CONTENIDO:

Universidad Fermín Toro

Extensión Cabudare – Lara

Ingeniería Eléctrica

0 3 / 0 7 / 2 0 1 5

V o l u m e n 1 , n º 1

Estudiantes:

Kendrys Méndez

C.I: 19.454.323

RELACIONES

BINARIAS

RELACIONES BINA-

RIAS

DOMINIO Y RANGO

DE LAS RELACIO-

2

REPRESENTACION

GRAFICA DE LAS RE-

LACIONES

3

MATRICES BINA-

RIAS

4

RELACION INVERSA

COMPOSICION DE

RELACIONES

5

DOMINIO Y RANGO

RELACION BINARIA

Llamamos relación

binaria a la relación R

existente entre dos ele-

mentos a y b, de dos

conjuntos A y B res-

pectivamente. Indican-

do que el elemento a

está relacionado con

b .

Esta relación se puede

denotar de diversas

formas:

1.Como pares ordenados

(a,b)

2.Indicando que aRb.

3.Como una mezcla de

los dos anteriores R(a,b).

Ejemplo:

Sea el conjunto A= {el

conjunto de los números

naturales}, una relación

binaria del conjunto de A

sobre sí mismo puede ser,

R= ser múltiplo de.

De tal forma que, por ejem-

plo 4 está relacionado con 2

(es decir, 4 es un múltiplo

de 2), por tanto escribimos

4R2 o (4,2).

Ejemplo: Sea A = {1; 2; 3} , B = {2; 4}

AxB = {(1, 2); (1, 4); (2, 2); (2, 4); (3, 2); (3,

4)}

R1 = {(x, y) Î AxB / x ³ y} = {(2, 2); (3, 2)}

El dominio y rango de la relaciones definidas

en el ejemplo anterior es:

Dom R1 = { 2; 3}

Im R1 = {2}

pertenecen a la rela-

ción. Se indica con:

Dom R ó DR.

Imagen o Rango de

una Relación

Definición: Se llama

Imagen o rango de

una relación, al con-

junto de las segundas

componentes de los

pares ordenados que

pertenecen a la rela-

ción. Se indica con: Im

R ó IR.

Dominio de una Re-

lación

Definición: Se llama

Dominio de una rela-

ción, al conjunto for-

mado por las primeras

componentes de los

pares ordenados que

REPRESENTACION GRAFICA DE RELACIONES

P Á G I N A 3

Los pares ordenados se

pueden representar gráfi-

camente por medio de dia-

gramas sagitales o por

medio de puntos en el pla-

no cartesiano.

Mediante un diagrama

cartesiano:

En este caso se consideran

como abscisas las primeras

componentes y como orde-

nadas las segundas

componentes. Mediante

paralelas a los ejes traza-

dos por los puntos de divi-

sión se forma una cuadrí-

cula cuyos elementos son

los vértices de un producto

cartesiano; de estos se se-

ñalan los que pertenecen a

la relación R.

Ejemplo:

Mediante un diagrama

Sagitales:

En ella se utilizan dia-

gramas de Venn para re-

presentar los conjuntos

de partida y de llegada y

se unen los pares ordena-

dos mediante flechas.

Ejemplo:

Consideremos los con-

juntos A = {1,2,3,4} y

B = {1,2,4,6,7,8,9}

Establezcamos entre A y B

la relación R: "es la mi-

tad de”.

Representamos esta rela-

ción siguiendo las indica-

ciones anteriores de dia-

grama sagital.

MATRIZ BINARIA

P Á G I N A 4

Una matriz binaria, es una disposición

rectangular de dígitos binarios (0, 1),

formada por m filas y n columnas; y al

igual que las matrices algebraicas se di-

ce que tienen un orden m x n. Si el

número de filas es igual al de columnas,

se dice que la matriz es cuadrada. Se

denota por letras mayúsculas .

Operaciones con Matrices Binarias

a. Matriz Unión

Sean A = [aij] y B = [bij] matrices bina-

rias m x n, se llama matriz unión de A y

B; y se denota por

A Ú B, a la matriz cuyo elemento (i, j)

es aij Ú bij.

Para poder efectuar la matriz unión, am-

bas matrices deben tener el mismo or-

den.

b. Matriz Intersección

Sean A = [aiJ] y B = [biJ] matrices bina-

rias m x n, se llama matriz intersección

de A y B; y se denota por A Ù B, a

la matriz cuyo elemento (i, j) es aiJ Ù

biJ.

Para poder efectuar la matriz intersección,

ambas matrices deben tener el mismo orden.

c. Producto Binario de Matrices

Sean A = [aiJ] y B = [biJ] matrices binarias de

orden m x k, y k x n respectivamente. El

productor binario de A y B, denotado por A

Ä B, es la matriz m x n cuyo elemento (i, j)

es ciJ, donde:

ciJ = (ai1 Ù b1J) Ú (ai2 Ùb2J) Ú .....

Para poder efectuar el producto binario de

matrices, el número de columnas de la matriz

A debe ser igual al número de filas de la ma-

triz B. Se realiza de forma análoga al produc-

to ordinario de matrices, pero se sustituye la

suma por Ú y el producto por Ù.

Ejemplo Se consideran los conjuntos

y , y se define

la relación

(es decir, si y sólo si ). Entonces,

la matriz asociada a es

RELACION INVERSA

Las relaciones inversas son el

equivalente matemático de un sub-

e y baja. En una relación inversa,

cuando un número sube, el otro

baja. O un número es multiplicado

mientras que el otro es dividido.

Relaciones inversas de conjun-

tos

Definición: Dada una relación R

se define “ relación inversa de R”

al conjunto de pares ordenados in-

vertidos (en el orden de sus com-

ponentes) respecto de R. Se indica

con: :

(a,b) Î R ó (b,a) Î R-1

Ejemplo:

Si U = { x, y, z} V = { 4, 5, 6, 7 }

y R Ì X x Y es dado por:

R= { (x, 6) , (x, 4) , (y, 4) , (z, 7) }

R-1= { (6, x) , ( 4, x) , (4, y) , (7, z) }

COMPOSICION DE RELACIONES

Sea una relación de A en B y una relación de B en C. La compo-

sición de y es una relación consistente de los pares ordenados (a,

c), donde a A y c C y para los cuales existe un b B tal que (a, b)

y (b, c) , es decir a b y b c.

Ejemplo:

a) Sea A={1, 2, 3}, B={1, 2, 3, 4} y C={0, 1, 2} y sean

={(1, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 1), (3, 4)}

={(1 ,0),(2, 0), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}

Entonces ={(1, 0), (3, 0), (1, 1), (3, 1), (2, 1), (2, 2)}