntad para tratar de interpretar las

consignas. Una alternativa factible para la implementación del Diario podría ser la utilización del

mismo a lo largo de todo un trimestre, ya que permitiría al docente conocer los conceptos asimilados en esa etapa y contrastarlos con los resultados de las evaluaciones tradicionales propuestas para el

mismo período de tiempo.

Generar un clima distendido. Una constante a lo largo de toda la investigación fue el clima

distendido, en el sentido de ausencia de nervios o ansiedad, que se pudo apreciar durante cada momento de evaluación. Sin dudas este ha sido el aspecto más resonante de la investigación. Si bien la

docente aclaraba continuamente que con cada herramienta utilizada estaban siendo evaluados, los

estudiantes no demostraron situaciones de nerviosismo o ansiedad ni siquiera en las entrevistas donde en el mayor tiempo se encontraron solos con el investigador. En varios momentos el investigador se

detuvo a observar el aula en toda su magnitud y concluyó que en muy poco se parecía esta situación a

los momentos vividos en los exámenes tradicionales. También en variadas ocasiones se produjeron

conversaciones entre los alumnos, que permitieron percibir que la preocupación estaba centrada en poder resolver correctamente algún problema o incorporar algún concepto al Diario y no en la

calificación que podrían obtener al finalizar la etapa de evaluación.

Calificaciones más homogéneas para esta experiencia. Las notas finales obtenidas por los

estudiantes que participaron en la investigación resultaron de regulares a buenas. No se observan valores extremos, ya sean calificaciones excelentes o aplazos. Esta nueva forma de evaluar propuesta,

donde la mayor labor se realiza a través del trabajo en equipos, “obliga” a los estudiantes a trabajar, ya

que quien más control ejerce sobre ellos son los mismos integrantes del grupo. De acuerdo a esto, casi no se han observado casos (excepto los grupos anteriormente mencionados, quienes ya habían

desaprobado la materia) donde algún alumno no haya participado activamente del proceso de

evaluación. En general, las notas obtenidas por los estudiantes a través de los exámenes anteriores se mantuvieron o mejoraron levemente al compararlas con las obtenidas a través de la metodología

propuesta. Además se observó que estudiantes que en varias oportunidades aplazaron los exámenes, en

esta ocasión obtuvieron calificaciones superiores a cuatro.

Activar los conocimientos previos requeridos. El grupo con el que se trabajó fue el

resultado de la unión entre dos grupos del año anterior. De acuerdo a lo que el investigador pudo





averiguar, la formación matemática de ambos cursos en los años anteriores no había sido de lo mejor por diversos inconvenientes suscitados (entre otros: ausencia prolongada de la docente titular, cambios

reiterados de docentes suplentes). Esta situación quedó de manifiesto en los primeros momentos de la

investigación donde temas que se iban a afrontar como un repaso debieron ser explicados como si fueran contenidos nuevos. Este escenario con el cual se encontraron la docente y el investigador

influyó en el desarrollo de la investigación, ya que se debieron replantear las acciones a seguir cuando

ya se había planificado la manera de trabajar para toda la unidad. A pesar que se pudo superar, este

inconveniente trajo consecuencias ya comentadas, como el recorte en algunas actividades y la utilización de tiempos que hubiesen podido ser destinados para otros fines que la investigación

también requería.

En relación con la pregunta de investigación: ¿Cuáles son los comportamientos, actitudes y

valoraciones de los alumnos de cuarto año de secundaria superior, durante y al finalizar el proceso de evaluación del contenido Función afín a través de diferentes herramientas de evaluación?, se

puede decir que los comportamientos y actitudes que los estudiantes demostraron, y las valoraciones

percibidas al evaluar el contenido Función afín a través de diferentes herramientas de evaluación

propuestas, han sido lo suficientemente diferentes a los que se podrían registrar en un examen tradicional. Las actitudes y comportamientos se modificaron radicalmente de acuerdo a la metodología

de evaluación considerada en esta investigación. Desde una perspectiva general, el clima del aula se

percibió como muy bueno, las relaciones interpersonales encontraron otro lugar para desarrollarse, la sensación de estar resolviendo un examen en un clima de “clase cualquiera” también se hizo presente.

Las actitudes y comportamientos observados tuvieron que ver con el trabajo en equipos, con lazos de

compañerismo, con discusiones sobre formas de interpretación, con maneras de resolver un problema.

Adoptar la metodología de evaluación propuesta aquí desechando las formas de evaluación

tradicionalmente utilizadas en el área de Matemática no forma parte de las intenciones de este estudio. Se apunta a abrir el juego hacia otras formas de evaluación posibles, en las que los alumnos puedan

demostrar si saben o no a través de varios métodos. Se trata, en sintonía con los principios de la

Educación Matemática Crítica, de democratizar el sistema de evaluación. Se cree que una forma de hacerlo es ofreciendo oportunidades a todos y evitando perpetuar la idea de “exámenes de Matemática

como herramienta de exclusión y poder”.

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Ariel Leandro Canulli. Se desempeña como docente en escuelas secundarias de la ciudad de Pergamino

(Argentina) y en uno de los institutos de formación docente de la misma ciudad, donde también reside,

nació el 20 de agosto de 1982, tiene los títulos de Profesor de Matemática (2005) y Licenciado en

Enseñanza de la Matemática (2012).


Natalia Fátima Sgreccia. Se desempeña como docente-investigadora en el área Educación Matemática

en la Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura de Universidad Nacional de Rosario, es

Becaria Posdoctoral del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas, reside en la ciudad

de Roldán (Argentina), nació el 24 de octubre de 1979, tiene los títulos de Profesora de Enseñanza Media

y Superior en Matemática (2002), Magíster en Didácticas Específicas con mención en el área Matemática

(2007) y Doctora en Humanidades y Artes con mención en Ciencias de la Educación (2012).


http://www.revista.unal.edu.co/

http://hadoc.azc.uam.mx/evaluacion/menu.htm

http://www.cedesi.uneciencias.com/conferencias/cuestionario/cuest04.doc






ANEXO

Colección de Situaciones Problemáticas

4) Pegando ladrillos

El número de ladrillos que pega un obrero varía de acuerdo al tiempo destinado al trabajo, sabiendo que -en

promedio- en una hora pega 20 ladrillos.

1. Realicen la siguiente actividad:

a) Escriban las magnitudes que intervienen en el problema.

b) ¿Cómo varía cada magnitud? Expliquen.

c) ¿Cómo afecta el cambio en el número de horas en la otra magnitud?

d) ¿Cuál es la relación numérica entre el número de horas trabajado y el número de ladrillos pegados?

e) Si un obrero trabaja -a ese ritmo- 8 horas diarias, 6 días a la semana, ¿cuántos ladrillos habrá

pegado en una semana?, ¿en un mes?, ¿y en un año?

2. Completen la tabla siguiente:

Tiempo (en horas) 1 3 7 2,5 100 25,4

Ladrillos pegados

a) Expliquen cómo encuentran cada dato que falta.

b) Expliciten una forma de encontrar el número de ladrillos pegados para cualquier número de horas.

3. Representen la situación en un gráfico cartesiano.

a) Expliquen brevemente cómo construyeron el gráfico.

b) Describan brevemente el dominio de la función.

5) La máquina que arroja valores

Tengan en cuenta que la máquina siguiente transforma todo elemento que entra en ella según la fórmula que

aparece en la parte interior.

Tarea 1

a) Indiquen los números que salen, cuando entran los siguientes: -3; ½; 5; ¾; 0,7.

b) Comparen los números que salen de la máquina con los que han entrado y comenten cómo se

transformaron.

c) ¿De qué depende el valor que sale de la máquina? ¿Cuál es el papel que juegan los números 3 y -1 en

la transformación de los números que entran a la máquina?

d) Si el número no fuese -1 sino 2, ¿cómo queda la expresión que transforma los números que entran y

cómo incidirá en el resultado? Indíquenlo sin realizar las operaciones.

Tarea 2

a) Tengan presente los números que entran y salen en la máquina y especifiquen los cambios que sufren

en su interior.

b) Expresen en una fórmula la regla que trasforma las cantidades que entran en la máquina.

c) Identifiquen las cantidades constantes y variables de la regla general de transformación.

d) ¿Cómo obtienen los números de la entrada a partir de los números de la salida?




6) Servicio de reparación de televisores

Un técnico en reparación de televisores tiene la siguiente tarifa:

$ 30 por la visita

$ 25 por cada hora de trabajo

1. Respondan:

a) ¿Cuánto costaría un trabajo que durara 3 horas?

b) ¿Un trabajo que durara media hora?

c) ¿Qué sucede si cuando llega al domicilio el problema ya había sido solucionado?

d) ¿Cuáles son las magnitudes que intervienen en la situación? e) Identifiquen la variable dependiente e independiente.

f) Escriban una ley que relacione ambas magnitudes.

2. Representen gráficamente la situación.

a) ¿Qué representa el par ordenado (0;30)?

b) ¿Qué ventajas ofrece la representación gráfica de este tipo de situaciones?

7) Consumo de combustible de un vehículo

Javier está por comenzar un viaje y decide llenar el tanque de combustible de su auto. Va a la estación de

servicios y carga 60 litros de nafta. Su vehículo tiene una autonomía de 8 litros por cada 100km. recorridos.

Construyan una función que permita calcular la cantidad de combustible que le queda en el tanque para

cualquier momento del viaje.

1. Respondan:

a) ¿Cuánto combustible le quedará en el tanque después de recorrer 300 km?

b) ¿Cuántos km. podrá recorrer con los 60 litros de combustible?

2. Representen gráficamente.

a) Construyan una tabla que los ayude a representar la situación b) ¿A qué factor atribuyen la inclinación de la recta?

8) Representen gráficamente las siguientes rectas en un mismo par de ejes cartesianos

y1 = 3x + 1 y2 = 3x – 1 y3 = 5 y4 = - 1/3 x +2 y5 = x -2 y6 = 1/3 x + 6

Respondan: a) ¿Cuáles son las rectas crecientes y cuáles las decrecientes? ¿De qué depende?

b) ¿A qué se le puede atribuir una mayor inclinación de las rectas?

c) ¿Qué características comunes tienen y1 e y2? Describan la relación entre ambas.

d) ¿Qué puedes decir de y4 con relación a las otras rectas?

e) ¿Cuáles de estas rectas pasan por el punto (0;0)? ¿A qué se debe?

f) ¿Qué pueden decir de y3?

g) Escriban la ecuación de una recta paralela y otra perpendicular a y5

9) Funciones a partir de una gráfica

Estas gráficas muestran la distancia que recorre el sonido en diferentes medios según el tiempo.

a) Hallen la pendiente de cada una y expliquen su significado.

b) Escriban sus leyes.





10) Análisis de pendientes

Sin hacer operaciones, ordenen las rectas r1, r2, r3, r4 de menor a mayor pendiente. Dibujen una recta cuya pendiente sea menor a la de r2.

Proyectos: aplicación de la Función afín en la vida cotidiana

Tarifas de dos empresas de remolques de la ciudad de Pergamino

Búsqueda de información

Comenten brevemente cómo ha sido el proceso de recolección de información.

Análisis de las tarifas

a) Indaguen sobre las tarifas que manejan actualmente estas empresas. Comenten brevemente cuál es el

servicio ofrecido en cada una de ellas.

b) Identifiquen las magnitudes que intervienen en ambas tarifas.

c) ¿Cómo varía cada magnitud con respecto a la otra?

d) ¿Qué tipo de relación representan las variables que intervienen en el problema? e) Determinen la expresión analítica que representa las tarifas de cada empresa.

f) A partir de la expresión encontrada en el punto e), comenten brevemente las diferencias en las tarifas

de cada empresa.

g) Representen, de ser posible, las tarifas en un gráfico. Utilicen el software GeoGebra para esta tarea.

Problemática

a) Si deben trasladar un auto a distancias de 8 km, 22km y 120km, ¿qué tarifa resulta más conveniente

para cada caso?

b) Elijan tres ciudades (una en la provincia de Buenos Aires, otra de la provincia de Santa Fe y otra de

Córdoba) y determinen el valor del traslado de un tractor a cada una de ellas.

Costos de la energía neta consumida en la actualidad y hace un año atrás


Busquen dos facturas de luz con la condición que una sea actual y la otra de un año de antigüedad.

Observen la factura actual, deteniéndose en el apartado donde se especifica el gasto de energía neta

consumida: cargo fijo + cargo variable (KHW consumidos por precio). A partir de la visualización de este

apartado, respondan:

a) ¿Cuál es el cargo fijo que se cobra?

b) ¿Cuál es el valor del KHW para cada tipo de tarifa?

Análisis de las facturas

a) ¿Cuáles son las magnitudes que intervienen en el apartado en observación? b) ¿Es posible que exista algún tipo de relación funcional entre los KWH consumidos y el cargo variable

que se debe abonar?

c) ¿Podrían decir de qué tipo de relación se trata?




d) ¿Existe alguna diferencia entre la factura actual y la que tiene un año de antigüedad? Si la hay,

expliquen a qué se debe.

e) Determinen las funciones que describen el comportamiento de las tarifas antes analizadas.

f) Representen gráficamente las dos funciones determinadas. Utilicen para ello el software GeoGebra.

g) Observen el gráfico y describan el comportamiento de las funciones.

Problemática

¿Qué diferencias habría en costo de la energía neta si se consumieran 60 KWH en el período mensual?

¿Podrían determinar un porcentaje de aumento?

Anuncios de tarifas de taxis de Buenos Aires


Ingresen a la web www.mercadolibre.com.ar. Diríjanse a la categoría servicios/transporte/taxis. Elijan

dos anuncios (deben tener como requisito los datos: precio por km en ciudad, precio por km en ruta, viaje

mínimo). Relaten brevemente cómo ha sido el proceso de búsqueda de la información requerida.

Análisis de los anuncios

a) Registren las diferentes tarifas que cada anuncio posee para viajar a diferentes destinos (viajes de

corta, media y larga distancia). b) Describan brevemente el significado de la expresión “viaje mínimo” que cada anuncio posee.

c) ¿Qué magnitudes intervienen en cada tarifa?

d) ¿Cómo afecta el cambio en la cantidad de kilómetros recorridos en la otra magnitud? (tratándose de

un viaje de larga distancia).

e) Determinen una función que represente la tarifa para algún viaje de larga distancia para cada una de

las empresas.

f) Observando las funciones determinadas, ¿en qué se diferencian entre sí?

g) Representen gráficamente las funciones utilizando el software GeoGebra.

Problemática

Determinen el valor a pagar con cada una de las opciones planteadas para realizar un viaje a tres

ciudades diferentes: San Antonio de Areco, Pergamino y Río Cuarto (partiendo desde Buenos Aires).

http://www.mercadolibre.com.ar/



Las demostraciones en la didáctica de las Matemáticas. Una experiencia con alumnos de 3º ESO

Enrique Sánchez Freire (Instituto de Educación Secundaria Luis García Berlanga.España) Juan Antonio Gil Pascual (Facultad de Educación–Universidad Nacional de Educación a Distancia. España)

Fecha de recepción: 23 de septiembre de 2013 Fecha de aceptación: 4 de abril de 2014

Resumen En este artículo mostramos la opinión de diferentes autores sobre la conveniencia o no de la utilización de demostraciones matemáticas en su didáctica. Complementaremos esta fundamentación teórica con los resultados de una experiencia de aula en donde comprobaremos como a un grupo en donde se aplicó una metodología en la cual los procesos de argumentación y demostración tuvieron una especial relevancia obtuvo mejores resultados en torno a ciertas variables que otro grupo en donde se aplicó una metodología más tradicional.

Palabras clave Educación Matemática – Didáctica de las Matemáticas – Educación Secundaria – Demostraciones – Experiencia en el aula

Abstract In this article we show the judgment suggested by some authors about the convenience or inconvenience of using mathematical proofs while teaching. We will complete this theoretical dissertation with some experimental data obtained in the classroom. We will compare the results obtained by a class group following a teaching methodology based upon mathematical accuracy, reasoning and demonstration versus a class group using a more traditional teaching approach. The comparison of the two groups shows how the first group obtained better results around some of the variables considered.

Keywords Mathematical Education – Didactics of Mathematics – Secondary Education – Mathematical Proofs – Class Experience

1. Introducción

La didáctica de las Matemáticas está renovándose constantemente. Van apareciendo nuevos elementos que son estudiados para recomendar o no su utilización con el objetivo de mejorar los procesos de aprendizaje de los alumnos.

Dentro de estos elementos podemos citar a las demostraciones. No cabe duda de que ocupan un lugar primordial en la historia de las Matemáticas ya que han otorgado a esta ciencia de una de sus características principales: el rigor. No obstante, la conveniencia o no de su utilización didáctica ha supuesto, y de hecho sigue suponiendo, un arduo debate entre los investigadores.

Así, por ejemplo, Polya (1945) apoyaba el uso de las demostraciones, en especial de las geométricas, para que el alumno no perdiera la ocasión de saber lo que es un razonamiento lógico riguroso. Sin embargo, en las décadas de los 70 y los 80 se impusieron las ideas de Lakatos (1976) que

Las demostraciones en la didáctica de las Matemáticas. Una experiencia con alumnos de 3º ESO E. Sánchez, J.A. Gil


incidían en el hecho de que la demostración de una conjetura lleva consigo una serie de explicaciones que hace que esta se haga cada vez más plausible y se enriquezca, mientras que el rigor absoluto presiona a la conjetura con la búsqueda de contraejemplos hasta llegar a falsearla. En el plano didáctico, mantenía esta misma idea de considerar inconveniente el trabajar con demostraciones ya que su utilización dificultaba la construcción del conocimiento matemático, sobre todo en los alumnos que no estudiaban para ser matemáticos y que en su gran mayoría no estaban preparados para apreciar la belleza de las demostraciones y motivarse para realizarlas. En la misma línea, Kline (1981) planteó una serie de argumentos para defender su postura contraria al uso didáctico de las demostraciones:

a) Muchos matemáticos han descubierto teoremas de una gran importancia que luego no han sabido demostrar.

b) Al dar demasiada importancia al rigor, se pueden alejar las Matemáticas de los estudiantes al parecer que sus resultados provienen de personas con un alto nivel intelectual que razonan directamente con teoremas y axiomas.

c) No son procedimientos útiles para solucionar problemas cotidianos. d) Los planteamientos deductivos pueden resultar motivadores para cierto perfil del

profesorado, pero son anestésicos para la gran generalidad del alumnado.

El debate sobre el uso de la demostración en el aula se acrecentó en los inicios de la década de los 90 con la entrada en las aulas de las nuevas tecnologías y de demostraciones realizadas con estos medios como la de Appel y Haken del problema de los cuatro colores, ya que algunos investigadores promulgaban la idea de sustituir razonamientos lógicos-deductivos por trabajos utilizando medios informáticos que permitían confirmar en un gran número de casos una determinada conjetura. El clima era tal, como indica Alcolea (2002), que Zeilberger, con la idea de desprestigiar la demostración matemática, relacionó su importancia con el valor económico. Consiguió demostrar utilizando el ordenador la conjetura de Goldbach1 con una probabilidad mayor que 0,9999 y estimó que la certeza absoluta vendría a costar sobre 10 billones de dólares, preguntándose si realmente sale rentable alcanzar dicho estatus. Incluso se llegó anunciar que se dejarían de publicar demostraciones en revistas de la talla de Scientific American.

No obstante, poco a poco fueron apareciendo investigadores que mostraban posturas más intermedias e incluso favorables al uso de la utilización didáctica de las demostraciones. Así, podemos citar a Solow (1987) que definía la demostración como un método para comunicar una verdad matemática a otra persona que hablaba el mismo idioma. Achacaba la dificultad en la comunicación de las demostraciones a la falta de una metodología adecuada que explicara la forma de hacerlo. Él mismo elaboró dicho manual estableciendo un lenguaje común en el que pudieran comunicarse profesores y alumnos. También podemos citar a De Villiers (1993) que propuso un modelo en el que dotaba a la demostración de una serie de funciones como la explicación, la verificación, la síntesis o el descubrimiento, permitiendo descubrir las posibilidades que tendría su introducción en la didáctica de las Matemáticas.

La tendencia iba cambiando y el debate se fue enfocando hacía cómo trabajar con la demostración en el aula. Hanna (1995) afirmó que un aspecto importantísimo de la demostración es la forma en la que se le presenta a los alumnos. No debe hacerse como un puro ritual propio de las Matemáticas, sino como un procedimiento con “razón de ser” dentro del aprendizaje. En la misma línea, Ibañes y Ortega (1997) argumentaron que el pensamiento deductivo se debe ir construyendo progresivamente en los distintos cursos, sin llegar a pretender que se alcance de una forma sólida en la Educación Secundaria.

1 La conjetura de Goldbach es un problema que se encuentra aún abierto y que afirma que todo número par mayor que dos se puede expresar como la suma de dos números primos.


81Sociedad Canaria Isaac Newton


En los últimos años la tendencia sigue siendo la misma con alguna excepción como la de Pluvinge (2007) que defiende que la demostración no es constitutiva de la actividad matemática, poniendo como ejemplo la matemática árabe, rica en algoritmos y resultados, pero pobre en demostraciones.

Entre los partidarios, podemos citar a Bravo, Arteaga y Sol (2001) que afirman que el trabajo con demostraciones ayuda a desarrollar procesos como la abstracción, el análisis, la síntesis, la clasificación, la particularización, la comparación o la generalización. También destacan como ayuda a desarrollar formas de pensamiento extralógico (pensamiento creativo, heurístico, especulativo, etc.) que se complementan con el pensamiento lógico deductivo en la resolución de problemas. Destaca, de igual modo, que al trabajar con las demostraciones el alumno adquiere un mayor conocimiento del enunciado matemático lo que le permite adquirir competencias para identificar con mayor facilidad contextos en los que se puede aplicar el enunciado estudiado.

Mencionaremos también a Crespo y Ponteville (2005a, 2005b) que sitúan la problemática de la situación en que el docente, por lo general, desconoce las diferencias entre qué es demostrar, qué es saber demostrar y qué es aprender a demostrar. Esto, unido a la falta de referencias explícitas en los planes de estudio, conduce a que se confundan el enfoque que deben tener las demostraciones en el aula y se lleve a una excesiva formalización.

Por último, mencionaremos a Martinón (2009) que considera que para que las Matemáticas formen intelectualmente al alumno es imprescindible que se presenten de una forma racional y no como un misterioso conjunto de reglas de obligado cumplimiento. Entiende que la demostración es la cumbre de la argumentación racional y por eso debe tener cabida de una forma explícita en los currículos escolares.

Nuestra opinión en torno a esta cuestión está en la línea de las últimas que hemos indicado. Creemos que utilizando correctamente la demostración y los procesos argumentativos y de justificación en el aula se pueden mejorar las capacidades de los alumnos para resolver diversas situaciones matemáticas. Lo importante es cómo emplear correctamente estos recursos. Para ello, creemos que lo primero que habría que hacer es un plan de formación de profesorado en el que se expliquen los aspectos básicos de estos procedimientos (como introducirlos, qué proposiciones demostrar, métodos, etc). Esta idea va en la línea de lo propuesto por Azcárate (1997):

Si queremos transformar la escuela y las prácticas que en ella se desarrollan en torno al conocimiento matemático hacia formas más coherentes con el desarrollo integral del individuo, es imprescindible poner en cuestión la actual formación de los profesores de Matemáticas. Ellos son los verdaderos gestores del cambio. El problema fundamental gira, por tanto, en torno a las formas de adecuar esa formación a los cambios demandados por la sociedad y la necesidad de afrontarlos con el rigor y fundamentación necesarios.

Después, creemos que es de vital importancia la progresividad de todo este proceso. Se puede empezar en los últimos cursos de la Educación Primaria, a partir de conjeturas, elaborando simples procesos elementales de justificación y de pruebas, para, a partir de ahí, ir evolucionando en este tipo de procedimientos. Por último, también creemos que estos procedimientos deben tener una cabida más explícita en los currículos de Matemáticas. Deberían marcar la progresividad que hemos indicado, mostrando qué tipos de pruebas y qué métodos se pueden hacer en cada etapa educativa.

Para confirmar esta idea realizamos una experiencia en el aula con dos grupos de alumnos de 3º ESO que detallamos a continuación.



2. Experiencia de aula

2.1. Planteamiento del problema

El problema consistió en comprobar si aplicando una didáctica de las Matemáticas para un curso de 3º ESO en donde se le dé un papel relevante a las demostraciones y argumentaciones matemáticas se mejoran las habilidades de los alumnos en torno a tres variables: la calificación final de la asignatura, los resultados obtenidos por los alumnos en la prueba de Conocimientos y Destrezas Indispensables2 y los resultados en una prueba de problemas que le pasamos en la parte final del curso.

2.2. Proceso de la investigación

La investigación se realizó en el instituto público Rafael Alberti de Coslada (Madrid) a lo largo del curso académico 2011 – 2012. Utilizamos dos grupos de 3º ESO, los dos con 21 alumnos, considerando uno como grupo de control y otro como experimental.

En el grupo control aplicamos una metodología que podríamos llamar más tradicional basada en explicaciones, realización de ejercicios, actividades TIC, etc. Esto no quiere decir que no realizáramos argumentaciones y justificaciones de resultados, sino que no hicimos tanto hincapié en este hecho como en el otro grupo. En el grupo experimental utilizamos una metodología en donde le dimos una especial relevancia a argumentar y a justificar resultados a cambio de reducir el número de ejercicios a realizar en cada unidad didáctica y de suprimir alguna actividad con las nuevas tecnologías.

Con el grupo experimental dejamos que trabajaran los alumnos con las demostraciones de una forma independiente. La idea era que pensaran primero por ellos mismos si eran capaces de demostrar un cierto resultado. Si no eran capaces, se les remitía a algún documento donde se podría consultar para que intentaran comprender los pasos o era explicada directamente por el profesor.

A lo largo del curso, además de priorizar procedimientos argumentativos, realizamos algunas demostraciones. Estas fueron elegidas por estar íntimamente ligadas al currículo de 3º ESO para la Comunidad de Madrid. De ellas, algunas suponen una ampliación del currículo y otras simplemente son una justificación de los procedimientos que se utilizan en este curso. En el grupo control solo trabajamos las demostraciones que estuvieran íntimamente ligadas al currículo de 3º ESO y que les supusieran a los alumnos unas destrezas interesantes para resolver ejercicios de este curso.

A continuación pasamos a comentar brevemente las demostraciones trabajadas a lo largo del curso en el grupo experimental, indicando algunos comentarios los resultados obtenidos en clase.

1. Demostrar la irracionalidad de 2 por reducción al absurdo. Esta demostración clásica se trabajó únicamente en el grupo experimental en la Unidad Didáctica de Principales conjuntos numéricos cuando tratamos los números irracionales y los radicales. Al ser una demostración de cierta dificultad para el nivel en el que estamos y que no está relacionada propiamente con ningún procedimiento del curso se decidió no trabajarla en el grupo control.

Como es lógico, una vez propuesta la demostración, a ningún alumno se le ocurrió inicialmente hacerla por el método de reducción al absurdo, método desconocido para ellos

2 La prueba de Conocimientos y Destrezas Indispensables (CDI) es una prueba externa que realiza la Comunidad de Madrid cada año en el curso de 3º ESO en las materias de Matemáticas y Lengua y Literatura.




hasta la fecha. Lo que sí se consiguió es que un gran porcentaje de alumnos comprendiera y expusiera la demostración clásica una vez consultada en medio digitales.

La principal dificultad que se encontró a la hora de explicar esta demostración y su método fue

el punto de partida, ya que al indicar que si suponíamos que 2 era un número racional,

entonces se podía expresar como una fracción a

b irreducible, algunos alumnos venían a decir

que la contradicción se podía salvar suponiendo que se podía expresar como una fracción reducible.

A parte de la demostración clásica, y con la intención de que los alumnos entendieran bien el método de reducción al absurdo, se les presentó la demostración de este hecho de otra manera, basándonos en las terminaciones de números y sus respectivos cuadrados.

Supongamos 2 es un número racional. En este caso se podría expresar 2 mediante una

fracción irreducible a

b. Elevando al cuadrado la igualdad obtenemos que 2 22 2

ab a

b= ⇒ = .

Ahora vamos a hacer una tabla con las posibles terminaciones de a2 y 2b2.

a a2 b b2 2b2

0 0 0 0 0

1 1 1 1 2

2 4 2 4 8

3 9 3 9 8

4 6 4 6 2

5 5 5 5 0

6 6 6 6 2

7 9 7 9 8

8 4 8 4 8

9 1 9 1 2

Tabla 1. Terminaciones de a2 y 2b2 para demostrar la irracionalidad de 2 .

Fijémonos en que a2 sólo puede acabar en 0, 1, 4, 9, 6 o 5, mientras que 2b2 sólo puede acabar en 0, 2 u 8. Como ambos números deben ser iguales, la única coincidencia que hay es que acaben en 0, pero en ese caso a acabaría en 0 y b acabaría en 0 o en 5, lo que es una

contradicción con que la fracción a

b sea irreducible.

2. Demostrar las fórmulas de la suma de un número finito de términos de una progresión aritmética y de la suma de un número finito e infinito (cuando 1r < ) de una progresión

geométrica, así como las obtenciones de los términos generales de estos términos. Estas demostraciones, al estar íntimamente ligadas a los contenidos que se estudian en la Unidad Didáctica Sucesiones y ser de escasa dificultad, fueron trabajadas en ambos grupos.

La obtención de la fórmula para la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética no presentó aparentemente dificultades para los alumnos. El hecho de hacer primeros unas cuantas sumas concretas y que los alumnos observaran el procedimiento



primero en casos concretos hizo que el paso al caso general no les supusiera una especial dificultad. De hecho, luego haciendo ejercicios, en ambos grupos hubo alumnos que para realizar este tipo de sumas no utilizaban la formula, sino el procedimiento que utilizamos para demostrar la fórmula.

En cuanto a la sumas de términos de una progresión geométrica, la principal dificultad que encontramos fue el trabajar con “infinitos términos”. Hay que ser consciente de que los alumnos de 3º ESO han oído hablar del infinito, pero hasta este momento no han trabajado verdaderamente con él. Costó hacer entender que cuando n es un número muy grande rn será muy grande si 1r > y que será muy pequeño si 1r < . Una vez superada esta dificultad, la

demostración de la suma de los infinitos términos de un progresión geométrica fue comprendida por una buena parte de los alumnos. No obstante, había alumnos que aún entendiendo la demostración no podían comprender cómo era posible que si sumamos infinitos términos el resultado fuera finito. Para convencerles de que si era posible tuvimos que recurrir a dos ejemplos “más visuales”. El primero con números periódicos. Preguntamos en clase cuál era el resultado de esta suma infinita:

0 1 0 01 0 001 0 0001+ + + +⋯, , , ,

Prácticamente todos los alumnos respondieron rápidamente que el resultado era 0 1⌢

, , convenciéndose así que en ocasiones se pueden sumar infinitos términos. Posteriormente utilizamos un ejemplo más geométrico. Partiendo de un cuadrado de un l u de lado, dividimos el cuadrado en dos partes iguales, después una de esas partes en dos partes iguales, después una de las cuartas partes en dos partes iguales, y así sucesivamente. Concluimos que

1 1 11

2 4 8= + + +⋯

3. Demostrar las fórmulas de las identidades notables de un modo algebraico y geométrico. Estas demostraciones se trabajaron a lo largo de la Unidad Didáctica sobre el Lenguaje algebraico. En ambos grupos los alumnos fueron capaces de hacer por ellos mismos las demostraciones algebraicas de las identidades notables sin dificultades apreciables al tratarse de un procedimiento algebraico fácil y directo.

Al haber trabajado ya con las demostraciones algebraicas, consideramos oportuno no trabajar con las demostraciones geométricas en el grupo control, dedicando más tiempo en este grupo a hacer ejercicios. En el grupo experimental, lo que hicimos es preparar una ficha con las figuras realizadas para cada identidad, indicando las longitudes de cada lado del rectángulo. Los alumnos debían completar las correspondientes áreas en cada caso y de ahí demostrar las identidades notables.

Prácticamente todos los alumnos del grupo experimental supieron demostrar sin dificultades la identidad notable del cuadrado de una suma, pero les costó algo más la del cuadrado de una diferencia y la de suma por diferencia, al tener que hacer alguna manipulación algebraica más.

4. Demostrar, utilizando las identidades notables, la fórmula de resolución de la ecuación de segundo grado. Esta demostración se trabajó durante la Unidad Didáctica de Ecuaciones. A pesar de que sí que está muy relacionada con los contenidos curriculares del curso, no la trabajamos en el grupo control debido a que consideramos que tiene una dificultad que puede no ser superada por algunos alumnos y que el procedimiento en sí luego realmente no lo van a utilizar los alumnos.

En el grupo experimental, donde sí la trabajamos, lo que hicimos fue resolver alguna ecuación de segundo grado concreta con el método de completar cuadrados con el objetivo de luego




entendieran la solución. Lo pasos de la demostración se entendieron. La mayor dificultad que encontramos fue la de justificar cada paso. Los alumnos no acabaron de entender por qué multiplicábamos la ecuación por 4a, luego sumábamos b2 en ambos lados, etc...

Como conclusión se puede decir que probablemente la mayoría de los alumnos no acabaron de entender plenamente la demostración, pero sí que observaron que la fórmula de resolución de la ecuación tiene un sentido.

5. Demostrar para una ecuación de segundo grado las relaciones que hay entre sus soluciones y los coeficientes de las ecuaciones (fórmulas de Cardano-Vieta). Al igual que la anterior, estas demostraciones se trabajaron en la Unidad Didáctica de Ecuaciones. Se trabajaron en el grupo experimental y se propusieron como trabajo voluntario en el grupo control al ser de escasa dificultad y ya que les pueden servir a los alumnos para resolver mentalmente algunas ecuaciones de segundo grado cuando a = 1.

En el grupo experimental un gran número de alumnos dedujeron por sí mismos estas relaciones y prácticamente todos las comprendieron cuando se explicaron en clase. Tras las demostraciones hicimos algunos ejemplos para aplicar estas fórmulas en ecuaciones de segundo grado con a = 1 con el objetivo de que los alumnos hallaran las soluciones de forma mental. Como suele suceder en estos casos, hubo alumnos que hallaban las soluciones de una manera muy rápida y otros que les costaba bastante más tiempo.

Este mismo trabajo se propuso como voluntario en el grupo control y hubo tres alumnos que hicieron correctamente las demostraciones y que supieron aplicarlas a la resolución de ecuaciones de segundo grado con a = 1. En clase, lo único que hicimos en este grupo fue explicar la relación y la manera de aplicarla en ese tipo de ecuaciones.

6. Localizar el vértice de una parábola. En el grupo experimental intentamos justificar en la Unidad Didáctica de Funciones lineales y cuadráticas por qué el vértice una parábola está

situado en el punto de abcisa 2

bx

a= − . Para esta justificación utilizamos el programa

Geogebra y analizamos (en los casos en que a > 0) qué le ocurre al vértice de una parábola y a su expresión algebraica cuando la trasladamos vertical y horizontalmente. Este procedimiento, al ser muy visual y precisar de manipulaciones algebraicas elementales, fue entendido por prácticamente la totalidad de los alumnos. La única pequeña dificultad que le presentó a algunos alumnos fue comprender por qué cuando se pasa por ejemplo de la parábola 2y ax=

a la ( )22y a x= − esta última es el resultado de desplazar la primera dos unidades a la

derecha y no a la izquierda. Esta dificultad se solventó viendo algunos casos concretos en la función.

En el grupo control decidimos no trabajar esta justificación ya que para los ejercicios que se piden en este curso sobre la parábola, saberse esta justificación no les supondría a los alumnos una destreza que les ayudara de manera relevante en su resolución.

7. Demostrar que la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180º. Esta es una de las clásicas demostraciones de las denominadas “sin palabras” ya que un dibujo explica prácticamente la demostración. Al tratarse de una demostración fácil, atractiva de ver y mostrar un método que algunos alumnos no habían visto hasta el momento, la decidimos trabajar en los dos grupos.

Una vez realizado el dibujo y explicada la demostración prácticamente la totalidad de los alumnos entendieron la demostración, no presentándose ninguna dificultad reseñable. De



hecho utilizamos la demostración de este hecho para deducir sin excesiva dificultad la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados convexos.

8. Demostrar que las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto (circuncentro) que equidista de los tres vértices y que las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto (incentro) que equidista de los tres lados. Estas demostraciones se trabajaron durante la Unidad Didáctica de Problemas métricos en el plano. Este hecho lo justificamos en el grupo experimental de forma intercativa con ayuda del programa Geogebra, tomando diferentes medidas y viendo relaciones. Al ser un procedimiento muy visual y a la vez muy lógico no supuso ninguna dificultad a los alumnos.

El hecho de que saberse esta justificación no iba a suponer una destreza especial para el tipo de ejercicios que se hacen en Matemáticas en este curso, decidimos no trabajarla en el grupo control.

9. Demostrar que dos triángulos en posición de Tales son semejantes y que por tanto sus lados son proporcionales. Esta demostración se trabajó durante la Unidad Didáctica de Problemas métricos en el plano únicamente con el grupo experimental. Obtener la proporcionalidad de sus lados no lo consiguieron por sí solos los alumnos y únicamente algunos comprendieron la demostración. El motivo principal no fue que se utilizaran argumentos excesivamente complicados, sino que se utilizaron procedimientos como la descomposición de triángulos o la igualdad de áreas entre triángulos por tener la misma base y altura a la que los alumnos no están acostumbrados.

Dada la dificultad de la demostración y que no era necesaria para los ejercicios de este curso se optó por no trabajarla en el grupo control.

10. Demostrar el teorema de Pitágoras. Esta demostración se trabajó durante la Unidad Didáctica de Problemas métricos en el plano. Es conocido que el Teorema de Pitágoras es el resultado matemático que más demostraciones distintas tiene. Aprovechando este hecho solicitamos a los alumnos de ambos grupos que expusieran en clase distintas demostraciones del teorema de Pitágoras que encontraran, a lo que respondieron de forma satisfactoria en ambos grupos. En el grupo experimental distintos alumnos consiguieron exponer en clase cinco demostraciones distintas, mientras que en el grupo control se expusieron tres demostraciones diferentes. A parte del rigor propio que aportan las demostraciones, esta actividad propició que los alumnos aprendieran distintas técnicas geométricas que pueden luego servirles para resolver algunos problemas y para darse cuenta que en ocasiones la demostración de un enunciado se puede realizar de distintas maneras.

En esta actividad no se presentaron dificultades reseñables, salvo la de aclarar la justificación de alguna relación geométrica concreta.

11. Justificar la relación entre los volúmenes de la esfera, el cilindro recto y el cono recto. Se trabajó en el grupo experimental durante la Unidad Didáctica de Problemas métricos en el plano, a partir de la idea original de Arquímedes.

Fuente:

http://www.mat.ucm.es/catedramdeguzman/old/08sabormat/experimentgeometria/lamejor.htm




Para trabajar estas relaciones utilizamos la pizarra digital con el fin de aclarar lo más posible los procedimientos. Aprovechamos estas ideas para hablar de Arquímedes y del papel relevante que tuvo en las Matemáticas.

Una principal dificultad que encontramos en esta justificación fue convencer a los alumnos de que como la sección cilindro es igual a la suma de las secciones de la esfera y el cono, entonces cilindro semiesfera conoV V V= + . Esta dificultad es lógica, ya que los alumnos nunca habían

trabajado con anterioridad con ideas similares a esta.

Debido a que estos procedimientos tenían una especial dificultad por ser novedosa y que no iba a ser utilizada posteriormente en ejercicios del curso, se decidió no trabajarla en el grupo control.

En la anterior lista hemos ido justificando por qué algunas de estas demostraciones las hemos explicado también en el grupo control y otras no. Hay que recordar que el objetivo principal de la experiencia era ver si esta diferencia didáctica implica diferencias significativas en los resultados de una prueba de problemas efectuada a final de curso, en los resultado de la prueba CDI y en los resultados de la propia asignatura.

Demostración Grupo Experimental Grupo Control

Irracionalidad de 2

Fórmulas de progresiones

Identidades notables

Solo de forma algebraica

Fórmula de la ecuación de segundo grado

Cardano - Vieta

Trabajo voluntario

Vértice de una parábola

Suma de los ángulos de un triángulo

Circuncentro - Incentro

Teorema de Tales

Teorema de Pitágoras

Volumen de la esfera

Tabla 2. Cuadro resumen de las demostraciones realizadas en cada grupo.

Como dijimos anteriormente, en el grupo de control el tiempo que no utilizamos en algunos de estos procesos los utilizamos en alguna práctica TIC que no realizamos en grupo experimental (Wiris, ThatQuiz, Geogebra y Excel) y en la realización de algunos ejercicios más sobre los contenidos fundamentales de las respectivas Unidades Didácticas.



Posteriormente analizaremos e interpretaremos los resultados obtenidos desde un punto de vista evolutivo, comprobando si se han producido diferencias significativas entre los resultados obtenidos por los grupos en las variables antes mencionadas.

2.3. Población y muestra

La ficha técnica del muestreo es la siguiente:

a) Población. Alumnos que en el curso 2011-2012 cursaron en un centro público del término municipal de Coslada (Madrid) el currículo ordinario de 3º ESO. Esta población está compuesta por 458 individuos, según datos proporcionados por la Dirección Territorial Madrid-Este perteneciente a la Consejería de Educación, Juventud y Deporte de la Comunidad de Madrid.

b) Muestra. Fueron los alumnos que en tal curso académico cursaron 3º ESO en los grupos B (grupo control) y C (grupo experimental) en el IES Rafael Alberti de Coslada. El tamaño de la muestra fue de 42 individuos, 21 en cada uno de los grupos.

c) Error del muestreo. En las condiciones más desfavorables del muestreo (p = q = 0,5) y con un intervalo de confianza de amplitud 2σ tendremos un error en el muestro del 15%.

d) Procedimiento de muestreo. Es no probabilístico del tipo intencional. Tanto la selección de los individuos, como la asignación de los mismos al grupo experimental o de control no ha sido aleatoria. Lo único aleatorio fue la elección entre el grupo control y el experimental.

Está claro, tal y como expondremos en el punto de limitaciones, que la muestra tuvo un tamaño escaso como para que los resultados pudieran generalizarse a una población más amplia como hubiera sido nuestro deseo.

Por otro lado, debemos indicar que había equilibrio inicial entre los dos grupos de la muestra entorno a ciertos indicadores:

a) Número de alumnos por grupo. En los dos grupos eran 21. b) Distribución por sexo en los grupos. En el grupo control había 10 varones y 11 mujeres,

mientras que en el grupo experimental había 11 varones y 10 mujeres. c) Número de repetidores. En el grupo control había seis repetidores, mientras que el

experimental había ocho.

2.4. Hipótesis planteadas

En nuestra experiencia utilizamos dos momentos: inicial y final. En el momento inicial comprobamos que entre los dos grupos no había diferencias significativas en las medias en torno a dos variables, las calificaciones en la asignatura de Matemáticas en el curso anterior y las calificaciones obtenidas por los alumnos en la preceptiva evaluación inicial. Por tanto, las hipótesis nulas fueron que no existían diferencias significativas en las medias entre los dos grupos en torno a estas variables, mientras que las hipótesis alternativas fueron que sí existían esas diferencias significativas.

En el momento final planteamos la misma situación en torno a tres variables: la calificación final de la asignatura, los resultados obtenidos por los alumnos en la prueba CDI en la parte de Matemáticas y los resultados en la prueba de resolución de problemas que realizaron los alumnos. Nuevamente, las hipótesis nulas fueron que no existían diferencias significativas en las medias entre los dos grupos en torno a estas tres variables, mientras que las hipótesis alternativas fueron que sí existían diferencias significativas.




2.5. Técnicas e instrumentos de recogida de la información

Los instrumentos que utilizamos en nuestra experiencia fueron:

a) Una prueba de evaluación inicial con contenidos tratados el curso anterior que se realizó el 26 de septiembre de 2011. Esta prueba estaba compuesta de ocho ejercicios sobre los contenidos mínimos de 2º ESO: uno de operaciones con fracciones y números enteros, uno de propiedades de las potencias, un problema de fracciones, uno de resolución de ecuaciones de primer grado, uno de resolución de un sistema de ecuaciones lineales, un problema para resolver con una ecuación, uno de representar funciones lineales y uno de aplicar el Teorema de Pitágoras.

b) Prueba CDI que se realizó el 17 de abril de 2012. Los enunciados de los ejercicios y problemas propuestos se pueden consultar en la página Web Oficial de la Comunidad de Madrid http://www.madrid.org.

c) Una prueba de resolución de problemas que se realizó el 28 de mayo de 2012. Esta prueba constó de los ocho problemas que se indican en el Anexo 1.

2.6. Diseño de la experiencia

Utilizaremos un enfoque experimental, ya que a partir de una experimentación buscaremos una ley general estableciendo relaciones causales entre variables utilizando técnicas estadísticas. Debido a que trabajamos con muestras y no tuvimos por tanto el control absoluto de las variables, el diseño de la investigación fue del tipo cuasi-experimental.

2.7. Análisis estadístico a realizar

En esta experiencia nos basaremos en hacer un estudio estadístico inferencial. Comprobaremos mediante la técnica del análisis de la varianza (ANOVA) si se han producido diferencias significativas en las medias de las variables que mencionamos anteriormente. Para los cálculos utilizamos el programa de software libre R y como es habitual en los trabajos estadísticos rechazaremos la hipótesis de igualdad de medias cuando el nivel crítico asociado al estadístico sea menor que 0,05, no rechazando la igualdad de medias en caso contrario.

2.8. Resultados

En el momento inicial teníamos que comprobar si existían diferencias significativas en las medias entre los dos grupos en torno a dos variables: las calificaciones en la asignatura de Matemáticas el curso anterior y los resultados en la prueba de evaluación inicial. Los resultados de los análisis de la varianza se muestran en las siguientes tablas, en donde los datos ausentes que aparecen en la evaluación inicial se debieron a alumnos que se incorporaron con posterioridad al centro:

Grados de libertad

Suma de cuadrados

Media cuadrática

Valor de F p(>F)

Grupo 1 0,38 0,381 0,059 0,809

Residuales 40 258,10 6,452

Tabla 3. Análisis de la varianza de los resultados del curso anterior en Matemáticas en función de los grupos



Media Desviación

típica Número de

datos Datos

ausentes

Experimental 5,619 2,889 21 0

Control 5,429 2,135 21 0

Tabla 4. Descriptivos de los resultados del curso anterior en Matemáticas

Grados de libertad

Suma de cuadrados

Media cuadrática

Valor de F p(>F)

Grupo 1 0,01 0,005 0 0,967

Residuales 38 121,21 3,190

Tabla 5. Análisis de la varianza de los resultados de la evaluación inicial en función de los grupos

Media Desviación

típica Número de

datos Datos

ausentes


Control 2,648 1,768 21 0

Tabla 6. Descriptivos de la evaluación inicial

Si observamos los valores críticos obtenidos, ninguno de los dos son menores que 0,05, con lo cual podemos afirmar que no existían diferencias significativas en las medias entre los dos grupos inicialmente en estas dos variables, lo cual es satisfactorio para la experiencia ya que los resultados indican un equilibrio inicial entre los grupos.

Ahora vamos a comparar estos datos con los resultados finales en la asignatura, los resultados de la prueba CDI y los resultados la prueba de resolución de problemas. Sobre esos datos hemos vuelto a realizar un análisis de la varianza para ver si en torno a alguna de las variables existían diferencias significativas. Podremos ver que hay datos ausentes que se deben a bajas que se producen a lo largo del curso por cambios de domicilio o debido a la no asistencia a realizar la prueba CDI el día que tuvo lugar. Los resultados los podemos observar en las siguientes tablas:

Grados de libertad

Suma de cuadrados

Media cuadrática

Valor de F p(>F)

Grupo 1 27,02 27,019 7,268 0,0104*

Residuales 38 141,27 3,718

Nota. * valores significativos p<.05; ** valores muy significativos p<.01; *** valores altamente significativos p<.001.

Tabla 7. Análisis de la varianza de los resultados de la prueba de problemas en función de los grupos

Media Desviación típica

Número de datos

Datos ausentes


Control 1,485 1,253 20 1

Tabla 8. Descriptivos de los resultados de la prueba de problemas.




Grados de libertad

Suma de cuadrados

Media cuadrática

Valor de F p(>F)

Grupo 1 41,44 41,44 6,52 0,0149*

Residuales 37 235,17 6,36


Tabla 9. Análisis de la varianza de los resultados en la CDI de Matemáticas en función de los grupos

Media Desviación

típica Número de

datos Datos

ausentes


Control 3,404 1,785 19 2

Tabla 10. Descriptivos de los resultados en la CDI de Matemáticas.

Grados de libertad

Suma de cuadrados

Media cuadrática

Valor de F p(>F)

Grupo 1 65,03 65,03 9,277 0,0042**

Residuales 38 266,35 7,01


Tabla 11. Análisis de la varianza de los resultados en Matemáticas del tercer trimestre en función de los grupos

Media Desviación

típica Número de

datos Datos

ausentes


Control 3,35 2,134 20 1

Tabla 12. Descriptivos de los resultados en Matemáticas del tercer trimestre

Si observamos los tres valores críticos obtenidos vemos que se han obtenido diferencias significativas tanto en los resultados de la prueba de resolución de problemas, como en los resultados de la prueba CDI, y que se han producido diferencias muy significativas en las calificaciones de la asignatura de Matemáticas, siendo estas diferencias en los resultados favorables en los tres casos al grupo experimental.

3. Conclusiones y limitaciones de la experiencia

Los resultados obtenidos han confirmado ampliamente las expectativas que teníamos antes de la investigación y han corroborado que, con un uso adecuado, las argumentaciones y las demostraciones suponen una mejoría en los resultados de ciertas variables.

Si comparamos los datos finales con los iniciales podemos observar que la mejoría del grupo experimental se debe principalmente a un aumento en la variabilidad de los resultados como consecuencia del incremento en las calificaciones de los alumnos con más aptitudes matemáticas, más que por una mejoría general. Estos resultados se pueden corresponder en parte con los obtenidos por



Luengo y González (2005) cuando concluyeron mediante un estudio cuasi-experimental centrado en la influencia de los resultados en Matemáticas en alumnos de 4º ESO en función de las asignaturas optativas elegidas que el perfil del alumno que obtiene mejores resultados en la asignatura es el que tiene predominancias altas en los estilos teórico y reflexivo y moderadas en el activo y pragmático.

No obstante, no podemos tener la idea de que la diferencia entre los resultados se deba en exclusiva a la diferencia de los métodos utilizados. Aunque los datos iniciales demuestran un equilibrio inicial entre los dos grupos, es obvio que hay una multitud de factores que pueden influir en los resultados académicos de los grupos, a parte de los métodos utilizados con ellos. De hecho, en las demás asignaturas del curso pudimos observar como en general el grupo experimental evolucionó mejor que el grupo control, aunque sí es cierto que las diferencias más significativas se produjeron en la asignatura de Matemáticas.

También hay que ser consciente de que esta es una experiencia puntual, con dos grupos concretos y que se podría extender a otros contextos para ver si los resultados siguen la misma tendencia. De este modo, proponemos hacer la experiencia adaptándola convenientemente en otros cursos, otras localidades, en centros de diferente tipología (privados y concertados), extendiendo la duración de la experiencia, etc.

Esta experiencia refuerza nuestra opinión inicial sobre el uso de la demostración. Consideramos que la forma ideal no es la que hemos utilizado en esta investigación ya que los alumnos de los dos grupos eran desconocidos para el profesor de la asignatura y en cursos anteriores no se habían acostumbrado a trabajar con estos procedimientos. Aunque hemos intentado actuar en el grupo experimental de la manera más progresiva posible, empezando con simples pruebas y comprobando algunas conjeturas, está claro que este proceso debería haber comenzado en cursos anteriores, introduciendo a los alumnos estos procedimientos y acostumbrándolos a justificar afirmaciones y a ser críticos con las que se les presentan.

En resumen, proponemos que, tras una formación adecuada del profesorado sobre cómo, cuándo y qué demostrar, estos procedimientos se introduzcan en el currículo de una forma más explícita de la que aparecen en la actualidad y que se utilicen en el aula como una herramienta que sirva para mejorar los procesos matemáticos generales, en especial en la resolución de problemas, sin que sea un objetivo primordial la evaluación propia de estos procedimientos.

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Enrique Sánchez Freire. Licenciado en Matemáticas (Universidad Complutense de Madrid). Profesor de Educación Secundaria de Matemáticas. Centro de trabajo: Instituto de Enseñanza Secundaria Luis García Berlanga, Coslada. Madrid. Email: [email protected] Juan Antonio Gil Pascual. Profesor titular de Metodología de la Investigación Cuantitativa. Facultad de Educación – Universidad Nacional de Educación a Distancia. Email: [email protected]



Anexo

1. En la figura de la derecha vemos un molinillo de viento formado por un cuadrado y cuatro triángulos rectángulos isósceles, que está inscrito en un octógono. Si el área del octógono es de 42 m2, hallar el área del molinillo.

2. Un camionero presupuesta cierta cantidad de dinero para el gasto de carburante en un recorrido de 600 Km. Sin embargo, una rebaja repentina en el precio del gasóleo le supuso una rebaja de 0,14 € por Kilómetro, lo que le permitiría hacer un recorrido de 750 Km con el mismo gasto. Calcular la cantidad que fue presupuestada inicialmente para el carburante.

3. Un torneo de tenis se juega por el sistema de “eliminatoria directa” que quiere decir que el perdedor de un partido queda eliminado del torneo. Si en el torneo participan 130 jugadores, ¿cuántos partidos deberán disputarse para conocer al ganador?

4. En otro torneo de tenis participaron únicamente 6 jugadores. Cada jugador juega un partido con cada uno de los restantes. Alicia ganó 4 partidos, Beatriz 3, Carlos 2, David 2 y Emilio solo 1. ¿Cuántos partidos ganó Félix?

5. Un vendedor ambulante encuentra una oferta y compra pantalones a un precio de 126 € la docena y camisetas a un precio 105 € cada caja de 20 unidades. Decide comprar 3 docenas de pantalones y 2 cajas de camisetas. En su puesto venderá cada pantalón a 14 € y cada camiseta a 8 €. Si consigue vender toda la mercancía, ¿cuál será el beneficio que obtenga?

6. Como ya sabes, un número es primo si tiene únicamente dos divisores. Por ejemplo, son números primos el 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc. Ahora te pregunto:

a) ¿Cuál es el primer número primo mayor que 200?

b) Pon cinco ejemplos de números que tenga únicamente tres divisores. ¿Qué características cumplen estos números?

7. Completa las casillas que faltan de todas las formas posibles:

8. Intenta, utilizando únicamente cuatro cuatros y las operaciones fundamentales (suma, resta,

multiplicación, división, raíz cuadrada, potencia y paréntesis), formar todos los números de 0 al 10. El primero te lo doy hecho de cuatro formas distintas: 0 = 4 + 4 – 4 – 4 = 44 – 44 = 44

– 44 = 4 4 4 4⋅ − ⋅


ISSN: 1887-1984




Influencia del contexto y la estructura en la actuación de los estudiantes al

resolver problemas de probabilidad condicional

Gladys Mejía Osorio (Colegio Cafam Santa Lucía. Colombia) Lady Yamile Sierra Blanco (Colegio Adventista del Norte. Colombia)

Felipe Fernández Hernández (Universidad Pedagógica Nacional. Colombia)

Fecha de recepción: 21 de octubre de 2013


Resumen En este artículo, se presentan algunos resultados de cómo el contexto y la estructura en que

se presenta los datos de un problema de probabilidad condicional ternario de nivel 1, genera

diferentes efectos en la búsqueda de estrategias de solución por parte del estudiante. Para

evidenciar los efectos que genera el contexto en el proceso de resolución de problemas se

diseñó un experimento de enseñanza (conformado por tres tareas cada una con tres problemas), en el cual se enfatiza en los problemas ternarios de probabilidad condicional de

nivel 1, categoría tres, en los tres subtipos que son expuestos en el marco de referencia de

este documento. Para la presentación del enunciado del problema se decidió expresar los

datos en tres contextos diferentes: social, de industria y de diagnóstico. Por otro lado, se

controlaron variables como la naturaleza de los datos y la estructura del enunciado del

problema; en particular, los datos se dieron en cantidades absolutas en un solo nivel.

Palabras clave Probabilidad condicional, tipos de problemas, estructura de los problemas, contexto de un

problema, experimento de enseñanza.

Abstract In this article, we present some results about how the context and structure in the data

presented in a conditional probability problem Level 1, produces different effects in finding

solution strategies for the student. To demonstrate the effects generated by the context in

problem solving process designed a teaching experiment (consisting of three tasks each

with three problems ) , in which we emphasize the problems ternary conditional probability

of level 1 category three in the three subtypes that are exposed in the framework of this

document. For the presentation of the problem statement was decided to express the data in

three different contexts: social, industrial and diagnostics. On the other hand, are controlled variables as the nature of the data, the structure of the problem statement and, in particular,

data are given in absolute amounts in a single level.

Keywords Conditional probability, types of problems, structure problems, problem context, teaching

experiment.

1. Introducción

Aunque la escuela no dé mucha importancia al estudio de la probabilidad y especialmente a la probabilidad condicional; se encuentran estudios que le dan relevancia a este tema en los cuales se

considera importante abordar aspectos que aportan a su enseñanza y aprendizaje. En algunas

investigaciones, por ejemplo en Yañez (2001), se reporta una clasificación de los problemas de

probabilidad condicional; luego, en Carles y Huerta (2007); Lonjedo (2008); Carles, Cerdán, Huerta y


Influencia de la estructura y el contexto en el desempeño de los estudiantes al resolver

problemas de probabilidad condicional G, Mejía; L, Sierra; F. Fernández

96 NÚMEROS Vol. 86 julio 2014

Lonjedo (2009); en Huerta y Lonjedo (2009) se mencionan aspectos relacionados con la estructura y el

contexto de dichos problemas, elementos que pueden tener incidencia en el actuar de los estudiantes al

darles solución. Por ello, al tener en cuenta la importancia de la probabilidad condicional y las investigaciones en relación al tema, se consideró pertinente llevar a cabo una investigación relacionada

con el contexto de los problemas de probabilidad condicional puesto que se constituye en una variable

de tarea que puede sugerir variación en el proceder de los estudiantes.

En este artículo, se presenta un estudio realizado en el marco de propuestas sugeridas por la línea de educación estadística

1 a partir de los resultados de un experimento de enseñanza aplicado a un

grupo de 36 estudiantes de grado once de un colegio privado de la ciudad de Bogotá. El objetivo

general de la investigación que se reporta en este artículo surge como resultado del trabajo de grado

presentado al programa de Maestría en Docencia de la Matemática ofrecido por la Universidad Pedagógica Nacional (ver Mejía y Sierra, 2012), y se basa en dar cuenta de la influencia que tiene el

contexto (caracterizado como social, industria y diagnóstico) en que se formulan los problemas de

probabilidad condicional, en relación con la estructura del enunciado verbal y la presentación de los datos. Como se verá, pese a que las condiciones del problema sean similares, se identifica que el

contexto y la estructura inciden en la actuación de los estudiantes.

2. Contexto en que se formulan los enunciados de los problemas de probabilidad

condicional

La posición frente al concepto de contexto surge de dos fuentes, por un lado la revisión de

textos escolares para identificar la manera como se establecen los contextos relativos a la probabilidad

condicional y por otra parte, la postura de algunos autores como Valero (2002) y Font (2007), quienes han dado pautas para conceptualizar el contexto en que se formulan enunciados de problemas de

matemáticas escolares.

En relación al análisis de los textos escolares, encontramos que los problemas que allí se

presentan, se destacan por relacionar en sus enunciados situaciones que aluden a procesos industriales de control de calidad, eventos sociales como sondeos de opinión sobre deportes o política, asuntos de

medicina como la efectividad de un medicamento y otros afines a los ya nombrados; además se

apoyan de gráficos, tablas y diagramas para la presentación de los datos, los cuales están dados en

términos de probabilidades, frecuencias absolutas o porcentajes. Para nuestro estudio, la variable principal la constituyó el contexto, debido a que los problemas eran enunciados verbales con datos en

lenguaje natural, sin presentación de gráficos o tablas.

Con respecto a los planteamientos realizados por Valero y Font, se considera el contexto como

aquella situación particular en la que los problemas de probabilidad condicional están formulados, es decir, el conjunto de escenarios o hechos fenomenológicos en que se enmarca el enunciado de los

problemas. En este orden de ideas, los fenómenos trabajados en la investigación se decide rotularlos

como de carácter social, de industria o diagnóstico. A continuación se amplían los puntos de referencia

que abarcan estos tres contextos en los enunciados de los problemas.

1 Esta línea de investigación pertenece al grupo de Didáctica de la Matemática de la Universidad Pedagógica

Nacional, registrado en Colciencias.





2.1. Contexto social

En el caso puntual del experimento de enseñanza desarrollado en la investigación, los

problemas que se enmarcan en este contexto, tienen como objeto aquellos fenómenos de sondeos de

opinión , es decir, aquellas situaciones destinadas a conocer la opinión pública o estudios de una población específica, así como los reportes que se pueden presentar de las características demográficas

y sociales de una determinada población. Específicamente en la investigación, se considera en el

contexto social, el reporte de vehículos asegurados de color azul en relación con los accidentados y el

sondeo de opinión acerca de la práctica de deportes de los huéspedes de un hotel.

2.2. Contexto de industria

Los problemas de probabilidad condicional que se enmarcan en un contexto de industria, hacen

referencia a la producción de un determinado producto o artículo y si éste se elaboró de manera

adecuada o defectuosa. También relaciona la obtención de productos por parte de proveedores y los mecanismos de acción, herramientas que son empleadas para detectar la presencia de errores, así

como, la elección que puede realizar una persona al adquirir un determinado producto. En particular,

se considera para el contexto de industria, problemas donde se refiere la fabricación de televisores por dos máquinas distintas y su relación televisor defectuoso y no defectuoso. Así mismo, se considera un

problema donde se reporta la obtención de reguladores por parte de un almacén a dos fábricas

diferentes y también se relaciona el evento regulador defectuoso y no defectuoso.

2.3. Contexto de diagnóstico

Los problemas de probabilidad condicional que se enmarcan en un contexto de diagnóstico hacen referencia a los hechos fenomenológicos que tienen por objeto diagnosticar una determinada

enfermedad mediante una prueba médica o el éxito de cierta medicina para la cura de alguna

enfermedad, así como los resultados de un examen médico, tal y como es el caso de una radiografía, ecografía, etc. en las tareas propuestas se utilizaron problemas relacionados con el pronóstico de las

ecografías y los nacimientos reales; también se presentaron problemas acerca del diagnóstico de

enfermedades en relación con el padecimiento real.

3. Clasificación de los problemas de probabilidad condicional según la estructura

Las tareas planteadas en el experimento de enseñanza de la investigación reportada en el

presente artículo, corresponden a 9 problemas de probabilidad condicional de enunciado verbal con

formato de frecuencias naturales; clasificados en nivel 1, tipo 1, categoría 3 y subtipos 0,1 y 2; la clasificación de los problemas de probabilidad es realizada por Yañez (2001) y luego Lonjedo (2009),

en su tesis doctoral hace uso de esta clasificación y organiza los problemas en tipos y categorías

relacionando datos del enunciado y pregunta, la clasificación en subtipos se consolida a medida que se

lleva a cabo la investigación. A continuación se explica un poco lo que se considera como nivel,

categoría y tipo.

3.1. Nivel

El nivel está determinado por el número de probabilidades condicionales presentes en el texto

del problema o de los datos interpretables como probabilidades condicionales. Nivel 1, cero probabilidades en el enunciado del problema; Nivel 2, una probabilidad en el enunciado del problema;

http://es.wikipedia.org/wiki/Opini%C3%B3n_p%C3%BAblica




Nivel 3, dos probabilidades condicionales en el enunciado del problema; Nivel 4, tres probabilidades

condicionales en el enunciado del problema.

3.2. Categoría

Hace referencia al número de probabilidades marginales presentes en el enunciado. Categoría 1, hace referencia a enunciado verbal en el cual los datos no presentan ninguna probabilidad de la

marginal; Categoría 2, refiere aquellos enunciados verbales en el cual los datos presentan una

probabilidad de la marginal. Categoría 3, refiere a aquellos enunciados verbales en el que el

enunciado del problema presenta dos probabilidades de la marginal.

3.3. Tipo

Está determinado por la pregunta del problema.Tipo 1, cuando se pregunta por una probabilidad

condicional; Tipo 2, cuando se pregunta por una probabilidad marginal; Tipo 3, cuando se pregunta

por una probabilidad de la intersección.

Después de dar una mirada a los niveles, categorías y tipos de problemas de probabilidad condicional, ahora se presenta lo que se entiende por subtipo y al mismo tiempo se inicia la

presentación de los problemas de probabilidad condicional que se utilizaron en el estudio realizado.

3.3.1 Problemas subtipo 0

Los enunciados de los problemas de este subtipo, presentan tres datos que corresponden a dos

marginales y una intersección, la pregunta da cuenta de una probabilidad condicional. Este subtipo de

problemas presenta información donde no se encuentran datos que proporcionen elementos de manera directa para encontrar la respuesta a la pregunta; se hace necesario realizar algunos procedimientos

que lleven a plantear la probabilidad condicional de manera acertada. El siguiente problema se

constituye en un ejemplo de problema de subtipo 0.

Problema 1. En un hotel se realiza una encuesta a 500 de los huéspedes en relación a sus

prácticas deportivas de tenis y golf. La encuesta encontró que 390 huéspedes no juegan tenis; 30

no juegan ni tenis ni golf y 410 juegan golf. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un huésped

este no juegue golf, dado que juega tenis?

Al organizar la información de los datos proporcionados por este enunciado en una tabla de doble entrada (ver Tabla 1), se puede notar que en la columna sombreada en amarillo, donde se señala

con interrogaciones la frecuencia del numerador del cociente de la probabilidad condicional que se

debe encontrar para responder a la pregunta, no hay datos de las otras dos frecuencias, es decir, ni de

la conjunta (los que juegan tenis y golf), ni de la marginal (total de los que juegan tenis). Esta particularidad hace que problemas con estas características los enmarquemos en un subtipo

denominado cero (cero datos para hallar la probabilidad de manera directa). En problemas como este,

el estudiante deberá realizar al menos cuatro operaciones aritméticas para llegar a la respuesta correcta. Específicamente, se puede hacer las siguientes operaciones: uno, hallar el total marginal de

los que juegan tenis; dos, encontrar la marginal de los que no juegan golf; tres, determinar la

frecuencia conjunta de los que juegan tenis y no juegan golf; y cuatro, realizar el cociente del resultado anterior, con el total o marginal de los que juegan tenis, para explicitar finalmente, que el resultado

anterior es la respuesta a la pregunta.





DEPORTES TENIS NO TENIS TOTAL

GOLF 410

NO GOLF “¿?” 30

TOTAL 390 500

Tabla 1. Tabla de doble entrada para un problema de subtipo 0

Los enunciados de los otros dos problemas de este subtipo propuestos a los estudiantes como

ubicados en los contextos de industria y diagnóstico respectivamente, fueron:

Problema 2. Una planta recibe 250 reguladores de voltaje de dos diferentes distribuidores, 120

de los reguladores se compran a la empresa Voltage y el resto a la empresa Electric Company. Si

de los reguladores comprados 12 se encuentran defectuosos y se sabe que 115 reguladores de los

comprados a Voltage se encuentran en buenas condiciones. ¿Cuál es la probabilidad de que al

seleccionar al azar un regulador éste sea defectuoso dado que se ha comprado a Electric

Company?

Problema 3. En un hospital se atendieron 250 personas, de las cuales 120 fueron diagnosticadas

positivamente en relación a infección intestinal, el resto fueron diagnosticadas negativamente. De

las personas diagnosticas negativamente solo 123 no padecen la enfermedad. Además 128 personas no padecen la enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea

diagnosticada positivamente, dado que padece la enfermedad?

3.3.2. Problemas subtipo uno

También, como en los de subtipo 0, los enunciados de este tipo de problemas presentan tres datos: dos marginales y uno de intersección, y se pregunta por una probabilidad condicional. Sin

embargo, en este subtipo se presenta información donde sólo se encuentra un dato que proporciona

elementos para encontrar la respuesta a la pregunta de manera directa. A continuación se presenta el

ejemplo del problema de este subtipo, que hizo parte del experimento de enseñanza realizado y que se

ubica en un contexto de industria.

Problema 4. En una fábrica de televisores se producen 700 unidades, de las cuales 6 son

fabricadas por la máquina uno y salen defectuosas. 395 televisores son fabricados por la máquina

dos y 689 televisores no salen defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un televisor

este lo haya producido la máquina 2 dado que no es defectuoso?

La información de los datos proporcionados por el enunciado anterior se presenta en la siguiente

tabla de doble entrada (ver Tabla 2). Al igual que para el ejemplo de un problema del subtipo 0, en

este caso se destaca en color amarillo la zona que corresponde a los datos de mayor interés para plantear la probabilidad pedida y así mismo dar la solución al problema a través de alguna secuencia

de operaciones aritméticas. Se observa en la franja amarilla que de los tres datos posibles solo se

encuentra uno; este hecho es lo que clasifica a este tipo de problemas como del subtipo 1.

DEFECTUOSO NO DEFECTUOSO TOTAL

Maq 1 6

Maq 2 “¿?” 395

Total 689 700





Los otros enunciados que corresponden al subtipo 1, propuestos a los estudiantes para el

contexto social y de diagnóstico respectivamente, fueron:

Problema 5. En un hotel se realiza una encuesta a 500 de los huéspedes en relación a sus

prácticas deportivas de tenis y golf. La encuesta encontró que 50 huéspedes juegan tenis y golf; 90

no juegan golf y 390 no juegan tenis. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un huésped este no

juegue tenis dado que juega golf?

Problema 6. En un centro médico, de 120 nacimientos 62 fueron varones y el resto hembras. Si de

las ecografías previstas 70 indicaban que sería un varón y 43 nacimientos de niñas fueron

previstas por la ecografía. Encuentra la probabilidad de que naciera un varón dado que la

ecografía indicaba que era mujer.

3.3.3. Problemas subtipo dos

El subtipo 2 de problemas también presenta en el enunciado dos datos correspondientes a

marginales y una intersección y una pregunta acerca de una probabilidad condicional. Lo diferente respecto a los anteriores subtipos es que en ellos se presenta información de dos datos que

proporcionan elementos para encontrar la respuesta a la pregunta. A continuación se comenta el

problema de subtipo 2, correspondiente a un contexto de diagnóstico, presentado a los estudiantes.

Problema 7. En un hospital se atendieron 250 personas, de las cuales 120 fueron diagnosticadas

positivamente en relación a infección intestinal, el resto fueron diagnosticadas negativamente. De

las personas diagnosticas positivamente solo 5 no padecen la enfermedad. Además 122 personas

padecen la enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona padezca la enfermedad,

dado que fue diagnosticada positivamente?

Se sigue la misma línea de lo comentado en los problemas de subtipo 0 y 1. Para este caso, en la tabla de doble entrada que sigue (ver Tabla 3), al organizar la información que aporta el enunciado, se

encuentra que en la franja amarilla, hay dos datos que sirven para la solución del problema y éstos se

relacionan directamente con la pregunta planteada. Se debe observar entonces que para llegar a la

solución del problema, se requiere el desarrollo de un menor número de operaciones aritméticas. En efecto, en este caso una sola operación aritmética, la aplicación de la diferencia entre la marginal del

diagnóstico positivo y la conjunta de los que no padecen la enfermedad y tienen diagnóstico positivo,

basta para hallar el interrogante señalado en la Tabla 3.

DIAG. (+) DIAG. (-) TOTAL

PADECE “¿?” 122

NO PADECE 5

TOTAL 120 250


Los enunciados de los otros dos ejemplos de problemas presentados a los estudiantes, en el

contexto social y de industria respectivamente, fueron:





Problema 8. Una compañía aseguradora de vehículos presenta su reporte anual en relación a la

situación de 2000 autos asegurados, así: 400 vehículos de color azul fueron asegurados, 280

vehículos se accidentaron ,150 vehículos de color distinto al azul se accidentaron. Si al

seleccionar un vehículo al azar, se sabe que este se accidentó, ¿cuál es la probabilidad de que sea

azul.

Problema 9. En una fábrica de televisores se producen 700 unidades, de las cuales 11 salen

defectuosos, 305 televisores son fabricadas por la máquina uno y 5 televisores defectuosos los

fabrica la máquina dos. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un televisor este lo haya

fabricado la maquina 1, dado que es defectuoso?

Cabe señalar que a partir de la clasificación de los tres subtipos enunciados y de los tres

diferentes contextos contemplados, se identifica que hay un total de 9 problemas distintos que se

pueden proponer. La siguiente tabla (Ver Tabla 4) da a conocer las relaciones de los problemas según subtipo (S0, S1 y S2) y contexto (social, industria y diagnóstico) considerados. Nótese que en todos

los casos los problemas fueron de nivel 1 (N1), tipo 1 (T1) y categoría 3 (C3). Por lo tanto, si se

quisiera considerar toda la variedad de clases de problemas sin variar el nivel (N1), ni el tipo (T1) sino, por ejemplo, las categorías (C1, C2 y C3), el contexto (social, industria y diagnóstico) y el

subtipo de problemas (S0, S1 y S2) se debería contemplar un total de 27 casos de problemas. Esta es la

razón que llevó a delimitar la cantidad de problemas propuestos en el presente trabajo, en el que se optó por analizar la influencia del contexto, sobre la categoría tres, el nivel 1 y el tipo 1, al variar el

subtipo de problema. Dicha clasificación, conlleva al análisis de la complejidad de los problemas,

debido a que se considera de menor complejidad los del subtipo 2, seguidos del subtipo 1, y de mayor

complejidad los problemas del subtipo 0.

Social Industria Diagnóstico

Subtipo 0 N1T1C3S0 N1T1C3S0 N1T1C3S0



Tabla 4. Posibles relaciones de problemas de probabilidad condicional

4. Metodología

Ya teniendo claridad acerca del contexto y la estructura presente en los problemas de

probabilidad condicional, se describe de manera somera la metodología contemplada para el desarrollo de la investigación: el experimento de enseñanza. Según Penalba, Roig y del Rio (2009), que

contempla un “ciclo de investigación” en tres fases: 1) diseño y planificación de la instrucción, 2)

experimentación en el aula con las tareas diseñadas, y 3) análisis retrospectivo. Dichas fases se

llevaron a cabo de la siguiente manera:

4.1. Diseño y planificación

En esta fase se llevó a cabo la revisión teórica en relación a la clasificación de los problemas de

probabilidad condicional y luego se diseñaron tres talleres, que se aplicaron en tres sesiones de clase a

estudiantes del Colegio Adventista del Norte ubicado en la décima localidad de Engativá (Bogotá, D.C), en el grado once conformado por 36 estudiantes con edades comprendidas entre los 15 y 18 años




de edad. La intervención se llevó a cabo al finalizar el año escolar del 2011 y el inicio del año escolar

del 2012. Institucionalmente el Colegio imparte la asignatura de matemáticas y estadística por

separado. Cada taller aplicado presentaba tres problemas de probabilidad condicional categoría tres, en

tres contextos: social, industria y diagnóstico.

4.2. Experimentación en el aula con las tareas diseñadas

En primer lugar se aplica una prueba diagnóstico, luego se lleva a cabo la aplicación del primer

taller y se realiza el análisis retrospectivo (fase 3). Luego se propone a los estudiantes el segundo taller y después de esta intervención, se hace necesario esperar un tiempo para poder llevar a cabo la

aplicación del último taller.

4.3. Análisis retrospectivo

En esta fase, se realizaron los respectivos análisis de la experiencia en el aula a partir de

referentes teóricos que fundamentan la trayectoria hipotética de aprendizaje de la probabilidad condicional, planteada en la fase uno. En esta fase se comprobó si los materiales, los dispositivos y/o

el tipo de diseño permitieron generar la actividad esperada en los estudiantes, y si la actividad

cognitiva y social desarrollada por ellos correspondió o no con lo que se había previsto en la primera

fase.

5. Resultados

Después de aplicados los tres talleres, se lleva a cabo un análisis de las diferentes actuaciones de

los estudiantes a la hora de solucionar los problemas, clasificando dichos resultados por contextos y estructuras. Se da una mirada a los problemas del mismo contexto, pero de subtipos 0,1 y 2, con el fin

de determinar la actuación frente a la estructura del problema, dejando fija la variable contexto, así

mismo se deja fija la variable estructura y se lleva a cabo el análisis del contexto; de este mismo

análisis se concluye acerca del contexto de menor complejidad y el de mayor complejidad.

A continuación se presenta el análisis de algunos problemas aplicados a los estudiantes. Aunque se llevó a cabo una investigación y análisis cuantitativo y cualitativo en los tres contextos y las tres

estructuras, en el presente artículo solamente se ilustran y comentan algunas de las respuestas de los

estudiantes en los problemas del contexto de industria y se dan a conocer los resultados cuantitativos

de los demás contextos.

5.1. Análisis Contexto de industria

5.1.1. Problema 9

En el contexto de industria para los problemas de subtipo 2, el 69% de los estudiantes dieron

una respuesta correcta a este problema. Un ejemplo del tipo de respuesta dada por ellos se ilustra en la

Figura 1. En dicha figura se identifica una correcta determinación de la intersección (5 televisores defectuosos de la máquina dos), las marginales correspondientes al evento condicionado y al evento

condicionante (ser defectuoso, 11 y ser fabricado en la máquina uno, 305) y el gran total (700).

Además, entre los procedimientos realizados se identifica la organización de la información en una tabla de doble entrada, posiblemente como una estrategia para hallar el complemento (intersección

entre los televisores no defectuosos que fueron fabricados por la máquina uno); se infiere entonces que





así obtienen como resultado que: 299 televisores fueron fabricados por la máquina uno y salieron en

buenas condiciones y 390 fueron fabricados por la máquina dos y salieron en buen estado. Luego, los

estudiantes debieron hallar el dato que corresponde a la marginal de los televisores fabricados por la maquina dos, es decir 395 televisores y los 689 que corresponde a los televisores fabricados en buen

estado (no defectuosos). Posteriormente establecieron la probabilidad de elegir un televisor fabricado

por la maquina uno, dado que es defectuoso y establecer el cociente de 6/11 para encontrar la

probabilidad pedida.

Otro tipo de respuesta exitosa se muestra en la Figura 2, en la que es claro que no se recurre a

un arreglo tabular de doble entrada para llegar a una respuesta que se presenta con una cifra

significativa pues el cociente 6/11 es igual a 0,55 si se utilizan dos decimales de aproximación. La

figura ilustra que los estudiantes restan de la marginal la intersección para establecer el complemento de la intersección. Para ello toman la cantidad de los 11 televisores y le restan los 5 televisores que

corresponde a los que son fabricados en la máquina dos y presentan algún defecto, obtienen así como

resultado que 6 televisores son fabricados en la máquina uno y presentan algún defecto. Luego

encuentran la probabilidad condicional por medio del cociente ya señalado.

Figura 1. Ejemplo de respuesta exitosa al problema 9 usando tabla para organizar los datos

Figura 2. Ejemplo de respuesta exitosa al problema 9 sin utilizar un arreglo tabular

Respecto a ejemplos de respuestas no exitosas referidas al problema 9, en la Figura 3 se ilustra

un caso en donde se establece la intersección del evento condicionado correctamente pero no se

identifica de manera adecuada el dato de la marginal asociada al evento condicionante

Figura 3. Ejemplo de respuesta no exitosa al problema 9




5.1.2. Problema 4

Para este problema, catalogado como de subtipo 1, el porcentaje de éxito descendió a 64%. En

este caso, la parte complicada para los estudiantes era encontrar el valor de la intersección (el 390 de

televisores no defectuosos fabricados por la máquina dos) pues la marginal de los televisores no defectuosos venía dada (el 689). Para dar solución a este problema algunos estudiantes organizan la

información en una tabla de doble entrada igual a la mostrada en la Figura 1, sino que en este caso

escribieron, en la esquina superior derecha a lado de la tabla de doble entrada, “la probabilidad es 390/689”. Así, la elaboración de esta tabla de doble entrada, permite inferir la identificación, por parte

de los estudiantes, del gran total de televisores fabricados por las dos máquinas (700), del marginal del

evento condicionante (689) y de las demás marginales (11, 305 y 395); los demás datos se tuvieron

que hallar con base en operaciones aritméticas de diferencias. Otros estudiantes (ver Figura 4) restan del total (700) la marginal de los televisores no defectuosos (689) para establecer la marginal del

número de televisores defectuosos, luego toman el resultado anterior (11) y le restan la frecuencia

conjunta de televisores de la máquina uno que son defectuosos (6), para hallar el complemento de televisores defectuosos de la máquina dos (5); en la respuesta mostrada en la Figura 4, dado que no

aparece explícitamente la operación “395 - 5 = 390”, se infiere la realización mental de la misma, para

llegar finalmente al cociente que expresa la respuesta (390/689 = 0,56%).

Figura 4. Ejemplo de respuesta exitosa al problema 4, sin usar arreglo tabular

En la respuesta de otros estudiantes se identifica la organización de la información en una

especie de diagrama de árbol. El resultado de este tipo de respuesta se ilustra en la Figura 5.

Figura 5. Ejemplo de respuesta exitosa al problema 4, utilizando un esquema de árbol

Un estudiante establece la probabilidad pedida correctamente pero no escribe el procedimiento

que él empleo para establecer los datos necesarios para dar la solución al problema.

5.1.3. Problema 2

Para este problema, catalogado como de subtipo 0, el porcentaje de éxito en la solución es de 58

%, el más bajo de los tres subtipos. Para encontrar la solución, se hacía necesario realizar más de un

procedimiento aritmético, ya que se debía encontrar el complemento de la intersección y luego relacionar este dato con otros para dar respuesta a la pregunta planteada. Dentro de los procedimientos

encontrados, se evidencia que algunos estudiantes restan de la marginal la intersección para establecer





el complemento de la intersección; para ello manipulan el dato 120 que corresponde a la cantidad de

reguladores que se compraron a la distribuidora Voltage y le restan 115 que corresponde a la cantidad

de reguladores comprados a esta misma empresa pero que se encuentran en buen estado, obteniendo como resultado que 5 de los reguladores salieron con algún defecto. Posteriormente los estudiantes

toman los 5 reguladores que fueron comprados a la distribuidora Voltage y que salieron defectuosos y

los restan con la cantidad de reguladores defectuosos, luego establecen que 7 de los reguladores comprados a la distribuidora Electric Company, salieron con algún tipo de defecto. Este hecho se

ilustra en la figura 6 que corresponde a una solución de uno de los estudiantes.

Figura 6. Solución del problema de contexto de industria subtipo 0

En este subtipo y contexto los procedimientos de los estudiantes se reducen a la sola

manipulación aritmética.

Con respecto a los procedimientos no exitosos encontramos que los estudiantes suman la

cantidad total de elementos del espacio muestral, los reguladores defectuosos, los no defectuosos y la cantidad de reguladores comprados en las dos distribuidoras, olvidan que este valor supera la cantidad

de productos comprados. Este hecho se ilustra en la figura 7 que corresponde a una solución de uno de

los estudiantes.

Figura 7. Solución del problema de contexto industria subtipo 0

Otros estudiantes hacen uso incorrecto de los diagramas de Venn, aspecto que no les permite

identificar las marginales y la intersección en el problema así como el evento condicionado y el evento

condicionante, debido que, la ubicación del cardinal de cada una de las marginales y las intersecciones

no coincidía con el conjunto total del espacio muestral. Este hecho se ilustra en la figura 8 que

corresponde a una solución de uno de los estudiantes.




Figura 8. Solución no exitosa del problema de contexto industria subtipo

Otros estudiantes establecen el porcentaje de los reguladores defectuosos con relación a la

cantidad total de los reguladores comprados en las dos distribuidoras. Este procedimiento es

considerado como incorrecto puesto que los estudiantes no identifican el evento condicionado y el

evento condicionante. Por tal motivo concluye que 12 es el 4.8% de 250.

5.2. Análisis Contexto social

Con respecto a este contexto las soluciones dadas por los estudiantes, muestran una influencia

significativa de la estructura del problema; de nuevo se tiene que cuando no se relaciona ningún dato dado con la probabilidad pedida, este genera una complejidad más significativa para los estudiantes,

que cuando si se presentan más datos.

5.3. Análisis Contexto Diagnóstico

En este contexto las soluciones dadas por los estudiantes muestran que cuando el problema no relaciona ningún dato con la probabilidad pedida, presenta un grado de complejidad mayor para los

estudiantes, en relación a los anteriores contextos vemos que el nivel de éxito disminuyo

significativamente.

5.4. Análisis de la relación Contexto y Estructura

A partir de lo presentado con anterioridad, se puede evidenciar que en los problemas de probabilidad condicional priman la variable estructura y contexto para determinar el grado de

complejidad de cada uno de ellos.

Al realizar un análisis general de los contextos de los problemas, se encuentra que el problema

de mayor complejidad es del contexto diagnóstico y el de menor complejidad el de industria. Así mismo en relación a la estructura el problema de mayor complejidad es el del subtipo cero. La tabla

siguiente y su respectivo grafico ilustran el éxito en relación a la solución de los problemas presentada

por los estudiantes:





Diagnostico Social Industria Promedio

Sub 0 26 29 58 37.6

Sub 1 30 51 64 48.3

Sub 2 58 63 69 63.3

Promedio 38 47.6 63.6

Tabla 5. Soluciones exitosas según contexto y estructura

0

20

40

60

80

DIAGNOSTICO

SOCIAL INDUSTRIA

PROMEDIO 38 47,666666 63,666666

ÉXIT

O E

N L

A S

OLU

CIÓ

N

CONTEXTOS

Figura 9. Éxito en la solución en cada contexto

0

20

40

60

80

Sub 0 Sub 1 Sub 2

Series1 37,66666 48,333333 63,33333

ÉXIT

O E

N L

A S

OLU

CIÓ

N

ESTRUCTURA

Figura 10. Éxito en la solución según estructura




Figura 11. Éxito en la solución según estructura y contexto

Finalmente se encuentra la siguiente gráfica, en la que se relacionan todos los contextos con su respectiva estructura. Para efectos de lectura de la gráfica se presenta las respectivas conversiones que

aparecen en los respectivos ejes, según el contexto (I: industria, S: Social, D: Diagnóstico) y según la

estructura (2d: Dos datos, 1d: Un dato, 0d: Cero datos).

0%20%40%60%80%

2D-I

1D-I

0D -I

2D -S

1D -S

0D-S

2D-D

1D-D

0D -D

CON ÉXITO 69% 64% 58% 63% 51% 29% 58% 30% 26%

SIN ÉXITO 31% 36% 42% 37% 49% 61% 42% 70% 74%

Po

rce

nta

jes

Contextos y estructuras

Figura 12. Cantidad de estudiantes que dan solución con y sin éxito contextos y subtipos

Como se puede inferir de la gráfica el contexto que generó menos complejidad para los estudiantes fue el de industria, allí se encuentra el mayor número de soluciones exitosas por parte de

los estudiantes, seguido del contexto social y por último el contexto de diagnóstico que fue el más

complejo para los estudiantes. Por otro lado, se observa cuando la pregunta relaciona los datos con la

probabilidad pedida, gran parte de los estudiantes llegan a una solución correcta del problema, así mismo, la gráfica muestra que cuando el problema no relaciona los datos dados con la pregunta, el

éxito disminuye de manera significativa en los tres contextos abordados.





6. Conclusiones

Frente a la influencia de la estructura que presentan los problemas de probabilidad condicional

de enunciado verbal, cuando los estudiantes los resuelven, se puede concluir que el subtipo que presenta mayor grado de complejidad para ellos es el que hemos denominado sub tipo 0. Este subtipo

de problema no relaciona ninguno de los datos directamente con la pregunta, aspecto que conlleva a

realizar un análisis más detallado de los datos y a buscar estrategias de solución. En las soluciones de

estos problemas es relevante la organización de los datos en tablas de doble entrada, el uso de

representaciones gráficas y la utilización de varias operaciones aritméticas para llegar a la solución.

Por otra parte, los problemas del subtipo dos se consideran como los de menor complejidad.

Ello se debe a que en las soluciones de los estudiantes se evidencia que se recurre a realizar menos

operaciones aritméticas, suele no ser necesario la elaboración de tablas de doble entrada o de representaciones gráficas, pues los estudiantes pueden extraer directamente los datos que necesitan

para encontrar la solución y responder la pregunta del problema.

En relación al contexto, se llevó a cabo un análisis comparativo de los contextos en cada subtipo

de problemas y se encontraba que siempre el número de estudiantes que resolvía de manera exitosa los

problemas del contexto diagnóstico en relación a los demás contextos era menor. De ello se concluye que el contexto que presenta mayor complejidad para los estudiantes es el de diagnóstico,

independientemente de la complejidad de la estructura. Así mismo, el contexto de menor complejidad

llegó a ser el de industria, resultado un poco inesperado debido a que se creía inicialmente que el

contexto social era el menos complejo.

Respecto al éxito de los estudiantes al resolver problemas, con base en los análisis de resultados,

se evidencia que el contexto jugó un papel importante en sus actuaciones; cuando ellos resuelven un

problema en el contexto de industria el índice de éxito aumenta considerablemente y cuando los

estudiantes resuelven un problema formulado en un contexto de diagnóstico el índice de éxito

disminuye considerablemente, situación que se presenta en los tres subtipos.

A pesar de que la estructura y el contexto tienen una incidencia de forma individual, también la

presentan cuando se unen ambas variables y hace que esto incida en el actuar de los estudiantes.

Estructura y contexto se correlacionan en el sentido de que un problema de diagnóstico subtipo cero, se constituye en el más complejo para los estudiantes, mientras que un problema de subtipo dos y del

contexto de industria se considera el de menor complejidad para los estudiantes.

Además, se puede destacar el hecho de que los problemas de probabilidad condicional no

siempre están expresados en lenguajes avanzados de probabilidad, pero esto no quiere decir que no

sean complejos. Así mismo, aunque existan problemas similares en su estructura, el contexto lleva a ciertas actuaciones a los estudiantes, de la misma manera, aunque los problemas se encuentren en el

mismo contexto la estructura es factor determinante.

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Gómez, y L. Rico. Iniciación a la investigación en didáctica de la matemática. Homenaje al

profesor Mauricio Castro, p. 355-371. Granada: España.

Gladys Mejía Osorio. Licenciada en Matemáticas (Universidad Distrital Francisco José de Caldas,

Bogotá, Colombia), Magister en Docencia de las Matemáticas (Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, Colombia). Docente de Matemáticas Colegio Cafam Santa Lucia. Ponente en el XIII Encuentro

de Matemática Educativa ASOCOLME 2012. Nacida en Palmira Valle. Residente en Bogotá.

E-mail: [email protected].

Lady Yamile Sierra Blanco. Licenciada en Matemáticas (Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, Colombia), Magister en Docencia de las Matemáticas (Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá,

Colombia). Docente de Matemáticas Colegio Adventista del Norte. Ponente en el XIII Encuentro de

Matemática Educativa ASOCOLME 2012. Nacida el 25 de Noviembre de 1983 en Chía. Residente en

Bogotá..

E-mail: [email protected].

Felipe Fernández Hernández. Docente universitario desde 1983.Realizó estudios de Matemáticas y Maestría en Estadística. Es profesor de planta de la Universidad Pedagógica Nacional desde 2005.

Trabajó en “una empresa docente” de la Universidad de los Andes desde 1991 hasta2003, en donde se

desempeñó como profesor investigador y formador de profesores. Actualmente es coordinador de

proyectos de investigación en la línea de educación estadística en la Universidad Pedagógica Nacional y

catedrático de la Fundación Universitaria los Libertadores.

E-mail: [email protected]




De los errores identificados en la investigación a los errores encontrados en un aula de primero de bachillerato

Ana María Escudero Domínguez (Universidad de Sevilla. España) Josefa Domínguez Viñas (Instituto de Enseñanza Secundaria Los Alcores. España)

Fecha de recepción: 14 de noviembre de 2012 Fecha de aceptación: 2 de abril de 2014

Resumen En este trabajo nos proponemos identificar los errores matemáticos cometidos por el alumnado de Bachillerato de un centro de secundaria durante un curso escolar para poder conocer su tipología. Además, intentamos indagar sobre las particularidades de los mismos, reflexionando sobre su incidencia en nuestro contexto educativo. Como resultado se han obtenido diferentes categorías, que pueden ser utilizadas como herramienta que ayude a identificarlos y a seleccionar estrategias adecuadas para superar dichas dificultades.

Palabras clave Errores matemáticos, tipología, estrategias

Abstract In this work we aim to identify mathematical mistakes made by 16-18 year-old students, in a secondary school during a school year in order to know their typology. Also, we try to inquire about the distinctive features of those mistakes, reflecting on their impact on our educational context. As a result different categories have been obtained, which could be used as tool to identify and select appropriate strategies to overcome these difficulties.

Keywords Mathematical mistakes, typology, strategies

1. Introducción

En nuestra andadura como docentes, año tras año, van surgiendo los mismos errores por parte de nuestro alumnado. Cómo subsanar esos errores es el gran reto de todo enseñante. En nuestra experiencia educativa hemos detectado que diversos errores dificultan el aprendizaje. Es evidente que si el alumnado tiene una buena comprensión teórica y práctica de los contenidos tratados, no debe tener problemas en su desarrollo y menos aún en los cálculos matemáticos necesarios para su resolución. Pero es algo cotidiano oír la expresión, por parte de los estudiantes, cuando le corriges una tarea: “sé hacerla, pero me equivoco operando”. Sin embargo, debemos tener en cuenta que nuestro alumnado cuando realiza una tarea de forma errónea no siempre es debido a que se ha equivocado operando. Puede tener una mala comprensión del enunciado, una interpretación no adecuada, una falta de atención, que copie mal los datos, o que la estructura matemática empleada no sea la adecuada, etc., es decir, infinidad de circunstancias que impiden que el aprendizaje se desarrolle adecuadamente. Esto nos lleva, como docentes, a la necesidad de distinguir entre los diferentes tipos de errores y, en particular, entre los errores “de operación o cálculo” y los errores “de concepto”. A los errores de cálculo no se les suele dar importancia, pensando que “todo matemático se equivoca alguna vez en las

De los errores identificados en la investigación a los errores encontrados en un aula de primero de bachillerato A. Escudero. J. Domínguez


operaciones más sencillas”. El problema es reiterar el cálculo erróneo al tenerlo asumido como válido o considerar como error de cálculo algo que no lo es.

Para abordar los errores debemos trasladarlos en el tiempo. En todas las culturas, los científicos han ido teniendo obstáculos o han errado en sus investigaciones ante diversas circunstancias. Los errores forman parte del proceso de construcción y elaboración del conocimiento humano, en general; del conocimiento científico, en particular, y por tanto, de los procesos de construcción del conocimiento matemático. No aparecen por azar sino que surgen en un marco conceptual consistente, basado sobre conocimientos adquiridos previamente.

Concentrándonos en un contexto educativo, Socas (1997) establece una distinción entre errores que tienen su origen en actitudes afectivas y emocionales, errores que tienen su origen en una ausencia de sentido y errores que tienen su origen en un obstáculo. La noción de obstáculo epistemológico fue acuñada por el filósofo francés Gastón Bachelard para identificar y poner de manifiesto elementos psicológicos que impiden o dificultan el aprendizaje; éstos se presentan en todos los sujetos que se enfrentan a nuevas realidades las cuales se caracterizan por no tener una referencia directa.

Bachelard (1938), decía que:

“Hay que plantearse el problema del conocimiento científico en términos de obstáculos. Y no se trata de considerar obstáculos externos, como la complejidad y la fugacidad de los fenómenos, ni tampoco de culpar la debilidad de los sentidos de la mente humana, pues es, precisamente, en el mismo acto de conocer, íntimamente, cuando surgen, como una necesidad funcional, torpezas de entendimiento y confusiones. Es ahí donde mostraremos causas de estancamiento e incluso de regresión, y donde descubriremos causas de inercia que llamaremos obstáculos epistemológicos.”

Citado por Socas, 1997, pp. 135

Brousseau tomó las ideas de Bachelard y las desarrolló en el ámbito específico del aprendizaje de las matemáticas. En su trabajo distingue entre: obstáculos de origen psicogenético, que están vinculados con el estadio de desarrollo del estudiante; los de origen didáctico, vinculados con la metodología que caracterizó al aprendizaje; y los de origen epistemológico, relacionados con la dificultad intrínseca del concepto que se aprende y que pueden ser rastreados a lo largo de la historia de la matemática, en la génesis misma de los conceptos.

Se puede decir que nuestro alumnado se renueva año tras año, pero muchos de los errores por ellos cometidos han sido identificados en anteriores estudios y persisten a lo largo del tiempo. Partiendo de esta premisa nos planteamos como objetivos:

• Identificar los errores matemáticos cometidos en la ejecución de las distintas pruebas realizadas por el alumnado de Bachillerato de un centro de Secundaria durante un curso escolar para poder conocer su tipología, teniendo en cuenta los trabajos previos y nuestra propia experiencia.

• Indagar sobre las particularidades de los errores situados en cada tipología, reflexionando sobre su incidencia en los contenidos matemáticos desarrollados.

No pretendemos recoger errores cometidos por nuestro alumnado para hacerlos visibles. En este trabajo lo que pretendemos es tratar de identificarlos para buscar las dificultades que los originan y mejorar nuestra práctica docente.




2. Enmarcando el estudio

Muchos autores nos han proporcionado clasificaciones y tipologías de errores matemáticos. Las diferentes aportaciones han sido resumidas y sintetizadas en la tabla que incluimos a continuación:

Tipología Categorías

Brousseau

-Error a un nivel práctico. -Error en la tarea -Error de técnica -Error de tecnología -Error de nivel teórico

Socas -Errores que tienen su origen en un obstáculo. -Errores que tienen su origen en la ausencia de sentido. -Errores que tienen su origen en actitudes afectivas y emocionales hacia las matemáticas.

Movshovitz et al.

-Errores debidos a datos mal utilizados -Errores debidos a una interpretación incorrecta del lenguaje. -Errores debidos a inferencias no válidas lógicamente. -Errores debidos al uso de teoremas o definiciones deformados. -Errores debidos a la falta de verificación en la solución. -Errores técnicos

Radatz

-Errores debidos a la dificultad del lenguaje. -Errores debidos a dificultades para obtener información espacial. -Errores debidos a un aprendizaje deficiente de hechos, destrezas y conceptos previos. -Errores debido a rigidez del pensamiento. -Errores debidos a la aplicación de reglas o estrategias irrelevantes.

Astolfi

-Errores debidos a la comprensión de las instrucciones de trabajo dadas. -Errores que provienen de los hábitos escolares o de una mala interpretación de las expectativas. -Los errores como resultado de las concepciones alternativas de los alumnos. -Errores ligados a las operaciones intelectuales implicadas. -Errores debidos a los procesos adoptados. -Errores debidos a la sobrecarga cognitiva en la actividad. -Errores que tienen su origen en otra disciplina. -Errores causados por la complejidad del contenido.

Tabla 1. Tipología de errores extraída de Franchi y Hernández de Rincón. (2004), p. 71.

Queremos señalar que somos conscientes de que existen más investigaciones y más categorías dadas por otros autores, pero como marco para analizar los errores encontrados en nuestra aula, nuestro punto de partida ha sido fundamentalmente las identificadas por Movshovitz et al. (1987) y Socas (1997) anteriormente mencionadas en la tabla 1.

3. Metodología

Los participantes en este estudio han sido 16 chicas y 4 chicos, a los cuales impartíamos clase de matemáticas en primero de Bachillerato de Ciencias de la Salud y Tecnológico de un instituto de Enseñanza Secundaria de una localidad de una provincia andaluza. Generalmente presentaban buenos resultados académicos y en particular en la asignatura de matemáticas1.

La recogida de datos se desarrolló a lo largo del curso 2011− 2012. Para nuestro estudio utilizamos todas las pruebas realizadas en la asignatura de matemáticas. En total se han analizado 14 pruebas escritas, una por tema desarrollado, distanciadas temporalmente unas tres semanas. Queremos



señalar que no han sido cuestiones específicas para detectar errores concretos, sino las típicas pruebas de clase, “exámenes”, que se han ido realizando durante el curso. Dado que los temas: números complejos, lugares geométricos, combinatoria, estadística, vectores e integrales en la programación de departamento están desarrollados en segundo de Bachillerato, los errores encontrados en las distintas pruebas son fundamentalmente de tipo aritmético, algebraico, trigonométrico, funciones, límites y derivadas.

Cómo procedimiento de análisis hemos seguido los siguientes pasos:

1º.- Revisión inicial de los ejercicios de las distintas pruebas, señalando y recopilando los distintos errores cometidos.

2º.- Análisis individual de los distintos errores, seguido de una puesta en común por nuestra parte en la que se discutían los errores encontrados para su posterior clasificación.

3º.- Utilización de las categorías establecidas por otros autores en estudios anteriores, asumiendo unas y fusionando otras. Algunos de los errores detectados no tenían cabida en ninguna de las clasificaciones encontradas en la literatura, emergiendo nuevas categorías.

4º.- Consideración de los contenidos curriculares del área de matemáticas en los que se sitúan los errores incluidos en cada categoría, tratando de discernir los que plantean mayor dificultad al alumnado participante.

Pensamos que la respuesta a estas cuestiones puede ayudarnos a mejorar en nuestra práctica docente, a favorecer nuestro desarrollo profesional como discentes y, sobre todo, contribuir a que nuestro alumnado supere las dificultades matemáticas.

4. Una aproximación a los distintos errores encontrados

Queremos señalar que los resultados aquí presentados son válidos para nuestro estudio concreto, con las particularidades de contenido y grupo seleccionado. No intentamos en absoluto abarcar todos los errores que pudieran cometer el alumnado en su aprendizaje matemático, ya que asumimos que delimitar la causa o buscar una explicación de cada error es difícil debido a que hay una fuerte interacción entre las diferentes variables que intervienen en el proceso educativo: profesorado, currículo, entorno social, medio cultural, etc.

Algunos de los errores identificados en nuestro estudio a partir del análisis realizado se pueden situar en las categorías identificadas por Movshovitz et al. (1987) y Socas (1997)1, ya indicadas en el apartado 2 (enmarcando el estudio). Las restantes han surgido en nuestro propio análisis y están más vinculadas al contexto específico, alumnado participante, contenidos específicos y nivel educativo considerado.

Describimos a continuación las distintas categorías que hemos encontrado en los trabajos de nuestro alumnado, incluyendo ejemplos representativos extraídos de los materiales recogidos y algunas experiencias vinculadas a la enseñanza y aprendizaje que sospechamos puede ser posible causa de su origen.

En primer lugar, presentaremos los errores que pensamos se pueden situar dentro de las categorías previamente identificadas por los dos autores antes mencionados. Posteriormente, las

1 Esta afirmación se corrobora con los excelentes resultados que estos alumnos y alumnas han sacado en las pruebas de selectividad en junio 2013.




categorías que no se sitúan claramente dentro de las identificadas o presentan alguna particularidad. Y por último, presentaremos las categorías que han surgido más directamente vinculadas a nuestro propio contexto.

4.1. Errores que se sitúan en categorías ya identificadas

4.1.1. Errores debidos a inferencias o asociaciones incorrectas o a la recuperación de un esquema previo

Se incluye en esta categoría los errores que se producen por falacias de razonamientos, y no se deben al contenido específico. Se aplican reglas o propiedades válidas en contextos parecidos a los que se está trabajando. Se puede decir que se realiza una generalización “inconsciente o no”, de determinadas reglas o propiedades y las aplican en contextos inadecuados. En esta categoría destacan también los errores que son debidos a una generalización incorrecta de la condición de linealidad de las funciones. Estos errores se pueden incluir en la categoría de Movshovitz “Errores debidos a inferencias no válidas lógicamente”. Como ejemplos representativos de este tipo de errores particularizado en nuestro estudio, detallamos los siguientes:

• Relacionados con la aritmética:

− Es muy usual errores de cálculo como ( ) 3 35 5−− = . Se recupera el esquema de la multiplicación

(menos por menos más) que actúa como un obstáculo sin tener en cuenta que el contexto se ha modificado, estamos realizando una potencia.

− Aparecen expresiones en los radicales, utilizando estructuras que no pueden aplicarse en esta

situación, ( )54 4 4 45 5 5 55 5 54 6

2 2 2 1 2 1 3)( 2 2 2 22 2

2+ − + = + − + + − +

− Utiliza el esquema ( )n n na c b c a b c± = ± ; pero en este caso se modifica la condición de los

sumandos que intervienen al no ser semejantes.

− También se incluyen en esta categoría los problemas que se presentan al simplificar expresiones

utilizando el tachado de denominadores al igual que en las ecuaciones, 7

22

7= o bien en expresiones

como 5 45

59 9

x = + = 5

9+ 50x⇒ = ; en estos casos ayudaría una apropiada resolución de

ecuaciones evitando la simplificación utilizando el tachado.

− En las expresiones con exponentes negativos es de destacar como intentan recuperar el esquema de

convertir los exponentes en positivos, 2

2

10 5

105−− =−

, es válido para potencias de base racional, pero

no en este contexto concreto.

− Otro ejemplo es la utilización de las propiedades de las potencias al creer estar en situaciones

conocidas, pero el contexto es distinto como en el caso 4 5 9

4 5 9

2 5 10

3 2 6⋅ = ; utilizan dos propiedades, la

multiplicación de potencias de igual base y la multiplicación de potencias de igual exponente, y el contexto es distinto a los casos mencionados anteriormente.



− Al calcular el valor de expresiones como: 3 3

33

3 31 1

8 8 − = −

. Se infiere la validez de

( )c c ca b a b⋅ = ⋅ , potencia de un producto, en otro contexto resta, en el cual no es válido.

− En el siguiente ejemplo: 4 35 55 2 2 2− = , utilizan en primer lugar una inferencia de la linealidad en el radical y a continuación en la potencia.

• Relacionados con el álgebra:

− Otros errores se presentan al trabajar con el número cero. Tienen dificultad en asimilar que cero es un número y como tal debe ser tratado. En la expresión siguiente no saben despejar el valor de la variable 6 0 6x x= → = − .

− En la siguiente expresión utilizada en la resolución de una ecuación logarítmica

( ) log2log 2 log2 log

logy y

y− = − = . En la primera igualdad aplica la regla de linealidad, pero la

función logaritmo no es una función lineal. Se infiere la validez de log (2/y) = log 2 – log y; aplica la propiedad del logaritmo de la división, en otro contexto resta, en el cual no es válido. En la segunda igualdad, la inferencia es debida al aplicar la propiedad de la resta de logaritmos con la división de logaritmos, y no con el logaritmo de una división.

• Relacionados con trigonometría:

− Al tener que calcular el valor de la razón trigonométrica sen70º en función de las razones trigonométricas del ángulo de 20º, hemos obtenido expresiones como: sen70º = sen (90º− 20º) = sen90º − sen20º, aplicando la linealidad que las funciones trigonométricas no poseen.

• Relacionados con las funciones:

− En una tarea se debía calcular los valores de un parámetro “b”, para que la función dada por partes, fuese continua en su dominio. En su resolución aparece la condición que el límite de la función

( )1

bxf x

x=

− cuando x tiende a 1 valga cero. En diversos resultados dados por nuestro alumnado

aparecía la expresión:

1

0 0 0lim1x

bxb x b

x→= → ⋅ = → =

−.

En este caso utilizan los límites como las ecuaciones, sin tener en cuenta el concepto de límite. No basta con que el resultado final que se obtenga sea correcto, es necesario que todo el proceso lo sea.

Los errores de esta categoría, los encontramos de manera más persistente al trabajar con límites, potencias, radicales, trigonometría y logaritmos. En el caso de las potencias y radicales, los estudiantes tienden a generalizar la linealidad de la operación producto y cociente, a la operación suma y resta. Tienden a generalizar la linealidad de funciones. Según la psicología cognitiva, la regla de “linealizar”, como la de “generalizar”, son estrategias generales, interiorizadas y no conscientes, a partir de las cuales el alumnado desarrolla ciertos procedimientos que necesitan para una situación específica (Álvarez, 2004).




4.1.2. Errores debidos al uso de teoremas, expresiones o definiciones deformadas

Se producen por deformaciones o desarrollo inadecuado de definiciones, teoremas y principios. Categoría identificada por Movshovitz. Como ejemplos representativos podemos señalar:


− La definición de radical como función inversa de la potencia, es difícil de asimilar por nuestro

alumnado, es frecuente encontrar expresiones de la forma 3 32 2= . De igual forma su difícil asimilación conceptual repercute en una utilización errónea de las

propiedades de los radicales 7 214 7b b= .

− Las igualdades notables, su memorización como fórmula de aplicación, es un obstáculo difícil de superar. Incluso en alumnado universitario persiste este tipo de error, no es de extrañar que ante una misma situación tengamos respuestas muy distintas, como:

( )2 22 6 3 2 4 6 9 2 12 2 3⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅

( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 6 3 2 2 6 3 2 2 2 6 3 2⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅

( ) ( ) ( )2 2 22 6 3 2 2 6 3 2 2 2 6 3 2⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅


− Para la descomposición factorial de expresiones algebraicas en las cuales pueden utilizar las igualdades notables, también se pone de manifiesto lo descrito anteriormente como es el caso de la

expresión 2 1 14 1

2 2x x x − = − +

. En estos casos al obtener las raíces del polinomio no se tiene

en cuenta el valor del coeficiente principal en su descomposición factorial.

− La forma de expresar las raíces en la descomposición factorial también dificulta este tipo de ejercicios. Así en el ejercicio: “Calcular un polinomio de grado 6 que tenga x = 2 como raíz

quinta”, la respuesta ( ) ( )52 1x x+ + indica que utiliza de forma errónea el teorema del resto o bien

la definición de raíz de un polinomio. Desde nuestro punto de vista, puede ser debido sobre todo a la utilización de Ruffini, en la descomposición factorial de los polinomios, al expresar el factor de la raíz correspondiente.

− En los valores absolutos también aparecen definiciones deformadas. En el ejercicio: “Calcular los valores reales que satisfacen la siguiente desigualdad 5 1 1x − > − ”, una de las soluciones más

repetidas ha sido “no puede ser negativo un valor absoluto”. En realidad todos los números reales cumplirían dicha condición.

• Relacionados con la trigonometría:

− En otras ocasiones al trabajar con triángulos, al utilizar los teoremas del seno y del coseno, al dibujar la situación no sitúan bien las variables correspondientes a los lados en función de los

ángulos (es decir, ángulo �A , lado opuesto a), como en el caso:



�A

� �

a b

senA senB= Utilizan el teorema necesario para su resolución, pero

expresan mal los datos aportados por la tarea. Nos pone de manifiesto que memorizan los resultados del teorema, pero no consideran las condiciones necesarias para su aplicación.

− Igual ocurre en la utilización del teorema de Pitágoras. Para calcular las razones trigonométricas, han memorizado los pasos a seguir, a veces, la expresión analítica está bien pero nos ponen de manifiesto que aún no han asimilado el teorema de Pitágoras al no diferenciar la hipotenusa de un triángulo rectángulo de los catetos:

2

2 2

2

xh x = +

En algunas ocasiones las condiciones de la tarea impiden utilizar algunas fórmulas trigonométricas. Ejemplo: “Calcular las razones trigonométricas del ángulo de 70º en función del ángulo de 20º”.

Utilizan la siguiente expresión ( ) 90 20 2070 tan 90 20 0,25

1 90 20 1 20

o oo o o

o o o

tg tg tgtg

tg tg tg

− −= − = = = −+ ⋅ +

Argumentando al final, como 70o IC∈ , tenemos que 70 0,25otg = + . Cualquier algoritmo no es válido en cualquier situación, como ocurre en este caso al tomar la tg 90º.


− En el cálculo del dominio de funciones es común cometer errores de los que son ejemplos

representativos los que a continuación se incluyen. Dada la función ( )2

2

4( ) ln

xh x

x x

−=

−, obtenemos

como respuesta: Dom h =( ), 1 +∞ . Se considera el argumento mayor que cero, pero el alumnado

ésta condición la traspasa a los puntos de su dominio. El dominio de la función sería

( ) ( ), 0 , ( , ) U 1 4 U 4−∞ +∞ .

− En algunas ocasiones en el estudio del signo de una función polinómica, realizan bien la descomposición factorial pero no tienen en cuenta el signo del correspondiente coeficiente

principal. En el ejemplo siguiente: “Dada la función 2( ) 2 1f x x x= − − + estudiar los puntos donde dicha función toma valores negativos”, han considerado el signo sólo de los factores polinómicos

de grado uno, expresan: 22 1 0x x− − + ≤ ; 1

2( 1) 02

x x − + − ≤

Dando como solución el intervalo 11, 2 −

, su solución sería 1

1,2

− −

ℝ .

Al expresar en el enunciado, “estudiar la derivabilidad de una función determinada”, no estudian previamente la continuidad de la función, estudian la derivabilidad en puntos donde la función no es continua.

− Confunden dominio de una función, con continuidad y derivabilidad. Estos tres conceptos están íntimamente ligados pero tienen significado distinto.

a

2

x

h x




• Relacionados con las derivadas:

− Al utilizar las propiedades de las derivadas, no las aplican correctamente. Un caso común son expresiones como ( )2 ' 2 cossen x x= ⋅

− Otro aspecto a destacar al trabajar con el signo de la primera y segunda derivada de la función en el estudio de su monotonía o curvatura, son los valores que anulan dichas derivadas, que son considerados extremos o puntos de inflexión, sin tener en cuenta si tienen cambio de monotonía o curvatura. Tienden a memorizar estructuras válidas en situaciones concretas, que tienden a generalizar. Este error ha sido muy persistente en una prueba en la cual se pedía calcular la

gráfica de la función ( )

2

3

( )1

xf x

x=

−

− Se tiene: '(0) 0 ''(0) 0 '''(0) 0 '''(0) 0 0f f f f x= → = → ≠ → > → = es creciente. En este caso concreto sólo dos alumnas de la clase se han percatado de esta situación, no obstante la mayoría de los que han completado el estudio realizan la gráfica correctamente. Esto puede indicar que los datos más relevantes extraídos del estudio de la gráfica de una función, son los que interpreta el alumnado en la construcción de su gráfica correspondiente. Algunos estudiantes anotaban que los datos obtenidos no eran coherentes, incluso algunos al argumentar, añadían “pero no veo el fallo”.

Este tipo de errores aparecen en todos los contenidos matemáticos que hemos tratado. No es suficiente memorizar relaciones matemáticas es necesario asimilar las condiciones que hacen valida su adecuada aplicación. Hemos encontrado que esta categoría se repite sobre todo en expresiones algebraicas, trigonometría, funciones y derivadas.

4.1.3. Errores que tienen su origen en la ausencia de sentido en los pasos realizados o notaciones defectuosas

Un inadecuado procesamiento de la información, se responde con expresiones sin sentido matemático. La interpretación o procesamiento que los estudiantes realizan del lenguaje matemático no es correcto. Además el propio alumnado puede añadir datos extraños, información que ni se afirma, ni se desprende directamente de la información proporcionada. Categoría identificada por Socas como “Errores que tienen su origen en la ausencia de sentido”. Podemos señalar como ejemplos representativos los siguientes:


− Una expresión muy común es la utilización de igualdades en las cuales permanece el signo igual como nexo de unión entre expresiones en las cuales realizamos una serie de transformaciones matemáticas, igualdades encadenadas, llegando incluso a un resultado satisfactorio pero denotando mal todo el proceso. Consideran las ecuaciones como expresiones algebraicas que hay que operar y simplificar, sin considerar que un cambio en el estado inicial de las mismas, modifica su valor. Ejemplo:

� �

a b senA ba

senBsenA senB

⋅= = =

− Hemos podido constatar como nuestro alumnado utiliza esquemas de expresiones algebraicas que posteriormente extrapolan a igualdades aritméticas. Al estudiar la función f(x)=3x− 8, en el punto x=4, aparecen expresiones como: (4) 3 8 3 4 8 4f x→ − → ⋅ − = ;

4lim ( ) 3 8 3 4 8 4x

f x x→

→ − = ⋅ − = .



Esta denotación al trabajar con ecuaciones crea barreras infranqueables; pierde su identidad como igualdad. Creemos aconsejable trabajar las ecuaciones como expresiones independientes, bien diferenciadas, evitando algoritmos estandarizados, que tienden a generalizar a otras situaciones.


− Una notación defectuosa muy común incluida en esta categoría es confundir el valor de una razón trigonométrica con el valor del ángulo correspondiente. Es debido a la dificultad añadida de comprender que la base de la trigonometría radica en la proporción de los lados de un triángulo rectángulo. Así, por ejemplo, en la siguiente tarea el alumnado debe expresar la razón trigonométrica dada en función del ángulo de 20º. Es común encontrar expresiones como:

( ) ( )0 4 2 110 8 110 110 20 0,342o o o o osen155 sen senπ π= ⋅ + = + = = =

En los pasos intermedios ignoran que están calculando una razón trigonométrica y sus equivalencias.


− Es común este tipo de errores en el cálculo de dominios de funciones. En el caso de la función

( )2

2

4( ) ln

xh x

x x

−=

−, expresan el dominio como:

( )2

2

4( ) ln 0

xh x

x x

−= >

−. Denotan mal el dominio

pero el algoritmo de resolución lo realizan bien.

− En ocasiones no saben interpretar los datos obtenidos en intervalos. Como ocurre al estudiar el signo de una función, al calcular los intervalos donde la función es positiva o bien negativa, no saben denotarlo matemáticamente, expresando los resultados de forma distinta. Ejemplo:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) 0 6, 4 4, 3 1,1( )

( ) 0 , 6 3, 1 1,

f x y yf x

f x

> → − − − − −

< → −∞ − ⋅ − − ⋅ +∞

• Relacionados con los límites:

− Al trabajar con límites, confunden la tendencia de la función con la aproximación de su variable a cierto valor en este caso a dos por la derecha:

2lim ln( 2) 0x

x+→

− = = −∞

• Relacionados con las derivadas:

− Las notaciones defectuosas aparecen a menudo al trabajar con límites o derivadas de funciones. En una tarea cuya finalidad era el cálculo de la derivada de la función ( )f x x= en el punto x=4,

aparece como solución ( )4 0

'(4) 14

xf

x

− −= =

−, no tiene sentido igualar la derivada de la función

en un punto, que es un número real con una función racional. Estos errores ponen de manifiesto que saben utilizar las reglas de derivación pero no saben interpretar la derivación de funciones.

Por nuestra experiencia como docente creemos que sería conveniente previamente a realizar cualquier algoritmo, asegurarnos de que los símbolos utilizados están claramente diferenciados y que tienen valor semántico para nuestro alumnado, evitando siempre que sea posible la complejidad




notacional. Sería aconsejable trasladar la notación matemática necesaria, después de que esté asumido el concepto matemático que estemos trabajando. Este tipo de error es más usual en funciones, limites, derivadas y trigonometría.

4.2. Errores que no se sitúan claramente dentro de las categorías identificadas o presentan alguna particularidad

4.2.1. Errores debidos al uso de distintos lenguajes

Se incluyen en este caso los errores debidos a una traducción incorrecta de hechos matemáticos descritos en un lenguaje simbólico a otro lenguaje simbólico distinto, o bien, hechos matemáticos descritos en un lenguaje natural a lenguaje más formal. Aunque estos errores de lenguaje se podrían considerar dentro de la categoría de Movshovitz “Errores debidos a una interpretación incorrecta del lenguaje”, la particularización que hemos hecho de la misma a un lenguaje muy específico, como es el algebraico o la expresión gráfica, nos lleva a considerar particularizaciones dentro de esta categoría.

• Ejemplos representativos de tipo algebraico:

− Tienen gran dificultad en la interpretación de expresiones algebraicas en valor absoluto. En el siguiente ejemplo deben calcular los valores de la variable x que satisface la desigualdad:

2 3 52 3 5

2 3 5

xx

x

+ <+ < → − − < −

El alumnado tiene dificultad al trabajar con inecuaciones, sobre todo si incluye una doble desigualdad. En la mayoría de las ocasiones utilizan las expresiones algebraicas sin valor absoluto, ayudándose de esquemas previos, como si fueran fórmulas con variables que tiene que sustituir, sin dar sentido matemático alguno, a las distintas transformaciones que realiza.

− Igual ocurre en expresiones como: 3 3

x x

x x≥

− + →

( )( )( 3)

3 3

x x

x x

+− +

( )( )( )

3

3 3

x x

x x

−≥

− + →

2 23 3x x x x+ ≥ − Utilizan el tachado de denominadores, una práctica muy común en las ecuaciones. Este error matemático es muy frecuente, no encuentran diferencias conceptuales entre ecuación e inecuación. Entienden los signos (mayor y menor) como igualdad, los van arrastrando en los distintos pasos de la resolución, y en algunas ocasiones al final sustituyen por un signo igual. Consideran que es sólo operar con números y letras, sin otro objetivo que obtener valores para las mismas aplicando algoritmos de resolución, sin atribuirles significado alguno.

− Otro error típico incluido en esta categoría es considerar el estudio del signo de una función racional positiva, como el estudio del denominador y numerador que la forman, imponiendo la misma condición que a la función de partida, no considerados como partes del todo, que no se

pueden estudiar independientemente. Como ejemplo: ( )2 21 1 0

01 1 0

x x x x

x x

− − − + ≥ ≥ − − ≥

− En otras ocasiones no interpretan su significado. Se limitan sólo a despejar la incógnita, como en

el siguiente caso: 22 1 1

11 1 1 2

x xx

x x x

= → = ±≥ − − = → =

Pensamos que el álgebra requiere un cambio de pensamiento del estudiante de las situaciones numéricas concretas a proposiciones más generales sobre números y operaciones. Aunque evidentemente se dan también errores al trabajar con ecuaciones o sistemas, dado que el algebra en



estos niveles educativos está vinculado a todos los bloques de contenidos. La mayor dificultad que hemos podido constatar ha sido al trabajar con inecuaciones, como se aprecia en los ejemplos representativos anteriormente expuestos. Puede deberse a los contenidos desarrollados donde las inecuaciones es una de las herramientas más utilizadas.

• Ejemplos representativos de tipo gráfico:

La mayor parte de los errores en el estudio de gráficas se debe a la no asimilación del concepto de función. Es difícil comprender por los estudiantes que dado un enunciado deben calcular la gráfica que lo representa y así obtener toda la información al respecto.

Queremos hacer una puntualización: la extensión de los ejemplos relacionados con las gráficas hace que en este apartado hayamos optado por no presentar ejemplos concretos, sino situaciones generales en las que se dan estos errores.

− Las primeras gráficas utilizadas por nuestro alumnado han sido lineales o cuadráticas, casos en los que era aconsejable dar una tabla de valores. Los discentes extrapolan esta situación en un primer momento a todas las gráficas antes de hacer un estudio detallado de la misma. Al representar la gráfica de un polinomio los estudiantes tienen interiorizada una resolución que es claramente deficiente y que tiene su origen en la forma de representar una recta, dan valores a la variable x, que sustituyen en la ecuación para obtener el correspondiente valor de y, obtienen algunos puntos y los unen, ya tienen la gráfica (Martínez de la Rosa (2012)).

− En ocasiones confunden dominio con recorrido. No relacionan bien las variables que intervienen en el problema, lo que dificulta su cálculo como un conjunto infinito de puntos que cumplen determinadas condiciones para poder expresar en intervalos, creemos que puede ser debido a diversas causas: falta de contenido matemático, mala interpretación de los enunciados, etc.

− En algunos problemas las variables que intervienen no pueden tomar valores negativos, no saben acotar su gráfica, realizan la gráfica en todo el eje real. Encuentran dificultad en extrapolar los conceptos matemáticos a situaciones reales.

− Tienen dificultad en interpretar los datos obtenidos en la monotonía y curvatura; confunden el intervalo concreto con las coordenadas de los puntos de cada extremo del intervalo, puede ser debido a tener igual notación los intervalos abiertos y los puntos; confunden su significado.

− Tienen problemas al asimilar que en funciones continuas el estudio de la monotonía y curvatura de la función se realiza en intervalos abiertos.

− También presentan dificultades al efectuar una lectura a través de representaciones gráficas, que obliga a cambiar de código, pasando de uno gráfico a otro verbal. Los términos utilizados, en algunas ocasiones memorizan su interpretación matemática y no saben argumentar, un caso muy común es:

La idea de Punto de Inflexión� No hay curvatura La idea de extremos� No hay monotonía

Por nuestra experiencia docente creemos que uno de los problemas causantes de los errores cometidos en el estudio de los contenidos de gráficas puede ser su enseñanza. En ocasiones nos limitamos sólo a dar las definiciones matemáticas que intervienen, en su expresión analítica y no utilizamos interpretaciones de situaciones reales que nos ayuden a crear nuestra propia función. Las gráficas de funciones concretas ayudan a resolver algunos problemas de límites u optimización. En algunas ocasiones creen que una situación concreta planteada, no es igual a la representación gráfica




de la misma. No reconocen la forma o conexión entre los datos numéricos y los datos gráficos que involucra el plano cartesiano.

4.2.2. Errores debidos a cálculos incorrectos o accidentales

Se incluye aquí los errores de cálculo, errores al copiar enunciados, al realizar algoritmos básicos. El procedimiento es el esperado pero cometen errores en las operaciones. Muy a menudo nuestro alumnado copia mal un enunciado, y en otras ocasiones expresiones internas dentro del desarrollo de la tarea, que repercuten en la solución. Aunque estos errores se podrían considerar dentro de las categorías “Errores debidos a datos mal utilizados” y “Errores técnicos” de Movshovitz, presenta alguna particularidad como ya hemos indicado. Ejemplos representativos de ellos son:


− Al trabajar con fracciones negativas el signo menos que le precede dificulta los cálculos, el error

más común es 2 3 2 3

4 4

+ − +− = , considerando que no todo el numerador cambia de signo, es

aconsejable considerar en estos casos el numerador entre paréntesis de esta forma se impide errar.

− Al extraer factores en los radicales, en ocasiones olvidan poner el índice del radical, pero en la mayoría de las ocasiones es debido a la creencia errónea que el índice se va con el exponente. 6 62 3 2 3⋅ =

− Puede ocurrir que al copiar las expresiones exista alguna transferencia de los números que

intervienen como 2

5 10log2 log

5 =


− En ocasiones al despejar variables y utilizar los términos del segundo miembro de la ecuación

creen que éste se anula. Ejemplo: 2 2

2 1

10

y

x

− = ; 2

(2 ) 1000

y

x

− ⋅ = . Estos cálculos erróneos son

potenciados por los mecanismos utilizados en la resolución de ecuaciones.

− En la siguiente ecuación( )24 0x − = . Es trivial su resolución si tenemos en cuenta cual es su raíz.

Pero hemos obtenido varias respuestas erróneas entre ellas:

2 16 64 64 16 016 8 0 8

2 2x x x

± − ±+ − = → = = = (doble)

2 8 0 816 8 0 2

2 4x x x

±+ − = → = = (doble)

2 4 16 4 16 4 484 16 0

2 2x x x

± − ⋅ ± −− + = → = = No existe

− En la descomposición factorial de polinomios, al utilizar la regla de Ruffini en polinomios sin término independiente, olvidan sacar factor común la variable, y consideran el termino de grado uno como término independiente. En otras ocasiones realizan operaciones sin lógica matemática

alguna como ( )( )( ) ( )( ) ( )2 2 21 3 1 1 3 1 1 3x x x x x x x x x x x− − + = − + − + = − + − +



− Al aplicar el método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones, cometen errores al no multiplicar las filas por el número conveniente; o bien realizan mal los cálculos al operar con filas.

− Es común equivocarse en expresiones como 3 3 3 3 0x x− ≥ → ≥ , al igual que en las ecuaciones al tener distinto signo creen que se anulan, no tienen en cuenta que están en miembros distintos.


− En la utilización del teorema del coseno en la resolución de triángulos cualesquiera, es común utilizar el teorema de forma adecuada, pero errando en los cálculos:

2 2 2 2 22 cos 60 100 2 60 100 cos45 13600 12000 cos45o oa b c b c A= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅2 1600 cos45 33,63oa a= ⋅ → =

No tienen en cuenta la prioridad de operaciones, y se omite el doble signo de la raíz cuadrada. Se debe especificar que “a” toma valores positivos al ser la medida de una longitud.


− En el estudio del signo de las funciones, no siempre tienen en cuenta los exponentes de los factores, bien por descuido o por no considerar que elevar un factor implica que se repite en la descomposición.

En nuestro estudio es la categoría con mayor número de errores, es común errar en cálculos, pero esta destreza también se puede potenciar realizando ejercicios sólo de cálculo, aunque en este nivel de estudio debe quedar en un segundo plano, son destrezas que deben conseguirse en cursos anteriores. Este tipo de errores son, sobre todo, aritméticos y algebraicos, y en menor medida, de funciones y logaritmos.

4.3. Errores que han surgido más directamente vinculados a nuestro propio contexto

Nos parece de especial relevancia algunos errores que no tienen una clara tipificación en los trabajos estudiados en el apartado 2, que pasamos a desarrollar:

4.3.1. Errores debidos a la falta de explicación de los pasos seguidos

En estos casos se cometen errores al tener una idea preconcebida de los pasos a realizar, no argumentan las condiciones matemáticas que debe de cumplir las expresiones que estamos trabajando para poder aplicar las correspondientes propiedades. Podemos encontrar este tipo de error en todos los bloques temáticos tratados. Como ejemplos representativos de este tipo de errores particularizado en nuestro estudio, detallamos los siguientes:

• Relacionados con potencias:

− Con las funciones exponenciales 2 2 22 2 2x y+⋅ = ; 2 2 2x y= + ; En esta expresión se cometen dos tipos de errores; utilizan mal la propiedad del producto de potencias de igual base, y aplican directamente la propiedad inyectiva de la función exponencial. Mal las deducciones y la utilización de la propiedad inyectiva sin aclarar.




• Relacionados con logaritmos:

− Igual ocurre con las funciones logarítmicas, al resolver la ecuación:

( ) ( )2 3log 1 log 6 logx x x− + + = pasan directamente a la expresión ( ) ( )2 31 6x x x− ⋅ + = . Sin

especificar la propiedad de la suma de los logaritmos, ni el uso de la propiedad inyectiva de la función logaritmo. En algunos casos creen que los logaritmos se eliminan, consideran que están multiplicando a la expresión algebraica correspondiente. Se pone de relieve la no asimilación del concepto de logaritmo y sólo realizan cálculos para poder obtener los valores de las distintas variables que intervienen.

− También es común utilizar definiciones sin especificar, en el ejemplo: 1 log 10x x

y y= → = ; se

aplica la definición de logaritmo en su resolución, pero en ocasiones si cambiamos de base siguen considerando la potencia en base 10, memorizan situaciones sin justificación.

• Relacionados con trigonometría:

− Un error muy común incluido en este apartado, es extrapolar la propiedad inyectiva a todo tipo de funciones, no todas las funciones son inyectivas. Como es el caso de las trigonométricas en la expresión ( )1 45ºsen x sen+ = � 1 45ºx + = , en realidad tendríamos que

1 45 º 2x kπ+ = + ; o bien 1 5º 2x 13 kπ+ = + , dependiendo del cuadrante. Existen infinitos ángulos con igual valor del seno, en general de cualquier razón trigonométrica.

Los errores de este tipo creemos son debidos a que parte de nuestro alumnado interiorizan sólo los cálculos, memorizan situaciones y no tienen asimilado los conceptos matemáticos involucrados. Este tipo de error suele aparecer, sobre todo, al trabajar con funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

4.3.2. Errores debidos a la ausencia de conocimientos previos o a actitudes negativas

Aunque no se puede hablar estrictamente de errores en estos casos, hay ocasiones en las que el alumnado deja sin respuesta todas las preguntas referentes a un tema concreto, por desconocimiento de conceptos, falta de destrezas o aprendizajes necesarios que impiden dar una respuesta a la situación planteada o, simplemente, desinterés. Se suelen dar en todos los bloques temáticos.

Según Godino-Batanero y Font (2003), los errores por ausencia de respuesta, son las situaciones del alumnado que deja en blanco las tareas o carece de destrezas y conceptos previos, o bien, contesta de forma espontánea realizando pasos sin coherencia conceptual o de cálculo sin procesar información alguna, sólo por el mero hecho de escribir algo. En la primera situación, son causados por la carencia de aprendizajes relativos a hechos, destrezas y conceptos, que inhiben totalmente el procesamiento de la información e impiden dar una respuesta a la situación. En la segunda, son que no dejan en blanco ningún ejercicio, no son conscientes de su falta de destreza en el tema, creen que lo están haciendo bien, en realidad se crean sus propios argumentos inconsistentes, dando las respuestas más inverosímiles, es más preocupante el alumnado de esta segunda situación que de la primera.

Aunque como indicamos en el apartado 3, el alumnado participante en este estudio estaba bastante motivado y con buen rendimiento académico, si que podemos constatar la presencia de estas situaciones, fundamentalmente vinculadas a la trigonometría.



4.4. La importancia de verificar las soluciones

Verificar la solución es un paso importante que ayuda a encontrar “posibles errores”. Muchos estudiantes al terminar un algoritmo, no hacen la comprobación del resultado, presentando una ausencia de procedimiento de los pasos adecuados (Polya, 1965). El no tener en cuenta si dicha solución es la pedida, o bien, si satisface los requerimientos de la tarea, se podrían situar dentro de la categoría “Errores debidos a la falta de verificación en la solución” de Movshovitz. En algunas ocasiones al comprobar que cumplen las condiciones iniciales se cometen errores bien de cálculo o de interpretación. Como ejemplos representativos destacamos los siguientes:


− Al resolver el sistema 3

2 1

y x

y x

= +

+ + = Nos han aportado las soluciones

4

7

x

y

= =

1

2

x

y

= − =

Al resolver la ecuación y elevar los dos miembros de la misma al cuadrado, podemos obtener soluciones de la ecuación no irracional que no son soluciones de la ecuación irracional, como ocurre en la segunda de las soluciones.

− Es común al resolver ecuaciones racionales como 2 2 2

2 1

2 2 4

x x

x x x x x

−− =− + −

, no calculan bien el

mínimo común múltiplo de los denominadores y obtienen como soluciones x = − 2/5 y x = 2. En este caso concreto x = 2, no es solución de la ecuación racional, pues anula dos de los denominadores que la forman.

− Al resolver un sistema de ecuaciones y obtener los valores concretos de las variables, no saben

interpretar los resultados. Al obtener como soluciones: 1

2

y

x

= ± = ±

considera el alumnado que tiene

dos soluciones, x = 2, y = 1, o bien, x = − 2, y = − 1. No obtienen las cuatro soluciones.

− De la misma forma, al resolver el sistema: ( )2log log 2

2log 2 log 2

x y

x y

+ = = + −

Soluciones ( )( )10,1

10,1

− Pero

( − 10,1) no es solución pues ∃ ( )log 10− .


− En las funciones trigonométricas también es común no interpretar los resultados en el contexto que

estamos trabajando. En el caso de obtener 220 0,881osen = , al calcular el valor concreto

20 0,881 0,77osen = ± = ± , se debe tener en cuenta que 20º∈IC.


− En algunas ocasiones no especifican las soluciones obtenidas. Al calcular los puntos de la función

1

xy

x=

+ donde la recta tangente tiene una pendiente de 45º, realizan bien los cálculos y dan como

solución 0

2

x

x

= = −

. En este caso concreto se piden los puntos, es decir, sus coordenadas, (0,0) y

( − 2,2), no saben detallar las soluciones, utilizan algoritmos, esquemas de resolución en ejercicios




con una dinámica concreta pero sin percibir el sentido de los pasos realizados y menos aún de las soluciones obtenidas.

• Relacionados con los límites:

− También se encuentra que en algunos casos, al calcular 1

lim 0 01x

bxb

x→= → =

− ponen directamente

el valor del parámetro. El valor de b que hace cierta la igualdad es cero, pero no aclara los pasos seguidos, en realidad más bien parece una solución dada sin argumentación que en algunas ocasiones aparece por intuición o por especificar algo para terminar el ejercicio. En este caso es el

valor pedido pero no justifica que la expresión dada por la función 1

bxy

x=

−, debe ser la función

idénticamente nula, para que dicho límite valga cero.

Para la mayoría de nuestro alumnado todo se reduce a trabajar los algoritmos para obtener una solución, sin dar sentido a los valores obtenidos, dentro del contexto en el cual se está trabajando. Este tipo de errores es común al trabajar con ecuaciones, sistemas, límites, trigonometría y logaritmos.

5. Posible incidencia de estos errores en nuestro contexto educativo

En el nivel académico que hemos estudiado, hay tres contenidos matemáticos en los cuales se centran la mayoría de los errores encontrados en nuestro estudio: inecuaciones, logaritmos y trigonometría.

Es de destacar que los errores más comunes obtenidos se centran en inecuaciones, y en particular, los relacionados con su utilización en expresiones en valor absoluto. Puede ser debido a las estrategias metodológicas que siguen los libros de texto para introducir los intervalos, de forma aislada, sin conexión con las actividades concretas. Esto hace que cuando sea necesaria su utilización, nuestro alumnado no sepa a veces interpretar los resultados obtenidos, al tener como mayor obstáculo relacionar contenidos con su interpretación en intervalos concretos. En otras ocasiones no tienen claro cuál es la solución del ejercicio; tal vez porque no tienen una interpretación clara de los datos aportados en el enunciado de la tarea.

El gran salto conceptual existente entre el estudio de los logaritmos como herramienta aritmética, algebraica o como función, creemos puede ser una de las causas por las cuales hemos obtenido gran cantidad de errores al trabajar con logaritmos en bachillerato, unido a la utilidad de los mismos en los distintos contenidos: ecuaciones, sistemas, límites, funciones o derivadas. Estas expresiones no son fáciles de asimilar por nuestro alumnado, en la actualidad en la mayoría de los libros de texto construyen la noción de logaritmos sustentada en los exponenciales y sus propiedades, utilizando números concretos en los cuales el resultado es un número entero, deduciendo sus propiedades paralelamente a las propiedades de las potencias, separando su estudio de su utilización en aplicaciones concretas, como por ejemplo: que la escala logarítmica en base 2 sería el pentagrama; que la escala logarítmica en base 10 sería el decibelio; la fuerza de los terremotos en la escala Richter; etc.

Con los logaritmos al igual que con las funciones trigonométricas el alumnado tiene dificultades en asimilar su nomenclatura, en algunas ocasiones creen que expresiones como log x o sen x, hacen referencia a variables independientes distintas: por un lado, “log” y “sen” y por otro, la variable “x”; sin ser conscientes del papel que juegan, desconociendo su interpretación como operación. Nos



distanciamos bastante de su utilidad práctica, lo que hace que gran parte del alumnado no tenga desarrollado los suficientes mecanismos de abstracción necesarios para su comprensión.

La trigonometría puede convertirse en un proceso memorístico y rutinario, sin ningún sentido ni utilidad, si no se brinda las condiciones para que logren una comprensión profunda, dinámica, visual y útil de los conceptos, sus propiedades y relaciones. Los mayores obstáculos que presentan nuestro alumnado al operar con funciones trigonométricas son: la interpretación de las soluciones obtenidas y el desarrollo de los distintos pasos a seguir en la realización de una tarea. Al trabajar con la gráfica de estas funciones, sería aconsejable dar una pequeña introducción sobre las tablas que hasta los años 90, existían en las últimas páginas de los libros de textos, por no tener aún generalizado el uso de calculadoras científicas en los centros escolares.

En algunos ejercicios, el alumnado pasa directamente al cálculo operativo; sin indagar previamente en la información aportada por el enunciado para su resolución. Los estudiantes deben interpretar los resultados en el contexto del enunciado y no quedarse simplemente con un número como resultado, todo resultado está dentro de un contexto determinado. En otras ocasiones, han memorizado una fórmula sin asimilar su significado; sólo observan y trabajan adecuadamente con los datos aportados por el ejercicio; es mejor deducir a partir de enunciados concretos que aprender expresiones que memorizan aisladas del contexto en el cual deben aplicarse.

6. Conclusiones

El estudio de los errores es una línea de trabajo muy desarrollada en Didáctica de las Matemáticas que está motivada por la inquietud y la necesidad de profundizar en formas de enseñanza-aprendizaje más adecuadas (Socas, 1997). Debemos considerar los procesos de enseñanza-aprendizaje como procesos de comunicación pero esta debe fluir en ambas direcciones, desde el alumnado hacia el profesorado igual que desde el profesorado hacia el alumnado. Si las estrategias erróneas utilizadas al resolver problemas son utilizadas por varios estudiantes, podemos pensar que ha sido causa de la enseñanza utilizada. Este trabajo ha ido surgiendo al querer analizar e intentar paliar los errores cometidos por nuestro alumnado en las distintas pruebas realizadas en el transcurso del curso escolar. Hemos utilizado un esquema extraído de los trabajos de otros autores y del nuestro propio para identificar errores en los contenidos matemáticos desarrollados en Bachillerato. Es un trabajo causa-efecto: trabajamos las causas que lo originan para poder crear efectos subsanadores intrínsecos en los contenidos matemáticos desarrollados. Clasificamos los diferentes errores encontrados y analizamos las posibles causas más significativas.

Cómo subsanar los errores es ardua tarea. Y los profesores de secundaria debemos reflexionar sobre nuestra actuación. En algunas ocasiones, después de la explicación matemática que pensamos racional e incluso reiterativa, recibimos por contestación: “no me entero”. Ante tal respuesta después de explicarlo desde distintos enfoques, en ocasiones utilizamos alguno de estos caminos: dejarlo para el día siguiente o para el recreo, pensando que está saturado el alumno o alumna, o bien, con ejemplos concretos dar unas pautas “una receta” válida en estas circunstancias, pero que nos añade mayor dificultad en futuros contenidos, pues el alumnado tiende a generalizar “las recetas” que todo lo simplifican. Es difícil no caer en la tentación, pero no es aconsejable dar “recetas”, ya que sería salir de la situación momentáneamente, y puede crear mayores problemas en próximos desarrollos matemáticos. También es normal destacar los errores, indicando: “ponerlo en rojo en el cuaderno” o “poner en una nota como se efectúa”. Y por ello, es cotidiano encontrarnos con: “no me acuerdo del siguiente paso” o “no sé lo que debo hacer”. Al igual que ante una pregunta teórica te comentan: “es esta frase, pero me falta una palabra y te he dejado el hueco”. Queda manifiesto que memorizan, pero sin argumentar los conceptos que están trabajando, y por tanto, todo será efímero. Estas circunstancias




no son por generación espontánea sino que son el resultado de enseñanzas directas no explicativas o de comportamientos repetitivos.

Pensamos que sería conveniente en las explicaciones hacer hincapié en la interpretación correcta de los resultados obtenidos, no dar por finalizado el ejercicio cuando se obtiene la solución; hace falta trabajar con esas soluciones junto a los datos aportados por el enunciado para que nuestro alumnado pueda concretar el contexto en el cual se está desarrollando la tarea. En resumen, la ambigüedad verbal y la insuficiente comprensión del enunciado puede ser una de las causas de los errores que hemos encontrado. La localización de errores en la práctica docente puede ayudar a la consolidación de conceptos matemáticos. Si queremos una corrección favorable del error, esté debe ser descubierto como consecuencia de una interacción o debate entre profesorado y alumnado. Para ello, la información sobre los posibles errores que nuestro alumnado puede cometer es necesaria para diseñar un currículo que favorezca la superación de errores. Creemos que es obligación de todo sistema educativo ayudar a los escolares a esa superación.

En relación a nuestro propio desarrollo personal, en nuestra experiencia hemos constatado que es interesante observar las dificultades y errores que han tenido nuestro alumnado. Teniendo un conocimiento previo adecuado acerca de los mismos podemos encauzar la metodología y enseñanza de temas concretos. El prevenir esta serie de errores, muchas veces tipo, nos servirá para paliarlos o al menos reconducir nuestra labor educativa. La experiencia ha sido muy enriquecedora, sobre todo al tomar la realidad como fuente y campo de aplicación en un proceso interactivo de colaboración, negociación y discusión. Esperamos que, al igual que nos ha ayudado a nosotras, pueda ayudar a otros compañeros y compañeras.

Con todas las aportaciones obtenidas, se nos abre un nuevo camino, crear medidas correctoras específicas dirigidas a cada error concreto, tratar las causas y correcciones correspondientes para ayudar al aprendizaje de nuestro alumnado, englobar en nuestra metodología estas correcciones de forma espontánea antes de que aparezcan, son retos que ahora tenemos planteados para poderlos abordar en el futuro. Ya contaremos resultados y, mientras tanto, nos quedamos con la novena tesis de los resultados epistemológicos de la reflexión de Popper:

“La solución de un problema plantea nuevos problemas sin resolver y ello es tanto más así cuanto más profundo era el problema original y más audaz su solución”.

Citado por Rico, 1998, pp. 72

Bibliografía

Álvarez Pérez M. (2004): Etiología de errores matemáticos. En: Resúmenes trabajos del III Congreso de Didáctica de las Ciencias. La Habana.

Brousseau, G. (1983): ‘Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques’, Recherches en Didactique des Mathématiques, 4(2), 165-198.

Franchi, L y Hernández de Rincón, Ana I. (2004): Tipología de errores en el área de la geometría plana. Educere, Investigación arbitrada. Año 8, nº 24, 63-71

Godino, J., Batanero C. y Font V. (2003). Fundamentos de la enseñanza y aprendizaje de la Matemática para maestros. Universidad de Granada.

Martínez de la Rosa, F. (2012): Errores en el producto, evaluación y gráficas de polinomios. Números [en línea], 81. Recuperado el 9 de noviembre de 2012, de http://www.sinewton.org/numeros/

Movshovitz-Hadar, N., Zaslavsky, O., & Inbar, S. (1987). An empirical classification model for errors in high school mathematics. Journal for Research in Mathematics Education, 18(1), 3-14.

Polya, G.(1965). Cómo Plantear y Resolver Problemas. México. Editorial Trillas.



Rico, L. (1998). Errores en el aprendizaje de las matemáticas. En Kilpatric, J., Gómez, P. y Rico, L.: Educación Matemática. Errores y dificultades de los estudiantes. Resolución de problemas. Evaluación. Historia. Universidad de los Andes. Bogotá. 69-108

Socas, M. (1997): Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de las matemáticas en la Educación Secundaria. En Rico, L. Dir., Castro E., y otros: La educación matemática en la enseñanza secundaria. ICE/Horsori. 125-154

Ana María Escudero Domínguez. Departamento de Didáctica de las Matemáticas. Universidad de Sevilla. Email: [email protected]

Josefa Domínguez Viñas. Profesora de Enseñanza Secundaria (Matemáticas) en el Instituto de Enseñanza Secundaria Los Alcores. (Sevilla). Trabaja en el departamento de Didáctica de las Matemáticas. Universidad de Sevilla. Email: [email protected]



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oordinador: Luis Balbuena C

astellano

88 constelaciones - 88 municipios

Luis Balbuena Castellano

(Instituto de Enseñanza Secundaria Viera y Clavijo. La Laguna. Tenerife. España)

Resumen El 31 de enero de 2014 tuvo lugar un singular sorteo: se adjudicó aleatoriamente una constelación del cielo a cada municipio de los existentes en las Islas Canarias. ¿Por qué? Por una curiosa coincidencia: hay 88 municipios y la UAI ha fijado en el cielo 88 constelaciones. Durante el curso escolar 2013-14, tres colegios (Manuel Balbuena, de Fontanales, Moya y Princesa Tejina y Camino Largo, de La Laguna), fueron los que realizaron el sorteo mediante una conexión simultánea para, posteriormente, indagar y preparar una memoria de las 88 parejas resultantes.

Palabras clave 88 constelaciones, Colegio Manuel Balbuena, Princesa Tejina y Camino Largo.

Abstract On the 31th of January 2014 a singular draw took place: it was randomly awarded a constellation from the sky for each municipality existing in the Canary Islands. Why? Because of a curious coincidence: There are 88 municipalities and the UAI has fixed in the sky 88 constellations. During the scholar year 2013-2014, three schools (Manuel Balbuena, from Fontanales, Moya and Princesa Tejina and Camino Largo, from La Laguna), were those who made the draw using a simultaneous connection to later investigate and prepare a report of the 88 resulting pairs.

Keywords 88 constellations, school Manuel Balbuena, Princesa Tejina and Camino Largo.

1. Introducción

Como es sabido, las estrellas fijas del cielo fueron observadas desde la más remota antigüedad. Las distintas culturas se iban fijando en grupos de ellas y fueron imaginando dibujos de personas, animales u objetos. Seguramente pronto empezaron a observar ciertas regularidades que hicieron que el interés por conocer el cielo se fuera acentuado con el paso del tiempo. La esfera celeste les ofrecía señales que, en algunos casos eran trascendentales para su vida cotidiana como, por ejemplo, la aparición de la estrella sirio poco antes de la salida del Sol que anunciaba a los egipcios que las temidas y anheladas inundaciones estaban próximas lo que les permitía tomar medidas para evitar que el agua arrastrase por personas, animales o pertenencias. La estrella Espiga de Virgo, anunciaba el comienzo de la siega. En El Quijote se hace una mención al uso del cielo como reloj nocturno; en el Martín Fierro de José Hernández, también se nombra a las estrellas como necesarias para la orientación en esa Pampa con tan cocas referencias terrestres. Los navegantes antiguos le deben mucho a las estrellas, incluso sus vidas pues eran las que les permitían mantener un rumbo. Colón, que salió de Canarias hacia América, procuró mantener siempre esa latitud comprobando cada noche que la altura de la Polar se mantenía a 28º. Pero además de esas aplicaciones prácticas de primer orden, ya se sabe cómo influían en aspectos religiosos y más o menos esotéricos. Estos aspectos hicieron aparecer multitud de relatos, leyendas, mitos con los que trataban de justificar determinados detalles como, por ejemplo, por qué Escorpio y Orión son constelaciones diametralmente opuestas.

88 constelaciones - 88 municipios L. Balbuena


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Lógicamente, cuando la ciencia fue avanzando, el interés por el conocimiento del cielo tomó un cariz más racional y todas esas leyendas y mitos se han conservado como información del pasado y quizá porque aportaron singularidad al cielo. Estamos hablando exclusivamente de lo acaecido en nuestra cultura porque en otras, tenían también sus propias constelaciones e historias.

El asunto da un importante paso cualitativo y clarificador cuando se produce la decisión tomada, en 1930, por la Unión Astronómica Internacional (UAI) al dividir la esfera celeste en 88 constelaciones. Ptolomeo ya había hecho algo parecido con 48 constelaciones. De hecho, todas las que él consignó en su Almagesto, menos una, fueron admitidas por la UAI. Pero él desconocía el cielo austral y fueron los astrónomos y descubridores de los siglos XVI al XVIII los que fueron definiendo el resto de las constelaciones. El astrónomo belga Eugene J. Delporte hizo el trabajo de delimitarlas de forma precisa y fue publicado por la UAI en 1930. Con esto se conseguía superar, tanto las diferentes versiones de la esfera celeste como tener un acuerdo aceptado internacionalmente. Cuando se observa la lista de las constelaciones, llama la atención los nombres dados a las que fueron descubiertas y definidas en los años de la navegación de altura. Hacen muchas veces referencia, por ejemplo, a objetos científicos que deslumbraron por su utilidad.

Se tiene así el “mapa” de las constelaciones del cielo que, igual que el de los estados de la tierra, tienen diferentes tamaños aunque aquí las fronteras son siempre rectilíneas… La más pequeña de las constelaciones es la Cruz del Sur. Es de gran importancia en el hemisferio Sur porque es la que permite marcar la línea Norte-Sur en la noche. Es, precisamente, la que aparece en banderas de estados de ese hemisferio como Australia, Nueva Zelanda y Papúa Nueva Guinea. La mayor de las constelaciones es Hydra. Es poco más de 19 veces la Cruz del Sur.

Si se desea penetrar en el conocimiento de ese mapa, es aconsejable buscar la ayuda de alguien que le ofrezca información para detectar las primeras. Es una labor lenta e interesante. Tiene la ventaja de que, una vez que se detecta una, ya se tiene para siempre porque su forma no variará. El evidente consejo de buscar un sitio oscuro, alguna carta del cielo (se pueden conseguir guías del cielo buenas y baratas), ponerse cómodo para observar y unas buenas dosis de paciencia… En internet existen web que ofrecen la carta del cielo de cada día y en cualquier lugar de la tierra. Incluso hay aplicaciones que permiten visualizar el cielo con los nombres de las estrellas, de las constelaciones, etc. ¡Hasta dónde habría llegado Galileo con estos medios…!

Pero vamos a la otra parte de esta historia. Comienza y termina el 8 de septiembre de 2007. Ese día consigue la categoría de municipio El Pinar de El Hierro, segregándose del municipio de Frontera con lo que la isla de El Hierro queda dividida en tres ayuntamientos, esos dos más Valverde. Pues bien, con ese acontecimiento, Canarias pasa a tener 88 municipios, es decir, ¡igual número que las constelaciones de la esfera celeste! Esta coincidencia (esta aplicación biunívoca, diríamos en términos más matemáticos…), nos sugirió la idea de adjudicar a cada municipio una constelación. Y eso fue lo que hicimos. El día 31 de enero de 2014 lo llevamos a cabo. Tres colegios de Canarias (el Manuel Balbuena de Fontanales, en el municipio de Moya, en la isla de Gran Canaria y el Princesa Tejina y el Camino Largo, del municipio de La Laguna, en la isla de Tenerife), hacen una transmisión simultánea de forma que los alumnados de Lorena Benítez, Isabel Teresa Gómez y Felipe Díaz Sosa respectivamente, se ven y escuchan a través de la pantalla y a la hora convenida y tras superar los pequeños inconvenientes de la conexión, se inicia la experiencia. Unos días antes habíamos preparado una papeleta con el nombre de cada municipio y otra con el nombre de cada constelación (en castellano), y se habían repartido aleatoriamente entre los tres colegios. En el momento de empezar la transmisión recordé sucintamente lo que íbamos a hacer (sus maestros ya se lo habían explicado con detalle y rigor), y, como todo sortero que se precie, establecimos unos premios, a saber: Primer premio: Orión. Segundos premios: Osa Mayor, Osa Menos y Cruz del Sur y, finalmente una “pedrea” (término que se usa en el sorteo de Navidad de España), formado por las constelaciones del zodíaco. Así las cosas, un niño o niña sacaba al azar y decía en voz alta el nombre del municipio y otro u otra el




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de la constelación que le correspondía. Poco a poco y turnándose de forma sucesiva se fueron nombrando.

Figura 1. Colegio Manuel Balbuena Pedraza: atentos al sorteo

El primer premio fue “tempranero” y, curiosamente, fue aplaudido simultánea y espontáneamente por los tres colegios. Orión le correspondió al municipio esencialmente turístico de Puerto de la Cruz que, como dato a añadir, es el menor en extensión de todos los municipios canarios.

Figura 2. Primer premio: Orión

Una vez acabado el sorteo cuyo resultado completo se acompaña, se hizo un reparto de los municipios y sus constelaciones entre los tres colegios para que, a partir de ese momento, se empezase a hacer un estudio recopilando información de ambos elementos para ser presentado y enviado a los alcaldes una vez que acabe el curso.



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Figura 3. Memorias del trabajo: Municipios y constelaciones

En esta segunda parte se ha pedido la ayuda y la colaboración de las familias que, en el caso del Colegio Princesa Tejina, han ido más allá y han preparado un zodíaco con su eclíptica incluida, aprovechando los doce cristales que les ofrece un pasillo del centro. Uno de los padres, Francisco Viña, preparó un plantilla en la que figuran las doce constelaciones diferenciadas con colores que después, colocada sobre cada cristal ha permitido marcar las constelaciones con la misma escala. Durante muchas tarde, un grupo de padres y madres acudían al colegio para dar forma a este singular zodíaco. Cada constelación lleva debajo un cartel escrito en cerámica que explica sus características más sobresalientes. Durante todo este proceso se ha manejado abundante bibliografía y muchas páginas de internet.

Figura 4. Mapa del cielo con las 88 constelaciones




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Figura 5. El zodiaco del Princesa Tejina, La Laguna, Tenerife

Hemos de indicar como hecho relevante, que en Canarias tiene su sede el Instituto Astrofísico de Canarias, uno de los centros de investigación de ese tema más importante del mundo. Por eso nos parece interesante que este tipo de actividades se promuevan en los colegios con el fin de acercar la astronomía a los más jóvenes y a la población, en general. También señalar que El Pinar de El Hierro tiene en su territorio un punto que, durante muchos años, fue el lugar por el que pasaba el meridiano 0º. Se trata del Faro de Orchilla. Por allí se ha levantado un pequeño monumento que lo recuerda. La decisión la tomó Luis XIII de Francia en 1634 y se mantuvo hasta el año 1884 cuando, en el seno de una conferencia internacional celebrada en Washington, se designó el de Greenwich como meridiano que divide a la tierra en los hemisferios Este y Oeste.

Relación de municipios de Canarias y constelaciones asignadas

Municipio Constelación Municipio Constelación

Adeje Pez Volador Agaete Cincel

Agüimes Escultor Agulo Horno

Alajeró Ave del Paraiso Antigua Unicornio

Arafo Jirafa Arico Indio

Arona Aries Arrecife de Lanzarote Escuadra o Regla

Artenara Virgo Arucas Lebreles

Barlovento Quilla de Barco Betancuria Compás

Breña Alta Liebre Breña Baja Paloma

Buenavista del Norte Can Mayor Candelaria Vela

El Paso Escudo El Pinar de El Hierro Tauro

El Rosario Cabellera de Berenice El Sauzal Hércules

El Tanque Cruz del Sur Fasnia Libra o Balanza

Firgas Tucan Frontera Reticulo o Red

Fuencaliente Hidra o Serpiente Marina

Gáldar Cuervo

Garachico Sagitario Garafía Triángulo Austral

Granadilla de Abona Dragón Güimar Popa de Barco

Guia De Isora Cancer Haría Corona Austral

Hermigua Pegaso Icod de Los Vinos Pavo



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Ingenio Delfin La Guancha Flecha o Saeta

La Laguna Brújula La Matanza de Acentejo

Cochero

La Oliva Camaleón La Orotava Leo

La Victoria de Acentejo

Mesa Las Palmas de Gran Canaria

Altar

Los Llanos de Aridane Can Menor Los Realejos Cisne

Los Silos Aguila Mogán Ofiuco

Moya Ballena o Monstruo Marino

Pájara Octante

Puerto de La Cruz Orión Puerto del Rosario Cefeo

Puntagorda Escorpio Puntallana Sextante

San Andrés y Sauces Grulla San Bartolomé Lagarto

San Bartolomé de Tirajana

Casiopea San Juan de La Rambla

Capricornio

San Miguel de Abona Osa Mayor San Nicolás de Tolentino

Centauro

San Sebastián de La Gomera

Dorada Santa Brígida Perseo

Santa Cruz de La Palma

Reloj Santa Cruz de Tenerife Telescopio

Santa Lucía de Tirajana

Lira Santa María de Guía Pez Austral

Santa Úrsula Acuario Santiago del Teide Fenix

Tacoronte Lobo Tazacorte Osa Menor

Tegueste Microscopio Teguise Piscis

Tejeda Caballito Telde Corona Boreal

Teror Zorra o Raposa Tías Andrómeda

Tijarafe Lince Tinajo Maquina Neumática

Tuineje Géminis Valle Gran Rey Serpiente

Vallehermoso Cráter o Copa Valleseco Eridano o Rio

Valsequillo Mosca Valverde León Menor

Vega de San Mateo Boyero Vilaflor Triángulo

Villa de Mazo Serpiente de Agua Yaiza Pintor o Caballete de Pintor

Luis Balbuena Castellano, catedrático de Enseñanza Secundaria, fundador de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas, impulsor de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas y de la Federación Iberoamericana de Sociedades de Educación Matemáticas de las que ha sido su primer Secretario General. Autor de numerosos trabajos sobre Educación así como de divulgación de las matemáticas en prensa, radio y televisión y libros como Guía Matemática de La Laguna, Palillos aceitunas y refrescos matemáticos, Cuentos del Cero, El Quijote y las matemáticas, etc. En la actualidad imparte charlas y talleres en centros educativos, realiza actividades de actualización científica y didáctica para profesores y colabora con varias Fundaciones de carácter social.




ISSN: 1887-1984


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Algo más sobre Poliprismas y Policubos. Puzzles lógicos

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)

Resumen En este artículo revisamos la lista de tetraprismas derivados del Cubo de Rupe,

añadiendo algunas orientaciones. Examinamos otras construcciones de cubos de 3x3x3

en las que intervienen prismas pero que no se unen por sus caras congruentes, como son

los cubos de Slothouber-Graatsms, Patio-Block o de Conway, comercializados bajo

nombres tales como Pack-It-In. También explicamos los HIDATOS, un tipo de

rompecabezas lógico de ordenación de números en un tablero cuadrado, rectangular o

con otras formas.

Palabras clave Construcción de cubos 3x3x3 con Policubos y Poliprismas; cubos de Slothouber-

Graatsms, Patio-Block y de Conway. Hidatos. Rompecabezas de ordenación numérica.

Abstract Here we review the list of derivatives tetraprismas Cube Rupe, adding some guidance.

Examine other constructions 3x3x3 cube prisms involved in but not joined by their

congruent faces, such as cubes Slothouber-Graatsms, Patio-Block or Conway cube’s,

marketed under names such as Pack-It-In. We also explain the HIDATOS, a type of logic puzzle sort of numbers on a square, rectangular or other shapes board.

Keywords Construction of 3x3x3 cubes with Polycubes and Poliprismas; cubes Slothouber-

Graatsms, Patio-Block and Conway. Hidatos. Jigsaw numeric sort.

1. Introducción

Poliprismas

En nuestro anterior artículo presentamos un trabajo personal sobre Poliprismas y nos

expresábamos así: “Queda mucho por trabajar. Nosotros solamente hemos pretendido abrir un camino aparentemente poco explorado y permitir que quien quiera, quien se sienta motivado, explore un poco

más allá. Agradeceríamos que si alguien conoce alguna investigación en esta línea nos lo haga saber

para rendirle el homenaje oportuno. Y si alguien investiga en esta dirección y nos lo hace saber, que

quede claro que aquí, en esta sección, daremos cumplido conocimiento de lo que nos llegue”.

Pues bien, aquí tienen lo que nos ha llegado.

En nuestro anterior artículo, al desarrollar los tetraprismas existentes para el tetracubo, nos quedamos cortos. Así nos lo han hecho saber dos de nuestros –suponemos- asiduos lectores: Gustavo

Figueroa y Rubén Munro, desde Buenos Aires.

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García

Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]




Algo más sobre Poliprismas y Policubos. Puzzles lógicos J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz


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En el siguiente cuadro puede verse el desarrollo corregido, presentado de una manera ordenada

y sistemática:

Obtenemos un total de 33 poliprismas posibles. Los tetracubos, numerados de 4-1 a 4-8 según la

nomenclatura de Coffin2, figuran en la columna central y sus conversiones en tetraprismas en las otras

columnas, ordenados según el tipo de uniones con los que se forman.

La manera en la que organizamos las figuras es la siguiente: en cada fila están los derivados del policubo de la columna central y en cada columna los que enfrentan una de las tres caras, con sus dos

orientaciones. Poniendo primero el tipo de unión de los prismas y luego el de los bloques –cuando se

puede considerar que hay bloques-, tenemos los siguientes pares ordenados: (2, 3) en la primera

2 Coffin, Stewart T.; The Puzzling World of Polyhedral Dissections. Hundreds of 3-D Puzzles to build and solve.

Oxford University Press. Oxford New York 1991.




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columna de la izquierda, (2, 6) en la segunda y (6, 2) en la tercera; las tres columnas de la derecha son

(6, 3 ), (3, 2) y (3, 6)

Aparentemente, el número de tetraprismas para cada tetracubo, no depende del número de los

planos de simetría del policubo, pues el 4-1 presenta 5 planos y hay 3 tetraprismas, mientras que los

modelos 4-2, 4-3 y 4-4, con 1 o 2 planos, dan lugar a 6 tetraprismas, y los modelos 4-5 y 4-6 sin

planos, permiten desarrollar tres poliprismas.

En los desarrollos de las figuras 4-1, 4-5, 4-6, 4-7 y 4-8, quedan espacios vacíos porque los

poliprismas se repiten, por ejemplo, para 4-5 los poliprismas (6, 2) y (6, 3) son iguales (tal y como se

puede comprobar en las siguientes figuras) y hemos optado por uno de ellos para la tabla, en este caso

el (6, 3).

4-5/(6, 2) 4-5/(6, 3)

El número de pentacubos posibles, es decir, la cantidad de maneras en las que pueden unirse 5

cubos por sus caras, es de 29 (desde la 5-1 hasta la 5-29 siguiendo la nomenclatura de Coffin).

Aplicando simplemente valores medios de los poliprismas posibles en las categorías anteriores: 3 para el bicubo, 6 para el tricubo, 32 para el tetracubo, ¿serán 64 para el pentacubo? ¿O serán 384? Nos

parece claro que el máximo de poliprismas posible por cada policubo es 6, por tanto el máximo

número de pentaprismas es de 192. Un valor considerable para un estudio detallado.



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Relacionados con los policubos y con los poliprismas, podríamos decir que a medio camino, están los bloques rectangulares, que dan lugar a

problemas de empaquetamiento. En el citado libro de Coffin, tiene apenas

tres párrafos y unas pocas ilustraciones, mencionando como ejemplos el Puzle de Conway, formando un cubo de 3x3x3 con seis prismas de 2x2x1 y

tres cubitos unitarios, y el Puzle de

Slothouber-Graatsms, que empaqueta en un cubo de 5x5x5 tres de 1x1x3, uno de 1x2x2,

uno de 2x2x2 y trece de 1x2x4. En estos

empaquetamientos no es condición necesaria

el unir los prismas por sus caras congruentes.

Otro ejemplo es el Puzle “Patio Block” de Coffin.

Las piezas

Y el cubo resuelto

Claro está que estos prismas se pueden siempre considerar por agrupamiento de cubos, como

policubos.

Así la pieza de Conway de 2x2x1 es uno de los tetracubos, el 4-8 de Coffin.

Policubos

Aprovechando esta aportación sobre Poliprismas nos pareció bien recuperar algo de lo ya trabajado sobre Policubos, en concreto el Cubo de Conway. Ya saben que la actividad más divertida y

popular de la Sociedad Canaria “Isaac Newton” de Profesores de Matemáticas es el Komando

Matemático. El equipo que lo dinamiza es muy creativo y está continuamente añadiendo nuevos

puzles a su repertorio. Uno de los últimos en incorporarse ha sido precisamente este Cubo.




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En el Volumen 72 de esta revista NÚMEROS, correspondiente a diciembre de 2009, en nuestra sección de Juegos, dentro del artículo dedicado a disecciones de cubos, presentamos este puzle y su

solución con estas palabras e imágenes.

Cubo de Conway

También llamado del empaquetamiento o caja de pizza. Tiene seis tetracubos iguales y tres

cubos unitarios

Solución para el Cubo de Conway

Colocar los seis tetracubos iguales según las tres direcciones del espacio, dejando que los tres

cubos unitarios queden dispuestos según una de las diagonales del cubo. ¡Clarísimo!

Pues bien, nos ha parecido interesante retomar este puzle y comentarlo más en profundidad

añadiendo algunas cosas sobre él, su origen y sus presentaciones comerciales.

Fue presentado por su autor en un libro que ya hemos referenciado en distintas ocasiones:

Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway, Richard K. Guy –“Winning Ways for Your

Mathematical Plays”, en el volumen cuarto de su segunda edición– AK Peters

En él, sus autores, en un apartado denominado Secretos ocultos, nos dicen: “En nuestra

opinión, los buenos puzles son los que tienen piezas sencillas pero de difícil solución. Cualquier

persona puede hacer un rompecabezas difícil con un montón de piezas complicadas, pero ¿cómo es posible hacer un rompecabezas difícil con unas pocas piezas fáciles? Echemos un vistazo a un

rompecabezas muy simple: cómo colocar seis piezas 2 x 2 x 1 en una caja de 3 x 3 x 3, dejando otras

tres de 1 x 1 x 1 en los orificios vacíos (Fig. 1). Esto parece bastante trivial, pero aún así tiene un secreto oculto que a veces hace que la gente se ocupe más de 5 minutos en él. Este problema oculto



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proviene del hecho de que las piezas cuadradas sólo pueden ocupar un número par de los lugares de

cada capa horizontal.

Figura 1. Un puzle muy sencillo

Así que el problema no es realmente el de encajar las piezas, sino más bien los agujeros. Sólo

cuando se ha dado cuenta de esto es cuando ves por qué la solución es

única (Fig. 2); los agujeros se encadenan en una línea entre las esquinas opuestas en lugar de estar bien ordenados en la parte superior

de la caja.

Nosotros, en el Komando, lo

hemos construido de una manera simple,

pegando cubitos de madera para formar

las piezas.

Y ahora veamos el análisis de la

colocación de las piezas. Usaremos un

modelo 3 x 3 de cada piso del cubo.

Para el primer piso, dos posibilidades:

Sólo cabe una placa 2 x 2; habrá que colocar alguna placa más, pero colocada en vertical sobre

su base 2 x 1.

Opción 1: dos placas separadas Opción 2: dos placas unidas

No se puede colocar una placa sola en vertical, pues el resto debería ser cubierto con los 3 cubos

unitarios y nos dejaría sin esa opción en los otros dos pisos.

En el segundo piso no se puede repetir la colocación de las piezas (ya hay dos que ocupan sitio en ese piso). Si colocamos una placa sobre la anterior, dejaríamos este segundo piso plano y las dos

placas restantes no cabrían en el tercer piso. Tendremos que colocar las placas de nuevo en vertical

sobre su base 2 x 1. De nuevo tendremos dos opciones:

Figura 2. Seis cuadrados en una caja 3 x 3 x 3.




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Opción 1 Opción 2

A partir de estas dos opciones debemos ahora estudiar cómo se completaría el tercer piso (no olvidemos que ya hay dos que ocupan sitio). No ha lugar el continuar la primera opción: la placa

restante no cabe en el hueco disponible.

Sólo disponemos pues de la opción 2. La última placa 2 x 2 tiene hueco y aún queda el lugar del

tercer cubito unitario.

Con las piezas elaboradas para el Komando podemos ver las sucesivas fases de la solución para

la opción 2:

¿Han visto dónde y cómo han quedado los cubos unitarios? Sí, ¡clarísimo!, dispuestos según

una de las diagonales del cubo. ¡Ya lo dijimos en su día!

Resulta curioso ver las presentaciones comerciales que hay sobre este Cubo de Conway. Casi ninguna respeta el nombre original y algunas ni mencionan la autoría. En cuanto a los materiales son

la madera y el plástico los más comunes. Lo más curioso suelen ser las instrucciones o los añadidos

que se le hacen.

El más ortodoxo que hemos encontrado es éste, llamado Pack-It-In, en el que consta que está diseñado por John Conway, y con copyright de ThinkFun Binary Arts 2003. Es de plástico e incluye

las 9 piezas y una caja, con un tamaño bastante reducido (1.75 ") y con folleto de resolución.



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En las instrucciones que acompañan al juego se indica: “También conocido como “Cubo Curioso de Conway”, se describe en las páginas 736 a 737 de los libros “Winning Ways”. Tres cubos

unidad y seis piezas 1 x 2 x 2 deben ser colocados en una caja de 3 x 3 x 3. En la solución única, los

tres cubos unitarios deben estar alineados diagonalmente a través del cubo desde una esquina hacia el

centro y hasta la esquina opuesta”. Aquí está la solución que se vendió con el rompecabezas:

Y ésta es la presentación comercial:

Más curiosa resulta esta otra presentación, de la casa alemana Kubi Games, fabricada para una

distribuidora francesa. Recibe el nombre de Le Problème d’Emballage des Pizzas.

http://www.cs.brandeis.edu/~storer/JimPuzzles/PACK/PackItIn/PackItInPhoto.jpg

http://www.cs.brandeis.edu/~storer/JimPuzzles/PACK/PackItIn/PackItInPieces.jpg

http://www.cs.brandeis.edu/~storer/JimPuzzles/PACK/PackItIn/PackItInOutOfBox.jpg

http://www.cs.brandeis.edu/~storer/JimPuzzles/PACK/PackItIn/PackItInSolutionSHeet.jpg




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Se adorna la presentación con este chusco problema, que hemos traducido de la propia caja que

lo contiene:

EL PROBLEMA DE EMBALAJE DE LAS PIZZAS

Después de su despido como navegante interplanetario, Freddy había encontrado un nuevo

trabajo como piloto de entrega de pizza. Pero su negocio iba cuesta abajo, después de la primera

orden. Debía entregar 6 pizzas de salami y 3 ensaladas. Se aceleró hasta Mach 100 y llegó a su destino 14 días después a una estación espacial en construcción, donde 6 montadores galácticos

esperaban ansiosamente sus pizzas. No pudo aterrizar, así que tuvo que ponerse su traje espacial.

Tomó la caja de forma cúbica con pizzas y ensaladas, y se trasladó con el retroceso de su arma. En

pleno vuelo quiso añadir la factura en la caja, llena hasta el borde, y toda la comida se cayó de la caja. ¿Cómo se las había arreglado Luigi para poner todo en esta pequeña caja? Cada vez que lo

intentaba las pizzas no encajaban dentro. ¿Puedes ayudar a Freddy para poner todo en una caja

cúbica para que no pierda su trabajo de nuevo. Trata de construir un cubo con 9 piezas continuas en

esta caja.

Para terminar nuestra historia se sabe que cuatro pizzas y las tres ensaladas entraron en órbita

estable alrededor del planeta Azertyspectropul y las otras dos pizzas aterrizaron 4.000.000 años más

tarde en la galaxia NGC4A33BF966. Comenzaron una familia y colonizaron un planeta de belleza celestial. La caja de cartón vacía fue tiroteada por los Clingons. Después del incidente, la factura de

la compra flota en las profundidades infinitas y desconocidas de nuestro universo.

Curioso, ¿no?

Puzles lógicos

Y ya que hablamos del Komando, debemos decir que, aparte de los puzles planos y

tridimensionales, existe una serie de puzles lógicos realizados de manera manipulativa, básicamente a

partir de un diagrama dibujado sobre un tablero y unas fichas con números para colocar sobre el mismo de acuerdo a unas instrucciones o reglas dadas a conocer en su ficha correspondiente. De ellos

los más conocidos son las distintas variantes de Sudoku: 9 x 9, killer, kenken, kakuro, etc., casi

siempre en dificultades y formatos variados, aptos para las distintas edades de los usuarios del

Komando. También actualizamos continuamente estos materiales, incorporando aquellas novedades

que encontramos en distintas publicaciones o webs.

Una de esas webs que nos aportan ideas de manera continuada es Microsiervos

(http://www.microsiervos.com/). En ella nos apareció la primera noticia sobre el Hidato.

El Hidato es un juego de lógica numérica creado por el Dr. Gyora Benedek, un matemático

israelí. Al parecer, el nombre del juego viene de la palabra hebrea Hida, cuyo significado es acertijo.

El objetivo del Hidato es rellenar el tablero con números consecutivos que se conectan horizontal, vertical o diagonalmente, dependiendo de las formas de las celdillas que conforman el

tablero. Dichas celdillas pueden ser hexagonales o cuadradas. En este último caso valen las conexiones

diagonales. Sus reglas son más sencillas de aprender que las de un Sudoku, aunque también puede ser

complicado de resolver. La mecánica del Hidato es sencilla: hay que rellenar las casillas vacías con los números naturales, ordenados de tal modo que los números consecutivos se toquen. Se dan siempre la

colocación del primero y el último número de la serie y algunos más como pistas o restricciones para

su resolución. Debe tener solución única. Puede haber Hidatos de diversas formas geométricas. He

aquí algunos ejemplos:



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Nuestros lectores pueden entretenerse intentando resolver estos ejemplos. Nosotros, para iniciar

a los más jóvenes, vamos explicar el proceso de resolución utilizando uno muy sencillo:

En este Hidato, los números mayor (9) y menor (1) están marcados en el tablero. También aparecen los números (2, 6, 8) y su ubicación en el tablero debe ser respetado;

es decir, constituyen una pista y al mismo tiempo una restricción. Todos los números

consecutivos están adyacentes de forma vertical, horizontal o diagonal.

La técnica básica de resolución consiste en analizar las posibilidades de cada número de estar presente en cada casilla. Hay que buscar las casillas que sólo puedan contener un número o los

números que sólo puedan estar en un lugar; podemos iniciar la secuencia a partir del 1 o iniciarla a

partir del 9; lo normal es que haya combinar ambas posibilidades para irse garantizando las anteriores

indicaciones. Normalmente basta con organizar bien la información (Hidato sencillo), aunque a veces puede llegarse a una situación con dos posibilidades para una casilla imposible de determinar

razonadamente; en ese caso no queda más remedio que probar a utilizar la estrategia de

ensayo y error.

En el caso que estamos analizando, dada la colocación del 6, el 8 y el 9, debemos

pensar que en la casilla central superior ha de estar necesariamente el 7.

De la misma manera, debajo del 6 (casilla izquierda del piso medio) sólo

puede estar el 5.

Sólo nos queda, por tanto, determinar dónde estarán el 3 y el 4 en las dos

casillas en blanco del piso inferior. La conexión en diagonal entre el 1 y

el 2 nos indica que el 3 estará también conectado de igual forma con el 2, es decir, en la casilla inferior derecha. Nos queda el 4 en la casilla inferior central, lo que

permite también conectarla en diagonal con el 5.

Y no hay otra solución.

Es un juego que se adapta fácilmente para ser jugado en un

tablero de forma adecuada por los

alumnos con fichas numeradas, tal como mostramos en la imagen de la

derecha.

En la siguiente foto mostramos otro cuadro que incumple una de las

condiciones para ser Hidato pues tiene dos soluciones posibles.

6 9

2 8

1

6 7 9

2 8

1

6 7 9

5 2 8

1 6 7 9

5 2 8

1 4 3

http://en.wikipedia.org/wiki/Hidato




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Los Hidatos de tablero hexagonal tienen cierto parecido al conocido rompecabezas “Back from the Klondike” atribuido a Loyd,

y estudiado por Martin Gadner en su columna de Scientific

American (recogido en su libro Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers”, en español: “Mosaicos de Penrose y escotillas cifradas”

3). Aquí se

trata de, comenzando en el cuadro central marcado con un corazón,

contar tres cuadros en cualquiera de las direcciones en línea recta, luego se dan tantos pasos en cualquier dirección como indique la

cifra en la que se aterriza y así se continúa hasta lograr en uno de los

saltos salir un cuadro más allá de los límites del tablero.

En esta página, además de resolver Hidatos de distinto tamaño

y tableros, repasarán inglés y encontrarán otros enlaces.

http://www.mathinenglish.com/Hidato.php

Bueno, no ha estado mal, ¿verdad?

Siempre aparecen cosas interesantes. En el próximo artículo haremos un nuevo análisis de juegos que podamos acercar a nuestros alumnos como complemento a la tarea de clase y como

aplicación de la resolución de problemas y el uso de estrategias.

Hasta el próximo pues. Un cordial saludo.

Club Matemático

3 Gadner, Martin. Mosaicos de Penrose y escotillas cifradas; Editorial Labor, Barcelona, pag. 60 y ss.

http://www.mathinenglish.com/Hidato.php




ISSN: 1887-1984


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Estrategias y Competencias

(Problemas Comentados XXXII)

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)

Resumen Damos soluciones a problemas planteados en anteriores artículos y otros que provienen

del Torneo para 2º de la ESO que organiza la Sociedad Isaac Newton. Las soluciones

aportadas se apoyan en tablas y gráficos, que hacen más fácil para los alumnos de estos

niveles, entender los razonamientos. Por ello pensamos que aportan ideas al profesorado

de cómo orientar el razonamiento en la búsqueda de soluciones del alumnado. También

publicamos las aportaciones realizadas por uno de nuestros lectores: Luis Blanco.

Palabras clave Soluciones con ayuda de tablas y gráficos. Problemas nivel 2º ESO. Metodología de

resolución problemas

Abstract We provide solutions to problems raised in previous articles and others who are from the

tournament for 2 º ESO organized by the Sociedad Isaac Newton. The solutions are

supported by tables and graphs, which make it easier for students at these levels,

understand the reasoning. Therefore we think that it provides ideas for teachers on how to

guide the reasoning in the search for solutions of the students. We also publish the

contributions made by one of our readers: Luis Blanco.

Keywords Solutions of problems using tables and graphs. Problems Level 2 º ESO. Problem solving methodology.

Bueno. Ya les dimos bastante tiempo. Aquí están las soluciones a los restantes problemas de los

diferentes Torneos.

Problema 2. Amarrando triángulos

El abuelo Isidro, tiene cuatro árboles sembrados en

dos líneas, y se dispone a amarrar una cuerda alrededor de tres de ellos. ¿De cuántas formas puede

hacerlo?¡¡¡A POR ELLO!!!

¿Y si fueran seis árboles? ¿Y si fueran ocho?

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García

Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]




Estrategias y Competencias. Problemas comentados XXXII J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz


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Llamamos A, B, C y D a los cuatro árboles. Partiendo del árbol A, lo podemos unir con otros dos en

los siguientes triángulos: ABC, ABD y ACD; y un

cuarto triángulo BCD. Así que en total hay cuatro

maneras de unir los árboles de tres en tres.

Lo contemplamos, pues, como combinaciones de

4 elementos tomados de 3 en 3. Por ello, para el caso de

6 árboles sería C6,3, y para 8, C8,3, obteniendo 20 y 56

resultados.

Pero…, si “amarrar una cuerda alrededor de tres de ellos” es alrededor de cada árbol en particular, no sería lo mismo ABC que ACB (figura de la

derecha). Y faltaría BCA. Para el trío BCD tenemos otras tres disposiciones: BCD, BDC y CDB; y lo

mismo para el trío ACD: ACD, ADC Y CAD. De esta manera el número de resultados posibles se

incrementa.

Problema nº 3. Aterriza como puedas

Miguel de la Peña, es un piloto novato de Canarias Airlines, y

se encuentra en un avión a 5 000 metros de altura y, para aterrizar,

está descendiendo a razón de 200 metros cada 5 kilómetros, que es justo la trayectoria exacta para aterrizar en el aeropuerto internacional

de San Borondón.

a) Dibuja, haciendo una gráfica, el itinerario de bajada hasta llegar al aeropuerto. b) ¿A qué distancia se encuentra el avión del citado aeropuerto?

c) ¿A partir de qué distancia del aeropuerto se podrían construir edificios de 30 metros de altura,

para que, con un margen superior de 10 metros, el avión de Miguel no choque con ellos?

Este problema parece adolecer de alguna información importante, que debe suponer el alumno. ¿Cuál? Pero lo realmente interesante es analizar cómo proceden nuestros alumnos ante una situación

como ésta. ¿Qué piensan ustedes?

Evidentemente, tenemos que conocer a qué altura sobre el nivel del mar está el aeropuerto de

San Borondón. Si suponemos este situado a 0 metros, tenemos la siguiente tabla de valores:

Distancia (km) 125 120 115 110 105 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

Altura (km) 5 4,8 4,6 4,4 4,2 4 3,8 3,6 3,4 3,2 3 2,8 2,6 2,4 2,2 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0




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El avión se encuentra a 125 km del aeropuerto y una altura de 40 metros estaría a una distancia que se puede calcular encontrando primero la ecuación de la recta de la trayectoria seguida por el

avión a partir de los datos de la tabla.

Escogemos dos de los puntos de la trayectoria (A y B), siendo x la distancia e y la altura, ambas

en km.

A(125, 5) y B(75, 3), con lo que la recta viene dada por la expresión por todos conocida de:

1

1

12

12

xx

yy

xx

yy

y con nuestros puntos A y B:

75

3

50

2

x

y

La ecuación de la recta que obtenemos es 25

xy (en km), y para una altura de 40metros, o lo

que es lo mismo 0,04km, el valor de x es x = 25·0,04 = 1. Así pues, los edificios deben estar a una

distancia de 1 km.

Problema 4. No tengo cambio

En esto, que se encuentran dos profesores de Matemáticas:

-¿Tienes cambio de un euro? – le dijo Déniz a Manolo - Deja ver, tengo bastante suelto…pues mira no tengo. – Le contesta Manolo.

-¿Cómo va a ser eso?, déjame ver… – dice Déniz – es verdad, no tienes cambio… es más, no se puede

tener mayor cantidad de dinero en calderilla, sin tener cambio de un euro.

Si para Déniz, la calderilla son las monedas más pequeñas de un euro (50, 20, 10, 5, 2 y 1 céntimo). ¿Cuánto dinero tenía Manolo? ¡¡¡ADELANTE!!!

Tabulamos de forma ordenada las monedas de cada tipo que no llegan a poder cambiar un euro, y llegamos a que podríamos tener 139 céntimos de €, pero sin poder dar cambio al euro que nos

solicitan. Y también podemos comprobar que estaríamos en posesión de hasta 14 monedas.

MONEDAS

50 20 10 5 2 1

Total céntimos

€ nº monedas

1 1 1 1 5 4 99 13

1 1 2 1 2 0 99 7

1 0 3 2 3 3 99 12

1 4 0 1 2 0 139 8

1 4 0 1 0 4 139 10

1 4 0 0 0 9 139 14

Problema 5. Pintando baldosas

El patio del colegio donde estudia mi amiga Avelina es rectangular, y el piso está cubierto de baldosas cuadradas (todas iguales). Avelina las tiene contadas, el patio mide 120 por 40 baldosas. Lo

sabe porque jugando el otro día pintó una línea recta de una esquina a la opuesta, y luego la maestra le



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hizo limpiar todas las que había marcado. ¿Cuántas baldosas tuvo que limpiar Avelina por hacer ruindades?

PISTA: Se sabe que para un mismo problema siempre hay varias formas de llegar a la solución,

pero si quieres un consejo, primero cuenta las que marcarías en unos ejemplos pequeños antes de aventurarte a buscar la solución del grande. ¡¡¡ÁNIMO!!!

Aprovechando la ilustración del propio enunciado hemos trazado diagonales sobre cada rectángulo y vemos que en unos se marca una baldosa y en otros dos, por columna, dependiendo,

aparentemente, de la relación (largo, ancho) del patio. Si estudiamos lo que ocurre para las diferentes

relaciones, nos damos cuenta de lo siguiente:

Para una relación (m, 1), con m baldosas de largo y una de ancho, resulta evidente que se

marcará una baldosa por columna.

Para una relación (m, 2), ya no es tan evidente. Si m es par, queda marcada una loseta por columna ya que es lo mismo que considerar dos patios de (m, 2) columnas y una fila, pero si m es

impar, la columna central tiene dos baldosas implicadas, pues atravesamos la línea que separa las dos

filas solo una vez y será por la loseta central.

Cuando son tres filas y m columnas, (m, 3), son dos las líneas horizontales a atravesar, así que

como mucho habrá dos columnas en las que se marcan dos losetas. Esto ocurre si n es par, o es impar distinto de un múltiplo de 3. Antes de tabular los datos que vamos obteniendo, y para responder a lo

cuestionado en el problema, dibujemos una cuadricula proporcional a la que nos plantean, de 12 por 4

cuadros:

Vemos que la diagonal, va atravesando una loseta por columna, así que Avelina tendrá que

limpiar 120 baldosas.




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Pero estudiemos el problema con más generalidad marcando diagonales sobre una cuadrícula

más amplia:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Y tabulemos ahora los resultados, tal y como se ve en la tabla de la derecha:

¿Podemos apreciar alguna ley de

formación? ¿Alguna regularidad?

Lo intentamos para n = 2, y parece

que el resultado podía ser m + n -

1, pero falla para m = 6, m = 8,…

Esto puede llevarnos a pensar que

sigue una ley para los pares y otra

para los impares con alguna

excepción. No parece una buena regularidad. Tampoco vale para n

= 3 y demás valores de n.

A poco que trabajemos buscando

una expresión general, nos daremos cuenta de que cuando m

es divisible por n, ocurren unos

resultados diferentes a cuando no

lo es.

¿Tendrá algo que ver el que tengan

divisores comunes?

Ponemos una columna para el

M.C.D. y comprobamos que la

expresión m+ n – D, donde D es el M.C.D. coincide con el número de

losetas rayadas. Y esa es la

solución general.

m > n rayados

3 2 4

4 2 4

4 3 6

5 2 6

5 3 7

5 4 8

6 2 6

6 3 6

6 4 8

6 5 10

7 2 8

7 3 9

7 4 10

7 5 11

7 6 12

8 2 8

8 3 10

8 4 8

8 5 12

8 6 12

8 7 14

… … ….

120 40

m > n m.c.d. rayados m+n-mcd

3 2 1 4 4

4 2 2 4 4

4 3 1 6 6

5 2 1 6 6

5 3 1 7 7

5 4 1 8 8

6 2 2 6 6

6 3 3 6 6

6 4 2 8 8

6 5 1 10 10

7 2 1 8 8

7 3 1 9 9

7 4 1 10 10

7 5 1 11 11

7 6 1 12 12

8 2 2 8 8

8 3 1 10 10

8 4 4 8 8

8 5 1 12 12

8 6 2 12 12

8 7 1 14 14

… … …. …. ….

120 40 40 120



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Y también, naturalmente, los problemas nuevos del último artículo.

Los LEDs

A la entrada del colegio de Mario y Andrea hay una pantalla como ésta, con trece LEDs (Light-Emitting Diode: ‘diodo emisor de luz’) que se encienden para

dibujar las cifras desde el 0 hasta el 9 (podemos ver cómo se forma el 4 – Fig. 1).

A cada LED corresponde un interruptor con el mismo

número del LED. Un alumno, al pasar por los interruptores apaga todos los LEDs. Un segundo alumno pulsa todos los

interruptores pares, cuyas luces quedan encendidas (tal como

se ve en la figura 2, no se aprecia ninguna cifra). Igualmente, un tercer alumno

pasa y pulsa todos los interruptores múltiplos de 3, encendiendo los LEDs apagados y apagando los encendidos. Así continúan pasando hasta un total de 13

alumnos y cada uno pulsa los interruptores múltiplos de su ordinal. Después de

que pase el decimotercero, ¿qué cifra es la que dibujan los LEDs encendidos?

En la siguiente tabla podemos ver en qué estado van quedando los

interruptores tras el paso de cada alumno. (1: encendido; 0: apagado).

Y en la última línea, el estado final del tablero de los LEDs.

Quedan todos encendidos menos el 1, el 4 y el 9 siendo el dígito que dibujan el 3, como

podemos ver en la figura de la derecha.

Aportaciones

Nuestro amigo y fiel lector, Luis Ángel Blanco Fernández, asesor del Centro de Profesores del

Norte de Tenerife y colaborador del Proyecto Newton, nos envía su solución al problema de “Las

cifras”. Agradecemos una vez más su colaboración.

INTERRUPTORES

AL

UM

NO

S

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 1 1 1 1 1 1

3 1 0 1 0

4 0 0 1

5 1 0

6 1 0

7 1

8 1

9 0

10 1

11 1

12 1

13 1

Final 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

11 12 13

9 10

1 2 3

4 5

6 7 8

Figura 1

Figura 2




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Las cifras

Un número de dos cifras multiplicado por el producto de sus cifras da como resultado 336. ¿De

qué número se trata?

Cuando leí el problema por primera vez, echando un primer vistazo a la revista, lo pasé por

alto. Otro simple problema de álgebra.

Cuando releí el problema, me di cuenta que no era tan evidente resolverlo por álgebra. Al

menos yo no tengo conocimientos suficientes de álgebra para poder resolverlo.

Mi primer intento para resolverlo por álgebra fue como sigue:

Un número de dos cifras desconocidas x e y

El número como expresión algebraica 10x + y

El producto de las cifras del número xy

La ecuación que relaciona los elementos. (10x + y)(xy) = 336

TIENE MALA PINTA, UNA SOLA ECUACIÓN PARA DOS INCÓGNITAS...Y SE PONE PEOR

CUANDO DESARROLLO LA ECUACIÓN.

10x2y + xy

2 = 336

Muy complicado para mis conocimientos matemáticos.

SEGUNDA VÍA DE RESOLUCIÓN, SIN CONOCIMIENTOS DE ÁLGEBRA:

Como 336 es el resultado de un producto, puedo tantear por ensayo-error u organizando la información de los diferentes factores que dan como resultado 336. Prefiero optar por organizar la

información.

Para ello comienzo descomponiendo el número en factores primos y así poder obtener todos los

divisores de 336

Los divisores que obtengo son:

Divisores de 336: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 16, 21, 24, 28, 42, 48, 56, 84, 112, 168, 336

Al menos uno de esos números deberá ser el producto de las dos cifras, (xy) y otro deberá ser el

número de dos cifras que se busca.

Ahora se trata de ir dividiendo 336 por cada uno de los divisores. Los cocientes que obtenga serán el otro factor del producto del que se obtiene un resultado de 336. Como el cociente debe tener

dos cifras descartamos ya como divisores el 1, 2, 3, y también descartamos la mitad superior de la

serie de divisores ya que por conmutatividad de la multiplicación obtendríamos el mismo resultado



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Comenzamos con el 4. Para abreviar he realizado los cálculos con una hoja de cálculo, donde la

primera columna es el dividendo, la segunda columna el divisor y la tercera columna el cociente.

Dividendo Divisor Cociente

336 4 84

336 6 56

336 7 48

336 8 42

336 12 28

336 14 24

336 16 21

Como último paso se trata de comprobar en la columna de cocientes, si el producto de los dígitos coincide con el divisor y así obtendríamos el resultado. El único resultado que cumple esa

condición es el número 42.

Solución: El número de dos cifras que multiplicado por el producto de sus cifras da como resultado

336 es el número 42

Resuelto el problema, me he dado cuenta que por observación de los divisores hubiera dado

fácilmente con la solución sin necesidad de hacer tablas.

Nuestro comentario:

Solución.

Se descompone 336 en factores y se examina los posibles productos.

24·3·7, siendo los productos posibles: 2·168, 4·84, 8·42, 16·21, 48·7…

De su análisis se deduce que el producto sería 8·42, pues en los otros casos el producto de las

cifras por el número no cumple las condiciones del problema:

Addenda:

Se puede simplificar a, por ejemplo:

El producto de un número de dos cifras por sus cifras es 24. ¿De qué número se trata?

O complicar:

La suma de un número de tres cifras con sus cifras es 505, ¿de qué número o números se

trata? Y si la suma fuese 501, ¿cuántas soluciones hay y cuáles son?

Si tabulamos las sumas de los números cercanos a 505, podemos obtener sugerentes

conclusiones:

336 2

186 2

84 2 45 2

21 3

7 7




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Tiro al blanco

En el Gran Concurso de Tiro de Torres Nuevas, cada concursante

disparaba cinco veces. Acertar en el centro daba derecho a 20 puntos, mientras que las restantes zonas del blanco valían 15, 10, 5, 2 y 1.

Las cuatro mejor clasificadas quedaron empatadas con 61 puntos. Por

casualidad, sabemos que: El último tiro de Marcia valió 15 puntos.

Cuatro de los cinco tiros de Inés acertaron en la misma zona del

blanco.

Ninguna de ellas falló un tiro, excepto Sofía que falló el blanco en el primer disparo.

El primero y el último tiro de Carolina fueron en el centro.

Por suerte, fue posible ordenar las cuatro tiradoras aplicando una norma del reglamento que decía: «En caso de empate, tiene ventaja quien acertara más veces en el centro.»

¿A quién fueron atribuidas las medallas de oro, plata y bronce?

RESOLUCIÓN:

COMPRENDER

Datos 4 tiradoras: Marcia. Inés, Sofía, Carolina

5 disparos cada una

Los aciertos en cada zona valen 20, 15, 10, 5, 2 y 1 punto Cada una obtiene 61 puntos

Objetivo Quién ganó la medalla de oro, la de plata y la de bronce

Relación Las 5 informaciones que nos da el problema sobre los aciertos de cada tiradora

Diagrama Una tabla de doble entrada

PENSAR

Estrategia

Organizar la información



P

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B

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M

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EJECUTAR

Construir una tabla que recoja toda la información disponible y la organice.

20 15 10 5 2 1 0 Total Puesto

Marcia 61

Inés 61

Sofía 61

Carolina 61

Procedemos en este orden:

1º) Como el total de puntos es de 61 para las cuatro mejores concursantes, las cuatro tuvieron un

tiro con sólo 1 punto.

20 15 10 5 2 1 0 Total Puesto

Marcia 1 61

Inés 1 61

Sofía 1 61

Carolina 1 61

2º) Habiendo Sofía fallado un tiro, los otros cuatro son 20, 20, 20 y 1.

20 15 10 5 2 1 0 Total Puesto

Marcia 1 61

Inés 1 61

Sofía 3 1 1 61

Carolina 1 61

3º) Inés, con cuatro aciertos iguales, tendrá que tener una puntuación de 15, 15, 15, 15 y 1.

20 15 10 5 2 1 0 Total Puesto

Marcia 1 61

Inés 4 1 61

Sofía 3 1 1 61

Carolina 1 61

4º) Carolina, con dos aciertos de 20 puntos cada uno, tendrá una puntuación de 20, 15, 5, 1 y 20, o de 20, 10, 10, 1 y 20.

20 15 10 5 2 1 0 Total Puesto

Marcia 1 61

Inés 4 1 61

Sofía 3 1 1 61

Carolina 2 1 2 1 1 61

5º) Marcia, que ha tenido 15 puntos en su último tiro, tendrá una puntuación de 20, 15, 10, 1 y

15. Nótese que el valor de 61 se podría obtener también con 20 + 20 + 5 + 1 + 15. Pero, en términos

del reglamento, eso implicaría dos segundos premios.




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M A

S

20 15 10 5 2 1 0 Total Puesto

Marcia 1 2 1 1 1 1 1 1 61

Inés 4 1 61

Sofía 3 1 1 61

Carolina 2 1 2 1 1 61

Así, Sofía tuvo tres 20 y ganó la medalla de oro; Carolina, con dos 20, recibió la medalla de plata; Marcia, con un 20, tiene la medalla de bronce; Inés, sin ningún 20, quedó en cuarto lugar.

20 15 10 5 2 1 0 Total Puesto

Marcia 1 1 + 1 1 1 61 Bronce

Inés 4 1 61 4ª

Sofía 3 1 1 61 Oro

Carolina 2 1 2 1 1 61 Plata

Solución: Sofía ganó la medalla de oro; Carolina recibió la medalla de plata; Marcia la

medalla de bronce; Inés quedó en cuarto lugar.

RESPONDER

Comprobación: Ver que esta clasificación satisface todas las indicaciones de la relación.

Análisis: Aunque en un determinado momento parecía que podría haber más de una solución,

las propias condiciones del problema (reglamento de competición) permitieron deducir que habría una

sola.

Respuesta: Sofía ganó la medalla de oro; Carolina recibió la medalla de plata; Marcia la

medalla de bronce; Inés quedó en cuarto lugar.

Y algunos problemas nuevos, alguno de la serie Problemas de los abuelos.

Problema 1. El aperitivo de los abuelos

Los tres abuelos toman el aperitivo son sus tres nietos mayores y uno de ellos pregunta:

-¿Quién de ustedes es el mayor y qué edades tienen?

Los abuelos responden dando cada uno una pista sobre ello. - Nuestras edades son distintas y están entre 60 y 80 años y la suma de las edades de los dos más

viejos es un número cuadrado.

- La suma del más viejo y del más joven es el primer número capicúa menor que el cuadrado

que dice la abuela. - La suma de los dos más jóvenes es el segundo primo menor que el capicúa que dices tú.

Dígannos ahora la suma de los dígitos del producto de nuestras edades. Aquí tienen una

calculadora.

Problema 2. Series de números

Encuentra n números naturales diferentes a1, a2, a3,...an, tales que la suma de los números sea

igual al producto del primero y el último: a1·an. Generaliza las soluciones.



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Nuestro incansable amigo Luis Ángel Blanco Fernández nos envía también este interesante

problema.

Problema 3. Números cómplices

El reverso de un número es el número que se obtiene escribiendo el

número de derecha a izquierda. Por ejemplo, el reverso de 35 es 53 y

el de 235 es 532. Dos números enteros son cómplices si se cumplen tres condiciones:

1.- Los números se escriben con la misma cantidad de cifras

2.-Los números no son reversos de sí mismos (por ejemplo, 11 no sirve) y los números no son reversos entre ellos (por ejemplo 87 y 78 no sirven)

3.- El producto de los dos números es igual al producto de sus reversos.

Por ejemplo: Los números 42 y 12 son cómplices, puesto que tienen 2 cifras cada uno, no son reversos de sí mismos

ni entre ellos y el producto de los números es igual al producto de sus reversos 42×12=24×21=504.

¿Puedes encontrar más números cómplices de dos cifras?

Y así pararemos, por hoy. Ya veremos en el próximo artículo.

Pero seguimos insistiendo: hagan como Luis Blanco, resuelvan los problemas, utilícenlos con

los alumnos y, sobre todo, aporten sus comentarios a la revista, sus soluciones e, incluso, nuevas propuestas. O, simplemente, cuéntennos lo sucedido en el transcurso de la clase en que probaron el

problema. Eso nos alegraría mucho y también al resto de lectores. Vamos, anímense…

Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera de la próxima edición de la revista

Un saludo afectuoso del Club Matemático.



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Coordinador: C

arlos Duque G

ómez

Tiempo de (Video) Juegos

Carlos Ueno Jacue (Instituto de Enseñanza Secundaria La Vega de San José. España)

Resumen En este artículo presentamos una manera sencilla de implementar el videojuego en el aula, con la intención de desarrollar la capacidad para la resolución de problemas. El autor considera que los videojuegos constituyen una rica fuente de situaciones problemáticas que estimulan el desarrollo cognitivo de los jóvenes.

Palabras clave Videojuegos, Resolución de Problemas, Juegos Flash, Lógica y Razonamiento

Abstract In this article we propose a simple way to implement videogames inside the classroom, as a tool to develop problem solving skills. The author considers that videogames represent a rich source of problem solving situations which stimulate the cognitive development of the students.

Keywords Videogames, Problem Solving, Flash Games, Logic and Reasoning

1. Introducción y justificación

«Lo que sobre todo deberíamos proporcionar a nuestros alumnos a través de las matemáticas es la posibilidad de hacerse con hábitos de pensamiento adecuados para la resolución de problemas matemáticos y no matemáticos. ¿De qué les puede servir hacer un hueco en su mente en que quepan unos cuantos teoremas y propiedades relativas a entes con poco significado si luego van a dejarlos allí herméticamente emparedados? A la resolución de problemas se le ha llamado, con razón, el corazón de las matemáticas, pues ahí es donde se puede adquirir el verdadero sabor que ha atraído y atrae a los matemáticos de todas las épocas. Del enfrentamiento con problemas adecuados es de donde pueden resultar motivaciones, actitudes, hábitos, ideas para el desarrollo de herramientas, en una palabra, la vida propia de las matemáticas» (Guzmán, 1984)

En algunas ocasiones los alumnos demandan alguna actividad en el aula de Matemáticas que se salga de las rutinas habituales. Las razones son variadas: cansancio después de un día de muchos exámenes, proximidad de alguna jornada festiva, hora lectiva al final de la jornada escolar, etc. En alguna de esas situaciones en las que es difícil mantener la atención del alumnado en las tareas escolares habituales puede ser interesante introducir alguna actividad más lúdica, y que al mismo tiempo desarrolle algún aspecto relacionado con el curriculum de matemáticas. En este artículo mostramos una experiencia desarrollada en estos casos, que combina un elemento muy familiar para el alumno (los videojuegos) y un elemento fundamental del currículo: la resolución de problemas.

En la actualidad existe una cantidad creciente de profesionales en el mundo académico que mencionan las virtudes educativas de los videojuegos. Así, James Paul Gee (University of Wisconsin-


Tiempo de (Video)Juegos C. Ueno


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A Madison) identifica una serie de principios de aprendizaje que los videojuegos incorporan en mayor o

menor medida en su diseño, y que el entorno escolar a menudo no es capaz de implementar de manera tan eficiente. Entre ellos, menciono algunos que considero destacables:

1. IDENTIDAD: Los buenos videojuegos capturan el interés mediante un proceso de identificación con el personaje principal y la misión que debe desempeñar.

2. INTERACCIÓN: Los entornos en los juegos de ordenador son interactivos, de modo que el usuario no adopta tan sólo un papel de espectador.

3. TOMA DE RIESGOS: Los videojuegos saben ajustar de manera razonable las consecuencias del fracaso. Así, después de una “muerte” se puede cargar de nuevo la aventura desde un punto de control cercano.

4. CUSTOMIZACIÓN: En juegos bien diseñados el usuario puede adaptar el estilo de juego a su propia personalidad o a su nivel de dominio. Esto permite que la experiencia sea más gratificante y que se adapte mejor a la personalidad del usuario.

5. DIFICULTAD GRADUADA: En numerosos juegos la resolución de problemas es parte integral de su dinámica. Los problemas suelen estar bien estructurados, a menudo se presentan en niveles o misiones numeradas, y su aparición a lo largo del juego se realiza de manera progresiva en dificultad.

6. DESAFÍO Y CONSOLIDACIÓN: Cada nuevo problema propuesto presenta siempre una dificultad añadida, que requiere una mejora de la destreza para poder superarlo. Al mismo tiempo, es habitual que se necesite repetir la acción varias veces, hasta que, para el momento en el que se consigue superar la prueba, la nueva destreza se convierte en un automatismo para el “jugón”, permitiéndole afrontar retos más difíciles con posterioridad.

7. CONTEXTUALIZACIÓN: Nada mejor que un videojuego para apreciar el significado de expresiones como “aprendizaje significativo” o “aprendizaje situacional”, objetivos que consiguen mediante la presentación de entornos virtuales que realmente recrean el contexto ideal para investigar, interactuar y resolver problemas, insertados dentro de una historia donde todo cobra sentido.

8. DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LATERAL: Muchos juegos invitan a la exploración, a las rutas alternativas, y en la consecución de sus objetivos a menudo hay que pensar de manera indirecta, probando tácticas y estrategias diversas en las que lógica, imaginación y experiencia van de la mano.

9. EQUIPOS MULTI-DISCIPLINARES: En los videojuegos multijugador on-line, a menudo los jugadores deben colaborar entre sí para conseguir sus objetivos, asumiendo cada uno de ellos un rol determinado, que suele coincidir con el que más se identifican.

10. ACTUACIÓN PREVIA A LA COMPETENCIA: En el entorno escolar es común dar prioridad al desarrollo teórico de una competencia antes de ponerla en práctica. Los videojuegos siguen el orden inverso: El jugador se sumerge en un mundo del que conoce poco, y es la interacción constante con el medio, el uso de ayudas específicas bajo demanda, y la colaboración de otros jugadores más experimentados lo que permite desarrollar las competencias necesarias para progresar.

Estas y otras razones nos invitan a reflexionar sobre el papel que los videojuegos pueden tener de cara al aprendizaje. En la presente experiencia mostramos una forma sencilla de introducirlos en el aula. En primer lugar, renunciamos a los videojuegos comerciales y de gran complejidad o duración, por razones económicas, técnicas y de temporalización. Empujados por esta limitación, dirigimos nuestro interés hacia los juegos desarrollados en flash, que en general son aptos para su uso en equipamiento informático con características técnicas de tipo bajo/medio, lamentablemente todavía muy presente en nuestras aulas, y que por su diseño suelen ser ideales para dedicarles una sola sesión lectiva. Intentamos siempre, sin embargo, no olvidar un aspecto fundamental del currículo de Matemáticas que a menudo queda relegado en favor del desarrollo de destrezas de cálculo más mecánicas: la resolución de problemas. Este aspecto de la enseñanza de las matemáticas es complejo y




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resulta difícil de implementar de manera eficaz en el aula, a pesar de encontrarse en la raíz del pensamiento matemático más auténtico. Este autor opina que los videojuegos son una fuente de situaciones en las que la resolución de problemas es la protagonista principal de la acción, y que contribuyen significativamente al desarrollo de esta faceta tan importante del pensamiento matemático. En particular, fomentan la constancia en la búsqueda de soluciones, el pensamiento lógico tanto inductivo como deductivo, la creatividad y la curiosidad, así como el gusto por los desafíos intelectuales.

Hay que hacer notar aquí que en esta experiencia de aula las actividades elegidas están más orientadas al desarrollo del pensamiento y razonamiento lógicos que al del pensamiento numérico y aritmético. Por esta razón el lector no verá aplicaciones flash diseñadas para la práctica de destrezas de cálculo o para la resolución de problemas aritméticos.

2. Organización de una sesión

Una de las mayores ventajas de los videojuegos bien diseñados es que su propia estructura es óptima como situación de aprendizaje. En ellos se incluye habitualmente una introducción donde se explican brevemente las instrucciones de uso; a continuación se presentan una serie de niveles, secuenciados de menor a mayor dificultad, que el usuario debe ir superando; obtener la mayor puntuación posible, o alcanzar el último nivel de dificultad, constituyen retos que motivan al alumno para intentar avanzar y superar las pruebas propuestas. En otras palabras, el videojuego proporciona todas las herramientas necesarias para poder iniciarse en él, y las introduce de manera progresiva y bien planificada, motivando el progreso constante hasta la consecución del objetivo final. El profesor tan sólo necesita dar algunas pautas iniciales previas (localización de la actividad en la web, normas de conducta, objetivos a cumplir) y, si las actividades han sido convenientemente elegidas, los alumnos se centrarán rápidamente en ellas.

Para que la sesión se desarrolle de manera satisfactoria es recomendable contar con un aula de informática en la que cada alumno pueda disponer de un ordenador. La ratio del grupo recomendable debería situarse en torno a los 15 alumnos (mis experiencias personales a la hora de poner en práctica esta experiencia tuvieron lugar con un grupo de desdoble con 15 estudiantes, en un aula provista con 18 ordenadores).

3. Materiales y otras consideraciones previas

Como material complementario, aparte de contar evidentemente con el aula de informática, el profesor puede proporcionar una ficha con los nombres y descripción básica de las actividades que se van a desarrollar, y con espacios donde pueden registrar su puntuación conseguida o nivel alcanzado al finalizar la sesión (Figura 1).

Figura 1. Modelo de ficha de registro sencilla



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A Para proporcionar cierto grado de diversidad en el desarrollo de la clase, es interesante proponer

dos actividades, cada una de las cuales ocuparía el tiempo de media sesión. Esto permite, si uno de los juegos supone un reto de excesiva dificultad o poco atractivo para algunos alumnos, probar fortuna con el otro propuesto para la sesión.

Es muy recomendable que el profesor previamente haya tomado contacto y se sienta familiarizado con los juegos flash que va a proponer en el aula. No quiere decir esto que tenga que completarlos en su totalidad, pero haber superado algunos niveles le ayudará a conocer la mecánica básica de los mismos, y le permitirá asistir a los alumnos con más dificultades.

Otro aspecto a tener en cuenta es que muchos juegos flash no están traducidos al castellano. Por ello es conveniente que el docente conozca el vocabulario básico (habitualmente en lengua inglesa) con el que su alumnado se va a encontrar durante el desarrollo de la sesión. De hecho, este factor permite que en grupos inmersos en proyectos bilingües el catálogo de juegos se amplíe sustancialmente.

También es imprescindible asegurarse de que la conexión de Internet en el centro funciona adecuadamente, y de que no existen filtros de control de contenidos que impidan el acceso a las webs donde se alojan las actividades propuestas (en algunos centros la palabra “juego” forma parte de la lista negra de términos que son automáticamente bloqueados por los servidores que proporcionan la conexión a Internet; nunca he comprendido bien esta medida de control, que impide también la ejecución de juegos educativos que pueden ser de especial interés como recursos de aula).

4. Evaluación

Otra de las virtudes de utilizar videojuegos en una sesión de aprendizaje es que la graduación cuidadosa de su dificultad sirve al mismo tiempo como herramienta eficaz de evaluación: cuanto mayor es el nivel alcanzado por el alumno durante el desarrollo de la actividad, mayor es la competencia en la resolución de problemas que en esa faceta demuestra, y esto supone un indicativo claro de este aspecto de su aprendizaje. El profesor puede establecer una escala de calificación en función del nivel máximo alcanzado durante el desarrollo del juego (como ejemplo, si la actividad tiene 30 niveles se pueden establecer rangos, de modo que menos de cinco niveles supone un resultado poco adecuado, de cinco a quince adecuado, de quince a veinticinco muy adecuado y más de veinticinco excelente). Pero no sólo eso: durante una sesión de estas características pueden observarse y evaluarse comportamientos y actitudes relacionados con otras competencias de interés:

• Competencia social y ciudadana, que queda reflejada en la actitud de colaborar, ayudar y dar pistas por parte de algunos alumnos hacia otros, cuando se ven en dificultades para superar un nivel del juego de mayor dificultad.

• Competencia de aprender a aprender, reflejada en la paciencia y la constancia que se demuestra al superar fases que suponen un desafío para el alumno.

• Tratamiento de la información y competencia digital, puesto que el profesor puede observar la comodidad con la que el discente se desempeña en entornos informáticos (búsqueda de información, uso del teclado, comprensión de códigos e instrucciones, etc.).

• Competencia lingüística, en el modo de compartir experiencias, describir las características de los videojuegos, explicar cómo se ha conseguido superar una prueba determinada a otros compañeros. Además, el inglés aparece a menudo en los juegos flash, y esto ofrece una oportunidad para hacer ver al alumno la importancia que tiene el dominio de este idioma en ámbitos muy cercanos a él.




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• Competencia cultural y artística, puesto que, como veremos más adelante, algunos videojuegos pueden considerarse pequeñas obras de arte, hechas con mucho mimo y dedicación, cosa que puede observarse en los detalles, en el diseño y trabajo gráfico que lo acompaña, o en la calidad literaria de la historia que nos quieren transmitir.

COMPETENCIA DESCRIPTORES

Competencia en comunicación lingüística

Formular y expresar los propios argumentos de una manera convincente y adecuada al contexto.

Realizar intercambios comunicativos en diferentes situaciones, con ideas propias.

Competencia Matemática Seguir determinados procesos de pensamiento (como la inducción y la deducción, entre otros).

Poner en práctica procesos de razonamiento que llevan a la obtención de información o a la solución de los problemas.

Competencia social y ciudadana Cooperar y convivir.

Competencia para aprender a aprender

Tener conciencia de las capacidades de aprendizaje: atención, concentración, comprensión, motivación de logro.

Plantearse preguntas. Identificar y manejar la diversidad de respuestas posibles.

Ser perseverantes en el aprendizaje.

Aceptar los errores y aprender de los demás.

Tratamiento de la información y competencia digital

Comprender e integrar la información en los esquemas previos de conocimiento.

Hacer uso habitual de los recursos tecnológicos disponibles.

Competencia cultural y artística Apreciar y disfrutar con el arte y otras manifestaciones culturales.

Aplicar habilidades de pensamiento divergente y de trabajo colaborativo.

Tabla 1. Competencias Básicas y Descriptores trabajados

5. Papel del profesor

Durante una sesión de estas características, el rol del profesor debe limitarse a cuestiones relacionadas con la gestión del aula, especialmente al inicio de la clase (explicación de la actividad, direcciones sobre los objetivos propuestos, normas de conducta, forma de evaluar la actividad), la observación del alumnado, y el apoyo a los estudiantes que puedan tener dificultades de aprendizaje. En realidad, el protagonismo del profesor debe limitarse al mínimo necesario, interviniendo sólo para que la sesión se desarrolle con normalidad, y debe ceder protagonismo al alumno y a su entorno “virtual” de modo que pueda concentrarse en la misión que debe cumplimentar, sin interferencias desde el mundo “real”. Para incentivar de vez en cuando al grupo, el profesor puede ocasionalmente añadir algunas expresiones de ánimo en niveles de especial dificultad, aportar pistas en situaciones de bloqueo prolongadas, así como “cantar” resultados obtenidos por algunos estudiantes para añadir un poco de emoción al desarrollo de la actividad.



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A 6. Observaciones de aula

Mis experiencias con esta práctica en el aula tuvieron lugar con un grupo de desdoble de 1º ESO (formado por 15 alumnos aproximadamente) durante el curso escolar 2012/13. Algunas observaciones que resultaron interesantes y que merecen ser destacadas aquí son las siguientes:

• Alumnos que tenían dificultades para seguir con interés las clases “ordinarias” de matemáticas y cuyo rendimiento en la materia, en términos generales, podía considerarse poco adecuado mostraban alto grado de implicación en el desarrollo de la actividad, y en ocasiones manifestaban una destreza superior a la de otros compañeros a la hora de afrontar la resolución de los puzzles y problemas que aparecían en los videojuegos.

• Con bastante frecuencia se observaban conductas espontáneas de colaboración entre los compañeros del aula, de modo que los más adelantados daban indicaciones a los más rezagados sobre cómo superar algunas fases de especial dificultad.

• El éxito de los juegos flash en cada sesión no siempre era de la misma intensidad1. Los juegos excesivamente complejos pueden provocar frustración en algunos alumnos, mientras que suponen un estímulo para otros. Por otra parte, juegos muy sencillos pueden generar aburrimiento enseguida. Por esto es recomendable que las opciones que se presentan en una sesión incluyan algo de variedad tanto en su dificultad como en su temática.

• Por naturaleza, los juegos a menudo incluyen un factor competitivo que, en su justa medida y bien aprovechado por el profesor, favorece la motivación y el esfuerzo por llegar al nivel más alto posible. Es importante aquí que el docente dé mayor soporte a los alumnos con dificultades de aprendizaje, supervisando su progreso con más frecuencia, para evitar que las diferencias en el avance de los estudiantes sean demasiado grandes.

7. Algunos recursos

A continuación ofrecemos una selección de juegos Flash que pueden relacionarse directamente con el ámbito de la resolución de problemas, clasificados a gusto del autor. Es tan amplia la oferta de este tipo de actividades que en ningún caso pretendemos ser exhaustivos, sino simplemente ofrecer una panorámica sobre los recursos disponibles. Dejaremos fuera de esta selección las actividades flash diseñadas específicamente para el aprendizaje de contenidos más tradicionales en Matemáticas, puesto que existen muchas referencias y artículos dedicados a este asunto en blogs de profesores y sitios web de carácter educativo.

Tipos de videojuegos:

Puzzles y juegos clásicos: Muchos puzzles clásicos se han adaptado a las nuevas tecnologías, y esto ha permitido una renovación del género que los hace más atractivos para los adolescentes. Podemos citar aquí el tangram y sus variantes, el sudoku y derivados, solitarios de diverso tipo, etc.

1 De los juegos que se mencionan en este artículo, algunos que han tenido muy buena acogida entre mis alumnos son los siguientes: «System Dynamics», «Rolling Fall», «Physics Cup».




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Figura 2. Way of the Tangram 2 Figura 3. Railroad Shunting Puzzle 3

Puzzles nuevos: La variedad de puzzles de nueva creación es enorme (algunos inspirados en acertijos lógicos y matemáticos clásicos), y aquí tan solo ofrecemos algunos ejemplos.

Figura 4. Bloxorz 4 Figura 5. Light-Bot 5

Llegar a la meta: Muchos videojuegos tienen una estructura sencilla: un personaje principal debe superar una serie de niveles, partiendo en cada uno de ellos de un punto inicial y recorriendo un camino hasta llegar al acceso del siguiente nivel. Sin embargo, conseguir llegar al final de cada pantalla puede resultar un verdadero reto donde la inteligencia, la lógica y la constancia deben unirse para conseguirlo.

2 http://piensoyjuego.es/index.php?module=home&func=jugar&cat=puzzles&id=1557 3 http://armorgames.com/files/games/railroad-shunting-pu-7324.swf?v=1403281942 4 http://www.coolmath-games.com/0-bloxorz/bloxorz_coolmath.swf 5 http://armorgames.com/files/games/light-bot-2205.swf?v=1403286385

http://www.coolmath-games.com/0-bloxorz/bloxorz_coolmath.swf

http://armorgames.com/files/games/light-bot-2205.swf?v=1403286385

http://piensoyjuego.es/index.php?module=home&func=jugar&cat=puzzles&id=1557

http://armorgames.com/files/games/railroad-shunting-pu-7324.swf?v=1403281942

http://www.coolmath-games.com/0-bloxorz/bloxorz_coolmath.swf

http://armorgames.com/files/games/light-bot-2205.swf?v=1403286385



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Figura 6. Funny Man 6 Figura 7. Tom and Jerry Midnight Snack 7

Mecánicos: Algunas actividades flash incluyen problemas de tipo mecánico, en los que aparecen distintos objetos (engranajes, muelles, globos, fichas, etc.) que deben combinarse para alcanzar el objetivo propuesto.

Figura 8. Dynamic Systems 2 8 Figura 9. Wallace`s Workshop 9

Dentro de este apartado, merece la pena destacar una familia de juegos flash basados en la fuerza de la gravedad. Los mejor diseñados exigen del usuario que ponga en funcionamiento toda su capacidad de razonamiento para poder superar los retos que plantean.

6 http://www.gamephysics.info/swf/funnyman.swf 7 http://juegos3.abcjuegos.net/swf/jv2/midnight-snack.swf 8 http://www.gamephysics.info/swf/dynamicsystems2.swf 9 http://flash.wallaceandgromit.com/games/wallaces-workshop.swf

http://www.gamephysics.info/swf/funnyman.swf

http://juegos3.abcjuegos.net/swf/jv2/midnight-snack.swf

http://www.gamephysics.info/swf/dynamicsystems2.swf

http://flash.wallaceandgromit.com/games/wallaces-workshop.swf

http://www.gamephysics.info/swf/funnyman.swf

http://juegos3.abcjuegos.net/swf/jv2/midnight-snack.swf

http://www.gamephysics.info/swf/dynamicsystems2.swf

http://flash.wallaceandgromit.com/games/wallaces-workshop.swf




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Figura 10. Rolling Fall 10 Figura 11. Physics Cup 2 11

Construcción: Los juegos de construcción no sólo trabajan la resolución de problemas sino que también estimulan la creatividad del alumno. Suponen el equivalente virtual a juegos como el LEGO. Montañas rusas, puentes y otros tipos de estructuras en las que conseguir su estabilidad o funcionalidad depende de principios físicos y matemáticos, que el profesor puede mencionar como complemento en un momento posterior al de la realización de la actividad.

Figura 12. Rollercoaster Creator 12 Figura 13. Cargo Bridge 13

Juegos artísticos: Por último, algunos juegos flash pueden considerarse verdaderas obras con valor artístico, y no debemos olvidar que ésta también es una competencia que debemos potenciar en nuestros alumnos.

10 http://juegos3.abcjuegos.net/swf/jv2/rolling-fall.swf 11 http://juegos3.abcjuegos.net/swf/jv2/physics-cup-2.swf 12 http://armorgames.com/files/games/rollercoaster-creato-1695.swf?v=1403322950 13 http://www.physicsgames.net/swf/cargobridge.swf

http://juegos3.abcjuegos.net/swf/jv2/rolling-fall.swf

http://juegos3.abcjuegos.net/swf/jv2/physics-cup-2.swf

http://armorgames.com/files/games/rollercoaster-creato-1695.swf?v=1403322950

http://www.physicsgames.net/swf/cargobridge.swf

http://juegos3.abcjuegos.net/swf/jv2/rolling-fall.swf

http://juegos3.abcjuegos.net/swf/jv2/physics-cup-2.swf

http://armorgames.com/files/games/rollercoaster-creato-1695.swf?v=1403322950

http://www.physicsgames.net/swf/cargobridge.swf



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Figura 14. The Company of Myself 14 Figura 15. One and One Story 15

8. Conclusiones

En esta pequeña excursión al mundo de los juegos flash hemos querido defender una tesis que cuenta con una cantidad creciente de defensores y que puede sintetizarse en la siguiente afirmación:

Los videojuegos contribuyen al desarrollo de la capacidad del alumno en la resolución de problemas, y puede ser interesante su implementación en el aula como recurso didáctico.

Es cierto que a menudo en este sector del ocio se introducen elementos de tipo ético y social que nos deben llevar a la crítica y a la reflexión (violencia, sexismo, prejuicios, etc.), pero pocas veces se destacan las virtudes que este mismo sector aporta al desarrollo cognitivo de nuestros jóvenes. Por ese motivo esta práctica de aula quiere mostrar la cara amable del videojuego, sus posibilidades en lo que respecta al aprendizaje, su contribución en cuanto a la adquisición de competencias básicas, y sus lecciones de cara a los educadores sobre cómo conseguir una experiencia de aprendizaje enriquecedora y absorbente. Creo sinceramente que deberíamos estar más atentos a estas enseñanzas que nos ofrece el mundo de los videojuegos, porque tal vez en el futuro nuestros descendientes aprenderán de ellos más y mejor que de nosotros, los docentes.

Repositorios de juegos Flash

• http://www.abcjuegos.net/ • http://armorgames.com/ • http://piensoyjuego.es/ • http://www.coolmath-games.com/ • http://www.minijuegos.com/ • http://www.physicsgames.com/ • http://www.physicsgames.net/

14 http://armorgames.com/files/games/the-company-of-mysel-4918.swf?v=1403324345 15 http://armorgames.com/files/games/one-and-one-story-12409.swf?v=1403352740

http://armorgames.com/files/games/the-company-of-mysel-4918.swf?v=1403324345

http://armorgames.com/files/games/one-and-one-story-12409.swf?v=1403352740

http://www.abcjuegos.net/

http://armorgames.com/

http://piensoyjuego.es/

http://www.coolmath-games.com/

http://www.minijuegos.com/

http://www.physicsgames.com/

http://www.physicsgames.net/




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Bibliografía

Devlin, K. (2011). Mathematics Education for a New Era: Video Games as a Medium for Learning. A. K. Peters, Ltd.

Disessa, A. A. (2001). Changing Minds: Computers, Learning, and Literacy. MIT Press. Etxeberria Balerdi, F. (2001). Videojuegos y Educación. Teoría de la Educación. Educación y Cultura

en la Sociedad de la Información. Universidad de Salamanca. Recuperado el 15 de enero de 2014 de http://campus.usal.es/~teoriaeducacion/rev_numero_02/n2_art_etxeberria.htm

Gee, J. P. (2003). What Video Games Have to Teach Us About Learning and Literacy. New York: Palgrave Macmillan.

Gee. J. P. (2005). Learning by design: Games as learning machines. Interactive Educational Multimedia, number 8 (April 2004), pp.15-23. Recuperado el 15 de enero de 2014 de http://greav.ub.edu/der/index.php/der/article/view/73/161

Gee, J. P. (2005). Good Videogames and Good Learning. Phi Kappa Phi Forum, Vol. 85, Núm. 2. Recuperado el 15 de enero de 2014 de

http://www.jamespaulgee.com/sites/default/files/pub/GoodVideoGamesLearning.pdf Guzmán, M. de (1984). Juegos Matemáticos en la Enseñanza. En Actas de las IV Jornadas sobre

Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas, Santa Cruz de Tenerife, SCPM Isaac Newton. Recuperado el 15 de enero de 2014 de http://utenti.quipo.it/base5/introduz/guzmanjuegos.htm

Squire, K. (2011). Video Games and Learning: Teaching and Participatory Culture in the Digital Age. Teachers College, Columbia University.

Carlos Ueno Jacue, (Madrid, 1968). Doctor en Ciencias Matemáticas por la Universidad Complutense de Madrid. Ha publicado como autor o coautor en diversas revistas de prestigio internacional, y próximamente desarrollará un proyecto de investigación en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Pisa relacionado con el estudio de imágenes de aplicaciones polinómicas y regulares en espacios euclídeos. Es profesor de Matemáticas en enseñanza secundaria desde 1999. Actualmente ejerce docencia en el IES La Vega de San José (Las Palmas de Gran Canaria, España). Email: [email protected]

http://campus.usal.es/~teoriaeducacion/rev_numero_02/n2_art_etxeberria.htm

http://greav.ub.edu/der/index.php/der/article/view/73/161

http://www.jamespaulgee.com/sites/default/files/pub/GoodVideoGamesLearning.pdf

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Gauss: La teoría de números

Si los números pudieran hablar

Antonio Rufián Lizana

EDITORIAL RBA

Colección: Grandes ideas de la ciencia

ISBN: 978-84-473-7634-6

167 páginas

Año 2012

El libro que nos ocupa presenta un recorrido sucinto por la trayectoria vital y científica del

eminente matemático Johann Carl Friedrich Gauss (Braunschweig, 1777 - Göttingen, 1855). Aunque mucho se ha escrito y debatido sobre la genialidad del llamado “Princeps Mathematicorum” y sus

amplias aportaciones a campos tan diversos como la Matemática, la Astronomía, la Geodesia o la

Física, este libro se suma a la corta lista de referencias publicadas en castellano que se pueden

encontrar sobre Gauss.

A la vista del título, el lector podría inferir que el libro se centra en las aportaciones de Gauss a la Aritmética. Sin embargo, aunque la Teoría de Números constituye un ámbito destacado en la

trayectoria científica de Gauss, el presente texto aborda de modo ameno sus contribuciones a la ciencia

en general. El lector no especializado agradecerá la concisión en la exposición, así como las notas

aclaratorias que acompañan a la exposición de la vida y obra de nuestro personaje.


Gauss: La teoría de números. Si los números pudieran hablar. Antonio Rufián Lizana Reseña: D. Hernández


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El libro comienza con una introducción en la que se describen brevemente las principales circunstancias personales, sociales, políticas y militares que forjarían la personalidad y carácter de

Gauss, así como sus líneas preferentes de investigación y trabajo. Esta introducción se acompaña de

una cronología vital y científica que sirve de guión de cara a obtener una visión global de la vida y

logros de Gauss.

El cuerpo principal del texto se divide en seis capítulos, de los cuales el primero, segundo y

cuarto pueden catalogarse como enmarcados en las aportaciones de Gauss a la Teoría de Números. Por

su parte, el capítulo tercero se dedica a sus contribuciones a la Astronomía, mientras que en el quinto se esbozan sus trabajos en Geodesia, así como sus desarrollos pioneros en Geometría Diferencial y sus

incursiones en la Física. Finalmente, el texto concluye con un sexto capítulo dedicado a la última etapa

existencial y el legado de nuestro personaje. En las siguientes líneas realizamos una breve semblanza

del contenido de cada uno de los citados capítulos.

El primer capítulo lleva por título “Primeros destellos de un prodigio de los números” y trata la precocidad aritmética del joven Gauss ya desde su etapa escolar, así como la excelente formación

académica recibida en su Braunschweig natal. Su talento no pasaría desapercibido entre las

autoridades, y tal es así que de 1791 a 1806 disfrutaría del mecenazgo del Duque de Braunschweig, Karl Wilhelm Ferdinand (1735-1806), lo cual le permitiría afrontar sus estudios universitarios (en las

universidades de Göttingen y Helmstedt) y su ascenso a la cima de la investigación matemática con

cierta holgura económica. El capítulo concluye relatando su inclinación definitiva hacia las

matemáticas, en parte debido a su célebre descubrimiento -a la edad de 18 años- de la construcción con regla y compás del heptadecágono regular, así como de la relación entre la construcción de

polígonos regulares y los números primos de Fermat. Es por entonces cuando el joven Gauss inicia sus

anotaciones en su diario científico, el cual, con posterioridad a su muerte, resultaría de vital relevancia

para la correcta atribución de diversos resultados matemáticos.

En el capítulo segundo, titulado “Disquisitiones Arithmeticae”, se relata el ascenso de Gauss al

Olimpo de las Matemáticas, por una parte, tras la presentación -in absentia- en 1799 de su tesis

doctoral por la Universidad de Helmstedt en la que se incluye la primera demostración del Teorema

Fundamental del Álgebra, y por otra, tras la publicación en 1801 de “Disquisitiones Arithmeticae”, una de sus obras fundamentales, y en la que se dota a la Teoría de Números de un formalismo sin

precedentes. En ella daría forma a la teoría de congruencias, establecería la ley de reciprocidad

cuadrática, y trataría la división regular del círculo con regla y compás, entre otros aspectos. Este segundo capítulo concluye con un apartado en el que se comentan algunos aspectos de su vida

familiar, en concreto, sus dos matrimonios (en 1805 y 1810).

A pesar de sus relevantes avances matemáticos, Gauss alcanzaría el reconocimiento

internacional a la edad de 24 años por sus aportaciones a la Astronomía. Así pues, en el capítulo tercero -“Un método para encontrar planetas”- se trata la predicción teórica por parte de Gauss de la

órbita del planeta enano Ceres. En concreto, se hace especial énfasis en su descubrimiento pionero del

método de mínimos cuadrados para el ajuste de datos experimentales, que ocasionaría su primera

disputa científica con Adrien-Marie Legendre (1752-1833) sobre la autoría original de dicho método. El capítulo finaliza describiendo su obra “Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis

solem ambientium”, publicada en 1809, en la que instauraría las bases de la Astronomía moderna. Dos

años antes, Gauss había sido nombrado profesor de Astronomía por la Georg-August-Universität Göttingen, así como Director del Observatorio Astronómico de la misma ciudad, cargo que ocuparía el

resto de su vida.

El capítulo cuarto -“Poniendo orden entre los números primos”- considera el papel de Gauss en

la consolidación de las bases de la Teoría Analítica de Números. De hecho, se discute su autoría -

nuevamente en disputa con Legendre- de conjeturas acerca de la distribución de números primos. En

Gauss: La teoría de números. Si los números pudieran hablar. Antonio Rufián Lizana

Reseña: D. Hernández



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concreto, se describe el camino conducente a la formulación del Teorema de los Números Primos, que

permite estimar asintóticamente la cantidad de números primos menores o iguales que un número real

dado a través de la función logaritmo integral desplazada. Por otra parte, se destaca la influencia de

Gauss sobre Bernhard Riemann (1826-1866), quien introduciría la función zeta valuada compleja, de importancia capital en la demostración definitiva del Teorema de los Números Primos -de modo

independiente por Jacques Hadamard y Charles de la Vallée Poussin en 1896-.

Tal como se ha indicado, los intereses científicos de Gauss traspasaban las fronteras de la

Matemática pura, y a lo largo de su vida dedicó atenciones a otras disciplinas de carácter más aplicado. Así, en el quinto capítulo (“Aportaciones en geometría y física”) se describe inicialmente la

incursión de Gauss en la Geodesia a través de un proyecto cartográfico para la medición del reino de

Hannover. No obstante lo anterior, sus trabajos geodésicos guardarían relación con su contribución fundamental al estudio de la geometría de superficies curvas, estableciendo las bases de la Geometría

Diferencial en su obra “Disquisitiones generales circa superficies curvas” (1827), donde expone, entre

otros, su célebre Theorema Egregium. El capítulo concluye con unas breves indicaciones acerca de la

colaboración con el físico Wilhelm Weber (1804-1891) en cuestiones relativas a la electricidad y, en

especial, al magnetismo terrestre.

El capítulo final del libro -“El legado del «Príncipe de los matemáticos»”- comienza haciendo

especial énfasis en el revés personal y científico sufrido por Gauss a causa de la expulsión de Weber

de la Universidad de Göttingen en 1837 por causas políticas, así como por el fallecimiento de su madre en 1839 y una de sus nietas en 1840. Por otra parte, se destaca la faceta formadora de Gauss en

sus últimos años de vida, habiendo ejercido una influencia notable en matemáticos de posterior

reconocido prestigio internacional como Bernhard Riemann y Richard Dedekind (1831-1916), a

quienes supervisa sus tesis doctorales en Göttingen en 1851 y 1852, respectivamente. El último acto académico de Gauss sería precisamente la presidencia del tribunal calificador de la célebre tesis de

habilitación de Bernhard Riemann como profesor universitario en 1854.

En opinión de quien suscribe, debemos estar agradecidos al autor por la claridad y brevedad en

la exposición, así como por su esfuerzo en acercar a la sociedad hispanohablante la figura del genial

Gauss, el “Príncipe de los Matemáticos”.

Domingo Hernández Abreu (Universidad de La Laguna)


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Aritmética para padres y madres

Un libro para adultos sobre la matemática escolar

Ron Aharoni

ACADEMIA CHILENA DE CIENCIAS

ISBN: 978-956-8304-07-2

212 páginas

Año 2012

Complementando una serie de iniciativas para fortalecer la enseñanza matemática, la Academia Chilena de Ciencia, en colaboración con el ministerio de Educación de Chile, editó a fines del año

2012 el libro Aritmética para padres y madres. Su autor es un matemático Israelí que enseña en el

nivel universitario, y que decidió compartir su experiencia luego de vivir lo que él reconoce como “una de las aventuras más fascinantes de mi vida”: realizar clases en una escuela rural a estudiantes de

enseñanza básica durante 6 años, donde redescubrió lo profundo de las matemáticas elementales y lo

complejo que es enseñarla. Basado en lo aprendido en esta experiencia es que escribió este libro, con

el propósito de aportar ideas, y según sus propias palabras, “servir de guía al enfrentar los principios

de las matemáticas que se enseñan en educación básica”.

Escrito en un lenguaje sencillo, de muy fácil comprensión y a modo de guía, en el que va

utilizando diversas situaciones, ejemplos y reseñas, el autor busca encantar y convencer al lector de la

importancia de las matemáticas y a su vez mostrar lo complejo que es la enseñanza de abstracciones a

niños, y llegar hasta el punto de transmitir la belleza que posee.


Aritmética para padres y madres. Ron Aharoni Reseña: C. G. Espinoza


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El libro está organizado en 3 secciones principales tituladas Los elementos, El camino a la abstracción y Aritmética de primero a sexto año de educación básica, siendo la tercera de las

secciones la que mayor protagonismo alcanza en el texto. Cada una de estas secciones está a su vez

dividida en distintas subsecciones. El autor comienza introduciendo al lector en las matemáticas elementales, explicando por qué se debe aprender matemáticas, qué son las matemáticas y cómo se

debe enseñar, considerando cómo aprenden los estudiantes en la etapa inicial, o más bien mediar para

que conceptos tan abstractos puedan ser comprendidos por los estudiantes; finaliza con la parte

práctica en la que se explica, etapa por etapa, la materia que se enseña en los colegios.

La primera sección, Los elementos, comienza con el capítulo llamado “¿Qué son las

matemáticas?” En él, el autor nos introduce en el tema y trata de darle un sentido a la enseñanza de las

matemáticas, tan comúnmente evitadas y desvalorizadas por el hecho de considerarse una de las

asignaturas más tediosas y difíciles en la edad escolar. En respuesta a la pregunta que pone nombre a este capítulo, el autor señala que las matemáticas son en esencia una abstracción y la importancia de

aprender matemáticas en la escuela radica principalmente en que:

“nos permiten comprender la realidad”

“nos enseña de forma precisa y organizada a pensar de forma abstracta”

“fomenta los hábitos básicos del pensamiento, como la capacidad de distinguir entre lo

esencial y los accesorios o de llegar a conclusiones lógicas”

En cuanto al aprendizaje de la matemática, Aharoni indica que la gran dificultad no radica en

que hayamos nacido incapacitados para comprenderla, sino en su enseñanza, por el hecho de ser difícil explicar abstracciones. Para sortear esta dificultad se debe tener un conocimiento profundo del tema y

además conocer el proceso o la estructura de pensamiento y comprensión de los estudiantes.

La primera sección continúa con una serie de capítulos en que se muestra cómo las matemáticas

nos permiten, por ejemplo, ahorrar esfuerzos, a través del orden, la generalización y la representación,

puesto que:

“descubrir un patrón facilita la orientación”

“un principio que se descubre en un área se puede aplicar a otra”

“el sistema decimal es una excelente forma económica de representar número; las fórmulas

matemáticas representan proposiciones de forma clara y concisa”

Continúa el autor hablándonos de la belleza de las matemáticas. Identifica que el secreto de su

belleza no está en la utilidad que tienen sino en la satisfacción estética que se produce al hacer algún

descubrimiento matemático, cuando aprendemos algo nuevo. Esta satisfacción la puede sentir desde un matemático experimentado a un niño que observa y comprende una forma nueva de comprobar la

regla conmutativa en la multiplicación.

Por otra parte, para poder enseñar o mediar en matemática se debe estar muy consciente de

cómo hacerlo. Se debe estar atento a continuar un orden, a respetar los tiempos y principalmente tomar

en cuenta que, en matemáticas, el conocimiento se establece por capas absolutamente dependientes de las anteriores. Esto implica que el profesor debe tener un conocimiento profundo de la matemática que

enseña y estar absolutamente consciente a quién se le enseña. En la enseñanza de las matemáticas

elementales se puede considerar que algo es muy fácil, pero requiere de un enorme conocimiento de

Aritmética para padres y madres. Ron Aharoni

Reseña: C. G. Espinoza



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cómo aprenden los estudiantes, cómo se construye el conocimiento (desde lo elemental). Para el autor,

la respuesta es “Capa por Capa”, borrando de nuestra mente que algo es fácil, porque hasta lo más

simple en educación básica debe establecerse por medio del trabajo sistemático.

“Las matemáticas que se enseñan en la educación básica no son sofisticadas, pero sí requieren

de sabiduría. Tal vez no son complejas pero sí profundas”

La segunda sección de este libro, El camino a la abstracción, consta de 7 capítulos en los que se tratan los principios de la enseñanza básica escolar, para pasar desde lo concreto hasta la abstracción.

Nos orienta en términos de qué es lo necesario para promover en los estudiantes ese paso tan

complicado. De esta forma, en el capítulo “Enseñar abstracciones” se indica que para enseñar o explicar una abstracción es conveniente utilizar ejemplos, ya que “es más fácil asociar un ejemplo

específico de un principio con otro ejemplo específico que recordar el principio abstracto”, pero

recalcando que también es muy importante utilizar diversidad de ejemplos pues si no esto podría

converger en la observación de algún detalle insignificante que no esté asociado al concepto abstracto,

lo que el autor llama fijación.

“si un niño cuenta solo manzanas, terminará asociando el número 4 con 4 manzanas”.

Así, el autor pone de manifiesto la importancia de considerar los detalles, las pequeñas sutilezas

matemáticas que muchas veces, por tener un conocimiento matemático superior, se pueden pasar por

alto. La responsabilidad queda entonces en manos de quien enseña ya que este debe ser capaz de

comprender la forma en que piensa, razona, comprende el estudiante.

Otro factor importante mencionado en este libro y que conduce o ayuda en este camino a la

abstracción, es el rol de mediador que debe tomar el profesor. En el libro, se recalca que un estudiante,

para adquirir el conocimiento abstracto, no solo debe escuchar y escuchar atentamente lo que el padre,

la madre o el profesor le quiera transmitir, él debe experimentarlo y el mediador debe principalmente guiar al estudiante para no pasar por alto detalles importantes, para asegurarse que no se pierda en

detalles irrelevantes o que se salte alguna etapa (diferenciándolo del constructivismo puro), para ello el

conocer la estructura de cómo se aprende y que aprende (conociendo en profundidad el tema de

estudio) permite ser un buen mediador.

“Los niños no aprenden conceptos de manera pasiva,…….el niño debe hacer más que escuchar

a su profesor: debe experimentarlo por él mismo.”

“el profesor y el estudiante deben trabajar juntos para que los conceptos afloren en la mente del

estudiante”

Además, en el libro se manifiesta la necesidad de utilizar los nombres de conceptos, términos y

la explicitación, lo que no implica complejizar el proceso sino que permite a los estudiantes pensar y

expresar ideas de manera mucho más clara y precisa.

Finalmente en la tercera y última sección de este libro, la más extensa de las tres, se revisa

detalladamente cómo trabajar la aritmética desde primero a sexto básico (educación primaria). En esta

sección se tratan los siguientes tópicos: el significado y el cálculo de la suma, la resta, la multiplicación y la división, la multiplicación y división de fracciones, así como el denominador

común y el mínimo común múltiplo, las fracciones decimales, los porcentajes y la proporcionalidad.

Esta sección del libro parte con un capítulo dedicado al significado de las cuatro operaciones

aritméticas básicas. Se desglosa el significado de sumar, asociando dos ideas a la suma: UNIR y

AGRUPAR. Lo mismo se hace con la resta, distinguiendo entre tres signficados asociados: SACAR,

Aritmética para padres y madres. Ron Aharoni Reseña: C. G. Espinoza


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PARTE – TODO y COMPARACIÓN. Acompañando de un sencillo ejemplo para cada caso. El

mismo tratamiento y aun más profundo se realiza con la multiplicación y la división.

Por ejemplo en el cálculo de la división, el autor aporta sugerencias didácticas como comenzar

dividiendo por 2 e ir progresando. Separa paso a paso el algoritmo de la división destacándolo como

un procedimiento necesario e importante por la gran cantidad de principios involucrados. Deja un capítulo completo y extenso al tratamiento de las fracciones, que si bien no contiene todo lo necesario

para enseñar fracciones, sí es un gran aporte a lo que él considera “el contenido más complejo de la

aritmética básica”, donde se revisa desde la importancia de utilizar distintas representaciones, la multiplicación y división, reducción y amplificación hasta el mínimo común denominador.

Acompañado de ilustraciones pedagógicas y mostrando una perspectiva no muy habitual que es

enseñar la fracción acompañada de la división desde el comienzo.

Aunque el título del libro sugiera que está dirigido a las madres y padres de los escolares, su

contenido y formato de presentación, también lo hace adecuado tanto para estudiantes de pedagogía como para profesores en ejercicio, siendo un gran apoyo para la enseñanza de las matemáticas, más

específicamente de la aritmética, a nivel escolar de 1° a 6° año de educación básica (estudiantes de

entre 6 y 12 años).

Sin duda este libro contiene un importante material que aporta a quien desee ayudar o explicar a un estudiante de nivel básico, pero que además encanta y enseña a ver la importancia y belleza en las

matemáticas elementales. Encanta no solo porque el contenido que trata es de gran importancia sino

también porque está escrito en un lenguaje simple, con ejemplos concretos que permiten comprender

tanta abstracción. En la escritura de este libro, el autor aplica en los adultos la misma estrategia que solicita utilizar con los estudiantes: buscar ejemplos concretos, metáforas, teniendo cuidado con las

sutilezas y transmitiendo constantemente el amor y respeto que siente por las matemáticas y su

enseñanza.

Este libro no solo muestra la complejidad del problema de enseñar matemáticas, sino que ayuda

a vislumbrar una posible solución.

Carmen Gloria Espinoza (Profesora de Matemática de Enseñanza Media y ayudante de

investigación en el Centro de Modelamiento Matemático de la Universidad de Chile)


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Informaciones

CONVOCATORIA DE LA DIRECCION DE LA REVISTA NUMEROS QUE EDITA LA

SOCIEDAD CANARIA ISAAC NEWTON DE PROFESORES DE MATEMÁTICAS

La Junta Directiva de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de

Matemáticas, en la reunión celebrada en La Laguna el día 18 de junio de 2014, teniendo en

cuenta que en diciembre de 2014 transcurrirán los tres años preceptivos de Dirección de la

Revista NÚMEROS, ha decidido abrir la convocatoria para el período de dirección de 2015 a

2017, en los siguientes términos:

Podrá presentar su candidatura a Director/a de la Revista NÚMEROS cualquier

socio/a con un año de antigüedad al menos. La solicitud, dirigida al Presidente de la SCPM

Isaac Newton, deberá ir acompañada de la siguiente documentación:

Datos del solicitante y nº de socio.

Currículum Vitae.

Un Proyecto en el que se exponga su línea de trabajo.

Una relación nominal del Comité Editorial que propone para la realización de la

Revista.

Las candidaturas podrán presentarse de cualquiera de las formas siguientes:

A) Por correo postal, hasta el 16 de octubre de 2014, dirigido a:

Presidente de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

Aptdo. de Correos 329, 38200 La Laguna (Tenerife)

B) Por correo electrónico hasta el 16 de octubre de 2014. En tal caso el mensaje se

dirigirá a: [email protected]

La Junta Directiva de la SCPM Isaac Newton elegirá al Director/a de la Revista

NÚMEROS entre los candidatos/as presentados y lo comunicará a los socios en la asamblea

que se celebrara durante las XXXIII Jornadas.

En La Laguna, a 26 de junio de 2014

Juan Agustín Noda Gómez

Presidente



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Congresos

5ª Conferencia

Internacional sobre

Etnomatemática

CIEM-5

Fecha: del 7 a 11 de julio de 2014

Lugar: Maputo. Mozambique

XXVIII Reunión

Latinoamericana de

Matemática Educativa

Fecha: Del 28 de Julio al 1 de Agosto del 2014

Lugar: Barranquilla. Colombia

Convoca: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa

Organiza: Universidad del Atlántico

Información: http://relme-clame.co/inicio.html

Congreso Internacional de Matemáticas

SEUL ICM 2014

Fecha: Del 13 al 21 de Agosto de 2014

Lugar: Seúl. Corea

Convoca: La Unión Matemática Internacional

Información: http://www.icm2014.org/



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V Reunión Pampeana de

Educación Matemática

Fecha: Del 20 al 22 de agosto de 2014

Lugar: Santa Rosa, La Pampa. Argentina

Convoca: Departamento de Matemáticas de Santa Rosa, La Pampa, Argentina

Información: http://www.jornadamatematicazonasur.cl

XII Encontro Paranaense de Educação Matemática

Fecha: 4,5 y 6 de Septiembre de 2014

Lugar: Campus Campo Mourão. Brasil

Convoca: Universidade Estadual do Paraná - Campus Campo Mourão

Información: http://www.fecilcam.br/eventos/index.php/eprem/xiieprem

Encuentro Brasileño

de Educación Matemática

Fecha: Del 19 al 21 de Septiembre de 2014

Lugar: Brasilia. Brasil

Convoca: Sociedade Brasileira de Educação Matemática. Regional DF

Información: http://www.sbemdf.com

http://www.fecilcam.br/eventos/index.php/eprem/xiieprem

http://www.sbemdf.com/


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XI Congreso Argentino de

Educación Matemática

Fecha: Del 2 al 4 de Octubre de 2014

Lugar: Universidad Nacional de San Juan. San Juan. Argentina

Organiza: Sociedad de Educación Matemática y Universidad Nacional de San Juan

Información: http://www.soarem.org.ar/carem.html

7º ENCONTRO LUSO-BRASILEIRO DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA


Lugar: Óbidos. Portugal

Organiza: Sociedad Portuguesa de Matemáticas, Sociedad Brasileira de Historia de

Matemáticas

Información: http://www.spm.pt/arquivo/1105#

XXXIII JORNADAS SOBRE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS

MATEMÁTICAS


Lugar: Casa-Museo de la Matemática Educativa. Cercado Mesa. La Laguna. Tenerife

Organiza: Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

Información: http://www.sinewton.org

http://www.spm.pt/arquivo/1105

http://www.sinewton.org/



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II ENCONTRO NACIONAL DE

PESQUISA

EM HISTÓRIA DA EDUCAÇÃO

MATEMÁTICA

II ENAPHE

Fecha: Del 31 de Octubre al 2 de Noviembre de 2014

Lugar: Universidade Estadual Paulista (UNESP). Bauru. Brasil

Información: http://www2.fc.unesp.br http://www2.fc.unesp.br/enaphem/index.php

Fecha: Del 3 al 7 de Mayo del 2015

Lugar: Tuxtla Gutiérrez, Chiapas, México

Convoca: El Comité Interamericano de Educación Matemática

Información: http://xiv.ciaem-iacme.org/

http://www2.fc.unesp.br/

http://www2.fc.unesp.br/enaphem/index.php




ISSN: 1887-1984

Volumen 86, julio de 2014, página 187

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1. Podrá presentar sus artículos para publicar cualquier persona, salvo los miembros del Comité

editorial y los de la Junta Directiva de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas.

2. Los trabajos se enviarán por correo electrónico a la dirección: [email protected]

3. Los trabajos presentados para su posible publicación deben ser originales y no estar en proceso de revisión o publicación en ninguna otra revista.

4. Los artículos remitidos para publicar deben tener las siguientes características:

Se enviarán en el formato de la plantilla que se encuentra en la página web de la revista.

Tendrán un máximo de 25 páginas incluidas notas, tablas, gráficas, figuras y bibliografía.

Los datos de identificación de los autores deben figurar en la última página: nombre, dirección

electrónica, dirección postal, teléfono. Con el fin de garantizar el anonimato en el proceso de evaluación, esos datos sólo estarán en esta última página.

Al final del artículo se incluirá una breve nota biográfica (no más de cinco líneas) de cada uno

de los autores, en la que se puede incluir lugar de residencia, centro de trabajo, lugar y fecha

de nacimiento, títulos, publicaciones... Se indicarán las instituciones a las que pertenecen.

Hay que incluir un Resumen de no más de diez líneas y una relación de palabras clave;

también, en inglés, un Abstract y un conjunto de keywords.

Se hará figurar las fechas de recepción y aceptación de los artículos.

Tipo de letra Times New Roman, tamaño 11 e interlineado sencillo. Es importante no cambiar

el juego de caracteres, especialmente evitar el uso del tipo “Symbol” u otros similares.

Para las expresiones matemáticas debe usarse el editor de ecuaciones.

Las figuras, tablas e ilustraciones contenidas en el texto deberán ir incluidas en el archivo de

texto (no enviarlas por separado).

Las referencias bibliográficas dentro del texto deben señalarse indicando, entre paréntesis, el

autor, año de la publicación y página o páginas (Freudenthal, 1991, pp. 51-53).

Al final del artículo se incluirá la bibliografía, que contendrá las referencias citadas en el texto,

ordenadas alfabéticamente por el apellido del primer autor, de acuerdo con el siguiente modelo:

o Para libro: Lovell, K. (1999). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y

científicos en los niños. Madrid: Morata. o Para capítulo de libro, actas de congreso o similar: Fuson, K. (1992). Research on

whole number addition and subtraction. En Grouws, D. (ed.) Handbook of Research on

Mathematics Teaching and Learning, 243-275. MacMillan Publishing Company: New York.

o Para artículo de revista: Greeno, J. (1991). Number sense as situated knowing in a

conceptual domain. Journal for Research in Mathematics Education, 22 (3), 170-218.

o Para artículo de revista electrónica o información en Internet: Cutillas, L. (2008). Estímulo del talento precoz en matemáticas. Números [en línea], 69. Recuperado el 15 de

febrero de 2009, de http://www.sinewton.org/numeros/

5. Los artículos recibidos se someterán a un proceso de evaluación anónimo por parte de colaboradores de la Revista. Como resultado del mismo, el Comité editorial decidirá que el trabajo

se publique, con modificaciones o sin ellas, o que no se publique.

6. El autor recibirá los comentarios de los revisores y se le notificará la decisión del Comité Editorial. Si a juicio de los evaluadores el trabajo es publicable con modificaciones, le será devuelto al autor

con las observaciones de los árbitros. El autor deberá contestar si está de acuerdo con los cambios

propuestos, comprometiéndose a enviar una versión revisada, indicando los cambios efectuados, en

un periodo no mayor de 3 meses. De no recibirse en ese plazo, el Comité Editorial dará por sentado que el autor ha desistido de su intención de publicar en la Revista.


mailto:[email protected]/numeros

http://www.sinewton.org/numeros/

Revista de Didáctica de las Matemáticas Julio de 2014 Volumen 86

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