Revista de Didáctica de las Matemáticas Julio de 2013 Volumen 83

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

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http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 83, julio de 2013, página 2

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, se ocupa de la enseñanza y el aprendizaje desde infantil hasta la universidad, aunque atiende preferentemente la educación primaria y secundaria. Publica trabajos de interés para el profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseñanza, aplicaciones de la investigación…

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas aparece en las bases de datos bibliográficas Latindex, Dialnet y DICE, y es recensionada en Mathematics Education Database.

Directora

Alicia Bruno (Universidad de La Laguna)

Comité editorial

Hugo Afonso, Dolores de la Coba, Miguel Domínguez, Fátima García, Israel García, Mª Aurelia Noda, Josefa Perdomo e Inés Plasencia.

Consejo asesor

José Luis Aguiar, Luis Balbuena, Carmen Batanero, Teresa Braicovich, Juan Contreras, Norma Cotic, Juan Díaz Godino, Salvador Llinares, Antonio Martinón, Jacinto Quevedo, Victoria Sánchez y Arnulfo Santos.

Portada. Autora: Alicia Bruno. Título: Erosión.

Edita


Apartado 329.

38200 La Laguna (Tenerife) España

Email: [email protected]

Web: http://www.sinewton.org

Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas

Juan Agustín Noda Gómez (Presidente), Mª Nila Pérez Francisco (Vicepresidente), José Manuel Vidal González (Secretario General), Sergio Alexander Hernández Hernández (Tesorero), Carmen Dolores Ríos González (Vicesecretaria), Carmen Sonia Fernández Valdivia (Secretaria de actas), Luis Balbuena Castellano (Bibliotecario). Coordinadores insulares: Ramón Galán González (Gran Canaria), Roberto Rodríguez Cruz (La Palma), Dolores de la Coba García (Tenerife).

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, es una publicación de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas. Se editan tres números ordinarios al año, los meses de marzo, julio y noviembre.


http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 83, julio de 2013, páginas 3-4

Índice

Editorial Israel García 5

Monográfico: Estadística

El sentido estadístico y su desarrollo 7

C. Batanero, C. Díaz, J.M. Contreras, R. Roa El Proyecto Internacional de Alfabetización Estadística

19 A. Serradó Bayés Estadística en la Toma de Decisiones

35 M. M. Suárez Rancel

Elementos de interés en la investigación didáctica y enseñanza de la dispersión estadística 43

A. Estepa Castro y J. del Pino Ruiz

Problemas de mediciones repetidas y de riesgo para desarrollar el razonamiento de estudiantes de secundaria en los temas de media y dispersión 65

E. Sánchez, J. A. Orta Amaro Artículos

Algunas posturas con respecto al sistema de numeración muisca 79

C. C. Fuentes Leal

Matemáticas en los estudios de Maestro de Educación Infantil en la Universidad de Castilla-La Mancha: de la diplomatura al grado 95

M. Sotos Serrano, J. M. Aguilar Idáñez

Identificación de figuras geométricas en fotografías de objetos reales. Un estudio con maestros en formación 105

J.M. Muñoz Escolano y A.M. Oller Marcén Isaac Barrow y su versión geométrica del Teorema Fundamental del Cálculo

123 J. C. Ponce Campuzano ¿Yerra el niño o yerra el libro de Matemáticas?

131 P. Fernández Palop, P. Caballero García, J.A. Fernández Bravo

Índice (continuación)

4 NNÚÚMMEERROOSS Vol. 83 julio de 2013

Secciones

Astronomía

Disco Solar Didáctico 149

Á. Martín González

En la red

Explica, un portal web divulgativo dedicado a la estadística 169

R. Almeida

Juegos

Hexágonos coloreados y Mi casa (Juegos 22) 179

J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)

Problemas

Juegos y Torneo. Problemas Comentados XXXIV 187

J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)

Experiencias de aula

Khan Academy: Una Experiencia de Aula en Secundaria 199

A. T. Antequera Guerra

Leer Matemáticas

Borges y la matemática. Guillermo Martínez 211

Reseña: F. J. Hernández Bonilla

Desafíos Matemáticos propuestos por la Real Sociedad Matemática Española en su centenario. Adolfo Quirós (Coord.) 213

Reseña: R. Nortes Martínez-Artero

Informaciones 217

Normas para los autores 221



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Israel García, Miembro del Comité Editorial de NNúúmmeerrooss

El 2013 se ha dedicado a la celebración del Año Internacional de la Estadística. Este evento internacional tiene como finalidad que fijemos nuestra atención en la contribución que el Conocimiento Estadístico ha tenido y está teniendo en el avance de nuestra sociedad: en investigación científica, en los negocios y gobiernos, en los medios, en la toma de decisiones, los estudiantes y el público general. Desde la revista Números queremos hacer nuestra especial aportación a través de este monográfico dedicado a la Estadística.

La Estadística la define David Moore de forma concisa, pero precisa: “números en contexto”. Esta definición esconde el enorme Conocimiento en el que nos sumerge la Estadística: recopilar, analizar, decidir y predecir. Casi todo lo que nos rodea hace referencia en algún momento al uso del lenguaje estadístico: la prensa, las noticias, la economía, la política, la medicina, la psicología, la escuela, la investigación,… Es más, la vida de cualquier persona está llena de “datos estadísticos” e informaciones que nos permiten tomar decisiones en función de los hechos o acontecimientos que nos van sucediendo. La Estadística es la formalización de todo lo que cualquiera de nosotros hacemos en nuestra vida cotidiana.

Un problema que puede asociarse a las dificultades en la comprensión del conocimiento estadístico es lo que John Allen Paulos denotó por “anumerismo”. Este autor describe así a “la incapacidad para manejar cómodamente conceptos fundamentales de número y azar”. Paulos señala que carecer de este sentido de número es particularmente alarmante cuando nos encontramos “en una sociedad en la que la ingeniería genética, la tecnología láser y los circuitos en microchip incrementan a diario nuestra comprensión del mundo”.

La estadística es un buen medio para llegar a comprender y conocer los números que explican nuestro mundo. Y los profesores de matemáticas, de todos los niveles educativos, tenemos el deber de hacer crecer el Conocimiento Estadístico en nuestros estudiantes, de forma que consigamos ciudadanos capaces de comprender el mundo que les rodea y capaces de crecer “con cultura numérica”.

En el presente monográfico realizaremos un viaje por diferentes usos de la estadística en nuestro entorno de la mano de grandes profesionales que utilizan la estadística como herramienta de conocimiento y de trabajo.

Comenzaremos nuestro viaje de la mano de Carmen Batanero, Carmen Díaz, José Miguel Contreras y Rafael Roa nos sumergiremos en el desarrollo del sentido estadístico. Para ello partirán del término cultura estadística y junto con algunos términos estadísticos básicos, nos mostrarán cómo estos elementos se conjugan para conformar el pensamiento y razonamiento estadístico que se conjuga en lo que los autores denominan “sentido estadístico”. Centran su artículo en la defensa de los proyectos como ejes para el desarrollo del razonamiento estadístico y la puesta en marcha de diferentes conocimientos: conceptuales, estratégicos y técnicos.

Ana Serradó, como coordinadora española del Proyecto Internacional de Alfabetización Estadística, nos presenta un artículo que contextualiza el trabajo internacional enfocado a la alfabetización estadística llevada a cabo durante los últimos años, centrando la atención en el proyecto

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internacional que “nace para comprender las necesidades de numeración estadística y, que tiene como misión actual divulgar y promover la alfabetización estadística”.

Seguidamente, Mercedes Suárez nos introducirá en el mundo de la empresa y el uso de la estadística como herramienta para la toma de decisiones y los diferentes agentes que se ven implicados en dicha toma de decisiones.

En el siguiente artículo, de Antonio Estepa y Jesús del Pino viajaremos hacia el análisis de la dispersión estadística y cómo esta, en la enseñanza Secundaria, suele aparecer en segundo plano sin casi protagonismo en el trabajo estadístico del aula. Se propone que sea guía, pues lo es dentro del conocimiento estadístico y que, de esta forma, se contribuya en el desarrollo del razonamiento estadístico.

Por último, y no por ello menos importante, Ernesto Sánchez y José Antonio Orta nos presentarán el análisis de tres problemas centrados en el desarrollo del razonamiento sobre la media y dispersión de datos. Estos problemas se enmarcan en contextos que facilitan el estudio de la dispersión y cómo se gestiona en el aula.

Confiamos que estos trabajos nos permitan reflexionar sobre el conocimiento estadístico y que, como fruto de dicha reflexión, nos animemos a adentrar a nuestros alumnos en la toma de decisiones y en el razonamiento estadístico, propiciando en los estudiantes la denominada cultura estadística.



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El sentido estadístico y su desarrollo

Carmen Batanero (Universidad de Granada. España) Carmen Díaz (Universidad de Huelva. España)

José Miguel Contreras (Universidad de Granada. España) Rafael Roa (Universidad de Granada. España)

Artículo solicitado a los autores por la revista

Resumen En este trabajo concebimos el sentido estadístico como unión de la cultura y razonamiento estadístico. Se describen las ideas estadísticas fundamentales como componentes de la cultura estadística y los componentes del razonamiento estadístico. También se sugiere que el desarrollo efectivo en los estudiantes se favorece especialmente con una enseñanza basada en investigaciones y proyectos que permite dotar de sentido a los diversos objetos estadísticos e involucra a los estudiantes en el ciclo de investigación y modos de razonamiento estadístico, desarrollando su espíritu crítico e iniciativa personal.

Palabras clave Sentido estadístico, cultura estadística, razonamiento estadístico.

Abstract In this paper we conceive statistical sense as the union of statistical literacy and statistical reasoning. We describe the fundamental statistical ideas that constitute statistical literacy and the components of statistical reasoning. We also suggest that an effective development of statistical sense is specially favoured with a teaching based on investigations and projects. This method gives sense to the diverse statistical objects and involves students in the research cycle and the statistical reasoning modes, at the times that develop their critical spirit and personal initiative.

Keywords Statistical sense, statistical literacy, statistical reasoning.

1. Introducción

Aunque la estadística se enseña hoy día en todos los niveles educativos, al ser una herramienta fundamental en la vida personal y profesional, son muchos los estudiantes, que finalizan los cursos de estadística sin comprender correctamente o ser capaces de aplicar los conceptos y procedimientos estadísticos, como se muestra en la amplia investigación sobre el tema (ver, por ejemplo, el resumen de estas investigaciones en Shaughnessy, 2007).

Esta situación paradójica plantea un problema didáctico, pues es claro que la enseñanza actual transmite una estadística sin sentido para los estudiantes. Como solución al mismo, son muchos los investigadores que insisten en la especificidad de la estadística (frente a otras ramas de la matemática). Moore (1991) incluso la considera como una disciplina científica autónoma, con sus métodos específicos de razonamiento. Para ello argumenta que la relación entre estadística y matemáticas no es biunívoca: la estadística toma conceptos matemáticos para el desarrollo de sus métodos, en cambio la matemática no usa conceptos estadísticos. Cabriá (1994) también coincide en que la estadística tiene

El sentido estadístico y su desarrollo C. Batanero, C. Díaz, J.M. Contreras, R. Roa


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un modo propio de razonamiento, el método estadístico, que es necesario enseñar a los estudiantes. La estadística tiene también controversias específicas (por ejemplo, sobre el significado de la probabilidad), y la posición que un estadístico toma sobre ellas tiene un impacto inmediato en su práctica.

La expresión “sentido numérico” se encuentra con frecuencia en la investigación en didáctica de la matemática e incluso en los diseños curriculares. Por ejemplo, en el Decreto de Enseñanzas Mínimas de la Educación Primaria (MEC, 2006) encontramos la siguiente descripción del sentido numérico:

“el dominio reflexivo de las relaciones numéricas que se puede expresar en capacidades como: habilidad para descomponer números de forma natural, comprender y utilizar la estructura del sistema de numeración decimal, utilizar las propiedades de las operaciones y las relaciones entre ellas para realizar mentalmente cálculos” (p. 43096).

Observamos en esta descripción y otras semejantes un doble componente de adquisición de conocimiento y razonamiento. Para el caso de la estadística no ha habido una preocupación semejante entre los educadores estadísticos por definir o listar los componentes de lo que sería el “sentido estadístico”. Por un paralelismo con la acepción dada a “sentido numérico” hemos de aceptar que el sentido estadístico debiera tener un doble componente de conocimiento (o cultura) y razonamiento.

En consecuencia en lo que sigue concebimos el sentido estadístico como unión de la cultura estadística y el razonamiento estadístico. Asimismo, también consideramos que la cultura estadística implica la comprensión adecuada de las ideas estadísticas fundamentales (Burrill y Biehler, 2011), pues estas ideas aparecen en la mayoría de las situaciones en que hay que aplicar la estadística; por tanto son necesarias para enfrentarse con éxito a dichas situaciones. Además, pueden ser enseñadas con diversos niveles de formalización y, por tanto, son asequibles en cualquier nivel educativo, siendo potentes como herramientas de modelización estadística. En segundo lugar, se requiere un razonamiento específico, el razonamiento estadístico que permite tomar decisiones adecuadas o efectuar predicciones a partir de datos y en presencia de incertidumbre. La competencia de análisis de datos se ve hoy en día facilitada por la abundancia de software, tanto para el almacenamiento y transmisión de datos, como para el cálculo y graficación. Sin embargo la competencia en análisis de datos no siempre implica un grado adecuado de razonamiento estadístico, que es más difícil de transmitir.

El objetivo de este trabajo es desarrollar estas ideas y proponer el trabajo con proyectos e investigaciones como estrategia metodológica para desarrollar el sentido estadístico de los estudiantes en los diferentes niveles educativos.

2. Cultura estadística

La importancia que actualmente recibe la enseñanza de la estadística se debe a la necesidad, reclamada por la UNESCO y otras instituciones de proporcionar una cultura estadística que permita al ciudadano participar en la sociedad de la información. Dicha cultura es necesaria en actividades tan habituales como la lectura de la prensa o la interpretación de información en Internet, la participación en encuestas o elecciones o la interpretación de un diagnóstico médico. El término “statistical literacy” ha ido surgiendo de forma espontánea entre los estadísticos y educadores estadísticos, para resaltar el hecho de que la estadística se considera hoy día como parte de la herencia cultural necesaria para el ciudadano educado. Gal (2002) propone que la cultura estadística implica dos competencias relacionadas:


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a) Capacidad para interpretar y evaluar críticamente la información estadística, los argumentos apoyados en datos o los fenómenos que las personas pueden encontrar en diversos contextos, incluyendo los medios de comunicación, pero no limitándose a ellos, y b) capacidad para discutir o comunicar sus opiniones respecto a tales informaciones estadísticas cuando sea relevante (Gal, 2002, pp. 2-3).

Watson (2006) propone los siguientes elementos de la cultura estadística: (a) El desarrollo del conocimiento básico de los conceptos estadísticos y probabilísticos; (b) La comprensión de los razonamientos y argumentos estadísticos cuando se presentan dentro de un contexto más amplio de algún informe en los medios de comunicación o en el trabajo; (c) Una actitud crítica que se asume al cuestionar argumentos que estén basados en evidencia estadística. En el proyecto GAISE (Franklin et al., 2007) se concibe la misma como la comprensión del lenguaje básico de la estadística (saber el significado de los términos y símbolos estadísticos y ser capaz de leer gráficos estadísticos) y comprender las ideas fundamentales de estadística.

Vemos que los diferentes autores que la definen incluyen tanto la parte de conocimientos teóricos formales relacionados con la estadística, así como la capacidad de afrontar un problema o situación en el que se pongan en juego estos conocimientos.

3. Ideas estadísticas fundamentales

Los modelos descritos de cultura estadística, además de asumir una actitud crítica frente a la información estadística, coinciden en la necesidad de un conocimiento del lenguaje estadístico y las ideas estadísticas fundamentales. Sería entonces importante identificar cuáles son estas ideas fundamentales. Burrill y Biehler (2011), basándose en un estudio detallado de diversos marcos teóricos educativos y el currículo de estadística en diversos países proponen las siguientes: datos, gráficos, variabilidad aleatoria, distribución, asociación y correlación, probabilidad, muestreo e inferencia.

Datos. Moore (1991) definió la estadística como la ciencia de los datos y señaló que el objeto de la estadística es el razonamiento a partir de datos empíricos, subrayando la importancia del contexto. Mientras que en la enseñanza de otras ramas de matemáticas los datos y contextos suelen ser imaginarios y el interés se centra en los conceptos, el contexto de los datos es esencial en estadística. Además, los estudiantes no están acostumbrados a trabajar con datos de situaciones reales, que frecuentemente requieren de interpretaciones y razonamientos de alto nivel. La aleatoriedad de las situaciones hace que los resultados no sean únicos, presentándose mayor variabilidad en los datos estadísticos que otras áreas de las matemáticas (Sánchez y Batanero, 2011).

Gráficos. Debido a su presencia en los medios de comunicación e Internet, el aprendizaje de los gráficos estadísticos es importante. Por su papel esencial en la organización, descripción y análisis de datos, las tablas y gráficos son un instrumento esencial de transnumeración, uno de los modos esenciales de razonamiento estadístico que consiste en obtener una nueva información de un conjunto de datos al cambiar el sistema de representación (Wild y Pfannkuch, 1999).

Variabilidad aleatoria. Aunque en otras ramas de matemáticas se usan variables, se supone que los datos se ajustan perfectamente a un modelo y no suele haber estudio de la bondad de ajuste o de los residuos del modelo. El estudio de la variabilidad es característico de la Estadística, estudiándose tanto el modelo como los residuos (Engel y Sedlmeier, 2011). La Estadística permite buscar explicaciones y causas de la variabilidad para poder hacer predicciones, por lo que dos fines importantes de la enseñanza de la Estadística son que los estudiantes perciban la variabilidad y manejen modelos que



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Distribución. Otra característica esencial del análisis estadístico es que trata de describir y predecir propiedades de los agregados de datos y no de cada dato aislado (Bakker y Gravemeijer (2004). Por ello la enseñanza de la Estadística ha de desarrollar la capacidad de leer, analizar, criticar y hacer inferencias a partir de distribuciones de datos (Shaughnessy, 2007). El razonamiento distribucional implica también conectar los datos (distribución de datos), la población de donde se tomaron (distribución de probabilidad) y las posibles muestras de la misma (distribución muestral).

Asociación y correlación. Mientras que en una dependencia funcional a cada valor de una variable X (independiente) corresponde un solo valor de otra variable Y (dependiente), en el estudio de la asociación a cada valor de X corresponde una distribución de valores de Y, por lo que este concepto amplía el de dependencia funcional. La importancia del concepto de asociación en la toma de decisiones en ambiente de incertidumbre es alta, pero la investigación en psicología muestra que los adultos no suelen emplear las reglas matemáticas, sino estrategias intuitivas, con frecuencia incorrectas en los juicios de asociación. Por ejemplo la creencia infundada en la transitividad del coeficiente de correlación es común en muchos estudiantes (Castro-Sotos, Van Hoof, Van den Noortgate y Onghena, 2009).

Probabilidad. La característica principal de la Estadística es hacer uso de modelos aleatorios, a diferencia de otras ramas de la matemática donde se usan modelos deterministas. Pero, al contrario que para otros conceptos matemáticos, no hay una única acepción de la probabilidad. Las tres aproximaciones principales para la escuela son:

• En la concepción clásica, se define la probabilidad de un suceso como el cociente entre el número de casos favorable al suceso y el número de todos los casos posibles, siempre que todos sean equiprobables.

• En el enfoque frecuencial se obtiene una estimación experimental de la probabilidad. Su valor teórico sería el límite de la frecuencia relativa de aparición del suceso al realizar la experiencia un número infinito de veces en las mismas condiciones. Un aspecto importante en este enfoque es comprender la diferencia entre probabilidad (valor teórico constante que nunca alcanzamos) y frecuencia relativa (estimación experimental de la probabilidad, que puede cambiar de una estimación a otra). También hay que entender que los resultados de una experiencia son impredecibles, pero se puede predecir el comportamiento general de un gran número de resultados (Batanero, Henry y Parzysz, 2005).

• En el enfoque subjetivo, la probabilidad no es una propiedad objetiva de los sucesos, sino una percepción o grado de creencia en la verosimilitud de la persona que asigna la probabilidad sobre la plausibilidad de ocurrencia del suceso. Muchos problemas de toma de decisión o elaboración de un juicio son abiertos o tienen más de una posible decisión y en su solución intervienen tanto factores matemáticos como extra matemáticos. Esta concepción de la probabilidad sería adecuada para modelizar este tipo de situaciones.

Muestreo e inferencia. Relacionar las características de las muestras con las de la población que representan es el principal fin de la estadística y nos sirve para decidir qué datos recoger y para obtener conclusiones con algún grado de probabilidad. Varios autores sugieren que es posible una comprensión informal de la inferencia, desde la secundaria. Para ello se comenzaría por la discriminación entre la posición central y variabilidad en las distribuciones de datos y el uso de estas dos características para decidir cuándo dos distribuciones son iguales o diferentes (Rubin, Hammerman y Konold, 2006). Más adelante se puede hacer una aproximación al contraste de hipótesis en la forma siguiente (Rossman, 2008): (a) Comenzar con una hipótesis sobre los datos; (b) usar la simulación para concluir que los datos observados son poco plausibles si la hipótesis es cierta;




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y (c) rechazar la hipótesis inicial basándose en los resultados. Con apoyo de la simulación también puede llevarse al estudiante a comprender el concepto de estimación por intervalo.

4. Pensamiento y razonamiento estadístico

Además de la comprensión de las anteriores ideas, su uso adecuado en la resolución de problemas estadísticos requiere del desarrollo del razonamiento estadístico1. Uno de los modelos para describir este razonamiento es debido a Wild y Pfannkuch (1999), quienes lo conciben como la suma de cuatro dimensiones: (a) El ciclo de investigación, que consiste en la serie cíclica de pasos a seguir desde que se plantea un problema estadístico hasta que se resuelve o bien se modifica y que es bastante similar al proceso general de resolución de problemas; (b) los modos fundamentales de razonamiento estadístico; (c) el ciclo de interrogación, que se aplica constantemente en la solución de problemas estadísticos, tanto a nivel global como en cada posible paso y consiste en la búsqueda y comprobación sucesivas de explicaciones, hipótesis o preguntas, desde los datos, los análisis realizados o los resultados; y (d) una serie de actitudes, como el escepticismo, la mentalidad abierta, la perseverancia, el espíritu crítico o la curiosidad. Los modos fundamentales de razonamiento estadístico, según estos autores son los siguientes:

• Reconocer la necesidad de los datos: Mientras que en otras ramas de las matemáticas los datos son anecdóticos, la base de la investigación estadística es el hecho constatado de que muchas situaciones de la vida real sólo pueden ser comprendidas a partir del análisis de datos que han sido recogidos en forma adecuada. La experiencia personal o la evidencia de tipo anecdótico no es fiable y puede llevar a confusión en los juicios o toma de decisiones. Se trata de basarse en la evidencia proporcionada por los datos empíricos.

• Transnumeración: Este término indica la comprensión que surge al cambiar la representación de los datos; por ejemplo, al pasar de una lista desordenada de datos al histograma se visualiza el rango y la moda. En general puede hablarse de tres tipos de transnumeración: (1) la que produce al definir una medida que “captura” las cualidades o características de un cierto fenómeno; por ejemplo, cuando utilizamos una escala de actitudes para “medir” la actitud hacia la matemática de un conjunto de estudiantes; (2) al pasar de los datos brutos a una representación tabular o gráfica que permita extraer sentido de los mismos, como el ejemplo citado del histograma; (3) al “traducir” el significado que el estadístico ha captado y que surge de los datos, en forma que sea comprensible a otras personas; por ejemplo, cuando explicamos en forma simplificada las conclusiones que se deducen de un gráfico de caja o de los resultados de un contraste estadístico.

• Percepción de la variación. Como hemos indicado, la variabilidad aleatoria es una idea fundamental en estadística. Un componente del razonamiento estadístico es la identificación de las fuentes que producen dicha variación, que pueden ser la propia medida, los datos, el muestreo, el análisis, ser producida por factores específicos (como la diferencia de altura en chicos y chicas). El trabajo estadístico también asume como variación aleatoria aquella cuyas fuentes no quedan explicadas. El razonamiento estadístico permite buscar explicaciones y causas para la variación y realizar inferencias y predicciones, con un cierto margen de error, teniendo en cuenta la variación no explicada o aleatoria.

• Razonamiento con modelos estadísticos. Al igual que en otras ramas de las matemáticas, el trabajo estadístico es esencialmente un proceso de modelización. La principal diferencia es la presencia de aleatoriedad, así como la relevancia que adquieren los modelos probabilísticos como por ejemplo, la curva normal. También se utilizan modelos matemáticos como

1 La adquisición de una competencia mínima de análisis de datos, no es hoy día un problema, pues se ve favorecida por la abundancia de software “amistoso”.



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gráficos, o funciones (por ejemplo, en regresión); todos ellos han de contemplarse como representaciones de la realidad e instrumentos para comprenderla, diferenciando el modelo de la realidad.

• Integración de la estadística y el contexto: Debido a la importancia que adquiere el contexto, la capacidad de integrarlo es también un componente esencial del razonamiento estadístico. Este tipo de razonamiento aparece especialmente en las fases iniciales (planteamiento del modelo) y finales (interpretación del modelo en la realidad) del ciclo de modelización.

El desarrollo del razonamiento y la producción de sentido son resaltados para el caso de la estadística por Shaughnessy, Chance y Kranendonk (2009), sugiriendo las siguientes competencias de razonamiento para reforzar la comprensión de las ideas fundamentales: (a) análisis de problemas, búsqueda de patrones y relaciones en los datos, percepción de la estructura y planteamiento de conjeturas; (b) elegir y evaluar estrategias, aplicando el ciclo interactivo de investigación estadística; (c) buscar y utilizar conexiones entre las conclusiones y el contexto; (d) reflexionar sobre si la solución es razonable y suficiente.

5. Desarrollo del sentido estadístico a través del trabajo con proyectos

El sentido estadístico, como unión de la cultura y razonamiento estadísticos debe construirse en forma progresiva desde la educación primaria, secundaria, bachillerato y hasta la universidad. En este sentido, las nuevas propuestas curriculares proporcionan una oportunidad de introducir gradualmente ideas estadísticas desde la educación primaria, aumentando el nivel de formalización progresivamente. Pensamos que la mejor forma de ayudar al estudiante a desarrollar su sentido estadístico es basar las clases de estadística en el trabajo con proyectos, bien planteados por el profesor o escogidos libremente por los alumnos. En lugar de introducir los conceptos y técnicas descontextualizadas, o aplicadas únicamente a problemas tipo, difíciles de encontrar en la vida real, se trataría de presentar las diferentes fases de una investigación estadística: planteamiento de un problema, decisión sobre los datos a recoger, recogida y análisis de datos y obtención de conclusiones sobre el problema planteado.

A continuación analizamos un ejemplo de proyecto adaptado de Shaughnessy, Chance y Kranendonk (2009), quienes a la vez se inspiraron en un debate surgido a partir de una noticia en el Daily News el 12 de Marzo de 2012, con el título “Will women some day run faster than men in a marathon? The answer might surprise you”2. El proyecto comenzaría presentando a los alumnos la citada noticia y el debate surgido y planteando la siguiente pregunta: ¿Llegarán a superar las mujeres a los hombres en las pruebas de 200 metros lisos en las olimpiadas? ¿En qué año?

Les proporcionaríamos los datos de los tiempos alcanzados por los ganadores de la medalla de oro en las olimpiadas, disponibles en la Tabla 1. Un primer análisis de estos datos puede servir para trabajar las ideas de distribuciones bivariantes y el uso de estadísticos descriptivos para la descripción de cada uno de los grupos. Si se observa, la mejora de las marcas en los hombres se ha pasado de 22,2 segundos a 19,32 en 112 años; para las mujeres el cambio ha sido de 24,4 a 21,8 en 64 años; en mucho menos tiempo que los hombres han ganado aproximadamente 3 segundos.

Sin embargo, la disminución de los tiempos no es sistemática; se observan fluctuaciones y cuando hay decrecimiento de una olimpiada a otra, no es constante. Incluso el mismo atleta (ver el ejemplo de Usain Bolt) puede empeorar su marca de una olimpiada en la siguiente. Nos encontramos

2 Ver noticia en http://www.nydailynews.com/sports/more-sports/running-doc-women-run-faster-men-marathon-answer-surprise-article-1.1037443




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delante de un problema en que necesitamos datos y donde percibimos una variación aleatoria que tratamos de explicar; pero el listado de datos en sí mismo es poco explicativo. Necesitamos representar los datos de un modo adecuado para observar mejor la tendencia; es decir, hemos de realizar un proceso de transnumeración.

Una posible representación de los datos sería un diagrama de dispersión (Figura 1), en el cuál se coloree o se represente con un carácter diferenciado las marcas de las mujeres y de los hombres. Observamos claramente que las mujeres tardan más que los hombres en todas las olimpiadas y que las dos series de puntos son decrecientes; se trataría de una relación inversa entre el tiempo en segundos tardado en la prueba de 100 metros y el tiempo de calendario (año de celebración de la olimpiada); conforme pasa el tiempo mejoran las marcas. Asimismo se observa una pendiente más pronunciada en la serie de puntos correspondiente a las mujeres.

Año Atleta País Tiempo Atleta País Tiempo

1900 Walter Tewksbury USA 22,2

1904 Archie Hahn USA 21,6

1908 Robert Kerr Canadá 22,6

1912 Ralph Craig USA 21,7

1920 Allan Woodring USA 22

1924 Jackson Scholz USA 21,6

1928 Percy Williams Canadá 21,8

1932 Eddie Tolan USA 21,12

1936 Jesse Owens USA 20,7

1948 Mel Patton USA 21,1 Fanny Blankers NED 24,4

1952 Andy Stanfield USA 20,81 Marjorie Jackson AUS 23,89

1956 Bobby Morrow USA 20,75 Betty Cuthbert AUS 23,55

1960 Livio Berruti ITA 20,62 Wilma Rudolph USA 24,13

1964 Henry Carr USA 20,36 Edith McGuire USA 23,05

1968 Tommie Smith USA 19,83 Irena Szewinska Poland 22,58

1972 Valeriy Borzov USSR 20 Renate Stecher GDR 22,4

1976 Don Quarrie JAM 20,23 Barbel Eckert GDR 22,37

1980 Pietro Mennea ITA 20,19 Barbel Wockel GDR 22,03

1984 Carl Lewis USA 19,8 Valerie Brisco USA 21,81

1988 Joe DeLoach USA 19,75 Florence Griffith USA 21,34

1992 Mike Marsh USA 20,01 Gwen Torrence USA 21,81

1996 Michael Johnson USA 19,32 Marie-Jose Perec FRA 22,12

2000 Konstantinos Kenteris GRE 20,09 Marion Jones USA 21,84

2004 Shawn Crawford USA 19,79 Veronica Campbell JAM 22,05

2008 Usain Bolt JAM 19,3 Veronica Campbell JAM 21,74

2012 Usain Bolt JAM 19,32 Allyson Felix USA 21,88

Tabla 1. Datos sobre tiempos de los ganadores de las pruebas olímpicas de 200 metros



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Figura 1. Marcas olímpicas en las pruebas de 200 metros

Aunque el proyecto se puede resolver con calculadora y papel, otra posibilidad de trabajo es con Excel (u otro software estadístico como SPSS o R), para que los alumnos aprendan a introducir los datos en la hoja de cálculo y representarlos. La Figura 1 se ha obtenido con Excel, con la cual se puede representar automáticamente un diagrama de dispersión o superponer (como hemos hecho en este caso) dos diagramas correspondientes a dos series de datos. Entre las muchas opciones de Excel nos encontramos con una serie de facilidades para realizar un estudio de regresión. Utilizando la opción “añadir línea de tendencia”, se puede elegir entre varias posibles familias de funciones para ajustar al diagrama de dispersión (siguiendo el criterio de mínimos cuadrados). Nosotros hemos comenzado probando el ajuste lineal; Excel también proporciona la opción de añadir al gráfico la ecuación (en este caso, la ecuación de la recta de regresión).

Figura 2. Rectas de regresión ajustadas a los datos de mujeres y hombres

Nosotros hemos utilizado dicha opción, obteniendo las dos ecuaciones siguientes (Figura 2):

• y = -0,0394x + 100,62; para la recta de mejor ajuste a los datos de los tiempos de los hombres;

• y = -0,0259x + 71,343 para la recta de mejor ajuste a los datos de los tiempos de las mujeres;

Es visible en la gráfica que las rectas no son paralelas; por lo tanto llegarán en algún momento a encontrarse. El valor x en que las dos rectas se cortarían corresponderá a un año; este sería el año en que, si los ajustes que hemos realizado son correctos y las tendencias continúan, ¡hombres y mujeres




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llegarían a correr a la misma velocidad en la prueba de los 200 m. lisos! ¿Cuál sería este año? Lo podemos determinar algebraica o gráficamente. Para determinarlo algebraicamente, bastaría resolver el sistema de ecuaciones formado por las expresiones algebraicas de las dos rectas, esto es;

71,343 =0,0259x +y 100,62 =0,0394x +y ; restando estas ecuaciones, obtenemos: 0,0135x = 29,276, de donde

Es decir, a partir del año 2168, se produciría el empate; podemos también observar la misma solución (Figura 3) utilizando la opción de Excel de extrapolación de las ecuaciones de regresión. En dicha gráfica, aparentemente a partir de esta fecha, las mujeres correrían más que los hombres, dando la razón al periodista. Observamos que, hasta este momento, hemos utilizado dos componentes nuevos del razonamiento estadístico: el razonamiento con modelos (en este caso, el modelo de recta de regresión) y la integración de la estadística y el contexto, interpretando lo que los gráficos y ecuaciones nos quieren indicar sobre la realidad (marcas olímpicas en las pruebas de 200 metros).

Figura 3. Extrapolación de las rectas de regresión

Hasta acá hemos utilizado los cinco tipos de razonamiento estadístico fundamental; también hemos realizado un ciclo completo de investigación estadística (problema, datos, análisis, conclusión). Hemos trabajado muchas de las ideas estadísticas fundamentales: datos, gráficos, variabilidad, asociación, distribución, inferencia. Nos faltaría ejercitar nuestro espíritu crítico y escepticismo; es decir, el componente actitudinal de la cultura y razonamiento estadístico.

Hemos de recordar en este punto la diferencia entre datos (en este caso las marcas olímpicas) y modelo (las rectas de regresión) y hacer observar que el modelo no es exactamente igual que los datos y que podrían existir otros modelos que explicasen los datos. Será importante, entonces complementar el análisis realizado hasta el momento, con alguna medida de la bondad del ajuste y, en caso necesario, probar otros modelos que se ajusten mejor a los datos.

Otra información importante proporcionada por Excel es el coeficiente de determinación R2, siendo R el coeficiente de correlación (en este caso, de correlación lineal). El coeficiente de determinación, R2 nos indica la proporción de varianza de la variable dependiente en la recta de regresión Y (en este caso esperanza de vida) explicada por el modelo lineal utilizado (por la ecuación de la recta de regresión). En el proyecto que estamos analizando, obtenemos R2=0,8971 (R=0,947) para el caso de los hombres, que es muy alto, pues como sabemos, el máximo valor absoluto del

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coeficiente de correlación es 1 (correspondiente a R=1 o R=-1), que son los casos en que los puntos del diagrama de dispersión se alinearían perfectamente sobre una línea recta. En la Figura 1 podemos ver que, en efecto los tiempos de los hombres se sitúan casi sobre la recta, que al ser decreciente, correspondería a un coeficiente de correlación R=-1. Para los datos sobre las mujeres obtenemos R2= 0,7313 (R=0,855) algo menor que el anterior, pero también alto. También podemos observar la mayor distancia de estos datos a la recta de regresión.

En este segundo caso, queda más de un 25% de la varianza de los datos no explicada por el modelo y podríamos tratar de mejorar la predicción, eligiendo para ello una función de regresión diferente, siempre que el valor del coeficiente de determinación aumente (que otro modelo explique mayor proporción de varianza). Por suerte Excel proporciona diferentes opciones para la línea de tendencia: lineal, polinómica, potencial, logarítmica, etc. (que se pueden obtener pulsando sobre dicha línea). El alumno puede ensayar con diferentes opciones, obtener para cada una la gráfica, ecuación y coeficiente de determinación y decidir, entre todas ellas, cuál proporciona un mejor ajuste. Como ejemplo, si usamos una función polinómica de grado cuatro, conseguimos subir el coeficiente de determinación a R2=0,93, suficientemente elevado, pues se explica el 93% de la variación de los datos (Figura 4)

Figura 4. Ajuste de un modelo polinómico a los datos de mujeres

Concluimos que en este segundo modelo, no es tan clara la conclusión de que las mujeres lleguen a superar a los hombres en las olimpiadas. Es verdad que conseguiríamos encontrar el punto de corte entre las dos funciones, pero la tendencia ya no se conserva decreciente en las mujeres, sino que aparecen oscilaciones que podrían o no continuar en el futuro. Será entonces necesario esperar a tener nuevos datos para ajustar otra vez el modelo de regresión y obtener una conclusión definitiva. Por otro lado, recordamos que modelo y realidad no siempre coinciden y que las tendencias observadas podrían variar en el futuro.

6. Reflexiones finales

Como señalaron Anderson y Loynes (1987), la estadística es inseparable de sus aplicaciones, y su justificación final es su utilidad en la resolución de problemas externos a la propia estadística. En el ejemplo de proyecto analizado hemos trabajado los dos componentes del sentido estadístico: cultura y razonamiento.

Respecto a la cultura, se han trabajado multitud de ideas fundamentales: comenzando con la




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recopilación de unos datos reales, hemos analizado su distribución bivariante, comparando dos distribuciones diferentes, analizando en cada una su tendencia y variabilidad a través de estadísticos y gráficos. Diferentes modelos de regresión (lineal, polinómico) nos han permitido describir los datos y hacer predicciones; complementadas mediante el coeficiente de determinación para analizar la bondad del ajuste. Otras propiedades de la correlación y regresión (como son por ejemplo el signo y el valor del coeficiente, el signo de la pendiente según sea la relación directa o inversa, la relación entre pendiente y el coeficiente de correlación), aunque han quedado implícitas podrían analizarse con más detalle con los estudiantes según los objetivos del profesor.

En el proyecto también se han ejercitado actitudes propias de la cultura y el razonamiento estadístico como la creatividad, espíritu crítico e imaginación. Se utilizaron también todos los tipos fundamentales de razonamiento estadístico y se involucró a los estudiantes en un ciclo completo de investigación y modelización estadística. Con todo ello los estudiantes adquieren competencia en conocimiento estratégico, es decir ser capaz de aplicar un conocimiento. La habilidad para aplicar los conocimientos matemáticos es frecuentemente mucho más difícil de lo que se supone, porque requiere no sólo conocimientos técnicos (tales como preparar un gráfico o calcular un promedio), sino también conocimientos estratégicos (saber cuándo hay que usar un concepto o gráfico dado). Los problemas y ejercicios de los libros de texto sólo suelen concentrarse en los conocimientos técnicos, mientras que los proyectos incluyen también conocimientos estratégicos, a la vez que aumentan la motivación del estudiante.

Todo ello se pone de manifiesto en el ejemplo presentado. El lector interesado puede encontrar otros ejemplos de cómo es posible desarrollar un currículo de estadística para la educación secundaria o universitaria mediante proyectos debidamente secuenciados (ver Batanero y Díaz, 2011).

Agradecimientos: Proyecto EDU2010-14947 (MCINN-FEDER) y grupo FQM126 (Junta de Andalucía).

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Carmen Batanero Bernabeu, Facultad de Ciencias de la Educación, Universidad de Granada. Fue miembro del Comité Ejecutivo de ICMI (International Comisión on Mathematical Instruction y Presidenta de IASE (International Association for Statistical Education). Ha coordinado varios congresos y proyectos de educación estadística. [email protected]

Carmen Díaz Batanero, Facultad de Ciencias de la Educación, Universidad de Huelva, es doctora en Psicología. Fue becaria del Plan de Formación del Profesorado Universitario y es actualmente Profesora Contratado Doctor en área de Metodología de las Ciencias del Comportamiento. Su línea de investigación es la enseñanza y aplicaciones de la estadística, tema en el que ha codirigido dos tesis doctorales. Ha publicado trabajos sobre inferencia estadística y didáctica de la estadística. [email protected]

José M. Contreras García, nacido en Granada, fue becario de Plan de Fornación del Personal Investigador y es actualmente profesor ayudante doctor de la Universidad de Granada. Licenciado en Ciencias Matemáticas y en C.C. y T.T. Estadísticas, Máster en Estadística Aplicada y doctor en Didáctica de la Matemática. Ha realizado publicaciones en didáctica de la estadística. [email protected]

Rafael Roa Guzmán, es doctor en Didáctica de la matemática y profesor Titular de Universidad de la Universidad de Granada. Ha participado en varios proyectos de investigación en educación estadística y ha publicado artículos y comunicaciones en congresos sobre esta temática.



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El Proyecto Internacional de Alfabetización Estadística

Ana Serradó Bayés (Colegio La Salle-Buen Consejo. Cádiz. España)

Fecha de recepción: 15 de octubre de 2012 Fecha de aceptación: 22 de enero de 2013

Resumen En este artículo se analiza el significado de los conceptos de alfabetización, competencia y cultura estadística que se usan en la actualidad para describir las necesidades de la población con el fin de participar de forma efectiva en la sociedad y la economía. Se presenta el Proyecto Internacional de Alfabetización Estadística que tiene por misión promover la difusión de la alfabetización estadística a nivel mundial. A su vez, se describen las acciones llevadas a cabo por los miembros de dicho proyecto que tienen en cuenta al profesorado, aportándoles: conocimientos teóricos, recursos para la enseñanza y actividades para promocionar la alfabetización estadística entre el alumnado.

Palabras clave Estadística, alfabetización, competencia, cultura, profesorado.

Abstract In this paper we analyse the meaning of statistical literacy, competency and culture nowadays used to describe the citizenry needs to effectively participate in the society and economy. We present the International Statistical Literacy Project which mission is promoting worldwide diffusion of the statistical literacy. Also, we describe the actions done by the members of this project for the teachers, giving them: theoretical knowledge, teaching resources and activities to promote statistical literacy between their students.

Keywords Statistics, literacy, competence, culture, teachers.

1. Introducción

Cada día la mayoría de la población española amanece pendiente de los datos económicos del país: la evolución de la prima de riesgo, el IBEX 35, los datos del paro,…Todos ellos son indicadores estadísticos al alcance de cualquier ciudadano que esté conectado a Internet. Sin embargo, a pesar de la ingente cantidad de información a la que puede acceder un ciudadano en la era de la Web 2.0, el acceso a la misma no es suficiente para garantizar una participación efectiva en la sociedad y en la economía (OECD, 2011). Se necesitan herramientas que permitan comprender, por una parte, el significado matemático de estos indicadores y, por otra, la complejidad de sus repercusiones a nivel mundial. Para ello, se debe ser proveer a los individuos del conocimiento, las destrezas y las competencias necesarias que les permita participar activamente en las decisiones sociales, económicas y políticas,… Estos nuevos retos curriculares deben entenderse desde una perspectiva sociocultural de la educación matemática que rompa con la anquilosada visión positivista de la misma.

Ante esta realidad uno se cuestiona: ¿tienen los ciudadanos y adquiere el alumnado, a lo largo de su escolarización, la cultura estadística necesaria para poder comprender e intervenir en la realidad actual? Esta pregunta quedará abierta en este artículo ya que el objeto del mismo no es un ensayo sobre cultura escolar sino la presentación del significado teórico los conceptos de alfabetización,

El Proyecto Internacional de Alfabetización Estadística A. Serradó Bayés

20 NÚMEROS Vol. 83 julio de 2013

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competencia y cultura estadística, y también de las acciones que lleva a cabo el Proyecto Internacional de Alfabetización Estadística (ISLP) para promover dicha alfabetización, a nivel global, en los diferentes campos de producción, consumo y comunicación de datos estadísticos, y la presentación, detallada, de las destinadas al profesorado.

2. Alfabetización, competencia y cultura

Las nociones de alfabetización, competencia y cultura estadística surgen de las disquisiciones en torno al significado de la noción de alfabetización. La presentación de dicha noción se realiza desde una perspectiva histórica que permitirá entender el por qué de la misma y como ha evolucionado para atender las necesidades culturales, sociales y políticas de las personas.

2.1. Evolución histórica de la noción de alfabetización

La Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura utiliza por primera vez el término alfabetización en 1951, refiriéndose a una persona considerada “alfabeta si es capaz de leer y escribir, comprendiendo, una breve y sencilla exposición de hechos relativos a su vida cotidiana” (UNESCO, 1997, p. 123). Esta definición ha ocasionado numerosos debates al intentar dar respuesta a para qué alfabetizar, a quién alfabetizar y cómo evaluar y cuantificar quién es alfabeto, o dicotómicamente, analfabeto.

De dichos debates se concluye que es un criterio mínimo y funcional, expresado en términos de las circunstancias personales (Triebel, 2005). Este mismo autor analiza la insuficiencia de la misma en cuanto no hace referencia a las necesidades de actuación de la persona alfabeta en un grupo o comunidad, “que le permitan seguir valiéndose de la lectura, la escritura y la aritmética al servicio de su propio desarrollo y del desarrollo de la comunidad” (UNESCO, 1978, p. 18). Esta insuficiencia es consecuencia de considerar que el tipo y el nivel de alfabetización funcional varía y depende del entorno y del contexto de cada sociedad o comunidad en un momento concreto, e implica una definición de la cultura como “identidad colectiva” de forma más general (Lind, 2008).

Desde 1978 las necesidades sociales, la pluralidad de contextos, lenguajes y usos han variado y, en consecuencia, ha surgido el concepto de “alfabetizaciones” (científica, digital, emocional,…), siendo muchas de estas alfabetizaciones necesarias para la intervención en la vida actual. La UNESCO, consiente de los cambios sociales acontecidos y de las necesidades personales actuales, redefine la alfabetización como: “la habilidad de identificar, comprender, interpretar, crear, comunicar y computar, usando materiales impresos y escritos en diversos contextos” (UNESCO, 2005, p. 21).

Con la misma se pone de manifiesto que la alfabetización implica un continuo en el aprendizaje que otorga a los individuos la consecución de sus objetivos, desarrollar su conocimiento y potencial, y participar plenamente en comunidad y en sociedad. Este proceso continuo de aprendizaje tiene lugar tanto fuera como dentro de la escuela durante la escolarización obligatoria o en cursos de alfabetización para adultos (Lind, 2008). Dicha noción ha evolucionado de forma paralela al incremento de los conocimientos, habilidades o destrezas mínimos que necesitan las personas para enfrentarse a situaciones cotidianas. Pero si se solicita que estas personas se enfrenten a demandas complejas, apoyándose en y/o movilizando recursos psicosociales (incluyendo destrezas y actitudes), entonces se habla de personas no se habla de personas alfabetas sino competentes.

La distinción de ambas nociones, alfabetización y competencia, es producto de los trabajos realizados por Rychen & Salganik (2001) al Definir y Seleccionar las Competencias Clave (DeSeCo).




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Así pues, la noción de competencia respecto a la de alfabetización supone la integración de las habilidades, prácticas, conocimientos, motivaciones, valores éticos, actitudes, emociones y otros componentes sociales y de comportamiento que se movilizan conjuntamente para lograr una actuación eficaz (MEC, 2006), que diferirán en función de competencia básica.

En particular, la competencia matemática se define en los documentos oficiales españoles como: “la habilidad para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión y razonamiento matemático, tanto para producir e interpretar distintos tipos de información, como para ampliar el conocimiento sobre aspectos cuantitativos y espaciales de la realidad, y para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana y con el mundo laboral” (MEC, 2006, p. 686). Esta definición de carácter semántico tiene como referencia los elementos asociados al currículum, destacando la importancia de los números, sesgada en cuanto al desarrollo de destrezas, disposiciones del alumnado e importancia de los diferentes bloques de contenido (Cardeñoso & Serradó, 2006). La importancia que adquiere la numeración es producto del papel que ha adquirido la aritmética desde las primeras ordenaciones curriculares basadas en la descripción de las necesidades mínimas de alfabetización de la sociedad.

2.2. Alfabetización cuantitativa, numeración, tecno-alfabetización matemática

La consideración de los números en su forma escrita, promovió que en la definición de alfabetización de 1978 se introdujese la aritmética. Su inclusión supone que para ser alfabetizado se deben tener los conocimientos y las destrezas necesarias para aplicar las operaciones aritméticas, aisladamente o de forma secuencial, a números insertados en materiales impresos, como el balance de un registro de entradas y salidas, la comprensión de un consejo, el rellenado de impresos, o la determinación del interés de una hipoteca encontrada en un anuncio. Estos conocimientos y destrezas pasaron a llamarse alfabetización cuantitativa, utilizándose en los estudios sobre alfabetización adulta hasta el año 1998. A partir de este año, se utiliza el concepto de numeración que se define como: “el conocimiento y destrezas que se requieren para una gestión y respuesta efectiva de las demandas matemáticas en diversas situaciones” (OECD, Statistics Canada, 2011, p. 146).

Las demandas actuales están afectadas por un mundo dominado por la tecnología digital, que hacen que en muchos casos las matemáticas se tornen invisibles, escondidas tras sistemas integrados como: las hojas de cálculo, los cajeros automáticos, las líneas de producción automática…Tanto automatismo hace cuestionarnos si cada vez necesitamos menos matemáticas. O, por el contrario, si cada vez necesitamos más, ya que nos convertimos en dependientes de la información cuantitativa y de los modelos matemáticos que debemos comprender (Gravemeijer, 2012). Si creemos que cada vez necesitamos menos, damos lugar a pensar que los ciudadanos se están tornando en consumidores de matemáticas (Levy & Murnane, 2006), debido a que se espera de éstos que tomen las decisiones en base de la información de salida de los sistemas digitales que usan, pero que no realicen los cálculos, volviéndose vulnerables los juicios que deban realizar asociados a ellos.

Esta realidad dificulta el establecimiento de qué matemáticas necesita aprender el alumnado actual para poder llegar a ser, como mínimo, “consumidores de matemáticas”. Es más, al intentar establecer los objetivos de aprendizaje en este caso, se observa que las matemáticas utilizadas en los lugares de trabajo actuales son extraordinariamente diferentes de las matemáticas tradicionales (Hoyles, Noss, Kent, & Bakker, 2010). Estos autores, con el fin de describir las matemáticas necesarias en los lugares de trabajo, acuñaron el término alfabetizaciones techno-matemáticas que definen “como las combinaciones de matemáticas, tecnologías de la información y competencias específicas del lugar de trabajo que demandan una habilidad para tratar con modelos y tomar decisiones basadas en la interpretación de información abstracta” (Kent, Bakker, Hoyles, & Noss, 2005, p. 1). Información abstracta como la que presentábamos en la introducción de este artículo



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relacionada con indicadores estadísticos y económicos. El debate actual a nivel educativo se está centrando en discernir si dichos conocimientos deben ser requerimientos para ser estadísticamente alfabetos o por el contario son competencias profesionales propias de ciertos trabajos. En ambos casos estamos hablando de las necesidades de los adultos.

2.3. Alfabetización, competencia y cultura estadística

Estas necesidades estadísticas de los adultos han estado ampliamente estudiadas desde el año 2002. Año en que Iddo Gal introdujo la definición de alfabetización estadística, especificando: “que se refiere a dos componentes interrelacionados:

a. capacidad para interpretar y evaluar críticamente la información, los argumentos apoyados en datos o los fenómenos estocásticos que las personas pueden encontrar en diversos contextos, incluyendo los medios de comunicación, pero no limitándose a ellos,

b. capacidad para discutir o comunicar sus opiniones respecto a tales informaciones estadísticas cuando sea relevante” (Gal, 2002, p. 2)

Al igual que la noción de alfabetización se caracteriza por dos rasgos definitorios que son el contexto social y el uso individual. La caracterización dependiendo del contexto social está relacionada con la noción de alfabetización funcional del adulto, al considerar que esta varía y depende del entorno y del contexto de cada sociedad o comunidad en un momento concreto. No sólo tiene en cuenta los conocimientos y destrezas que necesitan poner en juego los adultos para enfrentarse a la información estadística, sino que tiene también en cuenta las disposiciones de los mismos, sus creencias, actitudes; priorizando la actitud crítica (Rumsey, 2002).

Definición que permite a Gal separar a los adultos alfabetizados en dos grupos: los productores de datos (que están implicados en la producción y el análisis de los datos) y los consumidores (que participan en la lectura, escucha o visualización de datos estadísticos y las interpretaciones que de ellos se dan). Esta caracterización de “consumidor estadístico” coincide con el del “consumidor de las matemáticas”, descrita con anterioridad, enfatizando el carácter pasivo de la actuación ante la producción y análisis de datos. Pasividad que no se refiere a la puesta en juego de capacidades definición, discusión y comunicación de lo opinado de forma crítica de la interpretación y análisis de lo leído, sino que se refiere a la comunicación de los datos ya producidos para que estos sean consumidos por otros. Este sería el caso de los periodistas, sociólogos o psicólogos, entre otros, que no son productores de datos estadísticos, pero si consumidores que actúan bajo el fin de hacer llegar al gran público sus interpretaciones sobre los mismos, ejercitando capacidades propias de comunicación de datos estadísticos. La capacidad de comunicación y la inclusión de diferentes medios de comunicación abren la puerta a un nuevo grupo social que tiene un lugar propio en las necesidades de alfabetización estadística, que son los comunicadores estadísticos.

Los contextos sociales en los que se define la alfabetización permiten distinguir tres grupos de personas en función de su uso, productor, consumidor o comunicador de datos. Pero, también deben tenerse en cuenta la diversidad de cada uno de los individuos y su proceso continuo de aprendizaje. En este sentido, la definición de Gal sobre la alfabetización estadística de los adultos tiene dos límites en cuanto al tiempo (la edad de las personas) y el espacio (personas viviendo en zonas industrializadas) (Watson, 2002). Esta autora analiza los límites en cuanto al tiempo, y los caracteriza en un continuo de adquisición que pasa por tres niveles jerarquizados: a) una comprensión básica de la terminología probabilística y estadística, b) una comprensión del lenguaje probabilístico y estadístico y los conceptos cuando están insertados en el contexto de una discusión social amplia, y c) una actitud de cuestionamiento en la que se pueda aplicar conceptos más sofisticados que contradigan las afirmaciones realizadas sin fundamentación estadística adecuada (Watson, 1997).




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Estos trabajos, que son un referente clásico de investigación en Educación Estadística, se complementan con los también básicos de Shamos (1995) sobre el conocimiento científico. Este autor sugiere que la alfabetización científica se puede dividir en tres campos: cultural, funcional y verdadero. La alfabetización cultural se refiere a la información objetiva necesaria para la lectura de periódicos o revista e implica la memorización bastante más que la comprensión de los términos científicos. Por el contrario, la alfabetización funcional y verdadera presupone la necesaria comprensión de las ideas y teorías científicas en un nivel creciente de sofisticación.

Este aspecto cultural de la alfabetización estadística es el que tuvo en cuenta Batanero (2002) al traducir el término anglosajón “statistical literacy” por “cultura estadística”, en lugar de “alfabetización estadística. Usando las palabras de la autora el término cultura estadística “quiere resaltar el hecho de que la estadística se considera hoy en día como parte de la herencia cultural necesaria para el ciudadano educado” (Batanero, 2002, p. 2). La traducción del término de alfabetización estadística por cultura estadística es una restricción asociada a una visión histórica de dicha noción que difiere de la caracterización estructural de la misma. La cultura desde un punto de vista estructural consiste en ideas, símbolos o comportamientos, modelados, pautados e interrelacionados caracterizados por una visión multidimensional propios de los diferentes grupos sociales y comunidades.

En consonancia con esta visión estructural de la cultura, en este artículo traducimos el término “statistical literacy” como alfabetización estadística. Esta traducción hace referencia a una perspectiva multidimensional del término alfabetización en que se tienen en cuenta las diferencias individuales de los sujetos en un proceso continuo de aprender a aprender (desde el nivel escolar hasta las necesidades como adultos), que permite la adquisición de un nivel creciente de sofisticación. Esta visión también la comparten Naya, Ríos y Zapata (2012) al analizar la situación actual de la estadística iberoamericana a nivel preuniversitario.

Esta traducción se refiere también a la visión multidimensional de la alfabetización estadística asociada al uso que realicen de los datos los diversos grupos sociales. Los trabajos de Kent, Bakker, Hoyles, & Noss (2005) sobre las alfabetizaciones techno-matemáticas les han permitido identificar las prácticas matemáticas y estadísticas que están presentes en varios sectores industriales, subrayando la importancia de la lectura de tablas y gráficos, la identificación y medida de variables claves, razonando sobre modelos en términos de las relaciones entre variables y representando e interpretando datos, que supone mucho más que un aspecto puramente estadístico.

Milo Schield, teniendo en cuenta las necesidades descritas con anterioridad, redefinió el concepto de alfabetización estadística, describiendo quienes son los usuarios de la misma: “la alfabetización estadística es la habilidad de leer e interpretar resúmenes estadísticos en los medios cotidianos: en gráficos, tablas, afirmaciones y ensayos. La alfabetización estadística es la necesaria para los consumidores de datos (Schield, 2010, p. 140)”. Este autor también define la noción de competencia estadística “como la habilidad de producir, analizar y resumir estadísticas detalladas en estadísticas y estudios” (Schield, 2010, p. 140). La competencia estadística es necesaria para los productores de datos.

Después de más de diez años de debate en torno a la noción de alfabetización estadística se concluye que es mucho más que aplicar estadística mecánicamente, es la habilidad de leer e interpretar de forma crítica datos y usar la estadística como evidencia en contextos cotidianos o profesionales (Ridway, Nicholson, & McCusker, 2011).

Distinguen claramente las necesidades de los productores y consumidores de información estadística. En la distinción de productores y consumidores se encuentra una gran diversidad de grupos



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que tienen objetivos, puntos de vista y expectativas comunes sobre la información estadística y los canales de distribución tradicionales. Muchos de estos canales tradicionales de distribución de la información estadística se han vuelto obsoletos, surgiendo nuevas formas y foros de comunicación dónde se mezclan diferentes niveles de productores y consumidores de datos, canales y métodos estadísticos que difieren según el grupo: la comunidad científica, las diferentes profesiones, la administración pública, los políticos, los mercados, la sociedad, la cultura, la educación y la ciencia (Helenius, 2010).

Esta visión global de las necesidades actuales de la estadística son un referente para establecer las actuaciones del Proyecto Internacional de Alfabetización Estadística (ISLP)

3. El Proyecto Internacional de Alfabetización Estadística (ISLP)

El Proyecto Internacional de Alfabetización Estadística (ISLP), dependiente de la Asociación Internacional de Educación Estadística (IASE)1 y del Instituto Estadístico Internacional (ISI)2 tiene como misión: apoyar, crear y participar en actividades de alfabetización estadística y promoverlas alrededor del mundo para jóvenes y adultos en todos los ámbitos de la vida. Esta misión se ha ido concretando a partir del análisis de las necesidades detectadas en la sociedad desde sus inicios en 1994.

3.1. Evolución histórica del ISLP

En el año 1994, cuando en la UNESCO se realizaban estudios prospectivos sobre los niveles de alfabetización funcional, en general, y sobre alfabetización cuantitativa en particular, el comité ejecutivo del Instituto Estadístico Internacional (ISI) crea el “World Numeracy Program. Dicho comité tenía por objetivo la difusión de las habilidades cuantitativas alrededor del mundo en aquellas áreas de población (especialmente en zonas desfavorecidas y entre los jóvenes) que pudiesen beneficiarse de un mayor conocimiento de los números y sus aplicaciones, y con una consideración especial hacia la enseñanza de la estadística.

El World Numeracy Program (WNP) inició una serie de proyectos o subproyectos como fueron la promoción de programas nacionales de numeración o de series de televisión, la realización de un estudio sobre los esfuerzos de formación internacional y nacional en el campo de la estadística, certificaciones para los estadísticos, un glosario multilingüe de términos, un registro de estándares estadísticos como los que se habían empezado a realizar por parte de la NCTM para matemáticas con el fin de aportar recursos para la enseñanza de la estadística. Tal fin no se consiguió y se consideró que el WNP debía pasar a formar parte del IASE. El cambio de adscripción de la asociación supuso: otorgarle un mayor papel a la formación, analizar quiénes eran los consumidores finales (alumnado, adultos, políticos, administradores) e intermediarios (profesores, periodistas, libreros,…) y sus necesidades, y romper con la idea de alfabetización cuantitativa inicial o numeración y aceptar la noción de alfabetización estadística (Sánchez, 2010). Como consecuencia de este cambio de paradigma, en 2002 el WNP pasa a llamarse ISLP (Proyecto Internacional de Alfabetización Estadística).

1 IASE es una organización internacional para la educación estadística, que tiene por objetivo mejorar la educación estadística en todos los niveles educativos a través de la formación de profesionales y el incremento de la aceptación mundial de la educación estadística (http://www.stat.auckland.ac.nz/~iase/) 2 ISI es una organización no gubernamental sin fines de lucro con estatus consultivo en las Naciones Unidas, cuyo objetivo es estar presente entre los estadísticos y aquellas personas u organismos interesados en la estadística (http://www.isi-web.org/). Se organiza en siete asociaciones especializadas, siendo el IASE una de ellas.




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A su vez, el cambio de adscripción supuso la creación de un Consejo Consultivo. De entre los miembros de este consejo, destacamos a Iddo Gal, por su aportación a la clarificación de la noción de alfabetización estadística; Carmen Batanero, en ese momento presidenta del IASE, por la difusión de la noción de cultura estadística en el contexto iberoamericano y Carol Blumberg, como directora del WNP, promotora de la creación de la primera página Web con recursos para mejorar el desarrollo de la alfabetización estadística y acercarlos, entre otros, al profesorado para mejorar su práctica docente.

Tras unos años donde el trabajo del proyecto se centro en recopilar materiales relacionados con la formación, en el año 2007 se retoman las ideas iniciales de la importancia de la actuación directa del ISLP en el desarrollo de la alfabetización estadística. Este cambio de perspectiva surge con la nominación de un nuevo director del proyecto, Juana Sánchez, marcándose y ejecutando cuatro líneas de acción diferentes:

1. El cambio de la antigua página Web por una Wiki http://www.stat.auckland.ac.nz/~iase/islp/home

2. Retomando el objetivo del WNP de promocionar programas de alfabetización estadística en un número creciente de países, en cooperación con las administraciones de cada país. Aunque el objetivo ha sido común, la estrategia ha diferido.

3. Promocionando la publicación de recursos internacionales vía el uso de las nuevas tecnologías como: libros electrónicos o boletines. Destacamos el boletín “Newsletter of the ISLP” que se publica con carácter bianual desde el año 2008. En él se publican las noticias de las acciones llevadas a cabo, en general, por el Comité ejecutivo del ISLP y, en particular, las acciones llevadas a cabo en cada uno de los países, que recopilan los coordinadores nacionales. España ha tenido varias aportaciones al Newsletter de las cuales destacamos la presentación a la comunidad internacional de las acciones llevadas a cabo por el Instituto Andaluz de Estadística3, Aprenestadistica.gencat.cat y Divestadistica4. Esperemos que en próximos números se pueda presentar las acciones de los otros institutos de estadística, como el Instituto Canario de Estadística5

4. Usando la Wiki como vehículo de comunicación de las actividades del ISLP, como son la participación española en la Competición Internacional llevada a cabo en Durban en el año 2009 y la fase nacional de la Competición de Pósters de 2011.

Desde el año 2007 la mayor estrategia de mejorar la alfabetización estadística ha sido las Competiciones Internacionales dirigidas al alumnado de Educación Secundaria Obligatoria y Postobligatoria. Las acciones para los años 2009 a 2013 están relacionadas con la extensión de la enseñanza de la alfabetización estadística a otros grupos (Helenius, 2010), actual directora del ISLP: los ciudadanos y los medios, las instituciones educativas, las universidades y centros de investigación, los administradores, los bibliotecarios y las agencias nacionales. El ISLP se ha fijado como estrategia analizar para cada uno de los grupos: los objetivos y niveles de requerimientos en relación con la alfabetización estadística, los ejemplos de las mejores prácticas sobre alfabetización estadística que podría ser usada o aplicada en los diferentes países y las sugerencias sobre nuevos modelos operativos o actividades que podrían empezar los países miembros a partir de sus coordinadores nacionales o por el mismo Comité Ejecutivo del ISLP. Uno de los principales objetivos del ISLP ha sido ampliar su extensión a países de los cuatro continentes, participando actualmente 73 países (Figura 1).

3 El Instituto Andaluz de Estadística habla a los profesores de matemáticas de Andalucía. ISLP Newsletter, September-October, 2008. (http://www.stat.auckland.ac.nz/~iase/islp/newsletter-v-1) 4 Aprenestadistica.gencat.cat y Divestadistica. ISLP Newsletter 1(5) August, 2012 (http://www.stat.auckland.ac.nz/~iase/islp/newsletter-v-5) 5 ISTAC, Instituto Canario de Estadística ( ) en convenio con la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas editora de la revista Números.



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Desde sus inicios ha crecido, también, el número de personas que colaboran desinteresadamente en él, pasando de cinco personas que formaban el comité del WNP a los 104 miembros actuales, organizados en el Comité Ejecutivo, Consultores y Coordinadores Nacionales6. Entre las acciones encomendadas a los coordinadores nacionales está la difusión del proyecto a nivel nacional, analizando las necesidades de cada uno de los grupos a los que va dirigido el ISLP. Así pues, el objetivo de este artículo es difundir el ISLP entre el profesorado de Educación Primaria y Secundaria, y además animar a participar en las actividades que en él se planifican. Para ello, la siguiente sección se organiza con el fin de presentar los recursos albergados en la Wiki del ISLP y las acciones propuestas para los próximos años.

4. Recursos y acciones del ISLP para el profesorado

Uno de los principales objetivos del ISLP ha sido recopilar y crear aquellos recursos relacionados con la alfabetización estadística que fuesen de utilidad para los grupos a los que va dirigida sus acciones. Los recursos para el profesorado se refieren a conceptos generales sobre alfabetización estadística y a la enseñanza y aprendizaje. En primer lugar, se presentan los recursos sobre alfabetización estadística.

4.1. Recursos sobre alfabetización estadística

Los recursos sobre alfabetización estadística son documentos o referencias de utilidad para ahondar en el significado del término y su evaluación.

Definiciones de alfabetización estadística

La sección definiciones de alfabetización estadística es un compendio de la descripción de los términos, que se refieren a tres tipos de fuentes:

6 Red de cooperación del ISLP: http://www.stat.auckland.ac.nz/~iase/islp/people

Figura 1. Clúster de visitantes




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• La descripción de los usos del término numeración en el Diccionario Inglés Oxford, que van desde el año 1959 hasta el 1972.

• Los informes y documentos curriculares que describen su uso a nivel educativo. Se destacan el informe Cockford de 1982 y el ASA GAISE Report, currículum americano.

• Los artículos y libros que caracterizan la alfabetización estadística de Iddo Gal, Milo Schield, Deborah Rumsey, Jane M. Watson, cuyas referencias pueden encontrarse al final del artículo.

Artículos y libros de investigación sobre alfabetización estadística

Incluye una colección de artículos que abarcan el periodo de 2002 hasta la actualidad que presentan avances de investigación en la alfabetización estadística y sus relaciones con el razonamiento y el pensamiento estadístico. Entre ellos destacamos los artículos:

• “Los retos de la cultura estadística” de Carmen Batanero (2002) por la influencia que ha tenido en el contexto iberoamericano.

• “Statistical Literacy: Meanings, Components, and Responsabilities” de Iddo Gal (2002) por las reflexiones en torno a la alfabetización estadística de adultos.

• “Mathematics and Democracy: The Case for Quantitative Literacy” de Lynn A. Steen (2001)

Diccionarios y glosarios de términos estadísticos

Uno de los primeros retos del comité del WNP fue la elaboración de un glosario de términos estadísticos que favoreciese el aprendizaje de los mismos. Desde ese momento se han ido elaborando desde diferentes instituciones con finalidades diferentes. Destacamos el:

• “Glosario Multilíngüe de Términos Estadísticos de ISI” que puede encontrarse en http://isi.cbs.nl/glossary.htm. El glosario contiene traducciones de aproximadamente 3000 términos estadísticos a 19 idiomas, que incluye español, catalán, euskera, portugués. Este glosario puede ser de gran utilidad para centros bilingües su agilidad, al ser una herramienta TIC, y su adecuación, al haber sido elaborado por especialistas internacionales en Estadística.

• El “Glosario de términos estadísticos de la Universidad Romullo Gallegos” en español con traducciones al inglés y francés, que incluye breves definiciones y ejemplos de los términos. Se puede acceder a él desde http://web.cortland.edu/flteach/stats/glos-sp.html

Los recursos descritos anteriormente pueden ser de utilidad para cualquier persona interesada en la estadística y su alfabetización, incluyendo entre ellos al profesorado. Al ser el profesorado uno de los grupos prioritarios dentro del ISLP, se seleccionaron recursos con el fin de dar a conocer las mejores prácticas en la enseñanza y aprendizaje para la alfabetización estadística.

4.2. Recursos para la enseñanza y aprendizaje de la estadística

En la actualidad los recursos están clasificados según si van dirigidos al profesorado o a su formación inicial y permanente, a los educadores, alumnado y adultos.

Actividades, unidades o proyectos a disposición del profesorado

En esta categoría se incluyen recursos on-line para que los profesores puedan usarlos directamente en sus aulas o les sirvan para mejorar sus conocimientos sobre estadística. Encontramos



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Diseños Curriculares de varios países y recursos organizados por etapas educativas. Entre ellos destacamos por su importancia y reconocimiento internacional:

• GAISE: “Orientaciones para la evaluación y enseñanza de la Educación Estadística” del NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) and ASA (American Statistical Association). Dicho documento se puede encontrar en http://www.amstat.org/education/gaise/ y es un referente en la evaluación del desarrollo de la competencia estadística desde los niveles de Educación Primaria hasta Secundaria Obligatoria.

• Adventures in Statistics: Es una página Web que alberga un proyecto estadístico para alumnos de 5º de Educación Primaria para realizar dentro del entorno escolar, que incorpora medidas, gráficos, cálculos, análisis de datos y comunicación de los resultados http://mathforum.org/trscavo/statistics.html. Estas actividades están albergadas en mathforum que recoge esta y otras actividades para desarrollar la competencia estadística.

• CensusAtSchool (http://www.censusatschool.com/) es un proyecto internacional, básicamente de habla inglesa, que desde el año 2000, recoge datos reales producto de encuestas con escolares, que pueden acceder a los mismos para realizar estudios estadísticos adecuados a su edad.

• El National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) tiene en su página Web http://illuminations.nctm.org/ unidades didácticas para la enseñanza de los contenidos estadísticos.

• La organización PBS (Public Bradcasting Service) en su sección para profesores recoge multitud de proyectos de todos los bloques de contenidos con sus guías didácticas para que el alumnado pueda usar sus conocimientos estadísticos en diferentes contextos como el marketing, las encuestas, los mercados financieros. La información se puede encontrar en http://www.pbs.org/teachers

Simulaciones, demostraciones que facilitan la enseñanza

• Rice Virtual Lab in Statistics (http://onlinestatbook.com/rvls.html) contiene un libro on-line sobre estadística, simulaciones, vídeos, demostraciones con java, estudios de casos, y herramientas para el análisis estadístico.

• Smart Centre Sample Visualisations (http://www.dur.ac.uk/smart.centre/freeware/) ha desarrollado herramientas innovadoras preparadas para la visualización con Macromedia Flash, que permiten el uso de interfaces para trabajar con datos multi-dimensionales.

• SOCR (Statistics Online Computational Resource, http://www.socr.ucla.edu/) aporta herramientas en línea para la educación estadística, probabilidad y tecnología que incluye un repositorio de applets interactivos y herramientas gráficas, junto con sus materiales para la enseñanza.

• Virtual Laboratories in Probability and Statistics (http://www.math.uah.edu/stat/), consiste en un conjunto integrado de componentes que incluye material con explicaciones, ejercicios de papel y lápiz, simulaciones y ejercicios para el análisis de datos.

Formación permanente del profesorado

De los múltiples recursos recogidos en el ISLP dirigidos a la formación permanente del profesorado, escogemos los aportados por el Grupo de Investigación en Educación Estadística de la Universidad de Granada por ser un referente para los países iberoamericanos (http://www.ugr.es/~batanero/)




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Evaluación de la alfabetización estadística

Esta sección del ISLP recoge recursos que favorecen la evaluación de la alfabetización estadística de escolares y adultos. Entre ellos destacamos el Programa para la Evaluación Internacional de las Competencias de los Adultos: (PIACC, http://www.oecd.org/general/piaacprogrammefortheinternationalassessmentofadultcompetencies.htm) por su relación con el programa para escolares PISA, y el proyecto ARTIST:

(https://apps3.cehd.umn.edu/artist/publications.html) que incluye una serie de recursos para la evaluación de la alfabetización estadística.

La página web del proyecto ISLP contiene muchísimos más enlaces que los destacados en este artículo. La mayoría de materiales que promueven la alfabetización estadística son en inglés. Los materiales, que tradicionalmente encontramos en el contexto español, fomentan el desarrollo de la numeración o alfabetización estadística al solicitar al alumnado, básicamente, calcular parámetros o representar gráficamente datos, propuestos por otros, con el estudio de variables aisladas (Arteaga, Batanero, Cañadas, & Contreras, 2011). En cambio, adolecen de proponer cuestiones que supongan la interpretación de gráficos y tablas para el desarrollo de la alfabetización estadística, y aún menos la producción de datos y su análisis para el desarrollo de la competencia estadística.

4.3. Acciones del ISLP para fomentar la Alfabetización Estadística

En este momento el Proyecto está llevando a cabo básicamente dos acciones para fomentar la Alfabetización Estadística a Nivel internacional: la organización del reconocimiento al mejor proyecto cooperativo para la alfabetización estadística y la organización de la Competición de Pósteres.

Premio al Mejor Proyecto Cooperativo

Cada dos años, en reconocimiento a los proyectos de alfabetización estadística más excepcionales, innovadores e influyentes dirigidos a un segmento del público general y que son fruto de la cooperación de diferentes instituciones, el IASE/ISLP otorga una mención al “Mejor Proyecto Cooperativo”. Los proyectos candidatos al premio deben cumplir las siguientes características: (a) estar en activo y tener potencial para continuar así en el futuro, (b) acceso libre a los recursos del proyecto y su inscripción, (c) educa en los conceptos de la teoría estadística y el análisis de datos, y su uso en el desarrollo de información sobre los países y las sociedades, con una aplicación en el amplio espectro de las disciplinas y áreas de la sociedad, teniendo en cuenta las técnicas de manejo de datos, experimentación y los métodos gráficos, (d) tiene contenidos adecuados a nivel pedagógico para una audiencia general (adultos y jóvenes, los medios de comunicación y estadísticos profesionales, profesorado y alumnado, las ciencias sociales y naturales, (e) involucra dos o más instituciones que habitualmente no trabajarían cooperativamente, (f) es atractivo para la audiencia en general, (g) tiene archivos ampliamente disponibles, (h) tiene un alcance internacional y hace un uso creativo de los recursos disponibles.

En el año 2009, el proyecto EarlyStatistics (http://www.earlystatistics.net/ ) en el que colaboraba la Universidad de Cádiz, recibió conjuntamente con MathStats el “Premio al Mejor Proyecto Cooperativo”. EarlyStatistics es un innovador programa de desarrollo profesional para la enseñanza y aprendizaje del razonamiento estadístico en los niveles de Educación Primaria y Secundaria. España, también, ha participado en las diferentes Competiciones Internacionales de Alfabetización Estadística dirigidas al alumnado.



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Competiciones Internacionales de Alfabetización Estadística

Mientras que en Matemáticas ha habido una gran tradición de competiciones entre el alumnado, como por ejemplo las Olimpiadas, esta tradición no existe en Estadística. Si analizamos las relaciones de los problemas de las Olimpiadas Matemáticas observamos que raramente, por no decir nunca, incluyen estadística. Los problemas de las Olimpiadas no requieren conocimientos especiales de Matemáticas, por el contrario se intenta que para resolverlos el alumno deba utilizar la capacidad de raciocinio, la habilidad de enfrentarse a situaciones nuevas y una cierta dosis de lo que tradicionalmente se conoce por idea feliz. Mientras que la estadística requiere de un entorno experimental donde se analicen datos con el uso de tecnologías de la información para responder a preguntas relevantes para la vida diaria. Por eso, desde el ISLP se concluyó la necesidad de organizar Competiciones de Alfabetización Estadística con el fin de identificar qué alumnos/as y qué escuelas ofrecían ejemplos de las mejores prácticas a nivel mundial (Sánchez, 2010). Desde el año 2007, el ISLP organiza una competición con el fin de reunir a alumnado y profesorado de diferentes países interesados en la Estadística. La Competición ha pasado por diferentes fases desde sus inicios (Serradó, 2011):

• Competición Piloto en Portugal, 2007: que se organizó de forma similar al juego “¿Quiere ser millonario?, que se llamó “¿Quiere ser un entendido en Estadística?”

• Primera Competición Internacional de Alfabetización Estadística, 2009: con tres fases y cinco idiomas diferentes. Una primera fase, a nivel escolar, en la que se establecía un mínimo internacional. Una segunda fase, a nivel nacional, clasificando a los ganadores según tres franjas de edad. Una tercera fase, internacional, organizada conjuntamente entre ISIBALO, ISI y ISLP. Durante la fase internacional los alumnos se enfrentaron a tres pruebas: “¿quiero ser un entendido en Estadística?” compitiendo entre países, una prueba individual de razonamiento y pensamiento estadístico y la elaboración de un Póster.

• Primera Competición de Pósteres del ISLP, 2011: con dos categorías de alumnos que presentaron su póster en la sesión 58 del Congreso Mundial de Estadística del ISI que se celebró en Dublín.

Después de esta Primera Competición de Pósteres, el Comité Ejecutivo y Consultivo del ISLP consideró que este tipo de competición era la más adecuada para conseguir los objetivos de alfabetización del Proyecto. Ya que los pósteres son una forma interesante de: trabajar en equipo, investigar cuestiones a partir de datos reales, usar cálculos y gráficas, interpretar resultados estadísticos y desarrollar habilidades de comunicación escrita. Con la realización del póster se quiere demostrar la competencia del alumnado como productores, consumidores y comunicadores de datos. Para ello se pide al alumnado que se organice en grupos de dos o tres estudiantes, clasificados en dos categorías, Educación Secundaria Obligatoria y Postobligatoria. Los tópicos de los pósteres pueden variar dentro del tema general de la “Agricultura”, usando datos recogidos por el alumnado o previamente publicados en el idioma que crean oportuno.

Al igual que las Olimpiadas Matemáticas, el alumnado participante debe ser abalado por un profesor/a y por un centro educativo. Sin embargo, a diferencia de esta se puede elaborar el póster en horario escolar o extraescolar. Para ello se aporta una guía con orientaciones sobre cómo realizar dichos pósteres, ya que el alumnado de matemáticas español no está acostumbrado, en general, a este tipo de presentaciones. Dicho póster se juzga en las fases escolares, nacionales e internacional valorando la consecución de la competencia estadística a nivel de producción y comunicación de datos, siguiendo los siguientes criterios:

• La claridad del mensaje, analizando la coherencia entre los objetivos propuestos, las preguntas de la investigación, las hipótesis planteadas y los resultados y conclusiones obtenidas.




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• La adecuación de los datos, valorando si son apropiados para contestar a la pregunta de investigación con una aplicación adecuada de métodos de recolección de datos.

• Las estrategias usadas para el análisis de datos y el establecimiento de conclusiones de forma que los datos se analicen conforme a la pregunta o hipótesis de investigación, las conclusiones se apoyen en los datos y exista un análisis de las limitaciones de la investigación donde se sugieran mejoras para estudios futuros.

• La apropiación de los gráficos y tablas para exhibir y resumir los datos de forma que agreguen información nueva al póster y tengan sus leyendas y explicaciones adecuadas.

• La realización del póster para que sea legible a dos metros y con un adecuado equilibrio entre gráficos y texto.

• La creatividad de la pregunta de investigación, su interés a nivel social y su originalidad e impacto visual.

La Competición de Pósteres se realiza bianualmente siguiendo una estructura de fase escolar, nacional e internacional. En la fase internacional los pósteres son presentados en la sesión del ISI correspondiente conjuntamente los elaborados por investigadores profesionales en el campo de la Estadística. La información completa sobre la competición se puede encontrar en http://www.stat.auckland.ac.nz/~iase/islp/competition-second#competition_materials_2012_2013.

5. Síntesis

La evolución de la noción de alfabetización estadística ha sido paralela al desarrollo de las nociones de alfabetización cuantitativa, numeración y tecno-alfabetizaciones matemáticas, que permiten describir los conocimientos mínimos de los ciudadanos para poder intervenir de forma efectiva la sociedad de cada momento. Estas definiciones hacen referencia a los conocimientos del individuo dentro de un grupo o sociedad, y a su vez, al desarrollo del individuo desde su edad escolar hasta su edad adulta. La caracterización de estas nociones ha permitido distinguir la alfabetización estadística de los términos competencia estadística y cultura estadística. Detrás de su distinción subyace el uso que realiza de los datos estadísticos reales un individuo o un grupo social, permitiendo distinguir entre productores, consumidores y comunicadores de datos.

Cada uno de estos grupos tiene un peso específico en el ISLP, que nació para comprender las necesidades de numeración estadística y, que tiene como misión actual divulgar y promover la alfabetización estadística. Para ello, desde el ISLP se seleccionan aquellos recursos internacionales que sean un referente sobre como promover la alfabetización estadística. El profesorado puede acceder a una ingente cantidad de recursos sobre la noción de alfabetización estadística, las investigaciones llevadas a cabo, cuáles son las mejores prácticas y los materiales para su enseñanza, aprendizaje y para el desarrollo profesional del docente. Además, el ISLP organiza dos acciones para reconocer cuáles son las mejores prácticas que se desarrollan internacionalmente: el Mejor Proyecto de Cooperación y la Competición de Pósteres Estadísticos.

Bibliografía

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Ana Serradó Bayés, Colegio La Salle-Buen Consejo de Puerto Real (Cádiz), es doctora en Filosofía y Ciencias de la Educación. Profesora de Educación Secundaria y ponente, nacional e internacional, de cursos para la formación del profesorado, coordinadora de grupos de trabajo y formación de la Junta de Andalucía, coordinadora española del “International Statistical Literacy Project”. Sus líneas de investigación son: Tecnologías de Información y Comunicación, el Aprendizaje de la Estadística y el Aprendizaje de las Matemáticas a través de la lectura.



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Estadística en la Toma de Decisiones

M. Mercedes Suárez Rancel (Universidad de La Laguna. España)

Artículo solicitado a la autora por la revista

Resumen El objetivo de la aplicación de cualquier técnica estadística va a estar orientado siempre hacia la mejora del nivel de eficiencia en la toma de decisiones. En este sentido, una gestión óptima se caracterizará por una utilización racional y sensible de estos recursos, tanto económicos como naturales será compatible con la maximización de beneficios.

Palabras clave Análisis de Datos, Estadística, Empresa-Universidad, Calidad, Cuadro de Mando.

Abstract The purpose of the application of any statistical technique will always be geared towards improving the level of efficiency in decision-making. In this sense, optimal management is characterized by a rational and sensible of these resources, both economic and natural will be compatible with profit maximization

Keywords Data Analysis, Statistics, Business-University, Quality, Balanced Scorecard.

1. Introducción

Mejorar la conexión entre la Empresa y la Universidad, sigue siendo un objetivo latente en nuestra sociedad. Existe en nuestro país un potencial de creatividad y conocimientos que no revierte en el empresariado. Más concretamente, la enumeración de funciones que un matemático-estadístico puede desarrollar en la empresa privada, es aún un trabajo más arduo. Es obvio, que la respuesta a estas funciones no se encuentra en un Manual de Calidad ni en procedimientos de Recursos Humanos donde se especifican los perfiles, las competencias y las habilidades de los trabajadores. La empresa y los headhunters desconocen totalmente las capacidades del perfil. El sentimiento empresarial inicial, está basado casi en exclusividad en prejuicios sobre los matemáticos-estadísticos, donde, como alegóricamente relata Pestano (2001):

“Las matemáticas creen que si la realidad no se adapta a sus hipótesis y ecuaciones, pues peor para ella”.

Por otro lado, la visión eminentemente cuantitativa de los estadísticos se ve reflejada en su conceptualización de la economía especulativa residual, según Pulido (2000):

“en el sentido de que todo análisis que no siga procedimientos matemáticos, que no emplee el análisis estadístico, o no se base en otros tipos de información empírica recogida, puede considerarse como especulativo”

Estadística en la Toma de Decisiones M. M. Suárez Rancel


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Ambas posturas han hecho que el encuentro colaborativo entre Empresa-Universidad sea un tema sometido, en nuestros Sistemas de Gestión de Calidad, al ámbito de los objetivos ante la Mejora Continua.

Sin embargo, más allá de las hipótesis y teoremas, una mente matemático-estadística, no sólo nos induce a establecer nuevas modelizaciones en la resolución de problemas. Simplemente establece una nueva forma de pensar y como consecuencia, proporciona un lenguaje más conciso y preciso, agilizando el razonamiento y obligándonos a formular las hipótesis implícitas para la toma de decisiones, de forma lógica sin contradicciones.

La finalidad de este artículo es comunicar, que no sólo se puede elaborar una lista interminable de tareas específicas, sino que prácticamente podemos estar presentes en toda Toma de Decisiones de forma eficaz.

”Si uno pregunta la solución de un problema, el conocimiento no permanece. Es como si uno lo hubiera pedido prestado. En cambio, si lo piensa uno, es como haberlo adquirido para siempre”. Paenza, (2011)

Para ello destacaría cuatro puntos fuertes de un matemático-estadístico: la búsqueda de la verdad, la objetividad en la toma de decisiones, la resolución de problemas y en contra de lo preestablecido: la intuición.

La revista Fortune (n.6, 1996), publicaba: “El informe Education Industry Report de St. Cloud, Minnesota, presentó un índice de utilidades de 15 compañías que están buscando, de manera agresiva, empleados que puedan manejar datos y aplicar el pensamiento analítico y estadístico básico a problemas empresariales comunes. Se comparó el Índice de Evaluación de Alerta en el Manejo de Datos (DMAA) con el Índice de la Asociación Nacional de Cotizaciones Automatizadas de Agentes de Bolsa (NASDAQ). Los resultados son evidentes. Los rendimientos de las empresas que contratan gente que posee conocimientos básicos en estadística sobrepasan los de empresas que no lo hacen. Existe un reconocimiento, por parte de un número creciente de negocios, de la necesidad que tienen los gerentes efectivos de tener conocimientos estadísticos....”

En este artículo, se enumerarán algunas tareas concretas que los estadísticos están o han estado desarrollando en nuestras empresas canarias como son: Análisis de Datos en la Toma de Decisiones (Cuadro de Mando), Análisis de Datos en los Sistemas de Gestión de Calidad y como consecuencia el Análisis de Datos dentro de la Satisfacción del Cliente.

2. El Análisis de Datos como Herramienta de Poder

El desconocimiento de los Métodos Estadísticos, y el hecho de que la manera más habitual de tener contacto con la estadística es a través de los medios de comunicación, hace que, Léon Walras, se refiriese a los que huyen del enfoque estadístico, bajo justificación de los aspectos no cuantificables de una ciencia social de la siguiente manera: Citado por Pulido (2000)

“En cuanto a aquellos que no saben nada de los Métodos Estadísticos, que no saben lo que quieren decir los Métodos Estadísticos y aún así han tomado la posición de que posiblemente no sirvan para elucidar principios económicos, dejemos que sigan repitiendo que “la libertad humana nunca puede expresarse en ecuaciones”. Sin embargo, No podrán impedir que la teoría de




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la determinación de precios bajo libre competencia se modelice estadísticamente”.

Es necesario dejar constancia del poder político y empresarial de los Métodos Estadísticos como herramienta y el desconocimiento de los mismos. En ese sentido, se evalúan las Mejoras Continuas de las empresas y los resultados de satisfacción con los sistemas políticos. Los Análisis de Datos sobre los resultados económicos de una empresa así como los Planes Estratégicos hacen que el desconocimiento de estos análisis puedan ser utilizados para expedientes de regulación de empleo, financiación y nuevas inversiones sin que los afectados puedan valorar la veracidad de los resultados emitidos. Este desconocimiento, hace que en un intervalo de 5 días, y ante el resultado de la ocupación y beneficio de nuestros hoteles tengamos resultados totalmente diferentes en todos y cada uno de nuestros periódicos.

Figura 1. El Día, 29 de Mayo del 2003

3. El Análisis de Datos y El Sistema de Gestión de Calidad

El Sistema de Gestión de Calidad, según la Iso 9001:2000 presenta la novedad de la importancia del Análisis de Datos dentro del mismo, y así lo contempla en los párrafos siguientes apartados:

Apartado 4.1. Requisitos generales: ”La organización debe realizar el seguimiento, la medición y el análisis de sus procesos”.

Apartado 5.4. Objetivos de la calidad: …”Los objetivos de la calidad deben ser medibles…”

Apartado 8. Medición, Análisis y Mejora. 8.4 Análisis de datos: …”la organización debe determinar, recopilar y analizar los datos apropiados….Esto debe incluir los datos generados del resultado del seguimiento y medición y de cualesquiera otras fuentes pertinentes



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Apartado 8. Medición, Análisis y Mejora. Apartado 8.2.1 Satisfacción del cliente:…”la organización debe realizar el seguimiento de la información relativa a la percepción del cliente”

Apartado 8. Medición, Análisis y Mejora. Apartado 8.4 Análisis de datos:…”la organización debe determinar, recopilar y analizar los datos apropiados….Esto debe incluir los datos generados del resultado del seguimiento y medición y de cualesquiera otras fuentes pertinente”.

Sin embargo, no es la única norma que así lo exige. La “Q” de Calidad Turística y el Modelo de Excelencia Europea EFQM también están basadas en resultados medibles. Estas normas, preveen medir, no sólo la satisfacción del cliente, sino también la satisfacción del personal , el impacto en la Sociedad, y los resultados económicos, por lo que el Análisis De Datos tiene aún mayor relevancia que en el Modelo ISO 9001:2000.

Los Sistemas de Gestión de Calidad están basados en ocho principios que cada modelo refleja posteriormente en forma de requisitos: Organización enfocada al Cliente, liderazgo, Participación del Personal, Enfoque a Procesos, Enfoque del Sistema hacia la Gestión, Mejora Continua, Enfoque Objetivo hacia la Toma de Decisiones y Relación mutuamente beneficiosa entre las partes interesadas. Cuatro de ellas están directamente relacionadas con el Análisis de Datos: Organización enfocada al Cliente, Mejora Continua y Enfoque Objetivo hacia la Toma de Decisiones. En todas ellas el protagonismo de la Estadística es notable, especialmente en la Organización enfocada al Cliente se hace imprescindible.

3.1. Organización Enfocada al Cliente

En momentos como los actuales, las empresas turísticas y más concretamente las hoteleras, se ven sometidas de forma continua a evaluaciones externas de su servicio, frecuentemente publicadas en numerosas páginas digitales y catálogos: encuestas de satisfacción, comentarios en redes sociales y portales de distribución, etc. Estas evaluaciones externas inciden en la capacidad de negociación del empresario con sus proveedores y clientes y, por definición, están desvinculadas de sus estrategias de mejora, por el desconocimiento del tratamiento multivariante de datos, así como la inexistencia de paquetes informáticos amigables, principalmente. Por ello, las empresas han de medir de forma objetiva e interna, no sólo las expectativas y percepciones de su cliente sino también las valoraciones y propuestas de mejora de su propio equipo humano. Esto les permitirá definir y objetivar su propio criterio acerca del valor que aporta a su empresa, fortaleciendo sus herramientas de negociación en los distintos canales de comercialización y, lo más importante, permitiéndoles anticipar o mejorar el tiempo de respuesta ante cualquier Reclamación. La importancia de estos análisis, directamente influyentes en el beneficio de las empresas, lleva a revisar y discutir, desde una perspectiva multidisciplinar, las estrategias de mejora desde la satisfacción, convirtiéndola en la protagonista en todos los briefings de seguimiento a lo largo del ejercicio, teniendo así repercusión directa en los beneficios de la empresa.

Ante este escenario, los métodos estadísticos, resuelven la detección de las variables influyentes en la Satisfacción del Cliente desde los clientes, empleados y proveedores, orientada a concienciar a la empresa de la relación entre satisfacción del cliente, la competitividad turística y del papel fundamental de los sistemas de información en la planificación estratégica. Para ello se propone implementar y abordar las herramientas de Resolución de Problemas como Ishikawa, Brainstorming, Focus Group, así como el análisis estadístico de los resultados obtenidos. Se diseña así, un cuestionario hecho a medida y adaptada a la situación actual de la empresa, donde la fiabilidad y validez de los métodos utilizados son imprescindibles en el análisis conjunto.




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4. El Cuadro de Mando y la Estadística

El Balanced Scorecard (Cuadro de Mando) ha sido uno de los instrumentos de gestión que más interés ha despertado en los últimos años, sin duda, por la necesidad que muchas organizaciones tienen de mejorar sus elementos de información y seguimiento de la estrategia. Uno de sus elementos es el mapa estratégico que, por otra parte, y desde un punto de vista de los elementos que un sistema de gestión estratégica debe tener, constituye su mayor aporte conceptual. Un mapa estratégico es un gráfico de relaciones causales entre objetivos estratégicos de una empresa o área de la empresa (Figura 2). Un mapa estratégico permite visualizar de forma rápida, resumida y fácilmente comprensible la estrategia del ámbito objeto de análisis. Igual problema puede tener el directivo que carece de información que el que tiene en exceso y, por ello, es incapaz de interpretar cómo ha de hacer su trabajo para alcanzar los objetivos de la organización. Un mapa estratégico obliga a concretar, a centrar el mensaje en lo fundamental, y ello, sin olvidar la idea principal de todo Balanced Scorecard: la necesidad de equilibrio entre objetivos financieros y no financieros (estos últimos agrupados en diferentes perspectivas). Un mapa estratégico: ayuda a detectar posibles inconsistencias entre objetivos, ayuda a detectar aspectos importantes que no han sido tenidos en cuenta en la planificación estratégica y pudieran requerir de objetivos estratégicos, permite comunicar la estrategia de forma más entendible a diferentes agentes relacionados con la organización a todos los niveles, y, como consecuencia de todo lo anterior, facilita la toma de decisiones alineadas con la estrategia.

Además, la elaboración del mapa estratégico de una organización proporciona un nada despreciable aprendizaje para la mayoría de personas involucradas en el proceso. En bastantes organizaciones el problema principal de comunicación no es vertical (de arriba hacia abajo o viceversa) sino horizontal, es decir, entre distintas divisiones o unidades de negocio que, lejos de seguir estrategias coordinadas y en una sola dirección, siguen estrategias diversas, dispersas y poco sinérgicas. La discusión e intercambio de opiniones de forma ordenada entre personas de alto nivel en la organización conlleva un mejor entendimiento de las distintas opciones o pensamientos y fomenta la necesidad de alcanzar un consenso sobre el enfoque que la organización ha de tener.

4.1. El contenido de los mapas estratégicos

El mapa estratégico de una unidad debe incluir los objetivos estratégicos fundamentales para las diferentes perspectivas definidas en el Balanced Scorecard. Las perspectivas, no tienen porqué ser las cuatro más comúnmente citadas (Financiera, Clientes, Procesos / Interna y Aprendizaje y crecimiento), sino aquellas que, dentro de respetar el concepto de equilibrar lo financiero y lo no financiero, incluyan los aspectos críticos para asegurar el cumplimiento de la estrategia a medio y largo plazo de la organización.

Ejemplos de posibles perspectivas diferenciadas en algunas organizaciones por su relevancia son Sociedad/Comunidad, Proveedores y Tecnología (como perspectiva separada de la de Aprendizaje y crecimiento.

Por tanto, el punto de partida es una lista de objetivos estratégicos definidos por la dirección y para los cuales también debe definirse antes, durante o después de la elaboración del mapa, la manera de medirlos (indicadores estratégicos).

Un objetivo es aquello que se quiere conseguir, mientras que un indicadores es la única forma de medirlo. Podemos querer mejorar las capacidades de nuestro personal (objetivo) y lo podemos medir a través de distintos indicadores, ninguno de ellos perfecto. Así por ejemplo, podemos medir la mejora de capacidades a través de un indicador de esfuerzo como las horas dedicadas a esa formación o por un indicador de resultado como puede ser el crecimiento de ventas o la evaluación que otras



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personas de la compañía hagan sobre esa mejora de las capacidades. Es por ello que muchas organizaciones optan por medir determinados objetivos a través de más de un indicador (Tabla 1) y realizar un Análisis de Datos sobre los mismos.

Otras organizaciones optan, sin embargo, por elaborar mapas estratégicos de indicadores (Tabla1) (en vez de mapas de objetivos). La causa, en ocasiones, es no entender la distinción entre objetivos e indicadores. Otras veces es creer que hablar sólo de indicadores es más comprensible para las personas a las cuales se quiere comunicar. El proceso de elaboración de un mapa estratégico conlleva, habitualmente, (i) la agrupación de un conjunto amplio de objetivos, (ii) la priorización de otros por la vía de pasar algunos objetivos a un segundo nivel o a otros mapas estratégicos, y (iii) la necesidad de pensar en nuevos objetivos estratégicos, tras observar la no existencia de algunos objetivos necesarios para la consecución de otros. En cualquier caso es importante entender que un mapa estratégico significa optar por determinados objetivos por lo que debe incluir, un número manejable de objetivos estratégicos debidamente analizados.

Figura 2. Ejemplo de Cuadro de Mando

Tabla 1. Ejemplo de objetivos e indicadores estratégicos




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4.2. Alineación de Personas y el Análisis de Datos

Es un Modelo de negocio que ayuda a las organizaciones a transformar la Estrategia en objetivos operativos, de forma que se potencie la consecución de Resultados de negocio a través del Alineamiento Estratégico de los Comportamientos de las Personas clave de la compañía. “Si queremos implantar la estrategia, ésta debe ser transferida desde el equipo directivo a toda la organización, es decir, desde los miembros de la compañía responsables de definirla, hasta aquellos capaces de implantarla en su trabajo diario” (Kaplan y Norton (2009)). Por ello, profesionales que conozcan el Análisis de los Datos realizados en su naturaleza y no sólo los resultados se hacen imprescindibles para la comunicación de los mismos.

El protagonismo de tales profesionales hace que los Planes de Acción sean considerados como “sagrados” en las empresas una vez diseñados y se basen todas las decisiones empresariales en el Análisis de Datos Objetivo. Esto hace que la comunicación horizontal sea efectiva.

5. Síntesis

El protagonismo notable del Análisis de Datos en el sector empresarial se incrementa en las épocas de crisis económicas. La predicción exhaustiva de los indicadores de rentabilidad cobran una notable importancia, dado que los márgenes de beneficio se estrechan hasta medidas insospechadas. Por ello, para los empresarios es fundamental contar con mentes analíticas, que sepan utilizar las herramientas de mejora necesarias para el logro de tales objetivos. Entre dichas herramientas, y en contra de la poca popularidad de los mismos, por su desconocimiento; están los Sistemas de Gestión de Calidad. Estos sistemas que proporcionan una gestión ordenada y regulada que ayuda a la obtención de los indicadores establecidos. Dentro de estos sistemas la Satisfacción del Cliente juega un papel crucial, donde los Modelos Estadísticos Multivariantes se hacen imprescindibles. De la misma forma, el Cuadro de Mando y la gestión de los Recursos Humanos, son áreas donde los estadísticos pueden tener una presencia notable y productiva.

Estos ejemplos, simplemente muestran una pincelada de lo que un Estadístico puede realizar en una empresa. En el momento en que, la empresa y los propios estadísticos sean conscientes, de las sinergias que comparten, el abanico de posibilidades crecerá de forma exponencial. Es obvio, que el encuentro no será fácil. Más aún, si tenemos en cuenta, que medidores de la realidad de forma objetiva, siguen siendo profesionales incómodos para el sector empresarial y político. El escudarse en realizar un análisis exclusivamente cualitativo, lleva a la utilización de resultados claramente sesgado a los intereses de quién los utiliza.

El uso de paquetes informáticos unido al desconocimiento de los Métodos Estadísticos, hace que las conclusiones sean, en la mayoría de los casos, incoherentes y poco fiables. Todo ello hace que se produzca la desconfianza y el alejamiento progresivo de nuestros empresarios.

Como conclusión, seamos rigurosos e independientes como Analistas de Datos con el fin de que el acercamiento Empresa-Universidad sea cada vez mayor. Por otro lado, los empresarios deben aceptar los planes de acción como “sagrados” permitiendo que los asesores independientes hagan su trabajo. La formación de nuestros profesionales en Métodos Estadísticos y la colaboración con investigadores y especialistas en el tema son trabajos futuros que hoy como nunca necesitamos desarrollar.



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Bibliografía

Kaplan y Norton (2009). El Cuadro de Mando Integral: Balanced Scoreboard. Barcelona, Grupo Planeta, (versión inglesa: The Balanced Scorecard: Translating strategy into action. 1996. Harvard Business Press).

Norma UNE 66176 (2005). Sistemas de gestión de la calidad. Guía para la medición, seguimiento y análisis de la satisfacción del cliente. AENOR.

Paenza, A. (2011). ¿Cómo, esto también es matemática? Editorial Sudamericana. Parasuraman, A.; Zeithaml, V. A. Y Berry, L. L. (1988). SERVQUAL: A Multiple-Item Scale for

Measuring Consumer Perceptions of Service Quality”. Journal of Retailing, 64, 12-40. Pestano, C. (2001). Reflexiones sobre las matemáticas y su papel en la economía. Actas de las IX

Jornadas de la Asociación Española de Profesores de Matemáticas Universitarias para la Economía y la Empresa, pp. 11.

Pulido, A. (2000). Posibilidades y limitaciones de las matemáticas en la economía. En Matemática, Ciencia y Sociedad, Secretariado de Public. e Intercambio Editorial UVA, pp. 146.

Suárez Rancel, M.M. (2012). Análisis de Datos para Medir la Satisfacción de Clientes en el Sector Hotelero como base para la recomendación y recurrencia de compra. Congreso AECIT.

Vavra, T.G. (1997). Statistics Improving Your Measurement of Customer Satitisfaction. ASQ Qualiy Press.

Zeithaml, V.A. Parasuraman, A. y Berry. L.L. (1990). Delivering Quality Service: Balancing Customer Preceptions and Expectations. New York: The Free Press.

M. Mercedes Suárez Rancel, Profesora Titular de la Universidad de La Laguna (España) Doctora en Ciencias Matemáticas y analista de datos para numerosos estudios de empresas canarias. Sus líneas de investigación son: Implementación de sistemas de calidad (auditora interna y 15 años de experiencia en implementación), análisis de datos multivariantes, análisis de satisfacción de clientes como herramienta de mejora, fijación de precios de los servicios/producto prestados, estudios de mercado, cuadro de mando y Análisis de Datos dentro de las Ciencias de la Salud.



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Elementos de interés en la investigación didáctica y enseñanza de la dispersión estadística

Antonio Estepa Castro (Universidad de Jaén. España) Jesús del Pino Ruiz (Universidad de Jaén. España)


Resumen Uno de los puntos débiles del actual currículo de secundaria en Matemáticas es la enseñanza de la dispersión. Son varios los motivos que ocasionan esta debilidad. En este trabajo se analizarán brevemente algunas investigaciones que nos ayudarán en el aula y en la investigación a mejorar la comprensión de un concepto complejo como es la dispersión. Se indica la importancia de la dispersión en Estadística. Se comprueba que el concepto de dispersión no se incluye en los curricula oficiales, se analiza el significado de la noción de dispersión y se ejemplifica el desarrollo histórico mediante el devenir a lo largo de la historia de las leyes del error. Finalizamos con unas conclusiones válidas para la enseñanza y la investigación.

Palabras clave Dispersión, variación, variabilidad, curriculum, leyes del error.

Abstract One of the weaknesses of the current Mathematics secondary curriculum is teaching dispersion. There are several reasons that cause this weakness. In this paper we briefly discuss some research that they will help to us in the classroom and in research to improve understanding the dispersion complex concept. We indicate the importance of the dispersion in Statistics. We have found that the concept of dispersion is not included in the official curricula, we analyze the meaning of the notion of dispersion and a historical development is exemplified by the evolution along the history of the law of error. We end with our conclusions for teaching and research.

Keywords Dispersion, variation, variability, curriculum, laws of the errors.

1. Introducción

Un tema crucial en el estudio de la Estadística es la comprensión de la noción de dispersión. Ya que en muchos sentidos, la Estadística es la ciencia de la variación, puesto que la estudia, modela, calcula, representa, interpreta y analiza (MacGillivray, 2004). Además aparece por todas partes, varían los datos, las muestras y las distribuciones. Frecuentemente, una parte importante del análisis estadístico es analizar la relativa contribución y localización de las fuentes de variación (Shaughnessy, 2007).

La dispersión es un concepto estrechamente ligado a los conceptos de variable e incertidumbre. Frecuentemente se considera como una medida de la desviación de los datos respecto a una medida de tendencia central. Aunque la medida de la dispersión sea un elemento importante en el análisis de datos, la dispersión en Estadística comprende más que una sola medida. En el estudio de la dispersión

Elementos de interés en la investigación didáctica y enseñanza de la dispersión estadística A. Estepa Castro y J. del Pino Ruiz


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se debe considerar no solamente su significado (concepto) o cómo se utiliza como herramienta, sino que también hay que considerarla en el contexto de los datos (Makar y Confrey, 2005), ya que, los datos no son sólo números, son números con un contexto (Cobb y Moore, 1997, p. 801).

A lo largo de este trabajo veremos que la noción de dispersión no se estudia en los curricula oficiales (sección 2). Los libros de texto no suelen incluir un tema o una sección donde se estudie la noción de dispersión, definición y terminología, en las secciones 3 y 4 discutiremos lo que hemos encontrado al respecto en la bibliografía consultada. La dispersión tiene un origen diverso, comprender sus fuentes ayuda al dominio de los métodos estadístico, en la sección 5 analizaremos las fuentes de dispersión.

La dispersión la percibió el ser humano desde los primeros tiempos y la problematizó cuando hizo sus primeros cálculos hace 2300 años en problemas astronómicos. En efecto, los babilonios entre los años 500 y 300 a. C. desarrollaron una teoría matemática para estudiar los movimientos del sol, la luna y los planetas (Plackett, 1978). La Historia de la Matemática tiene un gran interés tanto desde el punto de vista de la enseñanza de los conceptos matemáticos como desde el punto de vista de la investigación didáctica, además, en la mayoría de los estudios estadísticos la consideración de las medidas de tendencia central obliga a la consideración de la dispersión, por otra parte, la dispersión, aunque aparentemente nos pueda parecer un concepto fácil, es muy difícil de construir por el individuo y como ejemplo de tal aseveración analizamos y discutimos la evolución histórica de las leyes del error que tanto fruto dio al desarrollo de la Estadística y, en consecuencia, su conocimiento puede ser rentable desde el punto de vista de la enseñanza y de la investigación didáctica.

Por último, finalizamos con unas conclusiones sobre el trabajo realizado.

2. La dispersión y los currícula no universitarios

Un primer análisis que debemos hacer, si pretendemos realizar investigación didáctica, o bien, si queremos centrarnos en la aplicación en las aulas de las investigaciones didácticas sobre la dispersión, es dónde, cuándo y qué nociones relacionadas con la dispersión aparecen en los currícula actuales.

El Real Decreto 1631/2006, que establece las enseñanzas mínimas correspondientes a la Enseñanza Secundaria Obligatoria (ESO), en su descripción de la asignatura de matemáticas dice sobre la estadística

“Debido a su presencia en los medios de comunicación y el uso que de ella hacen las diferentes materias, la estadística tiene en la actualidad una gran importancia y su estudio ha de capacitar a los estudiantes para analizar de forma crítica las presentaciones falaces, interpretaciones sesgadas y abusos que a veces contiene la información de naturaleza estadística.” (RD 1631/2006, p. 751)

El Real Decreto (RD) reconoce la importancia de la Estadística en la sociedad actual, tanto en el mundo social como en el académico, destacando que su estudio capacita al futuro ciudadano para entender el mundo en el que vive, ofreciéndole herramientas para obtener una información veraz que pueda convertir en conocimiento útil para la vida democrática, en consecuencia, la formación estadística es fundamental para el futuro ciudadano.

Un hecho a destacar es el énfasis que hace le RD en esta cita (y en las que presentemos después) en el análisis crítico de las presentaciones, interpretaciones y abusos que algunas veces se hace al




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ofrecer información estadística tendenciosa, con el fin de transmitir una información que no se corresponde con la que realmente contiene el estudio estadístico en cuestión. En efecto, algunas veces, al ofrecer resultados estadísticos, dichos resultados se pueden presentar o interpretar de manera tendenciosa, obteniendo unas conclusiones que “beneficien” al autor o a las ideas que defienda, pero que no son propias de los resultados tratados. Una persona formada estadísticamente, puede detectar dicha presentación o interpretación tendenciosa, pero una persona no bien formada estadísticamente, en muchas ocasiones, es incapaz de detectarla, en consecuencia, el Real Decreto hace hincapié en que los estudiantes adquieran la capacidad del análisis crítico de las presentaciones e interpretaciones estadísticas. Algunas veces puede aparecer este fenómeno cuando se toman medias sin tener en cuenta la dispersión y los valores atípicos. En los medios de comunicación social cuando se utiliza la media para dar una información casi nunca va acompañada de la desviación típica correspondiente o alguna otra medida de dispersión como sería necesario.

Centrándonos en el tema que nos ocupa, observamos que en el mismo Real Decreto, en los bloques de contenidos, nos encontramos con que la dispersión no comienza a tratarse hasta el tercer curso de la ESO.

“Bloque 6. Estadística y probabilidad. “Media, moda, cuartiles y mediana. Significado, cálculo y aplicaciones. Análisis de la dispersión: rango y desviación típica. Interpretación conjunta de la media y la desviación típica. Utilización de las medidas de centralización y dispersión para realizar comparaciones y valoraciones. Actitud crítica ante la información de índole estadística.” (RD 1631/2006, p.756)

Podemos ver que en el tercer curso se realiza una pequeña introducción y tan sólo se trabajan, en principio, dos medidas de dispersión: el rango y la desviación típica. Se inicia a los estudiantes en el uso conjuntamente de la media y la desviación típica y se vuelve a enfatizar la actitud crítica ante la información estadística.

Y en el cuarto curso de ESO nos encontramos, para la opción A.

“Bloque 6. Estadística y probabilidad. Gráficas estadísticas: gráficas múltiples, diagramas de caja. Uso de la hoja de cálculo. Utilización de las medidas de centralización y dispersión para realizar comparaciones y valoraciones.” (RD 1631/2006, p. 758)

Y para la opción B.

“Bloque 6. Estadística y probabilidad. Gráficas estadísticas: gráficas múltiples, diagramas de caja. Análisis crítico de tablas y gráficas estadísticas en los medios de comunicación. Detección de falacias. Representatividad de una distribución por su media y desviación típica o por otras medidas ante la presencia de descentralizaciones, asimetrías y valores atípicos. Valoración de la mejor representatividad en función de la existencia o no de valores atípicos. Utilización de las medidas de centralización y dispersión para realizar comparaciones y valoraciones.” (RD 1631/2006, p. 759)

En cuarto, para la opción A, se introduce el gráfico de caja y las medidas de dispersión para comparar y valorar (distribuciones de datos). La opción B, mucho más completa, se trabaja el análisis de otras medidas de dispersión y su significado (descentralizaciones, asimetrías, valores atípicos, ...) y



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la representatividad de los datos por su media y desviación típica, distinguiendo cuando estas se pueden utilizar de cuando no se deben utilizar por la existencia de descentralizaciones, asimetrías y valores atípicos. También se recomienda realizar valoraciones de la mejor representatividad en función de la existencia o no de valores atípicos. También aconseja el uso de las medidas de centro y dispersión para realizar valoraciones y comparaciones. Por último observemos que hace hincapié en la actitud crítica ante la información estadística cuando habla de detección de falacias.

En esta primera aproximación al currículo apreciamos ya varios defectos que comentaremos más profundamente en las conclusiones, como son el estudio tardío de la dispersión, la diferencia entre las opciones A y B en cuarto o que el bloque de estadística sea el bloque 6, el último, que en la práctica se traduce en que no hay tiempo para tratarlo o se hace de manera rápida por la escasez de tiempo, en consecuencia este hecho no es una cuestión baladí.

El Real Decreto es concretado por las diferentes órdenes para las comunidades autonómicas, a título de ejemplo, especificamos la de Andalucía, que se concreta a través de la Orden de 10 de Agosto de 2007 (B.O.J.A. del 20/08//2007), en el que a pesar de que a la hora de introducir la relevancia de la materia dice “la estadística y la probabilidad también están presentes hoy día en las diferentes materias, así como en los medios de comunicación, en los que aparecen datos que es necesario interpretar.” (B.O.J.A. (2007), p. 55) luego no suplementa lo que dice el Real Decreto y se queda en un breve:

“el desarrollo gradual comenzará, en los primeros cursos, por las técnicas para la recogida, organización y representación de los datos a través de las distintas opciones como tablas o diagramas, para continuar, en cursos sucesivos, con los procesos para la obtención de medidas de centralización y de dispersión que les permitan realizar un primer análisis de los datos.” (BOJA- 20/08//2007, p. 56)

Debemos tener en cuenta que esto es todo lo que se trabaja la dispersión en la etapa obligatoria, que debería formar al alumno suficientemente para la vida diaria (contribuyendo al desarrollo de la “competencia matemática”.)

Si subimos el nivel y vemos el currículo de la etapa post-obligatoria, en este caso, el bachillerato, descubrimos con asombro que en las matemáticas de ciencias no se abordan las nociones relacionadas con la dispersión en los bloques de estadística, tan sólo se abordan en las matemáticas aplicadas a las ciencias sociales, en las matemáticas de 1er curso de bachillerato tenemos:

“3. Probabilidad y estadística: Estadística descriptiva unidimensional. Tipos de variables. Métodos estadísticos. Tablas y gráficos. Parámetros estadísticos de localización, de dispersión y de posición.” (RD 1467/2007, p. 45475)

Y en las de 2º curso de bachillerato:

“3. probabilidad y estadística: Problemas relacionados con la elección de las muestras. Condiciones de representatividad. Parámetros de una población. Distribuciones de probabilidad de las medias y proporciones muestrales. Intervalo de confianza para el parámetro p de una distribución binomial y para la media de una distribución normal de desviación típica conocida. Contraste de hipótesis para la proporción de una distribución binomial y para la media o diferencias de medias de distribuciones normales con desviación típica conocida.” (RD 1467/2007, p. 45476)




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En este último curso, para los estudiantes que han elegido la vía de las ciencias sociales, se profundiza en la dispersión y se abordan problemas de muestreo y de distribuciones, pero para los demás niveles no.

Así pues a modo de resumen las nociones relativas a la dispersión abordadas en los currícula en la etapa obligatoria son:

• Medidas de dispersión en un conjunto de datos. • Interpretación conjunta de la media y la desviación típica. • Comparación de conjuntos de datos utilizando la media y la desviación típica. • Diagrama de caja. • Representatividad de una distribución por su media y desviación típica o por otras

medidas ante la presencia de descentralizaciones, asimetrías y valores atípicos. Valoración de la mejor representatividad en función de la existencia o no de valores atípicos.

Y en la etapa post-obligatoria (preparatoria para la universidad):

• Parámetros del muestreo. • Distribuciones de probabilidad. • Contraste de hipótesis.

3. La noción de dispersión ausente de los curricula

Como se puede observar en la sección anterior, los currícula oficiales no incluyen la noción de dispersión como objeto de estudio, solamente aparece el estudio de las medidas de dispersión en sí, pero la noción de dispersión brilla por su ausencia. El hecho de que alguna noción importante no se incluya en los curricula es un fenómeno didáctico que suele darse en las disposiciones oficiales. Por ejemplo, las nociones de conteo y de magnitud no han aparecido en los currícula oficiales hasta las últimas reformas.

El mismo caso es el de dispersión, en los curricula y en los libros de texto aparecen las medidas de dispersión, pero no suele aparecer la noción de dispersión como tal, parece ser que es una noción tan fácil, tan transparente, que se adquiere de manera espontánea y, en consecuencia, no es necesario dedicarle un tiempo a su estudio y clarificación, así lo expresan Makar y Confrey, (2005, p. 28) “En la mayoría de los estudios de investigación la expresión "variación" se le atribuye un significado evidente, es decir de sentido común, y se deja sin definir” . Muy pocos libros incluyen una definición para la dispersión.

Veremos a lo largo de ese trabajo que dicha noción no es tan fácil ni se adquiere de manera espontánea, además dicha noción impregna todos los contenidos estadísticos y es la esencia de la misma Estadística, si no existiese la dispersión no existiría la Estadística, ya que no sería necesaria. Su estudio es necesario desde el primer momento, ya que, “Cualquier curso introductorio (de Estadística) debe tener como principal objetivo ayudar a los estudiantes a aprender los fundamentos del pensamiento estadístico. Esto incluye la necesidad de datos, la importancia de la producción de datos, la omnipresencia de la variabilidad, la cuantificación y la explicación de la variabilidad” (Cobb y Moore, 1997, p. 815, -el subrayado es nuestro-).

El hecho de que la dispersión no aparezca en los currícula no quiere decir que no se comience el estudio de dicha noción hasta que aparecen las medidas de dispersión, es decir, hasta Educación



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Secundaria, sino que se debe comenzar el estudio de dicha noción desde la escuela elemental, hecho que se desprende, por ejemplo, de la anterior cita de Cobb y Moore (1997)

Así pues, partiendo de los currícula actuales, vamos a analizar y discutir la noción de dispersión y sus fuentes, terminado con un análisis histórico de la ley del error, en el que se particulariza un enfoque del nacimiento y conformación de la noción de dispersión.

4. La noción de dispersión1

4.1. Términos utilizados

En inglés, nos encontramos cuatro términos para referirse a la noción de dispersión: “dispersion” (dispersión), “variation” (variación), “variability” (variabilidad) y “spread”. Esta última es una palabra polisémicas que tiene significado como nombre y como verbo. Como nombre significa: propagación, extensión, envergadura, expansión, … Y como verbo: extender, exponer, untar, cubrir, poner, llenar, espaciar, propagar, difundir, esparcirse, extenderse, untarse, propagarse, expandirse, derramarse, … (Garcia Pelayo, R, 1993). Algunos autores, como por ejemplo, Kaplan, Rogness, y Fisher, (2011) recomienda no utilizar la palabra “spread” para referirse a la dispersión, debido a su polisemia, ya que han detectado que produce dificultades en los niveles elementales de enseñanza. Estos autores aconsejan utilizar las palabras que consideran sinónimas “variability” o “dispersion”.

Reading y Shaughnessy (2004) apuntan que, según varios diccionarios consultados “variation” es un nombre usado para describir el acto de variar o cambiar una condición y “variability” es un nombre derivado del adjetivo “variable” y significa que algo es apto o propenso a variar o cambiar, concretando que, aunque muchos autores “variation” y “variability” los utilizan como términos sinónimos, ellos los utilizan con un sentido diferente, siendo el significado de “variability” una característica (propensa a variar) de una entidad observable y el significado de “variation” la descripción o medida de esa característica. Garfield et al. (2008) apuntan que la distinción entre variabilidad y variación, no se ha acordado aún en la comunidad de Educación Estadística. Autores posteriores como Peters (2011) usan los términos “variation” y “variability” como intercambiables.

En la inmensa mayoría de la literatura estadística en inglés las palabras “dispersion”, “variation”, “ variability” y “ spread” se toman como sinónimas a lo que en castellano entendemos por dispersión. En lo que sigue las tomaremos como sinónimas, las palabras dispersión, variación y variabilidad, salvo que se indique lo contrario.

En España, como hemos visto, en los currícula oficiales solamente aparece la palabra dispersión, generalmente ligada a su medida, así la expresión “medidas de dispersión” la encontramos en currícula y libros de texto. En los últimos tiempos, probablemente influenciado por la literatura anglosajona, comienzan a aparecer las palabras variación y variabilidad en libros de texto y literatura relacionada en castellano, como sinónimos de dispersión.

4.2. La noción de dispersión

En la literatura que hemos revisado hemos encontrado algunas definiciones de dispersión que analizaremos en los siguientes párrafos

1 Utilizamos la palabra “dispersión” en lugar de “variación” o “variabilidad” porque es la más utilizada en castellano en la expresión “medidas de dispersión”




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“Usamos la palabra variabilidad para describir una situación en la cual las observaciones o las medidas deberían ser las mismas, pero no lo son” (Phatak y Robinson,2005, p. 1). Esta primera definición enfatiza el hecho mismo de la variabilidad en la medida, la variabilidad existe porque existen errores en las medidas u observaciones. Como veremos en la sección 6 la problematización de estos errores en la medida dio lugar al estudio de la ley del error, tan fecunda en Estadística.

Una primera definición sería la siguiente: “En palabras sencillas, variación es la cualidad de una entidad (una variable) para variar, incluyendo variación debida a la incertidumbre” (Makar y Confrey, 2005, p. 28). Nos dice el hecho de variar. Esta definición de variación es lo que Reading y Shaughnessy (2004) entienden por variabilidad.

“A la mayor o menor separación de los valores respecto a otro, que se pretende que sea su síntesis, se le llama dispersión o variabilidad”. (Martín-Guzmán y Martín Pliego, 1985, p. 57). Aquí se entiende la dispersión como la separación de los valores de un valor de tendencia central. Esta definición de dispersión o variabilidad es lo que Reading y Shaughnessy (2004) entienden por variación.

Vemos en estas definiciones que los significados dados a variabilidad y variación no concuerdan con la distinción de Reading y Shaughnessy (2004), en consecuencia, por eso hemos afirmado unas líneas más arriba que Garfield et al. (2008) apuntan que la distinción entre variabilidad y variación, no se ha acordado aún en la comunidad de Educación Estadística.

Generalmente en los curricula solo aparecen las medidas de dispersión, pero aunque la medida de la dispersión es una herramienta muy importante en el análisis de datos, cuando consideramos la dispersión debemos tener en cuenta:

a) el concepto de dispersión, su definición, saber explicar en qué cosiste; b) su uso, sobre todo cuando se mide, las técnicas matemáticas asociadas a la medida de la

dispersión; c) el propósito que pretendemos con la dispersión, su utilidad dentro de un contexto, las

fuentes de dispersión (Makar y Confrey, 2005).

La dispersión es la esencia de la Estadística, porque sin dispersión no hay necesidad de investigación estadística (Moore, 1990). La dispersión tiene un significado cercano a los conceptos de variable e incertidumbre, porque si hay variabilidad, vivimos en la incertidumbre y, si algo no está determinado o es cierto, hay variabilidad (Bakker, 2004). Mañana sabemos que amanece a una hora determinada, pero no estamos seguros si lucirá el sol o no.

5. Fuentes de dispersión

Son muchas las fuentes de la dispersión, aquí consideraremos las siguientes: la medida, la naturaleza, dispersión inducida, dispersión en el muestro (Franklin et al., 2005).

5.1 Dispersión en la medida

Cuando realizamos medidas repetidas sobre un mismo ítem observamos que las diversas medidas no son iguales varían de una vez a otra, esto es debido a varias causas, entre otras, a que el instrumento de medida no es muy fiable o adecuado (medir las dimensiones del aula con un doble decímetro), o bien, que el sistema donde se hace la medida está en constante cambio. Para este segundo caso podemos poner como ejemplo la medida de la presión sanguínea, aunque el instrumento



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de medida sea preciso, la presión cambia en un instante. En palabras de Jessica M. Utts: “En resumen, la variabilidad en las mediciones puede ocurrir por tres razones al menos. En primer lugar, las mediciones son imprecisas, y por lo tanto el error de medición es una fuente de variabilidad. En segundo lugar, existe una variabilidad natural a través de las personas en cualquier momento dado. Y en tercer lugar, a menudo existe una variabilidad natural en una característica de la misma persona a través del tiempo”. (Utts, pp.50). De estas palabras se deduce la importancia de la dispersión natural que comentamos a continuación.

5.2 Dispersión en la Naturaleza

La dispersión es inherente a la Naturaleza. La comprensión de la dispersión natural es requisito imprescindible para comprender algunos métodos estadísticos modernos. Si tomamos medidas sobre seres naturales de una misma especie encontramos diferencias, debido a que los individuos son diferentes (los estudiantes de una misma clase no tienen el mismo peso o la misma altura; las semillas de una bolsa no pesan todas los mismo, etc.). En estos ejemplos vemos que la dispersión se puede dar dentro de un grupo y entre grupos distintos de la misma especie. Esta distinción es importante en Estadística. Algunas veces encontramos patrones de la variación existente y buscamos maneras de trabajar sobre ella, tal es el caso de las tallas de la ropa o el número del calzado (Wild y Pfannkuch, 1999). También es útil aprender a distinguir las diferencias debidas a la dispersión natural de la dispersión inducida por características que podemos definir, aplicar, medir y posiblemente manipular.

5.3. Dispersión inducida

Si plantamos un kilogramo de las mismas semillas en diferentes climas obtendremos resultados diferentes. La variabilidad de los resultados será debida a la variabilidad natural de las semillas, pero también a la variabilidad inducida por el clima, en un tipo de clima obtendremos mejores o peores resultados que en otro. Si el clima es el mismo y utilizamos distinto fertilizante, se obtendrá variabilidad inducida por el fertilizante. La comparación de la variabilidad natural con la variabilidad inducida por otros factores está en la esencia de la estadística moderna, por ejemplo, es el caso de los estudios de la efectividad de los medicamentos.

5.4. Dispersión en el muestreo

Si se toman diferentes muestras de una misma población, estas varían entre sí. Si se utiliza una adecuada técnica de muestreo y un tamaño de muestra suficiente la muestra se asemeja a la población.

6. Leyes del error

En Estepa et al. (2012) se esbozan algunas ideas sobre el interés de la Historia de las Matemáticas como fuente importante tanto para la investigación didáctica como para la enseñanza de las Matemáticas. En cuanto a la investigación la Historia nos sirve para perfilar la epistemología de los saberes matemáticos, ya que nos cuenta cómo aparecieron, se conformaron, devinieron y llegaron al estado actual las nociones y conceptos matemáticos. En cuanto a la enseñanza, la Historia puede ser útil, pues podemos tomar de ella las situaciones que comenzaron a dar sentido a las nociones matemáticas, además como prueba de su interés en la enseñanza, los curricula actuales aconsejan su uso en la planificación de las enseñanzas.

Hemos visto en la sección 5.1 que en muchas ocasiones hay necesidad de tomar datos de medidas u observaciones sobre hechos o fenómenos. Se observa que aunque las medidas u




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observaciones se realicen en las mismas condiciones, con los mismos aparatos e independientemente, no siempre se obtienen idénticos resultados, es lógico pensar que exista un valor verdadero único para la medida u observación que estemos realizando. La estimación de este valor verdadero ha sido un problema al que eminentes científicos se han enfrentado ofreciendo sus soluciones. En este problema se acomete el estudio de la variabilidad y lo analizaremos desde este punto de vista. El estudio de la variabilidad de un conjunto de datos u observaciones es un problema difícil, al que grandes matemáticos, tardaron, tiempo y varios intentos hasta darle solución. Hoy pretendemos que los estudiantes aprendan todo esto en unos pocos días o semanas.

El uso de la dispersión casi siempre va unido a una medida de centro, en consecuencia, para estudiar su consideración, primeras aproximaciones y evolución del concepto de dispersión y nociones cercanas, hemos creído de interés estudiar y discutir la conformación y devenir de las ley del error, que tanto fruto ha dado dentro del desarrollo de la Estadística. Además, el modelo de la medida del error es un modelo de dos parámetros, uno de localización, el verdadero valor, y un parámetro de escala, dispersión, que puede ser conocido (Hald, 1998, p. 34). Otra razón por la que hemos incluido las leyes del error es porque “El razonamiento acerca de la variación del error puede proporcionar una base razonable para la instrucción” (Petrosino, Lehrer, y Schauble, 2003, p. 132).

La estimación del verdadero valor de una medida a partir de varias mediciones realizadas, históricamente aparece en la Astronomía. Esta ciencia llamó la atención de los hombres desde los primeros tiempos. Ya en Babilonia, siglos antes del nacimiento de Cristo se llevaban a cabo estudios sobre los cuerpos celestes. En muchos estudios astronómicos se realizan observaciones y mediciones obteniendo una serie de datos empíricos que no suelen ser coincidentes, cuando teóricamente deberían serlo, es decir la medida o la observación sobre un mismo hecho debería ser igual a su verdadero valor cada vez que se tome. Como esto no es así, se denomina error de una observación o una medida a la “diferencia entre el valor observado y el verdadero valor del fenómeno considerado” (Hald, 1998, pp. 33).

La estimación de la máxima variación en la duración de un año en ¾ de día la realiza Hiparco (190-120 a. C.) tomando la mitad del rango de sus observaciones (Plackett, 1978).

Aunque científicos musulmanes estimaban el verdadero valor calculando el punto medio del recorrido o rango, parece ser que hasta la última mitad del siglo XVI, la práctica habitual para seleccionar una medida como representante de un conjunto de mediciones, era tomar la que se creía mejor medida, basándose en criterios como: lo ha dicho una persona con autoridad, se ha obtenido bajo ciertas condiciones consideradas óptimas mediante un criterio. Este hecho preocupó a Simpson (1710-1761), e hizo la hipótesis de que la probabilidad de obtener un determinado error al realizar una observación puede ser expresada por una función de probabilidad discreta uniforme, o bien, por una distribución de probabilidad discreta triangular (Eisenhart 1983).

A partir de la última mitad del siglo XVI se comienza a tomar la media aritmética como el valor que mejor estima el conjunto de medidas.

Diversos científicos y matemáticos estudian la distribución de las medidas, lo que podemos considerar como el estudio de la variabilidad de los errores de medida. Lo que se ha llamado en la literatura “las leyes de error”. C. Eisenhart (1983) las define así: “”Leyes del error”, es decir, la distribución de probabilidad asumida para describir la distribución de los errores que surgen en medidas repetidas de una cantidad fija por el mismo procedimiento bajo condiciones constantes, fue introducida en la última mitad del siglo XVIII para demostrar la utilidad de la media aritmética de un número de medidas o valores observados de la misma cantidad como una buena elección para el



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valor de la magnitud de esa cantidad en base a las medidas u observaciones manejadas” (Eisenhart (1983, p. 531).

El primero en introducir el concepto de distribución del error y a considerar la distribución continua fue Simpson, imponiendo dos condiciones la distribución debe ser simétrica y, además debe ser de rango finito, (Kendall, 1978).

Daniel Bernouilli explica su visión de la distribución de los errores de la siguiente manera: Supongamos una línea recta en la que se disponen varios puntos que indican los resultados de varias observaciones (valores). Un segmento perpendicular que parte de cada punto cuya longitud expresa la probabilidad de ese valor, si dibujamos una línea curva que una los extremos de dichos segmentos esta será la escala de probabilidades de las observaciones. Los siguientes supuestos de la escala de probabilidades no se pueden negar. (Bernouilli, 1978).

a) Ya que las desviaciones del verdadero punto intermedio son iguales en ambas direcciones, la escala de probabilidades tendrá dos perfectas ramas similares.

b) Las observaciones serán ciertamente más numerosas y, por lo tanto, más probables cerca del centro, al mismo tiempo serán menos numerosas en proporción a su distancia del centro.

c) El grado de probabilidad mayor estará en el medio, donde suponemos que se localiza el centro y la tangente a la escala por este punto será paralela a la anteriormente dicha línea recta.

d) Como suponemos que las observaciones menos favorecidas tienen un límite, en ambos extremos la probabilidad desaparece y un gran error es imposible.

e) Las máximas desviaciones en cada lado se consideran como una especie de frontera entre lo que puede ocurrir y lo que no. De esta manera, la escala indica que es escasamente posible pasar de ese límite.

A continuación (Bernouilli, 1970), propone las escalas que cumplen los supuestos anteriores son: semi-elipse, semicircular (el verdadero valor está en el centro del semicírculo), coseno, arco de parábola. También reconoce que otras escalas cumplirán dichos supuestos. Estas distribuciones las veremos en páginas posteriores.

Lambert (1728-1777) estudia errores a partir de datos astronómicos y físicos y distingue entre los errores brutos, sistemáticos y aleatorios y propone una primitiva medida de “fiabilidad” para la media: calcular la media de todas las observaciones y calcular la media de las observaciones que quedan cuando se han eliminado las observaciones con grandes desviaciones. Calcula la razón entre las dos medias, sin embargo no da criterio para distinguir las observaciones con grandes desviaciones (valores atípicos) (Hald, 1998, p. 80).

Las leyes del error primero se suponen de rango limitado, a finales del siglo XVIII se considerara con rango ilimitado.

Las distribuciones de rango limitado que se consideran son discretas (uniforme, triangular) y continuas (uniforme, triángulo isósceles, semicircular, parabólica y logarítmica) las distribuciones de rango ilimitado (la primera ley del error de Laplace, la ley del error de Gauss, la segunda ley del error de Laplace y la distribución de Cauchy).

Como hemos visto la idea de que los valores centrales son más probables que los más alejados del centro, salvo para la distribución uniforme, da origen a que diferentes autores propongan diversas distribuciones que cumplan este requisito.




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6.1. La distribución uniforme discreta (1786)

Simpson la propuso para el intervalo [-v, v] de la siguiente manera: los errores posibles pueden ser –v, –v+1,…, -2, -1, 0, 1, 2, …., v-1, v, todos ellos con la misma probabilidad, lo que le lleva a la distribución uniforme discreta. Siendo cada uno de los valores de los errores considerados, es decir, si v es el verdadero valor y x es el valor observado, entonces e = x-v pertenece a [-v, v] La expresión,

general de la función de probabilidad sería 12

1]Pr[

+==

vxX , tomando v=5 hemos obtenido el

gráfico de la figura 1. (Eisenhart, 1983, p. 534.)

Figura 1. Distribución uniforme discreta

6.2. Distribución triangular discreta (1756)

Después Simpson tuvo otro intento de explicar la variación del error, fue mediante la distribución triangular discreta, ya que, las series de errores parecen mejor adaptadas porque es altamente razonable suponer que la probabilidad de los errores decrece cuando los errores se incrementan (Hald, 1998, p. 36) donde supone que los errores toman los valores enteros –v, -v+1, …, 2, 1, 0, 1, 2, …, v-1, v, con probabilidades proporcionalidades a 1, 2, … v-1, v, v+1, … 2, 1. En

concreto las probabilidades se calcularían mediante la fórmula: ( )21

)1(]Pr[

+−+

==v

xvxX , donde

x ∈ [-v, v] para v=5, tenemos, 36

6]Pr[

xxX

−== (Eisenhart, 1983, p. 534.), cuya representación

gráfica la ofrecemos en la figura 2 Simpson encuentra que la función generatriz de la distribución triangular es el cuadrado de la función generatriz de la distribución uniforme, en consecuencia se debe considerar a la distribución triangular como suma de dos distribuciones uniformes (Hald, 1998, p. 36.) A partir de trabajar con estas distribuciones Simpson concluyó que tomando la media de un número de observaciones disminuyen en gran medida las posibilidades de los errores más pequeños y se elimina cualquier posibilidad de grandes errores. (Eisenhart, 1983.)



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Figura 2. Distribución triangular discreta

6.3. Distribución uniforme continua (1776)

Lagrange (1736-1813) primero considera las distribuciones discretas uniforme (en el intervalo [-a, b]) y triangular (en el intervalo [-a, a]). Demuestra los resultados obtenido previamente por Simpson. Mediante el paso al límite obtiene los resultados para las correspondientes distribuciones continuas uniforme y triangular, la distribución uniforme continua no simétrica la obtiene en el problema VII de sus memorias y en la figura 3 se da una representación gráfica de ella

bxaba

xf ≤≤−+

= ,1

)( , para a=2, b=3. Esta distribución también fue obtenida por Laplace,

probablemente sin conocer los trabajos de Simpson y Lagrange (Hald, 1998).

Figura 3. Distribución uniforme continua

6.4. Distribución continua triangular (1757)

En 1757, Simpson extiende su análisis de la distribución triangular discreta, para ello tomó valores –kv, -k(v-1), …, -k, 0, k, …, k(v-1), kv, con probabilidades proporcionales a 1/k, 2/k, …, v/k,

(v+1)/k, v/k, …, 2/k, 1/k y aplicó los límites 0, →∞→ vk con akv → obteniendo la distribución




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triangular continua. Una representación de la distribución, axaxaa

xf ≤≤−−= ),(1

)(2

triangular continua, para a = 1 se muestra en la figura 4 (Eisenhart, 1983, p. 535.)

Figura 4. Distribución continua triangular

6.5. Distribución semicircular (1765)

Lambert (1728-1777) investigó la forma de la distribución del error de manera teórica y empírica (propuso una curva en forma de campana, sin expresarla en forma de función), durante su investigación concluyó que la media aritmética no difería del “valor verdadero”. (Eisenhart, 1983, p. 540.) Llega con posterioridad a la distribución circular haciendo las siguientes consideraciones. Si miramos una estrella sin telescopio, a simple vista, vemos un punto. Si la miramos con telescopio, aparece un círculo. La línea del telescopio divide al círculo, aleatoriamente, en dos partes, todos los puntos dentro de este círculo tienen la misma probabilidad de ser atravesados por esta línea, así pues la línea debe ser perpendicular a un diámetro, además la simetría permite rotar el telescopio de forma que estas líneas pueden ser horizontales o verticales sin perder generalidad. La probabilidad de la observación es la medida del segmento que une el diámetro con un punto de la circunferencia que bordea al círculo. (Eisenhart, 1983, p. 541) Después de una serie de hipótesis ampliamente discutidas, como la expuesta anteriormente, le lleva a la distribución semicircular (Hald, 1998, p. 81).

( ) ,2

)( 222

µπ

−−= xaa

xp µµ +≤≤− axa ,

Para a=1 y µ=0, tenemos La gráfica representada en la figura 5.



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Figura 5. Distribución semicircular

6.6. Distribución parabólica (1776)

La distribución parabólica fue estudiada por Lagrange, junto con la uniforme continua, triangular continua y coseno, afirmando, al final del estudio, que la distribución parabólica es “la más simple y la más natural que uno pueda imaginar”, (Eisenhart, 1983, p. 539; Hald, 1998, p. 48). La forma más general (asimétrica) de esta distribución la propuso Laplace y es

∞≤≤−+−+

= ≺≺ abaxbxbxaba

xf x ,0; ),)((3)(

6)( , (Eisenhart, 1983, p. 545), la propuesta por

Lagrange es axaxaa

xfx ≤≤−−= ),(34

3)( 22 (Eisenhart, 1983, p. 539), en la figura 6 damos una

representación gráfica de esta distribución, para a=2.

Figura 6. Distribución parabólica




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6.7. Distribución coseno (1781)

La distribución coseno fue estudiada por Lagrange a partir del problema XI de su “Miscellanea Taurinensia” (1776). En la figura 7 damos una representación gráfica de esta distribución,

11,2

cos4

)( ≤≤−

= xx

xf x

ππ.

Figura 7. Distribución coseno

6.8. Distribución de Laplace de rango finito (1781)

Discutiendo la distribución de probabilidad de las destrezas de un jugador en un juego y de los intervalos entre puntos aleatorios en una línea de longitud a, Laplace sugiere, que cuando el error X de una medida individual u observación puede tomar valores solamente entre –a y a, y se ignora la ley de

la probabilidad de los errores, se puede tomar ∞≤≤≤−

= 0,,log

2

1)( axa

x

a

axf

x, como la

distribución de probabilidad de un error X, “en la investigación sobre la media que uno debe tomar entre los resultados de muchas observaciones” (Eisenhart, 1983, p. 545). La diferencia entre la mayor y la menor observación, rechazadas las no adecuadas por estar muy alejadas, sería 2a (Hald, 1998, p. 179). Para a=2, tenemos la representación gráfica que se da en la figura 8

6.9. Distribución de Laplace o doble distribución exponencial (año 1774)

Según Hald (1998, p.177), se puede decir que durante mucho tiempo Laplace había reconocido que la distribución de errores aleatorios de observaciones astronómicas era simétrica, unimodal y de rango finito. Las distribuciones de los errores más utilizadas eran las que hemos visto hasta ahora, simples funciones matemáticas como la triangular, cuadrática, coseno y semicircular.

En 1974, Laplace se plantea que los errores teóricamente pueden ser infinitamente grandes si la curva que los representa decrece asintóticamente al eje de abscisas. Esta curva es simétrica respecto al eje de ordenadas, teniendo un máximo en el origen y decrece de forma monótona a cero, cuando x se aleja del origen. Entre la multitud de funciones que tienen estas propiedades la más simple obviamente es:



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f(x) ∝ e-mx , x>0, m>0

Laplace no elige la exponencial debido a su simplicidad, la obtiene por medio del principio de indiferencia (se deben asignar probabilidades iguales a cada una de varias alternativas simples, si no hay razón conocida para preferir otra cosa).

Figura 8. Distribución de Laplace de rango finito

Comienza observando que si no hay razón para suponer ningún punto en el eje más probable que otro entonces se tomaría f(x) constante, lo que significa que la curva de error sería “una línea recta infinitamente cercana al eje de abscisas”. Esta hipótesis debe ser rechazada porque se opone a lo que se conoce sobre la forma de la curva de error. En un segundo intento toma f’(x) igual a una constante negativa, lo que le conduce a la curva de error triangular, se debe rechazar esta hipótesis porque nos llevaría a una acotación del error.

Finalmente, Laplace observa que no solamente las ordenadas de f(x), sino también las diferencias de las ordenadas –d(f(x) deben decrecer para x>0, y ya que no tenemos razones para suponer una ley diferente para las ordenadas que para las diferencias, se sigue que no debemos, de acuerdo con las leyes de las probabilidades, suponer que la razón de dos diferencias consecutivas infinitamente pequeñas sea igual que las correspondientes ordenadas, es decir

( ) ( ) ∞≤≤∞−+=+x

xf

dxxf

xdf

dxxdf ,

)()(,

en consecuencia, m ),()(' xmfxf −= >0,

por tanto

∞≤≤∞−= − xem

xf xm ,2

)( , la constante m/2 se ha determinado por el requisito de que

∫ =1)( dxxf . Una representación gráfica para m = 2, se da en la figura 9.

Esta distribución del error se llama la distribución de Laplace o la doble distribución exponencial. Es la primera distribución de los errores continua y de rango ilimitado. Laplace observa que se puede objetar a esta ley que no toma el valor cero para grandes valores de x, pero en este caso el valor de la función es tan pequeño que se puede tomar como cero.




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Figura 9. Distribución de Laplace o doble distribución exponencial

6.10. La “ley del error de Gauss” (1890)

De acuerdo con Eisenhart, (1983, p. 548) Gauss (1777-1855) parte de que la distribución de los errores debe ser una función diferenciable unimodal y simétrica (la condición de Laplace de continua la cambia por diferenciable) y que tienda a cero para valores absolutos de errores que tiendan a infinito.

Asume la regla tradicional de la media aritmética, mediante la cual, la media aritmética de una conjunto de observaciones realizadas cuidadosamente y en las mismas circunstancias proporciona el valor más probable de la cantidad que se está midiendo.

La función de densidad conjunta debe ser el producto de las probabilidades de cada uno de los errores. La derivada de su logaritmo neperiano proporcional a los errores. De esta última obtiene la

función ∞<<−∞= − xeh

xf xh ,)(22

π, ∞<< h0 , “la constante h puede ser considerada como la

medida de precisión de las observaciones” y toma el valor de 2

1

σ (Hald, 1998, p. 355). En los

comentarios a esta ley, Gauss dice que no puede representar bien a la ley del error con completo rigor, ya que, asigna probabilidades mayores que cero a errores fuera del rango de las posibles desviaciones, que, en la práctica, tienen límite finito, pero esto es inevitable porque nunca se puede asignar límite de error con absoluto rigor, pero este defecto carece de importancia ya que la función dada se acerca rápidamente a cero cuando los errores aumentan. Podemos ver la representación para σ=2 en la figura 10



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Figura 10. Ley del error de Gauss

6.11. Distribución de Cauchy (1824)

Esta distribución puede describir la variación de los errores de una medida. Eisenhart, (1983, p. 548) nos dice que fue propuesta por Poison en 1824, en un ejemplo de la demostración del teorema del límite central. Cauchy la propuso en 1853, sin referir que Poison la había discutido en 1829. Hoy es reconocida por distribución de Cauchy (Hald, 1998, p. 521). La fórmula general es

.0 , ,

1

1)(

2

2⟨∞⟨∞≤≤∞−

+

= β

βπβ

xx

xf

En la figura 11 se da la representación gráfica para β=1.

Figura 11. Distribución de Cauchy




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7. Conclusiones

En este trabajo hemos tratado de la dispersión, variación o variabilidad, como nos guste llamar al fenómeno que está en el corazón de la Estadística y sin el cual esta ciencia no tendría sentido, en palabras de Wild y Pfannkuch, (1999, pp. 235-236), "La variación es la razón por la que la gente ha tenido que desarrollar métodos estadísticos sofisticados para filtrar los mensajes de datos del ruido ambiental".

Siendo la dispersión una noción de enorme transcendencia en la adquisición de los conceptos y técnicas estadísticos, hemos observado que su noción y conceptos relacionados no vienen recogidos en los curricula oficiales, probablemente porque la consideran muy fácil de entender y aprender. A lo largo del trabajo hemos analizado que es un concepto amplio y complejo, hemos visto que sus fuentes muy pocas veces se explicitan en los curricula ni en las planificaciones de enseñanza. También hemos visto lo costoso que ha sido a lo largo de la historia clarificar estas nociones centrándonos en las leyes del error.

Hemos visto que, en el contexto de los errores en la medida, el problema de determinar cuál es el verdadero valor de la medida a partir de varias mediciones con resultados diferentes, aparece la primera noción: si las medidas realizadas sobre el mismo objeto y con el mismo instrumento son distintas (varían) es porque al menos todas menos una son erróneas. Teniendo las medidas realizadas (la mayoría erróneas) a la vista ¿cuál será el verdadero valor? La primera solución que aparece en la historia es tomar como verdadero valor el semi-rango. En seguida se comienza a utilizar la media aritmética como verdadero valor, aquí aparece la distribución uniforme discreta. Pero, también bastante pronto, aparece otra idea que podemos resumir de la siguiente manera: cada vez que tomamos una medida, en general, es diferente de las anteriores, si tomamos la media aritmética de las medidas realizadas, estamos suponiendo que todas las medidas tienen la misma probabilidad de ocurrir, pero esto no es así, las medidas más alejadas del valor central tienen menos probabilidad de ocurrir (supuesto c) de Bernouilli), en consecuencia debemos realizar la media teniendo en cuanta la probabilidad de ocurrencia y aparece la distribución triangular. El paso de lo discreto a lo continuo es también un paso importante en la conceptualización del problema de calcular el verdadero valor. Cuando no satisface esta distribución aparece la semicircular, si esta no satisface, la semi-elipse, si no, la parabólica o la coseno. Si estas no satisfacen las de Laplace, hasta que terminamos con la de Gauss que parece satisfacer a todos.

De este pequeño resumen podemos sacar dos conclusiones, las dificultades que han mostrado verdaderos genios en el estudio de los errores y que en estos estudios los centros y la dispersión siempre van unidos. Esto es lo contrario de lo que ocurre en las aulas: las medidas de centro se estudian aisladas y a continuación las de dispersión, también aisladas. El ciudadano sale de las aulas sin tener conciencia de que una medida de centro siempre debe estar junto a una de dispersión. Creemos que esta es una de las razones por la que cuando aparecen en los medios de comunicación medias aritméticas (salario medio, media mensual de la pensión de jubilación en un país,…) muy pocas veces aparece la media junto a la desviación típica. Solamente encontramos la media. Esta falta de cultura estadística se debe comenzar a atajar desde la escuela y la investigación didáctica.

Otra conclusión es que estas leyes han sido estudiadas por verdaderos genios y les costó muchos esfuerzo llegar a conclusiones aceptables por ellos mismos y por los demás. Sin embargo, queremos que nuestros estudiantes, adquieran un conocimiento adecuado sobre Estadística y Probabilidad sin ni siquiera esbozar unas ligeras nociones sobre la dispersión y conceptos relacionados. El mismo razonamiento podemos hacer para la investigación didáctica.



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A la vista de lo expuesto anteriormente, concluimos que es necesario incluir en los programas de enseñanza y en los de investigación didáctica una clarificación adecuada de las nociones relativas a la dispersión y conceptos relacionados como sus fuentes, destacando su presencia en las actividades que se desarrollen, ya que como dice Moore, (1997, p. 150), “La omnipresencia de la variación es admitida, pero a menudo no se explica con claridad (la simulación de un histograma en la computadora no enseña la gente de negocios como interpretar un informe financiero)”.

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Antonio Estepa Castro, nacido (13/05/1952) en Valdepeñas de Jaén (Jaén). Doctor en Matemáticas. Catedrático de Didáctica de la Matemática de la Facultad Humanidades y Ciencias de la Educación de la Universidad de Jaén. Su campo de investigación es la Didáctica de la Matemática, especialidad de Didáctica de la Estadística y la Probabilidad. Ha publicado diversos trabajos de investigación en este campo en revistas, libros y congresos. También ha realizado bastantes revisiones de trabajos de investigación para revistas y congresos importantes en dicho campo de investigación. Universidad de Jaén. Email: [email protected]

Jesús del Pino Ruiz nacido (14/05/1982) en Porcuna (Jaén). Licenciado en Física (Universidad de Granada), posee el CAP en física y química (Universidad de Granada) y ha realizado el trabajo tutelado de iniciación a la investigación en Didáctica de las Matemáticas (Universidad de Jaén) bajo la tutela de D. Antonio Estepa Castro. Su investigación se proyecta en torno a la enseñanza y aprendizaje de la dispersión. En la actualidad es profesor interino de Matemáticas en la Junta de Andalucía. Universidad de Jaén. Email: [email protected]



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Problemas de mediciones repetidas y de riesgo para desarrollar el razona-miento de estudiantes de secundaria en los temas de media y dispersión

Ernesto Sánchez (Cinvestav. México) José Antonio Orta Amaro (Cinvestav. México)


Resumen En este artículo se proponen problemas para desarrollar el razonamiento de los estudian-tes en los temas de media y dispersión de un conjunto de datos. Se destacan dos caracte-rísticas de las tareas que pueden ser útiles tanto en su utilización como para elaborar otros problemas: a) comparación de grupos de datos, b) contexto (medición y riesgo). Se anali-zan los problemas indicando las dificultades y posibles respuestas de los estudiantes. La exposición de los problemas está precedida de un conjunto de ideas extraídas de la inves-tigación que ayudan a esclarecer la intencionalidad, el significado y las características transferibles de los problemas propuestos.

Palabras clave Media, dispersión, comparaciones de conjuntos de datos, mediciones repetidas, riesgo.

Abstract In this paper, some problems for developing students’ reasoning about mean and spread of data are proposed. Two tasks feature which are useful for working on them and for constructing other tasks are pointed out: a) comparing groups, b) context (measures and risk). Difficulties of the tasks and some possible students’ responses are analyzed. Previ-ous to show the problems, several ideas from research for helping to clarify the intention-ality, meaning and transferable features of the problems are considered.

Keywords Mean, spread, comparing groups, repeated measures, risk.

1. Introducción

La estadística tiene un papel destacado en el desarrollo de la sociedad moderna al proporcionar herramientas metodológicas generales para recoger y organizar todo tipo de datos, describir y analizar su variabilidad, determinar relaciones entre variables, diseñar en forma óptima estudios y experimen-tos y mejorar las predicciones y toma de decisiones en situaciones de incertidumbre. En consecuencia, una persona educada debe ser capaz de entender, y razonar con, la información estadística a la que constantemente está expuesta y, más aún, ser capaz de utilizar los instrumentos de la estadística para generar y analizar datos relevantes para su vida diaria y profesional. Hay consenso entre investigado-res y educadores acerca de la necesidad de que la escuela debe favorecer el desarrollo del razonamien-to estadístico de los estudiantes.

En la mayoría de países modernos, desde hace décadas, se ha incorporado la estadística en los currículos de los niveles básico, medio y universitario; sin embargo, los resultados aún son pobres. En efecto, la cultura estadística de un ciudadano promedio es inferior de lo que se asienta y pretende en los diversos programas; como lo han constatado los estudios sobre dificultades de estudiantes preuni-

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versitarios (Garfield y Alghren, 1988; Batanero, Godino, Vallecillos, Green y Holmes,1994), falsas concepciones (Shaughnessy, 1992, 2007; Jones, Langrall y Mooney, 2007) y falsas concepciones so-bre inferencia de estudiantes universitarios (Castro-Sotos, Vanhoof, Noortgate y Onghena, 2007).

Un problema común en la enseñanza de la estadística de los niveles básicos es su enfoque hacia la transmisión de procedimientos y fórmulas (elaborar gráficas y calcular resúmenes estadísticos) sin que se conviertan, y sean utilizados, como herramientas de análisis. A pesar de que la media y la des-viación estándar (en general: centros y medidas de dispersión) son fundamentales en estadística, en la práctica y en problemas en los que sería pertinente considerarlos, no son utilizados por los estudiantes (Gal, 1989,1990; Watson, 1999) Un problema con la media aritmética es que la fórmula matemática es muy simple, pero su interpretación en los diferentes contextos en que se presenta, parece constituir un obstáculo de grandes dimensiones. Por su parte, percibir la dispersión es muy natural (Shaughnessy, 1997) sin embargo, sus expresiones simbólicas son algo complicadas para los estudiantes y, sobre todo, les es muy difícil interpretarla en función del contexto del que provienen los datos.

Los más recientes cambios curriculares recomiendan que los profesores busquen enfocar la en-señanza de la estadística hacia el desarrollo del razonamiento estadístico y no sólo en el aprendizaje de conocimientos, pero para hacerlo, es necesario elaborar y socializar actividades que sirvan para ese propósito. Varios autores ya han dado pasos en este sentido (Batanero y Díaz, 2011, Garfield y Ben-Zvi, 2008) y el presente trabajo pretende constituir una contribución más. Su objetivo específico es proponer y analizar 4 problemas que pueden ser útiles para la elaboración de actividades que ayuden al desarrollo del razonamiento de los temas de media y dispersión en clase de estudiantes de secundaria (14-15 años). Antes de exponer dichos problemas, se revisarán algunas ideas extraídas de la investiga-ción que ayuden a esclarecer la intencionalidad, el significado y la trascendencia de los problemas propuestos.

2. El papel de los problemas en la planificación

A grandes rasgos, las actividades que debe realizar un profesor son: 1) planificar lecciones para cubrir los objetivos curriculares, 2) llevar a la práctica lo planificado y 3) permanentemente evaluar los avances de sus alumnos. La planificación de una lección es una tarea compleja y demandante que exi-ge del profesor interpretar y transformar el conocimiento. Una buena planificación permite realizar las otras dos etapas con mayor eficacia. El problema de cómo pueden aprender los futuros profesores a planificar sus lecciones constituye toda una línea de investigación que no es objeto de este estudio. Rescatamos, sin embargo, una parte de la discusión que sobre este problema ofrece Jones y Smith (1997) cuando responden a la pregunta ¿cómo aprenden los futuros profesores a diseñar las lecciones de matemáticas que implementarán en clase?

Para responder a esta pregunta, Jones y Smith (1997) analizan cómo diseñan sus lecciones los profesores experimentados. Con base en informes empíricos de investigación, observa que el punto de partida del diseño para la mayoría de esos profesores, no se posiciona en los objetivos o aprendizajes esperados, sino que el elemento que dispara el diseño de la lección son las tareas y problemas con las que ya cuenta. Por lo tanto, es frecuente que el proyecto de enseñanza de un profesor esté más deter-minado por el catálogo de problemas que es capaz de manejar, que por los contenidos específicos y las recomendaciones didácticas del currículo. Por supuesto, ambos: objetivos curriculares y problemas, están íntimamente relacionados y el profesor lleva a cabo una negociación en la que trata de armoni-zarlos; pero si no cuenta con problemas apropiados es probable que no cumpla convenientemente con los objetivos o los omita en su clase. Por lo anterior, una componente importante en la formación de futuros profesores y en la actualización de profesores en servicio es la elaboración y discusión de pro-blemas relevantes para los estudiantes.

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En conclusión, las nuevas propuestas curriculares, cuyo eje es el desarrollo de competencias, necesitan ir acompañadas de problemas y tareas para elaborar actividades que contribuyan a la forma-ción de las diversas competencias que el currículo prescribe. Los problemas que se proponen en este trabajo tienen la intención de contribuir con algunos problemas para promover el razonamiento de los estudiantes en los contenidos de media y dispersión.

3. El razonamiento estadístico

El razonamiento es un proceso mental cuya función es generar ideas (en forma de proposicio-nes) y apoyar su veracidad. Esos procesos pueden y suelen desembocar en discursos o representacio-nes simbólicas de enunciados concatenados de manera que dan lugar a una conclusión. Cuando las ideas que se generan son de tipo estadístico se habla de razonamiento estadístico. Garfield y Ben-Zvi se refieren a él de la siguiente manera:

“El razonamiento estadístico es la manera en que la gente razona con las ideas estadísticas y le da sentido a la información estadística […] puede involucrar conexiones de un concepto a otro (por ejemplo cen-tros y dispersión) o combinar ideas acerca de datos y azar. El razona-miento estadístico también significa entender y ser capaz de explicar procesos estadísticos y de interpretar los resultados estadísticos” (Gar-field y Ben-Zvi, 2008, pp. 34).

Conviene destacar el aspecto de la interpretación a la que se refiere Garfield y Ben-Zvi en la an-terior cita. No es suficiente que mediante un tratamiento estadístico se obtenga una gráfica, un número resumen, un intervalo de confianza o el resultado de un contraste de hipótesis, si tales resultados no se interpretan convenientemente. La interpretación concierne a la relación del resultado de un tratamiento estadístico con el contexto de la situación de donde surgieron los datos y el problema. Wild y Pfannkuch (1999) sugieren que uno de los tipos fundamentales de pensamiento estadístico es la inte-gración de lo estadístico y lo contextual. Es por esto que al proponer un problema para desarrollar el razonamiento estadístico conviene considerar seriamente el contexto, no como un pretexto para formu-lar un problema, sino como una preocupación genuina de entenderlo y aprender algo sobre él a través del análisis de los datos disponibles.

3.1. La media aritmética, la dispersión y sus relaciones

La definición y cálculo de la media aritmética es trivial y los estudiantes la aprenden desde la escuela primaria. No obstante, su uso e interpretación en las situaciones en las que juega un papel im-portante parecen estar lejos de ser simples para estudiantes de todos los niveles (Russell, 1990, Groth y Bergner, 2006). Batanero (2000) señala que la reflexión sobre las dificultades en el aprendizaje que presentan los alumnos con relación a la media aritmética, debe comenzar por un análisis epistemológi-co de su significado. Para hacerlo, sugiere partir de las situaciones-problema que dan lugar al uso de la media aritmética; identifica cuatro de ellas y un problema para cada una. Las situaciones son de:

• estimación de una cantidad desconocida, en presencia de errores de medida • repartición equitativa de la totalidad de cantidades diferentes • elemento representativo de un conjunto de valores dados cuya distribución es aproximada-

mente simétrica • predicción del valor o valores con mayor probabilidad al tomar un elemento al azar de una

distribución



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Después de analizar el concepto con base en otros constructos para analizar el significado: ele-mentos actuativos, intensivos, extensivos, ostensivos y validativos (Godino, 1996), Batanero concluye que la media aritmética y otros conceptos estadísticos, “tienen un significado complejo y por tanto será necesario un periodo dilatado de enseñanza a lo largo de la educación primaria y secundaria para lo-grar el progresivo acoplamiento de los significados personales que construyen los alumnos a los signi-ficados institucionales que pretendemos adquieran” (Batanero,2000, pp.10).

Por su parte, la dispersión es una característica de un conjunto de datos numéricos. Hay diferen-tes medidas de la dispersión, donde las más usadas son: rango, desviación media, desviación estándar, y cuartiles. El cálculo de algunas medidas de dispersión es algo más difícil que el de la media, sin em-bargo, con cualquier calculadora científica se obtienen fácilmente, una vez que se le introducen los datos. Un significado que se suele dar a las medidas de dispersión es como indicadores de qué tan separados están los datos entre sí. Basta ordenar los datos o hacer su gráfica de frecuencias para perci-bir intuitivamente la dispersión; en contraste, la dispersión como un número específico es para la ma-yoría un misterio. Las ideas de separación y la interpretación del valor numérico están en un terreno abstracto, y aunque importantes, faltaría interpretar la dispersión en los contextos en los que se presenta.

Varios investigadores (Garfield y Ben-Zvi, 2008, Konold y Pollatsek, 2004) sugieren que no es posible entender la dispersión sin verla estrechamente ligada a una medida de tendencia central, prin-cipalmente a la media aritmética. Por ejemplo, Garfield y Ben-Zvi comentan que “los libros de texto tradicionales primero introducen las medidas de tendencia central, luego introducen la dispersión y luego continúan con el siguiente tópico. Sin embargo, puede ser más útil estudiar esos tópicos juntos pues están interrelacionados” (Garfield y Ben-Zvi, 2008, pp. 88). En consecuencia, es muy importante tener situaciones y problemas para trabajar en clase y propiciar la interpretación de la media y la dis-persión de manera conjunta. Las situaciones de comparación de conjuntos de datos son ideales para ese propósito.

3.2. Comparación de conjuntos de datos

Gal (1989, 1990) administró problemas simples de comparación de conjuntos de datos con ni-ños de educación básica (8 a 12 años) y observó las estrategias que utilizaban para analizarlos y res-ponder las preguntas. Un resultado sorprendente es que ninguna de las estrategias que desarrollaron los niños incluía el uso de la media aritmética, cuando ésta era fundamental para la solución. Poste-riormente, otras investigaciones han utilizado problemas de comparación de grupos para explorar las estrategias de los estudiantes en el análisis de datos (Watson 1999,2001). Garfield y Ben-Zvi (2008) argumentan a favor del valor que tienen los problemas de comparación de conjuntos de datos y de-fienden que se incluya como un tópico explícito a tratar en los cursos de estadística; resumen sus razo-nes en los siguientes cuatro puntos:

1. Comparar dos o más grupos puede estructurarse como una versión inicial e informal de in-ferencia estadística

2. Los problemas que involucran comparaciones de grupos son a menudo más interesantes que los que involucran a un solo grupo

3. Estudiantes de cualquier nivel requieren desarrollar estrategias para comparar grupos de da-tos

4. En la comparación de grupos es importante realizar representaciones gráficas y obtener re-súmenes (centro y dispersión) de los datos.





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Con base en estos argumentos, los problemas que se proponen en este artículo son de compara-ción de conjuntos de datos, pero se ha buscado formularlos en contextos en los que la interpretación de los resultados sea significativa.

4. Contextos favorables para la interpretación de la dispersión

En los apartados anteriores se ha señalado la importancia de contar con problemas y actividades para diseñar lecciones de estadística que permitan cubrir los contenidos curriculares. Dentro de los contenidos de estadística los temas de media aritmética y dispersión son cruciales. El enfoque didácti-co de los actuales corrientes curriculares enfatiza en el desarrollo de habilidades de razonamiento y no solo en la adquisición de conocimientos. Con este fin, parecen convenientes las situaciones de compa-ración de conjuntos de datos, formuladas en contextos significativos. En lo que sigue se proponen dos contextos con potencial para propiciar la petición y búsqueda de razones para justificar una respuesta o decisión.

4.1. Contextos de mediciones repetidas

Cuando en un trabajo experimental se realizan varias mediciones de una magnitud física no se obtiene en general el mismo resultado. Surge entonces el problema de cuál es la mejor aproximación a la verdadera medida de la magnitud en cuestión. La teoría de los errores establece que la mejor apro-ximación es la media aritmética cuando las mediciones cumplen las siguientes características:

• Cada medición es independiente de cualquier otra • Se pueden cometer con la misma frecuencia, tanto errores por defecto como errores por ex-

ceso.

La media aritmética se aproximará tanto más al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor sea el número de medidas, ya que globalmente los errores aleatorios se compensan. Una medida o dato

( se puede expresar como la suma de la medida real T (desconocida) del objeto más un error: , la media de las mediciones será la suma del la medida real más la media de los errores:

. Como los errores son tanto positivos como negativos se espera que el promedio de los errores sea pequeño.

De acuerdo con la teoría de Gauss de los errores, cuando se supone que estos se producen por causas aleatorias, se toma como la mejor estimación del error, el llamado error cuadrático definido por:

Esta medida es , donde s es la desviación estándar muestral, es decir, del conjunto dado de datos. Esta fórmula confirma y formaliza la idea intuitiva de que la precisión de un conjunto de medi-das es función de la dispersión; cuando los datos son muy dispersos corresponden medidas con poca precisión, en cambio, si están muy próximos entre sí significa que las medidas son muy precisas. Las ideas anteriores ofrecen una buena oportunidad para dar una interpretación a los conceptos de media aritmética y dispersión; por ejemplo, una actividad basada en la combinación entre encontrar la mejor



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estimación a un dato real de un conjunto de mediciones y comparar conjuntos de datos, puede ser promisoria.

4.1.1. Un problema en el contexto de medidas

A continuación, en la Figura 1, se muestra un problema en un contexto de medidas que puede servir para elaborar una actividad que promueva el razonamiento de los estudiantes de la media y la dispersión:

Una clase de ciencias se divide en dos grupos A y B. Cada grupo está formado por 9 estu-diantes. Cada uno de ellos, independientemente del otro, midió la altura de un poste y cada grupo utilizó un método diferente. Las longitudes en metros que obtuvieron se muestran en las siguientes listas:

Datos obtenidos por el Grupo A

4.6 4.2 4.7 4.6 4.5 4.3 4.6 4.7 4.3

Datos obtenidos por el Grupo B

4.7 4.4 4.0 3.9 5.2 3.9 4.7 5.0 4.7

• Cada grupo por su lado, con base en sus datos, debe proponer tan exactamente co-mo sea posible la verdadera altura del poste ¿Qué números deben proponer?

• Se quiere evaluar entre el método para obtener las medidas que utilizó el grupo A y el método que utilizó el grupo B, ¿Cuál es más preciso? ¿Por qué?

Figura 1. Ejemplo de un problema en un contexto de mediciones

La respuesta a la primera pregunta es la media de cada conjunto de datos ( y

). La respuesta a la segunda pregunta se puede basar en alguna medida de la dispersión; por ejemplo, los rangos son: ; se deduce que hay más precisión en las medidas del grupo A. Esta conclusión es la misma si se consideran las desviaciones medias: ( ) las desviaciones estándar ( ) o el error cuadrá-tico ( . La gráfica también puede servir de argumento para apoyar que es más preciso el método del grupo A (ver Figura 2).

Análisis del problema

Las razones por las que la media aritmética es el mejor estimador no son evidentes y, por tanto, no la suelen dar espontáneamente los estudiantes de cualquier nivel (Gal 1989,1990). Una respuesta que prefieren es proponer la moda: 4.6 para el primer conjunto y 4.7 para el segundo. Un problema con esta propuesta de solución es que no toma en cuenta las otras medidas. Otra respuesta posible es el punto medio del recorrido, por ejemplo: y aunque ésta es una mejor pro-puesta que la de proponer la moda, no es tan buena como la media. La mediana también es una pro-





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puesta conveniente, sin embargo, esperar que la consideren los estudiantes es tan difícil como la pro-pia media (en el ejemplo, casualmente las medianas coinciden con las modas).

Figura 2. Gráficas del problema de mediciones

En la clase, se debe permitir que los estudiantes hagan sus propuestas y las discutan. El profesor puede plantear que la solución debe tener en cuenta todas las medidas y no sólo una o un sub-conjunto de ellas; también tiene que enfatizar en el hecho de que los errores son aleatorios y pueden ser tanto por exceso como por defecto y que la solución debiera aprovechar esta circunstancia. Estas razones pueden contribuir a entender que la media es un buen candidato. El profesor debe abstenerse de dar la solución desde un principio, pues frustraría la posibilidad de reflexión de sus estudiantes, en su lugar, tiene que desplegar recursos para motivar la discusión; cuando algún estudiante proponga la media no la debe aceptar de inmediato, sino propiciar que convenza a sus compañeros con argumentos válidos. El análisis de la precisión en este contexto no es tan difícil de percibir y de que surja naturalmente en boca de los estudiantes. La cuestión es no dejar sólo que perciban intuitivamente al grupo de datos con mayor precisión (menos dispersión) sino aprovechar dicha percepción para asociarla con una medida de dispersión.

4.2. Contextos de riesgo

A continuación se presentan algunas ideas básicas sobre el riesgo basadas en la exposición de Fischhoff y Kadvany (2011). En particular, para los fines de este artículo basta mencionar algunas ideas de tres temas que abordan estos autores: la definición de riesgo, el análisis del riesgo y la toma de decisiones en situaciones de riesgo. El riesgo se presenta cuando hay potenciales resultados no deseados que pueden traer como consecuencia pérdidas o daños. Definir el riesgo significa especificar los resultados valiosos y los no deseados en un orden que refleje el valor que se les atribuye. En mu-chas ocasiones, se pueden medir los resultados no deseados o valiosos, por ejemplo, las tasas de mor-talidad o el producto interno bruto. Hay también eventos en los que no hay acuerdo de cómo medirlos: pobreza, bienestar o crecimiento económico. Finalmente, hay algunos en que la sola idea de medirlos es controversial, así son las amenazas a la justicia o los daños ecológicos a la naturaleza.

Una vez que se identifican los riesgos, el problema es determinar qué tan grandes o prejudicia-les son y cuáles son las posibles causas que los gobiernan. El análisis del riesgo generalmente son



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constructos intrincados, a menudo integran los análisis de científicos de diferentes áreas del conoci-miento y toman en cuenta una diversidad de fuentes de datos o información. No obstante, hay una variedad tan amplia de fenómenos, que la lógica del análisis del riesgo puede consistir en simples con-teos de datos, con cuyos resultados llevar a cabo conocidos análisis estadísticos, hasta complejas simu-laciones de modelos cibernéticos conteniendo información científica de áreas especializadas además de intrincados procesos estocásticos.

El análisis del riesgo ofrece información para la toma de decisiones. La teoría de la toma de de-cisiones en situaciones de riesgo tiene dos aspectos; por un lado, define reglas abstractas sobre lo que debería hacer la gente en situaciones de riesgo, por otro, estudia lo que hace la gente cuando se enfren-ta realmente a tales situaciones: “Si la gente no sigue las reglas, quiere decir que o las personas necesi-tan ayuda o las reglas necesitan una revisión” (Fischhoff y Kadvany, 2011, pp.65). En los casos en que el análisis del riesgo ofrece un conjunto ordenado de posibles resultados, la regla para tomar decisio-nes es simple: “elija la opción cuyo resultado produzca algo con la mayor cantidad del valor que usted desea tener (dinero, descanso, acres de tierras húmedas, etc.)” (Fischhoff y Kadvany, 2011, pp. 65). La ordenación de los resultados generalmente contiene incertidumbre y está asociada a distribuciones de probabilidad. La regla entonces debe combinar el valor deseado que proporciona cada resultado con la probabilidad de que ocurra para cada posible decisión.

4.2.1. Un problema en el contexto de juegos

No iremos más allá de los comentarios anteriores, pues son suficientes para indicar la naturaleza del contexto de riesgo en el que se formula el problema que se propone (Figura 3). En el análisis del problema aclararemos el papel de la media y la dispersión para la toma de decisiones en la situación de riesgo que se propone.

En una feria, se invita a los asistentes a participar en uno de dos juegos. Juan puede participar en un juego, pero no en ambos. Para saber por cual decidirse observa, anota y ordena los re-sultados de dos muestras de 10 personas que han participado en cada juego. Las pérdidas (-) o premios (+) en efectivo que han obtenido las 20 personas se muestran en las siguientes listas:

Juego 1

15 -21 -4 50 -2 11 13 -25 16 -4

Juego 2

120 -120 60 -24 -21 133 -81 96 -132 18

Si tienes la posibilidad de participar en un solo juego ¿Cuál juego elegirías? Explica las razo-nes de tu respuesta.

Figura 3. Ejemplo de un problema sobre situaciones de riesgo

Una respuesta relativamente aceptable es que es igual jugar en cualquiera de los dos juegos, es-to con base en el argumento de que ambos conjuntos tienen la misma media ( ), es decir, a la larga en cualquiera de los juegos se ganará en promedio 4.9 unidades. No obstante, una respuesta más avanzada debe tener en cuenta la dispersión. Es notorio que en los datos del segundo juego hay mucha más dispersión que en los del primero (Figura 4). En este contexto, la dispersión se asocia al riesgo: el





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juego 2 es más arriesgado, pues aunque con base en los datos se puede conjeturar que es posible ganar cantidades mayores que en el juego 1 (el máximo en el juego1 es 133, mientras que en el juego 2 es 50) también es posible perder más (el mínimo en el juego 1 es -132, mientras que en el juego 2 es -25). La decisión depende de las preferencias y condiciones económicas del jugador, si es propenso al ries-go y tiene suficientes recursos para jugar, podría optar por el juego 2; si es conservador o no tiene suficientes recursos, le conviene elegir el juego 1.

Figura 4. Gráficas del problema de riesgo


La idea del problema es propiciar que el estudiante se ubique en una situación de riesgo, de ma-nera que se dé cuenta que la elección de un juego u otro conlleva consecuencias en términos de bene-ficios-pérdidas. El primer paso en el análisis es preguntarse en qué juego globalmente se gana más dinero; esta pregunta se la hacen los estudiantes de manera natural, pero la respuesta que ofrecen es muy variada. Nuevamente pensar en la ganancia promedio de cada juego (media aritmética de los datos) y compararlas, es una idea que pocos, si alguno, la consideran; la gran mayoría omiten este paso que es crucial para el análisis. Sus comparaciones suelen ser resultado de una impresión de riesgo que les producen los datos individuales de la distribución: unos comparan los máximos de las distribucio-nes y hacen afirmaciones como “en el juego 2 se gana más”, otros comparan los mínimos “en el juego 1 se pierde menos”; otros podrían ignorar la cantidad precisa que se gana o se pierde y sólo cuentan cuantos perdedores (cantidades negativas) y cuantos ganadores (cantidades positivas) tiene cada juego, decidiendo que da lo mismo escoger uno u otro.

Una vez que se determina con base en la ganancia promedio que los dos juegos son equivalen-tes, se debe formular la pregunta ¿En qué juego se corre más riesgo? Inferir que el juego con mayor dispersión es más arriesgado que el juego con menor dispersión ofrece un significado pertinente a la teoría del riesgo. El problema de valorar el riesgo consiste en ponderar entre ambos juegos: En el de mayor dispersión, se puede tener la fortuna de ganar más que en el otro juego, pero también se corre el riesgo de perder más. En el de menor dispersión, se puede ganar menos que en el primero, pero tam-bién, si se pierde se perderá menos que en el otro juego. No hay una regla general que indique cuál es la mejor decisión, pues depende de la situación económica particular del jugador así como de sus creencias y actitudes ante el riesgo.



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Una dificultad que suelen encontrar los estudiantes surge de la falta de información acerca de la naturaleza del juego y sobre la manera particular en que un jugador gana determinada cantidad. Mu-chos estudiantes llenan este vacío imaginando situaciones: unos pueden pensar en una urna con bolas numeradas, otros en juegos de caballos, etc. Encontramos que algunos estudiantes imaginan que el primer dato del primer juego (15) corresponde a un jugador y que el primer dato del segundo juego corresponde a su oponente (120) y concluye que el jugador del segundo juego le ganó al primero (por 105). Situaciones en las que se pueden coleccionar datos ignorando el modelo subyacente son frecuen-tes en la investigación estadística. La idea del problema es propiciar que el estudiante realice un estric-to análisis de los datos interpretando la situación a pesar de dichas restricciones. El siguiente ejemplo es también de una situación de riesgo y en él es más claro la ausencia de un modelo para explicar el comportamiento de los datos.

4.2.2. Un problema en el contexto de salud-enfermedad

Considera que debes aconsejar a una persona que padece una enfermedad grave, incurable y mortal, pero que es tratable con medicamentos que pueden extender la vida por varios años más. Es posible elegir entre tres tratamientos. Las personas tienen diferentes reacciones a las medicinas, para algunas tienen el resultado previsto, mientras que para otras pueden ser más benéficas o más prejudiciales. En las siguientes listas se muestran los años que han vivido varios pacientes que se han tratado con una de las opciones mencionadas; cada dato de las listas corresponde al tiempo que ha sobrevivido un paciente con el respectivo tratamiento. Después se muestran las gráficas correspondientes a los tratamientos.

Tiempo en años (tratamiento 1)

5.2 5.6 6.5 6.5 7.0 7.0 7.0 7.8 8.7 9.1


6.8 6.9 6.9 7.0 7.0 7.0 7.1 7.1 7.2 7.4


6.8 6.8 6.9 7.0 7.0 7.1 7.1 7.1 7.2 7.4

Figura 5. Ejemplo de problema es situaciones de riesgo

El primer paso en el análisis de este problema, al igual que los anteriores, es calcular el tiempo

medio de vida para cada tratamiento ( . Con base en esta información se podría decir que cualquier tratamiento es igual, no obstante, en la medida en que lo que está en juego es de suma im-portancia, parece imprescindible hacer un análisis (de riesgo) más detenido. Claramente el tratamiento 1 tiene mayor dispersión (Figura 6) y, por tanto, ofrece más riesgo, en el mismo sentido del problema anterior: los datos indican que se puede vivir más tiempo que el tiempo que indican los datos en cual-quiera de los otros dos tratamientos (9.1 > 7.4), pero también se puede vivir menos (5.2 < 6.8). ¿Cuál es la decisión adecuada entre elegir el primer tratamiento y cualquiera de los otros dos? Nuevamente, no hay una regla general que prescriba la mejor elección, aunque en este caso una decisión conserva-dora podría ser más popular que una decisión arriesgada. Decidir entre el tratamiento 2 y el 3 es más difícil, pero si el criterio de menor riesgo se ha tomado y éste se asocia con la desviación estándar

muestral, los datos del tratamiento 2 indican menor dispersión ( , aunque la diferencia es tan pequeña que se pueden considerar equivalentes.





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El análisis de este problema es muy similar al anterior sobre la elección entre dos juegos. El primer paso es comparar las medias, después considerar con cuidado la dispersión. Como se ha indi-cado, este sencillo procedimiento no suele estar dentro de las estrategias espontáneas de los estudian-tes y bien puede ocurrir, que los estudiantes hayan entendido que en el contexto de pérdida-ganancia es conveniente comparar las medias de los conjuntos de datos y no transferirlo a la situaciones de tiempo de vida en contextos de salud-enfermedad. Con relación al análisis de la dispersión, puede ocurrir que un mismo alumno sea propenso al riesgo en el caso de juegos de pérdida-ganancia de dine-ro, y sea adverso al riesgo en el caso de salud-enfermedad o viceversa. Lo importante de la considera-ción del riesgo es que lo interpreten de manera adecuada y no caigan en el error frecuente de creer que “mayor dispersión significa mayor tiempo de vida”, pues esto es falso.

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2

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Tratamiento_1

0

2

4

6

Tratamiento_2

2

4

6

Tratamiento_3

5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5

Teimpo de vida Histogram

Figura 6. Gráficas de los datos del problema del tiempo de vida

5. Conclusiones

Se han propuesto tres problemas que pueden ser útiles para diseñar lecciones de estadística para desarrollar el razonamiento estadístico de los estudiantes en los temas de media y dispersión. Las ra-zones para hacerlo son variadas: la importancia de que el profesor cuente con problemas para cubrir los contenidos curriculares, las dificultades detectadas en el tema en cuestión y la necesidad de darles un significado que sea accesible a los alumnos. Los problemas se han adaptado al formato de compa-ración de conjuntos de datos, pues prefiguran problemas de inferencia, atraen el interés de los estu-diantes, no son triviales y su solución requiere de los instrumentos elementales de la estadística. Tam-bién se han inscrito en los contextos de mediciones repetidas (ya señalado por Batanero, 2000) y de riesgo, pues ambos ofrecen oportunidades para enriquecer el significado de las nociones de media y dispersión. La intención es explorar recursos que permitan ir más allá de las interpretaciones de la media y la dispersión que se constriñen a contextos puramente matemáticos. Se han hecho algunas recomendaciones para implementarlos en clase, acordes con el espíritu actual de las recomendaciones curriculares: dejar a los estudiantes que propongan soluciones, promover la discusión y prever los errores y falsas concepciones que ya han sido detectadas en la investigación. En el futuro, investiga-ciones empíricas y prácticas escolares podrían proporcionar evidencias de las ventajas y desventajas del uso de este tipo de problemas en clase.



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Ernesto Sánchez Sánchez. Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav, México. Es matemá-tico por la UNAM y Doctor en Ciencias, Especialidad en Matemática Educativa por el Cinvestav. Ha rea-lizado estancias sabáticas de investigación en Grenoble, Francia (1997), Portland, Estados Unidos (2003) y Granada, España, (2011). Su investigación ha sido en el área de la didáctica de la probabilidad y la es-tadística. Nació en Oaxaca, México, 1955.

José Antonio Orta Amaro. Estudiante de doctorado del Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav, México. Es Ingeniero Industrial de profesión, pero se ha dedicado a la docencia. Ha impartido clases de matemáticas y estadística en los niveles básico y medio superior. Está iniciando su formación como investigador en el área de didáctica de la estadística. Nació en México, 1973.



Algunas posturas con respecto al sistema de numeración muisca

Christian Camilo Fuentes Leal (Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Colombia)

Fecha de recepción: 26 de diciembre de 2012 Fecha de aceptación: 21 de mayo de 2012

Resumen En este artículo se presenta la hipótesis de la posible existencia de un sistema de numeración, utilizado por los indígenas Muiscas, los cuales habitaron desde el siglo VI A.C.-XIX, en el centro geográfico de lo que hoy denominamos Colombia, más específicamente en los departamentos de Cundinamarca, Boyacá y parte de Santander. Para la exposición de esta hipótesis se utilizan varias fuentes históricas, entre ellas manuscritos del siglo XVIII del padre José Domingo Duquesne, quien fue la primera persona en escribir acerca de la posible existencia de un sistema de numeración escrito utilizado por esta comunidad nativa.

Palabras clave Etnomatemática, Sistema Numérico.

Abstract This paper, proposed the hypothesis of the existence of a numerical system used by the Indians Muiscas, who lived from the sixth century BC to the nineteenth century, in the geographic center of what is now called Colombia, more specifically in the departments of Cundinamarca, Boyacá and part of Santander. For the exposition of this hypothesis we used some historical sources, including eighteenth-century manuscripts, form the churchman José Domingo Duquesne, who was the first person in writing about the possible existence of a written numerical system used by this native community.

Keywords Ethnomathematics, Numerical System.

1. Los Muiscas y su lengua1- Contextualización

De acuerdo con Humboldt (1878), los Muiscas eran una cultura prácticamente desconocida en Europa, eran confundidos con una horda de bárbaros y salvajes que vivían entre los imperios Azteca e Inca. A mediados del siglo XVIII este idea empezó modificarse, llegando actualmente a creerse que, en el momento de la llegada de los conquistadores a América los Muiscas eran el tercer grupo cultural más complejo del nuevo mundo, después del Imperio Azteca y el Imperio Inca. Los Muiscas tenían su epicentro en el altiplano Cundiboyasense, en el centro geográfico de Colombia, y contaban con un sistema social-político, una admirable estructura económica, religiosa y científica. Por ejemplo, actualmente en el municipio de Villa de Leyva, Boyacá, existen vestigios de un observatorio celeste y

1 Existen algunos cabildos urbanos en la cuidad de Bogotá y sus alrededores, los cuales señalan ser descendientes de los Muiscas, actualmente están en el proceso de reconstrucción y preservación del acervo cultural (especialmente tradiciones y lenguaje) el cual se perdió en quinientos años de conquista, inquisición y mestizaje de la comunidad.

Algunas posturas con respecto al sistema de numeración muisca C. C. Fuentes Leal


otras enigmáticas construcciones hechas totalmente en piedra, las cuales fueron estudiadas por Silva (1981).

De acuerdo con Greenberg (1987) esta cultura formaba parte de la familia lingüística Chibcha, territorio que se extiende desde el noreste de Honduras, a través de la costa Caribe de Nicaragua, Costa Rica, Panamá y Colombia, hasta el oeste de Venezuela, actualmente se clasifica el lenguaje de la cultura muiscas (muyskkubun) junto con etnias actuales como los U´wa, Kankuamo, Ika y Kogui como integrantes del Subgrupo Magdalénico de la familia lingüística Chibcha (Figura 1).

Pasado el periodo colonial, con procesos como la cristianización, el mestizaje y los sincretismos, lamentablemente la cultura Muisca fue desapareciendo casi en su totalidad, fue a finales del siglo XIX, cuando se empezó a reivindicar el alcance que esta cultura tuvo en su apogeo2.

Figura 1. Mapa del mundo chibcha (Izquierdo, 2008)

Este trabajo presenta la hipótesis de la posible existencia de un sistema de numeración, utilizada por los indígenas Muiscas, los cuales habitaron desde el siglo VI A.C.-XIX, en el centro geográfico de lo que hoy denominamos Colombia, más específicamente en los departamentos de Cundinamarca, Boyacá y parte de Santander.

El presente texto es producto de consultas en diferentes fuentes de información, y de ninguna forma pretende tomar alguna posición con respecto a la existencia de dicho sistema de numeración, sino que se presentan diferentes posturas e hipótesis que han surgido al respecto, para que el lector, tome una posición al respecto.

2 A finales del siglo XIX, el país iniciaba el proceso de construcción de una nación independiente de la corona Española y de la consolidación de la República de la Nueva Granada (actualmente Colombia), en este proceso se generaron una serie de discursos relacionados con la creación de una identidad nacional, que necesariamente tuvieron en cuenta la presencia indígena en el territorio, especialmente el gloriosos pasado de estos y sus luchas contra los poderes invasores; lamentablemente este discurso fue referido a las comunidades indígenas “gloriosas” del pasado, concretamente los Muiscas; pero lamentablemente este discurso fue absolutamente excluyente para los las comunidades indígenas existentes a finales del siglo XIX.




2. El conteo: una actividad intrínseca al acervo cultural

Bishop (1999) caracteriza la matemática como una tecnología simbólica3, en la cual está inmersa diferentes actividades matemáticas universales (contar, localizar, medir, diseñar, jugar, y explicar). Con respecto a la actividad de contar, el autor menciona que la actividad matemática contar, se puede relacionar con algunos conceptos como cuantificadores, adjetivos numéricos, valor posicional, pautas numéricas, relaciones numéricas y probabilidad4.

De igual forma el autor resalta la diversa generación de sistemas de representación, para contar o medir de los diferentes grupos humanos, algunos de ellos son sistemas de conteo de tipo corporal, y otros de tipo gestual. Se podría decir que la actividad de contar y asociar objetos con números tiene una historia realmente larga y moderadamente bien documentada, un ejemplo de ello está expuesto en Menninger (1969).

Al respecto de esta actividad matemática, han surgido muchísimas preguntas, una muy interesante es: ¿cómo inició? Pues bien de acuerdo con Seidenberg (1962), los sistemas de conteo tienen un origen ritual. A continuación, se presentará el esquema planteado por el autor en la Figura 2:

Figura 2. Procesos de creación de los sistemas de numeración (Seidenberg, 1962)

Se menciona que inicialmente todos los sistemas de conteo se inician como un sistema puro, el cual está relacionado con un sistema duplicativo, posteriormente este sistema fue evolucionando a neosistemas duplicativos, los cuales se fueron complejizando y enriqueciendo cada vez más. De igual forma Molina y Díaz (1988) plantean el siguiente esquema de difusión de los sistemas de numeración en América, el cual se presenta en la Figura 3.

3 Pues las matemáticas extienden la habilidad de los humanos para controlar simbólicamente su entorno, de la misma manera que la tecnología física les permite hacerlo en el ámbito físico. 4 El autor menciona que el acto de contar objetos, permite comprender en gran medida la predicción, la probabilidad y el azar, y representar grandes cantidades de sucesos estimula la necesidad de un sistema de símbolos y de representaciones.



Figura 3. Esquema de difusión de los sistemas de numeración en América (Molina y Díaz, 1988)

Existen diferentes situaciones sociales que generan la necesidad de creación de números muy grandes y otras donde no sucede esto. Por ejemplo, en el antiguo Imperio Egipcio se idearon gran cantidad de guarismos propios. El símbolo más alto era el de un millón, representado por un esclavo arrodillado, dejando un visible mensaje político; caso contrario es el de los Aborígenes Australianos, comentado por Bishop (1999) quien menciona que ellos sólo recuerdan los tres primeros cardinales, después del tercer cardinal sólo se indica “muchos”.

Diferentes textos entre ellos Acosta (1971), Agudo (1956), Broadbent (1964), Falchetti y Plazas (1973), Rozo (1977; 1978), Restrepo (1972), Pérez (1951), mencionan el complejo sistema económico, social y político que poseían los Muiscas, con base a esta información podríamos empezar a ver plausible un sistema de numeración propio, pues es muy probable que como en el caso del Imperio Egipcio, los Muiscas se hubiesen enfrentado a situaciones sociales de las cuales surgiera la necesidad de crear números de valor significativo.

3. El sistema de numeración muisca: orígenes

Figura 4. Diez nombres básicos para los números (Lugo, 1619)

Desde el siglo XVII, se elaboraron gramáticas escritas por sacerdotes misioneros, quienes adoctrinaban a la población Muisca utilizando la lengua nativa. En estos textos se describía brevemente la pronunciación de los números en la lengua amerindia, algunos ejemplos de estas gramáticas están en las de Fray Fernando Lugo (1619) con el texto “La Gramática en la Lengua General del Nuevo Reyno Llamado Mosca” y un manuscrito anónimo llamado “Diccionario y Gramática Chibcha”. En estos dos documentos se dedica una sección al tema de la numeración Muisca, donde se describen los primeros cardinales. A continuación se mostrarán algunas palabras




significativas presentes en el manuscrito anónimo (tabla 1). Cabe mencionar que en el manuscrito se presentan dos “variantes”, ésta muestra podría indicar la existencia de variantes en la pronunciación de las palabras dependiendo de la parte del altiplano donde sea el individuo.

Español CHIBCHA TUNDAMA5 Padre Paba Paba Hijo Chuta Tutia Sol Sua Sa

Luna Chía Tia Monte Gua Gua Verdad Ocasa Cub Pues Nga Nran Uno Ata Atia Tres Mica Meia

Tabla 1. Palabras significativas del Muisca

Algunos apartes significativos en este manuscrito son:

“…Las sílabas cha, chi, cho, chu, repetidas con bastante frecuencia, la hacían desagradable al oído. No se advierte en ella la languidez y la dulzura que algunos le han atribuido; más bien era monótona por la frecuente repetición de sonidos semejantes… los Chibchas no conocieron ninguna clase de escritura ideográfica ni fonética, les faltó la ocasión de pulir y cultivar su lengua. Aunque tenían cantares a manera de villancicos, en los que referían los sucesos presentes y pasados, y fórmulas de oraciones para sus diversas clases de sacrificios, no han quedado de ellos ni la más pequeña muestra...”

Este aparte es muy interesante, pues plantea la hipótesis inicial acerca de que los Muiscas no conocieron ninguna clase de escritura ideográfica ni fonética, sin embargo se evidencia la riqueza oral de esta cultura, aspecto fundamental en el cual está centrado este documento. A continuación pondremos a consideración la falsedad o certeza de esta hipótesis.

4. El padre Domingo Duquesne y su disertación sobre el calendario de los Muiscas6

José Domingo Duquesne (1748-1821) fue un sacerdote Bogotano que vivió en el siglo XVIII, fue párroco de los caseríos de Lenguazaque y Gachancipá, ubicados en el departamento de Cundinamarca, centro geográfico de Colombia, los cuales perviven hoy en día, El padre Duquesne tuvo interacción con las comunidades Muisca y sus descendientes, y en el año de 1795 escribe un artículo llamado "Disertación Sobre el Calendario de los Muyscas, Indio Naturales de Este Nuevo Reino de Granada", el cual fue dedicado y enviado a José Celestino Mutis, quien era, en ese entonces, director de la Real Expedición Botánica. Éste documento fue publicado en 1848 por el historiador Joaquín Acosta; al parecer, el padre Duquesne le entregó una copia de su manuscrito a Alexander Van Humboldt cuando este último estuvo visitando la Nueva Granada, pues en el año de 1878 publica “Sitios de las cordilleras monumentos de los pueblos indígenas de América”. En este documento

5 Es una región de la confederación formada por los Muiscas ubicada en el centro y norte del departamento de Boyacá. En los tiempos de la conquista esta provincia, junto con la de los Muzos fueron las que opusieron mayor resistencia a la invasión europea. 6 Texto basado en algunos apartados de Izquierdo (2008).



Humboldt dedica un capítulo entero al calendario Muisca. Algunos académicos creen que Humboldt se basa en el trabajo del padre Duquesne, pues plantea las mismas ideas mencionadas anteriormente por él.

En 1882 Libordio Zerda publica una serie de borradores inéditos de la obra del padre Duquesne, que algunos académicos creen que fueron borradores hechos por el padre Duquesne, en los cuales se basaron para el escrito publicado por Acosta. En este documento el padre Duquesne presenta y explica sus hallazgos durante sus años de vivencias en los poblados de Lenguazaque y Gachancipa, y se afirma que los Muiscas conocieron guarismos o numerales para representar cantidades numéricas, los cuales implementaron para la creación de un complejo sistema calendárico, el cual está expuesto minuciosamente por Izquierdo (2008). El padre Duquesne presenta un conjunto de símbolos gráficos representando dichos guarismos, los cuales se presentan en la Figura 5, teniendo en cuenta las diferentes publicaciones y autores que escribieron acerca del calendario y los numerales de los Muiscas:

Figura 5. Presentación de los guarismos muiscas propuestos por diferentes autores (Izquierdo, 2008)

Al observar estos guarismos no se presentan alteraciones significativas en cuanto al valor que representan o a la forma de cada posible numeral.

5. La numeración: su base y el debate académico

Un aparte muy interesante presentado por el padre Duquesne en su texto es el siguiente:

“…Los Muyscas contaban por los dedos. Solo tienen nombres propios para diez, y para el número veinte. A saber: Ata, Bosa, Mica, Muyhica, Hisca, Ta, Cuhupcua, Aca, Ubchihica, Gueta. En concluyendo con una vuelta de las manos, pasaban á los piés, repitiendo los mismos nombres, á que anteponían la palabra Quihicha, que quiere decir el pié. Quihicha, ata, once; Quihicha bosa, doce, etc. El número 20, expresado por la dicción gueta (casa o sementera), en que se encerraban todos los bienes y felicidad de la nación, fenecía todas sus cuentas. Y así en terminando con un 20, pasaban a contar otro, uniéndolo con el primero hasta formar un veinte de veintes...”

Gracias a esta sección del documento escrito por el padre Duquesne, se podría determinar la existencia de los números utilizados por la cultura Muisca, al mencionar el autor “formar veinte de veintes” se estaría haciendo una mención a un sistema de tipo vigesimal, es decir base 20 o vigesimal.




Esta característica es muy peculiar en esta parte de América, pues los sistemas de numeración de base 20 son más conocidos en Mesoamérica. Algunos representantes de este tipo de numeración son las culturas Maya y Azteca, las cuales son presentadas por autores como Fedriani & Tenorio (2004). En cuanto a este asunto autores como Duque (1945) y Arcila (1974) ha discutido la posible influencia de la cultura Maya en algunas zonas pertenecientes a la familia lingüística Chibcha, entre ellas el Darién Antioqueño, zona donde según Langebaek (1987) los Muiscas y otras comunidades andinas comerciaban sal y cerámicas por oro, mineral utilizado para la elaboración de sus famosos tunjos o ídolos de ofrenda a los dioses (Figura 6), los cuales hoy en día están albergados en múltiples museos y universidades a nivel mundial; estos estudios dan una idea acerca de la relación existente entre el comercio y los saberes, podríamos determinar que al comerciar diferentes objetos o productos no sólo ideas, saberes, costumbres, cosmogonías, es decir, cultura.

Figura 6. Tunjo muisca, (Museo del Oro) Bogotá Colombia

De esta forma no sería descabellado o absurdo pensar en las relaciones o influencias entre las matemáticas de las culturas Mayas y Muiscas. Sin embargo, la cultura Muisca está más relacionada con otras comunidades andinas, como la Inca o Aimara, que con comunidades Mesoamericanas. Algunas características comunes son el consumo de la hoja de coca y la elaboración de momias con técnicas similares. Es más, según Pilares (2005) el número 5 en Quechua se pronuncia “pichka” , y en el lenguaje Muisca el mismo número se pronunciaba “hiscka” , realmente son muy parecidos. Molina y Díaz (1988), mencionan la concordancia lingüística de estos dos vocablos. Estas similitudes culturales llevaría a preguntarnos acerca de relaciones culturales entre el pueblo Inca y Muiscas, o sí por el contrarío, estas similitudes sólo son coincidencias; realmente esto muy apasionante y está abierto a un enriquecedor y riguroso debate académico.

6. Los números, su significado y las metáforas numéricas

Los números se escriben de múltiples maneras, mediante muescas, jeroglíficos, hasta en cordeles de lana (en el caso de la cultura Inca), el nombre dado a los diferentes números tiene un significado cultural o antropológico vinculado. Por ejemplo Cauty (1990) relaciona algunos aspectos del sistema de numeración de la comunidad Nasa, del departamento del Cauca, en Colombia, con algunas partes del cuerpo. A continuación, se presentarán algunos significados de las palabras utilizadas para nombrar los cardinales de los Muiscas, presentados por el Padre Duquesne, los cuales han sido mencionado por autores como Molina y Díaz (1988) e Izquierdo (2008); cabe mencionar que



en esta descripción, como en nuestro idioma español, una palabra podía tener varios significados dependiendo de las circunstancias y el contexto en el cual se nombre, es decir, estos vocablos podrían tener varias acepciones.

“…1. Ata, Quizás se derive esta voz de una antigua raíz que significaba agua, Como el atl de los mejicanos. 2. Bosa, en circuito. La misma voz significa una especie de cercado para defender los campos de animales dañinos. 3. Mica, variable; según otra etimología lo escogido. 4. Muyhica, lo que es negro, amenazadora nube de tempestad. 5. Hisca, descansar, Conjunción, las bodas del Sol y de la Luna.. 6. Ta, noche, recolección. 7. Cuhupqua, sordo. 8. Suhusa, cola 9. Aca, los bienes 10. Ubchihica, luna brillante. 20. Gueta, casa, una rana tendida…”

En la tabla 2 se presenta un esquema en el que aparece el numeral de los primeros diez números cardinales muiscas y el significado para cada uno de estos diez numerales, según la propuesta del padre Duquesne.

Numeral Significado

Ata. |Los bienes - otra cosa. |Ata: Un sapo en acción de brincar, que caracteriza la entrada del año.

Bosa. |Alrededor. |Bosa: Unas narices y las dos ventanas.

Mica. |Parar, hallar, abrir, buscar, coger, cosa varia. |Mica: Dos ojos abiertos y las narices.

Muihica. |Piedra de la casa, cosa negra, crecer. |Muihica: Dos ojos cerrados.

Hisca. |Cosa verde, alegría, echarse uno sobre otro, medicina. |Hisca: La unión de dos figuras: era símbolo de la fecundidad.

Ta. |Labranza, cosecha. |Ta: El palo y la cuerda con que formaban el círculo de sus casas y de sus labranzas.

Cuhupcua. |Sordo. |Cuhupcua: Las dos orejas tapadas.




Suhusa. No tirar de otra cosa. La raíz significa |tender, extender. |Suhusa: El palo y la cuerda.

Aca. Los bienes. |Aca: El sapo de cuya cola principia a formarse otro.

Ubchihica. |Luna resplandeciente, casa pintada, pintar. |Ubchihica: Una oreja, para significar las fases de la luna.

Gueta. |Casa y semetera, tocar. |Gueta: Un sapo extendido o echado.

Tabla 2. Primeros diez números muiscas y significado, según el padre Duquesne

Al analizar los significados de los números, vemos que predominan temáticas relativas a la luna7, la rana, y el ciclo de la siembra; con respecto a la rana como animal significativo para los Muiscas, existen algunas crónicas acerca de la veneración a este animal sagrado. Actualmente en el Museo del Oro en Bogotá (Colombia), se pueden apreciar varias figurillas de oro con forma de rana. También Londoño (1998) presenta la imagen de un par de ranas en las puertas de una iglesia Bogotana (Figura 7). De esta imagen se podría deducir una estrategia de las instituciones eclesiásticas coloniales para adoctrinar -a la comunidad indígena y mestiza del altiplano Cundiboyasense; de igual forma podemos observar que en este caso la construcción de los números y especialmente un sistema numérico dotaban de un profundo sentido de identidad para la comunidad Muisca, pues cada uno de estos números estaban relacionados con su cosmovisión y su forma de vida, es decir, estaba relacionada con su cultura.

Figura 7. Figura de una rana sagrada para los Muiscas. Capilla del Sagrario (Bogotá) (Londoño, 1988)

7. Estructura y algunas reglas de composición

Los sistemas de numeración surgen como necesidad de representar simbólicamente cantidades, Diferentes civilizaciones elaboraron varios tipos de representaciones con múltiples características, la elección de uno u otro tipo de sistema contribuyeron a facilitar las operaciones de cálculo y, en cierto

7 Era representada por la Diosa Chía, de acuerdo con el padre Duquesne el calendario Muisca estaba basado en los movimientos de la luna.



sentido, el avance de las civilizaciones. Generalmente, los sistemas de numeración se clasifican en dos grandes conjuntos, sistemas aditivos y sistemas posicionales. La principal diferencia entre ellos reside en el valor de los símbolos que se combinan para escribir los números. De esta forma, en los sistemas posicionales, un mismo símbolo cambia su valor de acuerdo con la posición que ocupa (característica que es llamada valor relativo), mientras que en los sistemas aditivos, los símbolos se representan sin importar un orden específico, aunque estos sistemas optan por una establecer una determinada disposición preferencial. Es extraño encontrar sistema posicionales en las civilizaciones antiguas, y sólo tres de ellas lograron dar forma a sistemas con estas características, las cuales han perdurado hasta hoy día, los babilonios (quienes utilizaban el 10 y el 60 como bases), los mayas (que hacían uso del 5 y el 20 como base), y los chinos (quienes usaban el sistema posicional de cañas).

Molina y Díaz (1988) comentan algunos principios de construcción comunes en toda la familia lingüística Macrochibcha, entre ellas el principio aditivo (el cual está presente en los primeros numerales de la numeración Muisca), y el principio multiplicativo (también está presente en el sistema de numeración Muisca después del número cuarenta. De acuerdo al documento del padre Duquesne, podríamos caracterizar este sistema numérico Muisca como un sistema compuesto por serie de numerales finitos, dotada de cierta estructura lingüística.

En la tabla 3 se presenta un esquema en el que estarán algunos Lexamas (palabras con las cuales se dicen los números), Protolexemas (cuando no se puede descomponer en otros lexemas) y Deuterolexema (palabra formada por uno o más Protolexemas) del sistema numérico Muisca, los cuales son utilizados por Pilares (2005) para el análisis de la estructura lingüística de sistemas de numeración Quechua y Aimara.

Análisis lingüístico de algunos números de la cultura Muisca

Lexemas

Protolexemas

1. Ata 2. Bosa 3. Mica

4. Muyhica 5. Hisca

6. Ta 7. Cuhupqua

8. Suhusa 9. Aca.

10. Ubchihica 20. Gueta8

Deuterolexemas

11. Quihicha9 ata (10+1) 12. Quihicha bosa (10+2) 13. Quihicha mica (10+3)

... 21. Gueta asaqy10 ata (20+1) 22. Gueta asaqy bosa (20+2)

... 35. Gueta asaqy Quihicha hisca (20+15)

... 40. Gue Bosa (20 x 2)

41. Gue Bosa asaqy ata (20 x 2)+1 80. Gue muihica (20 x 4)

200. Gue ubchihica (20 x 10)

Tabla 3. Lexamas, Protolexemas y Deuterolexema del sistema numérico muisca

Al observar esta organización se pueden determinar algunas reglas o normas de construcción numéricas, por ejemplo:

8 El numero veinte, que bien podría expresarse como Quihicha Ubchihica se expresaba alternativamente por la palabra Gueta, cuya significación se asociaba a la idea de "un grupo de veinte".(gue-ata gueta) 9 Para expresar los valores entre el once y el diecinueve, se anteponía la palabra Quihicha, cuyo significado es "pie". 10 Después de la veintena se utiliza la palabra asaqy la cual se traduce literalmente “y más”, la cual de acuerdo con Pilares (2005) podría ser llamado un “constructor”, pues es un fonema que permite establecer una relación entre varios Protolexemas.




• Utilización de la palabra “Quihicha” antepuesta para pronunciar los números del 11 al 19. • Pronunciación del número veinte “Gueta”, haciendo referencia como "un grupo de veinte". • La utilización de la palabra “asaqy” como constructor para los números. • El número de cuarenta, podría ser pronunciado “Gueta asaqy Quihicha Ubchihica” o

simplemente “Gue Bosa11”, al determinar cómo dos grupos de veinte, se podrá inferir los siguientes números:

20 Gueta 20 x 1 40 Gue bosa 20 x 2 80 Gue muihica 20 x 4 200 Gue ubchihica 20 x 10

Sí seguimos la lógica planteada por el padre Duquesne, se creería que los números cuatrocientos (20x20) y ocho mil (20x20x20) deberían ser designados con palabras especificas, de las cuales, desafortunadamente, aun no se tiene conocimiento. O tal vez cabe la posibilidad que los Muiscas no hubiesen tenido la necesidad de crear números de este tamaño. Sin embargo, Izquierdo (2008) plantea el uso de números de gran tamaño para el uso del calendario Muisca, el cual estaba planteado en series lunares que se pueden extender se podían extender hasta 74000 lunaciones o ciclos lunares.

8. Críticas a la obra del padre Duquesne

En la anterior parte del documento planteamos la hipótesis de la existencia de un posible sistema de numeración creado por la cultura Muisca, además se ha hecho un análisis inicial a la estructura y significados tanto de los números como del posible sistema numérico; ahora en esta parte del documento se mostrará la otra cara de la moneda, pues especialmente los guarismos presentados por el Padre Duquesne han sido criticados por la comunidad académica, ya que no se han encontrado otras fuentes aparte de él, donde se apoye la existencia de dicho sistema de representación gráfico, cuando se sabe que una característica importante de las culturas amerindias es el uso de la oralidad para la transmisión de conocimientos.

Este elemento nos ayuda a reflexionar sobre el significado de la escritura; podemos interpretarla como una estructura creada por palabras, sujetos, verbos y predicados; o tal vez es un concepto mucho más amplio. Algunos autores mencionan que el sólo hecho de tener un sistema de representación gráfico ya implicaría una forma de escritura, es decir, los pictogramas en las rocas, los diseños en mochilas, en cierto sentido, son una forma de escritura, de expresión grafica de cosmogonías, creencia, historias y conocimientos; tal vez la anterior consideración llevó a hacer una serie de críticas a la hipótesis de la existencia de un posible sistema de numeración escrito utilizado por los Muiscas, un ejemplo de estas críticas es un artículo titulado “Crítica de los trabajos Arqueológicos del Dr. José Domingo Duquesne”, publicado por Restrepo (1972), donde el autor concluye que el trabajo del padre Duquesne es una malinterpretación de la información dada por los campesinos e indígenas de la región. Posteriormente con algunos trabajos en antropología especialmente los del Triana (1982), empezaron a modificar esta hipótesis.

11 El cual hace una referencia a la idea de "dos grupos de veinte".



9. Interpretaciones actuales a la obra del padre Duquesne

Figura 8. Pictografía rupestre el altiplano Cundiboyasence

En la figura 8 se puede apreciar un ejemplo de arte rupestre que aún sobrevive en el altiplano Cundiboyasence, con diseños entreverados y “sin orden aparente” que ejemplifican la particular manera de representación que poseían los indígenas, muy distinta a la que poseemos actualmente en occidente (Martínez y Botiva, 2004). Actualmente estos vestigios han sido estudiados por diferentes autores, un ejemplo de esto se encuentra en un estudio de arqueoastronomía presentado por Izquierdo (2008) acerca del calendario Muisca, concluye que para la cultura muiscas los números abarcaron conceptos mucho más amplios que la mera expresión de cantidades, ampliándose a la representación de asterismos celestes, los cuales podrían haber sido nombrados con los mismos nombres de los números. Según la hipótesis del autor, los símbolos gráficos o “Guarismos” recogidos por el padre Duquesne no harían relación a guarismos aritméticos, sino a la representación abstracta de patrones estelares, especialmente las llamadas constelaciones oscuras12, las cuales han sido consideradas de gran importancia en las tradiciones astronómicas de las culturas andinas por autores como Gary (1981).

Con respecto a este planteamiento una característica a resaltar de los grupos andinos es la importancia que toma la oralidad como elemento de identidad; lo cual en cierto sentido apoyaría la hipótesis planteada por Izquierdo (2008). Sin embargo, Triana (1970), presenta un compilado de pictogramas y grabados encontrados en un sinnúmero de piedras en todo el altiplano cundiboyasense, y de acuerdo con las interpretaciones del autor estas representaciones graficas eran de carácter mitológico y narrativo. Posteriormente, el mismo Triana (1984) presentaría la hipótesis de que la cultura Muisca iniciaba un “incipiente” proceso de escritura, un apartado planteado por el autor es el siguiente:

“… En el vocabulario chibcha del padre Lugo, la palabra ioquezecubunsuca es el equivalente a leer, un análisis de esta palabra indicaría que los chibchas tenían idea clara de la escritura en pergamino, de donde debió resultar la consecuencia de lectura del pergamino, que es lo que expresa esta palabra, pues ioque=pergamino, ze=promonbre de primera persona que se antepone a los verbos, los cuales terminan en suca y lenguaje=cubum, de modo que traducida literalmente la palabra ioquezecubunsuca equivale a la frase yo

12 Definidas como las zonas de menor brillo en la Vía Láctea.




hablo en pergamino, lo que en tanto podría significar, leer como escribir en pergamino…”

De esta forma el autor expone una serie de posibles representaciones gráficas de tipo ideográfico y alfabético de características chinescas y cuneiformes como posibles señales de escritura de esta cultura.

El preguntarnos acerca de la veracidad de los guarimos presentados por el padre Duquesne, los cuales representaban cantidades, nos llevó a peguntar sí los Muiscas tenían un sistema de representación gráficas de ideas, es decir una escritura13; este asunto sumamente interesante, ha motivado un amplio debate académico y la reconstrucción y preservación del acervo cultural Muisca14 por medio de diferentes proyectos sociales, actualmente no se podría dar una respuesta absoluta o unánime al hablar de escritura o sistemas gráficos de representación utilizada por la cultura Muisca.

10. A modo de reflexión

Es muy plausible la existencia de un sistema de numeración hablada en la cultura Muisca dada a su complejidad económica y social, pues ya desde mucho antes del debatido trabajo del padre Duquesne, algunos frailes que acompañaban a los conquistadores españoles habían escrito acerca de esta construcción cultural. Con respecto a la construcción gráfica de guarismos que representaran cantidades, Triana (1982) expuso una serie de representaciones gráficas de carácter mitológico o narrativo en partes del altiplano Cundiboyasense. Sin embargo en ninguna de estas piedras se encontraron guarismos numéricos similares a los expuestos por el padre Duquesne, lo cual revive el antiguo debate acerca de la veracidad de estos guarimos.

Con respecto a la estructura de este sistema de conteo, se podría mencionar que del número 11 al 40 podría caracterizarse como un sistema de tipo aditivo vigesimal, pues se utiliza un principio aditivo; posteriormente, después del número 40 este sistema se comporta de una forma diferente, pues implementa un principio de tipo multiplicativo acompañado de un principio de tipo aditivo.

En el método de conteo Muisca se observó la importancia de las partes del cuerpo, como los pies o las manos. Molina y Díaz (1988), también encuentran esta característica entre algunas etnias pertenecientes a la familia lingüística Chibcha tales como el pueblo Arahuaco, U´wa o Tunebo y Talamanca, los cual nos da indicios de que esta característica no era única de la Cultura Muisca, sino que era una estrategia propia de los pueblos amerindios.

La búsqueda de conocimiento matemático en una cultura de la cual se creyó extinta en una época, es un asunto complejo, pues implica la búsqueda bibliográfica de material verídico, que ayude a la reconstrucción de este acervo cultural, y la búsqueda es un proceso que está en construcción continua. Al relacionar este aspecto con temas como el conteo y el sistema de numeración, surgen necesidades como la búsqueda de cuantificadores, y números ordinales, los cuales no han sido mencionados, descritos ni estudiados en este documento; en este momento surgen dudas referentes

13 Los aportes del Dr. Triana, mostraron que los Muiscas tenían un conjunto de representaciones graficas de orden mitológico y narrativo. 14 Actualmente estudiantes del departamento de antropología y lingüística de la Universidad Nacional de Colombia adelantan el proyecto “Muyskkubun”, de igual forma en el municipio de Cota, Cundinamarca la escuela “Jizcamox”, buscan preservar, descongelar y promover el hablar el idioma Muyskkubun, el cual fue hablado por los antiguos Muiscas.



acerca del cómo y dónde hacer la búsqueda de estos conceptos, teniendo en cuenta la poca existencia de textos que hablen cerca de estos temas y la no existencia de hablantes de la lengua original.

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Christian Camilo Fuentes Leal, Licenciado en educación básica con énfasis en matemáticas (Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá, Colombia), Estudiante Maestría en Educación, miembro de la Red Latinoamericana de Etnomatemática, miembro del comité científico de la XIV Conferencia Internacional de Educación Matemática. [email protected]



Matemáticas en los estudios de Maestro de Educación Infantil en la Universidad de Castilla-La Mancha: de la diplomatura al grado

María Sotos Serrano (Universidad de Castilla-La Mancha. España) José M. Aguilar Idáñez (Ayuntamiento de Albacete. España)

Fecha de recepción: 23 de octubre de 2012 Fecha de aceptación: 14 de febrero de 2013

Resumen El paso de la diplomatura al grado podría suponer una cierta ampliación de la capacitación profesional de los estudios de Maestro. En este sentido, se realiza un análisis comparativo entre los estudios de Diplomatura y de Grado de Maestro de Educación Infantil en la Universidad de Castilla-La Mancha, especialmente en lo referente a las asignaturas de Didáctica de las matemáticas. En primer lugar se trata el tema del número de créditos y el plan de estudios, para poder descubrir qué lógica se ha utilizado en ese paso de la diplomatura al grado, y posteriormente el de los contenidos de las asignaturas de Didáctica de las matemáticas y la metodología que se aplica, para ver qué es lo que ha cambiado y lo que sigue igual.

Palabras clave Currículum, grado, didáctica de las matemáticas, educación infantil.

Abstract It is generally assumed that the step from the Diploma in Education Studies to the equivalent Degree is an extension of professional capacity of the studies leading to the Degree in Education. In this sense, a comparative analysis is carried out between the studies of Diploma and the Degree in Education at the University of Castilla-La Mancha, especially in reference to the subjects related to the teaching of Mathematics. First of all, the number of credits and curriculum must be considered in order to discover what logic has been used in this step of Diploma to Degree. Then the contents of the subjects related to the teaching of Mathematics, and the methodology, must also be evaluated to check what has been changed and what remains the same.

Keywords Curriculum, degree, mathematics education, early childhood education.

1. Introducción

En España, los cambios legislativos en materia educativa son bastante habituales. Parece que no tenemos la tradición de realizar un consenso político que permita la estabilidad de la legislación educativa. En el ámbito universitario, los últimos cambios que afectan a los diseños curriculares han tenido la particularidad de que se han realizado por el imperativo del Espacio Europeo de Educación Superior1.

1 Sobre el Espacio Europeo de Educación Superior se puede consultar la página http://www.eees.es/

Matemáticas en los estudios de Maestro de Educación Infantil en la Universidad de Castilla-La Mancha: de la diplomatura al grado M. Sotos Serrano, J. M. Aguilar Idáñez


Así, hemos asistido recientemente a un nuevo diseño de los estudios universitarios, adaptándose a dicho Espacio Europeo de Educación Superior, que se ha traducido, entre otras cosas, en la eliminación de los antiguos estudios de diplomaturas y licenciaturas para dar paso a los nuevos estudios de grado. Esto no supone una gran novedad para las antiguas licenciaturas, pero sí para lo que antes denominábamos diplomaturas.

En este sentido, los estudios de Magisterio han pasado a desarrollarse en cuatro cursos académicos, frente a los tres de las diplomaturas, lo que se traduce en pasar de 206 créditos a 240 créditos2. En principio, un aumento de la carga lectiva que previsiblemente supondrá una mejora en la capacitación profesional de los futuros docentes.

Sin duda se trata de una adaptación obligada, ¿pero a qué tipo de orientaciones pedagógicas responde? Para intentar responder a esta cuestión, que no es menor, vamos a presentar los cambios cuantitativos que ha experimentado el Plan de estudios de la formación para Maestro/a de Educación Infantil (antes como diplomatura y ahora como grado), en el caso de la Universidad de Castilla-La Mancha, así como los programas y la metodología de las asignaturas de didáctica de las matemáticas. Con esto intentaremos cubrir los siguientes objetivos:

• Describir los cambios realizados en las materias que componen dicho Plan de Estudios. • Descubrir qué orientación es la que ha determinado dichos cambios. • Presentar en qué nivel institucional reside la responsabilidad de dichos cambios. • Averiguar si dichos cambios del diseño curricular afectan o no a la metodología de la

enseñanza universitaria.

2. El Plan de Estudios

Las asignaturas de los planes de estudio universitarios se encuentran adscritas a lo que se denomina Áreas de conocimiento3. Pero para el análisis que aquí se presenta no utilizaremos esa tipología, sino que agruparemos las distintas asignaturas en relación con las materias tal y como se denominan en educación infantil y primaria: Inglés/Francés, Conocimiento del medio, Lengua, Matemáticas, Música, Educación Física y Plástica, añadiendo otros cuatro grupos de aquellas áreas que no tienen una correspondencia directa con dichas materias. Estos cuatro grupos son: Psicología, Pedagogía, Sociología y Prácticas. El motivo es sencillo, se trata de ver qué peso relativo representan estas materias en el Plan de Estudios del Grado de Maestro de Educación Infantil.

2 Todos los datos que se ofrecen se refieren a la Facultad de Educación de la Universidad de Castilla-La Mancha en Albacete. 3 La relación de las áreas de conocimiento de las universidades españolas está disponible en la página web http://www.mecd.gob.es/dctm/mepsyd/educacion/universidades/profesorado/habilitacion/areas-conocimiento.pdf?documentId=0901e72b80050626.





La siguiente tabla presenta las cifras globales, por las materias señaladas, de la distribución de los créditos (ECTS4) y su peso proporcional en la Diplomatura y en el Grado5, así como las diferencias existentes. Para esto, se han suprimido los créditos optativos y de libre configuración, ya que esos créditos no están asignados a ningún área de conocimiento determinada y, por tanto, pueden variar notablemente entre unos cursos y otros.

Materias Diplomatura Grado Diferencia

ECTS % ECTS % ECTS %

Psicología 19.5 11.9 39 19,1 19,5 7,2

Pedagogía 27 16.5 33 16,2 6 -0,3

Prácticas 32 19.5 42 20,6 10 1,1

Sociología 4.5 2.7 9 4,4 4,5 1,7

Inglés/Francés 0 0 15 7,4 15 7,4

Conoc. del medio 18 11 12 5,9 -6 -5,1

Lengua 21 12.8 18 8,8 -3 -4

Matemáticas 12 7.3 12 5,9 0 -1,4

Música 12 7.3 6 2,9 -6 -4,4

Educación Física 6 3.7 6 2,9 0 -0,7

Plástica 12 7.3 12 5,9 0 -1,4

TOTAL 164 100 204 100 40 0

Tabla 1. Distribución, por materias, de los créditos de los planes de estudio de los estudios de Maestro de Educación Infantil (Diplomatura y Grado)

4 La denominación de los créditos como ECTS (European Credit Transfer System) es una de las novedades del Espacio Europeo de Educación Superior. Una visión general sobre dicho sistema de créditos, que ya era utilizado en los últimos planes de estudio de las diplomaturas de Magisterio, puede consultarse en http://www.eees.es/es/ects. No obstante, conviene señalar que se trata de un sistema algo confuso, en la medida en que cada crédito supone entre 25 y 30 horas de trabajo del alumnado (incluyendo las clases presenciales). Por un lado es bastante ilusorio pretender homogeneizar el trabajo de un alumnado heterogéneo, y al mismo tiempo no se termina de especificar claramente las horas de clases que suponen cada crédito. En la práctica, esto se ha solucionado estableciendo que una asignatura anual con 3 horas de clase semanales equivale a 9 créditos ECTS, y que con 2 horas semanales equivale a 6 créditos ECTS. En este texto, siempre que hablemos de créditos estaremos haciendo referencia a los créditos del ECTS. 5 El Plan de estudios completo puede consultarse en la siguiente página web: http://www.uclm.es/Ab/educacion/guia_docente_infantil.asp. En la tabla figuran 204 créditos en lugar de 240 porque se han eliminado los créditos optativos y el Trabajo Fin de Grado.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1102468

10121416182022

Diplomatura Grado

1 Psicología 5 Inglés/Francés 9 Música

2 Pedagogía 6 Conocimiento del medio 10 Educación Física

3 Prácticas 7 Lengua 11 Plástica

4 Sociología 8 Matemáticas

Figura 1. Diferencia entre los ECTS de Diplomatura y de Grado (% sobre cada titulación)

Lo primero que hay que señalar es algo obvio: los cambios producidos por el paso de la Diplomatura al Grado no se han producido en la misma proporción en cada una de las materias que intervienen en estos estudios. Mientras en unas materias aumenta el número de ECTS asignados, en otras disminuye.

Si se parte del criterio de que los anteriores planes de estudio, relativamente recientes en su formulación, estaban medianamente bien elaborados, lo lógico sería suponer que el aumento de 40 créditos ECTS que supone el paso de la diplomatura al grado supondría un aumento proporcional respecto al plan de estudios anterior. De lo contrario es que se parte de que los planes de estudios anteriores presentaban algunas deficiencias que se han debido intentar solucionar con los nuevos grados.

De hecho, se observa un notable incremento de las materias de Psicología y Lengua Extranjera (en el caso de la Lengua Extranjera se debe a que, debido a la existencia de las anteriores especialidades, en Educación Infantil no se impartían asignaturas de esta materia), mientras que todas las materias de carácter didáctico y disciplinar reducen su peso con el cambio de planes de estudio. En definitiva, el interés fundamental en la elaboración del Grado se centra en la psicología (con el añadido del idioma extranjero para intentar paliar la desaparición de la especialidad correspondiente), mientras que en las materias de didácticas específicas y disciplinares se llega a reducir el número de créditos asignados, pudiendo considerar el caso de la Didáctica de las Matemáticas como uno de los más afortunados, ya que mantiene los 12 créditos que ya tenía en la Diplomatura.

La distribución proporcional del incremento de créditos que supone el paso al Grado es la que figura en la siguiente tabla.





Materias Créditos Dipl. Créditos Grado Diferencia % diferencia ECTS*

Psicología 19.5 39 19,5 48,75

Pedagogía 27 33 6 15

Prácticas 32 42 10 25

Sociología 4.5 9 4,5 11,25

Inglés/Francés 0 15 15 37,5

Conoc. del medio 18 12 -6 -15

Lengua 21 18 -3 -7,5

Matemáticas 12 12 0 0

Música 12 6 -6 -15

Educación Física 6 6 0 0

Plástica 12 12 0 0

TOTAL 164 204 40 100 * Porcentaje de la diferencia en ECTS respecto al total de la misma (40).

Tabla 2. Distribución porcentual del aumento de créditos en el paso de la Diplomatura al Grado (Maestro de Educación Infantil. Universidad de Castilla-La Mancha)

Además, como no todas las materias tenían el mismo peso en la Diplomatura, el incremento que presenta cada una de ellas en el Grado es, en términos relativos, también diferente. Así, en la siguiente tabla se observa que tanto Psicología como Sociología han duplicado el número de créditos.

Materias Créditos Dipl. Créditos Grado Diferencia % diferencia ECTS Dip.-Grado

Psicología 19.5 39 19,5 100

Pedagogía 27 33 6 22,2

Prácticas 32 42 10 31,3

Sociología 4.5 9 4,5 100

Inglés/Francés 0 15 15 -

Conoc. del medio 18 12 -6 -33,3

Lengua 21 18 -3 -14,3

Matemáticas 12 12 0 0

Música 12 6 -6 -50

Educación Física 6 6 0 0

Plástica 12 12 0 0

TOTAL 164 204 40 24,4

Tabla 3. Incremento proporcional de créditos en el paso de la Diplomatura al Grado, con respecto a la Diplomatura

Esta diferencia es la que se representa en la figura 2, en el que Didáctica de las Matemáticas, junto a Educación Física y Plástica, no ha sufrido ninguna variación.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-70

-50

-30

-10

10

30

50

70

90

110

1 Psicología 5 Inglés/Francés 9 Música

2 Pedagogía 6 Conocimiento del medio 10 Educación Física

3 Prácticas 7 Lengua 11 Plástica

4 Sociología 8 Matemáticas

Figura 2. Diferencia proporcional entre los créditos ECTS de Diplomatura y Grado en relación a los asignados en la Diplomatura

Resulta evidente que el número de ECTS sólo ha aumentado en las Prácticas y en las áreas de Psicología, Pedagogía y Sociología6, mientras que en el resto de áreas se producen disminuciones o se mantiene la misma carga lectiva que había en la Diplomatura. En este último caso se encuentra el área de Matemáticas.

No vamos a entrar en el detalle de comparar estos datos con los que ofrece la titulación de Educación Primaria, pero sí conviene señalar que, en ese caso, áreas como Matemáticas y Lengua sí han aumentado la carga lectiva con el paso de la titulación al Grado (de 15 a 18 ECTS en Matemáticas y de 18 a 21 ECTS en Lengua, mientras que Psicología pasa de 13,5 a 21 ECTS).

A partir de estos datos, parece clara la intención de la nueva política educativa en este tema. Si en la Diplomatura de Educación Infantil las áreas principales eran Pedagogía y Psicología, con el paso al Grado esta situación se intensifica, especialmente en el caso de la Psicología. Esta psicologización de la educación infantil, que aquí no se valorará ni en un sentido ni en otro, se produce en detrimento de las áreas del currículum de dicha educación infantil, sobreentendiendo así que las didácticas de los conocimientos curriculares (incluidos los de matemáticas) no son tan importantes como en otros periodos de escolarización.

En este tema, la responsabilidad de dicho cambio descansa casi exclusivamente en el ámbito político estatal, ya que la Orden que establece los requisitos para la verificación de los títulos universitarios oficiales que habiliten para el ejercicio de la profesión de Maestro en Educación Infantil7, decreta que lo que denomina Módulo de formación básica (en el que se incluyen las materias de Psicología, Pedagogía y Sociología) tenga 100 créditos, mientras que al Módulo didáctico y

6 El caso especial de las materias de Inglés/Francés ya se ha comentado antes. 7 Dicha Orden puede consultarse en http://www.boe.es/boe/dias/2007/12/29/pdfs/A53735-53738.pdf.





disciplinar sólo le asigna 60 créditos. Así, en el caso de la Universidad de Castilla-La Mancha esos 60 créditos se amplían hasta 81 créditos, pero no queda mucho más margen de maniobra.

A este primer tipo de condicionante, relacionado con el diseño del currículum, hay que añadir otro relacionado con la situación del alumnado: la escasa capacitación matemática con la que ingresan en estos estudios.

Hay suficientes estudios que señalan los déficits educativos de la enseñanza secundaria en España, y en nuestra propia experiencia docente se constata que gran parte de los estudiantes de la Facultad de Educación carecen de conocimientos matemáticos, así como de la capacidad para expresarse y argumentar sobre conceptos matemáticos básicos. La propia Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM) así lo reconoce cuando señala

“algunos problemas surgidos del debate del análisis de la realidad sobre el recién implantado Grado de Infantil: Formación matemática insuficiente; Actitud negativa hacia la materia” (Palarea, 2011, p. 228).

3. La Didáctica de las Matemáticas

Según el anterior análisis del diseño curricular, la situación de Didáctica de las Matemáticas no ha cambiado (aunque haya perdido presencia relativa), por lo que no debe ser algo preocupante. Pero el problema reside en que resulta complicado aprender didáctica de las matemáticas cuando no se conocen los contenidos matemáticos a enseñar. La solución, en el caso de la Diplomatura, era la de dedicar la primera asignatura a contenidos matemáticos y la segunda a contenidos de didáctica de las matemáticas.

ASIGNATURAS DE LA DIPLOMATURA:

DESARROLLO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO Y SU DIDÁCTIC A

Primera parte: Geometría

Tema 1. Sobre la enseñanza de la geometría espacial. Tema 2. El mundo de los sólidos. Algunas familias. Tema 3. Análisis en el mundo de los poliedros. Descripción, definición y clasificación. Tema 4. Del espacio al plano y del plano al espacio. Representaciones y desarrollos. Tema 5. Polígonos. Tema 6. Geometría de las transformaciones. Tema 7. Introducción general a la medida.

Segunda parte: Números

Tema 8. Números naturales. Tema 9. Sistemas de representación de números. Tema 10. Operaciones aritméticas. Sentido y algoritmo de las operaciones. Tema 11. Cálculo mental. Tema 12. Divisibilidad. Tema 13. Números enteros. Tema 14. Números racionales.



DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN INFANTIL

Tema 1. Desarrollo del pensamiento lógico-matemático. Tema 2. Números y cálculo. Tema 3. Exploración del espacio. Geometría. Tema 4. Medida.

En el caso del Grado el diseño inicial es diferente, ya que las dos asignaturas se plantean como asignaturas de didáctica de las matemáticas, repartiendo los contenidos en dos bloques: la primera se dedica al pensamiento lógico y numérico y la segunda al pensamiento espacial, geométrico y de medida.

ASIGNATURAS DEL GRADO:

DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LOGICO Y NUMERICO EN LA ED. INFANTIL

Tema 1. El currículo de las matemáticas en la Educación Infantil. Tema 2. Lógica elemental; relaciones lógicas: clasificar, seriar y ordenar; razonamiento;

demostraciones; conjeturas; patrones. Tema 3. El número natural; período prenumérico; primeros conceptos numéricos; usos del

número; emparejar; ordenar; estrategias para cuantificar; representaciones; estructuras conceptuales aditiva y multiplicativa.

Tema 4. Estrategias de cálculo y de resolución de problemas; problema didáctico que plantean las operaciones; investigaciones.

Tema 5. Didáctica de la estadística y la probabilidad en educación infantil.

DESARROLLO DEL PENSAMIENTO ESPACIAL, GEOMETRICO Y D E MEDIDA EN LA ED. INFANTIL

Tema 1. El currículo de las matemáticas en la Educación Infantil: conexiones y relaciones entre los diversos contenidos.

Tema 2. Desarrollo del pensamiento geométrico: topológico, proyectivo y euclídeo. Tema 3. Las formas en el espacio y en el plano: la geometría a través de las transformaciones. Tema 4. El concepto de magnitud y su medida. Tema 5. Materiales y recursos para la enseñanza de la geometría en Educación Infantil.

Pero la realidad obliga a intentar compaginar los contenidos diseñados con otros más estrictamente matemáticos. En la práctica no hay grandes diferencias entre lo que se hacía en la Diplomatura y lo que se hace en el Grado, y creemos que habrá que seguir manteniendo este criterio para intentar mejorar el conocimiento matemático del alumnado.

Aunque no es algo específico del Grado, con la llegada de los ECTS se comenzó a plantear la necesidad de cambiar las formas de enseñanza universitaria más tradicionales por otras que permitieran un tipo de aprendizaje algo más constructivista y cooperativo. Se tendría que potenciar el trabajo autónomo del alumnado, con una cierta diversidad de actividades académicas, así como aumentar el trabajo de seminarios en detrimento de las clases magistrales.

Esto puede ser una auténtica novedad en unos casos, aunque en otros no lo sea tanto. En este caso, desde mucho antes del nacimiento de los ECTS se ha trabajado con metodologías de enseñanza de este tipo, aunque también hay que reconocer que no siempre se han podido desarrollar





convenientemente, especialmente en los cursos académicos en los que había que atender a más de 200 estudiantes. La llegada del Grado parecía que mejoraría esta situación. Así, en todos los cursos y talleres organizados por la propia Universidad de Castilla-La Mancha para divulgar esta metodología asociada a los ECTS, se insistía en la necesidad de reducir notablemente los grupos de alumnas/os para poder desarrollarla conveniente, ya que un aspecto importante de esta lo constituye el seguimiento individualizado del trabajo de alumnado, mediante sesiones de seminario semanales. En la misma línea se manifiesta la SEIEM cuando señala que “parece conveniente reiterar la dificultad de aplicación de las nuevas propuestas con grupos que en la mayoría de los casos superan los 80 estudiantes” (Palarea, 2011: 233).

De nuevo la realidad ofrece un panorama diferente. En el curso académico 2011-2012 hay 2 grupos de cada una de las 2 asignaturas, con 65 alumnas/os en cada uno de ellos. Esto hace un total de 260 estudiantes para ser atendidos por una sola profesora.

De todos modos, el trabajo que se realiza en ambas asignaturas incluye una suficiente variedad de actividades:

• Trabajo en grupo sobre el currículum matemático de Educación Infantil. • Comentarios de artículos (individual y en clase). • Trabajo de investigación (sobre algún concepto matemático, cómo proponen trabajarlo

algunos autores, cómo lo plantearían ellos, elaboración de materiales y cuentos y de situaciones didácticas para trabajar en el aula).

• Elaboración de material didáctico (ej.: bloques lógicos distintos a Dienes y plantear actividades lógicas con ellos).

• Plantear posibles situaciones de aula de educación infantil para que intenten resolverlas. • Elaborar proyectos. • Charla con alguna maestra para que les hable de su experiencia y metodología.

Posiblemente, la gran novedad consista en que ahora este tipo de trabajo docente está más extendido que antes, ya que en la Facultad se establecen protocolos de coordinación en cada curso para intentar repartir la carga de trabajo del alumnado de la manera más homogénea posible. Aún así, el pasar de un sistema en el que este tipo de metodología era una excepción a otro en el que esté más generalizado, supone un aumento en la carga de trabajo (del alumnado y del profesorado) que afecta al rendimiento esperado.

4. Conclusiones

A la vista de los datos presentados, del caso de la Universidad de Castilla-La Mancha se pueden extraer algunas conclusiones:

1. Asistimos a un proceso de psicologización de la etapa de educación infantil. Las directrices políticas son evidentes. Mientras las materias del Módulo didáctico y disciplinar pierden presencia relativa en el nuevo Plan de estudios del Grado de Maestro de Educación Infantil, la psicología duplica el número de créditos que tenía en la Diplomatura.

2. Las dificultades que existiesen para la formación en Didáctica de las Matemáticas de los futuros docentes de Educación Infantil se mantendrán en el caso de los estudios de Grado, ya que su situación en el currículum universitario no ha cambiado.

3. Los cambios producidos por el paso de la Diplomatura al Grado se reducen, básicamente, al reparto de la carga curricular entre las diferentes materias que componen el Plan de



Estudios. Pero en el terreno estrictamente metodológico, mientras se mantengan las mismas condiciones de trabajo no se producirán avances significativos en este terreno. Esto no es achacable al propio Espacio Europeo de Educación Superior, ya que este Plan se limita a establecer un sistema de convergencia europea en materia de titulaciones, sin que la metodología de enseñanza sea una de sus prioridades.

Evidentemente, todo sistema puede ser mejorado, por eso se justifica el cambio. Pero para poder mejorarlo hay que definir cuáles son sus puntos más débiles. Aquí hemos presentado los que consideramos más importantes: la psicologización del currículum, la escasa capacitación matemática del alumnado y la necesidad de reducir los grupos de alumnas/os, reduciendo así también el número de alumnas/os que hemos de atender cada docente. Creemos que estos aspectos son mucho más importantes que el simple paso de las diplomaturas a los grados, y mientras estos no cambien muy poco habrá cambiado.

Bibliografía

Palarea, M. (2011). Informe del Seminario: La formación inicial del profesorado de matemáticas ante la implantación de los nuevos grados en infantil, primaria y máster de secundaria. Educatio Siglo XXI, 29 (2), 225-234.

María Sotos Serrano es profesora de Didáctica de las Matemáticas en la Universidad de Castilla-La Mancha (España). Facultad de Educación de Albacete. Líneas de investigación: didáctica de las matemáticas en educación infantil e investigación etnográfica del profesorado. Ha sido profesora visitante en la Universidad Pedagógica Nacional de Zacatecas (México) y en la Universidad de Uncuyo de Mendoza (Argentina). [email protected]

José María Aguilar Idáñez es sociólogo, especializado en sociología de la educación. Ha sido profesor en la Universidad de Valencia, en la Universidad Nacional de Educación a Distancia y en la Universidad de Castilla-La Mancha, y profesor visitante en la Universidad Pedagógica Nacional de Zacatecas (México). Actualmente trabaja en el Servicio de Acción Social del Ayuntamiento de Albacete. [email protected]



Identificación de figuras geométricas en fotografías de objetos reales. Un estudio con maestros en formación

José María Muñoz Escolano (Universidad de Zaragoza. España) Antonio M. Oller Marcén (C. Universitario de la Defensa, Academia General Militar. España)

Fecha de recepción: 13 de Diciembre de 2012 Fecha de aceptación: 8 de abril de 2013

Resumen En este trabajo se analizan (cuantitativa y cualitativamente) las respuestas de 173 estudiantes de Magisterio ante una tarea en la que debían identificar figuras geométricas presentes en 4 fotografías de objetos reales.

Palabras clave Geometría, Maestros en formación, Identificación de figuras, Terminología geométrica, Visión espacial.

Abstract In this paper we analyze (both quantitatively and qualitatively) the answers of 173 prospective Primary school teachers in an activity in which they were asked to identify geometric shapes appearing in 4 photographs of real objects.

Keywords Geometry, Prospective teachers, Identification of figures, Geometric terminology, Spatial vision.

1. Introducción y objetivos

En el currículo de Matemáticas de Educación Primaria se encuentra un bloque íntegramente dedicado a la Geometría. En los epígrafes correspondientes a los contenidos, tanto en el primer ciclo como en el segundo, se leen los siguientes puntos:

• “Figuras planas: reconocimiento en objetos familiares de triángulo, cuadrado, rectángulo y círculo…”

• “Cuerpos geométricos: reconocimiento en objetos familiares – como muebles, logotipos, señales de tráfico, etc. – de pirámide, prisma, cono, cilindro y esfera…”

Además, uno de los criterios de evaluación correspondientes dice: “Reconocer en el entorno inmediato formas y cuerpos geométricos”.

Nos parece importante, y así lo hacemos notar, el énfasis que se hace al hablar de “objetos familiares” y de “entorno inmediato”. La geometría debe servir al alumnado para describir y organizar su entorno y para ello un primer paso debe ser reconocer en dicho entorno aquellos objetos geométricos que ya conocen y que, a su vez, han surgido a partir de un proceso de abstracción de la propia realidad. Prueba de esto son los concursos de fotografía matemática que son convocados asiduamente por un gran número de institutos de enseñanza secundaria u otras instituciones educativas (ver, por ejemplo, (Nomdedeu, 2009)).

Identificación de figuras geométricas en fotografías de objetos reales. Un estudio con maestros en formación J.M. Muñoz Escolano y A.M. Oller Marcén


En consecuencia, pensamos que la capacidad de detectar figuras y cuerpos geométricos que se encuentran en diferentes entornos cotidianos, así como de describir correctamente y de manera precisa (es decir, empleando terminología geométrica) dichos objetos debe ser una competencia importante para el docente.

Sin embargo, trabajos como el de Barrantes y Blanco (2005) muestran algunas concepciones de futuros docentes que chocan frontalmente con la idea de una geometría que describe el entorno (mayor importancia de la geometría plana y de los aspectos numéricos, separación entre la geometría y otras materias, etc…). Estas concepciones pueden ser debidas al tipo de enseñanza tradicional recibida por dicho alumnado, que presta escasa atención a la geometría espacial, pese a que nuestro entorno y los objetos que nos rodean son tridimensionales. De hecho, recientes estudios (González et al., 2006; Guillén, 1997; Guillén, 2010) muestran los múltiples aspectos positivos de un modelo de enseñanza de la geometría basado en los sólidos.

Por otra parte, tanto los estudios centrados en la evaluación de las competencias matemáticas de los maestros en formación (Tatto et al., 2008; Escolano et al., 2011, 2012), como los más centrados en evaluar el grado de adquisición de contenidos matemáticos propios de la Educación Secundaria (Hernández et al., 2001; Nortes et al., 2009) muestran que los futuros maestros poseen un conocimiento geométrico inferior al que sería deseable de cara a su futura labor docente.

En este sentido, no hemos encontrado estudios que observen y analicen la capacidad de detectar figuras y cuerpos geométricos en objetos cotidianos por parte de maestros (en ejercicio o en formación). Los trabajos antes citados no inciden en este aspecto y, en ellos, las tareas relacionadas con la geometría implican un grado de abstracción relativamente alto y no involucran en ningún caso objetos reales.

En consecuencia, el principal objetivo que se persigue con este trabajo es diseñar un breve test que permita analizar la identificación formas geométricas en imágenes de objetos reales por parte de estudiantes de magisterio. En concreto, se solicitó al alumnado participante que indicara todas las figuras y cuerpos geométricos que fueran capaces de encontrar en cuatro fotografías. El análisis de las respuestas de los estudiantes se centra principalmente en los siguientes objetivos:

• Analizar los términos utilizados por los estudiantes, observando qué términos aparecen y cuántos términos distintos indica cada estudiante.

• Estudiar el uso de términos de geometría plana frente a términos de geometría espacial, analizando si predominan unos sobre otros y dónde aparecen más errores.

• Clasificar los términos incorrectos utilizados por los estudiantes.

De los objetivos anteriores, el tercero tiene especial interés por cuanto permite comprender mejor las causas que provocan los errores detectados y, así, diseñar actividades que contribuyan a que los futuros maestros puedan abordar competentemente actividades similares con sus futuros estudiantes.

El trabajo se organiza del siguiente modo. En la segunda sección se presenta el método que se ha seguido a la hora de abordar la investigación. En la tercera sección se aborda el análisis, cuantitativo y cualitativo, de los datos obtenidos. Finalmente, se concluye con una sección dedicada a presentar algunas conclusiones importantes.


J.M. Muñoz Escolano y A.M. Oller Marcén



2. Método

2.1. Contexto

Este estudio se enmarca dentro de un proyecto más amplio llevado a cabo por los autores en la Universidad de Zaragoza al respecto de las competencias y conocimientos matemáticos de maestros y maestras en formación (Muñoz y Oller, 2011). El trabajo realizado se centra en estudiantes de segundo curso de la Diplomatura de Maestro (especialidad en Educación Primaria). Más concretamente en estudiantes matriculados durante el curso 2010-2011 en la asignatura “El currículum de matemáticas en Educación Primaria”; asignatura anual del plan de estudios citado anteriormente.

La elección de este grupo concreto de alumnado viene motivada por el hecho de que, en este punto de su formación, dichos estudiantes ya han cursado (aunque no necesariamente superado) la asignatura Matemáticas y su didáctica II. Se trata de una asignatura cuatrimestral de 6 créditos que comprende aspectos de geometría euclídea básica (tanto plana como espacial). Consideramos que en el momento de realizar el test los estudiantes han recibido una formación geométrica relativamente importante que se une, además, a su formación preuniversitaria. Los centros donde se realiza la experimentación son los siguientes:

• Facultad de Educación, en Zaragoza. • Facultad de Ciencias Humanas y de la Educación, en Huesca. • Facultad de Ciencias Sociales y Humanas, en Teruel.

Esto nos permite ampliar la muestra con estudiantes de una formación similar y de distintos centros. Además, en el momento de la realización del estudio el primer autor se encuentra impartiendo clases en la Facultad de Ciencias Humanas y de la Educación (Huesca), mientras que el segundo lo hace en la Facultad de Ciencias Sociales y Humanas (Teruel).

2.2. Diseño de la actividad

Existen diversos trabajos en los que se presentan pruebas diseñadas para estudiar, entre otros aspectos, la capacidad de estudiantes de diversos niveles educativos de reconocer e identificar diversos objetos geométricos y sus componentes (Usiskin, 1982; Fouz, 2006). Del mismo modo abundan trabajos analizando el modo en que los estudiantes manejan representaciones planas de objetos tridimensionales (Gutiérrez, 1991; 1998).

En la práctica totalidad de los trabajos consultados se presentan actividades en un contexto puramente geométrico y con un alto grado de abstracción. Puesto que nuestro interés se centra en el estudio de la geometría en relación con el entorno, se decide que la prueba consistiera en la identificación libre de figuras y cuerpos geométricos en fotografías de objetos reales. En consecuencia, dada la ausencia de ejemplos en la literatura, el primer paso a seguir es diseñar el test que se plantea a los estudiantes.

La elección del tipo de tarea propuesta al alumnado (indicar el mayor número de objetos geométricos que sean capaces de identificar en una serie imágenes sin darles ningún tipo de guía o indicación) hace que cobre una gran importancia la selección de las imágenes que se presentan a los estudiantes de cara a obtener unas respuestas que proporcionen la mayor cantidad de información posible. Así pues se procede a realizar una búsqueda exhaustiva de imágenes de objetos reales de



carácter geométrico a través de internet. Los criterios seguidos a la hora de seleccionar las imágenes son:

• Que los objetos representados posean la mayor riqueza posible en cuanto a figuras geométricas a identificar a partir de sus fotografías.

• Que aparezcan algunas figuras geométricas “ambiguas” y no habituales. • Que se aprecien en las imágenes figuras geométricas tanto planas como espaciales. • Que las fotografías muestren perspectiva.

Tras el proceso de búsqueda las imágenes seleccionadas son las siguientes:

Finalmente señalar que, en los test entregados a los estudiantes, cada una de las imágenes tiene una altura real de 5 cm. y una anchura que varía entre los 4,75 cm. y los 7,5 cm. dependiendo de la imagen. Todas ellas son impresas en una impresora láser a color de alta definición.

2.3. Análisis previo

Una vez elegidas las fotografías, se procede a realizar un análisis previo de términos esperados por parte de los estudiantes, tanto de geometría plana como de geometría espacial. En este punto no se entra a valorar si las respuestas son (o se consideran) correctas o incorrectas; tan sólo nos preocupamos por imaginar qué respuestas pueden dar los estudiantes ante las fotografías.

Los términos que, a priori, pensamos que podrían aparecer con una frecuencia alta están recogidos en la tabla siguiente:

Figura 1. Imágenes elegidas y sus denominaciones.





2D 3D

Casa Pentágono, Trapecio,

Hexágono, Rectángulo, Triángulo, Paralelogramo.

Poliedro, Dodecaedro, Semiesfera.

Fuente Rectángulo, Heptágono, Círculo, Circunferencia, Elipse, Corona circular.

Semiesfera, Esfera, Prisma.

Papelera Trapecio, Cuadrado, Rombo,

Paralelogramo. Tronco de pirámide, Pirámide, Prisma.

Bruselas Cuadrado, Triángulo,

Trapecio, Círculo, Rombo. Esfera, Cubo, Pirámide,

Cilindro.

Tabla 1. Términos esperados para cada una de las imágenes.

Como se verá más adelante, la variedad de respuestas dadas por los estudiantes fue mucho mayor de lo previsto; lo que obligó a descartar las respuestas emitidas por un porcentaje de los estudiantes menor que el 3% por ser consideradas esporádicas. No obstante, cabe señalar que todos los términos previstos aparecieron entre las producciones del alumnado.

2.4. Desarrollo del test

Dada la naturaleza de la prueba, la participación por parte de los estudiantes es totalmente voluntaria, aunque se trató de que el número de participantes fuera lo mayor posible. De hecho el test es realizado prácticamente por todos los estudiantes que asisten regularmente a clase. El número total de estudiantes participantes es de 173, repartidos entre los tres centros del siguiente modo:

Huesca Teruel Zaragoza

Nº de estudiantes 62 54 57

Porcentaje 35.8% 31.2% 32.9%

Tabla 2. Reparto de los estudiantes por centros.

Los estudiantes participantes en el estudio llevan a cabo el test en una de sus sesiones habituales de clase, para lo cual se cuenta con la colaboración de los profesores de cada uno de los grupos.

Como ya se ha comentado, la compleción y entrega del test es voluntaria y los formularios anónimos. Además, se indica a los estudiantes que en ningún momento los resultados serán utilizados para la evaluación (aunque algunos estudiantes insistieron en conocer sus resultados).

2.5. Unidades de análisis

A la hora de abordar el análisis de las respuestas dadas por el alumnado adoptamos dos enfoques claramente diferenciados. El primero de tipo cuantitativo y el segundo de tipo cualitativo.

En cuanto al estudio cuantitativo, nos centramos en los siguientes aspectos:



• Estudio de los términos más utilizados: Nos interesa estudiar cuáles son los términos más utilizados por los estudiantes. Es decir, queremos analizar qué ven los estudiantes en las imágenes propuestas. Para ello, se indica cuáles han sido los términos empleados por al menos un 3% del alumnado participante.

• Análisis de los términos encontrados: Una vez observados los términos que utilizan los estudiantes, parece interesante abordar un análisis más detallado de los mismos. En concreto nos centramos en dos aspectos:

� Uso de términos 2D y 3D: Un aspecto interesante a analizar es si los estudiantes tienen una mayor predisposición para identificar figuras planas que figuras tridimensionales. Para ello se observa la cantidad de cada uno de los tipos de términos en las respuestas de los estudiantes.

� Número de términos correctos: Otro aspecto importante a tener en cuenta es la cantidad de términos correctos utilizados por los estudiantes y su distribución entre términos de geometría plana y espacial. De la lista prevista de términos presentada en 2.3 se consideran correctos los siguientes:

� En la imagen “Casa”: pentágono, trapecio, hexágono, rectángulo, triángulo y poliedro.

� En la imagen “Fuente”: rectángulo, circunferencia, elipse, corona circular, heptágono, semiesfera y prisma.

� En la imagen “Papelera”: trapecio, cuadrado y tronco de pirámide. � En la imagen “Bruselas”: cuadrado, triángulo, trapecio, esfera, cubo, pirámide

y cilindro. • Número de respuestas por estudiante: Además de observar qué ven los estudiantes, estamos

interesados en analizar cuánto ven. Para ello se estudia el número de términos distintos que indica cada uno de los estudiantes.

Por otra parte, el análisis cualitativo se centrará en los siguientes aspectos:

• Análisis de las respuestas correctas no esperadas: Se estudia aquellos términos dados por los estudiantes que, siendo correctos, no se consideraron probables y se trata de analizar los motivos por los que han aparecido con un porcentaje significativo.

• Análisis de las respuestas incorrectas y clasificación de errores: Se presenta algunos de los errores cometido por los estudiantes, tratando de abordar una clasificación de los mismos. En concreto hemos detectado los siguientes tipos de errores relevantes:

� Errores en el uso de la terminología. � Errores causados por trabajar con una representación plana del objeto (Guillén, 2010).

3. Análisis cuantitativo de los resultados

3.1. Términos más utilizados

En esta sección pretendemos iniciar el análisis de las respuestas del alumnado. Por un lado presentaremos los listados con los términos más utilizados por los estudiantes en cada una de las fotografías. En definitiva se estudia aquí qué dicen; sin entrar en el estudio y clasificación detallados de las respuestas, que se abordan en secciones subsiguientes. Para ello se registran las diferentes respuestas dadas por los estudiantes, recogiendo literalmente todos los términos empleados en los diferentes test; así, por ejemplo, se consideran como diferentes respuestas si un estudiante identifica un “trapecio” o un “trapecio rectángulo”.





Como ya avanzamos y se observa en las tablas del Apéndice, se ha encontrado una gran variedad de términos diferentes. En esta sección nos restringimos únicamente a aquellos cuyo porcentaje de aparición supera el 3%; es decir, aquellos utilizados por más de 5 estudiantes de los 173 que realizaron el test.

Casa. En esta imagen se registran hasta un total de 38 términos distintos empleados por todos los estudiantes, sin embargo solo 10 de ellos aparecen con una frecuencia mayor al 3%. Éstos aparecen recogidos en la tabla siguiente:

Términos Frecuencia total Porcentaje de estudiantes Rectángulo 161 93.1%

Pentágono 147 85%

Hexágono 124 71.7%

Triángulo 85 49.1%

Trapecio 64 37%

Cuadrado 14 8.1%

Cilindro 9 5.2%

Dodecaedro 9 5.2%

Semiesfera 8 4.6%

Paralelogramo 6 3.5%

Tabla 3. Términos más usados de la imagen “Casa”.

Fuente. En este caso, se registran 31 términos distintos empleados por el total de los estudiantes donde los que aparecen con una frecuencia mayor al 3% son los 15 siguientes:

Términos Frecuencia total Porcentaje Rectángulo 88 50.9%

Heptágono 71 41%

Círculo 64 37%

Hexágono 53 30.6%

Semiesfera / media esfera 51 29.5%

Circunferencia 50 28.9%

Octógono 47 27.2%

Cuadrado 26 15%

Prisma 15 8.7%

Semicírculo 14 8.1%

Semicircunferencia 12 6.9%

Octaedro 12 6.9%

Corona circular 10 5.8%

Esfera 6 3.5%

Heptaedro 6 3.5%

Tabla 4. Términos más usados de la imagen “Fuente”.



Papelera. De acuerdo con el análisis previo, esta imagen es la que registra menos términos distintos, si bien hay que destacar que aparecen muchos más de los esperados, un total de 28. En la siguiente tabla se encuentran los 9 más representativos al aparecer con una frecuencia mayor al 3%:

Términos Frecuencia total Porcentaje Cuadrado 125 72.3%

Trapecio 78 45.1%

Rectángulo 25 14.5%

Paralelogramo 14 8.1%

Prisma 13 7.5%

Cuadrilátero 10 5.8%

Rombo 9 5.2%

Romboide 7 4.1%

Cubo 6 3.5%

Tabla 5. Términos más usados de la imagen “Papelera”.

Bruselas. Finalmente en esta imagen se emplean 29 términos distintos. Los que aparecen con una frecuencia mayor al 3% son los 13 siguientes:

Términos Frecuencia total Porcentaje Esfera 122 70.5%

Rectángulo 66 38.2%

Cilindro 66 38.2%

Triángulo 57 33%

Cubo 40 23.1%

Cuadrado 35 20.2%

Trapecio 35 20.2%

Círculo 30 17.3%

Circunferencia 17 9.8%

Pirámide 7 4.1%

Pentágono 6 3.5%

Rombo 6 3.5%

Prisma 6 3.5%

Tabla 6. Términos más usados de la imagen “Bruselas”.

En general, aparte de la reflexión acerca de la gran variedad de términos utilizados y la dispersión de los mismos, cabe destacar que el término rectángulo es el término más empleado en las dos primeras imágenes y se encuentra también entre los más citados en las otras dos imágenes, incluso cuando no es el más evidente (como en la imagen “Fuente”) o no sea pertinente (como en la imagen “Papelera”). Aunque es objeto de estudio del apartado 3.3, también señalar el predominio de los términos provenientes de la geometría plana frente a los de la geometría espacial. En este sentido, es sorprendente que más de un 75% de los estudiantes no mencionan el término “cubo” en la imagen Bruselas.





3.2. Análisis de los términos encontrados

En la tabla siguiente se indica el número de términos encontrados relativos a geometría plana y a geometría espacial. Además del número total de términos, señalamos el número de términos correctos (ver punto 2.5).

Número total de términos (distintos)

Número de términos correctos (distintos)

Porcentaje de términos correctos distintos

Casa 2D 644 (27) 590 (8) 29.6%

3D 43 (11) 4 (1) 9.1%

Fuente 2D 448 (18) 296 (8) 44.4%

3D 105 (13) 67 (3) 23.1%

Papelera 2D 283 (16) 207 (3) 18.7%

3D 35 (12) 4 (3) 25%

Bruselas 2D 275 (20) 199 (5) 25%

3D 246 (9) 241 (5) 55.6%

Tabla 7. Términos 2D y 3D, totales y correctos, en las distintas imágenes.

A la vista de la tabla anterior observamos varios fenómenos interesantes:

• En todas las imágenes el número total de términos distintos provenientes de la geometría plana es muy superior a los de la geometría espacial.

• Respecto al número de términos correctos distintos, este desequilibrio también se da en las imágenes “Casa” y “Fuente”, pero no en las imágenes “Papelera” y “Bruselas” donde se igualan. Sin embargo, en el caso de la imagen “Papelera”, también cabe señalar que el número de términos correctos de geometría plana es 50 veces mayor que el correspondiente número de términos correctos de geometría espacial.

• El número de términos correctos distintos es muy pequeño en comparación con el número total de términos distintos. Tan sólo en un caso supera el 50% y sólo en dos casos supera el 40%. Esto nos indica que aparece una gran variedad de términos incorrectos (tanto relativos a geometría plana, como a espacial) en todas las imágenes.

• En las imágenes “Casa” y “Fuente” el porcentaje de términos correctos distintos relativos a geometría espacial es muy inferior al correspondiente porcentaje en el caso de la geometría plana. Es decir, aparentemente el número de errores es mayor al utilizar términos de geometría espacial.

3.3. Número de términos empleados por estudiante

En este apartado se muestran los resultados de analizar el número de respuestas (totales y correctas) dadas por cada estudiante. Aquí nos centramos pues en estudiar cuánto dicen los estudiantes para cada una de las imágenes propuestas.

Casa. El número de términos diferentes utilizados por cada estudiante varía entre 0 y 8. La media de respuestas por estudiante es 4 y su desviación típica es 1.5. En la figura siguiente se muestran las frecuencias absolutas de los posibles números de respuestas:



Figura 2. Número de estudiantes dependiendo del número de respuestas en la imagen “Casa”.

Por otro lado, el número de términos correctos utilizados por cada estudiante varía entre 0 y 7, con una media de 3.45 y una desviación típica de 1.35. En la figura siguiente se muestra las frecuencias de cada número de aciertos.

Figura 3. Número de estudiantes dependiendo del número de aciertos en la imagen “Casa”.

La mayor riqueza de esta fotografía respecto a las posteriores, hace que, en promedio, el número de respuestas (tanto totales, como correctas) por estudiante sea mayor en esta imagen que en cualquiera de las otras.

Fuente. De nuevo encontramos que el número de términos diferentes utilizados por los estudiantes varía entre 0 y 8. Aquí se observa que la mayor parte de los estudiantes utilizan entre dos y cuatro términos distintos ya que la media es de 3.2 términos y la desviación típica es 1.2. En la figura siguiente se muestran las frecuencias absolutas de los posibles números de respuestas:





Figura 4. Número de estudiantes dependiendo del número de respuestas en la imagen “Fuente”.

En este caso, el número de términos correctos utilizados por cada estudiante varía entre 0 y 6, con una media de 2.1 y una desviación típica de 1.19. En la figura siguiente se muestra las frecuencias de cada número de aciertos.

Figura 5. Número de estudiantes dependiendo del número de aciertos en la imagen “Fuente”.

Papelera. Esta es la figura menos rica de las escogidas a la hora de plantear la actividad. Esto que ya se reflejó en el menor número de términos empleados por los estudiantes se refleja también en el número de términos diferentes que utiliza cada estudiante donde el número de términos empleado por cada estudiante varía entre 0 y 5. La media se reduce a 1.9 y su desviación típica a 0.9. Se observa un valor medio claramente inferior y un mayor agrupamiento de los datos; no en vano el 55% de los estudiantes dio dos respuestas. Las frecuencias absolutas aparecen en la figura que sigue:



Figura 6. Número de estudiantes dependiendo del número de respuestas en la imagen “Papelera”.

Un fenómeno similar se observa al analizar el número de aciertos por estudiante. En este caso, esta variable varía entre 0 y 3, con una media de tan sólo 1.25 y una desviación típica de 0.75 (ver figura siguiente).

Figura 7. Número de estudiantes dependiendo del número de aciertos en la imagen “Papelera”.

Bruselas. Curiosamente aquí el número de términos diferentes utilizados por cada estudiante vuelve a variar entre 0 y 8. Como en el caso de la imagen “Fuente”, se observa claramente que la mayor parte de los estudiantes utilizan entre 2 y 4 términos distintos ya que la media es 3 y la desviación típica es de 1.4. En la figura siguiente se muestran las frecuencias absolutas de los posibles números de respuestas:





Figura 8. Número de estudiantes dependiendo del número de respuestas en la imagen “Bruselas”.

Resulta sorprendente que, en esta imagen, la distribución del número de aciertos por estudiante se mantiene casi invariante con respecto a la distribución del número de respuestas. El número de aciertos varía entre 0 y 7 con una media de 3 y una desviación típica de 1.4. En la figura siguiente se muestran las frecuencias correspondientes.

Figura 9. Número de estudiantes dependiendo del número de aciertos en la imagen “Bruselas”.

Como comentario general, resaltar el bajo número medio de respuestas por estudiante, que en ninguna de las imágenes llega a 4. El número de aciertos por estudiante es aún menor, con el caso extremo de la imagen “Papelera” en la que, en promedio, los estudiantes no llegan a señalar ni dos términos correctos.

4. Análisis cualitativo de los resultados

4.1. Términos correctos no esperados

En el apartado 2.3 se presentaron los términos que, tras un análisis previo de las imágenes, resultaban esperados por parte de los investigadores. Además, en el apartado 2.5 se indicó cuáles de ellos se considerarían como correctos al ser utilizados por los estudiantes.



Sin embargo, tras el estudio cuantitativo de las respuestas de los estudiantes que se abordan en la sección anterior, aparecen términos que deben ser considerados correctos pero que no eran esperados por los investigadores. En concreto aparecen los siguientes.

Términos correctos esperados Términos correctos inesperados

Casa Pentágono, trapecio, hexágono, rectángulo, triángulo y poliedro.

Trapecio isósceles, triángulo isósceles y triángulo rectángulo.

Fuente Rectángulo, circunferencia, elipse,

corona circular, heptágono, semiesfera y prisma.

Cuadrado, heptágono, octógono, óvalo y superficie de revolución.

Papelera Trapecio, cuadrado y tronco de

pirámide. Trapecio isósceles, pirámide truncada

y pirámide sin punta.

Bruselas Cuadrado, triángulo, trapecio, esfera,

cubo, pirámide y cilindro. Rectángulo, pentágono y prisma.

Tabla 8. Términos correctos, esperados e inesperados, en las distintas imágenes.

Estos aciertos inesperados tienen, a nuestro juicio, un cuádruple origen:

• Existen términos que provienen de un “exceso” de precisión inesperado por parte de los estudiantes. Tal es el caso, por ejemplo, de los estudiantes que señalan el término trapecio isósceles para referirse a las caras laterales en la figura “Papelera”.

• Aparecen términos que deben ser tomados como correctos debido a que la imagen no proporciona todos los elementos necesarios para determinar unívocamente el objeto señalado. Este es el caso de la imagen “Fuente”, dónde no puede saberse con total certeza si la forma de la misma es de heptágono o de octógono.

• Algunos estudiantes utilizan términos que no son usuales en la enseñanza de la Geometría al nivel de primaria y que, por ello, no se esperaban. Es el caso, por ejemplo de los términos óvalo y superficie de revolución.

• Por último, algunos estudiantes se fijan en partes de la imagen que los investigadores pensaban que iban a ser pasadas por alto. Así, por ejemplo, encontramos estudiantes que indican el término prisma en la imagen “Bruselas” refiriéndose a la caseta de la zona inferior derecha de la imagen.

4.2. Análisis de los errores

En este apartado nos vamos a centrar en presentar, clasificar y comentar los errores más importantes que se han constatado. Como ya se indicó en la sección 2.5, hemos detectado esencialmente dos tipos de errores diferentes.

4.2.1. Errores en el uso de la terminología

En este apartado se presentan algunos de los errores cometidos por los maestros en formación al identificar figuras y cuerpos geométricos que se relacionan con el mal empleo o desconocimiento de las definiciones de las figuras y cuerpos geométricos y no con el hecho de trabajar con una representación plana de cuerpos de tres dimensiones. Distinguimos entre esta clase de errores dos





tipos, aquellos que tiene que ver con el desconocimiento de la correcta definición de los términos y los asociados a la errónea formación de la palabra:

Tipo 1: Ciertos estudiantes desconocen la correcta definición de algunos objetos geométricos e identifican erróneamente algunos objetos reales por su semejanza con otros objetos geométricos.

Ya indicamos anteriormente que todos los estudiantes habían cursado una asignatura de contenidos geométricos entre cuyos contenidos están las definiciones de distintas figuras y cuerpos geométricos. Sin embargo, algunos estudiantes parecen desconocer o no atender a estas definiciones e identifican incorrectamente en las fotografías algunos objetos por su semejanza física con otros modelos geométricos que ya han estudiado previamente. En este sentido, en la imagen ‘Casa’, 17 estudiantes (9.8% del total) señalan que la casa tiene forma de dodecaedro o de semiesfera y en la imagen ‘Papelera’, 13 estudiantes (un 7.5% del total) indican que ésta es un prisma.

Dentro de esta categoría de errores también es destacable señalar la común confusión entre nuestros estudiantes entre los términos ‘círculo’ y ‘circunferencia’. Así, en la imagen ‘Fuente’, 64 estudiantes escriben ‘círculo’ (un 37% del total) al señalar el borde de la poza de la fuente, donde otros estudiantes señalan más adecuadamente ‘circunferencia’ o ‘corona circular’. Advertimos, sin embargo, que este fenómeno no puede ser debido únicamente a la confusión entre la correcta definición estos dos términos ya que también entre estos 64 estudiantes, existen algunos que señalan ‘círculo’ en lugar de ‘esfera’ o ‘semiesfera’, identificando de esta forma la representación plana del objeto con el propio objeto real. Este tipo de errores serán estudiados en el apartado 4.2.2.

Tipo 2: Ciertos estudiantes emplean términos o vocablos geométricos mal construidos o inventados.

En este caso, algunos estudiantes cometen errores en la nomenclatura de los términos geométricos, esto es, se equivocan aplicando las reglas de construcción para formar las palabras o simplemente inventan términos inexistentes.

Así, 18 estudiantes (10.4% del total) indican erróneamente que la base de la imagen ‘Fuente’ es un heptaedro o un octaedro, en vez de un heptágono o un octógono, al emplear el sufijo “edro” en vez del sufijo “gono” para nombrar a los polígonos planos de más de cuatro lados. Aunque de manera mucho más esporádica, también aparecen términos inventados como ‘sexaedro’ o ‘septaedro’, por hexágono y heptágono, y otros de más difícil clasificación como ‘casquete geodésico’ en la imagen ‘Casa’, ‘cubo piramidal’ en la imagen ‘Papelera’ o ‘esfera circular’ y ‘prisma cilíndrico’ en la imagen ‘Bruselas’.

4.2.2. Errores causados por trabajar con una representación plana del objeto

Uno de los aspectos más interesantes de la actividad propuesta a los estudiantes era justamente el trabajo con fotografías de objetos reales, y no con objetos que pudieran manipular. Esto implicaba que los estudiantes tenían que distinguir claramente el objeto de su representación plana en el papel y, eventualmente, necesitaban manipularlo mentalmente a la hora de señalar los términos geométricos que identificaban.

Esta dualidad objeto-representación ha sido, en nuestra opinión, el origen de interesantes errores puesto que “cualquier representación bidimensional de objetos tridimensionales implica la distorsión de alguna de las propiedades del objeto, en el paso del espacio al plano, la comprensión de las representaciones requiere visión espacial y el conocimiento de convenciones que hay que utilizar” (Guillén, 2010, p. 54). Así pues, hemos identificado dos tipos de errores esencialmente diferentes:



Tipo 1: Ciertos estudiantes no diferencian el objeto real de su representación plana en el papel.

Los estudiantes que cometen este tipo de error señalan los objetos geométricos tal cual los ven en la fotografía sin reparar en que lo que tienen ante ellos era en realidad la proyección plana de un objeto tridimensional.

Un ejemplo de este tipo de error lo constituyen los 9 estudiantes (un 5.2% del total) que indican que la parte superior de la figura ‘Papelera’ es un rombo. Efectivamente dicha figura aparece como un rombo en la fotografía. Sin embargo, se trata en realidad de un cuadrado.

Otro ejemplo interesante lo proporcionan los 47 estudiantes (un 27.1%) que observan círculos o circunferencias en la imagen ‘Bruselas’. Los objetos reales serían esferas, pero los estudiantes señalan la proyección de dichas esferas sobre el plano del papel.

Tipo 2: Ciertos estudiantes presentan problemas de visión espacial.

Los estudiantes que comenten este tipo de error sí observan que se encuentran ante una representación plana de un objeto tridimensional y que, por tanto, deben distinguir entre las figuras geométricas que perciben y las que realmente constituyen el objeto. Sin embargo, cuando deben manipular dicho objeto mentalmente (rotándolo, por ejemplo) para poder identificar su forma (o la de alguna de sus partes), una falta de visión espacial les hace identificar incorrectamente algunas figuras.

Así, en la imagen ‘Papelera’ por ejemplo, 25 estudiantes (un 14.5%) señalan erróneamente que los laterales son rectángulos y 14 (un 8.1%) que son paralelogramos. Estos estudiantes, al rotar mentalmente la figura, no han sido capaces de observar que los laterales son, en realidad, trapecios.

Por otra parte, en la imagen ‘Fuente’ 53 estudiantes (un 30.6% del total) indican que la base de la fuente tiene forma hexagonal. Parte de dicha base queda oculta, por lo que los estudiantes deben imaginar cómo se cierra el polígono correspondiente. Una observación detenida de la imagen permite concluir que, para que la información visual de la que se dispone sea coherente, el polígono debe tener al menos siete lados (podrían ser ocho y de ahí que se admitiera como posible respuesta correcta tanto heptágono, como octógono).

5. Conclusiones

En el presente trabajo hemos realizado un análisis detallado de las respuestas dadas por 173 maestros en formación ante una tarea sencilla, aunque poco habitual para ellos: el reconocimiento de figuras y formas geométricas en fotografías de objetos reales. A partir del estudio realizado, podemos extraer las siguientes conclusiones:

• El número de términos señalados por el total de los estudiantes es bastante alto, especialmente en lo referente a la geometría plana. Sin embargo un buen porcentaje de estos términos (en ocasiones superior al 60%) se corresponde con términos incorrectos.

• El número de términos utilizados por cada estudiante es menor que lo esperado. Por ejemplo, en una imagen bastante rica en posibles respuestas como ‘Bruselas’ el número medio de términos por estudiante es 3, en ninguna de las imágenes se llega a 4 y en el caso de la imagen ‘Papelera’ es de tan sólo 1.9.

• Si sólo nos centramos en términos correctos, los datos empeoran. Salvo en la imagen ‘Bruselas’, el número medio de aciertos por estudiante es claramente inferior al número





medio de términos señalados. El caso más claro se da en la imagen ‘Fuente’, donde tenemos 3.2 términos distintos por estudiante y 2.1 términos correctos por estudiante; 1 error por estudiante en promedio.

• Dada la gran variedad de términos señalados por los estudiantes han aparecido, por diversos motivos, otros términos correctos no esperados durante el diseño del test.

• En cuanto a los errores cometidos por los estudiantes, aparecen dos tipos de errores: uno, con menor presencia, vinculado al desconocimiento de las definiciones de los términos geométricos o al mal uso del vocabulario y otro, con una mayor presencia en las respuestas de los estudiantes, causado por el manejo de representaciones bidimensionales de objetos tridimensionales.

Todos estos resultados ahondan en la necesidad de incidir en el trabajo geométrico con objetos reales y muy especialmente con objetos de tres dimensiones y sus correspondientes representaciones planas en la formación de maestros.

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José María Muñoz Escolano. Licenciado en ciencias Matemáticas (2003) y Doctor (2007) por la Universidad de Zaragoza. Ha publicado diversos trabajos sobre Educación Matemática y Álgebra. Actualmente es profesor Ayudante Doctor de la Facultad de Educación de la Universidad de Zaragoza. Email: [email protected].

Antonio M. Oller Marcén . Licenciado en ciencias Matemáticas (2004) por la Universidad de Zaragoza y Doctor por la Universidad de Valladolid (2012) con una tesis sobre la enseñanza de la Proporcionalidad aritmética en Secundaria. Ha publicado diversos trabajos sobre Educación Matemática, Álgebra y Teoría de Números. Actualmente es profesor del Centro Universitario de la Defensa de Zaragoza. Email: [email protected].



Isaac Barrow y su versión geométrica del Teorema Fundamental del Cálculo

Juan Carlos Ponce Campuzano (Universidad de Colima. México)

Fecha de recepción: 22 de octubre de 2012 Fecha de aceptación: 17 de mayo de 2013

Resumen El Teorema Fundamental del Cálculo tal y como lo conocemos actualmente es el resultado de una larga evolución de ideas. Su origen se remonta al siglo XVII con la observación de la relación que existe entre los problemas de cuadraturas y tangentes. Entre los personajes que se percataron de dicha relación destaca el matemático inglés Isaac Barrow. En el presente artículo se discute uno de los resultados de Barrow que puede considerarse como una versión preliminar del Teorema Fundamental en un contexto geométrico.

Palabras clave Cálculo, tangentes, cuadraturas, historia, teorema fundamental del cálculo.

Abstract The Fundamental Theorem of Calculus, as we know it today, is the result of a long evolution of ideas. It dates back to the seventeenth century with the observation of the relationship between problems of quadratures and tangents. Among the characters who noticed this relationship highlights the English mathematician Isaac Barrow. In this article we discuss one of the results of Barrow which can be considered as a preliminary version of the Fundamental Theorem in a geometric context.

Keywords Calculus, tangents, quadratures, history, fundamental theorem of calculus.

1. Introducción

El Cálculo es considerado, junto con la Geometría, una de las creaciones más importantes dentro de las matemáticas (Kline, 1972, p.342). Fue creado, básicamente, para tratar los cuatro principales problemas planteados durante los siglos XV al XVII, algunos de los cuales ya habían sido abordados por los griegos en la antigüedad. El primero de estos problemas era, dada la fórmula para la distancia recorrida por un cuerpo como función del tiempo, encontrar la velocidad y aceleración instantánea; inversamente, dada la fórmula para la aceleración como una función del tiempo, encontrar la velocidad y la distancia recorrida. En el segundo problema se buscaba la tangente a una curva dada en un punto dado (problema de las tangentes) y en el tercero los valores máximos y mínimos de una función. Por último, el cuarto problema era encontrar el área y el volumen acotados por curvas y superficies, respectivamente (problema de las cuadraturas).

Los problemas antes mencionados fueron abordados, generalmente, como casos aislados por muchos científicos y matemáticos entre los siglos XV y XVII. Todas sus contribuciones fueron la base para el trabajo que posteriormente desarrollarían, de manera independiente, dos grandes personajes: el físico, astrónomo y matemático inglés Sir Isaac Newton (1642-1727) y el abogado, filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Isaac Barrow y su versión geométrica del Teorema Fundamental del Cálculo J. C. Ponce Campuzano


Newton y Leibniz abordaron los cuatro principales problemas pero basados en dos conceptos generales, conocidos actualmente como Derivada e Integral (Grabiner, 1983, p. 199). Su mayor contribución dentro del Cálculo fue el hecho de haber reconocido con claridad la relación que existe entre los problemas de cuadraturas y tangentes, pues por ejemplo un problema de cuadraturas se podía reducir a un problema de encontrar una curva que tenía una cierta regla de tangencia y también el trazo de una tangente a curva en un punto se podía reducir al problema de una cuadratura. Posteriormente, lo anterior se tradujo en lo que conocemos actualmente como relaciones de reciprocidad entre los procesos de Integración y Diferenciación, lo cual establece el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC). Es por esta razón que este teorema suele atribuirse a estos dos grandes matemáticos. Sin embargo, ellos no fueron los primeros ni los únicos en percatarse de la relación entre los problemas de cuadraturas y tangentes, tampoco enunciaron ni establecieron el TFC tal y como lo conocemos actualmente.

Entre los científicos que se percataron de la relación entre los problemas de cuadraturas y tangentes, previo a Newton y Leibniz, podemos destacar al matemático inglés Isaac Barrow (1630-1677). En este artículo, se presenta un resultado de Barrow el cual puede interpretarse como una versión preliminar del TFC en un contexto geométrico.

2. Versión geométrica del TFC de Isaac Barrow

Isaac Barrow fue un teólogo y matemático inglés quien destaca por sus contribuciones para el desarrollo del Cálculo moderno. Además, Barrow es bien conocido por ser uno de los primeros en reconocer la relación que existe entre los problemas de cuadraturas y tangentes (que en términos modernos se refiere a la integración y diferenciación como procesos inversos), pero sobre todo por ser de los primeros en dar una demostración rigurosa (Child, 1916, p. 124).

En 1669 Barrow publicó sus Lectiones Geometricae (Lecciones Geométricas) en donde estableció, entre otras cosas, métodos para trazar tangentes a curvas. En la Lección X, se puede encontrar la siguiente proposición:

11. Sea ZGE una curva cuyo eje es VD y consideremos las ordenadas (VZ, PG y DE) perpendiculares a este eje y continuamente creciendo desde la ordenada inicial VZ (Figura 1); también sea VIF una curva tal que si una línea recta EDF es trazada perpendicular al eje VD, cortando a las curvas en los puntos E, F y VD en D, el rectángulo determinado por DF y una longitud dada R es igual al espacio V DEZ; también sea DE : DF = R : DT, y unimos [T y F]. Entonces TF cortará a la curva VIF.

Tomemos un punto I en la curva VIF (primero del lado F hacia V) y, a través de él, tracemos IG paralelo a VZ y IL paralelo a V D, cortando a las líneas dadas como se muestra en la figura; entonces, LF : LK = DF : DT = DE : R, es decir R × LF = LK × DE. Pero de la naturaleza de las líneas DF y LK se tiene R × LF = área(P DEG) por tanto se tiene que LK × DE = área(PDEG) < DP × DE, por lo tanto se tiene LK < DP < LI. De forma análoga, si el punto I se toma del otro lado de F, se haría la misma construcción de antes y se puede fácilmente demostrar LK > DP > LI. De donde es completamente claro que toda línea TKF permanece en o debajo de la curva VIF. Resultados análogos se obtienen si las ordenadas VZ, PG y DE decrecen en forma continua, la misma conclusión se obtiene mediante un argumento similar; sólo una particularidad ocurre, a saber; en este caso, al contrario que en el otro, la curva VIF es cóncava respecto al eje VD (Barrow, 1735, p. 167).




Figura 1. Diagrama de Barrow

La proposición anterior establece que para trazar una recta tangente a una curva, ésta última debe estar relacionada con la cuadratura de otra curva. Este resultado ha sido reconocido por diversos historiadores de las matemáticas como una versión preliminar del Teorema Fundamental del Cálculo. Más adelante se hablará con más detalle al respecto. Por el momento, continuemos analizando la proposición de Barrow y su demostración considerando el contexto matemático del siglo XVII. Por tal motivo, a continuación se presenta una construcción geométrica para trazar una recta tangente a una curva con ayuda del software Geogebra.

Construcción geométrica: Trazo de una tangente a una curva según Barrow

Sea el eje horizontal la recta que pasa por los puntos A y B (Figura 2). Sea m una curva continua y creciente1 definida sobre el segmento AB. Sea C un punto en el segmento AB y tracemos las rectas perpendiculares que pasan por los puntos A y C, las cuales cortan a la curva m en los puntos E y D, respectivamente.

Ahora, sea F el punto sobre la recta CD que cumple lo siguiente: El área ACDE es igual al rectángulo determinado por el segmento CF y una longitud constante h2. Es decir,

Área(ACDE) = CF × h

1 Barrow considera una curva continua y creciente como se muestra en la Figura 2, debido a que en el siglo XVII no se consideraban aún magnitudes negativas bajo el eje. 2 Barrow utiliza la longitud constante h para poder igualar el área ACDE a la del rectángulo determinado por CF y h. En el siglo XVII, se buscaba igualar el área de una figura geométrica al área de una figura más fácil de calcular como un cuadrado. En este caso Barrow utiliza un rectángulo.



Figura 2. Curva continua y creciente m definida en el segmento AB.

Si movemos el punto C, podemos observar que el lugar geométrico del punto F determina una nueva curva n, definida en el segmento AB (Figuras 3).

Ahora, sea G un punto entre A y C tal que: DC/CF = h/GC3 (Figura 3).

Figura 3. Curva n definida por el punto C / Punto G definido entre los puntos A y C.

Entonces, la recta que pasa por los puntos F y G es tangente a la curva n en F (Figura 4).

3 En este punto Barrow utiliza la longitud constante h para poder establecer la igualdad entre las razones DC/CF y h/GC, ya que en su época una razón a/b debía ser igualada a otra razón.




Figura 4. Punto G definido entre los puntos A y C

La construcción anterior se realizó con el programa de geometría dinámica Geogebra, basada en la proposición 11 de Barrow. Con base en esta construcción, se puede inferir que Barrow consideró movimiento del punto C, aunque nunca lo menciona de manera explícita pues, como vimos al inicio de la sección, él presenta dicha proposición en términos de una construcción estática.

Por otra parte, la proposición de Barrow destaca debido a que se relaciona la cuadratura de una curva con el problema de trazar de una tangente a otra curva que cumple con ciertas características. En este caso, la recta tangente se considera en el sentido griego, como una recta que toca a la curva en un solo punto. Barrow demostró esto último en un contexto geométrico.

Demostración geométrica de Barrow

Como se muestra en la Figura 5, sea I un punto en la curva n (entre A y F); sean IJ y IL segmentos perpendiculares a CF y AB, respectivamente; y sea C’ el punto de intersección de los segmentos IL y AB. Entonces

FJ/KJ = CF/GC = DC/h

porque DC/CF = h/GC (establecido previamente). De la expresión anterior, se obtiene

h × FJ = KJ × DC.

Ahora, considerando que CF × h = Área(ACDE) y IC’ × h = Área(AC’LE), se puede establecer lo siguiente

FJ × h = (CF-IC’) × h = CF × h- IC’ × h = Área(ACDE) - Área(AC’LE).



Figura 5. Trazos auxiliares para la demostración geométrica de Barrow.

Por lo tanto, se tiene que FJ × h = Área(C’CDL). De esta manera, dado que

h × FJ = KJ × DC y FJ × h = Área(C’CDL),

entonces

KJ × DC = Área(C’CDL) < C’C×DC.

Es decir, KJ < C’C = IJ. De forma análoga, si el punto I se toma del otro lado de F, se puede hacer la misma construcción de antes para demostrar que KJ > C’C = IJ. En cualquier caso, la recta que pasa por los puntos G y F permanece debajo de la curva n. Es decir, la recta que pasa por los puntos G y F es tangente a la curva n en el punto F.

3. Relación entre el resultado de Barrow y el Teorema Fundamental del Cálculo

El resultado de Barrow, presentado en la sección anterior, resulta de gran relevancia debido al hecho de que relaciona el problema de tangentes con el de cuadraturas. Esto podría interpretarse como una versión geométrica del Teorema Fundamental del Cálculo actual.

Para precisar lo anterior, sea f una función continua y creciente definida en un intervalo

[ ],a b . Definamos la curva continua que describe el área acumulada con la expresión

( ) ( )x

aF x f t dt= ∫ .




Consideremos los puntos ( )( )D ,x F x= y ( )( )E ,x f x= y sea ( )F 0, XFx= − el punto en el

intervalo[ ],a x tal que:

XDXF

XE= (2)

donde XD y XE son iguales a ( )F x y ( )f x , respectivamente (ver Figura 6). Entonces, la recta que

pasa por los puntos D y F es tangente a la curva F .

Figura 6. Versión moderna del resultado de Barrow.

De esta forma, la relación con el Teorema Fundamental del Cálculo es clara ya que se ve fácilmente

que la pendiente de la recta tangente construida es m XD XF= , esto es, ( )m f x= por la expresión

(2). Escribiendo entonces que

( ) ( )x

aF x f t dt= ∫

y teniendo en cuenta que ( )'m F x= , la proposición de Barrow nos dice que ( ) ( )'F x f x= , esto es



( )( ) ( )x

a

df t dt f x

dx=∫ ,

lo cual sitúa el resultado original de Barrow como un precedente del Teorema Fundamental del Cálculo.

Es importante resaltar el hecho de que Barrow realizó una demostración geométrica y no analítica, sin embargo esto no es un demérito en absoluto de su trabajo, la demostración que presenta es válida y rigurosa en el sentido de la geometría Euclidiana. Es aquí donde destaca su contribución al respecto del Teorema Fundamental, por la claridad y extensión de su pensamiento.

4. Comentarios finales

El Teorema Fundamental del Cálculo tal y como lo conocemos actualmente es el resultado de una larga evolución de ideas. Ha sido refinado y pulido de tal manera que se puede considerar en el contexto de funciones generales. Asimismo, prácticamente se ha divorciado de contexto original, es decir, como una relación entre problemas de cuadraturas y tangentes (Bressoud, 2011, p. 109). Desde un punto de vista didáctico, no es necesario presentar el Teorema Fundamental en los cursos de Cálculo tal y como se dio originalmente, pero una discusión acerca de su origen y desarrollo puede ser provechosa para comprender las relaciones que establece dicho teorema.

Bibliografía

Barrow, I. (1735). Geometrical Lectures. (Translated from the Latin Edition by Edmund Stone). London: Cambridge University.

Bressoud, D. M (2011). Historical reflections on teaching the Fundamental Theorem of Calculus. American Mathematical Monthly. 118, (2), 99-115.

Child, J. M. (1916). The Geometrical Lectures of Isaac Barrow. London: The Open Court Publishing Company.

Grabiner, J. V. (1983). The changing concept of change: The derivative from Fermat to Weierstrass. Mathematics Magazine. 56, (4), 195-206.

Kline, M. (1972). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. New York: Oxford University Press.

Juan Carlos Ponce Campuzano. Estudiante de Doctorado en la especialidad de Matemática Educativa en el Centro de investigación y de estudios avanzados del IPN (Cinvestav-IPN), México. Profesor Investigador de Tiempo Completo, Facultad de Ciencias de la Educación, Universidad de Colima, México. [email protected]



¿Yerra el niño o yerra el libro de Matemáticas?

Pilar Fernández Palop (Universidad de Alcalá de Henares. España) Presentación Caballero García (Universidad Camilo José Cela. España)

José Antonio Fernández Bravo (Universidad Camilo José Cela y Universidad Complutense de Madrid. España)

Fecha de recepción: 19 de noviembre de 2012 Fecha de aceptación: 8 de abril de 2013

Resumen Analizando los libros de texto de Matemáticas más utilizados en la Comunidad de Madrid, nos dimos cuenta de que contenían errores matemáticos. A partir de aquí, quisimos someter a revisión este material didáctico. En vista de los resultados obtenidos, concluimos que se hace necesario realizar una investigación más seria y objetiva que nos lleve a identificar errores matemáticos en libros de texto, describirlos, clasificarlos y descubrir las relaciones que pudieran existir entre las distintas clasificaciones que se establezcan, así como su incidencia en el rendimiento académico de los alumnos que los utilizan.

Palabras clave Matemática, aprendizaje, materiales y recursos, errores matemáticos, libros de texto.

Abstract When we analyzed the most used mathematics textbooks in Madrid, we noticed that they contained mathematical errors. After that, we revised this didactic material. Considering the results, we see that it is necessary to conduct a serious and objective investigation that leads us to identify mathematical errors in textbooks, describe them, classify them and discover relationships that may exist between the different classifications we could establish.

Keywords Mathematics, learning, materials and resources, mathematic error, textbook.

“La causa de mis enormes enfados al examinar los libros estribaba en lo infames que eran éstos. Eran falsos. Estaban escritos con prisas. Pretendían ser rigurosos; pero luego usaban ejemplos que casi estaban bien pero nunca bien del todo; siempre tenían alguna pega. A las definiciones les faltaba precisión. Todo era un poco ambiguo; los autores no eran lo bastante listos como para comprender lo que significa «rigor»; sólo lo fingían. Pretendían enseñar algo que ellos no comprendían, y lo que es más, algo que, de hecho, al alumno le era totalmente inútil en ese momento”.

Richard Feynman1

1 Richard Feynman (1987, pp. 339-340). Premio Nobel de Física en 1965, compartido con Schwinger y Tomonaga.

¿Yerra el niño o yerra el libro de Matemáticas? P. Fernández Palop, P. Caballero García, J.A. Fernández Bravo


1. El libro de texto como recurso didáctico

A pesar de la gran variedad de productos existentes en el mercado, la práctica de la enseñanza se sigue apoyando en el libro de texto (Cabero, Duarte y Barroso, 1989; García Mateos y Caballero, 2005). Los libros de texto se utilizan por profesores y alumnos como un instrumento en el proceso de enseñanza-aprendizaje. ¿Se recogen en ellos los contenidos que supuestamente deben aprender los alumnos? ¿Lo hacen de forma ordenada en cada uno de los cursos, según indica la legislación? ¿Proponen actividades que ayuden a profundizar en los contenidos estudiados? ¿Sirven de guía didáctica para el docente, y son un referente para el estudio de las distintas materias?

Su uso está sumamente extendido. Según los datos de la Federación de Gremios de Editores de España (2010, 2011, 2012), el libro de texto no universitario supone entre un 27% y un 30% de la venta global de libros vendidos en España en el período 2009-2011. Y fijándonos en la etapa de Educación Primaria, casi la totalidad de los alumnos los utilizan. Así lo señalan los últimos datos disponibles del Instituto de Evaluación del Ministerio de Educación (2009, pp. 92-93), que indican que el libro de texto es utilizado por un 99,1% de los alumnos de Educación Primaria.

En un estudio sobre el uso del libro de texto de Matemáticas en los centros de Primaria de la Comunidad de Madrid, obtuvimos datos semejantes a los del Instituto de Evaluación. Considerando como población los 1311 centros de Educación Primaria que había en 2011 en la Comunidad de Madrid (Consejería de Educación y Empleo de la Comunidad de Madrid, 2011), se tomó una muestra aleatoria estratificada que nos permitiera trabajar con un nivel de confianza del 95% y asumiendo un error de cálculo del 5%.

En las encuestas a los centros de nuestra muestra, se preguntó si se utilizaba libro de texto de Matemáticas en cada uno de los cursos de Primaria y, en caso afirmativo, qué libro de texto se utilizaba.

Los resultados sobre el uso del libro de texto de Matemáticas en cada uno de los cursos de Educación Primaria fueron los siguientes (Tabla 1):

Libro de texto 1.º EP 2.º EP 3.º EP 4.º EP 5.º EP 6.º EP

Sí usan libro 94,29% 95,71% 95,71% 95,71% 97,14% 97,14%

No usan libro 5,71% 4,29% 4,29% 4,29% 2,86% 2,86%

Total 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00% 100,00%

Tabla 1. Porcentajes de uso de libros de texto, por curso

En cuanto a los libros de texto de Matemáticas que se utilizaban2, se obtuvieron los siguientes resultados3:

2 Por respeto a los autores, se omiten los títulos y editoriales de los libros analizados. Ponemos a disposición de quien lo requiera los datos utilizados en este estudio.

3 Por errores de redondeo, no coincide el total de los libros de texto utilizados con la suma de los porcentajes que aquí aparecen, ya que para calcular el total se han tomado los porcentajes sin redondear.




Editoriales 1.º EP 2.º EP 3.º EP 4.º EP 5.º EP 6.º EP

Editorial 1 35,71% 37,14% 38,57% 40% 38,57% 38,57%

Editorial 2 24,28% 22,85% 21,42% 20% 22,85% 22,85%

Editorial 3 22,85% 24,28% 21,42% 21,42% 21,42% 21,42%

Editorial 4 4,28% 4,28% 7,14% 5,71% 7,14% 7,14%

Editorial 5 2,85% 2,85% 2,85% 2,85% 2,85% 2,85%

Editorial 6 1,42% 1,42% 2,85% 2,85% 1,42% 1,42%

Editorial 7 2,85% 2,85% 1,42% 1,42% 2,85% 2,85%

Editorial 8 0% 0% 0% 1,42% 0% 0%

Total 94,29% 95,71% 95,71% 95,71% 97,14% 97,14%

Tabla 2. Porcentajes de uso de libros de texto, por curso y editorial

Como puede observarse en la Tabla 2, el libro de texto de Matemáticas es utilizado, según nuestros datos, en un 97,14% de los centros de Primaria de la Comunidad de Madrid.

2. Errores en libros de texto de Matemáticas

Analizando libros de texto de Matemáticas de 6.º de Educación Primaria de las cuatro editoriales más utilizadas en la Comunidad de Madrid, encontramos lo siguiente. En la exposición de contenidos, vemos errores de concepto, descripciones ambiguas de algoritmos, contenidos en los que se han omitido condiciones de restricción y aparecen como generales… En los ejercicios resueltos, encontramos respuestas en las que el razonamiento que se lleva a cabo es contrario al razonamiento lógico, o bien que se pretende aplicar un concepto erróneo… Por último, en los ejercicios propuestos, vemos problemas mal definidos (Noda Herrera, 2000; Simon, 1973), que pueden ser interpretados de varios modos con distintas soluciones y en la guía didáctica aparece una única solución; o que carecen de los datos necesarios para ser resueltos y en la guía didáctica se utilizan dichos datos; o bien en los que aparecen símbolos matemáticos utilizados con un significado distinto del que la matemática dicta, o cuyo enunciado es absurdo o sin solución y en la guía didáctica aparece una solución…

A continuación, exponemos ejemplos de ellos, justificando en cada caso por qué se trata de un error, y ordenándolos según una serie de características, cuyo listado no pretende ser ni excluyente ni exhaustivo. Las características que han servido para la ordenación son las siguientes:

• Error de concepto • Ambigüedad • Problemas con enunciados absurdos • Problemas en los que faltan datos o que contienen órdenes incompletas • Enunciados de problemas con error en los datos o que contienen órdenes contradictorias • Error en la respuesta a un problema

Error de concepto

El primero de los errores de concepto que presentamos es el siguiente:

“La mediana de un conjunto ordenado de un número de elementos impar es aquel que ocupa el lugar central”. “La mediana de un conjunto ordenado de



un número par es la media aritmética de los dos valores que ocupan el lugar central”.

Justificación: los datos deben ser cuantitativos; esto es, numéricos, y no un conjunto ordenado4.

Una consecuencia de ese error de concepto la encontramos en el mismo libro, donde aparece el siguiente ejercicio propuesto:

“En un párrafo se han contado las vocales y se han obtenido los siguientes datos. Vocal a: 45; vocal e: 11; vocal i: 15; vocal o: 24; vocal u: 8. ¿Qué letra representa la mediana?”

La guía didáctica afirma que la letra i representa la mediana, algo absurdo (además de que la letra que ocuparía el lugar central de ese conjunto ordenado es la letra e). Y para demostrar el absurdo, basta encontrar un contraejemplo. Las vocales pueden ser consideradas como un conjunto ordenado, pero no son datos numéricos. En este caso, el número de datos de la muestra era impar, pero, ¿qué hubiese sucedido si el número de datos hubiese sido par y los dos datos centrales hubiesen tenido valores distintos, por ejemplo, e, i? Según lo descrito en el libro, ¿cómo se calcularía la mediana?

¿Haciendo la media aritmética de ambas vocales? ¿? ¿Qué vocal es esa?

Otro ejemplo de error de concepto, en el que se confunde la parte con el todo, es el siguiente:

“Una fracción representa parte de una unidad. Los términos de una fracción son el numerador y el denominador. El denominador indica el número de partes iguales en que se divide la unidad, y el numerador el número de partes que se toman. Para representar una fracción elegimos una unidad, la dividimos en tantas partes iguales como indica el denominador y marcamos las partes que nos señala el numerador”.

Justificación: Según lo descrito, 5/2, por ejemplo, no es una fracción, ya que no representa parte de una unidad. Está confundiendo el término matemático de fracción con el de fracción propia.

El error de concepto puede también ser consecuencia de una omisión en las premisas, como vemos en el siguiente ejemplo:

"Probabilidad de un suceso. Determinamos la probabilidad mediante una fracción. Para expresar la probabilidad de un suceso, escribimos una fracción: en el numerador ponemos el número de casos favorables, y en el denominador, el número de casos posibles".

4 Diccionario Oxford-Complutense. Matemáticas: Mediana (en estadística). Supongamos que se ordenan los

resultados de las observaciones de un parámetro numérico en orden ascendente. La mediana de esa muestra es la observación que ocupa el lugar medio cuando hay un número impar, y la media aritmética de las dos centrales cuando el número de observaciones es par (Clapham, 1998, pág. 230).

Diccionario Akal de Matemáticas: Mediana estadística de un carácter cuantitativo X que toma los valores a1, a2,…, an sobre una muestra de n individuos. Número real m tal que el número de valores de X inferiores a m sea igual al número de valores superiores a m. Si n es impar, la mediana m es uno de los valores a1, a2,…, an. Si n es par, m es un número escogido entre dos valores bien determinados por X (Bouvier y George, 2005, pág. 525).




Justificación: Lo descrito es cierto sólo para sucesos equiprobables, no para sucesos en general. Además, habría que añadir que la probabilidad de un suceso, equiprobable o no, está comprendida entre 0 y 1.

Ambigüedad

La ambigüedad puede aparecer en distintos contextos, ya sea en la exposición de contenidos teóricos, ya sea en un enunciado de un problema o ejercicio. Como ejemplo de ambigüedad en la descripción de un algoritmo, proponemos el siguiente:

"Para aproximar un número a un determinado orden de unidades: 1.º Se suprimen las cifras que quedan a la derecha; 2.º Si la primera cifra suprimida es mayor o igual que 5, se suma uno a la primera cifra no suprimida".

Justificación: Se dice que “se suprimen las cifras que quedan a la derecha”, pero no se indica a la derecha de qué. Tampoco se dice qué se considera “la primera cifra suprimida”, ni qué sucede si la primera cifra suprimida no es mayor o igual que 5.

Y como enunciado de un problema ambiguo:

[Aparece un escaparate con un cartel que pone "Rebajas: 50% de descuento". En el escaparate hay una serie de artículos con un precio marcado (chándal, 26 euros; zapatillas de deporte, 18 euros; bicicleta, 95 euros), y de un altavoz sale una voz que dice:] "¡Última oportunidad! Hoy todo a mitad de precio". Abajo pregunta: "¿Cuánto cuesta hoy el chándal? ¿Y los deportivos? ¿Y la bicicleta?".

Justificación: Este problema tiene dos soluciones. Según si los precios marcados están ya rebajados o no, la solución será: “El chándal cuesta hoy 26 euros, las zapatillas de deporte 28 euros, la bicicleta 95 euros”, o bien, “El chándal cuesta hoy 13 euros, las zapatillas de deporte 9 euros, la bicicleta 47,5 euros”. La guía didáctica da como solución: “El chándal cuesta hoy 13 euros, las zapatillas de deporte 9 euros, la bicicleta 47,5 euros”.

Problemas con enunciados absurdos

Hay problemas con enunciados absurdos, a los que no es posible responder de forma lógica, y que, sin embargo, aparecen resueltos de forma unívoca, bien en el propio libro de texto del alumno, bien en la guía del profesor. El hecho de que no se pueda responder de forma lógica puede deberse a diversas causas. Por ejemplo, que no exista relación entre la situación que se plantea y la pregunta a la que se debe responder:

“Hoy, a las seis de la tarde, el termómetro marcaba 10 grados. Dos horas después bajó tres grados, y siete horas más tarde bajó cinco grados más. ¿Qué temperatura marca ahora?”.

Justificación: La primera pregunta que tendríamos que hacernos es: ¿Cuándo es “ahora”? ¿Ahora es el instante en el que estamos leyendo el problema? ¿Ahora es al finalizar esas últimas siete horas que se describen? ¿Cómo vamos a poder responder de forma lógica a una pregunta que no guarda relación con lo descrito en el problema? Para hallar la respuesta, podríamos ir a mirar el



termómetro de la clase (o de casa, según dónde y cuándo se esté resolviendo) e indicar la temperatura que marca ahora, algo que no tiene nada que ver con el enunciado del problema5.

Otra causa puede ser que la orden que se dé sea, sencillamente, absurda:

"Expresa estas situaciones utilizando números positivos o números negativos: Tengo doce euros; he adelgazado 15 kilos; he gastado 20 euros; pues yo he engordado 8 kilos".

Justificación: Dependiendo del contexto, todas esas expresiones que ahí aparecen pueden ser traducidas al lenguaje matemático con un signo positivo o negativo. Por ejemplo: “Hace cinco meses me puse a régimen. El primer mes perdí 4 kilos, el segundo 3 kilos, el tercer mes 4 kilos, el cuarto 2 kilos, y el quinto he adelgazado 2 kilos. ¿Cuánto he adelgazado en total en los últimos cinco meses?” En los últimos cinco meses he adelgazado +15 kilos, o bien, sencillamente, 15 kilos. En el ejercicio, la guía didáctica da como respuesta: +12 euros, -15 kilos, -20 euros, +8 kilos.

En ocasiones, en los libros de texto se puede plantear un problema con vistas a que se utilice un determinado método matemático que lleve a una determinada solución. Sin embargo, puede suceder que se plantee una situación en la que la utilización de dicho método resulte absurda:

"Amaya ha comido un pastel y un cuarto de otro, y Pablo, dos pasteles y medio de otro. ¿Qué cantidad de pasteles comieron entre los dos? Si había cinco pasteles, ¿qué cantidad dejaron?".

Justificación: Este problema aparece después de otro semejante que está resuelto en el que se sumaban y restaban las fracciones, y en el que sí que tenía sentido realizar esas operaciones con fracciones. La guía didáctica da como solución que se comieron 15/4 de pastel, y que se dejaron 5/4 de pastel. Y, aunque la solución es válida, en este caso, no tiene sentido sumar o restar las fracciones que aparecen (aunque matemáticamente pueda hacerse), ya que se trata de distintos pasteles. Entre los dos se comieron tres pasteles, un cuarto de uno y medio de otro. Si había cinco pasteles, dejaron tres cuartos de un pastel (o quizá la mitad y un cuarto, dependiendo de cómo se hayan hecho los cortes) y medio de otro.

En esta misma línea, puede suceder que se plantee un problema en el que el modo de describir la situación resulte absurdo:

"Un ciclista ha recorrido en tres etapas 345 km 30 hm. En la primera recorrió 123 km 5 hm, y en la segunda, 87 km 36 hm. ¿Cuánto recorrió en la tercera?".

Justificación: Es absurdo decir que recorre 345 km 30 hm, ya que eso son 348 km, y en este caso no tiene sentido la descomposición que se hace. Y tampoco decir que en la segunda recorre 87 km 36 hm, ya que son 90 km 6 hm.

5 Es necesario añadir que si intentamos situarnos en el tiempo que describe el problema, nos encontramos con lo siguiente. Hoy a las 18:00 marcaba 10 grados. A las 20:00 (dos horas más tarde) marcaba 7 grados (bajó tres grados). Y siete horas más tarde (3:00 del día siguiente, a no ser que ese día tenga más de 24 horas) marcaba 2 grados (bajó cinco grados). Como se observa, la primera palabra que aparece en el problema es “hoy”, por lo que se supone que el problema está redactado antes de las doce de la noche de “hoy”. Sin embargo, acaba describiendo lo que “pasó” a las tres de la mañana “de mañana”. La guía didáctica da como resultado 2 grados.




Otro caso en el que no es posible responder de forma lógica es cuando en el enunciado aparecen símbolos matemáticos utilizados con un significado distinto al que la matemática dicta.

“¿Cuál es el volumen del contenedor expresado en litros?” [Y aparece una imagen del signo = que tiene pintado, a su izquierda, una botella con una etiqueta que dice “1,5 litros”, y a su derecha un cubo. Del cubo sale una flecha hacia un contendor que contiene 12 cubos semejantes al primero.]

Figura 1. Ejemplo para uso de símbolos matemáticos con distinto significado

Justificación: En el enunciado se afirma que una botella de litro y medio es igual a un cubo, y eso es falso. La respuesta a esa pregunta debería ser algo del tipo: “La imagen es absurda, y no se proporcionan datos para responder a la pregunta”. La guía didáctica da como solución 18 litros.

Por último, el origen de que el enunciado resulte absurdo puede ser consecuencia de un error de concepto:

"Observa el gráfico y responde a las preguntas. a) ¿Qué datos recoge? b) Con los datos del gráfico construye la tabla de frecuencias. ¿Cuál es la frecuencia relativa del quinto partido? ¿Qué datos tienen cero de frecuencia absoluta? c) ¿Cuál es la media de goles que ha conseguido el equipo? ¿Cómo lo has calculado? ¿Cuál es la moda?". [Y aparece un gráfico de barras que indica los goles metidos por un equipo en quince partidos, ordenados del 1.º al 15.º. ]

Figura 2. Ejemplo para error de concepto en la solución



Justificación: Aunque el gráfico que aparece tiene el aspecto de un gráfico de barras con las frecuencias de una variable, no lo es. Es la representación de una serie de datos, a saber, goles en cada partido. En la solución, el libro considera que el gráfico representa frecuencias, no datos6.

Problemas en los que faltan datos o que contienen órdenes incompletas

Un caso de falta de datos es cuando en el enunciado del problema no aparecen determinados datos de cultura general, dándolos por sabidos, y que son necesarios para su resolución:

“Cuando Tutankamon tenía 17 años fue nombrado faraón de Egipto. Esto ocurrió en el año 1339 antes de Cristo. Su reinado duró 8 años. ¿En qué año nació Tutankamon? ¿En qué año murió?”.

Justificación: Las premisas que nos dan son la edad y año en el que accedió al trono, y la duración de su reinado. A partir de esos datos podríamos responder a la primera pregunta, pero no a la segunda. Nada se dice acerca de la muerte de Tutankamon, y tampoco sabemos si se trata de un personaje histórico o ficticio (y hay que tener en cuenta que, en los problemas de los libros de texto, los personajes que aparecen son ficticios la mayoría de las veces), por tanto no tendría sentido intentar averiguar los datos que faltan por otros medios. Se indica la duración de su reinado, pero ese dato es irrelevante, ya que no se indica qué hizo después de ser faraón ni por qué dejó de serlo (pudo haber abdicado, haber sido invadido, haberse vuelto loco y que le hubieran encerrado, o simplemente desaparecer un día sin más y huir a otro país…). Por tanto, la respuesta a esta pregunta es: “con los datos que nos dan no es posible responder de forma única”. La guía didáctica da como solución: Tutankamon nació en el año 1356 antes de Cristo y murió en el 1331 antes de Cristo.

6 Para comprender que lo que aparecen son datos y no frecuencias, bastaría pensar qué haríamos para calcular la media: sumaríamos todos los goles y dividiríamos el resultado entre el número de partidos. Es decir, que el número de partidos es el número total de datos, lo que significa que el gráfico está representando datos de la variable goles por partido, no frecuencias.

Para responder a la primera orden del apartado b), habría que hacer la tabla: (n.º de goles, número de partidos): (0, 2), (1, 2), (2, 2), (3, 4), (4, 2), (5, 2), (6, 1). Total de datos: 15. Sin embargo, la solución que aparece en la guía didáctica es: (Partido, Goles, Frecuencia relativa): (1, 0, 0), (2, 3, 3/42), (3, 5, 5/42), (4, 4, 4/42), (5, 6, 6/42), (6, 2, 2/42), (7, 1, 1/42), (8, 5, 5/42), (9, 3, 3/42), (10, 2, 2/42), (11, 4, 4/42), (12, 3, 3/42), (13, 0, 0), (14, 1, 1/42), (15, 3, 3/42). Total de datos: 42 (que es la suma de goles).

Por otro lado, la primera pregunta que aparece en el apartado b) es absurda. No existe la frecuencia relativa de un dato concreto, sino de un valor de una variable. Sin embargo, la guía didáctica afirma que “la frecuencia relativa del quinto partido es 6/42”.

La segunda pregunta del apartado b) dice: “¿Qué datos tienen cero de frecuencia absoluta?”. Podríamos decir que para cualquier valor mayor o igual que siete, la frecuencia absoluta es cero, ya que el máximo de goles marcados es 6, y hay partidos en los que se han obtenido cada uno de los valores de 0 a 6. Sin embargo, la guía docente afirma que “el primero y el tercer partido tienen cero de frecuencia absoluta”.

En el apartado c), la guía didáctica afirma que la media es 2,8 goles, aunque no explica cómo se ha de calcular. Esa media es de la variable goles por partido, y se calcula sumando el total de goles y dividiéndolo entre el número total de datos, es decir, 15. Como puede verse, el número total de datos es 15, no 42 (como afirmaba en la tabla del apartado b)).




Otro caso es cuando en un problema no existe relación entre los datos que se dan y lo que se pide, debido a que se ha omitido una premisa:

"Jorge cambia con Pepa cromos por canicas. Un cromo cuesta 0,20 euros, y una canica, 0,30 euros. ¿Cuántas canicas recibirá Jorge a cambio de 15 cromos?"

Justificación: El problema nos dice cuánto cuestan, tanto las canicas como los cromos, pero no cómo se va a establecer el trueque, algo que normalmente no se rige por el valor por el que se ha comprado cada producto, por tanto no se puede resolver, a no ser que se añadan hipótesis para el trueque y se den soluciones para cada una de las hipótesis. La guía didáctica da como solución 10 canicas.

O que la omisión de una premisa en el enunciado, que se da por supuesta, lleve a que el problema tenga más de una solución:

"Escribe ordenados los enunciados de estos problemas y, después, resuélvelos". [Y aparecen dos recuadros, uno que indica “Problema 1”, y el otro “Problema 2”. Dentro de cada uno de esos recuadros aparecen varios párrafos, cada uno de ellos enmarcados en un recuadro, y un par de imágenes ilustrativas. En el problema 2, los textos son los siguientes:] 1.º) “¿Cuántas filas puede hacer? ¿Cuántos muñecos le sobran?”. 2.º) “Para jugar, los sitúa en filas de 8 muñecos”. 3.º) “Su tío Enrique le regala 15 muñecos más”. 4.º) “David colecciona muñecos articulados, y ya tiene 77 modelos distintos".

Justificación: En ningún momento se dice que se tienen que utilizar todos los textos, o que no pueden repetirse. Por tanto, se podrían hacer varias combinaciones, todas ellas válidas, obteniendo distintos problemas con distintas soluciones: 4.º, 2.º, 1.º, 3.º, 1.º, o bien, 4.º, 3.º, 2.º, 1.º, o bien 4.º, 2.º, 1.º. La guía didáctica da como solución: 4.º, 3.º, 2.º, 1.º. Para que la solución fuera única y 4.º, 3.º, 2.º, 1.º, se tendría que haber añadido una premisa del tipo: “Debes utilizar todos los enunciados, y debes utilizar cada uno de ellos solo una vez”.

También puede suceder que la omisión de una premisa lleva a que el problema tenga infinitas soluciones:

"Para embalar un paquete, se necesitan 0,75 metros de cinta. ¿Cuántos paquetes se pueden embalar con seis rollos de cinta de 30 metros cada uno?".

Justificación: No nos dicen que los paquetes tengan que ser iguales, por tanto, el problema tiene infinitas soluciones. La guía didáctica da como solución 240 paquetes.

Incluso, el hecho de que se omita una premisa puede llevar a que la solución que se plantee en la guía didáctica sea errónea.

“Indica qué números están representados en la recta”. Y aparece una recta numérica en la que vienen representados los siguientes números: –2, 0 y +2. También aparece una letra “A” sobre el que sería el punto –5, y una letra “B” sobre el que sería el punto +6”.

Justificación: La respuesta a esa pregunta es –2, 0 y +2, y no –5 y +6, tal y como aparece en la guía didáctica. “A” y “B” no son números, y en ningún momento se ha indicado que representen



número alguno. Sólo en el caso de que en el enunciado apareciese la premisa “si suponemos que A y B representan números de la recta numérica” podríamos decir que A es –5 y B es +6.

Por último, presentamos un caso en el que la falta de un dato en el enunciado puede inducir a un error de concepto en el sujeto que responde:

"Averigua, sin hacer la división, cuáles de los siguientes números son divisibles por 9", y aparecen los siguientes números: 45, 126, 234, 351, 236, 468, 738, 2340. A continuación, dice: "¿Cuáles son también divisibles por 3? ¿Qué observas?".

Justificación: Todos los números que aparecen en el enunciado, a excepción del 236, son divisibles por tres y por nueve, y el 236 no es divisible ni por tres ni por nueve. Por tanto, como los números que aparecen, si son divisibles por tres también lo son por nueve, podríamos extraer la conclusión de que es lo mismo ser divisible por tres que divisible por nueve. La guía didáctica da como solución: “Si un número es divisible por nueve, entonces es divisible por tres”. Pero esa conclusión no se obtiene de forma lógica del enunciado. Habría sido necesaria la inclusión de un número que fuera divisible por tres, pero no por nueve.

Enunciados de problemas con error en los datos o que contienen órdenes contradictorias

Hay ocasiones en las que los datos que han sido utilizados para llegar a la solución en la guía didáctica no coinciden con los que aparecen en el enunciado del problema:

"Aprende a resolver problemas. Escribe tú los enunciados. Inventa, para cada problema, el enunciado, de forma que se resuelva con las operaciones que aparecen en ellos". Y aparece un escaparate con dos partes. En la parte de la izquierda hay un cartel que dice: "Rebajas del 30% sobre el precio marcado", y aparece una camisa que marca 36 euros, una chaqueta que marca 68 euros y un pantalón que marca 59 euros. En la parte de la derecha hay otro cartel que dice: "Sin rebajar", y aparece una cazadora que marca 180 euros, un gorro que marca 12 euros, unos guantes que marcan 18 euros y unas botas que marcan 75 euros. A continuación, aparecen cuatro apartados con distintas operaciones, para que, a partir de ellas, se inventen los distintos problemas. Las operaciones del cuarto apartado son las siguientes: 180+75=255 euros; 36:100=0,36 euros; 0,36x30=10,8 euros; 255+10,8=265,8 euros; 300-265,8=34,2 euros. "Solución: A David le sobraron 34,2 euros".

Justificación: Según las operaciones que aparecen, David paga el 30% de un producto de 36 euros, pero eso significa que el producto está rebajado un 70%, y el cartel lo que dice es que las rebajas son del 30% sobre el precio marcado. Por tanto, no existe ningún enunciado posible cuyas operaciones sean las que se proporcionan. En la guía didáctica se da como solución un problema en el que David compra una camisa, una cazadora y unas botas, y pregunta que si tenía 300 euros, cuánto dinero le sobró.

Otras veces, puede suceder que los datos que se extraen del gráfico que acompaña al enunciado del problema no se corresponden con los que han sido utilizados para hallar la solución de la guía didáctica.

"Calcula la superficie de esta fuente". [Y viene dibujada una fuente con forma hexagonal no regular, ya que los lados superior e inferior son claramente más cortos que los otros cuatro. En el gráfico se indica que el lado inferior




mide 10 metros, y la distancia del centro del hexágono a la mitad de ese lado es 8,66 metros.]

Figura 3. Ejemplo para error de gráfico carente de información

Justificación: El hexágono no es regular.7

Por último, en ocasiones podemos encontrar un problema en el que aparecen órdenes contradictorias:

"Averigua, sin hacer la división, si podemos repartir 234 tuercas en cajas de 3 sin que sobre ninguna. ¿Y en cajas de 9 tuercas? ¿Cuántas cajas son necesarias en cada caso?".

Justificación: Es posible responder a las dos primeras cuestiones sin hacer la división, aplicando las propiedades de la divisibilidad. Sin embargo, no es posible responder a la última cuestión, a no ser que se fueran probando productos por tanteo hasta que se diera con la solución. La guía didáctica da por respuesta: “Sí se pueden repartir en cajas de 3 y 9 tuercas. Necesitaríamos 78 cajas de 3 tuercas o 26 cajas de 9 tuercas”.

Error en la respuesta a un problema

El error en la respuesta a un problema se puede deber a múltiples causas. Por ejemplo, que se haya cometido un error en la inferencia:

7 Al no tratarse de un hexágono regular, la única forma de resolverlo sería medir con una regla las distancias que nos dan, comprobar que ambas distancias, las que nos dan numéricamente y las que aparecen en el dibujo, guardan la misma proporción (en caso de que no guarden la misma proporción, el problema no tendría solución) y calcular la escala en la que se ha pintado; medir el resto de lados y las diagonales, y así calcular el área, algo que excede los contenidos de Educación Primaria. La guía didáctica da como solución 259,8 m2, que sería la solución en el caso de que se tratara de un hexágono regular, algo que es falso.



“Daniela adorna las mesas del restaurante con 37 claveles. ¿De cuántas formas las puede repartir para que todas tengan el mismo número de flores?” “Divisores 37=1 y 37. De una, pues 37 es primo”.

Justificación: En el problema nos dicen que repartamos mesas en función de una cantidad de claveles, algo que inicialmente puede resultar absurdo (¿de dónde salen las mesas?, ¿con cuántas contamos para poder repartirlas?). Tomándolo por válido, y contando con que podemos poner el número de mesas que necesitemos, el problema tendría dos soluciones: precisamente por ser primo, 37 tiene dos divisores, el 1 y el 37, y, por tanto, podremos poner una mesa con 37 claveles, o bien, 37 mesas con un clavel cada una. La respuesta que da el problema es absurda pues, al contar 37 con dos divisores, las posibles soluciones son dos, no una. Está obviando una de las soluciones (y no se sabe cuál de las dos, ya que no se especifica).

Otra causa de error de la respuesta puede ser que, para hallar la respuesta, se haya partido de unas premisas distintas a las que se daban:

"Utiliza tu ingenio: Divide el tablero en cuatro partes iguales de forma que en cada parte haya una pera y una manzana". [Y aparece un tablero formado por cuatro filas y cinco columnas de casillas. En cada una de las casillas que forman las esquinas del tablero hay una pera (cuatro en total), y en cada una de las casillas de la columna central hay una manzana (cuatro en total). El resto de las casillas están en blanco.]

Justificación: En este problema se podrían hacer cuatro partes con la misma cantidad de peras, manzanas y casillas en blanco, pero esas partes no son iguales, ni siquiera semejantes. Por tanto, cualquier solución distinta a “El problema no tiene solución” es un error. La guía didáctica da como solución dividirlo en cuatro partes que contienen cada una de ellas una manzana, una pera y tres casillas en blanco.

También se puede cometer error en la respuesta debido a que se ha utilizado como premisa un concepto erróneo:

En un ejercicio resuelto, se pide hallar el cociente de la división 1,8:1,3 hasta las centésimas, y lo hace del siguiente modo:

Figura 4. Ejemplo para error de omisión de premisas en aplicación




Justificación: Las divisiones 1,8:1,3 y 18:13 son divisiones equivalentes, el cociente de ambas divisiones es el mismo, pero el resto no.8

Por último, presentamos el caso de un problema que, partiendo de un enunciado con datos contradictorios, los toma como válidos, llegando a un resultado absurdo que también da por válido:

"De los alumnos que viajan en un autobús escolar 2/5 son niños y 4/7 niñas ¿Cuántos niños y niñas viajan en total?". "Para resolver el problema sumamos 2/5 y 4/7. Como las fracciones tienen distinto denominador, antes de operar las reducimos a común denominador (…). Ahora sumamos las nuevas fracciones. 14/35+20/35=34/35. Luego en total viajan en el autobús escolar 34/35 niños y niñas".

Justificación: Antes de empezar a resolver el problema se debería haber dicho algo del tipo: “Si de los alumnos que viajan en el autobús escolar 2/5 son niños, entonces las niñas tienen que ser 3/5. Como nos dicen que son 4/7, existe contradicción entre los datos, por lo que el problema es absurdo: no tiene solución”. Además, pregunta cuántos niños y niñas, y no conocemos el total. La pregunta que surge viendo la solución que propone el libro es: ¿qué es ese 1/35 de alumnos que no son ni niños ni niñas?

Un ejemplo de Feynman

Concluimos estos ejemplos de errores con el problema de un libro de texto descrito por Feynman (1987), que se encuadraría dentro de los enunciados absurdos.

En el libro que describe el Premio Nobel, se detallaban las temperaturas de una serie de estrellas que, según su color, tenían una temperatura u otra. A continuación, se enunciaba el problema:

«Juan y su padre salen a observar las estrellas. Juan ve dos estrellas azules y una roja. Su padre ve una estrella verde, una estrella violeta y dos estrellas amarillas. ¿Cuál es la temperatura total de las estrellas observadas por Juan y su padre?» Y yo reviento horrorizado. (…) Lo que he expuesto no era sólo un ejemplo: era constantemente así. ¡El absurdo perpetuo! Hallar la temperatura total de dos estrellas es algo falto por completo de sentido. ¡Nadie suma la temperatura de las estrellas, salvo tal vez para calcular la temperatura media de un grupo de estrellas, pero jamás para hallar la temperatura total! ¡Era horrible! Todo era una historieta para hacer sumar al niño; los autores no tenían ni idea de lo que hablaban. Era como ir leyendo frases con unos cuantos errores tipográficos, y entonces, de pronto, aparece una frase entera escrita al revés, de fin a principio. Así eran las matemáticas. ¡No había remedio!» (Feynman, 1987, p. 341).

8 Para dividir 1,8:1,3 multiplicamos dividendo y divisor por diez, obteniendo así la división equivalente a la original 18:13. Si dividimos 18:13 hasta hallar un cociente con dos cifras decimales, obtenemos 1,38 de cociente y 0,06 de resto. Como 1,8:1,3 y 18:13 son divisiones equivalentes, el cociente de ambas divisiones es el mismo, pero el resto no. Para probarlo, basta hacer la comprobación de la división: dividendo es igual a divisor por cociente más resto (D=d*c+r). Según el libro, en la división original, el dividendo es 1,8 (D=1,8), el divisor es 1,3 (d=1,3), el cociente es 1,38 (c=1,38) y el resto es 0,06 (r=0,06). Por tanto, d*c+r=1,3*1,38+0,06=1,854. Pero el dividendo era 1,8, y 1,854≠1,8. El resto de la división original es 0,006. Y la razón es que, al haber multiplicado por diez el dividendo para convertir la división original en una equivalente, como el resto es parte del dividendo, para hallar el resto de la división original tenemos que deshacer el cambio realizado, esto es, dividir el resto que hayamos obtenido en la división equivalente por diez.



3. Posible incidencia en el aprendizaje

Emile Borel, intentando aproximarse a una definición de la matemática, afirma lo siguiente:

La matemática aparece, de manera cada vez más clara, como la ciencia que estudia las relaciones entre ciertos entes abstractos definidos de manera arbitraria, con la única condición de que estas definiciones no conduzcan a una contradicción (Borel, 1962, p. 25).

Partiendo de esta definición, tendremos un error matemático en un libro de texto, cuando encontremos en la exposición de contenidos un enunciado que esté en contradicción con lo que afirma o niega la matemática, o bien conduzca a contradicción con lo que afirma o niega la matemática.

Ahora bien, ¿qué sucede si lo que tenemos es un enunciado de un ejercicio propuesto?, ¿Podemos hablar de error matemático?

Arce Carrasco aborda el tema del error del siguiente modo:

Localizado el campo donde puede surgir el error en todo el campo del conocimiento, hay que referirlo (…) entre dos enfoques angulares que se complementan. Uno es el de la panorámica presentada en relación con la falsedad; otro, quizá el definitorio, es el de la conciencia que acepta esa falsedad, presentada como verdadera (Arce Carrasco, 1971, p. 90).

En otras palabras: hay un error si se afirma o niega como verdadero algo que es falso. En nuestro caso, en el del análisis de un enunciado de un ejercicio propuesto en el libro del alumno, será la guía didáctica la que nos indique qué se esperaba por respuesta al enunciado. Es decir, que si se formula una pregunta u orden con la intención de que la respuesta sea una respuesta determinada (y es la guía didáctica quien nos da la respuesta), en el caso de que la respuesta a la pregunta u orden sea distinta a la que aparece en la guía didáctica, diremos que el enunciado es erróneo.

De este modo, podemos considerar que los ejemplos que hemos incluido en el apartado anterior son errores matemáticos. Pero, ¿qué incidencia puede tener esto en el aprendizaje del niño?

Estudiando el error en el sujeto que aprende, Fernández Bravo (2011: 185) afirma que “cometemos error científico ante una pregunta, cuando hay discrepancia entre: lo que la ciencia espera por respuesta y, la respuesta que nosotros damos”. Así, podríamos afirmar que un sujeto comete un error matemático cuando, ante una pregunta, existe discrepancia entre la respuesta que da el sujeto y lo que la matemática espera por respuesta.

En cuanto al error de razonamiento, o error lógico, “se dirá que el sujeto comete error lógico, cuando el razonamiento que utilice sea incorrecto. Es decir, cuando haya desigualdad entre lo que la lógica espera por respuesta o conclusión y, lo que el sujeto expresa por respuesta o conclusión” (p. 190).

Según si la respuesta es un acierto o un error matemático, y si se ha llegado a ella a través de un razonamiento correcto o incorrecto, podremos tener cuatro situaciones distintas (Fernández Bravo, 2011: 194-197):

Caso 1: Situación que se da cuando el sujeto comete error científico y error lógico.




La respuesta del sujeto no coincide ni con lo que la ciencia espera, ni con el razonamiento de la lógica. Son situaciones en las que se puede explicar el error científico, principalmente por el error lógico. Las causas de estos errores suelen ser internas al sujeto.

Caso 2: Situación que se da cuando el sujeto no comete error científico y sí comete error lógico.

La respuesta del sujeto coincide con lo que la ciencia espera, pero el razonamiento inferido a partir de la condicional utilizada es incorrecto y no coincide con el razonamiento de la lógica. Son situaciones en las que se puede explicar el acierto científico, por diversas razones, entre las que principalmente se pueden citar: el azar y la casualidad, el sujeto ha copiado sin enterarse del por qué de la respuesta, otras personas distintas al sujeto le han dicho la respuesta. Las causas de estos errores suelen ser internas al sujeto.

Caso 3: Situación que se da cuando se consigue un acierto científico y se razona correctamente; no se comete error científico y no se comete error lógico.

La respuesta del sujeto coincide con lo que la ciencia espera, y el razonamiento del sujeto coincide con el razonamiento de la lógica. Son situaciones en las que se puede explicar el acierto científico, principalmente por el acierto lógico.

Caso 4: Situación que se da cuando se comete error científico y no se comete error lógico.

La respuesta del sujeto no coincide con lo que la ciencia espera, pero el razonamiento inferido a partir de la condicional utilizada es correcto y coincide con el razonamiento de la lógica. Son situaciones en las que se puede explicar el error científico porque es falso el contenido de las condicionales que se utilizan para el razonamiento lógico. Las causas de estos errores suelen ser internas y externas al sujeto. En la mayoría de los casos son externas y se deben a la enseñanza de: contenidos científicamente inciertos, hábitos incorrectos y falsas inducciones.

Estudiando estos cuatro casos, el mismo autor afirma que “son muchos los alumnos que pueden responder incorrectamente a una pregunta, razonando perfectamente” (p. 182). Ahora bien, en vista de los errores encontrados en los libros de texto, ¿es posible que estos errores incidan en el bajo rendimiento en Matemáticas de muchos de nuestros alumnos?

4. Conclusión

No siempre los conocimientos que transmiten los libros de texto se corresponden con lo que la ciencia afirma. Centrándonos en el campo de la matemática, vemos que hay autores que han demostrado la existencia de un error matemático en algún libro de texto (Ball, 1984; Gastwirth, 1975; González-Gascón, 1979; Hochberg y Tamhane, 1983; Kolmogorov, 1946; McCallum, 1973; Neumann, 1950; Routley, 1979; Sedov, 1975), los hay que han establecido una clasificación de errores encontrados en libros de texto (Brewer, 1986; Muntean, 2011); otros han manifestado el hecho de haberse encontrado con errores en el transcurso de su investigación (Gairín Sallán y Escolano Vizcarra, 2009; Oliver et al., 2003; Ortiz de Haro, 2002); y, por último, hay quien se ha detenido a analizar un tipo de error en concreto (Beyer y Walter, 2010).



Esta circunstancia ha llevado a algunos gobiernos e instituciones a comprender la necesidad de velar para que los alumnos reciban una enseñanza conforme a lo que la ciencia dicta. Es el caso del Estado de Texas (EE.UU.), donde su Agencia de Educación (2008) cuenta con un amplio programa de revisión de libros y de detección de errores en libros de texto. Asimismo, la Asociación Americana para el Avance de la Ciencia (2012), editora de la revista Science, desarrolla un proyecto de supervisión de libros de texto publicados en EE.UU. sobre materias científicas, entre ellas las Matemáticas.

En España, hasta 1998 estuvo vigente la disposición quinta de la Ley 14/1970, de 4 de agosto, General de Educación y de Financiamiento de la Reforma Educativa, que obligaba a una supervisión de los libros de texto por parte del Estado previa a su edición. Sin embargo, dicha disposición quinta quedó derogada por el Real Decreto 1744/1998, de 31 de julio, sobre uso y supervisión de libros de texto y demás material curricular correspondientes a las enseñanzas de Régimen General, lo que significa que, actualmente, los libros de texto llegan a los alumnos sin que ningún órgano competente verifique previamente que cumplen unos requisitos mínimos.

Según los informes de las pruebas internacionales de matemáticas a las que se han presentado los alumnos españoles (López Varona y Moreno Martínez, 1997; Ministerio de Educación, 2010; Ministerio de Educación y Ciencia, 2004, 2007; Ministerio de Educación y Política Social y Deporte, 2005), el rendimiento de nuestros estudiantes está en todos los casos por debajo de la media de los países participantes. Esto pone de manifiesto el bajo rendimiento de nuestros alumnos en esta materia.

Como indica el Informe Cockcroft (1985: 114), los libros de texto “constituyen una ayuda inestimable para el profesor en el trabajo diario del aula”. Además, tal y como hemos visto, su uso está sumamente extendido en las aulas de Educación Primaria. Sin embargo, después de analizar libros de texto de las cuatro editoriales que, según nuestros datos, son utilizadas en 6.º de Educación Primaria, en un 90% de centros de la Comunidad de Madrid, vemos que contienen errores. Y nos preguntamos si ésta puede ser una causa de ese bajo rendimiento de nuestros alumnos en Matemáticas.

Son muchas las investigaciones realizadas sobre cómo enseñar matemáticas, pero quizá una de las tareas más urgentes sea investigar qué se está enseñando.

La pregunta fundamental no es ¿cuánto de bien estudia el niño el libro que tiene?, sino ¿cuánto de bien le hace al niño el libro que estudia?

En vista de los resultados, se hace necesario realizar un estudio serio de lo que se les está transmitiendo a nuestros alumnos a través de los libros de texto. Una investigación que nos lleve a identificar errores matemáticos en los libros de texto, describir dichos errores, clasificarlos, ver qué relación existe entre los distintos tipos de error encontrados, comprobar qué bloques de contenido están más afectados por cada uno de los tipos de error, estudiar en qué medida dichos errores repercuten en el aprendizaje de los alumnos.

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Pilar Fernández Palop. Profesora de la Escuela Universitaria Cardenal Cisneros (UAH). Licenciada en Matemáticas (especialidad Estadística) por la Universidad de Sevilla. Ha desarrollado su labor docente tanto en el ámbito de la formación profesional, como en centros de Educación Secundaria. En la actualidad está realizando la tesis doctoral en la UCJC sobre errores matemáticos en libros de texto.

Presentación A. Caballero García. Directora del Instituto de Enseñanza y Aprendizaje y Directora de posgrados y profesora de la Facultad de Ciencias Sociales y de la Educación de la Universidad Camilo José Cela de Madrid. Doctora en Filosofía y Ciencias de la Educación (Pedagogía) (1996) y Premio Extraordinario de doctorado (1997) por la Universidad de Murcia. Veinticinco años de experiencia docente y labor investigadora. Métodos de estudio, prensa como recurso didáctico, ansiedad evaluativa y rendimiento, nuevas tecnologías en el aula, personalidad antisocial como sujeto de alto riesgo, convergencia europea en las Titulaciones de Educación (metodologías alternativas), trabajo colaborativo y aprendizaje social y emocional.

José Antonio Fernández Bravo. Director de la Cátedra Conchita Sánchez de Investigación para la Educación Matemática, de la Universidad Camilo José Cela (UCJC). Profesor del Centro de Enseñanza Superior "Don Bosco", Universidad Complutense de Madrid (UCM). Autor de 76 obras de Educación y dirigidas al aprendizaje de la Matemática: cuentos, teatro, juegos, artículos y libros. Premio de “Metodología Creativa” Instituto Europeo de las Creatividades (Reggio Emilia. Italia, 2009), por el libro: “La resolución de problemas matemáticos. Razonamiento y creatividad en la mente de los niños” (2010).



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oordinador: Luis Balbuena C

astellano

Disco Solar Didáctico

Álvaro Martín González

Resumen Se trata de un trabajo, cuya finalidad es explicar, de forma gráfica y sencilla, suponiendo fija la Tierra, el movimiento del Sol alrededor de ella, analizando cómo influye ese movimiento en la sucesión de las estaciones y también en la variación de la duración del día y la noche, a lo largo del año y en las diferentes latitudes de la Tierra. En este artículo no se tiene en cuenta la oblicuidad de la eclíptica que implica cambios en la velocidad de traslación de la Tierra y, por lo tanto, pequeñas diferencias a lo largo del año, entre cada dos pasos sucesivos del sol por el meridiano de un lugar, es decir, en la duración del día. Se considera, en consecuencia, en todo momento, el tiempo solar medio. La finalidad es disponer de un recurso cómodo con el que se pueda ayudar a comprender a cualquier observador, las variaciones indicadas, a lo largo del año.

Palabras clave Polos Celestes, Ecuador Celeste, Meridiano del lugar, horizonte, cénit, sol de medianoche, orto, ocaso, latitud.

Abstract The purpose of this study is to explain in a simple and graphic manner the movement of the sun around the Earth, supposing the latter to be static, analyzing how this movement influences the succession of the seasons and the variation in duration of day and night, throughout the year and in the different latitudes of the Earth. In this article it is not taken into account the obliquity of the ecliptic which implies changes in the translational velocity of the Earth and, therefore, small differences over the year between every two successive passes of the sun over the meridian of a place, that is, the duration of the day. Therefore, in consequence, the mean solar time is always taken into consideration. The objective is to provide observers with a useful resource with which to help understand the indicated variations throughout the year.

Keywords Celestial Poles, Celestial Equator, meridian of a place, horizon, zenith, midnight sun, sunrise, sunset, latitude.

1. ¿Qué es el Disco Solar Didáctico?

El “disco solar didáctico” consiste en un dispositivo formado por dos discos concéntricos giratorios, que nos permite, entre otras cosas, determinar la duración del día y de la noche en diferentes épocas del año, en cualquier latitud, y también del desplazamiento que va sufriendo el lugar de salida o puesta del sol a lo largo del año.

Además nos facilita la comprensión de cuándo y por qué tienen lugar los equinoccios y los solsticios, en qué lugares y cuándo pasa el sol por el cénit, cuándo cae verticalmente sobre la Tierra, la sucesión de las estaciones - viendo la diferente inclinación de los rayos solares a lo largo del año - el por qué del “sol de medianoche”, la larga noche polar, etc.

Disco Solar Didáctico A. Martín González


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Considero que El disco Solar Didáctico puede ser de utilidad para los alumnos de segundo curso de bachillerato, para alumnos de primer curso de algunas carreras universitarias y, en general, para cualquier persona que esté interesada en estas cuestiones.

En él se representan las proyecciones de la trayectoria solar en diferentes días del año. Se ha representado sólo una proyección por mes, para simplificar los dibujos y que haya una mayor facilidad de interpretación, aunque nada impide que se puedan representar más trayectorias, por ejemplo una por semana.

Se han elegido las fechas correspondientes al día 21 de cada mes. Para otras fechas puede hacerse una interpolación aproximada.

No se trata de obtener una gran precisión en las lecturas, aunque sí se persigue facilitar la comprensión, aunque manteniendo el rigor.

2. Introducción

Si nos encontramos en una extensa llanura, o bien en altamar, percibimos el horizonte como una circunferencia, en cuyo centro nos encontramos. Levantando la vista percibimos el cielo como una bóveda semiesférica limitada por el horizonte.

La esfera correspondiente cuyo centro es el observador, recibe el nombre de esfera celeste y su radio, indeterminado, se considera lo suficientemente grande para que, frente a él, sea despreciable el radio de la Tierra. Para describir el movimiento aparente de los astros alrededor de la Tierra, los supondremos proyectados sobre al superficie de esta esfera, de la que percibimos la mitad que está por encima de nuestro horizonte.

La prolongación del eje de la Tierra corta a la esfera celeste en dos puntos, P y P´, a los que se denomina Polos Celestes. El plano que contiene al ecuador terrestre corta a la esfera celeste según una circunferencia máxima que constituye el Ecuador Celeste. La vertical en un punto de la Tierra corta a la esfera celeste en dos puntos: el cénit (Z) en el hemisferio norte y el nadir (Z´) en el hemisferio sur, figura 1.

En cualquier lugar de la Tierra el plano horizontal -perpendicular a la vertical- determina en la esfera celeste una circunferencia que constituye el horizonte del lugar.

El plano que contiene al eje PP´ y al cénit determina el meridiano del lugar. La intersección del meridiano con el horizonte fija los puntos cardinales norte (N) y sur (S). En forma análoga, la

intersección del horizonte y el ecuador determina en la esfera celeste los puntos este (E) y oeste (W).

Figura 1




A S

T R

O N

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El ángulo que forma el horizonte con el ecuador es el mismo que el que forma la vertical del lugar (perpendicular al horizonte) con el eje polar (perpendicular al ecuador). Este ángulo varía con la latitud.

La latitud de un lugar, λ, es precisamente el complementario de ese ángulo e indica, por lo tanto, la altura del polo sobre el horizonte, como se observa en la figura 2.

3. Movimiento aparente del Sol

El Sol, en su movimiento aparente alrededor de la Tierra, recorre una circunferencia diferente cada día. El 21 de marzo se mueve sobre el ecuador celeste - trayectoria a en la figura 3 - Los días

sucesivos recorre trayectorias paralelas con declinación creciente hasta el 21 de junio en que recorre la trayectoria b correspondiente a una declinación de 23º 27´. Es el día del solsticio de verano en el hemisferio norte.

A partir de esa fecha su recorrido comienza a desplazarse hacia el sur, proyectándose de nuevo sobre el ecuador el 22 (ó 23) de septiembre para seguir hacia el sur hasta el 22 de diciembre - solsticio de invierno -, fecha en la que recorre la trayectoria c con declinación – 23º 27´.

El sentido de giro en el movimiento aparente que estamos considerando, es el de las agujas del reloj - sentido retrógrado - para un observador situado en P.

En la figura 4 se representa la trayectoria del sol un día cualquiera del año, y el horizonte de un lugar dado de la Tierra, en el hemisferio norte.

Observando la figura vemos que el hemisferio superior es el visible para el observador situado en T. Por tanto el sol sale por A, alcanza su máxima altura de ese día en B, sobre el meridiano del lugar – a las 12 horas – y se pone en C. El arco CDA corresponde a la noche.

En primavera y verano el punto A se encuentra desplazado hacia el norte, y en otoño e invierno hacia el sur. El 21 de marzo y el 23 de septiembre coincide justamente con el este.

Figura 2

Figura 3



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En las figuras 5 a 16 se indica la trayectoria que vería un observador situado en diferentes latitudes particulares: las correspondientes al ecuador (5,6,7), al trópico (8,9,10), al círculo polar (11,12,13) y al polo norte 14,15,16).

En todas ellas se representa el horizonte y se indica la trayectoria del sol un día del año, en junio, en marzo o septiembre y en diciembre.

Las tres primeras corresponden a la trayectoria solar que vería un observador situado en el ecuador, (latitud 0º).

Las tres siguientes a la que vería un observador situado en el Trópico de Cáncer, (latitud 23º27´N).

A continuación se representa la situación correspondiente a un observador situado en el Círculo Polar Ártico (latitud 66º 33´ N) y, finalmente las tres últimas corresponden a las trayectorias que vería un observador situado en el Polo Norte (latitud 90º), para el que el horizonte coincide con el ecuador.

Las figuras 17 a 28 representan la proyección de las anteriores sobre el plano del meridiano del lugar. Mediante ellas se simplifica la representación de los casos considerados, proporcionando información inmediata sobre cómo varía la duración del día y de la noche a lo largo del año en cualquier latitud.

Todas las figuras son válidas también para el hemisferio sur, teniendo en cuenta que desde él es visible la semiesfera que contiene P´ en lugar de la que contiene P.

Figura 4




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Figura 5 Figura 6 Figura 7






A

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A S

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4. Descripción y aplicaciones del Disco Solar Didáctico

El dispositivo consiste en dos discos concéntricos, que pueden girar uno sobre otro. El plano de los discos corresponde al del meridiano del lugar. En el disco inferior (Disco A) señalamos los polos celestes P y P´, las líneas que representan las proyecciones de las trayectorias solares en diferentes días del año, así como una escala periférica en grados que varía desde 0 hasta 90º, desde cada uno de los polos hacia el ecuador.

Sobre cada una de las líneas aludidas se indica el mes en el que el sol se proyecta sobre ella. Se señala también la hora solar de hora en hora.

Figura 29

En el disco superior, de menor radio, se ha hecho un recorte, cuya parte recta representa la intersección del meridiano con el horizonte, es decir la línea norte-sur. En ella se han señalado los puntos N y S.

Al situar N o S sobre cualquier valor de la escala, queda visible la parte de la esfera que vería un observador en la latitud correspondiente a ese valor, puesto que, como hemos visto, la altura del polo sobre el horizonte, coincide con la latitud del lugar.

Para puntos con latitud norte situamos N sobre la escala que parte de P. Para puntos con latitud sur llevamos S sobre la escala que parte de P´. En este últimos caso es visible Z´ en lugar de Z. Por ello la parte de las trayectorias solares visibles a través del disco corresponde al día, permaneciendo oculta la correspondiente a la noche.

En la figura 29 se representan ambos discos por separado y, en la 30, ya acoplados. Figura 30 a



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A continuación se representa una fotografía de un disco materializado en cartón (figura 30 b), y otra de uno metálico (figura 30 c).

Figura 30 b Figura 30 c

Con este dispositivo podemos determinar fácilmente, en forma aproximada:

1º.- La duración del día y de la noche cualquier día del año y en cualquier latitud. La duración del día la indican los segmentos AiBi de la figura 30. Leemos también la hora en que sale y se pone el Sol.

2º.- La relación entre la duración del día más largo y el más corto del año en cualquier latitud; es la relación A1B1/A7B7.

3º.- La declinación del sol cualquier día del año, midiendo el ángulo B4A4Bi.

4º.- La magnitud del desplazamiento del sol hacia el norte en primavera y verano y hacia el sur en otoño e invierno.

También podemos observar que:

5º.- En cualquier punto de la Tierra, el 21 de marzo y el 22 (ó 23) de septiembre la duración del día es igual a la de la noche. Son los equinoccios de primavera y otoño respectivamente. Basta observar en el disco que el horizonte de cualquier lugar corta a la trayectoria solar de esas fechas en el punto medio de la proyección correspondiente.

6º.- En el ecuador - latitud 0º - la duración del día es igual a la de la noche, cualquier día del año. En la figura 31 se observa que, en este caso, el horizonte corta a las trayectorias por la mitad.

7º.- En el ecuador los rayos del sol caen verticalmente el 21 de marzo y el 22 de septiembre. En esas fechas, a mediodía, el sol se encuentra en el cénit.

8º.- Los días son más largos que las noches en primavera y verano en el hemisferio norte. En la figura 30 se observa que la parte visible de las líneas a la izquierda de A4B4 es mayor que la oculta.




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9º.- La duración del día aumenta al aumentar la latitud en primavera y verano y disminuye en otoño e invierno. Al situar la indicación “N” en la posición correspondiente a una latitud mayor que la de la figura 30, aumentarían los segmentos AiBi, al norte de A4B4 y disminuirían los que están al sur.

10º.- La duración del día aumenta entre el 22 de diciembre y el 21 de junio en el hemisferio norte, siendo aquel el día más corto y éste el más largo del año.

11º.- El 21 de junio alcanza el sol sobre la eclíptica el punto más alejado del ecuador, por encima de él. El 22 de diciembre sucede lo mismo por debajo del ecuador. Son los solsticios de verano e invierno en el hemisferio norte, produciéndose en ellos la máxima diferencia entre el día y la noche.

12º.- Podemos determinar el desplazamiento angular hacia el norte o hacia el sur del punto del horizonte por el que sale el sol (orto) o se pone (ocaso), con respecto al Este, o al Oeste, respectivamente, leyendo en la escala en grados, a lo largo de la línea NS, del disco giratorio B.

13º.- En los puntos con latitud 23º 27´ N, es decir, en el Trópico de Cáncer, el sol cae verticalmente sobre la Tierra el 21 de junio. Basta observar que el punto B se encuentre sobre la vertical. Figura 32.

Figura 32

14º.- En los lugares de latitud 66º 33´ N, puntos situados sobre el círculo polar ártico, el día 21 de junio, el sol se mantiene todo el tiempo por encima del horizonte, y por tanto no se pone. El día dura pues, 24 horas. Es el sol de medianoche: el sol pasa rasante al horizonte, en el Norte, a medianoche.

Figura 31



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Figura 33

El 22 de diciembre toca el horizonte en el Sur pero no llega a salir. Está las 24 horas debajo del horizonte. Figura 33.

15º.- En el Polo Norte - latitud 90º - el sol se mantiene por encima del horizonte desde el 21 de marzo hasta el 23 de septiembre, por lo que la duración del día es de seis meses en el hemisferio correspondiente. Figura 34.

Figura 34 Figura 35

Análogamente, para puntos del hemisferio sur se observa fundamentalmente lo siguiente :

16º.- Entre el 23 de septiembre y el 22 de diciembre aumenta la duración del día y disminuye la de la noche, correspondiendo a esta última fecha el día más largo del año. Ver figura 35.

17º.- En la latitud 23º 27´ S, correspondiente al Trópico de Capricornio, el sol cae verticalmente sobre la Tierra el 22 de diciembre. Es el comienzo del verano en ese hemisferio. Ver figura 36




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Figura 36

18º.- En el Círculo polar Antártico, con latitud 66º33´ S, el sol no se pone el 22 de diciembre. Pasa rasante al hizonte en el Sur. Es el solsticio (de verano en el hemisferio Sur) y el día dura 24 horas. El 21 de junio toca el horizonte en el Norte pero sin llegar a salir. Permanece bajo el horizonte durante las 24 horas. Ver figura 37.

Figura 37

19.- En el Polo Sur - latitud 90º S - el sol se mantiene sobre el horizonte desde el 22 (ó 23) de septiembre hasta el 21 de marzo. El día dura seis meses en ese hemisferio. Ver figura 38.



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Figura 38

Vemos pues, que con este sencillo dispositivo, logramos, no sólo ver la diferente duración de los días a lo largo del año, sino que, además, observamos la variación de la declinación solar, en qué lugares y cuándo pasa el Sol por el cénit, cuándo cae verticalmente sobre la Tierra, etc.

También nos ayuda a comprender mejor fenómenos como la sucesión de las diferentes estaciones -viendo la distinta inclinación de los rayos solares a lo largo del año- el por qué del sol de medianoche, o la larga noche polar.

5. Resumen

El “disco solar didáctico” consiste en un dispositivo formado por dos discos concéntricos giratorios, que nos permite determinar la duración del día y de la noche en diferentes épocas del año, en cualquier latitud; nos facilita la comprensión de cuándo y por qué tienen lugar los equinoccios y los solsticios; en qué lugares y cuándo pasa el sol por el cénit; cuándo cae verticalmente sobre la Tierra; la sucesión de las estaciones - viendo la diferente inclinación de los rayos solares a lo largo del año - el por qué del “sol de medianoche”, la larga noche polar, etc.

El disco mayor del dispositivo lleva unas líneas que representan las proyecciones sobre el plano meridiano de las trayectorias solares. Aparecen representadas de mes en mes, aunque se podrían representar más próximas, por ejemplo una proyección correspondiente a cada semana. También se señalan los polos celestes P y P´.

En la periferia, aparece una escala de 0º a 90º válida para latitudes norte a partir de P y otra también de 0º a 90º a partir de P´, en sentido inverso, válida para latitudes sur.

El disco superior, de menor radio, lleva un recorte cuya parte recta representa el horizonte del observador proyectado sobre el plano del meridiano. Lleva señalados los puntos cardinales norte (N) y sur (S).

Al llevar N sobre un valor de la escala que parte del polo P, queda situado el horizonte correspondiente a esa latitud – como vimos anteriormente, la altura del polo sobre el horizonte coincide con la latitud de un lugar - por lo que la parte de las trayectorias visibles a través del disco




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corresponden a lo que vería observador en esa latitud del hemisferio norte. La parte que no deja ver el disco corresponde a la noche.

En forma análoga, al llevar S sobre la escala que parte de P´, obtendríamos el horizonte de un observador situado en el hemisferio sur en la latitud señalada. En el primer caso queda Z en el hemisferio visible y en el segundo Z´.

6. Algunos cálculos teóricos que confirman la información suministrada por el disco

6.1. Determinación del desplazamiento del orto y del ocaso solar

El triángulo esférico determinado por el Polo Celeste, el cénit y un astro se denomina triángulo astronómico.

En la figura 39 está representado tal triángulo para el caso del Sol en el momento en que asoma por el horizonte.

Resolviendo este triángulo podemos calcular la posición del orto y el ocaso del Sol cualquier día del año. En la figura vemos que el lado PR es el complemento de la declinación del Sol el día considerado, y el lado ZP es complementario de la latitud del lugar.

Por ser en este caso, rectilátero el triángulo, ya que el lado ZR mide 90º, será:

cos(90−δ) = cosRZP sen (90- λ) ,

cosRZP= cos(90−δ)

sen (90 -λ) con lo que determinamos el ángulo RZP que nos da la posición del orto del

Sol en el día considerado.

6.2. Desplazamiento del orto y ocaso en algunas latitudes particulares

6.2.1. Cálculos para la latitud de ciudad de La Laguna (28º 30´N, 16º 20´W), en determinadas fechas. Ver figura 40.

cosRZP= cos(90−δ)

sen (90 -λ) llamando Φ al ángulo RZP queda cosΦ = cos(90−δ)

sen (90 -λ)

Figura 39



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Figura 40

El 21 de abril:

cosΦ = cos(90−δ)

sen (90 -λ)= cos(90−11040')

sen (90 - 28030')= cos78º 20'

sen 61o30'= 0,2300

Φ = arc cos 0,2300= 76o42' contado desde el punto cardinal Norte. Por lo tanto el orto tiene lugar

a 13o18' del punto cardinal Este.

El 21 de mayo:


sen (90 -λ)= cos(90− 20011')

sen (90 - 28030')= cos69º 49'

sen 61o30'= 0,3919

Φ = arc cos 0,3919= 66o55'

contado desde el punto cardinal Norte. Por lo tanto el orto tiene lugar a 23o05' del punto cardinal Este.

El 22 de junio:


sen (90 -λ)= cos(90− 23027')

sen (90 - 28030')= cos66º 33'

sen 61o30'= 0,4527

Φ = arc cos 0,4527= 63o04'

contado desde el punto cardinal Norte. Por lo tanto el orto tiene lugar a 26o55' del punto cardinal Este.




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6.2.2. En el ecuador (λ=0). Ver figura 41.


El 21 de abril:

cosΦ = cos(90−δ) = cos(90o −11o40')= cos78o20'

Φ = 78o20' desde el punto N. Luego el Sol sale desplazado 11o40' desde el Este.

El 21 de mayo:

90o − Φ = 90o − 20o11', esto significa que sale a 20o11' del Este.

El 22 de junio:

90o − Φ = 90o − 23o27' , esto significa que sale a 23o27' del Este.

6.2.3. En la latitud de 23o27' N (figura 42), será,

Figura 42

Figura 41



A

S

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R

O

N

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El de 21 de abril:

cosΦ = cos(90−11o40')

sen (90 - 23o27')= 0,2022

0,9174= 0,2204

Φ = arc cos0,2204= 77o15' y 90o − Φ =12o45' da la posición del orto con respecto al Este.

El 21 de mayo:

cosΦ = cos(90− 20o11')

sen (90 - 23o27')= 0,3450

0,9174= 0,3760

Φ = arc cos0,3760= 67o54' y 90o − Φ = 22o06'

El 22 de junio:

cosΦ = cos(90o− 23o27')

sen (90o- 23o27')= 0,3979

0,9174= 0,4337 y Φ = arc cos0,4337= 64o17'

90o − Φ = 25o43' , que indica que sale a 25o43' del Este.

6.2.4. En la latitud de 66o33' N, (figura 43), será,

Figura 43




A S

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O N

O M

Í A

El 21 de abril

cosΦ = cos(90−11o40')

sen (90 - 66o33')= 0,2010

0,3979= 0,5051

Φ = arc cos0,5051= 59o39' y 90o − Φ = 30o21' da la posición del orto con respecto al Este.

El 21 de mayo será cosΦ = cos(90− 20o11')

sen (90 - 66o33')= 0,3450

0,3979= 0,8670

Φ = arc cos0,8670= 29o52' y 90o − Φ = 60o08'

El 22 de junio cosΦ = cos(90o − 23o27')

sen (90o - 66o33')=1 y Φ = 0o, es decir, el Sol sale justamente por el

Norte.

6.2.5. En el Polo Norte, latitud 90º N, (figura 44).

Figura 44

En este caso, el denominador de la expresión cosΦ = cos(90−δ)

sen (90 -λ)

es siempre nulo, por lo que no hay ningún valor de Φ que la verifique. Es decir, entre marzo y septiembre el Sol estará siempre por encima del horizonte.

En los equinoccios, también se anula el numerador, por lo que la expresión es indeterminada.

En esos días el sol recorre el horizonte.



A

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O

M

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6.3. Cálculo de la duración del día

Para calcular el tiempo que el Sol permanece por encima o por debajo del horizonte, es decir la duración del día y de la noche, calcularemos el ángulo RPZ que determina mitad del arco que recorre el Sol sobre el horizonte. Multiplicándolo por 2 y teniendo en cuenta que cada 15º corresponde a una hora podremos saber entonces la duración del día.

cosRPZ= −cot(90− λ).cot(90−δ)

Esta fórmula es aplicable para latitudes iguales o menores a 66º 33´. Para latitudes mayores la trayectoria solar no cortaría al horizonte.

6.3.1. Duración del día en las latitudes particulares y los días considerados anteriormente

a) latitud 28º 30´(La Laguna):

el día 21 de abril:

cosRPZ= −cot(90º−28º30′).cot(90º−11º40′) = -0,1120

llamando θ al ángulo RPZ, nos queda,

θ = 96º26′ , 2θ =192º28′ . Como cada 15º corresponde a una hora, la duración del día resulta ser de 12,85 horas, aproximadamente 12 horas y 51 minutos.

el 21 de mayo:

cosθ = −cot(90º−28º30′).cot(90º−20º11′) = -0,1995

θ =101º30′ 2θ = 203º

la duración del día resulta ser de 13,53 horas, aproximadamente 13 horas y 32 minutos.

El 21 de junio:

cosθ = −cot(90º−28º30′).cot(90º−23º27′) = -0,2354

θ =103º36′ 2θ = 207º14′ la duración del día resulta ser de 13,48 horas, aproximadamente 13 horas y 28 minutos.

b) latitud 23º 27´N:

El 21 de abril:

cosθ = −cot(90º−23º27′).cot(90º−11º40′) = −0,0895

θ = 95º13′ , 2θ =190º28′ .

La duración del día resulta ser de 12,68 horas, aproximadamente 12 horas y 41 minutos.

El 21 de mayo:

cosθ = −cot(90º−23º27′).cot(90º−20º11′) = - 0,1594

θ = 99º17′ 2θ =198º34′




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la duración del día resulta ser de 13,22 horas, aproximadamente 13 horas y 12 minutos.

El 21 de junio:

cosθ = −cot(90º−23º27′).cot(90º−23º27′) = - 0,1880


c) latitud 66º 33´N

el 21 de abril:

cosθ = −cot(90º−66º33′).cot(90º−11º40′) = −0,4758

θ =118º24′ , 2θ = 236º48′ . La duración del día resulta ser de 15,78 horas, aproximadamente 15 horas y 47 minutos.

el 21 de mayo:

cosθ = −cot(90º−66º33′).cot(90º−20º11′) = - 0,8474


El 21 de junio:

cosθ = −cot(90º−66º33′).cot(90º−23º27′) = -1

θ =180º 2θ = 360º

la duración del día resulta ser de 24 horas. Es decir el sol está las 24 horas por encima del horizonte.

Para la latitud de 90º N, la trayectoria del sol no corta al horizonte en ninguna de las fechas consideradas por lo que la duración del día es siempre de 24 horas.

Se omiten los cálculos similares para el hemisferio Sur, ya que serían totalmente equivalentes.

Bibliografía

Constantino Marcos y otros. Matemáticas de Preuniversitario. Madrid: Ediciones S.M. Izquierdo Asensi, F. Geometría Descriptiva. (1979). Madrid: Editorial Dossat, S.A.

Álvaro Martín González, es Doctor en Ciencias, Catedrático jubilado de Física y Química de Bachillerato y Licenciado en Bellas Artes. Ha sido profesor en diferentes institutos de Enseñanza Secundaria de Tenerife y Profesor tutor de Física de la UNED.



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Explica, un portal web divulgativo dedicado a la estadística

Rut Almeida (Universidad de La Laguna. La Laguna. España)

Resumen El Instituto Nacional de Estadística (INE) ha creado un portal web divulgativo, Explica, con motivo del Año Internacional de la Estadística para acercar, a los estudiantes de enseñanza secundaria y bachillerato, a los contenidos de la estadística necesarios para interpretar la información que nos rodea. Explica, nos presenta una colección de recursos interactivos (presentaciones, vídeos, juegos, cuestionarios…) por los que navegar para introducirnos en el mundo de la estadística.

Palabras clave Estadística, web, recursos interactivos, enseñanza secundaria y bachillerato.

Abstract The National Statistics Institute (INE) has created a divulgative website, Explica, on the occasion of the International Year of Statistics to bring secondary education and bachillerato students to the contents of the statistics needed to interpret the information around us. Explica, presents a collection of interactive resources (presentations, videos, games, questionnaires ...) for navigating around the world of statistics.

Keywords Statistics, website, interactive resources, secondary and bachillerato education.

1. Introducción

La estadística es la ciencia que se encarga, entre otros aspectos, del estudio de los datos de una población y por lo tanto, con frecuencia, encontramos resultados de estudios estadísticos en nuestro alrededor. Por ello, el Instituto Nacional de Estadística (INE) ha diseñado un portal web divulgativo para acercarnos a la estadística de una forma amena e interactiva, con el objetivo de que la población tenga las herramientas necesarias para interpretar los resultados de estudios estadísticos que se publican, por ejemplo, en los medios de comunicación.

Actualmente nos encontramos en el Año Internacional de la Estadística que el Instituto Nacional de Estadística hace coincidir con la creación del portal Explica, el cual analizamos en este artículo realizando un recorrido por todas sus secciones.

2. Análisis del portal web

El portal web al que accedemos a través de la dirección http://www.ine.es/explica/explica.htm tiene una apariencia sencilla a la vez que intuitiva para aquellas personas que acceden por primera vez.

Explica, un portal web divulgativo dedicado a la estadística R. Almeida

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Figura 1. Inicio.

En ella podemos encontrar una serie de pestañas en una columna situada a la izquierda, que nos facilita el acceso a las distintas secciones del portal. En la parte central encontramos un enlace a la web del Instituto Nacional de Estadística, así como novedades y noticias relevantes relacionadas con la estadística. Por último, en la esquina superior derecha podemos acceder a un mapa del sitio web donde se desglosan todas sus partes, es decir, otra manera de acceder a los recursos del portal, además de a través de las pestañas de la columna de la izquierda.

En esta máscara de inicio podemos acceder a enlaces de presentación sobre novedades y ejemplos de recursos que nos acercan a la estadística de una forma sencilla. Dichos recursos se encuentran en las distintas secciones del portal y se destacan en esta página de inicio.

A continuación, se realizará una revisión del portal web a través de un recorrido por cada una de sus secciones.

2.1. ¿Qué es Explica?

Explica, te ayudamos con la estadística, es un portal web divulgativo diseñado por el Instituto Nacional de Estadística cuyo objetivo es incrementar la cultura estadística en la sociedad para así favorecer el buen uso de la información estadística que se encuentra en entornos cotidianos como, por ejemplo, los medios de comunicación. Para ello en la web encontramos multitud de recursos de carácter divulgativo presentados en formato flash y pdf. También cuenta con acceso a videos y aplicaciones del canal del Instituto Nacional de Estadística e incluso algunos enlaces a YouTube.

En esta sección contamos también con un formulario para realizar cualquier consulta o sugerencia a los administradores del portal, quienes responderán dichas consultas a la dirección de correo electrónico que se facilite.


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Vol. 83 julio de 2013

2.2. Primeros pasos

La sección Primeros pasos tiene como objetivo facilitar los conceptos necesarios para interpretar datos y resultados estadísticos que aparecen en el resto de secciones del portal. Encontramos recursos explicativos sobre conceptos y herramientas de la estadística, partiendo de la estadística descriptiva y pasando por la probabilidad, la inferencia estadística, gráficos y elaboración de encuestas. Todo ello está organizado en 5 apartados que contienen presentaciones flash con enlaces a otros recursos como vídeos o enlaces web.

Figura 2. Primeros pasos.

Contamos con presentaciones teóricas como el apartado Introducción a la Estadística en el que podemos realizar consultas sobre conceptos y contenidos teóricos, pero también nos encontramos con un apartado práctico (Tu primera encuesta) en el que proponen construir un cuestionario facilitando, en la misma presentación flash, documentos Word con ejemplos y plantillas para construir una encuesta. Esta sección tiene una gran utilidad en la educación secundaria pues los alumnos de una manera autónoma podrán realizar una actividad de construcción, recolecta de datos y posteriormente análisis de los mismos aplicando contenidos de la sección Introducción a la Estadística.

Por otra parte, hay dos apartados dedicados a los gráficos. En Gráficos de ayer y hoy se muestran los distintos tipos de gráficos asociándolos a su origen e historia, es decir, se trata de una sección de contenido teórico. Por otro lado, si accedemos al apartado Tipos de gráficos, ¿cuál uso? podemos ver cómo poner en práctica los distintos gráficos, asociados al tipo de variable que se estudia o qué queremos resaltar de nuestro estudio por medio de una presentación que nos detalla la información necesaria.

2.3. Estadísticas oficiales


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En la sección Estadísticas oficiales nos acercamos al Instituto Nacional de Estadística, autor del portal. En un apartado de esta sección INE y sistema estadístico, contamos con una colección de videos explicativos y una presentación flash en la que se detalla el funcionamiento de dicho organismo, sus funciones y organización, sistema de trabajo, repercusión en la sociedad y la relación que existe con otros organismos que tienen el mismo objetivo (Sistema Estadístico Nacional); de forma similar contamos con un video que nos explica cómo se organiza el Sistema Estadístico Europeo y la aportación que hace España al mismo.

Figura 3. Estadísticas oficiales.

El apartado Principales estadísticas, nos facilita presentaciones donde se explica el procedimiento que sigue el INE en la elaboración de algunos estudios estadísticos que se realizan anualmente en España, el Índice de precios de consumo, Encuesta de población activa, Producto interior bruto, Encuesta de presupuestos familiares y sobre la importancia de los estudios estadísticos para tener una visión de la proyección de la población.

Pregunta + respuesta = dato está destinado a explicar cómo se realiza una estadística. Para ello contamos con un video en el que se resumen los pasos generales a seguir en el proceso, así como una presentación explicativa sobre el proceso y los pasos seguidos para la realización de un estudio estadístico concreto Estudio sobre Equipamiento y Uso de Tecnologías (TIC) en los Hogares.

Por último, en los apartados Los productos estadísticos y Censos 2011 podemos acceder a datos y resultados de estudios estadísticos oficiales realizados por el INE. Esta información puede ser muy útil para el profesorado que desee diseñar actividades con datos reales y fiables.

2.4. Estadística y mucho más


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En esta sección podemos encontrar diversos recursos lúdicos relacionados con la estadística: cuestionarios, video de curiosidades, juegos, etc. Se trata probablemente de la sección de mayor utilidad como recurso metodológico para la Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato.

Figura 4. Estadística y mucho más.

Contamos, por ejemplo, con un vídeo que habla sobre datos estadísticos de España que presenta los datos en el supuesto de que la población fuese de 100 habitantes (Si España fuese un pueblo), lo que simplifica mucho los datos que son presentados de una forma más cercana. En este caso no sólo trabajamos la estadística, sino la utilidad de las proporciones a la hora de presentar datos. Considero que es un recurso muy interesante para introducir la estadística en los niveles de Educación Secundaria Obligatoria.

Además encontramos un apartado (Aplicaciones prácticas) en el que introduciendo el nombre de una población accedemos a los datos del número de habitantes de dicho lugar detallando el número de hombres y mujeres, tanto la cifra actual como la de años anteriores, un recurso muy útil para el diseño de tareas.

En el resto de apartados podemos acceder a curiosidades presentadas como datos o cuestionarios y juegos relacionados con los contenidos presentados en la sección Estadísticas oficiales. Estos recursos pueden ser de utilidad para que el estudiante ponga en práctica lo aprendido de una manera autónoma.

2.5. Un poco de historia


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La sección Un poco de historia, como su nombre indica, presenta un recorrido por la historia de la estadística, mostrando su origen y evolución a lo largo de la Edad Antigua, Edad Media, Edad Moderna y la Edad contemporánea (La estadística en la Historia). También contamos con apartados destinados a mostrar un pequeño resumen biográfico de algunos de los personajes más relevantes en la historia de la estadística (Personajes de la estadística).

Figura 5. Un poco de historia.

En la historia de España, los censos de población surgieron desde muy temprano, en concreto durante los reinos de taifa, es decir, entre los siglos XI y XIII para establecer los tributos que debían pagar musulmanes, judíos y cristianos. Debido a esto, encontramos una larga historia en España en lo que a censos de población se refiere y podemos encontrar un resumen de su evolución hasta la actualidad, en forma de presentación flash, en Primeros censos españoles.

Esta sección cuenta también con enlaces a tres exposiciones virtuales dedicadas a la Muestra bibliográfica agraria, Los tesoros de la biblioteca (en la que podemos encontrar la historia de los gráficos estadísticos) y Muestra censos españoles. Se trata de tres exposiciones que se encuentran de forma física en Madrid.

2.6. Olimpiada Estadística

Actualmente nos encontramos en el Año Internacional de la Estadística. Con este motivo, el Instituto Nacional de Estadística y la Facultad de Estudios Estadísticos de la Universidad Complutense de Madrid han organizado una Olimpiada Estadística a nivel de Enseñanza Secundaria Obligatoria, Bachillerato y Ciclos Formativos de grado medio.


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Figura 6. Olimpiada Estadística 2013

En esta sección podemos encontrar toda la información necesaria para participar: Calendario, Objetivo de la Olimpiada, Bases de la Convocatoria, Ejemplos de pruebas de la Olimpiada, Poster, un email para dudas y sugerencias, etc. En estos momentos ya ha tenido lugar la primera fase y segunda fase, podemos acceder a los resultados de la primera que ya han sido publicados. La Olimpiada finaliza el 17 de mayo, día en el que se publican los equipos ganadores.

2.7. Visita de centros de enseñanza

Este portal da la oportunidad, a centros de enseñanza secundaria y bachillerato, de solicitar una visita a la delegación del Instituto Nacional de Estadística.


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Figura 7. Visita de centros de enseñanza.

Se trata de una buena forma de acercar al alumnado a la estadística a través de una visita a las instalaciones del Instituto Nacional de Estadística en la que además contarán con un guía que les presentará las distintas secciones y explicará el funcionamiento y labores del mismo.

3. Conclusiones

El portal web divulgativo Explica del Instituto Nacional de Estadística tiene como objetivo acercar a los estudiantes de educación secundaria y bachillerato a la estadística de una forma interactiva y práctica, mostrando los distintos aspectos a través de videos, presentaciones, juegos, cuestionarios, etc. En la página podemos encontrar desde presentaciones teóricas sobre conceptos básicos de la estadística o la historia y evolución de la misma, hasta aspectos prácticos como juegos y videos para diseñar una encuesta y realizar un estudio de los datos obtenidos.

Se trata de un portal lleno de recursos para la enseñanza secundaria y bachillerato, en la que los estudiantes podrán navegar de forma autónoma dada la sencillez y la forma intuitiva en la que el INE presenta los recursos. Desde el punto de vista de la enseñanza, las secciones que proporcionan


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recursos más prácticos son Primeros pasos y Estadística y mucho más, pues presentan contenidos más cercanos a los del currículo de enseñanzas mínimas de estos niveles (Real Decreto 1631/2006, BOE nº5, 5 de enero de 2007; Real Decreto 1467/2007, BOE nº266, 6 de noviembre de 2007). Por otro lado, aunque el objetivo del INE se encuentra en los niveles de secundaria, algunos de los recursos que encontramos podrían considerarse algo superior a los contenidos que se exigen a estos niveles y son de mayor interés en niveles universitarios.

En las secciones Estadísticas oficiales y Un poco de historia, podemos encontrar multitud de recursos para el profesorado, que contienen información relevante de la estadística que no se encuentra en los contenidos del currículo de enseñanzas mínimas pero que tienen una importancia relevante y pueden utilizarse como introducción y motivación a otros contenidos que sí son parte del temario de estos niveles.

Otro aspecto a destacar, es el enlace que encontramos en todas las secciones que nos dan acceso a una colección de ficheros pdf de las presentaciones del portal. Este recurso tiene una gran utilidad para el profesorado que no cuente con internet en el aula ya que puede descargar el contenido del portal en formato pdf y disponer del mismo sin conexión a internet.

Se trata de un portal divulgativo nuevo, registrado en 2013, que cuenta ya con muchos recursos para la enseñanza de la estadística en la educación secundaria y bachillerato, por lo que es de esperar que siga evolucionando y proporcionando material interactivo para estos niveles.

Bibliografía

Real Decreto 1631/2006, de 29 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria. Viernes 5 de enero de 2007 BOE nº5.

Real Decreto 1467/2007, de 2 de noviembre, por el que se establece la estructura del bachillerato y se fijan sus enseñanzas mínimas. Martes 6 de noviembre de 2007. BOE nº266.

Rut Almeida Cabrera. Doctorando del programa de Matemáticas en la Universidad de La Laguna. Actualmente es becaria del área de Didáctica de las Matemáticas del Departamento de Análisis Matemático de la Universidad de La Laguna, en el proyecto nacional Modelos de competencia formal y cognitiva en pensamiento numérico y algebraico de alumnos de primaria, secundaria y de profesorado de primaria en formación. Su línea de investigación es el sentido numérico y cuenta con varias publicaciones en ese ámbito. Email: [email protected]



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Hexágonos coloreados y Mi casa (Juegos 22)

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)

Resumen Resolvemos el problema sobre el juego del Mastermind publicado en el número 81 mediante una organización en tablas de la información, y presentamos dos ejemplos de puzles de encajar planos, que llevamos en el Komando matemático. Unos del tipo cabeza-cola y el otro de reconstrucción de figuras a partir de una disección de la misma.

Palabras clave Método de resolución de problemas del juego Mastermind. Planteamientos y estrategias a seguir en la solución de puzles planos del tipo cabeza-cola y de ensamblaje bidimensional.

Abstract We solve the problem about the game of Mastermind published in issue 81 by an organization information tables, and present two examples of puzzles to fit, flat, we carry in our the mathematical Komando. A head-tail type and the other figures reconstruction from the same dissection.

Keywords Problem-solving method of the game Mastermind. Approaches and strategies to be followed in solving puzzles planes of type head-tail (put-together puzzles) and two-dimensional assembly.

En el artículo “Juegos de lógica inductiva” publicado en el número 81 de la revista, al hablar del Mastermind, dejamos planteado el siguiente problema:

Caza al tesoro

El otro día, rebuscando en el desván, Marcos descubrió un viejo baúl que contiene un pergamino y un cofre. Leyendo el pergamino, comprendió que el cofre conserva un tesoro protegido por una cerradura con una combinación numérica de tres cifras (de 1 a 9). Además el pergamino aporta estas informaciones:

a) en 3 4 5 una sola cifra es correcta, pero no está en su lugar correcto (un herido) b) en 2 3 6 ninguna cifra es correcta (ni muertos ni heridos) c) en 6 7 8 una sola cifra es correcta y está en el sitio correcto (un muerto) d) en 4 7 2 una sola cifra es correcta y está en el sitio correcto (etc.) e) en 8 5 9 dos cifras son correctas, pero sólo una está en el sitio correcto f) en 5 8 2 una sola cifra es correcta y está en el sitio correcto

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]

Hexágonos coloreados y Mi casa (Juegos 22) J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz


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Ayudad a Marcos a encontrar la combinación correcta para abrir el cofre.

Vamos a ofrecer una solución a partir de una estrategia de Organización de la Información y usando una tabla de doble entrada como organizador.

Para comprender mejor las informaciones suministradas por el problema haremos una tabla organizada con ellas.

Información Combinación Cifras correctas Posición Consecuencias A 3 4 5 1 Incorrecta B 2 3 6 0 2, 3 y 6 no están C 6 7 8 1 Correcta D 4 7 2 1 Correcta E 8 5 9 2 Sólo una correcta f 5 8 2 1 Correcta

Tabla 1

La información (b) permite eliminar las cifras equivocadas 2, 3, 6.

Información Combinación Cifras correctas Posición Consecuencias A 4 5 1 Incorrecta B C 7 8 1 Correcta D 4 7 1 Correcta E 8 5 9 2 Sólo una correcta El 9 es correcto F 5 8 1 Correcta El 9 está en posición correcta

Tabla 2

Las informaciones (e) y (f) nos permiten saber que el 9 es una cifra correcta y que también está en posición correcta.

Información Combinación Cifras correctas Posición Consecuencias A 4 5 1 Incorrecta B C 7 8 1 Correcta El 7 es correcto D 4 7 1 Correcta El 7 está en posición correcta E 8 5 9 2 Sólo una correcta El 9 es correcto F 5 8 1 Correcta El 9 está en posición correcta

Tabla 3

Las informaciones (c) y (d) nos indican que el 7 es una cifra correcta y, también, que está en posición correcta. Sólo nos queda saber la primera cifra, pues las otras dos son 7 y 9.

Información Combinación Cifras correctas Posición Consecuencias A 4 5 1 Incorrecta B C 7 8 1 Correcta El 8 es incorrecto D 4 7 1 Correcta El 4 es incorrecto E 8 5 9 2 Sólo una correcta F 5 8 1 Correcta

Tabla 4




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De nuevo, las informaciones (c) y (d) nos permiten deducir también que, al ser correcto el 7, tanto el 4 como el 8 han de ser necesariamente incorrectos.

Información Combinación Cifras correctas Posición Consecuencias A 5 1 Incorrecta B C 7 1 Correcta D 7 1 Correcta E 5 9 2 Sólo una correcta

F 5 1 Correcta El 5 es correcto y está en posición correcta.

Tabla 5

Para terminar, de la información (f) obtenemos que la primera cifra de la combinación ha de ser el 5.

Respuesta: Hay una sola combinación posible para abrir la caja fuerte: 5, 7, 9.

Este problema tiene muchas y diversas formas de ser resuelto. Pero en cualquiera de ellas la respuesta final es la misma.

Nos siguen quedando pendientes los problemas del Reversi/Othello, presentados en el nº 82 de la revista, de los que seguimos esperando alguna respuesta de nuestros lectores y de los que haremos un tratamiento especial en una próxima segunda parte del artículo.

Como pueden apreciar nuestros lectores, en esta sección vamos alternando los artículos dedicados a juegos con los dedicados a puzles. Ahora, en éste, nos toca volver a los puzles.

"Puzle mecánico" es el término más ampliamente usado hoy día para referirse a un puzzle hecho de piezas sólidas que pueden ser manipuladas manualmente para obtener una solución.

Los puzles se clasifican de muchas maneras, pero en cualquiera de ellas siempre se habrán de tener en cuenta los puzles para encajar (put-together puzzles), consistentes en armar un objeto a partir de una serie de piezas sueltas que deberán ser colocadas en contacto (sin trabarlas). Dentro de este tipo se encuentran los puzles de ensamblaje bidimensional. Y dentro de estos, a su vez, los llamados puzles de cabezas-colas.

Puzles cabezas-colas

Los puzles de Cabezas- Colas están formados por una serie de piezas, todas de igual forma, que tienen unos elementos (dibujos, colores, signos) sobre los lados o sobre los vértices y las cuales deben ser colocadas de forma que sus esquinas o lados encajen, emparejando dichos elementos entre sí. Normalmente las piezas suelen tener formas geométricas regulares: triángulos equiláteros, cuadrados, hexágonos, que permiten cubrir la superficie plana de juego. Las piezas al encajar deberán formar también una disposición regular o cubrir un tablero previamente diseñado. Hoy nos centramos en aquellos donde los elementos que tenemos que hacer coincidir son

representaciones de animales, personajes de dibujos u otros diseños y Figura 1. Eternety



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objetos que han sido divididos en dos partes; y también aquellos otros donde debemos buscar la coincidencia de dos puntos o marcas de igual color. Dejamos los que representan en cada pieza un diseño, normalmente geométrico, tales como cuadrados divididos por sus diagonales y con cada uno de los triángulos coloreado, y donde han de coincidir los colores de las piezas que se adosan como el de Eternety que se muestra en la figura 1, con 16x16 piezas, de extraordinaria dificultad.

Hexágonos coloreados

Dos de las actividades más populares de la Sociedad Canaria “Isaac Newton” de Profesores de Matemáticas son la Exposición “Matemáticas 2000” y el “Komando Matemático”. En ambas figura este puzle de cabezas-colas llamado “Hexágonos coloreados”.

Está formado por siete piezas de madera con forma de hexágonos (Figura 3), en cada uno de los cuales aparece un punto de color (rojo, verde, azul, amarillo, blanco y negro) en el centro de cada uno de sus lados. Dichos puntos están colocados de manera que, constituyen una permutación circular de

los seis colores. Al tratarse de una permutación cíclica de seis colores, hay 5! = 120 posibilidades de hacer una pieza. En este juego sólo se toman siete de ellas (Figura 2).

El puzle va acompañado de un cartel informativo en el que se presenta el objetivo del mismo. Reza así:

Las piezas y el cartel se presentan tal y como vemos en la figura 4:

Las personas inician el trabajo emparejando las piezas de tal manera que los puntos emparejados sean siempre del mismo color (figura 5).

Es un puzle muy complicado pero que resulta ser un reto absorbente para los que intentan su resolución. No suelen abandonar hasta encontrarla.

Trataremos aquí de dar una manera de afrontar dicha resolución. Las piezas deben ser colocadas de manera que uno de los hexágonos ocupe el centro y situar los otros seis alrededor, lado con lado. Una

primera idea es utilizar el ensayo y error: probar a poner un hexágono en el centro y si no funciona

CCaabbeezzaa--ccoollaass hheexxaaggoonnaalleess EEll jj uueeggoo ccoonnssttaa ddee vvaarr iiaass ppiieezzaass ddee ffoorr mmaa hheexxaaggoonnaall ,, qquuee tt iieenneenn ppuunnttooss ddee ccoolloorr eess eenn ssuuss bboorr ddeess.. SSee tt rr aattaa ddee ccoollooccaarr llaass uunniiddaass ppoorr ssuuss llaaddooss yy ffoorr mmaannddoo uunn hheexxáággoonnoo,, ddee mmaanneerr aa qquuee TTOODDOOSS llooss

ppuunnttooss eenn ccoonnttaaccttoo sseeaann ddeell mmiissmmoo ccoolloorr ..

Figura 3 Figura 2

Figura 4

Figura 5

Figura 7 Figura 6




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cambiarlo por otro. No es fácil controlar cuáles se han probado y cuáles no, pero aún así suelen encontrar una respuesta.

Parece más sencillo analizar primero cómo son las piezas comparándolas entre sí (Figura 6).

Con cierta sorpresa se descubre que no todas son diferentes. Hay dos que son exactamente iguales (Figura 8).

Un primer pensamiento consiste en probar a colocar una de ellas en el centro y la otra en el exterior para comprobar si las demás encajan y completan el hexágono objetivo.

En esa primera posición vamos probando con la segunda pieza

cambiando cada vez el punto de color que las conecta entre sí. En ningún caso encontramos solución al puzle y no requiere mucho trabajo el hacerlo.

Probamos ahora la segunda posición. Se trata ahora de juntar ambas piezas en el anillo exterior del hexágono objetivo. Igual que en la primera posición se trata de realizar pruebas cambiando cada vez el punto de color que las conecta (Figura 9).

Sin mucho esfuerzo, cuando se conectan ambas por el punto azul se encuentra la única solución posible del puzle. Lo cual produce mucha satisfacción en la persona que lo está resolviendo, como nos demuestra la sonrisa de esta joven alumna (Figura 11).

Así queda el puzle (Figura 10) cuando está resuelto convenientemente.

Otros puzles de cabezas colas

Aquí vemos otras presentaciones de este puzle de piezas hexagonales.

O cuadradas.

Figura 8

Figura 9

Figura 11

Figura 10

Figura 12

Figura 13



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O triangulares.

También podemos encontrar que sobre piezas planas geométricas se han colocado figuras en relieve, que divididas a la mitad plantean su reconstrucción siguiendo el mismo principio de cabeza-cola.

Sobre puzles de estas categorías han escrito -entre otros- algunos artículos los amigos sevillanos del Grupo Alquerque (Muñoz, Fernández-Aliseda, Hans):

Mayo 2009: Combinatoria de colores (publicado en la revista SUMA, nº 53, 2006) Noviembre 2004: Rompecabezas de aviones (publicado en la revista SUMA, número 35, 2000)

Recursos/Juegos matemáticos Autor:Grupo Alquerque

Además de adquirir las versiones comerciales, algunas de las cuales mostramos aquí, su construcción es relativamente sencilla, y permite que los alumnos diseñen dibujos, colores, formas o tableros para después disfrutar del desafío que supone su resolución.

Puzles de disecciones de figures planas

Otros puzles del mismo tipo (ensamblaje bidimensional) son los que resultan de dividir una figura plana, que puede ser geométrica, o una silueta de una imagen de animales, objetos, letras, etc. en varias piezas iguales o diferentes entre sí, con el objetivo de reconstruir la figura. En este caso no suele haber elementos que tengamos que hacer coincidir por colores, figuras u otros.

Haremos aquí el análisis de uno de ellos, también procedente de la Exposición y el Komando Matemático.

Puzle “Mi casa”

Tiene cinco piezas: Un triángulo, un rectángulo, un trapecio y dos pentágonos (figura 17).

Este es el modelo que debe construirse (figura 16):

Objetivo: Reconstruir la casa con las cinco piezas del puzle.

Es un puzle plano, de encajar. Las piezas deben ser adosadas unas a las otras, sin huecos ni solapamientos.

De entrada, los alumnos tienden a realizar un ensayo y error desorganizado. Prueban a juntar piezas y siempre terminan con una figura

Figura 14

Figura 15

Piezas y cartel con modelo del puzzle “Mi

casa” Figura 17

Figura 16




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remotamente parecida al objetivo, pero donde aparecen huecos imposibles de llenar. Su primera reacción es: “¡Faltan piezas!”.

En muchos casos no identifican bien los detalles del objetivo con las formas de las piezas. El tejado lo suelen identificar con la pieza en forma de triángulo. Es su forma de ver un tejado de dos aguas y esa idea persiste por encima de las evidencias. Conviene orientarles en la búsqueda de piezas simétricas, con ángulos rectos, de lados congruentes, etc.

Si acaso, la única pieza bien definida es la chimenea, pero su conexión con el resto del tejado no parece nunca clara. De todas formas, este es un caso en que se empieza la casa por la chimenea.

Se les indica que analicen las piezas (datos del problema) y las pongan en conexión (relaciones) con el modelo (objetivo), siendo esencial una descripción de cada pieza. Las piezas más sencillas son el triángulo y el rectángulo.

Triángulo: Isósceles y rectángulo; un ángulo recto y dos agudos. No puede ser el pico del tejado, porque éste requiere un ángulo recto con dos lados muy desiguales, uno corto y uno largo. Es una de las dos piezas con ejes de simetría.

• Rectángulo: fácilmente asimilable a la chimenea. Es la otra pieza simétrica. • Trapecio: es rectángulo, con dos rectos, y es también el de más dudosa identificación. • Los pentágonos: uno de ellos con tres ángulos rectos y dos obtusos; el otro con sólo uno

recto pero tres obtusos y uno agudo. Ambos con un ángulo recto que presenta un lado corto y otro largo. Evidentemente, uno de los dos formará el pico del tejado. Curiosamente los dos pueden identificarse con él.

Aún así a los alumnos no les resulta muy fácil colocar las piezas de la manera adecuada. En muchos casos al intentar colocar el tejado no observan su posición relativa respecto a la chimenea y lo colocan en la base de la misma, sin darse cuenta de que llega a su mitad, o lo colocan a la mitad y no aprecian que el vértice no puede superar la parte superior de la chimenea.

Es necesario, pues, una segunda ayuda. Se les pide colocar una de las piezas como pico del tejado y probar a situar la otra después en un sitio adecuado del modelo. Hay dos ensayos posibles.

Forma A:

Esta es la primera posibilidad de colocación (Figura 18).

Ahora se trata de situar el otro pentágono. Sólo puede ir al otro lado de la chimenea, formando la continuidad de la pendiente del tejado. Eso es así debido a que ésta parte del tejado es muy corta y forma un ángulo

obtuso con la pared larga que cierra la casa.

Si ya les costó situar el primer pentágono, al colocar el segundo se les nubla totalmente la visión. Hay que indicarles que cada pieza admite diversas posiciones al girarlas sobre el plano y, un aspecto que les cuesta algo más: y otras tantas al voltearlas en el espacio.

Figura 18

Figura 19



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G

O

S

Quedan como se muestra en la figura 19.

Y ahora, al tratar de situar las otras dos piezas restantes siempre quedan huecos o partes salientes, sin conseguir el modelo de la casa.

Vuelta a empezar.

Forma B:

Esta es la segunda posibilidad de colocación (Figura 20).

De la misma forma que antes, ahora se trata de situar el otro pentágono. Tal y como decíamos anteriormente sólo puede ir al otro lado de la chimenea, formando la pendiente del tejado. Eso es así debido a que ésta pendiente del tejado es muy corta y forma un ángulo obtuso con la pared larga que cierra la casa. Hay que buscar ese ángulo.

Hay que volver a indicarles que cada pieza admite diversas posiciones al girarlas sobre el plano, y otras tantas al voltearlas en el espacio. Quedan como podemos ver en la figura 21.

Ahora sí resulta fácil colocar las dos piezas restantes. Basta con situar mentalmente el modelo sobre la parte de casa ya construida. Esas líneas imaginarias nos darán la ubicación del triángulo y del trapecio. La foto 16 nos muestra la solución.

Uno de los libros más interesantes sobre puzles es el que reseñamos aquí figura 22:

Slocum, Jerry & Botermans, Jack: ”Puzzles old and new” - EQUATION, Wellingborough, Northamptonshire, 1986.

En un próximo artículo ampliaremos la información sobre puzles de este tipo, dando algunos ejemplos más de puzles cabezas-colas y disecciones de figuras planas y letras.

Hasta el próximo pues. Un saludo.

Club Matemático

NN ÚÚ MM EE RR OO SS Revista de Didáctica de las Matemáticas

Figura 21

Figura 20

Figura 22

Figura 23



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Juegos y Torneo Problemas Comentados XXXIV

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)

Resumen Este artículo, además de resolver ejercicios anteriormente publicados sobre juegos con cartas y fichas, plantea los enunciados de los ejercicios propuestos en la Primera Fase del Torneo para alumnado de 2º de la ESO organizado por la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas, y que abarcan problemas de lógica, cálculo, geometría o gráficas. Se adelantan algunas de las singulares respuestas de los alumnos.

Palabras clave Resolución de ejercicios por tabulación o por razonamiento lógico deductivo. Olimpiadas y Torneos sobre resolución de problemas de Matemáticas. Análisis de respuestas de los alumnos.

Abstract This article, in addition to solving exercises published previously on games with cards and chips, raises the statements of the exercises in the first phase of the tournament for students of 2nd ESO organized by the Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas, and covering problems logic, calculus, geometry or graphic. We advance some of the unique student responses.

Keywords Resolution of exercises by tabs or deductive logical reasoning. Tournaments and math problem solving. The analysis of student responses.

En el último artículo dejamos una propuesta de problemas para Secundaria Obligatoria procedentes de la 19ª edición del Rally Matemático Transalpino Final). Y poco antes del cierre de este número de la revista hemos recibido el siguiente correo del buen amigo Pepe Vidal, miembro del Seminario Newton de Resolución de Problemas que, por cierto, vuelve a iniciar su andadura en este año de 2013 con sede en la Casa Museo de las Matemáticas, en La Laguna.

En el último artículo se nos ocurrió proponer algunos sencillos problemas referidos a juegos muy conocidos, conexión entre nuestras dos secciones de la revista.

Seguro que nuestros sagaces lectores han dado con las soluciones, pero nosotros hemos encontrado las que siguen, y -valga la redundancia y la repetición- seguimos esperando las de ustedes.

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]

Juegos y Torneo. Problemas Comentados XXXIV J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz


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Cartas rojas y cartas negras (solitario de cartas)

Mario ha aprendido a jugar solitarios. En este caso, con un mazo de cartas rojas y cartas negras. Las reglas del juego son éstas:

• se comienza disponiendo sobre la mesa 6 cartas rojas y 6 cartas negras; • en cada movimiento, se pueden quitar de la mesa o una carta o dos cartas juntas,

pero con estas condiciones: - si se quita una sola carta roja, se deben colocar sobre la mesa otras dos rojas,

cogiéndolas del mazo; - si se quitan dos cartas rojas juntas, se debe colocar sobre la mesa una carta

negra, cogiéndola del mazo; - si se quita una sola carta negra, se debe colocar otra negra sobre la mesa,

cogiéndola del mazo; - si se quitan dos cartas negras juntas, no se debe colocar ninguna sobre la

mesa; • el juego termina cuando no quedan más cartas sobre la mesa.

Mario querría terminar el solitario con el menor número posible de movimientos.

Indicad el número y la secuencia de movimientos que debe hacer Mario para finalizar el solitario lo más rápidamente posible.

Resulta interesante que los alumnos hagan cualquier solitario real o virtual con cartas, para que comprendan las reglas del juego y las apliquen.

Después se les presenta el que figura en el problema, con seis cartas rojas y seis cartas negras.

Para la comprensión de las reglas es aconsejable realizar una tabla con las jugadas permitidas.

Cartas tomadas Cartas devueltas Una ROJA � Dos ROJAS Dos ROJAS � Una NEGRA Una NEGRA � Una NEGRA Dos NEGRAS � Ninguna




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Ahora sería bueno jugar un par de veces para dominar las reglas y entender las dificultades del juego.

Lo primero es darse cuenta que, para poder acabar el solitario, es necesario eliminar todas las cartas rojas procurando que sobre la mesa quede un número par de cartas negras, que podríamos eliminar después de dos en dos.

Partiendo de 6 cartas negras y 6 cartas rojas sobre la mesa, las seis cartas negras se pueden eliminar rápidamente en tres jugadas. Basta con sacarlas de la mesa de dos en dos. Según las reglas no se devuelve ninguna a la mesa.

Si las cartas rojas se eliminaran de dos en dos, se deberían devolver a la mesa tres cartas negras. De ellas sólo dos podrían después ser eliminadas con una jugada permitida, pero quedaría una carta negra que haría que no pudiera acabarse el solitario.

La estrategia no es esa. Habrá que cambiarla. Cuatro cartas rojas pueden ser eliminadas en tres jugadas. Las otras dos necesitan cinco jugadas más. Veamos cómo:

Cartas antes Jugada Cartas tomadas Cartas devueltas Cartas después

RRRRRR NNNNNN

1ª NN

� Ninguna RRRRRR NNNN

RRRRRR NNNN

2ª NN

� Ninguna RRRRRR NN

RRRRRR NN

3ª NN

� Ninguna RRRRRR

RRRRRR

4ª RR

� N

RRRR N

RRRR N

5ª RR

� N

RR NN

RR NN

6ª NN

� Ninguna RR

RR

7ª R

� RR

RRR

RRR

8ª R

� RR

RRRR

RRRR

9ª RR

� N

RR N

RR N

10ª RR

� N

NN

NN

11ª NN

� Ninguna Ninguna

Solución: El número mínimo de jugadas para terminar el solitario es 11.

Blanco o gris (buscaminas)

Andrea ha encontrado unas fichas de damas con números y ha puesto juntas fichas blancas y fichas negras de la manera que veis en la figura. Andrea se da cuenta de que hay escrito en cada una el número de fichas negras que la tocan.



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Después, ha puesto juntas de la misma manera un número mayor de fichas, siempre blancas y negras y ha escrito también sobre cada ficha el número de fichas negras que la tocan. He aquí las fichas que ha colocado juntas: sobre ellas se ven sólo los números que ha escrito, pero no se distinguen las fichas negras de las blancas.

Coloread vosotros todas las fichas negras.

Presentad dos soluciones diferentes.

(Utilizad los dos grupos dibujados aquí abajo para colorear las fichas negras de vuestras soluciones)

Como ya se indica en el título del problema, éste está relacionado con el juego del Buscaminas. Para resolverlo bastará con utilizar la Lógica y el razonamiento, usando exclusión y deducción, mediante el uso de alguna estrategia, como pueden ser Organizar la Información y Ensayo y Error.

Lo más simple es utilizar la información que nos indica que algunas fichas son de color obligatorio.

Para entendernos, tendremos en cuenta que hay cuatro columnas de círculos que denominaremos, de izquierda a derecha, como C1 (un círculo, marcado con 1), C2 (cuatro círculos marcados, de arriba hacia abajo con 1, 2, 3, 1), C3 (tres círculos, marcados 4, 4, 2), C4 (cuatro círculos, marcados 1, 2, 3, 2) y C5 (un círculo, marcado 2). Como se aprecia la estructura es muy simétrica desde ese punto de vista. No ocurre así con los números que aparecen en cada círculo.

También podemos referirnos a la estructura hexagonal que presenta: un círculo central marcado 4; seis círculos formando un anillo intermedio y marcados 4, 2, 3, 2, 3, 2; otros seis círculos que forman un anillo exterior y marcados 1, 2, 2, 1, 1, 1.

Haciendo uso de la Organización de la Información vemos que las dos fichas del anillo exterior marcadas con un 2 imponen el color gris de las fichas 2, 3 y 2 que las tocan.

Figura 1

Figura 2




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La ficha 1 de la parte inferior de C2 impone el blanco a la ficha 3 que está sobre ella. La ficha 1 de C1 impone el gris a la 2 que la toca. Y, finalmente, la ficha 4 central, ya rodeada por cuatro grises, impone el blanco a la ficha 4 que está sobre ella. Así, el color de las seis fichas que rodean a la ficha 4 central es un color impuesto.

Ahora nos toca analizar el color que deben tener las que aún no están coloreadas, es decir, la ficha central marcada 4 y las fichas del anillo exterior marcadas 1, 2, 2, 1, 1, 1.

Haciendo Ensayo y Error, vamos a suponer que la ficha central 4 es de color gris.

En ese caso, todas las fichas de las columnas C3, C4 y C5 satisfacen los números que tienen inscritos, excepto la marcada con 4 y coloreada de blanco, que debe tocar una más de color gris. Ha de ser la ficha superior de la columna C2, marcada con 1. Y así, que da satisfecha también inscripción 2 de la ficha de la misma columna que la está tocando.

Tenemos, pues, una solución. Las otras fichas quedarán en blanco.

Ahora realizaremos el Ensayo y Error suponiendo que la ficha central 4 es de color blanco.

En este caso, lo primero que observamos es que las dos fichas que ocupan los extremos de la columna C4 deben colorearse de gris para satisfacer los números de las fichas que ocupan la parte central de esa columna.

Ahora observamos que para satisfacer el número 4 de la ficha superior de la columna C3 debemos colorear de gris la ficha marcada con 1 de la parte superior de C2. Y también, para satisfacer las fichas marcadas 3 y 2 de la columna C2, deberemos colorear de gris la ficha de C1.

Con lo cual tenemos otra solución. También aquí, las otras fichas quedan en blanco.

Hay dos soluciones diferentes:

Figura 8

Figura 6

Figura 7

Figura 5

Figura 5

Figura 5



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La última carta (Nim)

Un juego tiene las siguientes reglas: dos jugadores toman por turnos una, dos o tres cartas de un mazo que inicialmente contiene 20. El jugador que toma la última carta pierde. Lucía y Andrea deciden jugar una partida. Andrea dice a Lucía: «¿Quieres comenzar tú?». Andrea, que es muy fuerte en este tipo de juegos de estrategia, dice a Lucía: «Reflexiona bien, ¡tú puedes ganar seguro!». Lucia se da cuenta de poder elegir entre:

- dejar empezar a Andrea - empezar tomando una carta - empezar tomando dos cartas - empezar tomando tres cartas

Si vosotros estuvieseis en el lugar de Lucía, ¿qué elegiríais hacer?

Explicad por qué y con qué jugadas podrá ganar Lucía.

Cada jugador tiene tres opciones para hacer su jugada. Si se quiere hacer un inventario detallado de todas las posibilidades de desarrollo de la partida resultará una tarea agotadora, ya que serían demasiado numerosas.

Pensemos en que el resultado de la partida se decide en las últimas jugadas, cuando quedan pocas cartas. Es más fácil analizar la situación en ese caso, y después utilizar la estrategia de Ir Hacia Atrás hasta llegar a la situación de partida con el mazo de 20 cartas.

La última jugada es aquella en que se deja una carta al oponente. En ese momento hemos ganado.

Para dejar esa última carta, previamente habremos debido jugar así:

a) Si había 2 cartas, cogemos 1. b) Si había 3 cartas, cogemos 2. c) Si había 4 cartas, cogemos 3.

Para que ello suceda deberíamos dejar 5 cartas en la jugada anterior y así podremos llegar con seguridad a 4, a 3, o a 2 cartas, ya que nuestro oponente habrá de retirar 1, 2 o 3 del mazo.

Ahora seguiremos hacia atrás. Para poder dejar 5 cartas al oponente, es necesario haber dejado antes 9 cartas, para que así el oponente deba coger 1, 2 o 3 y nosotros, a continuación, coger 3, 2 o 1, respectivamente.

A continuación, estudiar la repetitividad del análisis y comprobar que hay un patrón con una diferencia de 4 cartas entre jugada y jugada: 9, 5, 1.

Podemos deducir entonces que las anteriores jugadas han de partir de 13 y 17 cartas dejadas al oponente.

Figura 9

Figura 10




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Como se parte de un mazo de 20 cartas y debemos llegar a dejar 17 cartas al oponente, para ganar debemos iniciar nosotros y coger 3 cartas.

De no empezar nosotros, nuestro oponente puede elegir 3 cartas y dejarnos 17 a nosotros, que ya sabemos que es una situación perdedora.

Respuesta: Lucía debe comenzar en primer lugar tomando 3 cartas para dejar 17 y después dejar a Andrea sucesivamente 13, 9, 5, 1 cartas, tomando el complemento a 4 de lo que ella haga.

Cuatro en línea (alineamiento)

Pablo y Lucía juegan una partida a «Cuatro en línea». En este juego cada uno, en su turno, deja deslizar una ficha en una de las columnas numeradas de 1 a 7. La ficha va por tanto a colocarse en la fila abajo o sobre otra ficha ya insertada. El ganador es aquel que primero alinea cuatro fichas de su color horizontalmente, verticalmente o en diagonal. Pablo ha comenzado el juego y ha colocado ya siete fichas amarillas; ha insertado la última en la columna 3 para impedir a Lucía alinear verticalmente cuatro fichas rojas. Ahora le toca a Lucía insertar su séptima ficha. Lucía dice a Pablo: ¡has perdido!¡Yo estoy seguro de ganarte cuando inserte mi octava o mi novena ficha!

¿En qué columna debe Lucía insertar su séptima ficha para estar seguro de ganar?

Explicad cómo podrá ganar con su octava o con su novena ficha.

El problema plantea que ya se han realizado 13 jugadas, habiendo empezado Lucía. Una cuestión interesante sería determinar el orden en que se realizaron las jugadas o, mejor, en qué momento se equivocó al jugar el jugador que pierda.

Pablo juega con las fichas amarillas y ha insertado siete fichas. Lucía juega con las fichas rojas y ha insertado ya seis fichas. Trece jugadas en total

Pero veamos que pasa en la jugada actual, la nº 14. Le toca jugar a Lucía y vemos que ya existe un alineamiento de tres fichas rojas en diagonal y que, colocando su ficha roja en la

celdilla D 4 (Fig. 12), Lucía realiza otro alineamiento horizontal de tres fichas rojas en la tercera fila

Si Pablo inserta su octava ficha amarilla en la primera columna (E1), Lucía colocará su octava inmediatamente encima, en

Figura 11

Figura 14

Figura 13

Figura 13



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la misma columna (D1) (Fig. 13), y realizará el alineamiento de cuatro en la fila D1-D2-D3-D4, con lo cual gana.

Si Pablo quiere evitar perder de la manera rápida anterior, buscará insertar su octava ficha en otra parte, por ejemplo en C4; entonces Lucía pone la suya en la celdilla E1 (Fig. 14). De momento no pasa nada.

A continuación, si Pablo inserta su novena ficha en D1, sobre la de Lucía, para impedir la alineación horizontal, Lucía colocará su novena ficha sobre la de Pablo en C1 (Fig. 15), y llevará a cabo un alineamiento de cuatro en la diagonal C1-D2-E3-F4 y gana.

Si Pablo no pone su novena ficha en D1, sobre la de Lucía, entonces ésta podrá colocar su novena ficha en D1, y así completar el alineamiento horizontal. Supongamos que Pablo juega B4. Entonces sucederá lo siguiente (Fig. 16):

Respuesta: Lucía ha de situar su 7ª ficha en D4 y, después, según como juegue Pablo, la 8ª ficha de Lucía deberá situarla en E1 o la 9ª ficha en la C1 o en D1.

Creo que problemas como estos permiten, a través de juegos sencillos, poner en marcha maneras de pensar que nuestros alumnos tienen de manera intuitiva, darles estructura y recursos simples para ver cómo el pensamiento lógico y las estrategias de resolución de problemas hacen surgir pequeñas estrategias ganadoras de una manera divertida.

La XXIX edición del Torneo

Y ahora exponemos los problemas planteados en la primera fase del Torneo de Matemáticas que celebra la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas, que ya va por su XXIX edición, con algunos comentarios extraídos de las respuestas de los alumnos, cosa que ya hemos hecho en otras ocasiones y que nos sigue pareciendo interesante por las aportaciones al conocimiento de la forma de pensar, de los niveles de conocimientos, de los propios errores y virtudes de los alumnos, de cómo enseñamos, etc.

Problema nº 1. Parque Jurásico

En el mundo de los animales extintos se encuentran el Pegaso y el Dinosaurio. El Pegaso miente los lunes, martes y miércoles, y el Dinosaurio miente los jueves, viernes y sábados. En todas las demás ocasiones ambos animales dicen la verdad. Un día ambos animales extintos mantuvieron la siguiente conversación: Ayer me toco mentir - dijo el Pegaso También a mí me toco mentir - contestó el Dinosaurio ¿En qué día de la semana estaban?

Figura 15

Figura 16




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Problema nº 2. Manzanos y coníferas

Un agricultor planta manzanos siguiendo un patrón cuadrado. Para proteger sus árboles contra el viento, planta coníferas alrededor de la huerta. A continuación puedes ver un diagrama de esta situación donde n es el número de filas de manzanos plantados, es un manzano y es una conífera: ¿Cuál debe ser el número de manzanos, que debe plantar el agricultor, para que haya igual número de manzanos que de coníferas?

Problema nº 3. La promoción de las chocolatinas

Mario ha llegado a reunir 71 envases de chocolatinas de una marca que está promocionándose y cambia 8 envoltorios por una nueva chocolatina. Rellena la tabla y representa, en el siguiente sistema de dos ejes, cómo va evolucionando el número de envoltorios según va cambiándolos por chocolatinas. Ten en cuenta que parte de 71 envoltorios y ninguna chocolatina; luego cambia 8 envoltorios por una chocolatina, se la come y cambia otros ocho envoltorios por otra chocolatina y se la come. Y así sigue, de una en una, hasta que no le quedan suficientes envoltorios para otro cambio.

Al final, ¿cuántas chocolatinas se come gratuitamente? ¿Con cuántos envoltorios se queda sin cambiar, si no compra chocolatinas?

Chocolatinas Envoltorios 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20



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Número de chocolatinas finales: Número de envoltorios que le sobran: Explica aquí cómo has resuelto el ejercicio. Chocolatinas Envoltorios

Problema nº 4. Muchas bolas

Imagínate que disponemos de 1000 bolas iguales y del mismo peso. Las introducimos una tras otra por la entrada de cada uno de los siguientes dispositivos. ¿Cuántas crees que probablemente se depositarán en cada cajetín? ¿Por qué?

Problema nº 5. Cinco fichas

Cuatro fichas circulares iguales se tocan entre sí, tal y como se ve en la figura. Averigua el radio de la mayor ficha con forma circular que puede colocarse en el hueco que dejan las cuatro.

Problema nº 6. Fracciones egipcias

En Egipto se usaban fracciones con numerador igual a la unidad, que se representaban así:

Las fracciones con numerador distinto de la unidad las expresaban como suma de fracciones del tipo anterior:




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a) ¿Qué fracciones son las siguientes?

b) ¿Cómo escribían los egipcios las fracciones siguientes? 4 5 57 8 9

c) ¿Podrías indicar una manera de expresar cualquier fracción como suma de fracciones egipcias diferentes?

Estos problemas han sido propuestos a los alumnos de 2º de E.S.O. de las Islas Canarias. Queremos que nuestros lectores los intenten resolver. Sus soluciones las veremos en el próximo número de la revista, con las aportadas por los alumnos y comentaremos los resultados del Torneo.

Estos chicos lo afrontan con una tremenda naturalidad. Después de resolverlos con todo el esfuerzo y la seriedad del mundo, dan, a veces, sus opiniones sin cortarse en absoluto. Otras veces tratan de justificarse al no encontrar una solución. Y, en ocasiones, expresan simplemente su opinión personal sobre lo que leen.

Veamos algunas opiniones de estos alumnos sobre los problemas de este Torneo. Están entresacados de las pruebas sin saber quiénes son sus autores y sólo con el fin de ver la disparidad en la formación de estos alumnos y sus pensamientos sobre matemáticas.

Sobre el primer problema Parque Jurásico: “Todo eso suponiendo que el pegaso hubiera existido a la vez que los dinosaurios, que ambos animales supieran hablar y que tuvieran noción de los días y los llamaran como nosotros (lo cual me parece bastante improbable).”

Para el segundo Manzanos y coníferas: “Siempre hay más coníferas porque están alrededor de los manzanos y porque tienen dos filas más de altura y otras dos de ancho”.

Acerca del tercero La promoción de las chocolatinas: “Número de chocolatinas finales: ninguna, porque las cambia y se las come, así todo el tiempo. Pero se comió 8 chocolatinas.”

Para el cuarto Muchas bolas: “Si seguimos el dibujo, caerán hacia el lado más hundido; no muy segura de dicha respuesta voy a exponer otra idea manteniéndome en mis 13 años de edad y mi nula experiencia en la materia de física, creo que podría decir que en el ejemplo C y D caerían por la zona más “en caída” puesto que la fuerza de gravedad la atraería de una manera más fácil diría yo, pero exacto no sabría decir, teniendo en cuenta que esto es probabilidad y jamás se acierta con seguridad.”

Para el quinto, el de geometría Cinco fichas, hemos seleccionado varios:

• “Ésta que está colocada”. • “Solución más breve: se coge una regla, se mide su diámetro y luego se divide entre 2

(pero ésta no es la verdadera solución)”.



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• “Creo que este problema sin ningún dato no se puede hallar. Porque sin ninguna cifra, de ninguna de las partes, no sé cuánto mide el cuadrado ni nada”.

Sobre el sexto Fracciones egipcias, respecto a la última pregunta “¿Podría indicar una manera de expresar cualquier fracción como suma de fracciones egipcias diferentes?”:

• “No, ya que sería muy complicado para los egipcios resolver esas fracciones”. • “No, yo creo que no sea posible si son egipcias”. • “Yo no podría ya que más o menos no me sale, pero si me lo explican seguro”.

Y quedamos así hasta la próxima entrega. Pero seguimos insistiendo: resuelvan los problemas, utilícenlos con los alumnos y, sobre todo, aporten sus comentarios a la revista, sus soluciones e, incluso, nuevas propuestas. O, simplemente, cuéntennos lo sucedido en el transcurso de la clase en que probaron el problema. Eso nos alegraría mucho y también al resto de lectores. No se dejen ir…

Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera de la próxima edición de la revista.

Un saludo afectuoso del Club Matemático.



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Coordinador: C

arlos Duque G

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Khan Academy: Una Experiencia de Aula en Secundaria

Ana Teresa Antequera Guerra (Centro de Enseñanza Obligatoria Juan XXIII. España)

Resumen Se describe y analiza una experiencia realizada con alumnos de 4º de ESO (15-16 años). Los alumnos trabajan el bloque de Aritmética con una plataforma interactiva, Khan Academy (www.khanacademy.org). Esta “academia on line” centra el interés en la adquisición de conceptos a través de actividades de dificultad creciente y que permiten al alumno valorar su progreso de manera visual, rápida y efectiva.

Palabras clave Nuevas tecnologías, plataforma interactiva, aprendizaje autónomo, educación bilingüe.

Abstract This article describes and discusses an experiment carried out with students of 4th ESO (15-16 years). Students work Arithmetic block with an interactive platform, Khan Academy (www.khanacademy.org). This on line academy focuses its interest in the acquisition of concepts through increasingly challenging activities that enable students to assess their progress visually, quickly and effectively.

Keywords New technologies, interactive platform, autonomous learning, bilingual education.

1. Introducción

Cuando una lista de vídeos sobre Educación publicada en una revista de divulgación general llegó a mis manos, no sabía lo que se ocultaba tras ella. Uno de estos vídeos era una conferencia impartida por Salman Khan que se puede encontrar en la web de TED1 (http://www.ted.com/talks/salman_khan_let_s_use_video_to_reinvent_education.html). Esta giraba en torno a la idea que había desarrollado a partir de su experiencia personal al intentar explicar matemáticas a sus primos. Khan, como no podía dedicarles el tiempo necesario a sus sobrinos, decidió grabar sus explicaciones y pasarles los vídeos. Lo que descubrió fue que los niños preferían la versión de su tío en vídeo a la real, pues así los niños podían parar y repetir la explicación cuanto quisiera.

Según la colección de vídeos fue creciendo, se produjo el salto al siguiente nivel: la creación de una plataforma digital, Khan Academy, para aprender matemáticas. Su enseñanza en el visionado de vídeos y su aplicación en actividades interactivas. Es una plataforma de carácter gratuito y abierta a la comunidad educativa.

Cuál fue mi sorpresa al encontrar en la red no sólo una plataforma de carácter educativo en matemáticas, que cubre todo el currículo oficial de la materia, sino que al tiempo permite el trabajo autónomo del alumno y la supervisión constante y efectiva del profesor tanto en clase, como en casa.

1 TED Tecnología, Entretenimiento, Diseño (Technology, Entertainment, Design) es una organización sin ánimo de lucro dedicada a las “Ideas dignas de difundir” (Ideas worth spreading) http://www.ted.com.

Khan Academy: Una Experiencia de Aula en Secundaria A. T. Antequera Guerra


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Asimismo, no sólo el profesor tiene acceso a la evaluación de nuevas habilidades y conocimientos, sino que el propio alumno puede autoevaluarse y gestionar su propio aprendizaje.

Además, el sistema de puntuación y recompensas implementado en la academia favorece y estimula una competición sana entre los alumnos y clases, en la que el éxito se basa en la adquisición de nuevas habilidades y conocimientos, y en afianzarlos hasta alcanzar el nivel de experto.

2. Descripción y características de la plataforma Khan Academy

La Khan Academy es algo más que una simple plataforma en la que los alumnos pueden trabajar y adquirir nuevos conocimientos matemáticos. A medida que ha ido creciendo se han ido incorporando vídeos con contenidos procedentes de distintas materias, como Ciencias, Economía, Historia y, con gran relevancia, las Ciencias de la Computación. La base del aprendizaje sigue estando en las actividades sobre contenidos matemáticos, aunque aparece la posibilidad de diseñar pequeños programas informáticos. La Figura 1 muestra la pantalla de inicio de la academia donde fácilmente se identifican la zona de práctica, la biblioteca de vídeos y los accesos al perfil de usuario y de profesor-entrenador, coach en inglés.

La plataforma que se describe y se utiliza con los alumnos en la experiencia que se muestra en este artículo está en inglés. No existe una versión en español como tal, pero en http://www.relpe.org/khanespanol/ se pueden encontrar vídeos de la academia que han sido traducidos al español. El hecho de utilizar la plataforma en inglés favorece el aprendizaje bilingüe de los alumnos desde el área de matemáticas de una manera más natural.

Figura 1. Khan Academy. Pantalla de inicio de la plataforma

Se detallan algunas de las posibilidades que tiene la Khan Academy destacando los elementos más significativos de la plataforma, tanto desde el punto de vista del alumno como del profesor.

Al entrar en la zona de prácticas, aparece un mapa de conocimientos (Figura 2) en forma de grafo creciente e interconectado que guiará al alumno en la adquisición de sus nuevas habilidades o skills. El funcionamiento de este mapa sigue la misma presentación de Google Maps, lo que permite




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navegar por el grafo de forma sencilla, ampliando o reduciendo el zoom de pantalla. Los contenidos recogidos en los vértices de grafo que conforma esta red van desde los más elementales, como reconocimiento del significado de los números o aprender a decir la hora, pasando por la resolución de ecuaciones, aplicación de la trigonometría o la estadística, hasta el cálculo de límites y derivadas y el uso de matrices. Con este recorrido tan amplio de contenidos, la academia es útil para ser utilizarla con alumnos de las etapas de la Enseñanza Obligatoria, Primaria y ESO, y en Bachillerato.

Figura 2. Zona de Prácticas. Mapa de contenidos

En general, la Khan Academy es apta para cualquier persona que desee aprender o reforzar sus conocimientos matemáticos. Basta con aportar un correo electrónico y los mínimos datos personales, en especial la edad del usuario. Esto se debe a que los menores de 13 años necesitan la autorización paterna para matricularse en la academia. Los padres de estos menores se convierten en coaches y administradores del perfil de su hijo, siendo los únicos que pueden permitir a otro usuario que se convierta en coach de su hijo, por ejemplo su maestro o profesor de matemáticas. Los usuarios de la academia tienen el control de privacidad sobre sus perfiles, siendo sólo accesibles para los coaches y los padres de los menores de 13 años.

Al desplegar el menú Learn de la página de inicio de la plataforma (Figura 1), aparece la opción de Coach Resources que pone a disposición de los profesores y padres una variada fuente de recursos sobre la Khan Academy. Estos recursos engloban explicaciones sobre las potencialidades de la plataforma y las posibles vías para integrarla en los currículos oficiales, así como vídeos que muestran experiencias reales de la implementación de esta academia en colegios e institutos de los Estados Unidos.

Para comenzar la actividad práctica en la academia basta con pinchar en alguno de los vértices o iconos del mapa de contenidos. Se puede permitir a los alumnos que trabajen libremente en los contenidos que deseen, pero los resultados son más eficaces si se centra su atención en alguna rama concreta y progresan en el nivel de dificultad. Cada actividad consta de 10 ejercicios sobre el conocimiento que se quiere adquirir (Figura 3) representados por cartas. Como ayuda a la resolución de todas las actividades se tienen dos opciones. Primero, está el botón de Hint (Pista) que va desarrollando el procedimiento de resolución del ejercicio concreto, como se observa en la Figura 3. Si el alumno se atasca y no consigue comprender la explicación dada en las pistas, tiene la opción de visionar un vídeo explicativo (Figura 4), que podrá parar y repetir tantas veces como quiera.



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Figura 3. Actividad práctica

En cada carta de ejercicio se puede conseguir una, dos o tres hojas que indican el grado de éxito que se ha tenido en el mismo (Figura 3). Tres hojas significan que se ha resuelto el ejercicio a la primera, sin la necesidad de usar las pistas o el vídeo explicativo. Para lograr la adquisición de este conocimiento es necesario contestar correctamente a la primera un número determinado de ejercicios que depende del grado de dificultad del contenido, puesto que cuanto más complicado sea, se requerirán más ejercicios correctos. Al finalizar cada tanda de ejercicios, una barra de progreso indica el avance conseguido e insta a seguir practicando esta actividad o permite el cambio hacia otra nueva.

Figura 4. Vídeo explicativo

Una de las características más importante de la Khan Academy es la posibilidad que da a los usuarios de evaluar su rendimiento en todo momento. Desde la página de su perfil (Figura 5) se tiene acceso a información relevante sobre los logros alcanzados, así como a realizar las modificaciones del perfil que se deseen. Es aquí donde se condensa toda la información, desde los puntos obtenidos gracias a las actividades realizadas, hasta el número de vídeos visionados o las habilidades o skills alcanzadas.




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Figura 5. Perfil de alumno/usuario

El menú de la izquierda da acceso a distintos gráficos que muestran la evolución del aprendizaje realizado. Se destacan los más significativos. En Achievements (Figura 6) se muestran los premios conseguidos en la realización de actividades, algunos como Perseverancia, Persistencia, Alcanzar 20, 50 o 100 skills.

Figura 6. Achievements (Logros)

La opción Focus (Figura 7) del menú permite observar, a través de un diagrama de sectores en qué tipo de actividades se ha centrado el usuario en el último día, semana o mes. De esta forma el alumno tiene claro en qué ha estado trabajando y el tiempo que le ha dedicado a cada tipo de actividad, destacándose claramente aquellas que por su dificultad han requerido de más tiempo.



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Figura 7. Focus

Se destaca, por último, la opción de Skill Progress (Figura 8) que es posiblemente la más significativa de todas. En esta tabla aparecen todas las actividades que se pueden realizar en la academia y se muestra qué contenidos se han trabajado y cuáles se han completado a través de un código de colores muy explícito. En blanco permanecen las actividades que no se han empezado, en azul claro están las comenzadas pero no alcanzadas, mientras en que azul oscuro están las ya conseguidas. En naranja están aquellas actividades que fueron alcanzadas hace algún tiempo y que por su dificultad requieren de una revisión. Así, alguna de las actividades que están en azul oscuro, pasado cierto tiempo, se cambiarán a naranja, indicándole al usuario que debe repasarlas. En rojo están las actividades en las que el alumno se ha atascado, ya sea porque no realiza el suficiente número de actividades correctas o porque le está dedicando demasiado tiempo. Este color indica la necesidad de pedir ayuda al profesor para una explicación más personal.

Figura 8. Skill Progress (Progreso de habilidades)




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Todo usuario identificado como coach tiene acceso a todas las estadísticas de sus alumnos, que podrá agrupar por clases y así tener acceso a los resultados de manera conjunta. En la Figura 9 se muestra la página de inicio de la sección dedicada a los informes de alumnos para el coach. En concreto aparece la del grupo clase de 4º ESO A que participa en esta experiencia, con el menú de informes o reports disponibles para el profesor en el margen izquierdo de la pantalla. De este menú destacamos tres informes: Progress Sumary (aparece en la Figura 9), Progress Report y Progress Over Time.

Figura 9. Sección de informes para el profesor/coach

El resumen de los progresos, o Progress Sumary, página que aparece en la Figura 9, muestra todos los grupos de contenidos en orden alfabético, de forma que al seleccionar uno se despliegan todas las actividades de ese grupo indicando el número de alumnos que las ha realizado y su grado de progreso, como se puede ver en la Figura 10. Seleccionando cualquier actividad se identifican los alumnos que están en cada nivel, lo que es de gran utilidad para localizar a los alumnos atascados, en rojo.

Figura 10. Resumen de progreso para Exponentes, Radicales y Notación Científica



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El informe de progresos, o Progress Report (Figura 11), permite observar y comparar fácilmente los contenidos superados, en revisión, no empezados y atascados de los alumnos de una clase con el mismo código de colores, pudiéndose extraer conclusiones sobre el progreso individual y colectivo. Además, al situarnos sobre cualquiera de las actividades de cualquier alumno se despliega información contextual sobre el progreso del alumno, y si además clicamos sobre ella, nos lleva a un estudio más pormenorizado de todos los ejercicios realizados por el alumno.

Figura 11. Progress Report (Informe de progresos)

Hay que señalar que desde este informe, o desde cualquiera que contenga el nombre de los alumnos, basta con seleccionar a uno para que se abra una nueva pestaña en el navegador con el perfil del mismo, teniendo de esta forma acceso a la toda información individual del progreso académico, que no a la personal del alumno.

El último informe a destacar es el progreso en el tiempo, o Progress Over Time (Figura 12). En este se muestra cuántas actividades han completado los alumnos a lo largo del tiempo desde que se matricularon en la academia. Es un gráfico muy explícito que permite comparar el progreso de los alumnos entre ellos, puesto que cada línea corresponde a un alumno que es fácilmente identificable, sin más que colocar el cursor sobre la línea correspondiente.

Figura 12. Progress Over Time (Progreso en el tiempo)

Como se puede observar, existen suficientes opciones que permiten, tanto al alumno como al profesor, evaluar el progreso del aprendizaje y detectar cualquier dificultad que se presente. De esta forma, se puede actuar de manera más eficiente y concreta, dedicándole a cada alumno el tiempo necesario para resolver las dificultades que presente a través de una atención más personalizada.




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3. Objetivos de la experiencia desarrollada

Cuando en nuestro centro se decide incorporar el uso de la Academia Khan al desarrollo habitual de las sesiones de clase se tiene en consideración los resultados que el uso de esta plataforma está teniendo en alumnos estadounidenses de Secundaria. Se desea constatar la factibilidad de introducir la plataforma en un centro escolar español, en un intento de incorporar las nuevas tecnologías a las clases de matemáticas.

Por otro lado, se opta por un bloque de contenidos del área de matemáticas, como es la Aritmética, que no supusiera una brecha entre la práctica habitual que han llevado estos alumnos hasta el momento y la nueva mecánica de la plataforma, además de ser el bloque de contenidos que más se trabaja desde Primaria.

Con esto, los objetivos de la experiencia son:

• Evaluar la eficacia y conveniencia del uso de la plataforma de la Khan Academy en las clases de matemáticas.

• Facilitar la adquisición de los conceptos del bloque de Aritmética a través de actividades interactivas y fomentar el trabajo autónomo.

4. Descripción y desarrollo de la experiencia

La experiencia se desarrolla con un grupo de siete alumnos de 4º de ESO que cursan la Opción B de Matemáticas2 (15 y 16 años) del CEO Juan XXIII, La Palma (Islas Canarias, España), durante el curso 2012/13. Se elige este grupo puesto que, al tratarse de una prueba piloto, se buscaba alumnos con cierto nivel de madurez, necesario para trabajar de manera autónoma y alcanzar los objetivos de la materia.

Para dar comienzo a la experiencia, los alumnos sólo necesitan crear su cuenta, asociada a una dirección de correo electrónico, y seleccionar al profesor que los va a tutorizar como coach. Este proceso se realizó durante la primera sesión de clase, al tiempo que se exponían las principales características de la plataforma. El resto de la experiencia se realiza, prácticamente toda, en horas de clase puesto que, aunque algunos le dedicaron algo de tiempo en sus casas, no todos los alumnos disponen de ordenador y/o conexión a internet en sus hogares.

El CEO Juan XXIII está dentro de la red Escuela 2.03, por lo que hay una dotación informática suficiente. El aula en la que se lleva a cabo la experiencia, además de una pizarra tradicional, está equipada con una pizarra digital, un ordenador personal para el profesor y portátiles con acceso a internet para cada alumno, condición necesaria para tener un acceso adecuado a la plataforma.

El desarrollo de la experiencia se realiza durante todo el curso escolar, dedicándole una sesión de las cuatro que semanalmente se asignan a Matemáticas en este curso, puesto que se acomete en

2 En 4º de ESO se distingue entre dos opciones para Matemáticas (A y B). La opción B está enfocada a continuar estudios en un bachillerato de científico-tecnológico. 3 Proyecto de la Consejería de Educación del Gobierno de Canarias, en colaboración con el Ministerio de Educación, que pretende la incorporación de las tecnologías de la información y de la comunicación a los centros educativos. Contempla el uso personalizado de un ordenador portátil por cada alumno (en determinados cursos de primaria y secundaria) y la transformación de las aulas en "aulas digitales".



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paralelo a las sesiones dedicadas al resto de contenidos de la materia. Aunque desde la plataforma se puede trabajar cualquier bloque de contenidos presentes en el currículo oficial, y con la profundidad que se desee de acuerdo con el nivel del alumno, en esta experiencia se trabaja sólo el bloque de Aritmética, en especial los contenidos relativos a los números reales.

En un principio se deja a los alumnos interactúen libremente en la plataforma dentro de las actividades dedicadas a Aritmética, y a medida que se constatan los resultados positivos en cuanto a la adaptación al uso de la misma, se los guía hacia contenidos que están acordes a su nivel académico. Además de esta orientación del profesor, la mecánica de plataforma, según van superando las tareas, los guía hacia el siguiente contenido dentro del bloque que están trabajando.

Al comienzo de cada sesión, los alumnos siempre acceden a la zona de repaso de los contenidos alcanzados, lo que permite un afianzamiento y revisión de los conocimientos ya adquiridos, como toma de contacto previa antes de enfrentarse a las nuevas tareas. Después de esta revisión, pasan a realizar nuevas actividades bajo la supervisión del profesor de aula, interactuando entre ellos como harían en una sesión usual, preguntándose dudas y mostrando sus estrategias personales (enseñanza entre iguales). El profesor resuelve dudas puntuales y orienta a los alumnos, pero deja que sean ellos los que busquen sus estrategias de resolución de los ejercicios. Se da la circunstancia de que no se trata de un grupo integrado en el programa bilingüe de educación, por eso no se forzó a los alumnos a visionar los vídeos explicativos, aunque se los animó a ello. Las explicaciones relevantes las dio el profesor a toda la clase. Si se quisiera hacer un mayor uso de estos vídeos, habría que adecuar las explicaciones del profesor a las que se dan en ellos, puesto que la notación y los procedimientos empleados en Estados Unidos varían en muchas ocasiones de las utilizadas en España.

Por último, el profesor o coach comprueba la evolución de los alumnos en la plataforma, accediendo a sus perfiles y observando si están teniendo dificultades especiales en algún tipo de actividad. En función de si estas dificultades detectadas son exclusivas de unos pocos alumnos, o las desarrollan todos los alumnos, el profesor puede decidir entre intervenciones individualizadas o grupales, lo que permite una atención más personalizada en el alumno y su evolución académica.

5. Resultados

La experiencia de trabajar con la Khan Academy surge, en parte, de la decisión que toma el departamento de matemáticas de trabajar el bloque de Aritmética de manera transversal en todos los niveles de la ESO. Este hecho, y el disponer de ordenadores personales para los alumnos de 4º ESO, posibilitaron el plantear una prueba piloto, cuyo primer objetivo era evaluar la eficacia y conveniencia del uso de esta plataforma. Sin embargo, la respuesta tan buena que da el grupo de alumnos durante los dos primeros meses de la experiencia, hizo que lo que en principio estaba planteado como una prueba piloto, se convirtiera en una actividad evaluable a nivel académico durante todo el curso.

Los alumnos tienen un grado de participación superior a lo esperado, adaptándose rápidamente a la mecánica de la plataforma. Independientemente de los contenidos trabajados, los alumnos dedican de media el 70% de la clase al trabajo efectivo en la resolución de actividades, lo que supone de 35 a 40 minutos de cada clase de 55 minutos. Se constata, sesión tras sesión, que los alumnos presentan de esta manera una implicación y una motivación mayor que cuando los mismos contenidos se trabajan de forma tradicional. Es significativa la labor realizada por los alumnos al trabajar con radicales, en el estudio de su significado, simplificación y realización de operaciones con ellos. Una unidad que tiene un carácter bastante árido cuando se imparte de manera habitual, se convierte en un reto para ellos, pues no cejan en ningún momento de intentar alcanzar el éxito, aunque esto suponga repetir la actividad varias veces. Los alumnos van desarrollando sus propias estrategias de trabajo, son más metódicos y ordenados que en las tareas habituales, puesto que comprueban que de esta forma les es




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más fácil superar las actividades que se les presentan. En el caso concreto del trabajo con radicales, desarrollan una habilidad para la descomposición factorial que hasta el momento no habían demostrado, tanto en este curso como en cursos anteriores.

La base de este alto grado de motivación se encuentra principalmente en el hecho de trabajar con el ordenador. Es la primera vez que con estos alumnos se realiza este tipo de experiencia en una clase de Matemáticas de manera tan continuada. Además, lo que en un principio consideraron un juego, con el tiempo se convierte en una competición sana entre ellos por ver quién era capaz de hacerlo mejor y en el menor tiempo, en ver quién obtiene mayor puntuación y va primero en la adquisición de nuevos contenidos.

El hecho de que el alumno controle en todo momento su progreso académico, lo hace partícipe de su aprendizaje pues se está autoevaluando continuamente, permitiendo que constate de forma efectiva el valor de su esfuerzo y los efectos que de él se obtienen, repercutiendo de manera positiva en los resultados académicos del alumno.

6. Conclusiones

En vista de los resultados obtenidos en esta experiencia de aula, se considera que el uso de la plataforma de la Khan Academy en las clases de matemáticas resulta ser conveniente, puesto que mejora la motivación y la predisposición al trabajo de los alumnos. Sin embargo, desde el punto de vista del profesor hay que cuidar la estructuración de las actividades que van a desarrollar los alumnos para mejorar la eficacia y aprovechar mejor las posibilidades que ofrece la plataforma de Khan Akademy. Si se va a emplear la academia como instrumento de evaluación de la adquisición de nuevos conocimientos por parte de nuestros alumnos, se ha de guiar el proceso para que se mantenga dentro de los márgenes de aquellos contenidos que se desee trabajar, puesto que sin esta guía los alumnos pueden quedarse en actividades de un nivel inferior al que ya tienen adquirido o saltar a otras que necesitan de conocimientos que aún no dominan.

En cuanto al trabajo de los conceptos del bloque de Aritmética a través de las actividades interactivas que se proponen en esta plataforma, se detecta una mayor predisposición a la adquisición de nuevos conceptos, desarrollando estrategias personales que tienden a ser cada vez más efectivas y eficientes, fomentando el trabajo autónomo del alumno, que es su propio evaluador y gestor de progresos.

La plataforma de la Khan Academy, como herramienta a introducir en el desarrollo habitual de las clases de matemáticas, puede resultar muy beneficiosa para el progreso académico de los alumnos. Estructurando correctamente las experiencias y actividades que se deseen realizar, se podrán alcanzar resultados mejores que los que se pudieran obtener en el desarrollo habitual de las clases, puesto que se trata de una herramienta motivadora y que involucra de manera efectiva al alumnado en la gestión y evaluación de su aprendizaje.

Bibliografía

Plataforma de la Academia Khan (Khan Academy) www.khanacademy.org

Ana Teresa Antequera Guerra. CEO Juan XXIII, La Palma. Profesora de Matemáticas, obtiene el título de Doctora en Didáctica de la Matemática en 2011, y dedica su línea de investigación al desarrollo de tareas adaptadas al nivel de Secundaria sobre conceptos de Teoría de Juegos. Email: [email protected]



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Borges y la matemática

Guillermo Martínez

Editorial Destino

Colección: Imago Mundi

ISBN: 9788423339440

150 páginas

Guillermo Martínez es bien conocido en el mundo literario como novelista, además de ser licenciado en Matemáticas por la Universidad Nacional del Sur (Argentina) y doctor en Lógica. También cursó estudios postdoctorales en la Universidad de Oxford. Algunas de sus producciones, como Acerca de Roderer o Crímenes Imperceptibles (publicada en España como Los Crímenes de Oxford) obtuvieron una notable aceptación de la crítica. Tanto es así que la segunda novela llegó a adaptarse al cine.

Borges y la matemática, la obra que nos ocupa, no es una novela, sino un ensayo o más bien un conjunto de ensayos, construido con la transcripción de sus charlas universitarias, algunas dadas en el Malba (Museo de Arte Latinoamericano de Buenos Aires), y artículos publicados en diarios argentinos

Borges y la matemática. Guillermo Martínez Reseña: F. J. Hernández Bonilla


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(Clarín, Página 12 y La Nación) que hablan de la influencia de las matemáticas en la obra de Borges, principalmente, y que complementa con otros contenidos que guardan relación con ellas.

Guillermo Martínez subdivide el libro en dos partes bien diferenciadas. La primera es la que está más íntimamente relacionada con el título del mismo, y quizás sea la mejor parte del libro, en donde muestra cómo Borges bebió de las fuentes matemáticas, con más profusión en aquellos pasajes en donde lo paradójico o la incertidumbre son más que manifiestos, para escribir algunas de sus creaciones más destacadas (El disco, El libro de arena, La Biblioteca de Babel, Del rigor en la ciencia, El Aleph, El idioma analítico de John Wilkins, La esfera de Pascal, etc.…).

El autor nos refiere que cuestiones como el concepto de infinito o la clase de las clases son jugoso pábulo para Borges quien, con una estructuración lógica similar a la de la misma matemática, las dota de literario protagonismo para sus cuentos. Martínez nos cuenta que la abstracción matemática también está muy presente en la obra de Borges, concretamente en las disquisiciones teóricas sobre lo genérico y lo concreto que aparecen, por ejemplo, en Funes el memorioso.

La segunda parte presenta un cierto alejamiento en relación a la impronta de la matemática en Borges. Está formada, como decíamos, por varios artículos sobre temas relacionados con la matemática, algunos de sobra conocidos. De ellos destacamos la historia completa desde su formulación hasta su total resolución de la conjetura de Fermat en Un margen demasiado exiguo, la de los hermanos pitagóricos, unos gemelos de real existencia que parecen estar sumidos en un mundo autista pero, que sin embargo, son capaces en sus escasas conexiones con el mundo normal de recitar altos números primos, en Un asunto de gemelos y primos, el desilusionador, pero necesario, teorema de incompletitud de Gödel o el principio de incertidumbre de Heisenberg en Un dios pequeño, pequeño.

Otros capítulos de esta segunda parte del libro son:

El cuento como sistema lógico. Euclides o la estética de la razón matemática. Soluciones y desilusiones. La música del azar. Literatura y racionalidad. ¿Quién le teme al uno feroz? El sumidero de Dios.

Ya solo fuera por la primera parte del libro, Borges y la matemática merecería la lectura de todo aquel que conozca la obra de Borges o que esté cercano al mundo de las matemáticas. Si le concurrieran ambas circunstancias, pues mucho mejor. Sin embargo, este libro ha sido recientemente descatalogado por los editores, al menos en España. Cabe la posibilidad, no tan remota, que vuelva a ser editado y, muy posiblemente, en formato de bolsillo. En tal caso, y ya concluyendo, me atrevo a afirmar que su lectura valdría la pena. E incluso, podría significar un material adecuado para llevar a cabo una actividad interdisciplinar en un grupo de Bachillerato que propusieran conjuntamente los departamentos de Matemáticas, Lengua Castellana y Literatura y Filosofía de un instituto. Concretamente sugiero lo desarrollado en el capítulo Un dios pequeño, pequeño que, de mayor o menor modo, pero en cualquier caso potencialmente provechoso, guarda relación con los currículos pertenecientes a los tres departamentos.

Francisco Javier Hernández Bonilla (IES César Manrique. Lanzarote, España)



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Desafíos Matemáticos propuestos por la Real Sociedad Matemática Española en su centenario

Adolfo Quirós (Coord.)

Editorial SM

Colección: Biblioteca Estímulos Matemáticos

ISBN: 9788467557787

216 páginas

El libro “Desafíos matemáticos” es el resultado de las respuestas dadas a una serie de problemas matemáticos que, con ocasión de la celebración del centenario de la RSME, el periódico El País presentó a sus lectores. La respuesta fue un éxito y el resultado es este libro con sesenta autores, unos profesores de instituto, otros de universidad, los hay que son estudiantes de bachillerato, otros del Grado de Matemáticas, los hay doctores, licenciados y hasta alumnos de la ESO.

De todas las respuestas correctas a los 40 desafíos planteados, el profesor Adolfo Quirós ha hecho una selección y ha agrupado las soluciones en este libro que, como se dice en la introducción “es una obra colectiva, pero no conjunta”. Lo ha hecho a lo largo de 10 capítulos, con títulos: 1)

Desafíos Matemáticos propuestos por la Real Sociedad Matemática Española en su centenario. Adolfo Quirós (Coord.) Reseña: R. Nortes Martínez-Artero


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Estrategias; 2) Cuadrados y rectángulos numéricos; 3) A contar; 4) Triángulos; 5) ¿Se puede o no se puede?; 6) Aritmética; 7) Recubrimientos; 8) ¡Vaya números!; 9) Probabilidad y 10) Geometría.

El promotor de la idea, el periodista de El País Bernardo Marín, se ha encargado de hacer el prólogo y en él se dice “fue una iniciativa simpática, original y didáctica que tuvo cierta repercusión, aunque sin trascendencia cósmica”. Pero dice más adelante que “es el proyecto del que estoy más orgulloso, en el que he puesto más cariño y el que me ha hecho más feliz” y eso que, como dice más adelante, “estudié bachillerato mixto y no sacaba las mejores notas en Matemáticas”.

La “obra coral con sesenta autores de muy diversas edades y categorías académicas” presenta en el capítulo 1 cuatro desafíos para cuya resolución no hacen falta conocimientos matemáticos específicos. El primero de ellos se titula “Cómo elegir un equipo ganador” y su resolutor es Juan Mata, jugador del Chelsea y campeón del mundo con la Selección Española en 2010 y de Europa en 2012. El siguiente, “Pesando tornillos” está resuelto por estudiantes de 1.º de ESO; el tercero “Una cuestión de sombreros” por un estudiante de la Licenciatura de Matemáticas y por un Licenciado en Matemáticas; y el último “Un país de palillos” por el escritor y divulgador matemático Fernando Corbalán. La diversidad de los autores es una muestra del resto de capítulos.

En el capítulo 2 se presentan casos de cuadrados mágicos y uno de ellos dice así: “El desafío consiste en completar el cuadrado de la figura (de 3x3), donde ya se ha escrito el 15 en la posición central, con ocho números enteros positivos, todos ellos distintos entre sí, de tal manera que al multiplicar los tres de cada fila, de cada columna y de cada una de las dos diagonales obtengamos, en todos los casos, el mismo resultado”.

Hay títulos de desafíos muy llamativos como: ¡Todo el mundo a su silla! o Un vecindario emprendedor o Concierto en la plaza del pueblo o Un piano gigantesco o Los números elegantes. Por cierto, ¿sabe Ud. amable lector lo que es un número elegante? “Un número será elegante si al sumar los cuadrados de sus cifras, repetir esta misma operación sobre el resultado obtenido, e iterar este procedimiento suficientes veces, la sucesión de números resultantes alcanza en algún momento el 1”.

Así podríamos estar relatando desafío tras desafío, pero es mucho mejor dejar al propio lector que vaya ojeando el libro y deteniéndose en el desafío que más le llame la atención y que sus conocimientos matemáticos se lo permitan, se lo sugiero.

Son 40 desafíos matemáticos distribuidos en 10 capítulos, a lo largo de 216 páginas y coordinado por el Prof. Adolfo Quirós quien recogió la idea del periodista de El País Bernardo Marín y que con el patrocinio de la RSME y la colaboración de la editorial SM ponen a disposición del colectivo amante de las Matemáticas un libro para disfrutar, porque como se dice en el prólogo “puedo llegar a la violencia (verbal) si alguien pone en duda que los números primos son infinitos porque sé demostrar que no se termina nunca, igual que no se acaba la felicidad que pueden proporcionar las matemáticas si tenemos la paciencia de escucharlas”.

Al ser tan amplio el sector de alumnos que lo podrían utilizar, así como el de profesores, es difícil apuntar algunas formas de utilizar el texto, porque algunos desafíos son para profesores de universidad, otros para alumnos del grado de Matemáticas, otros para profesores de secundaria y algunos para alumnos aventajados de bachillerato y de secundaria y alguno suelto para aficionados a las Matemáticas. Cada uno elegirá en función de sus intereses y de sus fines.

En definitiva, un buen libro, bien estructurado y presentando, tanto en su contenido como en su continente, y que termina con unas páginas dedicadas a los autores en donde aparecen sus fotografías

Desafíos Matemáticos propuestos por la Real Sociedad Matemática Española en su centenario. Adolfo Quirós (Coord.)

Reseña: R. Nortes Martínez-Artero



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y una breve descripción biográfica que permite al lector conocer a algunos amantes de las matemáticas que aceptaron un desafío y lo resolvieron correctamente y utilizaron, como se dice en la cubierta del libro, “la herramienta esencial para resolver los desafíos es pensar ordenadamente”. Deseamos que los lectores del libro disfruten, al menos, lo mismo que he disfrutado yo a lo largo de la lectura que me ha permitido hacer esta recensión.

Rosa Nortes Martínez-Artero (Universidad de Murcia. España)



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Congresos

XVI Jornadas para el Aprendizaje y la Enseñanza

de las Matemáticas

Fecha: 2 al 5 de julio del 2013 Lugar: Ciudad de Palma. Palma de Mallorca. España. Convoca: Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas. Organiza: Societat Balear de Matemàtiques Información: http://xvi.jaem.es/

27° Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa

(RELME 27)

Fecha: 15 al 19 de julio de 2013 Lugar: Buenos Aires. Argentina Convoca: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa Información: www.clame.org.mx

Encontro Nacional de Educação

Matemática

Educação Matemática:

Retrospectivas e Perspectiva.

Fecha: del 18 al 21 de Julio del 2013 Lugar: Curitiba, Brasil. Información: http://enem2013.pucpr.br/


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37th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education

Fecha: 28 de julio al 2 de agosto de 2013 Lugar: Kiel, Alemania. Información: http://www.pme2013.de/en

Congreso Matemático de las Américas

Fecha: 5 al 9 de agosto del 2013 Lugar: Guanajuato. Mexico Convoca: Sociedad Matemática Mexicana Información: http://www.mca2013.org

XVII Simposio de la Sociedad Española de Investigación en

Educación Matemática

Fecha: 5, 6 y 7 de Septiembre de 2013 Lugar: Bilbao. España Convoca: Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática Organiza: Departamento de Didáctica de la Matemática y de las Ciencias Experimentales. UPV/EHU y SEIEM Información: http://www.seiem.es/



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Fecha: 16 al 20 de septiembre de 2013 Lugar: Montevideo, Uruguay Información: http://www.cibem7.semur.edu.uy/home.php

VIII Congreso Venezolano de Educación Matemática

“La Matemática, en y para la

vida”

Fecha: Del 1 al 4 de octubre de 2013 Lugar: Santa Ana del Coro. Venezuela Convoca: Asociación Venezolana de Matemáticas (ASOVEMAT) Información: www.asovemat.falcon.gob.ve

14º Encuentro Colombiano de Matemática Educativa.

ECME—14

Fecha: 9 al 11 de octubre de 2013 Lugar: Ciudad de Barranquilla, Colombia Convoca: Asociación Colombiana de Matemática Educativa (ASOCOLME) y Universidad de Atlántico, Barranquilla Información: www.asocolme.com


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VI Congresso Internacional de Ensino de Matemática

Fecha: 16, 17 y 18 de Octubre del 2013 Lugar: Ulbras. Canoas. Brasil Convoca: Universidad Luterana de Brasil Información: http://www.conferencias.ulbra.br/index.php/ciem/vi

I Congreso de Educación

Matemática de América Central y

de El Caribe

Fecha: 6, 7 y 8 de noviembre de 2013 Lugar: Santo Domingo. República Dominicana Información: http://www.centroedumatematica.com

Congreso Latinoamericano de Geogebra

Argentina 2013

Fecha: 7, 8 y 9 de noviembre de 2013 Lugar: Chaco. Argentina Información: http://geogebra.uncaus.edu.ar

XXIV SIEM

Seminário de Investigação em Educação Matemática

Fecha: 16 y 17 de noviembre de 2013 Lugar: Braga. Portugal Convoca: Universidade do Minho Información: http://www.apm.pt


http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 83, julio de 2013, página 221

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1. Podrá presentar sus artículos para publicar cualquier persona, salvo los miembros del Comité editorial y los de la Junta Directiva de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas.

2. Los trabajos se enviarán por correo electrónico a la dirección: [email protected] 3. Los trabajos presentados para su posible publicación deben ser originales y no estar en proceso de

revisión o publicación en ninguna otra revista. 4. Los artículos remitidos para publicar deben tener las siguientes características:

• Se enviarán en el formato de la plantilla que se encuentra en la página web de la revista. • Tendrán un máximo de 25 páginas incluidas notas, tablas, gráficas, figuras y bibliografía. • Los datos de identificación de los autores deben figurar en la última página: nombre, dirección

electrónica, dirección postal, teléfono. Con el fin de garantizar el anonimato en el proceso de evaluación, esos datos sólo estarán en esta última página.

• Al final del artículo se incluirá una breve nota biográfica (no más de cinco líneas) de cada uno de los autores, en la que se puede incluir lugar de residencia, centro de trabajo, lugar y fecha de nacimiento, títulos, publicaciones... Se indicarán las instituciones a las que pertenecen.

• Hay que incluir un Resumen de no más de diez líneas y una relación de palabras clave; también, en inglés, un Abstract y un conjunto de keywords.

• Se hará figurar las fechas de recepción y aceptación de los artículos. • Tipo de letra Times New Roman, tamaño 11 e interlineado sencillo. Es importante no cambiar

el juego de caracteres, especialmente evitar el uso del tipo “Symbol” u otros similares. • Para las expresiones matemáticas debe usarse el editor de ecuaciones. • Las figuras, tablas e ilustraciones contenidas en el texto deberán ir incluidas en el archivo de

texto (no enviarlas por separado). • Las referencias bibliográficas dentro del texto deben señalarse indicando, entre paréntesis, el

autor, año de la publicación y página o páginas (Freudenthal, 1991, pp. 51-53). • Al final del artículo se incluirá la bibliografía, que contendrá las referencias citadas en el texto,

ordenadas alfabéticamente por el apellido del primer autor, de acuerdo con el siguiente modelo: o Para libro: Lovell, K. (1999). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y

científicos en los niños. Madrid: Morata. o Para capítulo de libro, actas de congreso o similar: Fuson, K. (1992). Research on

whole number addition and subtraction. En Grouws, D. (ed.) Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, 243-275. MacMillan Publishing Company: New York.

o Para artículo de revista: Greeno, J. (1991). Number sense as situated knowing in a conceptual domain. Journal for Research in Mathematics Education, 22 (3), 170-218.

o Para artículo de revista electrónica o información en Internet: Cutillas, L. (2008). Estímulo del talento precoz en matemáticas. Números [en línea], 69. Recuperado el 15 de febrero de 2009, de http://www.sinewton.org/numeros/

5. Los artículos recibidos se someterán a un proceso de evaluación anónimo por parte de colaboradores de la Revista. Como resultado del mismo, el Comité editorial decidirá que el trabajo se publique, con modificaciones o sin ellas, o que no se publique.

6. El autor recibirá los comentarios de los revisores y se le notificará la decisión del Comité Editorial. Si a juicio de los evaluadores el trabajo es publicable con modificaciones, le será devuelto al autor con las observaciones de los árbitros. El autor deberá contestar si está de acuerdo con los cambios propuestos, comprometiéndose a enviar una versión revisada, indicando los cambios efectuados, en un periodo no mayor de 3 meses. De no recibirse en ese plazo, el Comité Editorial dará por sentado que el autor ha desistido de su intención de publicar en la Revista.

Revista de Didáctica de las Matemáticas Julio de 2013 Volumen 83

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