Universidad Rafael Landívar

Facultad de Ingeniería

Resistencia de los Materiales

Práctica No.3

Ensayo de Torsión

25 de marzo de 2015

Manuel De Paz

1149611

Grupo 4

Objetivos Generales

Determinar de qué material están constituidos los ejes mediante la investigación de módulos de

rigidez de latón y aleaciones de acero.

Medir los ángulos de torsión de las deformaciones de los ejes sometidos a torsión y de acuerdo

con el contenido teórico obtenido en el curso, establecer la relación con el módulo de rigidez.

Observar la deformación de ejes delgados a torsión en el laboratorio y comparar los resultados

con el valor teórico de dicha deformación.

Objetivos Específicos

Calcular la magnitud del par de torsión ejercido en los ejes delgados sujetos a carga torsional.

Calcular el esfuerzo cortante de los ejes delgados sometidos a torsión.

Calcular el valor del momento polar de inercia para las varillas sólidas.

Calcular el valor del módulo de rigidez a cortante de los materiales dúctiles utilizados, de

acuerdo a los ángulos medidos en el ensayo de torsión.

Marco Teórico

Torsión

Torsión se refiere a la carga de un miembro que tiende a hacerlo girar o torcerlo. Esta carga se llama par de torsión, momento torsional, par de torsión o par. Cuando se aplica un par de torsión a un miembro se desarrolla un esfuerzo cortante en su interior y se crea una deformación torsional, el resultado es un

ángulo de torsión de un extremo del miembro con respecto al otro. Esfuerzo cortante torsional en miembros con secciones transversales circulares.

Cuando un miembro se somete a un par de torsión externo, en el material del cual está hecho el miembro se desarrolla un par de torsión resistente interno, el cual es el resultado de los esfuerzos generados en el material. La figura No 1. muestra una barra circular sometida a un par de torsión T. La sección N gira con respecto a la sección M, como se muestra. Estas fuerzas cortantes generan esfuerzos cortantes en el elemento. Para que el elemento sometido a esfuerzo esté en equilibrio, en las caras superior e inferior del elemento deben actuar esfuerzos cortantes iguales.

Cuando la barra circular se somete a un par de torsión externo, el material en cada una de sus secciones transversales se deforma de tal modo que las fibras en la superficie externas experimentan la deformación máxima. En el eje central de la barra no se produce deformación. Entre el centro y la superficie externa, la deformación varía linealmente con la posición radial r.

Como el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación, podemos decir que el esfuerzo máximo ocurre en la superficie externa, que el esfuerzo varía linealmente con la posición radial r y que en el centro el esfuerzo es cero. La ecuación del esfuerzo cortante torsional se expresa como como:

T = par de torsión aplicado.

c = radio de la sección transversal.

J = momento polar de inercia de la sección transversal.

Figura No.1 Esfuerzo cortante torsional en una

barra circular.

Figura 2. Distribución del esfuerzo

cortante en la sección transversal

de una barra.

Diseño de miembros circulares sometidos a torsión En un problema de diseño se conocen las cargas que actúan en un miembro, y lo que se requiere es determinar su geometría para asegurarse de que soportara las cargas con seguridad. La selección del material y la determinación de los esfuerzos de diseño son partes integrales del proceso de diseño. En el diseño, podemos sustituir un cierto esfuerzo de diseño . Como en el caso de miembros sometidos a esfuerzo cortante directo hechos de materiales dúctiles, el esfuerzo de diseño está relacionado con la resistencia del material a cortante.

N es el factor de diseño elegido por el diseñador basado en el tipo de carga y Sys es la resistencia a la cedencia del material sometido a cortante. Se puede usar la tabla 1 como guía para determinar el valor de N. En los casos en que no se dispone de valores de el valor puede ser

estimado como

, Sy es la

resistencia a la cedencia a tensión. Este valor dará un valor razonable, y por lo general conservador, para metales dúctiles, sobre todo para acero.

Módulo de elasticidad a cortante

La relación del esfuerzo cortante a la deformación por cortante se llama módulo de elasticidad a cortante o módulo de rigidez esta denotado por G.

G es una propiedad del material y está relacionada con el módulo de tensión y la relación de Poisson por:

El módulo de elasticidad a cortante, G, mide la rigidez torsional del material de la barra. La tabla siguiente contiene algunas de las propiedades físicas de materiales comúnmente utilizados en la ingeniería.

Tabla 1 Factores de diseño y esfuerzos cortantes de diseño para metales

dúctiles.

Tabla 2 Propiedades físicas de algunos materiales utilizados en la ingeniería

Torsión-Deformación Torsional Elástica

La rigidez, además de la resistencia, es una importante consideración de diseño de miembros sometidos a torsión. La medida de rigidez torsional es el ángulo de torsión de una parte de una flecha con respecto a otra cuando se aplica un cierto par de torsión. En aplicaciones de transmisión de potencia mecánica, la excesiva torsión de una flecha puede provocar vibraciones, que provocarían ruido y una sincronización inadecuada de las partes en movimiento. Hay lineamientos con respecto a la rigidez torsional que tienen ver con el grado de precisión deseado, Tabla 3.

Tabla No. 3 Rigidez torsional recomendada: ángulo de torsión por unidad

En el diseño estructural, los miembros de carga en ocasiones se someten a torsión, así como a tensión o flexión. La rigidez de una estructura depende entonces de la rigidez torsional de los componentes, cualquier carga aplicada fuera del eje de un miembro y transversal al eje producirá torsión.

Datos Obtenidos

Tabla 4: Diámetros y largos de las varillas.

Varilla Largo Diámetro

Varilla 33 1 m 0.42 cm

Varilla corta 0.435 m 0.26 cm

Varilla 22 1 m 0.41 cm

Varilla 11 1 m 0.32 cm

Tabla 5: Ángulo de torsión expresado en grados de cada varilla con las 4 diferentes masas.

Varilla 100 gr 200 gr 300 gr 400 gr

Varilla 33 4° 8.5° 13° 17°

Varilla corta 7° 15° 21° 29°

Varilla 22 2° 4° 7° 9°

Varilla 11 5° 10° 15° 20.5°

Cálculos

Cálculo del torque: (para la Varilla 33 cuando se le fue aplicada el peso de una masa de 100 gr)

Tabla 6: Torque para cada varilla con los diferentes pesos

Masa Torque Varilla

33 (N-m)

Torque Varilla

corta (N-m)

Torque Varilla

22 (N-m)

Torque Varilla

11 (N-m)

100 gr 0.073575 0.073575 0.073575 0.073575

200 gr 0.14715 0.14715 0.14715 0.14715

300 gr 0.220725 0.220725 0.220725 0.220725

400 gr 0.2943 0.2943 0.2943 0.2943

Cálculo del ángulo expresado en radianes: (para la Varilla 33 cuando se le aplica el peso de una masa de

100 gr)

Tabla 7: Angulo de torsión expresado en radianes de cada varilla con las 4 diferentes masas.

Varilla Grado con 100

gr (rad)

Grado con 200

gr (rad)

Grado con 300

gr (rad)

Grado con 400

gr (rad)

Varilla 33 0.069813178 0.148353003 0.226892828 0.296706006

Varilla corta 0.122173061 0.261799417 0.366519183 0.506145539

Varilla 22 0.034906589 0.069813178 0.122173061 0.15707965

Varilla 11 0.087266472 0.174532944 0.261799417 0.357792536

Cálculo del momento polar de inercia: (para la Varilla 33 cuando se le fue aplicada el peso de una masa

de 100 gr)

Tabla 8: Momento polar de inercia de cada varilla con las 4 diferentes masas.

Varilla Momento de

inercia con 100

gr ( )

Momento de

inercia con 200

gr ( )

Momento de

inercia con 300

gr ( )

Momento de

inercia con 400

gr ( )

Varilla 33 3.055E-11 3.05E-11 3.05E-11 3.05E-11

Varilla corta 4.486E-12 4.49E-12 4.49E-12 4.49E-12

Varilla 22 2.774E-11 2.77E-11 2.77E-11 2.77E-11

Varilla 11 1.029E-11 1.03E-11 1.03E-11 1.03E-11

Cálculo del módulo de rigidez teórico: (para la Varilla 33 cuando se le fue aplicada el peso de una masa

de 100 gr)

Tabla 9: Módulo de rigidez teórico

Masa Módulo de

rigidez Varilla 33

(Pa)

Módulo de

rigidez Varilla

corta (Pa)

Módulo de

rigidez Varilla 22

(Pa)

Módulo de

rigidez Varilla 11

(Pa)

100 gr 3.45E+10 5.84E+10 7.60E+10 8.19E+10

200 gr 3.25E+10 5.45E+10 7.60E+10 8.19E+10

300 gr 3.18E+10 5.84E+10 6.51E+10 8.19E+10

400 gr 3.25E+10 5.64E+10 6.75E+10 7.99E+10

Cálculo del módulo de rigidez teórico promedio: (para la Varilla 33)

Tabla 10: Módulo de Rigidez Promedio

Módulo de rigidez

Varilla 33 (Pa)

Módulo de rigidez

Varilla corta (Pa)

Módulo de rigidez

Varilla 22 (Pa)

Módulo de rigidez

Varilla 11 (Pa)

3.28E+10 5.69E+10 7.11E+10 8.14E+10

Cálculo de esfuerzo cortante de los ejes delgados: (para la Varilla 33 cuando se le fue aplicada el peso de

una masa de 100 gr)

Tabla 11: Esfuerzo cortante de los ejes delgados para cada una de las varillas con los diferentes pesos

Masa 100 gr 200 gr 300 gr 400 gr

Esfuerzo cortante

Varilla 33 (Pa)

5.06E+06 1.01E+07 1.52E+07 2.02E+07

Esfuerzo cortante

Varilla corta (Pa)

2.13E+07 4.26E+07 6.40E+07 8.53E+07

Esfuerzo cortante

Varilla 22 (Pa)

5.44E+06 1.09E+07 1.63E+07 2.17E+07

Esfuerzo cortante

Varilla 11 (Pa)

1.14E+07 2.29E+07 3.43E+07 4.57E+07

Cálculo de la deformación cortante en los ejes delgados: (para la Varilla 33 cuando se le fue aplicada el

peso de una masa de 100 gr)

Tabla 12: Deformación cortante en los ejes delgados de cada varilla con las 4 diferentes masas.

Varilla Deformación

cortante 100 gr

(m)

Deformación

cortante 200 gr

(m)

Deformación

cortante 300 gr

(m)

Deformación

cortante 400 gr

(m)

Varilla 33 1.47E-04 3.12E-04 4.76E-04 6.23E-04

Varilla corta 1.59E-04 3.40E-04 4.76E-04 6.58E-04

Varilla 22 7.16E-05 1.43E-04 2.50E-04 3.22E-04

Varilla 11 1.40E-04 2.79E-04 4.19E-04 5.72E-04

Resultados

En la siguiente tabla se muestran los resultados de cada una de las varillas:

Tabla 13: Torque y módulo de rigidez teórico de cada una de las varillas.

Torque (N-m) Módulo de

rigidez (Pa)

Esfuerzo

cortante (Pa)

Deformación

cortante (m)

Varilla 33 100 gr 0.073575 3.45E+10 5.06E+06 1.47E-04

200 gr 0.14715 3.25E+10 1.01E+07 3.12E-04

300 gr 0.220725 3.18E+10 1.52E+07 4.76E-04

400 gr 0.2943 3.25E+10 2.02E+07 6.23E-04

Varilla

corta

100 gr 0.073575 5.84E+10 2.13E+07 1.59E-04

200 gr 0.14715 5.45E+10 4.26E+07 3.40E-04

300 gr 0.220725 5.84E+10 6.40E+07 4.76E-04

400 gr 0.2943 5.64E+10 8.53E+07 6.58E-04

Varilla 22 100 gr 0.073575 7.60E+10 5.44E+06 7.16E-05

200 gr 0.14715 7.60E+10 1.09E+07 1.43E-04

300 gr 0.220725 6.51E+10 1.63E+07 2.50E-04

400 gr 0.2943 6.75E+10 2.17E+07 3.22E-04

Varilla 11 100 gr 0.073575 8.19E+10 1.14E+07 1.40E-04

200 gr 0.14715 8.19E+10 2.29E+07 2.79E-04

300 gr 0.220725 8.19E+10 3.43E+07 4.19E-04

400 gr 0.2943 7.99E+10 4.57E+07 5.72E-04

Graficas

Gráficas torque – ángulo medido:

Gráfica#1:

Gráfica#2:

Var il l a Cor t a

Torque (N-m)

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Ángulo (rad)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Var il l a 33

Torque (N-m)

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Ángulo (rad)

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Gráfica#3:

Gráfica#4:

Var il l a 22

Torque (N-m)

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Ángulo (rad)

0 0.05 0.1 0.15 0.2

Var il l a 11

Torque (N-m)

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Ángulo (rad)

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Gráficas esfuerzo – desplazamiento:

Gráfica#5:

Gráfica#6:

Var il l a 33

Esfuerzo Cortante (Pa)

4e+06

6e+06

8e+06

1e+07

1.2e+07

1.4e+07

1.6e+07

1.8e+07

2e+07

2.2e+07

Deformación (m)

0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007

Var il l a Cor t a

Esfuerzo Cortante (Pa)

2e+07

3e+07

4e+07

5e+07

6e+07

7e+07

8e+07

9e+07

Deformación (m)

0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007

Discusión de Resultados. Los resultados obtenidos en el ensayo de torsión realizado a los ejes delgados proporcionan información útil para determinar el módulo de rigidez a cortante del material del cual están hechas las varillas. En el laboratorio se aplicó un par de torsión al colgar pesos conocidos en el extremo de un brazo unido al extremo de la varilla que estaba libre para girar. El par de torsión aplicado se calculó por su definición básica, el producto de la fuerza aplicada en el extremo del brazo y la distancia perpendicular desde la línea de acción de la fuerza hasta el centro de la varilla. La deformación angular se midió sobre una escala de transportador fija con un indicador sujeto a la varilla. El momento polar de inercia fue calculado de acuerdo a la geometría dada por la varilla. A continuación se tomaron los datos al incrementar la fuerza aplicada al brazo y su deformación angular. Con los datos obtenidos y la ecuación de ángulo de torsión, se logró despejar el valor del módulo de rigidez del material. En las gráficas se puede observar que la deformación varía linealmente con el torque aplicado. Existen factores que influyeron en que los resultados no coincidieran con el valor teórico investigado, algunos de ellos son: La forma en que se realizó el experimento: No se tomaron en cuenta las incertezas en la medición y no se realizó un mayor número de mediciones para encontrar la desviación de los datos, una medición errónea pudo haber afectado los resultados obtenidos. Durante algunas mediciones no fue calibrado de manera correcta el transportador. No se realizaron mediciones de las masas colocadas y se asumió que el valor dado por el fabricante era el correcto. La condición del equipo: las varillas fueron previamente utilizadas por otros grupos que realizan el mismo ensayo a torsión. El desgaste del equipo hace que se obtenga resultados menos precisos. Es necesario analizar que posiblemente el material se haya sometido a un esfuerzo cortante mayor al de cedencia lo cual haya ocasionado una deformación permanente en la varilla. No se tomó en cuenta la fatiga que experimenta el material debido al alto número de ciclos al cual fue sometido.

Conclusiones. De acuerdo a los resultados obtenidos y los valores del módulo de rigidez investigados es posible inferir el material por el cual están construidos los ejes delgados, aproximando el valor del módulo de rigidez (G) teórico en base al experimento.

La varilla 33 está construida por latón, de acuerdo al valor promedio 32.8 GPa y la tabla 2. El valor se aproxima al módulo de rigidez del latón amarillo.

El valor promedio del módulo de rigidez de la varilla corta es 56.9 GPa se aproxima al módulo de rigidez del hierro fundido. Si el material de las varillas se limita a latón o acero, es necesario realizar un mayor número de mediciones, la alternativa para encontrar el material del cual está construida la varilla es medir el volumen y masa de la varilla para así calcular su densidad y compararla con la tabla 2.

La varillas 22 Y 11 está construidas por acero, de acuerdo al valor promedio 71.1 GPa y 81.4 GPa. A la varilla 22 le corresponde el módulo de rigidez del acero inoxidable, mientras que a la varilla 11 el módulo de rigidez un acero de alta resistencia-aleación baja.

Recomendaciones.

- Se recomienda realizar un mayor número de mediciones en la práctica y así encontrar la

desviación datos para obtener resultados más precisos.

- Al realizar cualquier tipo de práctica es necesario seguir las instrucciones y el procedimiento

indicado para así evitar errores.

Bibliografía

Resistencia de materiales, Robert Mott, Pearson Educación, 5ta edición.

Mecánica de materiales, RC Hibbeler, Pearson Educación, 8va edición, 2010 - 876 paginas.

Ferdinand P. Beer, Russell Johnson. (2010). Mecánica de Materiales. México: Mc Graw Hill. Apéndice B.

Propiedades típicas de materiales seleccionados usados en ingeniería (Unidades SI) pág. 747.

American Insitute of Steel Construction, Steel Construction, Manual, 13a ed., Chicago, IL., 2005.

Anexos

A continuación se muestran las imágenes del ensayo de torsión:

Dispositivo de prueba de torsión.