Apunte Torsion 2005

7/21/2019 Apunte Torsion 2005

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1

Facultad de IngenieríaUniversidad Nacional de La Plata

ESTRUCTURAS IV

TORSION

Autores:

Ing. Marcos D. Actis

Ing. Alejandro J. Patanella

Ing. Jorge Ortalli

2005



2

NOCIONES BÁSICAS DE TORSIÓN

ESTRUCTURAS ESPACIALES. GENERALIDADES.

Analizando el movimiento de un cuerpo en el espacio se puede afirmar que en un caso

general tendrá una traslación según una dirección dada y una rotación alrededor de un eje

cualquiera. Para poder describir ambos se adopta una terna de ejes ortogonales X, Y, Z

quedando entonces definidos dichos movimientos por medio de sus componentes según cada

uno de los tres ejes. Resulta así que el movimiento de un cuerpo en el espacio queda definido

cuando se definen seis parámetros que son tres traslaciones y tres rotaciones según los tres ejes

de referencia. Por esta razón se afirma que un cuerpo en el espacio tiene seis grados de libertad .

De lo expuesto se concluye que para asegurar el equilibrio de un cuerpo en el espacio es

necesario limitarle las seis posibilidades de movimiento vistas, es decir se necesitan seis

vínculos adecuadamente ubicados.

Si en el cuerpo de la fig.la, se colocan en el punto A, tres barras no coplanares queda ese

punto fijo. Con esto el cuerpo no tendrá posibilidades de traslación pero podrá rotar alrededor de

cualquier eje que pasa por el punto A. Colocados en B dos vínculos como se indican, queda

como única posibilidad de movimiento la rotación del cuerpo alrededor del eje AB, es decir que

el vínculo que resta debe agregarse de forma que impida esta rotación, por lo tanto podrá estarubicado en cualquier parte a condición que su dirección no corte al eje AB.

Si el vínculo en la dirección Z en B hubiese estado en la dirección Y (tal como se muestra

en la fig.lb) el cuerpo podría tener una rotación alrededor de A en la dirección X (infinitésima

hasta que la biela en cuestión se apartara de la dirección Y) y una rotación alrededor de AB en la

dirección Y, o sea que todavía faltarían dos vínculos más para impedir estos movimientos. Esto

es lo que se quiere remarcar cuando se dice que se necesitan seis vínculos adecuadamente

puestos.

Otro ejemplo de vínculo mal colocado es el caso de cuatro barras concurrentes a un

punto, ya que para fijarlo son suficientes solo tres, siendo la cuarta superabundante.

El problema consiste en no permitir que haya una recta que corte a las seis barras porque

en ese caso dicha recta sería un eje de rotación del cuerpo.

A1

D

D1 C1

B

C

A

B1 A1

D

D1 C1 B

C

A

B1

Fig.1a Fig.1b

Z

YX



3

En el caso de la fig.2a no está impedido el giro alrededor de AD, mientras que en la

fíg.2b no está impedido el giro alrededor de BC.

En la fig.3 se puede observar que la rotación según Z alrededor de BB1 no está impedida

porque la recta paralela a Z por B cruza en este punto a las bielas 5 y 6, y a 1, 2, 3 y 4 en el

infinito. En general se puede afirmar que no más de tres bielas deben ser paralelas.

Vista ya la manera de vincular un cuerpo para asegurar el equilibrio se verá la forma dedeterminar las reacciones de estos vínculos. Evidentemente decir que no hay traslaciones ni

rotaciones alrededor de cada uno de los tres ejes significa decir que las acciones que dan lugar a

estos movimientos son nulas:

∑Fx = 0 ∑Mx = 0

∑Fy = 0 ∑My = 0

∑Fz = 0 ∑Mz = 0

Las ecuaciones (1) son las ecuaciones generales de equilibrio de un cuerpo en el espacio,

en las cuales figurarán como incógnitas las reacciones de los vínculos correspondientes.

Z

YX

A1

D

D1 C1B

C

A

B1 A1

D

D1 C1B

C

A

B1

Fig.2a Fig.2b

A1

D

D1 C1B

C

A

B1

Fig.3

(1)



4

Ejemplo :

En el cuerpo de la fig.4 calcular las reacciones en las bielas 1 a 6.

Lo primero que se hace es eliminar los vínculos de manera de poner en evidencia las

reacciones que los mismos ejercen sobre la estructura, suponiendo para ellas un sentidodeterminado, por ejemplo según las direcciones positivas de los ejes de referencia. Se plantean

luego las ecuaciones de equilibrio (1) de donde se obtienen los valores de dichas reacciones, con

la salvedad que si el signo es positivo significa que el sentido supuesto es correcto, mientras que

si el signo es negativo el sentido correcto es contrario al supuesto.

En el ejemplo se tiene:

∑ F x: S 2 + S 4 = 0

∑ F y: S 1 - P 2 = 0

∑ F z : S 3 + S 5 + S 6 - P 1 = 0

∑ M(DC) y: -P l ·2 + S 6 ·2 = 0

∑ M(AD) x: P 2·l + S 6 ·2 + S 5·2 = 0

∑ M(DD1) z : P 2·2 -S 4·2 = 0

de donde:

S 1 = 2

S 2 = -2

S 3 = 2

S 4 = 2

S 5 = -2

S 6 = 1

Para estudiar los esfuerzos característicos que se transmiten de sección a sección se

trabaja con una terna de ejes x, y, z que siempre conserva la misma ubicación relativa respecto

de la sección, es decir que ya no se trata de una terna fija, como la utilizada para calcular las

reacciones, sino que es móvil de sección a sección.

S1

A1

D

D1 C1

B

C

A

B1

Fig.4

Z

Y

X

P1=1

P2=2

S4

S2

S5

S6

1m

2m

2m

6

1

23

45

S3



5

Considérese la estructura de la fig.5 empotrada en la sección A, es decir que en A existe

un vínculo que restringe las seis posibilidades de movimiento.

La fig.6 muestra los esfuerzos que se producen en la sección S 1 entre C y B, donde se

tienen:

-Un esfuerzo de corte Q z = - P l

-Un momento flector M y = +P l ·d l

-Un esfuerzo de corte Q y = +P 2

-Un momento flector M z = +P 2·d l

Es decir que la sección S 1 estará sometida a un esfuerzo de flexión en el plano de la

estructura debido a la carga P 2 y a un esfuerzo de flexión en el plano normal a la misma debido a

la carga P1, en otras palabras la sección S 1 estará sometida a flexión oblicua.

La fig.7 muestra los esfuerzos existentes en la sección S 2, en donde se tienen:

-Un esfuerzo axil N = +P 2

-Un momento flector M z = +P 2·1m

-Un esfuerzo de corte Q z = - P l

-Un momento flector M y = +P l ·d 2

-Un momento torsor M x = +P l ·1m

El diagrama completo de esfuerzos se puede observar en las fig.8a y 8b.

1 m

z

y

yx 2 m

d2

d1

A

P1

C B

Fig.5

P2

x

x

z

y

Mz

My

P2

P1

z

yMy

Mz

Mx

P2

P1

Fig.6 Fig.7

A

P2 + P2 Qy

BC B

+ N



6

Así se puede analizar cualquier estructura; teniendo en cuenta que si actúa una carga P que

forma un ángulo con el plano de la misma se puede descomponer en una componente normal a

su plano y otra contenida en su plano, simplificándose de esta manera la determinación de los

esfuerzos característicos.

Para estudiar el comportamiento de la estructura, es decir calcular las tensiones y las

deformaciones de las diferentes secciones de la misma, se debe conocer el comportamiento de

éstas bajo los efectos de cada uno de los esfuerzos que la solicitan. El propósito de este apunte

es brindar las nociones básicas que permiten el estudio de una sección sometida a los efectos de

un momento que tiende a provocar un giro alrededor de un eje normal al plano de la misma, quees lo que se denomina esfuerzo de torsión o momento torsor .



7

TORSIÓN.

Introducción.

Sea una sección cualquiera como la indicada en la fig.9 sometida a la acción de un

momento torsor Mt actuante en su baricentro. En el caso más general, en la secciónconsiderada, se generará un estado de tensiones compuesto por una tensión normal y dos

tensiones tangenciales según cada uno de los dos ejes "z" e "y" que contienen a la sección y que

dan como resultante una reacción igual y contraria al momento torsor exterior solicitante, de

manera de asegurar el estado de equilibrio. En otras palabras el estado de tensiones interno debe

ser tal que equilibre a la acción exterior solicitante:

Acción exterior = Reacción interior

Escribiendo la igualdad anterior para cada uno de las esfuerzos característicos se obtiene el

grupo de ecuaciones siguiente:

∫ =⋅ 0dAσ (N = 0)

∫ =⋅⋅ 0dA z σ (My = 0)

∫ =⋅⋅ 0dA yσ (Mz = 0)

0 xz dAτ ⋅ =∫ (Qz = 0)

0 xy dAτ ⋅ =∫ (Qy = 0)

( ) ( ) xz xy t y dA z dA M τ τ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

∫ ∫ (Mx = Mt)

Se observa que existen infinitas soluciones posibles para las distribuciones de las tensiones

normales σ y tangenciales τ que cumplen con las condiciones de equilibrio, es decir que se está

ante un problema con un alto grado de hiperestaticidad, y por lo tanto las ecuaciones de

equilibrio por si solas no bastan para resolver el problema. Es necesario, entonces, formular

hipótesis respecto del comportamiento de la sección tal como se ha hecho para los demás casos

de solicitación.

Sin embargo, en el caso de la torsión, como se verá en las discusiones siguientes, no se

puede formular una hipótesis de validez general, sino que el comportamiento de la sección frente

a la solicitación de torsión está íntimamente ligado con la forma de aquella. De lo expuestosurge la necesidad de continuar el estudio de la torsión para diferentes formas de sección por

separado.

x

z

Mt

y

σ

τxz

τxy

Fig.9



8

Secciones circulares (Llenas y huecas)

a- Tensiones.

Para el estudio de secciones de este tipo se formulan las dos hipótesis de comportamiento

siguientes:

-Las secciones se mantienen planas después de la deformación, es decir que se cumple la

hipótesis de Bernoulli-Navier.

-Los radios originalmente rectos se mantienen rectos después de producida la

deformación. En otras palabras no se producen distorsiones en el plano de la sección.

Definido así el comportamiento de la sección y teniendo en consideración que el material

es elástico, es decir que la relación entre tensiones y deformaciones es lineal (Ley de Hooke) se

verá a continuación como se vinculan las tensiones y las deformaciones con la solicitación

exterior.

Sea la barra de la fíg.10a sometida a la acción de un momento torsor M t y considérese un

elemento de longitud dx. La fig.10b muestra como se deforma ese elemento, teniendo en cuenta

las hipótesis formuladas.

Se observa que la sección 2 ha girado un ángulo dф respecto de la sección 1, es decir que

d ф mide la rotación relativa de una sección respecto de la otra.

La distorsión vendrá dada por:

γ = ds/dx

Además se cumple que:

γ · dx = r · dф

Entonces:

dф/dx = γ / r = θ

La relación θ es el giro relativo de dos secciones que están separadas la unidad de

longitud. A esta magnitud se la llama ángulo específico de torsión.

Mt

dx

Mt

Fig.10a

Mt

Mt

Fig.10b

dx

dф ds

1

2



9

Teniendo en cuenta como se deforma la sección, se observa en la fig.ll que un punto A de

la sección sufre un corrimiento normal a su radio y proporcional al mismo, resultando que por la

ley de proporcionalidad entre tensiones y deformaciones las tensiones tendrán la misma forma

de variación.

G G r τ γ θ = ⋅ = ⋅ ⋅ (2)

Por la condición de equilibrio de la sección se cumple que:

t

A

r dA M τ ⋅ ⋅ =∫

Teniendo en cuenta la ecuación (2) y reemplazando, se obtiene:

2 2

t

A A

G r dA G r dA M θ θ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =∫ ∫

La integral no es otra cosa que el momento de inercia polar de la sección J p, por lo que la

relación existente entre el ángulo específico de torsión y la solicitación exterior Mt será:

t

p

M

G J θ =

⋅ (3)

Esta expresión está indicando que el giro relativo por unidad de longitud (ángulo

específico de torsión) es directamente proporcional al momento torsor aplicado

(proporcionalidad directa entre cargas y deformaciones, ley de Hooke) e inversamente

proporcional al producto G·J p. Este producto es un indicador de la, oposición de la sección a

deformarse bajo la acción de un momento torsor Mt dado. Cuanto mayor sea el producto G*J p

menor será la deformación para un dado M t . Se lo denomina rigidez torsional de la sección. Seve así que la deformación está condicionada por las características del material (G) y por la

geometría de la sección (J p).

En cuanto a las tensiones, teniendo en cuenta las ecuaciones (2) y (3) se tiene que:

t

p

M r

J τ = ⋅ (4)

De acuerdo a las hipótesis de comportamiento formuladas, y observando las tres primeras

de las ecuaciones de equilibrio, es fácilmente demostrable que las tensiones normales σ resultannulas. En cuanto a las tensiones de corte, las mismas se relacionan con el momento torsor

exterior aplicado, por medio de la ecuación (4).

τmáx.

G

Ar

Г

R

Fig.11



10

En la fig.12 se ha graficado el estado tensional de una sección circular sometida a la

acción de un momento torsor Mt.

Se observa que:

-Para r = cte es τ =cte, es decir que para un valor dado del radio, la tensión

tangencial es cte y en cada punto es normal al radio, dado que al girar la sección alrededor

de su baricentro los corrimientos, y por lo tanto las tensiones, son normales al radio. Las

tensiones τxy y τxz a que hacen referencia las ecuaciones generales de equilibrio, resultan

de descomponer la tensión tangencial resultante según las direcciones " y" y " z " de los ejes

solidarios a la sección.

-Las tensiones tangenciales máximas se producen en el contorno siendo su valor:

maxt

p

M R J

τ = ⋅ (5)

Teniendo en cuenta que J p = π ·D4 /32 y R = D/2 se obtiene para la tensión máxima:

max 3

16t

Dτ

π

⋅=

⋅

Observando la distribución de tensiones tangenciales, surge que en las proximidades del

baricentro de la sección, las mismas toman valores pequeños (ver ecuación (4) y fig.12). Por lo

tanto el material que se encuentra en dicha zona estará trabajando muy por debajo de sus valoresadmisibles lo que significa un desaprovechamiento del mismo. Para mejorar este aspecto se

recurre a la utilización de secciones huecas pues, con la misma cantidad de material, se logra

disponer la mayor parte del mismo en la zona de las máximas tensiones, obteniendo un

rendimiento de uso significativamente mayor.

Para las secciones de este tipo, como la que se muestra en la fig.13, vale todo lo dicho para

las llenas, en lo que se refiere al cálculo de las deformaciones y las tensiones:

t

G Jp

θ =

⋅

con J p = π ·(De4-Di

4 )/32

τmáx.

Fig.12

τmáx.



11

maxt

e

p

M R

J τ = ⋅

mint

i

p

M R

J τ = ⋅

Ejemplo:

Comparar el máximo momento torsor que admite una sección circular llena de radio R yuna sección hueca de radio interior Ri = R/2 y de igual sección que la primera.

1) En el caso de la sección llena: (fig.14)

maxt

p

M R

J τ = ⋅

4

32 p

D J

π ⋅=

3

max16

t adm

D M

π τ

⋅= ⋅

2) En el caso de la sección hueca: (fig.15)

Ri = R/2

A = π ·R

2

A(sección hueca) = π ·(Re

2 – Ri2 )

Re = 1.118·R

J p = π ·(De4 – Di

4 )/32

1.118t t adm e

p p

M M R R

J J τ = ⋅ = ⋅ ⋅

τmáx.

Fig.13

τmín.

G

R e

R i

Fig.14

R

Fig.15

R e

R i



12

1.118

2

t adm

p

D

J τ

⋅ ⋅=

⋅

max

2

1.118

p

t adm

J M

D

τ ⋅

= ⋅

⋅

Reemplazando se obtiene:

3

max 1.34516

t adm

D M

π τ

⋅= ⋅ ⋅

Como se observa, a igual sección (igual consumo de material ) se obtiene para la sección

hueca un momento torsor máximo 34.5% mayor que para la llena.

b-Deformaciones.

Para el cálculo de las deformaciones de las sucesivas secciones de una barra sometida a

torsión se recurre a la expresión del ángulo específico de torsión:

t

p

d

dx G J

φ θ = =

⋅

Entonces el giro relativo entre dos secciones separadas una distancia dx será:

t

p

M d dx

G J φ = ⋅

⋅

y el giro relativo entre dos secciones A y B será:

0

l

t BA

p

M dx

G J φ = ⋅

⋅∫ (6)

que debe leerse como el giro de la sección B respecto de la A.

Ejemplo 1:

Sea la barra de la fig.16 empotrada en el extremo A y sometida a la acción de un momento

torsor en el extremo B. Calcular el giro de la sección B.

-

BA

Fig.16

Mt

x l



13

0

l

t t BA

p p

M l dx

G J G J φ

⋅= ⋅ =

⋅ ⋅∫

En este caso el giro relativo de B respecto de A coincide con el giro absoluto de B pues elgiro de A es cero por estar la barra empotrada en ese extremo.

Ejemplo 2:

Si a la barra del ejemplo anterior se la somete además a la acción de un momento torsor

Mt2 a una distancia "a" del extremo A, actuante en el mismo sentido que el momento Mt l

aplicado en B (ver fig.17); calcular el giro en B.

( )1 21

0

l a

t t t BA

p pa

M M M dx dx

G J G J φ

+= ⋅ + ⋅

⋅ ⋅∫ ∫

( )1 21 t t t BA

p p

M a M b

G J G J φ

+ ⋅⋅= +

⋅ ⋅

Ejemplo 3:

En el caso que Mt l y Mt 2 tengan sentido opuesto y además el tramo "a" tenga una rigidez

G·J pa y el tramo "b" una rigidez G·J pb tal como se indica en la fig.18, calcular la expresión delgiro en B.

-

BA

Fig.17

Mt1

xa

Mt2

b

Mt1+Mt2 Mt1

BA

Fig.18

Mt1

xa, J pa

Mt2

b, J pb

Mt1

-

+

Mt2



14

El efecto del Mt l será:

( ) 1 1

1 b a0

l a

t t BA

p pa

M M dx dx

G J G J φ = ⋅ + ⋅

⋅ ⋅∫ ∫

( ) 1 1

1

t t BA

p p

b M a

G J b G J aφ

⋅ ⋅= +

⋅ ⋅

El efecto de Mt 2 será:

( ) 2

2

a0

a

t BA

p

M dx

G J φ

−= ⋅

⋅∫

( )2

2a

t

BA

p

a

G J φ

⋅

= − ⋅

El giro total del punto B vale:

1 2

a a

BA t t

p p p

b a a M M

G J G J G J φ

⎛ ⎞= ⋅ + − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠

Suponiendo ahora que dado el momento torsor Mt 2 se desee hallar el valor de Mt l que

anula el giro en B. Igualando a cero la ecuación anterior y despejando el valor de Mt l se tiene:

a

1 2

b a

p

t t

p p

a

G J M M

b a

G J G J

⋅= ⋅

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

Este valor de Mt l es el que anula el giro en B, es decir que la estructura se comporta -como

si en B hubiese un vinculo que impide el giro de la sección, en otras palabras es como sí la barra

original hubiese estado sometida a la acción de un momento torsor Mt2 y tuviese ambos

extremos empotrados tal como se indica en la Fig.19.

Ejemplo 4:

Considérese el caso de un momento torsor uniformemente distribuido en toda la longitud

de la barra tal como se indica en la Fig.20.

Fig.19

a, J pa

Mt2

b, J pb

BA



15

Un elemento dx ubicado a una distancia x del extremo A estará sometido a un momento

torsor m·x y el giro relativo de las dos caras del elemento será:

( )

p

m xd dx

G J φ

⋅= ⋅

⋅

Por lo tanto el giro relativo entre la sección A y la sección B se obtiene integrando laecuación anterior:

( )

0

l

AB

p

m xdx

G J φ

⋅= ⋅

⋅∫

2

2 AB

p

m l

G J φ

⋅=

⋅ ⋅

Si en el punto A actuase el total del momento torsor aplicado M = m· l , el giro en A sería:

2

AB

p p

l m l

G J G J φ

⋅ ⋅= =

⋅ ⋅

Es. decir que el giro provocado por el momento uniformemente distribuido es igual a la

mitad del producido por un momento tersar concentrado en la sección en cuestión y de un valor

equivalente al resultante total del anterior.

Ejemplo 5:

Calcular el momento torsor máximo que es capaz de soportar la barra de la Fig.21a

teniendo en cuenta que la sección transversal estará constituida por dos secciones anulares

rígidamente vinculadas cuyos materiales tienen módulos de elasticidad transversales Gext y Gint

respectivamente tal como se indica en la Fig.21b.

Fig.20x

m

dx

BA

M·x

A

Fig.21a

B

l

Mt

Fig.21b

G

R e

R i Gint.

Gext.

R m



16

Cada uno de los anillos absorberá una fracción del momento torsor total de forma que:

M t = M te + M ti

Hay infinitos valores de M te y M ti que cumplen con esta condición, es decir que se está

frente a un problema hiperestático para cuya resolución se debe plantear una ecuación decompatibilidad de deformaciones. Es decir, que de las infinitas soluciones posibles de la

condición de equilibrio, la solución real será aquella para la que las deformaciones sean

compatibles con la configuración de la estructura.

Por estar ambos anillos rígidamente unidos en cada sección, el ángulo específico de

torsión será el mismo para ambos, de donde:

e iθ θ =

e i

ext int int

t t

ext p p

M M G J G J

=⋅ ⋅

ext

e i

int int

ext p

t t

p

G J M M

G J

⋅= ⋅

⋅

Teniendo en cuenta la ecuación de equilibrio:

ext

i

int int

1ext p

t t

p

G J M M

G J

⎛ ⎞⋅= ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

Finalmente:

int int

i

int int ext

p

t t

p ext p

G J M M

G J G J

⋅= ⋅

⋅ + ⋅

ext

e

int int ext

ext p

t t

p ext p

G J M M

G J G J

⋅= ⋅

⋅ + ⋅

Se puede observar que el momento torsor total se reparte proporcionalmente a cada una

de las rigideces torsionales.

Para calcular el M tmax que es capaz de soportar la barra, teniendo en cuenta que la tensión

admisible del anillo exterior es τ eadm y la del interior es τ iadm, se plantean los M timax y M temax por

separado:

adm ext

max

e p

te

e

J M

R

τ ⋅=

adm int

max

i p

ti

m

J M

R

τ ⋅=



17

Luego con cada uno de estos valores se obtiene un valor de M tmax de las ecuaciones antes

halladas, siendo el M tmax definitivo el que resulte menor de ambos. Con este valor se puede

calcular el estado tensional de la sección que será como el indicado en la Fig.22.

int

ti

i i p

M

R J τ = ⋅

int

tiim m

p

M R

J τ = ⋅

ext

teem m

p

M R

J τ = ⋅

ext

tee e

p

M R

J τ = ⋅

Secciones de cualquier forma.

a-Introducción.

Las hipótesis formuladas para el estudio de las secciones circulares no son válidas en el

caso de secciones de forma cualquiera. Comprobaciones experimentales permiten observar que

la sección ya no se mantiene plana sino que se alabea, es decir que se producen desplazamientos

longitudinales que desplazan a la sección. Como además este alabeo es distinto para cada tipo de

sección y dentro de cada tipo, es distinto para diferentes relaciones entre las dimensiones de la

sección, resulta muy dificultosa establecer una hipótesis de comportamiento como se hiciera en

el caso de la sección circular. Para estudiar este tipo de problemas la teoría de la elasticidad

recurre a analizar lo que sucede en un elemento diferencial extraído de la totalidad del sólido en

equilibrio.

Sobre las caras de ese elemento actuarán las acciones que el resto le transmite para que no

se altere la condición de equilibrio. Por lo tanto sobre cada cara del sólido habrá aplicada una

fuerza por unidad de superficie (tensión) en una dirección cualquiera, la que para facilitar el

análisis se descompone en una tensión normal y dos tensiones tangenciales según cada uno de

los ejes, tal como se observa en la Fig.23.

R e

R m

R i

Fig.22

τi

τim

τe

τem

dy x

y

yσ

yz

yz dy y

τ τ

∂+ ⋅

∂

y

y dy y

σ σ

∂+ ⋅

∂

yx

yx dy y

τ τ

∂+ ⋅

∂

zx zx dz

z

τ τ

∂+ ⋅

∂

zy

zy dz z

τ τ

∂+ ⋅

∂

z

z dz z

σ

σ

∂

+ ⋅∂

xz xz

dx x

τ τ

∂+ ⋅

∂

xy

xy dx x

τ τ

∂+ ⋅

∂

x x

dx

x

σ σ

∂+ ⋅

∂

xz τ

xyτ xσ

z σ

yxτ

yz τ

zyτ

zxτ

dz

dx

z

B

O

A

Fig. 23



18

Si se analiza el equilibrio en la dirección x:

0 yx zx x

x yx zx zx yx xdy dz dx dz dx dy dz dx dy dy dx dz dx dy dz z y x

τ τ σ σ τ τ τ τ σ

∂⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Planteando de igual forma el equilibrio en las direcciones ‘y’ y ‘z’ se obtiene el siguiente

grupo de ecuaciones:

0 yx x zx

x y z

τ σ τ ∂∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂

0 xy y zy

x y z

τ σ τ ∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂

0 yz xz z

x y z τ τ σ ∂∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂

Del equilibrio de momentos se deduce que:

xz zxτ τ = ; yx xyτ τ = ; yz zyτ τ =

Dado que se tienen así tres ecuaciones, con seis incógnitas, se está frente a un problema

hiperestático, por lo tanto se debe recurrir al planteo de ecuaciones de deformación.

Considerando nuevamente un sólido elemental como el de la Fig.23, y asumiendo que el

punto O tiene un desplazamiento en el espacio dado por las tres componentes u, v, w según los

ejes x, y, z respectivamente, un punto adyacente tal como el A tendrá un desplazamiento según x

dado por u+( ∂ u/ ∂ x)·dx, y así según ‘ y’ y ‘ z ’.

Entonces el elemento OA sufre una deformación unitaria según x dada por:

x

u

xε

∂=

∂

Análogamente se tienen las deformaciones unitarias según los ejes ‘ y’ y ‘ z ’ dadas por:

y

v

yε

∂=

∂

(7a)

z

w

z ε

∂=

∂

Para evaluar las distorsiones, considérese por ejemplo la variación del ángulo entre OA y

OB indicada en la Fig.25, de la misma surge:



19

xy

u v

y xτ

∂ ∂= +

∂ ∂

y análogamente las otras distorsiones serán:

xz

u w

z xτ

∂ ∂= +

∂ ∂ (7b)

yz

v w

z yτ

∂ ∂= +

∂ ∂

Así se tienen seis ecuaciones que relacionan los corrimientos con las deformaciones del

sólido, de las que se concluye que las deformaciones εx, εy, εz, τxy, τxz, τyz no pueden tomar

valores independientes unos de otros, porque son funciones de los corrimientos u, v, w. Las

relaciones que vinculan a las deformaciones entre sí, y que se deducen de las (7a) y .(7b) son lasdenominadas ecuaciones de compatibilidad .

Teniendo en cuenta que se trata de un material elástico, las tensiones y las deformaciones

están vinculadas por la Ley de Hooke,

( )1

x x y z E

ε σ μ σ σ ⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ +⎣ ⎦

( )1

y y x z E

ε σ μ σ σ ⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ +⎣ ⎦

( )1

z z x y E

ε σ μ σ σ ⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ +⎣ ⎦ (8)

xy

xyG

τ γ =

xz xz

G

τ γ =

yz

yz G

τ γ =

B

A’

B’

A

O

u

v O’

dx x

uu ⋅

∂∂+

x

y

dy y

uu ⋅

∂∂

+

dx x

vv ⋅

∂∂

+

dy y

vv ⋅

∂∂

+

Fig.25



20

Con las ecuaciones de equilibrio (6), con las ecuaciones de compatibilidad que se deducen

de las (7a) y (7b), y con las ecuaciones de comportamiento (8), se resuelven los diferentes

problemas; llegando a determinar ecuaciones diferenciales que vinculan las deformaciones con

las solicitaciones exteriores, que se resuelven para cada caso en particular, teniendo en

consideración las condiciones de borde del problema abordado.

b. Torsión de Saint Venant

Se estudiará el caso de una barra prismática sometida a torsión mediante dos pares

torsores aplicados en sus extremos, estando éstos libres para alabearse. Esto es lo que se

denomina torsión uniforme, torsión libre o torsión de SAINT VENANT . Bajo estas condiciones

la deformación de la barra torsionada consiste en una rotación de la sección transversal y un

alabeo de la misma en la dirección del eje longitudinal, siendo este alabeo el mismo para todas

las secciones de la pieza.

Para el estudio de este caso en particular, y a los efectos de que la rotación utilizada sea

coincidente con la mayoría de la bibliografía existente sobre el tema, se supondrá a la terna de

ejes solidaria a la sección orientada de la forma indicada en la Fig.26.

De acuerdo a la hipótesis de Saint-Venant el giro de una sección cualquiera se efectúa

alrededor de un punto que puede o no coincidir con el baricentro de la sección llamado centro de

torsión.

Si consideramos el eje ‘z’ coincidente con el baricentro de la sección (suponemos todos

los centros de torsión coincidentes con una recta) tenemos:

u = -r·z·θ ·senψ

v = r·z·θ ·cosψ

u = -θ ·z·y

v = θ ·z·x

x y

zFig.26

A

A’

v

uu = -r·φ ·senψ

v = r·φ ·cosψ

Como: φ = z·θ

φ



21

El alabeo de la sección es una función de la forma:

w = θ ·A(x,y)

siendo A(x,y) la función de alabeo.

Con estos corrimientos así definidos, las deformaciones serán :

0 x y z xyε ε ε τ = = = =

xz

w u A y

x z xτ θ

∂ ∂ ⎡ ∂ ⎤⎛ ⎞= + = ⋅ −⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

yz

w v A x y z yτ θ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂= + = ⋅ +⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

Teniendo en cuenta que se trata de un material elástico, es decir que se cumple la ley de

Hooke, se puede escribir:

0 x y z xy

σ σ σ τ = = = =

xz

AG y

xτ θ

∂⎡ ⎤= ⋅ ⋅ −⎢ ⎥∂⎣ ⎦

yz AG x y

τ θ ⎡ ⎤∂= ⋅ ⋅ +⎢ ⎥∂⎣ ⎦

Resulta así que cuando se cumplen las hipótesis formuladas por Saint Venant, no hay

tensiones normales actuando en la sección transversal, y tampoco se producen distorsiones en

el plano de la misma ( τ xy = 0).

De las ecuaciones de equilibrio (6), y en función de los resultados obtenidos,

reemplazando se obtiene:

0 xz

z

τ ∂=

∂

0 yz

z

τ ∂=

∂

0 yz xz

x y

τ τ ∂∂+ =

∂ ∂

Se define una función F(x,y), llamada función de tensión tal que:

xz

F

yτ

∂=

∂ ;

yz

F

xτ

∂= −

∂



22

o sea que:

F AG y

y xθ

∂ ∂⎡ ⎤= ⋅ ⋅ −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

F AG x x yθ

⎡ ⎤∂ ∂− = ⋅ ⋅ +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

Derivando estas dos expresiones respecto de ‘ y’ y ‘ x’ y restando una de otra se obtiene la

ecuación general de la torsión de Saint Venant:

2 2

2 22

F F G

x yθ

∂ ∂+ = − ⋅ ⋅

∂ ∂ (9)

La expresión (9) es la ecuación diferencial general de la torsión. Para resolverla es

necesario establecer las condiciones de borde del problema, así se obtiene la función de tensión F(x,y) y con ella las tensiones en cada punto de la sección.

A los efectos de evaluar las condiciones de borde mencionadas considérese un elemento

sometido a tensiones de corte como se indica en la Fig.27:

Para que se verifique el equilibrio del elemento es condición necesaria que si sobre una

arista concurre una tensión τxz, sobre esa misma arista debe concurrir una tensión τzx del mismo

valor actuando sobre la cara normal.

En particular, en una sección cualquiera sometida a la acción de un momento torsor M t lastensiones de corte en correspondencia de los bordes deben ser necesariamente tangentes a los

mismos, porque de lo contrario, por las razones expuestas, deberían existir sobre la superficie

libre una tensión tangencial que evidentemente no existe. Lo dicho se visualiza en la Fig.28.

τzx

τxz

τzx

τxz

z

x

Fig.27



23

Esta es la condición de borde que permite resolver la ecuación diferencial de la torsión

mostrada anteriormente.

Condiciones de borde.

Dado que no existen fuerzas exteriores en la superficie lateral de la barra, no puede existir

componente de tensión perpendicular al contorno, por lo tanto la tensión en el borde será

siempre tangencial al mismo. Considerando un elemento a, b, c:

dS

dx−= β cos ;

dS

dy=α cos

cos cos 0 xz yz

τ α τ β ⋅ + ⋅ =

0=⋅∂

∂+⋅

∂

∂

dS

dx

x

F

dS

dy

y

F

0=∂

∂

S

F

Esto indica que la función F debe ser constante a lo largo del borde. Esta constante puede

elegirse arbitrariamente; en nuestro caso la consideraremos nula.

τt

τ=0

τn=0

Fig.28

τyz

τxz

α

β



24

La condición establecida de que la tensión resultante en el borde debe ser tangente al

mismo, nos da:

Esta es la condición de Saint-Venant, que relaciona la forma de la sección con el alabeo dela misma.

Veamos ahora que la distribución de tensiones tiene como resultante el momento torsor

actuante.

( )t yz xz

F F x y dx dy x dx dy y dx dy

x yτ τ

∂ ∂= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

∂ ∂∫∫ ∫∫ ∫∫

Las integrales del segundo miembro puede resolverse por ‘partes’:

( )2

1

x

x

y x

F dx dy dy F x F dx F dx dy x

⎡ ⎤∂ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⋅⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦∫∫ ∫ ∫ ∫∫

El resultado anterior se debe a que ‘F’ es constante en el borde ⇒ F1 = F2.

Análogamente resulta:

∫∫∫∫ ⋅⋅−=⋅⋅⋅∂∂

dydx F dydx y y

F

Por lo tanto:

2t F dx dy= ⋅ ⋅ ⋅∫∫

yz

xz

dytg

dx

τ ϕ

τ = =

Por lo anteriormente desarrollado

sabemos que:

yw

x y

w

dx

dy

⋅−∂∂

⋅+∂∂

=θ

θ

(a)

τxz

τyz

τ

τxz

τyz



25

Caso 1: Sección circular.

Si se supone que ‘w = 0’ la ecuación (a) da: x

y

dx

dy−= ⇒ y · dy + x · dx =

0

Integrando se obtiene la ecuación de un círculo: y2 + x2 = c

Con esto queda demostrado que la sección circular no alabea por torsión.

De las ecuaciones de las tensiones tenemos que:

xz

wG y G y

xτ θ θ

∂⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⋅⎢ ⎥∂⎣ ⎦

yz

wG x G x

yτ θ θ

⎡ ⎤∂= ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅⎢ ⎥∂

⎣ ⎦

2 2

xz yz τ τ τ = +

2 2G x y G r τ θ θ = ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅

( ) ( )2 2 2

t yz xz p x y dx dy G x G y dx dy G r dx dy G J τ τ θ θ θ θ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫∫ ∫∫ ∫∫

De donde:

t

p

M

G J θ =

⋅ ; t

p

M r

J τ = ⋅

Caso 2: Sección elíptica.

τyzτ

cos co xz G y y

G r r

τ θ β

τ θ

− ⋅ ⋅= = = =

⋅ ⋅

Con esto queda demostrado

que ‘τ’ está en cuadratura con ‘r ’.

a

Supongamos que:

W = k · x · y

Con k = cte.

De (a) tenemos:

y yk

x xk

dx

dy

⋅−⋅

⋅+⋅=

θ

θ

τxz



26

de donde: (k - θ )·y·dy = (k + θ )·x·dx

(k - θ )·y2 - (k + θ )·x2 = c

(k + θ )·x2 + ( θ - k)·y2 = c

que como se ve es la ecuación de la elipse.

Determinaremos ahora el valor de ‘k ’:

Para x = 0 ; y = b, con lo que la ecuación anterior da: ( θ - k)·b2 = c

Para y = 0 ; x = a, con lo que la ecuación anterior da: (k + θ )·a2 = c

de donde:

θ ·(b

2

– a

2

) = k·(a

2

+ b

2

)

( )22

22

ba

abk

+

−⋅=

θ

por lo tanto:

( ) y x

ba

abw ⋅⋅

+

−⋅=

22

22θ

Si calculamos la expresión de las tensiones:

[ ] ( ) xz wG y G k y y k G y x

τ θ θ θ ∂⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⋅⎢ ⎥∂⎣ ⎦

(b)

[ ] ( ) yz

wG x G k x x k G x

yτ θ θ θ

⎡ ⎤∂= ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ = + ⋅ ⋅⎢ ⎥∂⎣ ⎦

( ) ( )2 2( )t yz xz x y dx dy G k x k y dx dyτ τ θ θ ⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦∫∫ ∫∫

siendo:3

2

4 x

A

a b J y dA π ⋅= ⋅ = ⋅∫ ;3

2

4 y

A

a b J x dA π ⋅= ⋅ = ⋅∫

( ) ( )2 2 2 2

3 3

2 2 2 24t

b a b aGa b a b

a b a b

θ θ π θ θ

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ − ⋅ −⋅ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅⎨ ⎬+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

3 3

2 2t

a bG

a bπ θ

⋅= ⋅ ⋅ ⋅

+ ;

3 3

2 2

t t

T

M

a b C G

a b

θ

π

= =⋅

⋅ ⋅+

(c)

Siendo ‘C T ’ la rigidez torsional de la sección.



27

Si reemplazamos (c) en las (b) obtenemos:

3

2 xz t

ya b

τ π

= − ⋅ ⋅⋅ ⋅

3

2 yz t xa bτ π = ⋅ ⋅⋅ ⋅

La relación entre ambas tensiones es proporcional a ‘ y/x’ , es decir constante a lo largo de

cada radio y por tanto ‘τ’ resultante tiene dirección constante a lo largo de cada radio; con la

diferencia que no está en cuadratura con el mismo (salvo en los ejes) como es el caso de la

sección circular.

El valor de ‘τmáx’ se obtiene en el punto ‘± B’, donde ‘ x = 0’ e ‘ y = ± b’:

τyz = 0 ; ( )3

2 xz t máx

M b

a b

τ τ

π

= − ⋅ ⋅ ± =

⋅ ⋅

La forma del alabeo puede verse estableciendo diferentes valores a ‘w’, con lo que se

obtiene una familia de hipérbolas con sus ejes coincidentes con los de la sección:

w = k·x·y

La superficie deformada es un paraboloide hiperbólico.



28

ANALOGÍA DE LA MEMBRANA

Planteo

Si se considera una membrana homogénea de material elástico sometida a una presión ‘ p’

uniforme y normal a su plano, y a una tensión ‘S ’ uniforme en todo su perímetro, tal como se

indica en la Fig.29a; extrayendo un elemento diferencial y analizando el equilibrio del mismo en

la dirección vertical (en la Fig.29b se muestran las fuerzas actuantes en la vista), se puede

escribir:

2 2

2 20

w w w w w w p dx dy S dy S dy dx S dx S dx dy

x x x y y y

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 2

2 20

w w p dx dy S dx dy S dx dy

x y

∂ ∂⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ =

∂ ∂

2 2

2 2

w w p

y S

∂ ∂+ = −

∂ ∂ (10)

w

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅

∂

∂+

∂∂

⋅⋅ dx x

w

x

wdyS

2

2

dx x

w

x x

w⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂∂

⋅∂∂

+∂∂

x

wdyS

∂

∂⋅⋅

x

w

∂∂

dyS ⋅

dyS ⋅

Fig.29b

Fig.29a



29

Comparando la expresión (10) con la ecuación general de la torsión se ve que son

matemáticamente equivalentes, es decir que las soluciones de ambas tendrán la misma

formulación matemática. Esto es lo que se denomina una analogía matemática: son dos

fenómenos que físicamente no tienen nada que ver una con el otro, pero que las ecuaciones que

los describen son formalmente equivalentes.

Por lo tanto, si se tienen en cuenta adecuadas condiciones de borde, las soluciones que se

hallen para la deformada ‘w’ de la membrana serán de aplicación para la función de tensión

F(x,y). Así se puede estudiar el comportamiento de una sección sometida a torsión estudiando la

deformada de esa membrana. Las condiciones a cumplir por esa membrana para que las

soluciones que se encuentren sean congruentes con la sección sometida a torsión son:

- El contorno de la membrana debe ser el mismo que el de la sección a estudiar.

- Se debe cumplir que p/s = 2·G·θ a fin de que las constantes a que están igualadas las

dos ecuaciones matemáticas sean iguales.

Cumpliéndose estas dos condiciones, del estudio de la membrana deformada se pueden

obtener tres conclusiones:

1.- La tensión de corte resultante en cada punto tendrá la dirección de la tangente a

la línea de nivel que pasa por el punto análogo de la membrana deformada.

2.- La magnitud de la tensión de corte en dicho punto está dada por el valor de la

tangente de la línea de máxima pendiente que pasa por el punto análogo en la

membrana deformada.

3.- El momento torsor aplicado en la sección en estudio es igual al doble del

volumen comprendido entre la membrana deformada y el plano original de la

misma.

APLICACIONES DE LA ANALOGÍA DE LA MEMBRANA.

Caso 1: Sección rectangular delgada (b>>a)

Sea la sección de la Fig.30 la que se desea estudiar su comportamiento a torsión aplicando

la analogía de la membrana.



30

Como primer paso se elige una membrana que tenga el. contorno de la sección dada.

Como ésta es suficientemente delgada se puede suponer sin cometer demasiado error que la

deformada de esta membrana será una superficie cilíndrica salvo en las zonas aledañas a los

lados menores. La directriz de esta superficie cilíndrica será un parábola, de donde la flecha

vendrá dada por:

S

a p f

⋅⋅

=8

2

La tangente de la línea de máxima pendiente será:

2

2

a

f tg

⋅=φ

es decir:

S

a ptg

⋅⋅

=2

φ

Dado que se debe cumplir que p/S = 2·G·θ .

Por la conclusión 2.- se tiene que la tensión de corte máxima es:

τ max = a·G·θ

El volumen entre la membrana deformada y el plano original es:

V = 2/3·f·a·b

S

ba pV

⋅⋅⋅

=12

3

Otra vez teniendo en cuenta que p/S = 2·G·θ y que de acuerdo a la conclusión 3.-

es M t = 2·V .

M t = 1/3·G·θ ·a3·b

Fig.30



31

Es decir que el ángulo específico de torsión y la tensión tangencial máxima vendrán dados

por:

( ) 31 3

t M

b a Gθ =

⋅ ⋅ ⋅

max 213

t M

b aτ =

⋅ ⋅

A medida que ‘b’ disminuye respecto de ‘a’, estas expresiones pierden validez porque la

hipótesis hecha respecto a la deformada de la membrana (despreciar la doble curvatura en las

proximidades de los lados) se aleja de la realidad. Se puede afirmar que no se comete error

apreciable cuando b>10·a.

Las fórmulas deducidas en los párrafos anteriores son de aplicación al caso de perfiles

laminados abiertos como los que se muestran en la Fig.31.

Las expresiones del ángulo específico de torsión y la tensión de corte máxima son las

siguientes:

313

t

m

M

b t Gθ =

⋅ ⋅ ⋅ (11)

max 21

3

t

m

k M

b t

τ ⋅=

⋅ ⋅

(12)

En las cuales ‘bm’ es la longitud media desarrollada de la sección y ‘k ’ es un coeficiente

que depende de la forma de la sección y tiene en cuenta la concentración de tensiones que se

produce en correspondencia de las angulosidades tal como se visualiza en la Fig.32, donde se ha

dibujado la membrana deformada y las curvas de nivel correspondientes. El efecto de

concentración de tensiones se evidencia a través del acercamiento que se produce entre las

curvas de nivel.

Fig.31



32

El coeficiente k = 1, 74*(t/r)1/3 donde ‘t ’ es el espesor y ‘r ’ el radio de acuerdo de la

angulosidad.

En el caso que se tengan distintos espesores como en la Fig. 33:

313 i i

Mt

G b aθ =

⋅ ⋅ ⋅∑ (14)

maxmax 31

3

t

i i

M a

b aτ

⋅=

⋅ ⋅∑ (15)

Se observa así que en el caso de secciones de espesor delgado abiertas, la distribución de

tensiones de corte se puede asumir aproximadamente lineal anulándose en la línea medía de lasección transversal (ver Fíg.34), lo que hace que el momento torsor equilibrante tenga que

r

t

Fig.32

t1

b1

b2t2

Fig.33



33

desarrollarse en el espesor de la sección. Esto pone en evidencia que las secciones de tipo

abierta tienen una muy baja eficiencia trabajando a la torsión.

Caso 2: Secciones huecas cerradas de espesor delgado.

Para el estudio de la torsión de secciones de este tipo se formulan, además de las ya

enunciadas, las siguientes dos hipótesis:

-La tensión de corte es constante en todo el espesor.

-El producto de la tensión de corte por el espesor es constante para toda la sección .

Analizando el equilibrio de un elemento como el que se muestra en la Fig.35 ,se puede

escribir:

1 1 2 2t h t hτ τ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

1 1 2 2t t τ τ ⋅ = ⋅

Se considera una membrana con el contorno de la sección en estudio tal como se visualiza

en la Fig.36

t

t

Fig.34

Fig.35

x

y

zMt

h

τ1

τ2

h

t2

t1



34

Como se ve, decir que τ = cte. en todo el espesor, es despreciar la curvatura de lamembrana deformada, y asumir que tiene pendiente cte. En el caso de espesores suficientemente

delgados esta simplificación no conlleva errores significativos.

De la aplicación de la analogía se desprende que:

τ = h/t

Se deduce entonces, que la tensión tangencial máxima se produce en correspondencia del

mínimo espesor.

El momento torsor será: Mt = 2·Am·h

de donde se deduce que:2

t

m

M

A t τ =

⋅ ⋅ (16)

El ángulo específico de torsión se puede calcular teniendo en cuenta que si el cuerpo es

elástico, y las cargas se aplican estáticamente, es decir en forma suficientemente lenta, el trabajo

de las fuerza exteriores durante la deformación se transforma íntegramente en energía potencial

elástica, la que se puede medir por el trabajo realizado por los esfuerzos interiores.

El trabajo de las fuerzas exteriores por unidad de longitud en el caso de la torsión vale:

L = ½ · Mt · θ

La energía interna acumulada durante la deformación por unidad de longitud viene dada

por:

dS G

U

S

⋅⋅⋅Γ

= ∫0

2

2

δ

Igualando ambas expresiones y teniendo en cuenta la expresión de la tensión de corte en

función del momento torsor M t y del espesor:

Fig.36

Am

h

t

ds



35

24

t dS

Am G t θ = ⋅

⋅ ⋅ ∫

( )

24t

m

M

A G

dS t

θ =⋅ ⋅

∫

(17)

El denominador de la expresión (17), no es otra cosa que la rigidez torsional de la sección.

En el caso de espesores constantes de a tramos, la integral se transforma en sumatoria.

( )

24

t

m

i i

M

A G

S t

θ =⋅ ⋅

∑

Ejemplo 1:

Sea la sección de la Fig.37 de diámetro interior ‘ Di’ y exterior ‘ De’. Calcular la tensión de

corte y el ángulo específico de torsión para un dado valor del momento torsor solicitante M t .

Aplicando las fórmulas deducidas de la analogía de la membrana:

22

t

m

M

R t τ

π =

⋅ ⋅ ⋅

3

2

t

m

M

R t G

θ

π

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Aplicando la teoría exacta:

( )4 4

16t

e

e i

M D

D Dς

π

⋅= ⋅

⋅ −

( )4 4

32t

e i

M

G D Dθ

π

⋅=

⋅ ⋅ −

En el caso que: De = 10 cm Di = 8 cm

t = 1 cm

t

DeDi

Fig.37



36

Por la analogía:

τ = 7.86·10-3 M t (kgcm)

θ = 1.75·10-3 M t (kgcm) /G

Por la teoría exacta:

τ = 8.62·10-3 M t (kgcm)

θ = 1.75·10-3 M t (kgcm) /G

Se obtiene una diferencia del 9% entre las tensiones de corte calculadas de una y otra

forma.

En el caso que: De = 10 cm

Di = 9 cmt = 0.5 cm

Por la analogía se obtiene:

τ = 0.0141 M t (kgcm)

Por la teoría exacta

τ = 0.0148 M t (kgcm)

En este caso el error es del 5%.

Se observa que a medida que disminuye el espesor en relación al diámetro, disminuye el

error que se comete aplicando la analogía de la membrana, es decir, considerar una distribución

cte. de las tensiones de corte en el espesor de la sección.

Ejemplo 2:

Calcular para la sección de la Fig.38 el momento torsor máximo y el giro de la sección en

el punto B.

0.1

0.2

0.2

0.1

20cm

10cm

Fig.38

l

Mt Mt A B



37

max

min2

t adm

m

M

A t τ =

⋅ ⋅

M t max = τ adm·2·Am·t mín

Am = 200 cm2; τ adm = 1000 kg/cm2; t mín = 0.1 cm; G = 800000 kg/cm2

M t max = 40000 kg cm

( )24

t i i

m

M S t

A Gθ = ⋅

⋅ ⋅ ∑

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +++⋅⋅⋅

=2.0

20

2.0

10

1.0

20

1.0

10

8000002004

400002

θ

θ = 0.00014 l/cm

φ B = θ ·l

Ejemplo 3:

Comparar la rigidez torsional entre dos secciones circulares de espesor t y diámetro

exterior ‘ De’, una de las cuales tiene una ranura practicada en todo su espesor (figuras 39a y

39b).

En el caso de la sección cerrada, la rigidez torsional viene dada por:

C Tc = 4·Am2·G·(t/S)

Donde: Am = ( π ·De2 )/4

S = π ·De

Entonces C Tc = ( π ·De3·G·δ )/4

Fig.39

t t

De



38

En el caso de la sección con la ranura se deben aplicar las fórmulas deducidas para el caso

de las secciones abiertas:

C Ta = 1/3 · bm·t 3·G

siendo

bm = π ·De

Entonces C Ta = 1/3 · t 3·π ·De·G

Comparando luego el valor de C Tc con C Ta se observa:

C Tc / C Ta = 0.75 (De /t)2

Si De = 10 cm y t = 0.4 cm

C Tc / C Ta = 468

Se aprecia la conveniencia de las secciones cerradas frente a las abiertas para absorber

los esfuerzos de torsión, debiéndose efectuar un severo control de fabricación de tales piezas por

la sensible pérdida de rigidez que puede producirse por una eventual falla en un cordón de

soldadura.

Caso 3: Secciones cerradas con tabiques.

Cuando una sección tiene dos o mas contornos cerrados y posee paredes delgadas; se puede aplicar la analogía de la membrana. Cada contorno deberá estar sobre un plano horizontal

distinto ya que la función de torsión deberá ser constante en cada uno de ellos, aunque no igual a

todos.

Despreciando nuevamente la curvatura de membrana en la dirección normal a los bordes

(se considera que las líneas AC , DE y BF son rectas) lo que equivale a admitir nuevamente que

las tensiones no varían a través del espesor:

h h

t1

t3

t2



39

11

1

h

t τ = ; 2

2

2

h

t τ = ; 1 2 1 1 2 2

3

3 3

h h t t

t t

τ τ τ

− ⋅ − ⋅= =

La magnitud del momento torsor está dado por el volumen ACDEFB:

( )1 1 2 2 1 1 1 2 2 22 2 2

t A h A h A t A t τ τ = ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ (18)

donde A1 y A2 son las áreas limitadas con punteado.

De la (16) y (17) tenemos:

2 2

2 1

4 4 2

t m

m m m

M AdS t dS dS

A G t A G t A G

τ θ τ

⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫

2 mdS A Gτ θ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅∫

Suponiendo que los espesores t 1 , t 2 y t 3 son constantes y llamando S 1 , S 2 y S 3 a las

longitudes de las correspondientes curvas punteadas; aplicamos la ecuación anterior a los

contornos cerrados (nlmn) y (mqnm) respectivamente:

2·A1·G·θ = τ1·S1+τ3·S3

2·A2·G·θ = τ2·S2-τ3·S3

La porción (mn) cambia de signo debido a que se recorre, la primera vez, de arriba hacia

abajo y , la segunda vez, a la inversa.

Si dividimos ambas ecuaciones anteriores tenemos:

1 1 2 21 1 3

31

2 1 1 2 2

2 2 33

t t S S

t A

A t t S S

t

τ τ τ

τ τ τ

⎛ ⎞⋅ − ⋅⋅ + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠=⎛ ⎞⋅ − ⋅

⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

ya que el ángulo de torsión ‘θ’ en cada contorno, es el mismo que el de la sección total.

De la ecuación (18) y la anterior obtenemos:

3 2 1 2 31

2t

t S A t S A M

Rτ

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= ⋅

⋅

3 1 2 1 3

2 2t

t S A t S A

M Rτ

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅



40

1 2 1 2 1 23

2t

t S A t S A M

Rτ

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅= ⋅

⋅

donde:

A=A1 + A2 ; 2 2 21 3 2 1 2 3 1 2 1 2 3 R t t S A t t S A t t S A= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

Como puede observarse de las ecuaciones anteriores, si la sección es simétrica: S1 = S2 ;

t1 = t2 y A1 = A2 ; τ3 será igual a cero, o sea que la torsión será resistida por las paredes

exteriores, permaneciendo el tabique descargado.

Problema:

R = t 2·(6·a·4·a4 + 4·a·16·a4 + 2·a·36·a4 )=160·t 2·a5

( )2 2

1 2 5 2

6 2 2 6 6 1

2 160 80t t

t a a a a M M

t a t aτ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( )2 2

2 2 5 2

4 4 2 6 7 1

2 160 80t t

t a a a a M M

t a t aτ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( )2 2

3 2 5 2

6 2 4 4 1 1

2 160 80t t

t a a a a M M

t a t aτ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = − ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

b = 2·a

h = 2·a

S 1 = 4·a A1 = 2·a2

S 2 = 6·a A2 = 4·a2

S 3 = 2·a A = 6·a2

τ3 τ2 τ1

S3

S2

S1

t

tt

t

t



41

El signo de ‘τ3’ nos indica que su sentido es contrario al supuesto durante el planteo de las

ecuaciones.

Como se ve ‘τ2’ es la máxima tensión, por lo tanto τ2 = τadm.

2 28011.43

7tadm adm adm M t a t aτ τ = ⋅ ⋅ ⋅ ≅ ⋅ ⋅ ⋅

Si el cajón no tuviese tabique:

M t = 2·Am·t·τ adm = 2·6·a2·t·τ adm = 12·a2·t·τ adm

Como puede apreciarse, la presencia de un tabique colocado fuera del eje de simetría

disminuye la resistencia respecto de la sección con tabique en el eje o sin tabique (que es lo

mismo para el caso de una sección simétrica, ya que ‘τ3 = 0’).

SECCIÓN RECTANGULAR

En el caso de secciones rectangulares que no cumplen con la relación b>>a, el estudio por

aplicación de la analogía de la membrana es complicado, entonces se recurre a la ecuación

diferencial de la torsión, adoptando para la función de tensiones ‘ F ’ un desarrollo en serie.

No obstante observando la membrana deformada se pueden hacer los siguientes

comentarios cualitativos:

- Según las curvas de nivel se ve que la máxima tensión de corte se produce en el lado

mayor ‘b’.

- En el centro la tensión de corte es nula (pendiente nula).

- Teniendo en cuenta que por razones de equilibrio, las tensiones de corte deben ser

tangentes al borde, se concluye que en las esquinas deben ser, necesariamente nulas.

En suma la distribución de tensiones en la sección tiene la forma de la Fig.41, donde senota que la máxima tensión de corte se da en los bordes más cercanos al centro a diferencia de lo

que ocurre con las secciones circulares.

a

b

f

f

Fig.40



La tensión de corte máxima y el ángulo específico de torsión se expresan para distintas

relaciones de ‘b/a’ en función de coeficientes dados:

3

1

t

M

k a b Gθ = ⋅ ⋅ ⋅ max 2

2

t

M

k a bτ = ⋅ ⋅

τmax = k 3·G·θ·a

b/a 1.0 1.12 1.5 2.0 3.0 5.0 10.0 ∞

k 1 0.141 0.166 0.196 0.229 0.263 0.291 0.312 0.333

k 2 0.208 0.219 0.231 0.246 0.267 0.291 0.312 0.333

k 3 0.676 0.759 0.847 0.930 0.985 0.999 1.000 1.000

Se observa que para relaciones ‘b/a’>10 no hay prácticamente diferencia con los

resultados encontrados aplicando la analogía de la membrana para secciones delgadas.

BIBLIOGRAFÍA.

− S. TIMOSHENKO, ‘Resistencia de Materiales’, Tomos I y II, Espasa Calpe, 13a edición,

Año 1976.

− S. TIMOSHENKO, N.GOODIER, "Theory of Elasticity", Mac Graw-Hill, 2da edición, Año

1951.

− O. BELLUZZI, ‘Ciencia de la Construcción’, AGUILAR, 1971.

− El Acero en la Construcción, Reverté, 1971.

− Siderurgia del Orinoco (SIDOR), ‘Manual de Estructuras de Acero’, 2da edición, 1982.

− GONZALEZ SALEME - GUZMAN, ‘Elasticidad y Plasticidad’, 1ra. edición, CEILP 1970.

− Instituto Nacional de Tecnología Industrial (INTI), ‘Reglamento CIRSOC 301’, Buenos

Aires, 1984.

− Apuntes de clase del ing. Gerardo Ventura entre los años 1976 y 1981.

Apunte Torsion 2005

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