Objetivo.En esta practica vamos a determinar el módulo de elasticidad de una barra de acero que es sometida a fuerzas de igual magnitud pero en direcciones opuestas que actúan de forma tangencial a las superficies de extremos opuestos de la barra de acero donde le vamos a hacer el torque con un disco de acero que va a estar sostenido al alambre de acero. Vamos a seguir tratando de comprender las diferencias entre modulo de Young y el modulo de corte. Y vamos a verificar que se cumple la ley de Hooke en este fenómeno físico.De igual manera comprender el movimiento de un oscilador armónico simple angular que fue trato en teoría de Física 1.

Introducción teórica.

En las prácticas anteriores de elasticidad definimos el módulo de corte por primera vez, se dijo que cuando se aplican fuerzas en sentidos contrarios a las superficies de un objeto existe una deformación en el objeto, donde el esfuerzo está dado por:

St=F t

A(1)

La deformación de corte se define como:

ε t=∆ xh

=tanθ≈θ (2)

Donde el módulo de corte está dado por la fórmula:

M=S t

εt

=St

θ(3)

Ahora interesa saber que es lo que sucede con una barra sujeta a una base fija, de la cual cuelga un disco de cierta masa “m”, donde el disco es girado a determinados grados.

Lo que podemos observar es que el disco al ser girado provoca una fuerza tangencial a la superficie del alambre de acero, puesto que la barra está sujeta a una base fija. Si observamos la fig. 1 vamos a ver que estas fuerzas provocan una deformación de corte en el alambre.Lo podemos apreciar mejor en la siguiente figura:

Fig. 1

En la figura anterior dr representa el espesor de la barra y dA representa el área de de cada longitud 2πr .Sabemos que cuando el ángulo θ está en radianes ∆ x=rθ ------ (4).Por otro lado el esfuerzo va a estar definido por:

S=dFdA

= dF2πrdr (5)

Es decir, estamos considerando un elemento muy pero muy pequeño de la barra.De igual forma por (4) se tiene la deformación unitaria como:

ε=∆ xh

=rθh (6)

Reescribiendo el módulo de corte obtenemos la siguiente expresion:

M=S t

εt

=

dF2πrdr

rθL

=dFL

2π r2θdr(7)

Donde:

dF= M 2π r2θdrL

(8).

Ya sabemos que el momento de torsión está dado por:dτ=rdF (9)

Aplicando la ecuación 8 obtenemos.

dA

dr

dτ=rM 2π r2θdr

L= M 2 π r3θdr

L(10)

Como queremos saber el momento de torsión para toda la barra, integramos:

τ=∫0

RM 2πθ

Lr3dr= M 2 πθ

L∫0

R

r3dr=M 2πθL

r 4

4=Mπθ R4

2 L (11)

Tenemos que en este sistema se cumple la ley de Hooke, pues cuando se gira el disco a cierto desplazamiento angular θ desde su posición en reposo y es soltado oscila alrededor de esa posición en un movimiento armónico simple angular, en consecuencia existe una torca restauradora dada por la siguiente ecuación:

τ=−kθ------ (12)Donde k se denomina constante de torsión.

Si despejamos M de (11) y (12) se obtiene:

M= 2kL

π R4 (13)

Como la ecuación (12) es del tipo Hooke podemos calcular el periodo de un oscilador armónico simple angular:

T=2π √ Ik

(14)

Está ecuación también se denomina periodo de un péndulo de torsión.

De esta ecuación resulta que:

k=4 π2 IT 2 (15).

De igual manera como las practicas anteriores nos será útil realizar cada ajuste, por lo que mencionamos sólo las ecuaciones necesarias para los valores de a y b, pues formalmente ya se introdujo a este tema en las practicas anteriores y sería redundante volver a realizar todo el desarrollo. Así que:

a=∆a∆

=∑ x i y i (n )−∑ x i (∑ y )∑ xi

2 (n )−∑ xi (∑ x i ) --------- (16)

b=∆b∆

=∑ x i

2 (∑ y i )−∑ x i y i (∑ x i)∑ x i

2 (n )−∑ xi (∑ x i ) -------- (17).

Parte experimental.

Lista de material.Vernier.

Flexómetro.

Cronómetro.

Báscula.

Disco de acero

Arreglo experimental.

Sobre un soporte fijo se colocaq una barra de acero de forma que en la parte inferior de la barra se colgó un disco, el cual tenía medidas distintas en grados.Justo en la marca de cero grados se instalo un soporte vertical que tenía en la parte superior una aguja, Fue acomodado de manera que la aguja coincidiera con la marca de la posición inicial del disco.

Ilustración.

Procedimiento.Primeramente se midió la longitud del cable de acero, por medio de un flexómetro. Después utilizando el vernier de midió el diámetro del cable de acero.Luego se coloco la aguja del soporte, justamente en la marca inicial del disco.Se giro el disco cierto desplazamiento angular y con el cronómetro se midió el tiempo de 10 oscilaciones que daba el disco entre la posición del desplazamiento y la posición inicial.Así se tomaron 5 mediciones en diferentes desplazamientos, para luego hacer los cálculos.Repetimos este procedimiento tres veces con otros cables de diferente diametro y misma aleación.

Datos.Cable 1

l1=0,764m

R=2.1×10−3mR '=0,255mm=4,258kg

I=12

mR ' 2=0,363kg ∙m2

Tabla 1n teta(º) t(s) T=t/10 K M1 10 29.97 2.997 0.159548555 638423935562 20 29.55 2.955 0.164116177 656700998343 30 29.37 2.937 0.16613398 664775115124 40 29.17 2.917 0.168419938 673922240025 50 29.02 2.902 0.170165512 68090704989

Cable 2

l2=0.764R=2.95×10−3mR '=0,255mm=4,258kg

I=12

mR ' 2=0,363kg ∙m2

Tabla 2n teta(º) t(s) T=t/10 K M1 10 29.62 2.962 0.163341392 167842389442 20 28.87 2.887 0.171938366 176676258763 30 27.43 2.743 0.190464809 195713213004 40 26.65 2.665 0.201777127 207337250595 50 25.24 2.524 0.224950861 23114955454

Cable 3

l3=0.764R=3.3×10−3mR '=0,255mm=4,258kg

I=12

mR ' 2=0,363kg ∙m2

Tabla 3n teta(º) t(s) T=t/10 K M1 10 29.72 2.972 0.16224404 166714798482 20 29.02 2.902 0.170165512 17485455319

3 30 28.34 2.834 0.178429505 183346266234 40 27.56 2.756 0.188672209 193871216545 50 27.12 2.712 0.19484398 20021305459

Ángulo-Constante de torsión

Ahora con estas graficas vamos a proponer una ecuación para poder ajustar las graficas poder el ajuste por minimos cuadrados.

Nuestra ecuación será:

y=ax+b

donde, a=θ y b=K para todos los experimentos vamos a utilizar la misma ecuación entonces obtenemos las siguientes tablas:

Cable 1

Tabla 4

∑ x (º ) ∑ y (N ∙m) ∑ x2(º2) ∑ xy (N ∙m∙ º)

150 0.828384162 5500 25.10690162

Grafica 1

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 550.15

0.155

0.16

0.165

0.17

0.175

(º)θ

K(N)

a=∆a∆

=∑ x i y i (n )−∑ x i (∑ y )∑ xi

2 (n )−∑ xi (∑ x i )=¿0.000255377( N ∙m

rad )

b=∆b∆

=∑ x i

2 (∑ y i )−∑ x i y i (∑ x i)∑ x i

2 (n )−∑ xi (∑ x i )=¿0.15801553( N ∙m)

Cable 2

Tabla 5

∑ x (º ) ∑ y (N ∙m) ∑ x2(º2) ∑ xy (N ∙m∙ º)

150 0.952472556 5500 30.10475369

Grafica 2

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 550

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

(º)θ

K(N)

a=∆a∆

=∑ x i y i (n )−∑ x i (∑ y )∑ xi

2 (n )−∑ xi (∑ x i )=¿0.001530577( N ∙m

rad )

b=∆b∆

=∑ x i

2 (∑ y i )−∑ x i y i (∑ x i)∑ x i

2 (n )−∑ xi (∑ x i )=¿0.144577201( N ∙m)

Cable 3

Tabla 6

∑ x (º ) ∑ y (N ∙m) ∑ x2(º2) ∑ xy (N ∙m∙ º)

150 0.894355246 5500 27.66772314

Grafica 3

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 550

0.050.1

0.150.2

0.25

(º)θ

K(N)

a=∆a∆

=∑ x i y i (n )−∑ x i (∑ y )∑ xi

2 (n )−∑ xi (∑ x i )=¿0.000837066( N ∙m

rad )

b=∆b∆

=∑ x i

2 (∑ y i )−∑ x i y i (∑ x i)∑ x i

2 (n )−∑ xi (∑ x i )=¿0.153759076( N ∙m)

Ángulo-Módulo de corte.

Consideramos las columnas θ y M de la tabla 1, 2 y 3 se toma x i=θi y y i=M i.Graficando los puntos nos dimos cuenta de que tenía el carácter de una recta.Así que se realizo el ajuste por mínimos cuadrados para una recta, en donde se calcularon todos los parámetros necesarios para establecer el valor de a y el valor de b.

Cable 1

Tabla 7.

∑ x ( º) ∑ y (N

m2) ∑ x2 ( º2) ∑ xy (

N

m2rad )

150 3.31473E+11 5500 1.00464E+13

Grafica 4

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55610000000006200000000063000000000640000000006500000000066000000000670000000006800000000069000000000

(º)θ

M(N/m^3)

a=∆a∆

=∑ x i y i (n )−∑ x i (∑ y )∑ xi

2 (n )−∑ xi (∑ x i )=¿102187470.4

N

m2 ∙ rad

b=∆b∆

=∑ x i

2 (∑ y i )−∑ x i y i (∑ x i)∑ x i

2 (n )−∑ xi (∑ x i )=¿63228962668

N

m2

Cable 2

Tabla 8.

∑ x ( º) ∑ y (N

m2) ∑ x2 ( º2) ∑ xy (

N

m2rad )

150 97871866634 5500 3.09343E+12

Grafica 5

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 550

5000000000

10000000000

15000000000

20000000000

25000000000

(º)θ

M(N/m^3)

a=∆a∆

=∑ x i y i (n )−∑ x i (∑ y )∑ xi

2 (n )−∑ xi (∑ x i )=¿157275322

N

m2 ∙ rad

b=∆b∆

=∑ x i

2 (∑ y i )−∑ x i y i (∑ x i)∑ x i

2 (n )−∑ xi (∑ x i )=¿14856113666

N

m2

Cable 3

Tabla 9.

∑ x ( º) ∑ y (N

m2) ∑ x2 ( º2) ∑ xy (

N

m2rad )

150 91899988903 5500 2.84301E+12

Grafica 6

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 550

5000000000

10000000000

15000000000

20000000000

25000000000

(º)θ

M(N/m^3)

a=∆a∆

=∑ x i y i (n )−∑ x i (∑ y )∑ xi

2 (n )−∑ xi (∑ x i )=¿86013175.57

N

m2 ∙ rad

b=∆b∆

=∑ x i

2 (∑ y i )−∑ x i y i (∑ x i)∑ x i

2 (n )−∑ xi (∑ x i )=¿15799602514

N

m2

Conclusiones.

Primeramente se obtuvo una idea más clara entre los diferentes tipos de módulos, en especial entre el módulo de Young y el módulo de corte.

De igual forma se encontró un nuevo fenómeno físico que cumple con la ley de Hooke.

Además se entendió la relación que existe entre el módulo de corte de un material y el oscilador armónico simple angular.

Se entendió el comportamiento del disco al ser girado desde su posición inicial.

Comprendimos la relación que existe entre el movimiento del disco y la ley de Hooke.

Por otro lado se pudo ver por medio de las gráficas lo que ocurría con la constate de torsión y con el módulo de corte, a medida que el disco oscilaba en diferentes ángulos.

Bibliografía.

David Halliday, Robert Resnick, Jearl WalkerJorge Humberto Romo.Fundamentos de Física, 8ª Edición.México, Grupo editorial patria, 2011, 560p.

YOUNG, HUGH D. y ROGER A. FREEDMANFísica universitaria volumen 1. Decimosegunda ediciónPEARSON EDUCACIÓN, México, 2009, 760p.

Laboratorio de Física 2.Practicas de Física 2.Profesor Francisco Chávez Varela.