TORSION

TENSIONES Y DEFORMACIONES EN PIEZAS DE SECCIÓN MACIZA NO CIRCULARES:

La hipótesis de Coulomb: “……las secciones transversales permanecen planas durante la torsión…”, válida para las secciones circulares, no es válida sin embargo para otro tipo de secciones y por tanto en éstas otras, las secciones se alabearán

No obstante, en este tipo de secciones, el módulo de alabeo Ia es pequeño comparado con el módulo de torsión It y entonces, según lo indicado en 8.1, se podrá estudiarlas como si estuvieran sometidas a Torsión Uniforme, aunque se estuviera en el caso de Torsión no Uniforme. Así pues, en este tipo de secciones sometidas a Torsión, sólo aparecerán tensiones cortantes τ.

La determinación exacta de tensiones y deformaciones en una pieza de sección cualquiera sometida a Torsión, se debe a Saint-Venant y forma parte de la Teoría de la Elasticidad. Aquí se expondrán a continuación los resultados que se obtienen al aplicar dicha teoría al caso se piezas de sección rectangular.

CASO DE SECCIÓN RECTANGULAR:

Los valores de µ y de β dependen de la relación h/b:

TENSIONES Y DEFORMACIONES EN PIEZAS DE SECCIONES ABIERTAS DE PEQUEÑO ESPESOR:

Ya se indicó en 8.1 que este tipo de secciones no son apropiadas para el trabajo a Torsión y para los casos en que la torsión aparezca como efecto secundario, para evitar la excesiva deformación o rotura a la que pueda dar lugar, deberán emplearse disposiciones constructivas adecuadas para evitar el efecto de dichas consecuencias.

En este tipo de secciones sólo se va a estudiar el caso de la Torsión Uniforme.

Observación: Según se dijo anteriormente los casos de secciones abiertas de pequeño espesor formadas por rectángulos que se cortan en un punto, como sería el cado de las secciones en L o en simple T, aunque estén sometidas a Torsión no uniforme, su cálculo se hará como si fuera Torsión uniforme.

CASO DE TORSIÓN UNIFORME:

Para conocer la distribución de tensiones cortantes τ a lo largo de la sección se utiliza el denominado “Método de analogía de la membrana”, propuesto por Prandtl y que dice: “las tensiones cortantes no dependen de la curvatura del contorno de la sección, siendo prácticamente las mismas que si dicho contorno fuese recto”. De acuerdo con ello:

En virtud de ello, y en el caso de espesor constante t = cte, se podrán aplicar las mismas fórmulas (8.11) y (8.12) vistas anteriormente para el caso de sección rectangular:

Y en este caso, como h >> b, es decir, sm >> t, los coeficientes µ y β valdrán (ver tabla en 8.3): µ = 0,333 = 1/3 β = 0,333 = 1/3

Así pues las formulas quedarán:

La teoría de Prandtl también dice: “…las tensiones cortantes máximas se dan en los bordes del contorno, llevando en ambos lados sentidos opuestos y se admite que su variación es lineal a lo largo del espesor”.

Casos particulares:

1) En el caso de que el espesor t de la sección no sea constante: t ≠ cte , las ecuaciones anteriores se generalizarán de la siguiente forma:

2) En el caso de que el espesor t de la sección no sea constante: t ≠ cte , pero que ésta estuviese formada por varios elementos de espesor constante, las ecuaciones anteriores serían ahora:

La

tensión cortante máxima para cualquier espesor t se obtendrá:

TENSIONES Y DEFORMACIONES EN PIEZAS DE SECCIONES CERRADAS DE PEQUEÑO ESPESOR .

En este tipo de secciones, según lo que se indicó en la sección 8.1, el cálculo que haremos será válido tanto para la torsión uniforme como para la torsión no uniforme, por lo tanto las tensiones normales serán cero (σ = 0) y sólo habrá tensiones cortantes (τ).

a) CÁLCULO DE TENSIONES

Se considera una rebanada de una pieza de longitud dx sometida a un Momento Torsor T.

Se sabe que las tensiones cortantes en los puntos del contorno: a1 a2 , han de ser tangentes al mismo y dado el pequeño espesor (t) de la sección, se admite que están distribuidas uniformemente a lo largo del mismo.

Estableciendo el equilibrio de fuerzas del elemento bcde, que se representa a continuación ampliado:

Como consecuencia de ello, las tensiones cortantes (τ), serán mayores donde el espesor (t) sea menor, (al revés de lo que ocurre en las secciones abiertas de pequeño espesor).

Tomando ahora momentos respecto del centro de gravedad G de la sección, de todas las fuerzas que actúan en la misma:

La tensión cortante máxima, por lo visto antes, se dará donde el espesor sea mínimo, resultando siendo su valor:

b) CÁLCULO DE DEFORMACIONES

Para el cálculo de deformaciones se partirá de la ecuación obtenida en 3.3, aplicándola a la rebanada de la pieza anteriormente descrita de longitud dx.:

Casos particulares:

1) Si t = cte:

2) Si el espesor t de la sección no es constante: t ≠ cte , pero ésta estuviese formada por varios elementos de espesor constante:

CUADRO RESUMEN:

Con el objeto de unificar las fórmulas que se han obtenido para los diferentes tipos de secciones, se podrá adoptar un formato general, único para todas ellas, que sería el siguiente:

Los valores de It y de Wt para cada una de las secciones se obtendrán comparando las fórmulas obtenidas para cada una de las secciones estudiadas con las dadas como formato general. Así tendremos:

a) Sección rectangular: comparando las fórmulas específicas obtenidas para la sección rectangular:

b) Secciones abiertas de pequeño espesor: comparando las fórmulas específicas obtenidas para las secciones abiertas de pequeño espesor t = cte:

Observación: La Normativa española NBE-EA-95 corrige estos valores afectándolos de un coeficiente α de la siguiente forma:

siendo el valor de α:

Y para el caso estudiado de que el espesor t de la sección no sea constante: t ≠ cte , pero que ésta estuviese formada por varios elementos de espesor constante, comparando de nuevo las ecuaciones obtenidas para este caso específico con las fórmulas generales únicas, y ya incluyendo el valor α corrector que incluye la normativa española NBE-AE-95, sería:

c) Secciones cerradas de pequeño espesor: comparando las fórmulas específicas obtenidas para las secciones cerradas de pequeño espesor t = cte

Si el espesor t de la sección no es constante: t ≠ cte , pero ésta estuviese formada por varios elementos de espesor constante:

EJERCICIOS DE EJES NO CIRCULARES

1) Utilizando τ perm=7.5ksi y sabiendo que G=5.6 x 106 psi, para cada una de las

barras de latón amarillo laminado en frio que se muestra en la figura determine el par de torsión T máximo que pueda aplicarse y el ángulo de giro correspondiente en el extremo B.

τ perm=7.5x 103 psi L=16∈¿

(a)

a=2∈;b=2∈¿

ab=1.0

Datos en Tabla

c 1=0.208 ;c 2=0.1406

τ max=T

c1a b2;T=c1a b2 τmax

T=(0.208 ) (2 ) (2 )2 (7.5 x 103 )=12.48 x103lb .∈¿

T=12.48kip .∈¿

θ= TLc2a b3G

=(12.48 x103 ) (16 )

(0.1406 ) (2 ) (2 )3 (5.6 x106 )

θ=15.85x 10−3 rad ;θ=0.908 °

(b)

a=2.8∈;b=1.4∈¿

ab=2.0

Datos en Tabla

c 1=0.246 ;c 2=0.229

τ max=T

c1a b2;T=c1a b2 τmax

T=(0.246 ) (2.8 )(1.4)2 (7.5 x 103 )=10.13 x103lb .∈¿

T=10.13kip .∈¿

θ= TLc2a b3G

=(10.13 x 103 ) (16 )

(0.229 ) (2.8 ) (1.4 )3 (5.6 x106 );θ=16.44 x 10−3 rad ;θ=0.942

2) El eje circular solido que se muestra en la figura es de un acero q se supone elastoplastico con δy= 145 Mpa. Determine la magnitud T del par de torsión aplicado cuando la zona plástica tiene una profundidad de a) 16mm B) 24mm.

C = 32mm = 0.32m

Tr=( Jδ y )

C=π2

C3δ y= π2

(0.032 )3 (145∗106 )=7.4634∗103N .m

t = 16mm = 0.016m

Pr = C-t = 0.032 - 0.016 = 0.016mº

T=43

Tr (1− 14∗Pr

3

❑

C3 )=43 (7.4634∗103 )(1− 14∗0.008

3

❑

C 0.00323 )=9.9123∗103 N .m

ESFUERZOS RESIDUALES EN EJES CIRCULARES

En las dos secciones precedentes se estudió que una región plástica se desarrollará en un eje sometido a un par de torsión suficientemente grande, y que el esfuerzo cortante r en cualquier punto dado de la región plástica puede obtenerse del diagrama de esfuerzo-deformación a cortante. Si se retira el par, la reducción de esfuerzo y de deformación unitaria en el punto considerado tendrá lugar a lo largo de una línea recta como se muestra en la figura, el valor final del esfuerzo no será en general, cero, ya que habrá un esfuerzo residual en la mayoría de los puntos, que podrá ser positivo o negativo. Note que, como en el caso del esfuerzo normal, el esfuerzo cortante continuará decreciendo hasta que haya alcanzado un valor igual a su valor máximo en C menos el doble de la resistencia de cedencia del material.

Considere otra vez el caso idealizado de un material elastoplástico caracterizado por el diagrama esfuerzo-deformación a cortante. Suponiendo que la relación entre r y y en cualquier punto del eje permanece lineal mientras el esfuerzo no decrezca por más de 2TY, puede utilizarse la ecuación

∅= TLJG

para obtener el ángulo en el cual el eje se destuerce al disminuir el par a cero. Como resultado, la descarga del eje será representada por una línea recta en el diagrama T-∅ como se muestra en la figura.

Observe que el ángulo de giro no regresa a cero después de que se ha retirado el par. De hecho, la carga y descarga del eje resultan en una deformación permanente caracterizada por el ángulo

∅ p=∅−∅ `donde ∅corresponde a la fase de carga y puede obtenerse de T al despejar la ecuación y donde ∅ ' corresponde a la fase de descarga y puede obtenerse de la

ecuación.∅= TLJG

Los esfuerzos residuales en un material elastoplástico se obtienen al aplicar el principio de superposición de para la carga axial. Considere, por una parte, los esfuerzos debidos a la aplicación del par dado T y, por otra, los esfuerzos debidos, al par igual y opuesto que se aplica para descargar el eje. El primer grupo de esfuerzos refleja el comportamiento elastoplástico del material durante la fase de carga (figura a) como se muestra en la figura, y el segundo grupo el comportamiento lineal del mismo

material durante la fase de descarga (figura b) Sumando los dos grupos de esfuerzos, se obtiene la distribución de esfuerzos residuales en el eje (figura c).

Se observa que algunos de los esfuerzos residuales tienen el mismo sentido que los esfuerzos originales, mientras que otros tienen el sentido opuesto. Esto era de esperarse ya que, de acuerdo con la ecuación ∫ p(τ dA)=T , la relación ∫ p(τ dA)=0 debe verificarse después de que se retira el par.

EJERCICIOS DE ESFUERZOS RESIDUALES 1) La varilla perforada circular AB está hecha de un acero que se supone

elastoplástico con τγ=22ksi y G= 11.2x106psi. Sabiendo que a la varilla se le

aplica un par de torsión con T= 75kip.in y después se retira. Determine el esfuerzo residual máximo cortante de la varilla.

r = 1.2in L= 35ft = 420in

T y= J τyr ¿

π2

r 4 τy

r =

π2

(1.2)4∗22

1.2 = 59.71kips.in

Cargada T= 75kip.in

Pr2

r3=4−3T

Ty=4−

(3 ) (75 )59.715

=0.2321

Prr

=0.6145=Pr=0.6145 r=0.7374∈.

P=c τ ,=(75 ) (1.2 )3.2572

=27.63Ksi

P=pr τ ,=(75 ) (0.7374 )3.2572

=16.98Ksi

Esfuerzo residual:P=c τres❑=¿22 - 27.63= -5.63KsiP=pr τres❑=¿22 – 16.98= 5.02Ksi

2) Un par de torsión T aplicado a una varilla solida hecho de un material elastoplástico se incrementa hasta que la varilla se vuelve completamente plástica y entonces se retira el par

a. Demuestre que la contribución de esfuerzos residuales es como se representa en la figura

b. Determine la magnitud del par debido a los esfuerzos que actúan en la porción de la varilla localizada dentro del círculo de radio co.

Pr = 0

T = 43

Tr = 2π3

r3Ty

τ ,=TrJ

= 2T

π r3=43

τy p=r

τ ,=43

τypr

τres=τy (1− 4 p3 r )

τres=0 p= c0

0 = 1−4 r 03 r

r0= 34

r

T=2π∫0

r0

p2 τ dp=2π∫0

3 r4

p2 τy (1−4 p3 r )dp

¿¿

T=2π τy( p3

3− 4 p4

3 (4 r ) )03 r4 =2πτy r2{13 ( 34 )−43 ( 14 )( 34 )}

9π128

τy r3=0.22 τy r3

BIBLIOGRAFIA:

- Libro de resistencia de materiales de beer jonston.- http://materias.fi.uba.ar/6716/Torsion_EI.pdf