RELACIONES BINARIAS-MATEMATICA

7/28/2019 RELACIONES BINARIAS-MATEMATICA

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INSTITUTO SUPERIOR PEDAGGICOMARIA MONTESSORI

R.M. 226-87-ED; D.S. 14-94 ED. R.D. 3109

Relaciones Binarias

ESTUDIANTES:

Choque Mamani Carmen rosa

Apaza Huaman Milagros

ESPECIALIDAD : EDUCACIN COMUNICACIN INICIAL

SEMESTRE : Tercero

AREQUIPA PER2013


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PRESENTACIN

Producto cartesiano. Relaciones. Distintas representaciones de las relaciones:

grfico cartesiano, matr icial. Grafos y digrafos. Dominio y Recorrido. Relaciones

binarias: propiedades. Relacione s de equivalencia. Relacin inversa y relacin

complementaria. Clases de equivalencia. Relaciones de orden. Orden amientos

totales y parciales. Diagramas de ordenamiento. Ltices. Ltices booleanos.

RELACIONES BINARIAS

PAR ORDENADO

Las partes de un par ordenado son:

Primer conjunto

Primer componente

Segundo conjunto

Segundo componente

Del siguiente par ordenado (a, b) podemos decir que:

a es el primer componente del primer conjunto y;

b como el segundo componente del segundo conjunto.

Matemticamente esto se expresa:

y se lee: El producto deA con B, es el conjunto de los pares ordenados (x,y) talesquexpertenece aA e ypertenece a B.

PRODUCTO CARTESIANO

Definimos los conjuntos:

Obtenemos el producto cartesiano de A por B, colocando en una tabla los elementos delconjunto A en el eje horizontal y los de B en vertical, en la interseccin colocamos los paresordenados correspondientes, percatarse que en el par ordenado, en primer lugar se colocael elemento de A, del eje horizontal y en segundo lugar el de B, del eje vertical.


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2

5

3

2

(1,5) (4,5) (6,5)

(1,3) (4,3) (6,3)

(1,2) (4,2) (6,2)

A X B 1 2 3

La enumeracin de los elementos, del conjunto de pares ordenados, seria el siguiente:

RELACIN BINARIA, SUBCONJUNTO DEL PRODUCTO CARTESIANO

Visto del producto cartesiano de A por B, podemos definir una relacin binaria, por

ejemplo: mayor que, que se puede expresar:

que por extensin resulta:

Donde los pares ordenados que definen la relacin binaria son un subconjunto del productocartesiano de los conjuntos.2

CLASIFICACIN

La importancia en matemticas de las relaciones binarias, se debe a que una gran parte delas asociaciones entre elementos de conjuntos, tanto numricos como no numricos, sehace de dos en dos elementos, tanto si son elementos de un nico conjunto o de dosconjuntos distintos, en el esquema se puede ver algunas estructuras algebraicas o subtiposde relacin binaria. Emplearemos este esquema para ver estos casos.

En primer lugar diferenciamos las relaciones binarias homogneas de las heterogneas, en

las primeras la relacin binaria se establece entre los elementos de un nico conjunto, por loque en realidad lo que determina es su estructura interna, mientras que en las segundas seestablecen relaciones entre dos conjuntos distintos, lo que da lugar a operaciones ofunciones matemticas de clculo, una relacin homognea puede ser tratada comoheterognea con los mismos subtipos, pero no al contrario .
http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-2http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-2http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-2http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-2


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RELACIN HOMOGNEA

Una relacin binaria entre dos conjuntos se llama homognea si estos dos conjuntos soniguales:

Dado que A y B son el mismo conjunto, se suele representar:

O bien:

RELACIN HETEROGNEA

Una relacin binaria entre dos conjuntos A y B, se llama heterognea si A es distinto de B:3

RELACIN BINARIA HOMOGNEA

Como ya se defini antes, una relacin binaria homognea es la que se da entre loselementos de un nico conjunto, llamando A al conjunto, tendramos:
http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-3http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-3http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-3http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-3


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Si la Relacin binaria es entre los elementos de un nico conjunto, dado que los distintostipos de relacin que se pueden determinar entre sus elementos tomados de dos en dos,determina la estructura del conjunto, lo veremos con un ejemplo:

Dado el conjunto A:

y la relacin entre los elementos de este conjunto, representada en la figura, se puede verque solo hay un conjunto, el A y que la relacin entre los elementos es interior al conjunto,en este caso representado por las flechas.

En este caso podemos decir, como enumeracin de las relaciones entre los elementos delconjunto A.

o como conjunto de pares ordenados:

Tambin podemos representar una relacin binaria homognea comouna correspondencia de Asobre A:

Tomando como conjunto inicial al conjunto A y como final tambin el conjunto A, nospermite asociar un elemento inicial a otro final dentro de un mismo conjunto, determinando

una operacin o funcin de clculo y no una estructura interna, teniendo siempre en cuenta,que si bien el conjunto inicial y final son un mismo conjunto, la relacin es unidireccional, y
http://es.wikipedia.org/wiki/Correspondencia_matem%C3%A1ticahttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Relaci%C3%B3n_binaria_12.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Relaci%C3%B3n_binaria_11.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Relaci%C3%B3n_binaria_12.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Relaci%C3%B3n_binaria_11.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Relaci%C3%B3n_binaria_12.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Relaci%C3%B3n_binaria_11.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Relaci%C3%B3n_binaria_12.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Relaci%C3%B3n_binaria_11.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Relaci%C3%B3n_binaria_12.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Relaci%C3%B3n_binaria_11.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Relaci%C3%B3n_binaria_12.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Relaci%C3%B3n_binaria_11.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Relaci%C3%B3n_binaria_12.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Relaci%C3%B3n_binaria_11.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Relaci%C3%B3n_binaria_12.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Relaci%C3%B3n_binaria_11.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Correspondencia_matem%C3%A1tica


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si el elemento a est relacionado con el b no implica, necesariamente, que el b lo este conel a.

En este caso el anlisis de la relacin binaria se hace segn los distintos tipos decorrespondencia con el mismo significado que en las relaciones heterogneas

Representacin de una relacin binaria como subconjunto del producto cartesiano:

Dado el producto de pares ordenados (x, y), donde x, y pertenecen a A, la relacinbinaria ser el subconjunto de que contiene todos los pares de elementosrelacionados.

Si el producto es:

El conjunto R de la relacin binaria se representa:

Ntese que en el eje horizontal se representa el conjunto inicial, y en el eje vertical elconjunto final.

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES BINARIAS HOMOGNEA

Una relacin binaria puede tener ciertas propiedades, segn los pares ordenados queformen parte de dicha relacin o no formen parte de ella, veamos algunas:

PROPIEDAD REFLEXIVA

Una relacin tiene la propiedad reflexiva, si todo elemento esta relacionado consigo mismo,si no todos los elementos del conjunto estn relacionados consigo mismo se dice que larelacin no es reflexiva.

Para todo elemento a que pertenezca al conjunto A, el par ordenado (a, a) pertenece a larelacin binaria R.

Tngase en cuenta que debe cumplirse para todos los elementos del conjunto sinexcepcin, si esta propiedad solo se da en algunos casos la relacin no es reflexiva:

No existe ningn elemento a en A, para el que el par ordenado (a, a) no pertenezca a la

relacin R. Puede verse que estas dos afirmaciones son iguales.


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PROPIEDAD IRREFLEXIVA

Una relacin binaria tiene la propiedad irreflexiva, tambin llamada: antirreflexiva oantirrefleja, si ningn elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo:

Que tambin puede expresarse

No existe ningn elemento a en el conjunto A que cumpla que: (a,a) pertenezca a R.

PROPIEDAD SIMTRICA

Una relacin binaria tiene la propiedad simtrica, si se cumple que un parordenado (a,b) pertenece a la relacin entonces el par(b,a)tambin pertenece a esarelacin:

Para todo par ordenado (a,b) que pertenezca a R, implica que el par(b,a) tambinpertenece a R, tngase en cuenta que si el par(a,b)no pertenece a la relacin elpar(b,a) tampoco tiene que pertenecer a esa relacin:

No existe ningn par ordenado (a,b) que pertenezca a R y que el par(b,a) no pertenezcaa R.

PROPIEDAD ANTISIMTRICA

Una relacin binaria se dice que tiene la propiedad antisimtrica si los paresordenado (a,b) y (b,a) pertenecen a la relacin entonces a = b:

Dicho de otra manera, no existen los elementos a, b distintos, y que a este relacionadocon b y b este relacionado con a

PROPIEDAD TRANSITIVA

Una relacin binaria tiene la propiedad transitiva cuando, dado los elementos a, b, c delconjunto, si a esta relacionado con b y b esta relacionado con c, entonces a estarelacionado con c:


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PROPIEDAD TOTAL

Una relacin binaria se dice que es total: si para todo elemento del conjunto: a, b; o a estarelacionado con b b esta relacionado cona, esto es el grafo de la relacin es conexo:

RELACIN BIEN FUNDADA

Dado un conjunto A y una relacin R, entre los elementos de ese conjunto, esta relacin sedice bien fundada, si para todo subconjunto B de A se cumple que existe un m en B talque para todo b de B, y b distinto de m, el par ordenado (b,m) no pertenece aR.

Esto es para todo subconjunto B de A, existe un m en B, que es el elemento mnimo de esesubconjunto.

CLASES DE LAS RELACIONES BINARIAS HOMOGNEA

Partiendo de las propiedades que una relacin binaria homogneas puede tener, se puedendiferenciar algunas por su especial inters:

RELACIN REFLEXIVA

La propiedad reflexiva de una relacin binaria es el inicio para los casos ms elaborados,

tngase en cuenta que las relaciones binarias no reflexivas y las irreflexivas son casos muy

particulares muy poco estudiados, por su poca importancia en los casos ms generales.

Las relaciones reflexivas son las definidas as:
http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica


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Dado un conjunto A, y una relacin binaria R entre sus elementos

Se dice que esta relacin binaria es relacin reflexiva, si cumple:

1.- Relacin reflexiva: la relacin R es reflexiva si todo elemento a de A esta relacionado

consigo mismo.

El caso ms claro de propiedad reflexiva es la de igualdad, as dado un conjunto de

nmeros, los naturales por ejemplo, y la propiedad de igualdad entre nmeros, tenemos que

todo nmero natural es igual a s mismo.

Dado un conjunto A, formado por los siguientes elementos:

Y una relacin R entre los elementos del conjunto, definida as:

Podemos ver que los pares ordenados que tienen sus dos trminos iguales pertenecen a la

relacin:

Luego la relacin R es reflexiva.

La relacin R, tambin se puede representar en coordenadas cartesianas.
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:RelaRef_11.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:RelaRef_01.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:RelaRef_11.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:RelaRef_01.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:RelaRef_11.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:RelaRef_01.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:RelaRef_11.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:RelaRef_01.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:RelaRef_11.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:RelaRef_01.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:RelaRef_11.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:RelaRef_01.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:RelaRef_11.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:RelaRef_01.svg


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En el eje horizontal (ordenadas) representamos el conjunto inicial, de izquierda a derecha, y

en el eje vertical(abscisas) el conjunto final, de abajo a arriba, si un determinado par

pertenece a la relacin se coloca una cruz en la casilla correspondiente, si no pertenece se

deja en blando, representando de este modo en coordenadas cartesianas la relacin

binaria.

En la diagonal principal, inferior izquierda, superior derecha, corresponde a los pares

ordenados en los que sus dos elementos son iguales, si todas las casillas de esta diagonaltienen aspas, la relacin es reflexiva

Como puede verse en el diagrama, la relacin estudiada es reflexiva, dado que:

Para todo elemento e del conjunto A, el par ordenado (e,e) pertenece a la relacin R.

En cualquiera de las tres formas de representacin vistas: enumeracin de pares

ordenados, donde los pares (e,e) pertenecen a la relacin, el diagrama sagital, con una

flecha que sale y llega a cada elemento del conjunto, o en coordenadas cartesianas, donde

hay cruces en la diagonal principal, en todos los casos se representa una relacin reflexiva,

en la que todo elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo.

RELACIN NO REFLEXIVA

Los casos ms estudiados de relaciones binarias homogneas son las que cumplen la

propiedad reflexiva, una relacin que no cumple la propiedad reflexiva es no reflexiva, un

caso particular de relacin no reflexiva son las relaciones irreflexivas, en las que ningn

elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo. Puede verse que si en una relacinbinaria algunos elementos estn relacionados consigo mismo y otros no, la relacin no es

reflexiva y tampoco es irreflexiva. Ver diagrama:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:RelaRef_21.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:RelaRef_21.svg


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Las relaciones irreflexivas son un caso particular de las no reflexivas.

Una correspondencia es unvoca si cumple la condicin de unicidad de imagen:

Dada una relacin binarias heterognea R, entre los conjuntoAyB:

Esta relacin es una correspondencia unvoca, si cumple:

1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condicin de unicidad de imagen

si los elementos a deAque tienen imagen, tienen una sola imagen:

Esta condicin en necesaria y suficiente para que una correspondencia sea considerada

unvoca.

Correspondencia biunvoca

Una correspondencia es biunvoca si cumple las condiciones de unicidad de imagen y

unicidad de origen:


Esta relacin es una correspondencia biunvoca, si cumple:




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2.- Unicidad de origen: se dice que cumple la condicin de unicidad de origen si

los elementosb de B que tienen origen, tienen un solo origen:

Aplicacin

Una correspondencia se denomina aplicacin si todo elemento de A admite una

unica imagen en B.7891011, esto es si cumple la condicin de unicidad de imagen y de

existencia de imagen.

Si la aplicacin la representamos como R, tendremos:

por la que definimos una aplicacin que a cada elemento a de A se le asigna un unico b de B.

Para todo a de A, se cumple que existe un nico b de B, tal que b es el resultado R(a).

El trmino funcin se suele utilizar cuando los conjuntos inicial y final son numricos.12

Una funcin es el trmino usado para indicar la relacin o correspondencia entre dos o ms

cantidades.13


Esta relacin es una aplicacin, si cumple:


http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-7http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-7http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-8http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-8http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-9http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-9http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-10http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-10http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-11http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-11http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-11http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-12http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-12http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-12http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-13http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-13http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-13http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-13http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-12http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-11http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-10http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-9http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-8http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria#cite_note-7


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2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la condicin de existencia de

imagen si para todos los elementos a deAexiste al menos una imagenb en B:

Si una correspondencia cumple estas dos condiciones se denomina aplicacin.

Aplicacin inyectiva

Una correspondencia es una aplicacin inyectiva si cumple la condicin de unicidad de

imagen, existencia de imagen y unicidad de origen.


Esta relacin es una aplicacin inyectiva, si cumple:

1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condicin de unicidad de imagensi los elementos a deAque tienen imagen, tienen una sola imagen:





Como puede verse una aplicacin que cumple la condicin de unicidad de origen es una

Aplicacin inyectiva.


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De otra forma no tan usual, podemos decir que una correspondencia biunvoca que cumpla la

condicin de existencia de imagen tambin es una aplicacin inyectiva.

Aplicacin sobreyectiva

Una correspondencia se llama Aplicacin sobreyectiva si cumple la condicin de unicidad de

imagen, existencia de imagen y existencia de origen:


Esta relacin es una aplicacin sobreyectiva, si cumple:





3.- Existencia de origen: se dice que cumple la condicin de existencia de origen

si para todos los elementosb de B existe al menos un origen a enA:

Se puede decir que una aplicacin sobreyectiva, es una aplicacin que cumple la condicin de

existencia de origen.

Aplicacin biyectiva

Una correspondencia es una aplicacin biyectiva si cumple las condiciones de unicidad de

imagen, existencia de imagen, unicidad de origen y existencia de origen:


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Esta relacin es una aplicacin biyectiva, si cumple:







4.- Existencia de origen: se dice que cumple la condicin de existencia de origen

si para todos los elementosb de B existe al menos un origen a enA:

Una Aplicacin es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva.

Propiedades

Las relaciones binarias pueden tener o no estas propiedades. R ser:

Relacin simtrica

Relacin antisimtrica

Relacin reflexiva
http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_sim%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_antisim%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_reflexivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_reflexivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_antisim%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_sim%C3%A9trica


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Relacin irreflexiva

Relacin transitiva

Relacin intransitiva

Relacin circular

Relacin total

BIBLIOGRAFA

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