Apuntes de Matem¶aticas II - linux0.unsl.edu.arlinux0.unsl.edu.ar/~joviedo/MatesII/LIBRO.pdf ·...

Apuntes de Matematicas II

Ruth Martınez-Valenzuela y Jorge Oviedo

1994

Indice General

1 Conjuntos, Relaciones y Aplicaciones 31.1 Nocion de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Pares ordenados y producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Relaciones binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2 Relaciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.3 Elementos maximales, elementos minimales . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Correspondencias y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Espacio Euclıdeo: Estructura algebraica 192.1 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Subespacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.2 Combinaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.3 Dependencia e independencia lineal de vectores . . . . . . . . . . . . . . 242.1.4 Base y dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Matrices y Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.1 El espacio vectorial de las matrices Mm×n(IR) . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.2 Producto de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.3 Determinante: propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Aplicaciones Lineales 353.1 Transformaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Sistemas de Ecuaciones Lineales 414.1 Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.1 Sistemas lineales homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.1.2 Sistema Lineales no homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5 Vectores Propios y Formas cuadraticas 475.1 Valores propios y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2 Diagonalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2.1 Diagonalizacion Ortogonal. Matrices Simetricas . . . . . . . . . . . . . . 515.3 Formas cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3.1 Clasificacion de las formas cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1

2 INDICE GENERAL

6 El espacio euclıdeo: estructura topologica 596.1 Funciones de IRn en IRm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.1.1 Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.1.2 Representacion grafica. Curvas y superficies de nivel . . . . . . . . . . . 61

6.2 Lımite y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.2.1 Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.2.2 Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.2.3 Definicion de lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.2.4 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7 La derivada en IRn 717.1 La derivada de una funcion escalar respecto de un vector . . . . . . . . . . . . . 717.2 Derivadas direccionales y derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.2.1 Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.2.2 Derivadas direccionales y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.3 Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.3.1 Condicion suficiente de diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.3.2 Diferenciabilidad de funciones vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.3.3 Diferenciabilidad y derivacion de funciones compuestas . . . . . . . . . . 81

8 Ejercicios Adicionales 87

Bibliografıa 108

Apendice 109

Capıtulo 1

Conjuntos, Relaciones yAplicaciones

1.1 Nocion de conjunto

Como ya sabemos un conjunto es una coleccion de distintos objetos que reciben el nombrede elementos. Un conjunto esta bien definido si tenemos un criterio por el cual podemosdeterminar si un elemento pertenece al conjunto o no. Si un elemento x pertenece al conjuntoA, escribiremos x ∈ A.

Existen dos alternativas para escribir un conjunto una es por descripcion y la otra porenumeracion. En la primera, lo que se da es una propiedad que caracteriza a todos loselementos del conjunto y en la segunda se dan todos los elementos. Si queremos escribir elconjunto A formado por todos los numeros naturales mayores que 2 y menores que 8 podemosescribirlo por enumeracion como

A = {3, 4, 5, 6, 7}y por descripcion

A = {x ∈ IN : 2 < x < 8}Si damos el conjunto S = {x ∈ IR : 2 < x < 8}, o en forma abreviada S = {x : 2 < x < 8},estamos indicando al conjunto de todos los numeros reales mayores que 2 y menores que 8.Por ejemplo, 5

2 ∈ S pero, 52 /∈ A, esta ultima relacion se lee 5

2 no pertenece al conjunto A. Alconjunto que no tiene ningun elemento lo llamamos conjunto vacıo y lo denotamos por ∅.

Tambien podemos relacionar conjuntos, por ejemplo, podemos decir que los conjuntos Ay S, dados arriba, son distintos pues no tienen los mismos elementos. Pero observamos quecualquier elemento de A tambien es un elemento de S y esto lo escribimos como A ⊂ S, se leeA esta contenido en S o A esta incluıdo en S o A es un subconjunto de S. A esta relacion sele llama relacion de inclusion. Formalmente

A ⊂ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B)

Si todo elemento de A pertenece a B y existe un elemento b que pertenece a B y no pertenecea A, diremos que A⊂/B y se lee A esta contenido estrictamente en B.

Si A ⊂ B y B ⊂ A, diremos que A = B, es decir

A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A

Podemos concluir, que la relacion de pertenencia relaciona elementos con conjuntos (x ∈ A)y la relacion de inclusion relaciona conjuntos, (A ⊂ B).

3

4 CAPITULO 1. CONJUNTOS, RELACIONES Y APLICACIONES

1.1.1 Operaciones con conjuntos

Las operaciones de union, interseccion y diferencia de conjuntos se definen como sigue

A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}

A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}

A − B = {x : x ∈ A ∧ x /∈ B}

es decir, que dichas operaciones nos dan como resultado otro conjunto.

Ejemplo 1.1.1 Si A = {1, 3, 5, 7} y B = {1, 2, 3, 4, 5}, tenemos

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7}

A ∩ B = {1, 3, 5}

A − B = {7}

B − A = {2, 4}

Ejemplo 1.1.2 Si A ⊂ B , entonces A ∪ B = B , A ∩ B = A y A − B = ∅. Queda comoejercicio la demostracion.

Cuando tenemos una familia de conjuntos, A1, A2, ..., An, la union e interseccion de dichosconjuntos se representan, respectivamente,⋃n

i=1 Ai = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An⋂ni=1 Ai = A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An

Dado un subconjunto A de U, se llama complemento de A respecto de U al conjunto deelementos de U que no pertenecen a A. Lo indicaremos por Ac al complemento respecto deU , si este es el conjunto universal o referencial, es decir

Ac = {x : x /∈ A}Si U no es el conjunto referencial, al complemento lo indicaremos por

CUA = {x ∈ U : x /∈ A}en particular

CUU = ∅

CU∅ = U

No es difıcil demostrar las siguientes afirmaciones

(a) (Ac)c = A

(b) A ⊂ B ⇔ Bc ⊂ Ac

1.2. PARES ORDENADOS Y PRODUCTO CARTESIANO 5

(c) A ∪ Ac = U (U es el conjunto referencial)

(d) A ∩ Ac = ∅(e) (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

(f) (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

Si consideramos todos los subconjuntos de un conjunto E, obtenemos el conjunto P(E)definido por

P(E)={A : A ⊂ E}Si E = {1, 2, 3}, tenemos que

P(E)={∅, {1} , {2} , {3} , {1, 2} , {1, 3} , {2, 3} , E}Si el conjunto E tiene n elementos, entonces P(E) tiene 2n elementos.

1.2 Pares ordenados y producto cartesiano

Como ya sabemos los conjuntos {a, b} y {b, a} son iguales, no importa el orden con queaparecen los elementos a y b . En muchos casos, es significativo el orden en que aparecen loselementos a y b, y en este caso estamos en presencia de lo que se llama par ordenado, que loindicaremos por (a, b). Al primer elemento del par ordenado se le llama primera componente oprimera coordenada, en forma analoga al segundo elemento. Dos pares ordenados son igualessi son iguales componente a componente, es decir:

(a, b) = (c, d) ⇐⇒ a = c ∧ b = d

por lo tanto si a 6= b tenemos que {a, b} = {b, a} , pero (a, b) 6= (b, a).

Ejemplo 1.2.1 Con la edad y el peso de cada estudiante de una clase podemos formar paresordenados (e, p), en los que el primer elemento indica la edad de un alumno y la segundacoordenada indica su peso. El par (15, 52) indica que hay un estudiante de 15 anos que pesa52 kilos, en cambio el par (52,15) es obviamente distinto al primero, ademas no creo que hayaningun estudiante que se ajuste a esas caracterısticas.

Podemos extender el concepto de par ordenado a n − uplas ordenadas (a1, a2, ..., an).

Definicion 1.2.1 Dados dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A y B, yse representa por A × B, a otro conjunto al que pertenecen todos los pares ordenados que sepuedan formar con los elementos de A y de B.

A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}En forma analoga podemos definir producto cartesiano de tres o mas conjuntos

A1 × A2 × ... × An = {(a1, a2, ..., an) : a1 ∈ A1 ∧ ... ∧ an ∈ An}Ejemplo 1.2.2 El producto cartesiano de A = {1, 2, 3} y B = {a, b} es

A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}Los productos cartesianos se suelen representar mediante diagramas cartesianos o sagitales.La representacion correspondiente al ejemplo (1.2.2) estan dadas en las figuras 1.1 y 1.2


b

a

1

(3,b)

2 3

(1,a)

(1,b)

(2,a)

(2,b)

(3,a)

Fig. 1.1: Diagrama cartesiano

b

1

2

3

a

Fig. 1.2: Diagrama sagital

1.3 Relaciones binarias

Nosotros conocemos relaciones entre elementos, entre conjuntos y entre elementos y conjun-tos. Por ejemplo, existen relaciones de amistad entre personas; relaciones de inclusion entreconjuntos; relaciones de “mayor” entre numeros; relaciones de paralelismo entre rectas de unplano, etc. Ahora estudiaremos estos sucesos.

Definicion 1.3.1 Una relacion binaria R definida en un conjunto A es un subconjunto delproducto cartesiano A × A.

Escribiremos aRb para indicar que “a y b estan relacionados segun la relacion binaria R”Segun la definicion, dos elementos estaran o no relacionados segun la relacion binaria R,

si la pareja formada por ellos pertenece o no a R, es decir:

aRb ⇐⇒ (a, b) ∈ R

es decirR = {(x, y) ∈ A × A : xRy}

Ejemplo 1.3.1 (a) La perpendicularidad entre las rectas de un plano es una relacion binaria,porque dadas dos rectas cualesquiera, se puede saber si son o no perpendiculares.

(b) La inclusion entre conjuntos entre los elementos de P(U).(c) La relacion “es madre de” es una relacion binaria entre personas.(d) “≤ ” es una relacion binaria definida en los numeros reales.

Como dijimos en producto cartesiano, podemos representar a las relaciones mediante losdiagramas cartesianos o sagitales. Vamos a ver a continuacion las propiedades que puede teneruna relacion binaria:

Una relacion binaria R definida en un conjunto A es

(a) Reflexiva: si ∀a, aRa

(b) Simetrica: si ∀a, ∀b, ( aRb ⇒ bRa)

(c) Transitiva: si ∀a, ∀b, ∀c, ( aRb ∧ bRc ⇒ aRc)

(d) Antisimetrica: si ∀a, ∀b, ( aRb ∧ bRa ⇒ a = b)

(e) Completa: si ∀a, ∀b, ( aRb ∨ bRa)

Ejemplo 1.3.2 Analizemos el ejemplo (1.3.1)

1.3. RELACIONES BINARIAS 7

Reflexiva Simetrica Transitiva Antisimetrica CompletaP ×In × × ×Ma≤ × × × ×

Ejercicio 1.3.1 Justifica las respuestas dadas en el ejemplo (1.3.2).

1.3.1 Relaciones de equivalencia

Definicion 1.3.2 Si R es una relacion binaria definida en A , se dice que es una relacion deequivalencia si cumple las propiedades reflexiva, simetrica y transitiva.

Ejemplo 1.3.3 Sea IR++ = {x ∈ IR : x > 0} el conjunto de todos los numeros reales posi-tivos. Definimos en el conjunto IR++ × IR++ la relacion binaria G como sigue:

(x, y)G(x′, y′) ⇔ xy′ = x′y

G es claramente una relacion de equivalencia, en efecto:

• es reflexiva porque xy = yx (recuerda que el producto de numeros reales es conmutativo),por lo tanto, (x, y)G(x, y),

• es simetrica porque ((x, y)G(x′, y′) ⇔ xy′ = x′y ⇔ x′y = xy′ ⇔ (x′, y′)G(x, y))

• es transitiva (demostrarlo)

Definicion 1.3.3 Una particion F de un conjunto A es una familia de subconjuntos de A,no vacıos, dos a dos disjuntos y tal que

⋃M∈F M = A

Dada una relacion de equivalencia ≈ definida en un conjunto A y un elemento a ∈ A,definimos la clase de equivalencia de a como

[a] = {x ∈ A : x ≈ a}Es claro que si b /∈ [a] , entonces [a] ∩ [b] = ∅ . Ademas si b ∈ [a] , entonces [a] = [b] . Se puededemostrar que una clase de equivalencia ≈ definida en un conjunto A origina una particion deA. Los subconjuntos que forman la particion son las clases de equivalencias. A esta particionse la denota por A/ ≈, es decir

A/ ≈= {[a] : a ∈ A}A la particion que origina ≈ se le llama conjunto cociente.

Ejemplo 1.3.4 Sea ZZ y la relacion ≈ definida por

m ≈ n ⇔ ∃p ∈ ZZ : m − n = 2p

Aca tenemos solamente dos clases de equivalencia, la [0] que es el conjunto de todos losnumeros cuyo valor absoluto es un numero par y [1] que es el conjunto de aquellos cuyo valorabsoluto es un numero impar . Por lo tanto:

ZZ/ ≈= {[0] , [1]}


Ejercicio 1.3.2 Dos clases de equivalencia o son disjuntas o coinciden.

Ejercicio 1.3.3 Idem al ejemplo (1.3.4), pero definimos

m ≈ n ⇔ ∃p ∈ ZZ : m − n = 3p

¿Cuales son las clases de equivalencia?

1.3.2 Relaciones de orden

Definicion 1.3.4 Una relacion binaria R se dice que es una relacion de orden si posee laspropiedades reflexiva, transitiva y antisimetrica.

Ası como las relaciones de equivalencia nos permite clasificar a un conjunto, las relacionesde orden nos permite ordenar a los conjuntos donde esta definida. Cuando en un conjuntodefinimos una relacion de orden, diremos que dicho conjunto esta ordenado respecto a larelacion de orden dada. Hay dos ejemplos muy conocidos:

Ejemplo 1.3.5 Consideremos la relacion “⊂ ” definida en el conjunto P(U), donde U ={1, 2, 3}

P(U)={∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} , {1, 2, 3}}La relacion de inclusion dada es una relacion de orden (verifıcala), por lo tanto podemosordenar el conjunto P(U):

∅ ⊂ {1} ⊂ {1, 2} ⊂ U∅ ⊂ {1} ⊂ {1, 3} ⊂ U∅ ⊂ {2} ⊂ {1, 2} ⊂ U∅ ⊂ {2} ⊂ {2, 3} ⊂ U

y ası sucesivamente.

Ejemplo 1.3.6 El conjunto de los numeros naturales IN queda ordenado si definimos en ella relacion “ ≤ ”

1 ≤ 2 ≤ 3... ≤ n ≤ ...

Si analizamos los dos ejemplos podemos observar que en el ejemplo (1.3.6) tenemos que dadocualquier par de elemento m y n naturales se cumple que

m ≤ n ∨ n ≤ m (1.1)

es decir que todos los elementos de IN son comparables, en cambio, en el ejemplo (1.3.5)existen elementos no comparables, por ejemplo {1} no esta contenido en {2}, ni {2} estacontenido en {1}. Es decir, ambos conjuntos pertenecen a P(U) y no estan relacionados por⊂ . Por (1.1) tenemos que ≤ es una relacion binaria completa.

Definicion 1.3.5 Diremos que una relacion de orden R, definida en un conjunto A es deorden total, o que ordena totalmente al conjunto A si dicha relacion es completa, es decir, quetodos los elementos de A son comparables.


Las relaciones de orden que no son totales se les denomina relaciones de orden parcial ydecimos que el conjunto esta parcialmente ordenado. Por lo analizado en los ejemplos (1.3.5)y (1.3.6), observamos que la relacion ⊂ define un orden parcial en P(U) y la relacion ≤ ordenatotalmente a IN.

Definicion 1.3.6 Una relacion binaria R definida en un conjunto A, que cumple las propiedadesreflexiva y transitiva, se dice que es un preorden.

Ejemplo 1.3.7 Sea ZZ el conjunto de los numeros enteros, definamos en el la siguienterelacion binaria

R = {(a, b) ∈ ZZ × ZZ : a|b}Esta relacion no es de orden pues no es antisimetrica, ya que

2| − 2 ∧ −2|2 siendo − 2 6= 2

pero si es un preorden.

Si R es una relacion de orden definida en un conjunto A, y se verifica que aRb, diremosque “a esta relacionada con b segun la relacion R” (cuidando mucho el orden con que semencionan a y b) o tambien que “a es anterior a b segun la relacion R” o “a precede a b segunla relacion R”, o que “b es posterior a a” o que “b es sucesor de a”. Diremos que “a precedeestrictamente a b” si ocurre:

aRb ∧ a 6= b

En el ejemplo (1.3.5) tenemos, por ejemplo, que {1} es anterior a {1, 2} , pero no es anteriora {2, 3} . Podrıamos representarlo mediante “flechas”, como lo muestra la figura 1.3:

{1,2,3}

{2,3}{1,3}

{1}

{1,2}

{2} {3}

0Fig. 1.3

{1, 2, 3}↗↖

{1, 2} {2, 3}↗↖ ↗↖

{1} {2} {3}↖↑↗∅

Fig .1 .3

Observando la grafica podemos deducir que {3} precede a {2, 3}, pero no a {1, 2} y que{3} precede a {1, 2, 3} (por propiedad transitiva).


Ejercicio 1.3.4 Demostrar que la siguiente relacion binaria R definida en IR2 es una relacionde orden

(a, b)R(c, d) ⇔ a ≤ c ∧ b ≤ d

Definicion 1.3.7 Dado un preorden R , definido en A y B ⊂ A, diremos que a ∈ A es unacota superior de B si se cumple que para todo x ∈ B implica que xRa.

Ejemplo 1.3.8 En el ejemplo (1.3.5) tenemos que U = {1, 2, 3} es cota superior de P(U),pues

∀A ∈P(U),A ⊂ U

Ejercicio 1.3.5 Dado el conjunto de los numeros naturales y la relacion de orden “≤ ”,demostrar que IN no es un conjunto acotado superiormente con dicha relacion de orden, perosı esta acotado superiormente por la relacion “≥ ”.

Si un conjunto posee una cota superior decimos que dicho conjunto es acotado superior-mente.

Definicion 1.3.8 Dado un preorden R , definido en A y B ⊂ A, diremos que b ∈ A es cotainferior de B cuando para todo elemento x ∈ B, se cumple que bRx.

Si un conjunto posee una cota inferior decimos que dicho conjunto es acotado inferiormente.

Ejemplo 1.3.9 Definamos en IN la relacion de orden “ ≤ ” y sea INp = {n ∈ IN : ∃m ∈ IN∧n = 2m}, es decir INp es el conjunto de los numeros pares. 1 es cota inferior pues 1 ≤ n paratodo n ∈ INp, tambien 2 es cota inferior.

Definicion 1.3.9 Dado un preorden R , definido en A y B ⊂ A un conjunto acotado supe-riormente, diremos que s ∈ A es el supremo de B cuando para toda cota superior b de B secumple que sRb, es decir, el supremo de B es la menor de las cotas superiores. Indicaremospor supB a s.

Cuando el supB ∈ B, diremos que es un maximo del conjunto B.

Definicion 1.3.10 Dado un preorden R , definido en A y B ⊂ A un conjunto acotado in-feriormente, diremos que i ∈ A es el ınfimo de B cuando para toda cota inferior b de B secumple que bRi. Indicaremos por inf B a i.

Cuando el inf B ∈ B, diremos que es un minimo del conjunto B.

Teorema 1.3.1 Si R es un orden definido en A y B es un suconjunto de A, el elementomaximo de B, si existe, es unico.

Demostracion: Supongamos que hay dos maximos, x y x′. Dado que x y x′ son elementosque pertenecen a B, si x es un elemento maximo de B se ha de verificar, por definicion, x′Rx.De la misma manera, si x′ es un elemento maximo de B se ha de verificar xRx′. Por propiedadantisimetrica implica que x = x′. ♦Ejemplo 1.3.10 Definamos en IN la relacion de orden “ ≤ ” y sea B = {n ∈ IN : 5 ≤ n ≤ 17}.El conjunto de las cotas superiores es {n ∈ IN : n ≥ 17} (¿Porque?) y supB = 17. El conjuntode las cotas inferiores es {1, 2, 3, 4, 5} (¿Porque?) y el inf B = 5.

Cuando un conjunto es acotado superiormente e inferiormente decimos que dicho conjuntoes acotado. El conjunto dado en el ejemplo (1.3.10) es un conjunto acotado.


1.3.3 Elementos maximales, elementos minimales

Definicion 1.3.11 Sea A un conjunto y R un preorden definido en el:

(a) Si existe un elemento a de A tal que

[x ∈ A ∧ aRx] ⇒ x = a

se dice que a es un elemento maximal de A.

(b) Si existe un elemento a de A tal que

[x ∈ A ∧ xRa] ⇒ x = a

se dice que a es un elemento minimal de A.

Dicho de otra manera, un elemento de A es maximal si no hay en A elementos que lesucedan estrictamente, y es minimal si no hay en A elementos que le precedan estrictamente.

Observacion 1.3.1 Si R es una relacion de orden, es evidente que si A tiene un maximo,entonces dicho elemento es un maximal; y es unico. En forma analoga, si A tiene un mınimo,entonces dicho elemento es un minimal; y es unico.

rm Demostracion: La siguiente demostracion vale lo mismo si cambiamos maximos pormınimos y maximales por minimales.

Para probar que a es un maximal debo mostar que

x ∈ A ∧ aRx ⇒ x = a

sea x ∈ A que cumple que aRx, como a es un maximo (por hipotesis) entonces xRa. Es decirx y a cumplen que

xRa ∧ aRx

esto implica (por ser antisimetrica R) que a = x como querıamos probar.

Observacion 1.3.2 Si un conjunto es totalmente ordenado y si a es un elemento maximal,entonces a es unico, por lo que deducimos que es un maximo. (En forma analoga vale esteresultado para elemento minimal).

Mostraremos que a es unico. Sean a1, a2 ∈ A dos elementos maximales entonces por serR una relacion completa se cumple que

a1Ra2 ∨ a2Ra1

si ocurre que a1Ra2 entonces por ser a1 maximal se cumple que a1 = a2. Sı a1 no esta enrelacion con a2 entonces tenemos que a2Ra1 (por ser R completa) entonces por ser a2 maximaltenemos que a2 = a1. Esto prueba la primer parte.

Veamos que a es maximo. Debemos ver que

∀x ∈ A ⇒ xRa

Sea x ∈ A un elemento arbitrario (x 6= a). Por ser R completo tenemos que

xRa ∨ aRx


Si aRx por ser a maximal (por hipotesis) implica que a = x pero esto contradice que a 6= x.Por lo tanto xRa.

Podemos observar que la nocion de elemento maximal y minimal nos interesa solamentepara aquellos conjuntos parcialmente ordenados.

En el ejemplo (1.3.5) tenemos que ∅ es un elemento minimal y es mınimo; ademas, U esel maximo.

Ejemplo 1.3.11 Sea A el conjunto de todos los seres humanos y R la relacion binaria quedice que dos seres humanos, x e y estan relacionados si se verifica una de las dos condicionessiguientes:

(a) x e y son la misma persona(b) x es descendiente de y

Sea B = {Daniel,Juan,Marıa,Rita,Pablo} el conjunto de seres humanos que viven en unamisma villa. Daniel es hijo de Juan y Rita, y Pablo es hijo de Marıa y Daniel. En lasfiguras 1.4 y 1.5 se ha representado esta relacion en un diagrama cartesiano y una de flecha,respectivamente.

P ×R × × ×M × ×J × × ×D × ×

D J M R P

Fig.1.4

Juan Rita↖↗

Maria Daniel↖↗Pablo

Fig.1.5

Dada esta relacion, vemos que Marıa, Rita y Juan son elementos maximales, pues no hayninguna persona en el conjunto B que les sigan, es decir que ellos no son descendientes deninguna persona que vive en la villa. Pablo es un minimal y mas aun, es un mınimo pues esel unico minimal del conjunto B.

1.4 Correspondencias y aplicaciones

La nocion de relacion binaria se puede extender al caso en que asociamos elementos de conjun-tos diferentes, para este caso hablaremos de correspondencia entre elementos de un conjuntoA y un conjunto B.

Una correspondencia entre los conjuntos A y B no es mas que una regla que nos permiteasociar a los elementos de A con elementos de B.

Definicion 1.4.1 Una correspondencia Φ entre dos conjuntos A y B es un subconjunto delproducto cartesiano, Φ ⊂ A × B.

Si el par ordenado (a, b) ∈ Φ, diremos que al elemento a ∈ A le asociamos al elemento b ∈ By escribiremos b ∈ Φ(a). La imagen del elemento a se define como el conjunto de todos loselementos de B que estan asociados al elemento a. Formalmente, Φ(a) = {b ∈ B : (a, b) ∈ Φ} .

Ejemplo 1.4.1 Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y definamos la correspondencia Φcomo sigue:

(a, b) ∈ Φ ⇔ b ≥ 2a

Graficamente podemos representarla mediante el siguiente diagrama:

1.4. CORRESPONDENCIAS Y APLICACIONES 13

1

2

3

4

6

5

1 2 3 4

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

(2,4)

(2,5)

(2,6) (3,6)

Fig.1.6

Por ejemplo Φ(2) = {4, 5, 6}, tambien podemos decir que 3 ∈ Φ(1). Podemos observar queΦ(4) = ∅

Definimos la preimagen de un elemento b ∈ B como el conjunto de los elementos delconjunto A que estan asociados a el. Por ejemplo 5 tiene como preimagen al 1 y al 2. For-malmente, la preimagen de b ∈ B es el conjunto Φ−1(b) = {a ∈ A : (a, b) ∈ Φ}. Es decir,Φ−1(5) = {1, 2}.

Al conjunto A lo llamaremos conjunto de partida y al B conjunto de llegada. Una corres-pondencia del conjunto A al B es denotado por Φ : A → B. Dado un conjunto U ⊂ A, suimagen segun la correspondencia Φ esta definida como Φ(U) = {b ∈ B : ∃a ∈ U ∧ b ∈ Φ(a)} .El dominio de una correspondencia Φ es el conjunto de puntos del conjunto de partida de talmanera que no tengan imagen vacıa. En nuestro ejemplo tenemos que domΦ = {1, 2, 3}. Elrecorrido o imagen de una correspondencia es el conjunto de puntos del conjunto de llegadaque tienen una preimagen no vacıa. Formalmente, recΦ = {b ∈ B : ∃a ∈ A ∧ b ∈ Φ(a)}

Definicion 1.4.2 Sea Φ : A → B una correspondencia. Se dice que Φ es

– Inyectiva si ∀a, ∀a′, (a 6= a′ ⇒ Φ(a) ∩ Φ(a′) = ∅)– Suprayectiva (o exhaustiva) si ∀b ∈ B,∃a ∈ A, b ∈ Φ(a)

– Unıvoca si ∀b, b′ ∈ B, (b ∈ Φ(a) ∧b′ ∈ Φ(a) ⇒ b = b′)

– Semiunıvoca si ∀a ∈ A, (Φ(a) ∩ Φ(a′) 6= ∅ ⇒ Φ(a) = Φ(a′))

– Biyectiva (o biunıvoca) si es unıvoca, inyectiva, suprayectiva y el domΦ = A

a

b

c

Φ1

2

3

a

b

c

1

2

3

a

b

1

2

3

Γ Ψ

Fig. 1.7


En la figura 1.7, la correspondencia Φ es semiunıvoca, inyectiva , no unıvoca y suprayectiva,la Γ es biyectiva y la Ψ no es inyectiva. Entre las correspondencias, caben destacar por suimportancia las llamadas aplicaciones o funciones

Definicion 1.4.3 Una aplicacion o funcin f : A → B es una correspondencia unıvoca.

En la figura 1.7, Γ y Ψ son aplicaciones, pero la Φ no lo es pues no es unıvoca. Consideremoslas correspondencias f : A → B y g : B → C tal que recf ∩ domg 6= ∅, podemos encontraruna tercera corresponcia h : A → C, definida por

h(a) = g(f(a))

y que normalmente denotamos por h = g ◦ f, llamada composicion de correspondencias y selee g compuesta con f . La composicion de aplicaciones o funciones no es nada mas que uncaso particular de composicion de correspondencias.

a b

h

A B C

c

fg

Fig.1.8

Ahora nos dedicaremos a estudiar funciones donde el dominio son subconjuntos de IRn y laimagen subconjuntos de IR.

Ejemplo 1.4.2 Sea f : IR → IR tal que para todo x ∈ IR, f(x) = x2 . La grafica de dichafuncion en un sistema de coordenadas cartesianas esta dada en la figura 1.9.

-2 -1 1 2x

1

2

3

4

y

Fig. 1.90.5 1 1.5 2

X

1

2

3

4

Y

Fig. 1.10

Como el cuadrado de cualquier numero real es no negativo, tenemos que el recf = {y :y ≥ 0}. A la grafica de la dada funcion f se le llama parabola.


Ahora si consideramos

Ejemplo 1.4.3 Sea g : IR+ → IR tal que para todo x ∈ IR, g(x) = x2 . La representaciongrafica de dicha funcion en un sistema de coordenadas cartesianas esta dada en la figura 1.10

La funcion dada en el ejemplo (1.4.2) no es igual a la dada en el ejemplo (1.4.3), pues eldomf 6= domg.

Ejemplo 1.4.4 Sea f : IR → IR tal que para todo x ∈ IR, y = f(x), definida por y2 −x2 = 1.Grafiquemos dicha correspondencia en un sistema de coordenadas cartesianas

-3 -2 -1 1 2 3x

-3

-2

-1

1

2

3

y

Fig. 1.11

Esta correspondencia no es una funcion pues no es unıvoca ya que 1 y −1 son imagenesdiferentes de 1, es decir

f(1) = {−1, 1}A la grafica de esta correspondencia se le llama hiperbola.

Ejercicio 1.4.1 Sea f : IR → IR+, definida como en el ejemplo (1.4.4). Realiza la grafica ydemuestra que es una funcion.

Ejemplo 1.4.5 Sea f : IR2 → IR tal que para todo (x, y) ∈ IR2, z = f(x, y), definida porz = 2x+3y− 2. La figura 1.12 nos muestra la representacion de dicha funcion en un sistemade coordenadas cartesianas (la grafica de esta funcion es lo que llamamos plano).

-2

-1

0

1

2

X -1

0

1

Y

-10

-5

0

5

Z

-2

-1

0

1

2

X -1

0

1

Y

-10

-5

0

5

Figura 1.12


Ejemplo 1.4.6 Sea f : IR2 → IR tal que para todo (x, y) ∈ IR2, z = f(x, y), definida porz = x2 + y2. La grafica de dicha funcion en un sistema de coordenadas cartesianas estarepresentada en la figura 1.13,es lo que llamamos paraboloide. Aca se puede observar que larecf = IR+.

-2-1

0

1

2

X

-2

-1

01

2

Y

0

2

4

6

8

Z

-2-1

0

1

2

X

-2

-1

01

2

Y

0

2

4

6

8

Figura 1.13

Ejemplo 1.4.7 Sea f : IR2 → IR tal que para todo (x, y) ∈ IR2, z = f(x, y), definida porz − x2 + y2 = 1. Las figuras 1.14a y 1.14b corresponden a esta funcions. Ambas graficascorresponden a la misma funcion, pero de diferente punto de vista y es la que llamamoshiperboloide.

-2

-1

0

1

2

X -1

0

1

Y

-2

0

2

4

Z

-2

-1

0

1

2

X -1

0

1

Y

-2

0

2

4

Fig.1.14a


-2-1

0

1

2

X -1

0

1

Y

-2

0

2

4

Z

-2-1

0

1

2

X -1

0

1

Y

2

0

2

4

Fig.1.14b

Capıtulo 2

Espacio Euclıdeo: Estructuraalgebraica

2.1 Espacios vectoriales

Diremos que un conjunto no vacıo E tiene una estructura de espacio vectorial sobre el cuerpode los numeros reales o simplemente E es un IR-espacio vectorial o E es un espacio vectorialsi satisface las siguientes condiciones:

1. Se ha definido una operacion binaria interna (suma), + : E × E → E que cumple lassiguientes propiedades:

(a) Asociativa: ∀x,y, z ∈E,x + (y + z) = (x + y) + z

(b) Conmutativa: ∀x,y ∈E,x + y = y + x

(c) Elemento neutro: ∃0 ∈E, ∀x ∈ E,x + 0 = x

(d) Elemento simetrico: ∀x ∈ E, ∃y ∈E,x + y = 0

2. Se ha definido una operacion binaria externa . : IR × E → E que cumple las siguientespropiedades:

(a) Distributiva: ∀x,y ∈E, ∀α ∈ IR, α(x + y) = αx + αy

(b) Distributiva: ∀x ∈E, ∀α, β ∈ IR, (α + β)x = αx + βx

(c) Asociativa: ∀x ∈E, ∀α, β ∈ IR, α(βx) = (αβ)x

(d) ∀x ∈E, 1x = x

Al elemento simetrico de un vector x se denota por -x. Si tenemos x + (−y), se usa lanotacion x − y.

Es sencillo comprobar que el espacio euclıdeo IRn con las operaciones de suma de vectoresy el producto de un vector por un escalar es un espacio vectorial sobre el cuerpo de losnumeros reales. El elemento neutro es el vector nulo, 0 = (0, 0, ..., 0) y, dado un vectorx = (x1, x2, ..., xn), el simetrico es el vector -x = (−x1,−x2, ...,−xn) .

Nota 2.1.1 Oζ es un Oζ-espacio vectorial, pero Oζ no es un IR-espacio vectorial.

Nota 2.1.2 El conjunto de las funciones reales continuas son un IR-espacio vectorial.

19

20 CAPITULO 2. ESPACIO EUCLIDEO: ESTRUCTURA ALGEBRAICA

2.1.1 Subespacios Vectoriales

Definicion 2.1.1 Sea E un espacio vectorial y L ⊂ E un subconjunto no vacıo. Diremos queL es un subespacio vectorial de E si se satisfacen las siguientes condiciones:

(a) ∀x,y ∈L,x + y ∈ L

(b) ∀α ∈ IR, ∀x ∈L, αx ∈ L

Es facil demostrar que un subespacio vectorial L es un espacio vectorial sobre el cuerpode los numeros reales.

Ejemplo 2.1.1 Sea L = {(x, y) : y = 2x}, L es un subespacio vectorial de IR2, pues

Sean x = (x1, 2x1) ∈ L , y = (y1, 2y1) ∈ L y α ∈ IR

x + y = (x1 + y1, 2x1 + 2y1) = (x1 + y1, 2(x1 + y1))αx = (αx1, α2x1) = (αx1, 2αx1)

(2.1)

por lo obtenido en (2.1) y de acuerdo a la definicion (2.1.1) podemos concluir que L es unsubespacio vectorial de IR2. Ver figura (2.1a)

y=2x

4

3

2

1

-1

-2

-2 -1 1 2 3

y

x

Fig. 2.1a

y=2

4

3

2

1

-1

-2

-2 -1 1 2 3

y

x

Fig. 2.1b

Ejemplo 2.1.2 Sea L = {(x, y) : y = 2}, L no es un subespacio vectorial de IR2, pues

Sean x = (x1, 2) ∈ L , y = (y1, 2) ∈ L y α ∈ IR

x + y = (x1 + y1, 2 + 2) = (x1 + y1, 4) (2.2)

por lo obtenido en (2.2) y de acuerdo a la definicion (2.1.1) parte (a) podemos concluir que Lno es un subespacio vectorial de IR2. Ver figura (2.1b)

Proposicion 2.1.1 Si L y S son dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial E, lainterseccion L ∩ S tambien lo sera.

2.1. ESPACIOS VECTORIALES 21

Demostracion: L∩S 6= ∅, pues 0∈ L∩S. Comprobemos que se cumple la definicion (2.1.1):Sean x ∈ L ∩ S y y ∈ L ∩ S, por definicion de interseccion de conjuntos tenemos que x ∈ Ly y ∈ L, ademas como L es un subespacio vectorial entonces x + y ∈ L y αx ∈L. En formaanaloga se demuestra que x + y ∈ S y αx ∈S. Por lo tanto x + y ∈ L ∩ S y αx ∈L ∩ S yresulta que L ∩ S es un subespacio vectorial.

Ejercicio 2.1.1 Si L y S son dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial E, L ∪ S¿es un subespacio vectorial?. Si la respuesta es afirmativa, demuestralo, caso contrario da uncontraejemplo.

2.1.2 Combinaciones lineales

Definicion 2.1.2 Diremos que el vector z ∈IRn es combinacion lineal del conjunto de vectores{x1,x2, ...,xm} de m vectores de IRn si existen m numeros reales α1, α2, ..., αm tales que

z = α1x1 + α2x2 + ... + αmxm =m∑

i=1

αixi

Ejemplo 2.1.3 Por ejemplo los vectores y = (4, 3) y z = (−1, 103 ) son combinaciones lineales

de los vectores x1= (2,−2) y x2 = (3, 4). Al vector y lo podemos expresar como combinacionlineal de x1 y x2 : y = 1

2x1 + x2. Y el vector z = −1x1 + 1

3x2. Ver la figura siguiente

x

2

1

4

3

2

1

-1

-2

5-2 -1 1 2 3 4

x

xyz

y

Fig. 2.2

Uno de los problemas que deberemos resolver es, dado un vector z determinar si el es ono combinacion lineal de un conjunto dado de vectores. Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2.1.4 Comprobemos que el vector z =(2,−3) es combinacion lineal de los vectoresx1 y x2 dados en el ejemplo (2.1.3). Si existe la combinacion lineal, deben existir escalaresλ1 y λ2 tales que

(2,−3) = λ1(2,−2) + λ2(3, 4) (2.3)

de (2.3) obtenemos


2λ1 + 3λ2 = 2

−2λ1 + 4λ2 = −3

Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos que λ1 = 1714 y λ2 = −1

7 y por lo tantoz = 17

14x1 − 1

7x2.

Ejemplo 2.1.5 Veamos si el vector z =(2,−3) es combinacion lineal de los vectores y1 =(−1, 2) y y2 = (1

2 ,−1). Si suponemos que existe la combinacion lineal, entonces deben existirescalares λ1 y λ2 tales que

(2,−3) = λ1(−1, 2) + λ2(12,−1) (2.4)

es decir, −λ1 + 1

2λ2 = 2

2λ1 − λ2 = −3

este sistema de ecuaciones no tiene solucion, es decir no existen escalares λ1 y λ2 talesque verifiquen (2.4), por lo tanto, z no es combinacion lineal de los vectores dados. Esto lopodemos observar en la figura 2.3

2

4

3

2

1

-1

-2

5-2 -1 1 2 3 4

y

x

-3

y

zy

1

Fig. 2.3

Notacion 1 Sea E un espacio vectorial y A ={x1,x2, ...,xn

} ⊆ E. Al conjunto de todas lascombinaciones lineales posibles con los vectores de A lo representaremos por < A >, es decir:

< A >=< x1,x2, ...,xn >=

{n∑

i=1

αixi : αi ∈ IR ∧ xi ∈ A, ∀i ∈ {1, ..., n}}

(2.5)


y diremos que < x1,x2, ...,xn > es el conjunto generado por los vectores de A.

Proposicion 2.1.2 Sea E un espacio vectorial y A ={x1,x2, ...,xn

} ⊆ E. El conjunto detodas las combinaciones lineales posibles con los vectores de A es un subespacio vectorial deE.

Demostracion: Es evidente que < A > es un subconjunto de E y es distinto del ∅, pues0 ∈< A >. Veamos que se cumplen las dos condiciones para que sea un subespacio vectorial:

(a) Sean x=n∑

i=1αixi y y=

n∑i=1

βixi, ambos vectores pertenecen a < A > pues son com-

binaciones lineales de los vectores de A. Si hacemos la suma, obtenemos

x + y =n∑

i=1

(αi + βi)xi

como (αi + βi) ∈ IR, tenemos que x + y ∈< A >

(b) Sean x=n∑

i=1αixi y γ ∈ IR

γx =n∑

i=1

γαixi

como γαi ∈ IR, para todo i, tenemos que γx ∈< A >

Por lo tanto < A > es un subespacio vectorial de E. •

Ejercicio 2.1.2 El conjunto de los vectores

(a) A = {λ(1, 0) : λ ∈ IR}(b) B = {α1(1, 0) + α2(1, 0) : α1, α2 ∈ IR}

¿son subespacios de IR2?.Desde un punto de vista geometrico, ¿Que espacio vectorial es A? ¿Y B?.

Ejemplo 2.1.6 Sea el espacio vectorial < (1, 0, 1), (1, 1, 0) >, decidir si los vectores (1,0,0)y (1,-1,2) pertenecen o no al espacio dado.

Solucion: Para saber si (1,0,0) pertenece al espacio dado, este vector debe ser una combi-nacion lineal de los vectores generadores, es decir, deben existir escalares tales que

(1, 0, 0) = α1(1, 0, 1) + α2(1, 1, 0)

o lo que es lo mismo α1 + α2 = 1

α2 = 0α1 = 0

es facil ver que este sistema de ecuaciones es incompatible, por lo tanto, no exiten talesescalares. Concluımos que (1, 0, 0) /∈< (1, 0, 1), (1, 1, 0) > . Si hacemos lo mismo para el otrovector, tenemos


α1 + α2 = 1

α2 = −1α1 = 2

este sistema es compatible, y concluımos que (1,−1, 2) ∈< (1, 0, 1), (1, 1, 0) >, pues

(1,−1, 2) = 2(1, 0, 1) + (−1)(1, 1, 0)

Proposicion 2.1.3 Sea dado el subespacio vectorial < x1,x2, ...,xn > de E yy ∈< x1,x2, ...,xn > , entonces < x1,x2, ...,xn,y >=< x1,x2, ...,xn > .

En otras palabras, si tenemos un conjunto A de vectores que generan un subespacio vec-torial, y al conjunto le agregamos un vector y que pertenece al mismo subespacio, resulta queel espacio generado por A es el mismo que el generado por A ∪ {y} .

Ejercicio 2.1.3 Demuestra la proposicion (2.1.3).

2.1.3 Dependencia e independencia lineal de vectores

Definicion 2.1.3 Sea E un espacio vectorial sobre el cuerpo de los numeros reales. Diremosque los vectores de E, x1,x2, ...,xn son linealmente dependientes cuando existen α1, α2, ..., αn

no todos nulos, tales que se verifica:

α1x1+α2x2+... + αnxn = 0

Definicion 2.1.4 Sea E un espacio vectorial sobre el cuerpo de los numeros reales. Diremosque los vectores de E, x1,x2, ...,xn son linealmente independientes cuando no son linealmentedependientes, es decir

α1x1+α2x2+... + αnxn = 0 ⇒ α1 = α2 = ... = αn = 0

Ejemplo 2.1.7 Los vectores canonicos de IR3, e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) sonlinealmente independientes pues

α1e1+α2e2+α3e3 = 0

tiene solucion solo si α1 = α2 = α3 = 0

Ejemplo 2.1.8 Demostremos que los vectores (1, 0, 1), (0, 2, 1), (2, 2, 3) son linealmente de-pendientes. Debemos encontrar escalares no todos nulos tal que

α1(1, 0, 1) + α2(0, 2, 1) + α3(2, 2, 3) = 0

de aca obtenemos α1 + 2α3 = 02α2 + 2α3 = 0

α1 + α2 + 3α3 = 0

una de las soluciones de este sistema de ecuaciones lineales es


α1 = 2α2 = 1α3 = −1

por lo tanto, y de acuerdo a la definicion (2.1.3) tenemos que los vectores dados sonlinealmente dependientes.

Nota 2.1.3 Si en la definicion (2.1.3) alguno de los vectores xi es el vector nulo, entoncesel conjunto es linealmente dependiente.

Proposicion 2.1.4 El conjunto de vectores{x1,x2, ...,xn

}, no nulos, son linealmente de-

pendientes si, y solo si, existe un vector del conjunto tal que es combinacion lineal de losotros.

Demostracion: Primero debemos demostrar la condicion necesaria, (es decir, debemossuponer que

{x1,x2, ...,xn

}, son linealmente dependientes y debemos probar que existe un

vector del conjunto tal que es combinacion lineal de los otros.)De acuerdo a la definicion (2.1.3), tenemos que existen α1, α2, ..., αn no todos nulos, tales

que se verifica:α1x1+α2x2+... + αnxn = 0 (2.6)

Por tanto, al menos uno, αi, sera distinto de cero, luego se puede multiplicar a ambosmiembros de (2.6) por 1

αi, y nos queda

α1αi

x1+α2αi

x2+... + xi + ...+αnαi

xn = 0

y como estamos en un espacio vectorial,

xi = (−α1αi

)x1+(−α2αi

)x2+... + (−αi−1

αi)xi−1 + (−αi+1

αi)xi+1 + ... + (−αn

αi)xn

luego xi es una combinacion lineal de x1,x2, ...,xi−1,xi+1, ...,xn.Recıprocamente (condicion suficiente), si el vector xi es una combinacion lineal de x1, x2,

..., xi−1, xi+1,..., xn, entonces existen α1, α2, ...αi−1, αi+1, ..., αn , tal que verifica

xi = α1x1+α2x2+... + αi−1xi−1 + αi+1xi+1 + ...+αnxn

y si sumamos a ambos miembros -xi, obtenemos:

0 = α1x1+α2x2+... + αi−1xi−1 + (−1)xi + αi+1xi+1 + ...+αnxn

luego x1,x2, ...,xn son linealmente dependientes. •

Proposicion 2.1.5 Si a un conjunto linealmente dependiente{x1,x2, ...,xm

}de m vectores

le agregamos k vectores y1,y2,...,yk, el conjunto{x1,x2, ...,xm,y1,y2, ...,yk

}tambien es li-

nealmente dependiente.

Ejercicio 2.1.4 Demuestra la proposicion (2.1.5).

Ejercicio 2.1.5 Demuestra que todo subconjunto de un conjunto linealmente independientees linealmente independiente.


2.1.4 Base y dimension

Cuando se quieren estudiar propiedades de un espacio vectorial, muchas veces es mejor estudiarlas propiedades de “algunos” vectores del espacio vectorial y con estos vectores se estudianlas propiedades del espacio vectorial.

Definicion 2.1.5 Una base de un espacio vectorial E es un conjunto de vectores{x1,x2, ...,xn

}tales que

(a) < x1,x2, ...,xn >= E;

(b){x1,x2, ...,xn

}es linealmente independiente.

Recuerda que (a) significa que el espacio generado por{x1,x2, ...,xn

}es exactamente E.

Ejemplo 2.1.9 El conjunto de los vectores canonicos de IR3 es una base para el espaciovectorial IR3.

Solucion: En el ejemplo (2.1.7) hemos demostrado que{e1, e2, e3

}son linealmente inde-

pendiente, lo unico que nos queda por demostrar es la parte (a) de la definicion (2.1.5). Paraello debemos probar primero que < e1, e2, e3 >⊂ IR3 y luego que < e1, e2, e3 >⊃ IR3.

1. Tomemos un vector x ∈< e1, e2, e3 >, esto implica que

x =3∑

i=1

λiei

como IR3 es un espacio vectorial y ei ∈ IR3, para cada i = 1, 2, 3 tenemos que x ∈IR3.

2. Sea x=(x,y,z)∈ IR3, existen los escalares x, y, z tales que x es combinacion lineal de losvectores canonicos

x = xe1 + ye2 + ze3

por lo tanto x=(x,y,z)∈< e1, e2, e3 > .

Por 1 y 2 se tiene que < e1, e2, e3 >= IR3. Por tanto el{e1, e2, e3

}es una base para IR3.

Definicion 2.1.6 Cuando un espacio vectorial tiene una base con un numero finito de vec-tores, se dice que es un espacio de dimension finita.

Nota 2.1.4 Trabajaremos solamente con espacios vectoriales de dimension finita.

Proposicion 2.1.6 Dado un espacio vectorial E y una base B ={x1,x2, ...,xn

}, la expre-

sion de un vector respecto a la base B es unica.

Solucion: Supondremos que existen dos expresiones diferentes de un mismo vector x.Como B es una base, tenemos que existen n numeros reales α1, ..., αn, tal que

x =n∑

i=1

αixi


Como vamos a suponer que no es unica, entonces deben existir otros numeros reales λ1, ..., λn,tal que

x =n∑

i=1

λixi

luegon∑

i=1

αixi =n∑

i=1

λixi ⇒n∑

i=1

(αi − λi)xi = 0

Como B es linealmente independiente, tenemos que

(α1 − λ1) = ... = (αn − λn) = 0

Concluyendo que α1 = λ1, α2 = λ2, ..., αn = λn. •Dada esta proposicion, podemos dar la siguiente

Definicion 2.1.7 Los unicos numeros reales α1, ..., αn tales que x =n∑

i=1αixi se llaman com-

ponentes del vector x respecto de la base B.

Notacion 2 Dada la base B ={v1,v2, ...,vn

}indicaremos por [x]B a las componentes del

vector x respecto de la base B. Es decir:

[x]B =

α1

α2

αn

B

Nota 2.1.5 Dada la base canonica y cuando no tengamos ninguna duda, indicaremos a [x]Cpor x

Ejemplo 2.1.10 Dado el vector (2,-1), tenemos que las componentes respecto a la basecanonica C=

{e1, e2

}son 2 y -1, es decir

[(2,−1)]C =

[2−1

]

ahora, con respecto a la base B ={(4,−1), (0,−1

2)}

es

[(2,−1)]B =

[121

]B

Enunciaremos un importante teorema, pero no haremos la demostracion pues esta masalla del objetivo del curso.

Teorema 2.1.1 Todo espacio vectorial E 6= {0} tiene al menos una base.

Nota 2.1.6 Todo espacio vectorial E 6= {0} tiene mas de una base, es decir, una base de unespacio vectorial no es unica.

Ejercicio 2.1.6 Demuestra que {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} es tambien una base para IR3.


Ejercicio 2.1.7 Da una base para IR3 diferente de la dada anteriormente y de la basecanonica.

Proposicion 2.1.7 Si el conjunto B ={x1,x2, ...,xn

}es una base de un espacio vectorial

E y y∈ E es un vector cualquiera, el conjunto{x1,x2, ...,xn,y

}es linealmente dependiente.

Demostracion: Como B es base, entonces es un conjunto generador. Por lo visto en(2.1.3), resulta que B = B ∪ {y} sigue siendo un conjunto generador de E. El vector y escombinacion lineal de los otros vectores de B, por la proposicion (2.1.4) resulta que B eslinealmente dependiente.•

Proposicion 2.1.8 Sea A ={x1,x2, ...,xn,y

}un conjunto de vectores que genera el espacio

vectorial E y supongamos que el vector y es combinacion lineal de los otros vectores. Entoncesel conjunto reducido

{x1,x2, ...,xn

}que resulta de eliminar y continua generando a E.

Demostracion: Si y es combinacion lineal de los otros vectores se verifica

y =n∑

i=1

αixi

por otro lado, A es un conjunto generador de E, por tanto, dado cualquier vector z de Epodemos expresarlo como combinacion lineal de vectores de A,es decir

z =n∑

i=1

λixi + δy

sustituyendo y

z =n∑

i=1

λixi + δ

n∑i=1

αixi =

n∑i=1

(λi + δαi)xi

por lo que podemos concluir que cualquier vector z ∈ E es combinacion lineal del conjuntoreducido

{x1,x2, ...,xn

}.•

Proposicion 2.1.9 Sea{y1,y2, ...,yk

}un conjunto de k vectores linealmente independi-

entes en un espacio vectorial E de dimension finita. Entonces o bien el conjunto es una base,o bien se puede construir una base agregando al conjunto mas vectores.

Demostracion: Segun el teorema (2.1.1), todo espacio vectorial tiene una base. Supong-amos que

{x1,x2, ...,xm

}es una base de E. Llamemos

s0 ={y1,y2, ...,yk,x1,x2, ...,xm

}Que podemos decir de s0? Primero, por proposicion (2.1.3), tenemos que s0 es un conjunto

generador de E y por proposicion (2.1.7 ) es linealmente dependiente. Por lo tanto existencoeficientes no nulos tal que:

k∑i=1

αiyi +m∑

i=1

βixi = 0 (2.7)


En este caso algun βi es diferente de cero, pues si no fuera ası (es decir, si β1 = ... = βm = 0),la expresion (2.7) quedarıa

k∑i=1

αiyi = 0

con al menos un coeficiente no nulo, por lo tanto el conjunto{y1,y2, ...,yk

}resulta linealmente

dependiente, y esto contradice la hipotesis, por lo tanto supongamos que βi1 6= 0, por lotanto a xi1 lo podemos expresar como combinacion lineal de los otros vectores de s0. Porproposicion (2.1.8) tenemos que s1 = s0 − {

xi1}

es un conjunto generador de E. s1 tienek+m−1 vectores. Si s1 resulta linealmente independiente, ya tenemos una base que contieneal conjunto

{y1,y2, ...,yk

}y aquı quedarıa probada la proposicion. Si s1 es linealmente

dependiente, procedemos de la misma manera que s0 y obtenemos un s2 = s1 − {xi2

}que

tiene k + m − 2 vectores. Puede ocurrir que s2 es linealmente independiente, por lo tantoya tendrıamos una base y quedarıa probada la proposicion, caso contrario tenemos que s2

es generador y linealmente dependiente. Continuamos como hicimos con s1 y obtenemoss3 = s2 − {

xi3}

. El proceso de eliminacion continua a lo mas hasta obtener sm = sm−1 −{xim

}=

{y1,y2, ...,yk

}y aquı resultarıa que el conjunto dado serıa una base.•

Proposicion 2.1.10 Dos bases de un mismo espacio vectorial E tienen el mismo numerode vectores.

Demostracion: Supongamos que A ={x1,x2, ...,xm

}y B =

{y1,y2, ...,yk

}son dos bases

para E, tal que m < k. SeaA1 = A ∪

{y1

}Este conjunto tiene m + 1 vectores que contiene a una base, por (2.1.7 ) se tiene que eslinealmente dependiente y por (2.1.3) es un conjunto generador. Por argumentos analogos ala proposicion (2.1.9) existe un xi1 que es combinacion lineal de los otros elementos de A1,por lo tanto por proposicion (2.1.8) se tiene que

S1 = A1 −{xi1

}es un conjunto generador de E. Sea

A2 = S1 ∪{y2

}por razones analogas que para A1 se tiene que

S2 = A2 −{xi2

}es un conjunto generador de E. Continuando con este procedimiento, obtenemos el conjunto

Sm = Am −{xim

}=

{y1,y2, ...,ym

}que es un conjunto generador de E. Como m < k, resulta que Sm =

{y1,y2, ...,ym

} ⊂{y1,y2, ...,yk

}. Sm =

{y1,y2, ...,ym

}es linealmente independiente por ejercicio (2.1.5) y por

lo tanto es base por definicion (2.1.5). Por lo que podemos concluir que es una contradiccion,ya que por (2.1.7) resultarıa que

{y1,y2, ...,yk

}es linealmente dependiente. Por lo tanto

m = k. •De esta proposicion surge la siguiente definicion:


Definicion 2.1.8 La dimension de un espacio vectorial es el numero de vectores que formanuna base.

Nota 2.1.7 {0} ⊂ IRnes un subespacio vectorial. Por convencion, el conjunto vacıo es unabase para este espacio, y es de dimension cero.

Ejemplo 2.1.11 Como hemos visto en ejercicios anteriores, IR3 tiene dimension 3.

Ejercicio 2.1.8 Demuestra que{e1, ..., en

}es una base (llamada base canonica) para IRn,

por lo tanto IRn tiene dimension n.

2.2 Matrices y Determinantes

En esta seccion recordaremos nociones sobre matrices y determinantes1.Recordemos que una matriz es un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas.

Por ejemplo

A =

1 2 0√

2−1 5 1

3 −2√3 −√

2 −4 0

(2.8)

A es una matriz cuyos elementos son numeros reales y consta de tres filas y cuatro columnas.Diremos que dicha matriz es de orden 3×4 . Es decir, una matriz de orden m × n es unamatriz que consta de m filas y n columnas. En forma general , la indicaremos por

A = (aij)m×n

donde i = 1, ..., m y j = 1, ..., n

A =

a11 ... a1n... ...

...am1 ... amn

Por ejemplo, el elemento a23 en la matriz dada en (2.8) es 1

3 , y el a12 es 2. Podemos decir queuna matriz A es una correspondencia entre INm × INn y un conjunto E

A : INm × INn → E

donde A(i, j) = aij , donde i = 1, ..., m y j = 1, ..., nSe dira que una matriz es cuadrada cuando el numero de filas es igual al numero de

columnas.

A =

a11 ... a1n... ...

...an1 ... ann

se dira que A es de orden n. La diagonal principal esta formada por la sucesion a11, a22, ..., ann.

Definicion 2.2.1 Diremos que una matriz es diagonal, cuando son nulos todos los elementosque no pertenecen a la diagonal principal. Si ademas, los elementos de la diagonal principalson 1 diremos que es la matriz identidad y la indicaremos por In

I3 =

1 0 00 1 00 0 1

1Este tema puede ser ampliado en Howard ANTON (1991)

2.2. MATRICES Y DETERMINANTES 31

2.2.1 El espacio vectorial de las matrices Mm×n(IR)

Llamaremos por Mm×n(IR) al conjunto de todas las matrices de orden m×n cuyos elementosson numeros reales.

Definiremos a continuacion la operacion suma de matrices y producto de un escalar(perteneciente a IR) por una matriz

Definicion 2.2.2 Si (aij) y (bij) son dos matrices del conjunto Mm×n(IR)

(aij) + (bij) = (aij + bij), ∀i, j

tales que i = 1, ..., m y j = 1, ..., n.

Es decir que el elemento que ocupa el lugar (i, j) de la matriz suma se obtiene de sumarlos elementos correspondientes a las matrices sumandos. 1 2 0 2

−1 5 13 −2√

3 −√2 −4 0

+

1 −2 0 3−1 0 2

3 −2√3 −√

2 5 2

=

2 0 0 5−2 5 1 −42√

3 −2√

2 1 2

Es facil demostrar que la suma de matrices es asociativa y conmutativa. Llamaremos matriznula a la matriz cuyos elementos son todos nulos y la representaremos por (0). La matriz nulaes el elemento neutro con respecto a la suma, ya que verifica

(aij) + (0) = (0) + (aij) = (aij)

Definicion 2.2.3 El producto del escalar λ ∈ IR por la matriz (aij) ∈ Mm×n(IR) es otramatriz del mismo conjunto tal que

λ(aij) = (λaij), ∀i, j

tales que i = 1, ..., m y j = 1, ..., n.

Ejemplo 2.2.1

5

1 2−1 0−3 1

=

5 10−5 0−15 5

Las propiedades de esta operacion son las siguientes:

1. λ(A + B) = λA + λB

2. (λ + µ)A = λA + µA

3. (λµ)A = λ(µA)

4. 1A = A

Queda como ejercicio demostrar estas propiedades.

Ejercicio 2.2.1 Demostrar que Mm×n(IR) con las operaciones suma y producto definidas en(2.2.2) y (2.2.3), respectivamente, definen un espacio vectorial.

La dimension de este espacio vectorial es m × n.

Ejercicio 2.2.2 Dar una base para M2×2(IR).


2.2.2 Producto de Matrices

Definicion 2.2.4 Dadas dos matrices (aij)m×n y (bij)n×s se llama producto de dichas ma-trices a una matriz (cij)m×s tal que

cij =n∑

k=1

aikbkj , ∀i, j

tales que i = 1, ..., m y j = 1, ..., s

Ejemplo 2.2.2

[1 2 0−1 0 3

] 0 −1 1 51 2 3 −42 3 4 5

=

[2 3 7 −36 10 11 10

]

Se puede demostrar facilmente que el producto de matrices es asociativo, es decir, A(BC) =(AB)C pero no es conmutativo.

Ejercicio 2.2.3 Dar un ejemplo donde muestre que el producto de matrices no es conmuta-tivo.

Ejercicio 2.2.4 Demostrar

1. A(B + C) = AB + AC

2. (A + B)C = AC + BC

Definicion 2.2.5 Se llaman matrices simetricas a aquellas matrices cuadradas, A = (aij),tales que aij = aji, ∀i, j

Definicion 2.2.6 Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A, y la representaremospor At, a la matriz que se obtiene de cambiar filas por columnas.

Ejemplo 2.2.3 Sea A =

[1 2 0−1 0 3

], su matriz traspuesta es At =

1 −12 00 3

Ejercicio 2.2.5 Probar que (At)t = A

Ejercicio 2.2.6 Demostrar: A es una matriz simetrica si y solo si A = At

Definicion 2.2.7 Se llaman matrices antisimetricas a aquellas matrices cuadradas, A =(aij), tales que aij = −aji, ∀i, j.

Podemos observar que la diagonal principal de una matriz antisimetrica esta formada porceros.

Definicion 2.2.8 Dada una matriz cuadrada A de orden n, se llama matriz inversa de A, yla representaremos por A−1, a la matriz que verifica

AA−1 = A−1A = In

2.2. MATRICES Y DETERMINANTES 33

No todas las matrices tienen inversas, mas adelante daremos condiciones a las matricespara que exista la matriz inversa.

Ejemplo 2.2.4 La inversa de la matriz A =

[3 51 2

]es A−1 =

[2 −5−1 3

]pues

AA−1 =

[3 51 2

] [2 −5−1 3

]=

[1 00 1

]

A−1A =

[2 −5−1 3

] [3 51 2

]=

[1 00 1

]

Ejercicio 2.2.7 Demostrar que la matriz A =

0 0 01 2 1−1 3 2

no tiene matriz inversa.

Ejercicio 2.2.8 Si A y B son dos matrices inversibles del mismo orden, demostrar

(a) AB es inversible

(b) (AB)−1 = B−1A−1

Muchas veces es conveniente hablar de matriz columna y matriz fila de una dada matrizA de orden m × n. Llamaremos matriz columna A.j a la matriz de orden m × 1 formada porla columna j−esima de la matriz A. Llamaremos matriz fila Ai. a la matriz de orden 1 × nformada por la fila i−esima de la matriz A.


0 −1 −1 31 2 3 −52 3 5 −7

tenemos que

A.1 =

012

A.2 =

−123

...

A1. =[

0 −1 −1 3]

A2. =[

1 2 3 −5]

...

Al espacio vectorial generado por las “matrices columnas” lo llamamos espacio columnade la matriz A, tenemos que dicho espacio tiene dimension menor o igual que n.

Definicion 2.2.9 Llamamos rango de una matriz A a la dimension del espacio columna. Laindicaremos por r(A).

Ejemplo 2.2.6 El rango de la matriz dada en el ejemplo anterior es 2 pues la dimensiondel espacio generado por {(0, 1, 2), (−1, 2, 3), (−1, 3, 5), (3,−5,−7)} es 2.


2.2.3 Determinante: propiedades

Sean A y B matrices cuadradas de orden n

1. detA = detAt

2. det kA = kn detA

3. det AB = det A detB

Definicion 2.2.10 Si una matriz A es tal que det A 6= 0, diremos que A es una matriz regularo no singular.

Teorema 2.2.1 Una matriz cuadrada A es inversible si y solo si det A 6= 0

Corolario 2.2.1 Si A es inversible, entonces det A−1 = 1det A

Dada una matriz A, de orden m× n, consideremos todas las submatrices cuadradas de A

Definicion 2.2.11 Llamamos menores de orden h de A a los determinantes de las subma-trices cuadradas, de orden h.


1 2 35 8 10 2 −11 0 −3

los menores de orden 3 son los determinantes de:

1 2 35 8 10 2 −1

,

1 2 35 8 11 0 −3

,

1 2 30 2 −11 0 −3

y

5 8 10 2 −11 0 −3

los menores de orden 2 son los determinantes de:[1 25 8

],

[2 38 1

],

[8 12 −1

],

[1 35 1

],

[2 30 −3

],

[2 −10 −3

],

[5 10 −1

],

[5 11 −3

],

etc..

Teorema 2.2.2 El rango de A coincide con el numero que expresa el orden del mayor menorno nulo de dicha matriz.

Ejemplo 2.2.8 En el ejemplo (2.2.7), la matriz A tiene rango 3 pues existe una submatrizde orden 3 cuyo determinante es no nulo, por ejemplo

det

1 2 35 8 10 2 −1

6= 0

es decir r(A) = 3

Capıtulo 3

Aplicaciones Lineales

3.1 Transformaciones Lineales

En este capıtulo iniciamos el estudio de funciones del tipo f : A → B , donde A y B sonespacios vectoriales de dimensiones n y m, respectivamente. A un vector de n−dimensiones,x = (x1, x2, ...xn), le asocia la imagen y = f(x) que es un vector de m − dimensiones,y = (y1, y2, ..., ym).

Ejemplo 3.1.1 Consideremos una funcion que asocia a cada vector (x1, x2) de IR2 un vectory ∈ IR3, que tiene como primera, segunda y tercera componente respectivamente, la suma, laresta y el producto de las componentes del vector x = (x1, x2). Esta es una funcion del tipof : IR2 → IR3, la imagen se obtiene de acuerdo a la regla

(x1, x2)f→ (x1 + x2, x1 − x2, x1x2)

Como podemos observar, a la funcion f la podemos descomponer en tres funciones reales,f i : IR2 → IR donde y1 = f1(x1, x2), y2 = f2(x1, x2), y3 = f3(x1, x2).

f1(x1, x2) = x1 + x2

f2(x1, x2) = x1 − x2

f3(x1, x2) = x1x2

Por ejemplo, la imagen del vector (2, 3) es (5,−1, 6), es decir, f(2, 3) = (5,−1, 6). ♦De entre todas las funciones de la forma f : A → B, con A y B espacios vectoriales nos

interesan las aplicaciones lineales. Consideremos la funcion f representada en la figura 5.1

a

b

α βa + b

f(a)

f(b)

f(b)

f(α a+β b)

α f(a)+ β

Fig. 5.1

35

36 CAPITULO 3. APLICACIONES LINEALES

Tomemos dos puntos diferentes, x e y y la combinacion lineal αx + βy. Las imagenes dedichos puntos son f(x), f(y) y f(αx + βy). Llamemos z = f(αx + βy). Ahora tomemos lacombinacion lineal z = αf(x)+βf(y) de las imagenes de x e y. Por lo general, z 6= z, cuandoz = z , decimos que f es una aplicacion lineal, es decir, la imagen de la combinacion lineal esigual a la combinacion lineal de las imagenes. Formalmente

Definicion 3.1.1 f : IRn → IRm es una transformacion lineal si

∀x,y ∈IRn, ∀α, β∈IR, f(αx + βy) = αf(x) + βf(y)

El ejemplo mas simple de transformacion lineal es la funcion identidad f(x) = x ya que,efectivamente, f(αx + βy) = αx + βy =αf(x) + βf(y) .

Proposicion 3.1.1 Si f : IRn → IRm es una transformacion lineal se cumple:

(a) f(0) = 0(b) f(αx) = αf(x)(c) f(−x) = −f(x)

Demostracion: Comenzemos por demostrar la primera afirmacion. Observa que el vectornulo lo podemos escribir como 0 = x − x = 1x + (−1)x , donde x es cualquier vector delespacio vectorial. Entonces, si aplicamos la definicion de transformacion lineal obtenemos

f(0) = f(1x + (−1)x) =1f(x) + (−1)f(x) = f(x) − f(x) = 0

Para demostrar la segunda afirmacion observemos que αx = αx + 0 , aplicamos la definicion5.1, obtenemos

f(αx) = f(αx + 0) =αf(x) + f(0) = αf(x) + 0 = αf(x)

Se deja como ejercicio la demostracion de la tercera propiedad.

♦Como sabemos, dada una base para IRn, B = {v1, ...,vn} , para todo x ∈IRn, a x lo

podemos expresar como combinacion lineal de los vectores de la base, es decir, existen escalaresλ1, ...,λn tal que

x = λ1v1 + ...+λnvn

Indicaremos por [x]B a las coordenadas de x en base B

[x]B =

λ1...

λn

B

Supongamos que conocemos las imagenes de los vectores de la base B

f(v1) =

v11...

vm1

... =

...

f(vn) =

v1n...

vmn

3.1. TRANSFORMACIONES LINEALES 37

entoncesf(x) = λ1f(v1) +...+λnf(vn) =

= λ1

v11...

vm1

+ ... + λn

v1n...

vmn

(3.1)

por lo cual queda “bien” definida la imagen de cualquier vector x.

Nota 3.1.1 Toda transformacion lineal esta bien definida si se conoce la imagen de algunabase.

Ejemplo 3.1.2 Sea f : IR3 → IR2 la siguiente transformacion lineal

f(e1) = f(1, 0, 0) =

[31

]

f(e2) = f(0, 1, 0) =

[0−1

]

f(e3) = f(0, 0, 1) =

[−12

]

Calculemos la imagen del vector (2,−1, 3)

(2,−1, 3) = 2e1 + (−1)e2 + 3e3

por lo tantof(2,−1, 3) = 2f(e1) + (−1)f(e2) + 3f(e3) =

= 2

[31

]+ (−1)

[0−1

]+ 3

[−12

]=

=

[39

]= 3e1 + 9e2

♦

De acuerdo a (3.1), podemos escribir a f en forma matricial

f(x) =

v11 . . . v1n... . . .

...vm1 . . . vmn

λ1

...λn

B

= Af,B,C [x]B

A la matriz Af,B,C se le llama matriz asociada a la transformacion lineal f y es de ordenm × n. La letra C indica la base canonica y el sub-ındice indica que en la transformacionlineal f en el dominio esta definida la base B y en la imagen la base C (en este caso). Lamatriz asociada a la transformacion lineal dada en el (3.1.2) es

Af,C,C =

[3 0 −11 −1 2

]


en consecuencia

f(x) = Af,C,Cx =

[3 0 −11 −1 2

] x1

x2

x3

=

=

[3x1 − x3

x1 − x2 + 2x3

]

donde x =∑3

i=1 xiei y

f(2,−1, 3) =

[3 0 −11 −1 2

] 2−13

Ejemplo 3.1.3 Encontraremos la matriz asociada a f dada en el (3.1.2) en la base B ={v1,v2,v3} donde

v1 =

1−10

, v2 =

011

, v3 =

100

Lo primero que debemos hacer es encontrar las imagenes de los vectores de la base B.

f(v1) =

[32

], f(v2) =

[−11

], f(v3) =

[31

]

Por lo tanto

Af,B,C =

[3 −1 32 1 1

]

Si queremos encontrar la imagen del vector (2,-1,3), debemos hallar las coordenadas de estepunto con respecto a la base dada

(2,−1, 3) = 4v1 + 3v2 − 2v3

por lo tanto

f(2,−1, 3) =

[3 −1 32 1 1

] 43−2

B

=

[39

]= 3e1 + 9e2

♦

Nota 3.1.2 Dada T : IRn → IRm y una base B para IRn, tenemos

T (x) = AT,B,C [x]B

donde T (x) es un vector de IRm expresado, en este caso, en base canonica.

3.2. CAMBIO DE BASE 39

Supongamos ahora que queremos a T (x) expresada en una base B′ = {w1, ...,wm} de IRm

diferente de C, es decirT : (IRn, B) → (IRm, B′)

Por ser B′ base de IRm , existen escalares α1j , ..., αmj tal que

T (vj) =m∑

i=1

αijwi j = 1, ..., n

es decir, para j = 1, ..., n [T (vj)

]B′ =

α1j...

αmj

B′

por lo tanto

T (x) =n∑

j=1

λjT (vj) =n∑

j=1

λj

m∑i=1

αijwi =m∑

i=1

(n∑

j=1

λjαij)wi

es decir

[T (x)]B′ =

α11 ... α1n

...αm1 ... αmn

λ1

λn

B

= AT,B,B′ [x]B

Nota 3.1.3 Las columnas de la matriz AT,B,B′ son las coordenadas de las imagenes de losvectores de la base B en base B′

Ejercicio 3.1.1 Dada T : IR2 → IR3 definida por

T (x, y) =

x − yx + y2x

y las bases B = {(1,−1), (2, 3)} y B′ = {(1, 1, 0), (1, 1,−1), (0, 1,−1)}.Encontrar AT,C,C ,AT,B,C ,AT,C,B′,AT,B,B′.

3.2 Cambio de base

Si se cambia la base B de un dado espacio vectorial, a otra nueva base B′, ¿Como estanrelacionadas las coordenadas de un vector v en base B con las coordenadas de dicho vectoren base B′?.

Recordemos que la funcion identidad, id, es una transformacion lineal. Si definimos en eldominio la base B y en la imagen la base B′, tenemos:

[v]B′ = [id(v)]B′ = Aid,B,B′ [v]B

donde las columnas de Aid,B,B′ son las coordenadas de los vectores de la base B en base B′.A esta matriz se le llama matriz de transicion de la base B a la base B′ y la indicaremos porPB,B′

[v]B′ = PB,B′ [v]B


Ejemplo 3.2.1 Considerense las bases

B = C y B′ = {(2, 1), (−3, 4)}

Primero hallaremos la matriz de transicion de la base C hacia B′. Por lo visto en (3.1) yen el ejemplo (3.1.2), debemos encontrar las coordenadas en base B′ de los vectores canonicos

[(1, 0)]B′ =

[411−111

]B′

[(0, 1)]B′ =

[311211

]B′

Por lo tanto

PC,B′ =

[411

311−1

11211

]es decir

[v]B′ =

[411

311−1

11211

]v

Si queremos calcular las coordenadas de

w =

[3−5

]

en base B′ , hacemos

[w]B′ =

[411

311−1

11211

] [3−5

]=

[ −311−1311

]B′

Encontremos ahora la matriz de transicion PB′,C , realizando los calculos correspondientesobtenemos

PB′,C =

[2 −31 4

]es decir

v =

[2 −31 4

][v]B′

♦La pregunta que surge inmediatamente es ¿Que relacion existe entre PC,B′ y PB′,C?

Teorema 3.2.1 Si PB,B′ es la matriz de transicion desde una base B hacia una base B′

entonces

(a) PB,B′ es inversible

(b) La matriz inversa de PB,B′ es la matriz de transicion de B′ hacia B.

Ejercicio 3.2.1 Demostrar el teorema (3.2.1 ).

Uno de las preguntas que nos podemos formular es si existe una base B tal que la matrizasociada a una dada transformacion lineal referida a esa base, resulte diagonal. Este problemalo resolveremos en el capıtulo 5.

Capıtulo 4

Sistemas de Ecuaciones Lineales

4.1 Sistemas de ecuaciones lineales

Definicion 4.1.1 : Llamamos sistema de ecuaciones lineales a la ecuacion f(x) = b, dondex ∈ IRn, b ∈ IRm y f es una transformacion lineal de IRn en IRm.

a11x1 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + ... + a2nxn = b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1x1 + ... + amnxn = bm

(4.1)

Como observamos, el sistema consta de m ecuaciones lineales y n incognitas x1, x2, ..., xn.Ya que f es una aplicacion lineal, existe la matriz asociada A tal que f(x) = Ax. Por lo

tanto podemos escribir al sistema 4.1 como:

Ax = b (4.2)

o

Ax =

a11 ... a1n... . . .

...am1 ... amn

x1

...xn

=

b1...

bm

Denotaremos por A.j a la matriz columna j-esima de A, es decir, la matriz de orden m×1

definida por:

A.j =

a1j...

amj

y matriz fila i-esima de A es a la matriz de orden 1 × n definida por:

Ai. =[

ai1 ... ain

]Nuestro objetivo es buscar soluciones del sistema (4.1), es decir, los numeros x1, x2, ..., xn

que verifiquen a la vez a las m ecuaciones.

41

42 CAPITULO 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Ejercicio 4.1.1 f es una transformacion lineal de IRn en IR si y solo si, existen αi (i =1, ..., n) tal que

f(x) =n∑

i=1αix

i

Definicion 4.1.2 :Sea v = (v1,v2, ..., vn) ∈ IRn y b ∈ IR, definimos como hiperplano al con-junto:

H = {x ∈ IRn : v.x = b}

Ejemplo 4.1.1 : a) H ={x ∈ IR2 : 2x + 3y = 2

}es un hiperplano en IR2 y es lo que lla-

mamos recta.b) P =

{x ∈ IR3 : 2x + 3y − z = 1

}es un hiperplano en IR3 y es lo que llamamos plano.

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

2

Fig. 3.1: Recta

-2

-1

0

1

2 -2

-1

0

1

2

-10

-5

0

5

-2

-1

0

1

2 -2

-1

0

1

2

-10

-5

0

5

Fig.3.2: PlanoComo podemos observar, el sistema de ecuaciones lineales (4.1) representa geometricamente

m hiperplanos en IRn. La soluci’on a dicho sistema es encontrar la intersecci’on de los m hiper-planos.

3

4.1.1 Sistemas lineales homogeneos

Definicion 4.1.3 : Si b = 0 , al sistema Ax = 0 se le llama sistema homogeneo.

Recordemos que rango columna de A es el numero maximo de columnas de A linealmenteindependientes.

Es claro que si M es el espacio generado por < A.1, A.2, ..., A.n > , el rango columna de Aes la dimension de M.

Ejemplo 4.1.2 : Dada A =

[2 −1 11 3 18

], determinar cual es el rango de A.

Es facil demostrar que el espacio generado por las columnas de A tiene como base a

< A.1, A.2 >, donde A.1 =

[21

]y A.2 =

[−13

], por lo tanto, el rango columna de A es

2.

3

4.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 43

En forma analoga a la definicion 3 se define rango-fila de la matriz A.

Ejemplo 4.1.3 Sea A la misma matriz dada en el ejemplo 1. Las matrices filas son:

A1. = [2 − 1 1] y A2. = [1 3 18]

y queda como ejercicio encontrar el rango-fila.3

Proposicion 4.1.1 :Dada A una matriz de orden m × n , el rango columna de A es igual alrango fila de A.

Recordemos que r(A)es igual al orden de la sub-matriz cuadrada de mayor orden tal quesu determinante es diferente de cero.

Observacion 4.1.1 : Sea A una matriz cuadrada y, r(A) su rango. Si intercambiamos filas(o columnas), el r(A) no varıa.

Proposicion 4.1.2 :Si A es una matriz de orden m × n, r(A) ≤min(m, n)

Proposicion 4.1.3 :El sistema de ecuaciones lineales Ax = 0 tiene al menos una solucion,x = 0. A esta solucion se le llama solucion trivial.

Proposicion 4.1.4 : Existe una solucion no trivial(x 6= 0) para Ax = 0 si y solo si r(A) < n.

Demostracion:

Observemos que:Ax = 0 (4.3)

es lo mismo tener:

A.1x1 + A.2x2 + ... + A.nxn = 0 (4.4)

Teniendo en cuenta (4.4), observamos que el sistema < A.1, A.2, ..., A.n > es linealmentedependiente (r(A) < n) si y solo si existe xi 6= 0 tal que (x1, x2, ..., xn) es una solucion de(4.4) .2

Proposicion 4.1.5 :Si m < n entonces la ecuacion homogenea (4.3) tiene una solucion notrivial.

El siguiente ejemplo muestra que si m ≥ n no vale la proposicion anterior:

Ejemplo 4.1.4 : Resolver el siguiente sistema:

2x + 3y = 04x + 6y = 08x + y = 0

Si analizamos el rango de la matriz asociada al sistema dado, se obtiene que es 2. Lasolucion es unica y es la solucion trivial.


3

Ejemplo 4.1.5 :Resolver el siguiente sistema lineal:

2x + 3y = 04x + 6y = 0

El conjunto solucion es{(x,−2

3x) : x ∈ IR}

. Como observamos, dicho sistema tiene m = n

y tiene soluciones no triviales.

3

Ejemplo 4.1.6 Resolver el siguiente sistema lineal:

2x + 3y = 04x + 7y = 0

La solucion es (0,0). Como observamos, dicho sistema tiene m = n y tiene solamente lasolucion trivial.

3

Ejercicio 4.1.2 : Si ε1, ε2, ..., εn son soluciones del sistema homogeneo (4.3), entoncescualquier combinacion lineal de ellos es tambien soluci’on de (4.3).

Ejercicio 4.1.3 :Sea A una matriz de orden m × n y sea X el conjunto de soluciones de(4.3), es decir: X = {x ∈ IRn : Ax = 0}. Entonces X es un subespacio vectorial de dimensionn − r(A).

Ejemplo 4.1.7 : Sea A =

[−1 32 −6

], es f ’acil demostrar que el r(A) = 1 y que x =

[31

]es solucion del sistema lineal asociado a A. Por lo tanto, el conjunto solucion es:

X ={x ∈ IR2 : ∃λ ∈ IR, x = λxt

}= {(3λ, 1λ) : λ ∈ IR}

3

4.1.2 Sistema Lineales no homogeneos

Definicion 4.1.4 :Un sistema lineal no-homogeneo es (4.2) con b 6= 0.

Proposicion 4.1.6 : El sistema lineal no-homogeneo (4.2) tiene solucion si y solo si b escombinacion lineal de las columnas de A.

Ejercicio 4.1.4 : Demostrar la proposicion anterior.


[4 0 −21 −1 0

]y b =

[2−1

]. El r(A) = 2 , por lo tanto

el espacio generado por las columnas de A es de dimension 2. Por lo tanto, b es combinacionlineal de las columnas de A. (Porque?). En consecuencia, por la proposicion anterior, tenemosque el sistema lineal correspondiente tiene solucion.

4.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 45

3

Ejercicio 4.1.5 : Encuentre una solucion para el sistema dado en el ejemplo anterior.

Definicion 4.1.5 : Se llama matriz ampliada asociada a (4.2) a la siguiente matriz:

A | b =

a11 ... a1n b1... . . .

......

am1 ... amn bm

Proposicion 4.1.7 : El sistema Ax = b tiene solucion si y solo si r(A) = r(A | b)

Ejercicio 4.1.6 : Demostrar la siguiente proposicion:

Proposicion 4.1.8 : Si A es de orden m × n y b ∈ IRm, el sistema (4.2) tiene solucionpara todo b ∈ IRm si y solo si r(A) = m.

Observacion 4.1.2 : De acuerdo a la proposicion anterior podemos deducir que si r(A) 6= my el sistema (4.2) tiene solucion para algun b , entonces tiene solucion para “algunos” b ∈ IRm.


[3 −3 6−1 1 −2

]. Para que valores de b el sistema Ax = b tiene

solucion.

Claramente el r(A) = 1 6= 2 (m = 2) .Para que exista solucion b = λA.1, para todo λ ∈ IR.

3

Observacion 4.1.3 : De acuerdo a la proposicion anterior tambien puede ocurrir que sir(A) 6= m, existen b tal que el sistema no tenga solucion.

Ejemplo 4.1.10 : En el ejemplo anterior vemos que para b =

[5−1

]el sistema no tiene

solucion.

3

Proposicion 4.1.9 : Dado el sistema Ax = b . Sean:

Xb = {x ∈ IRn : Ax = b}X = {x ∈ IRn : Ax = 0}

los conjuntos soluciones de (4.2) y (4.3), respectivamente y x∗ ∈ Xb . Entonces, paracada x ∈ Xb, existe x ∈ X tal que se cumple:

x = x + x∗

Demostracion: Ejercicio para el alumno 2


Proposicion 4.1.10 : Dado el sistema Ax = b y A una matriz cuadrada. Si A es unamatriz inversible, el sistema tiene solucion unica . Esta solucion es:

x = A−1b

Corolario 4.1.1 : (Regla de Cramer).Dado el sistema Ax = b y A una matriz cuadrada.Si el det(A)6= 0 entonces el sistema tiene solucion unica. Esta solucion es:

x1 =det(A1)det(A)

, x2 =det(A2)det(A)

, ..., xn =det(An)det(A)

donde Aj es la matriz que se obtiene al reemplazar los elementos de la j-esima columna deA por los elementos de la matriz b.2

Capıtulo 5

Vectores Propios y Formascuadraticas

Hemos estudiado sistemas del tipo Ax = b , ahora nos interesan los sistemas cuando b=λx,donde λ es un escalar, (estudiaremos solamente matrices cuadradas).

Ax = λx

nos dice que este sistema transforma a un vector x en otro vector λx, que es una alargamientoo acortamiento de un vector, dependiendo del valor del escalar. El analisis de este tipo deproblema es de interes en economıa, por ejemplo, en el analisis de la productividad de unamatriz input-ouput de Leontief.

5.1 Valores propios y vectores propios

Definicion 5.1.1 Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces se dice que un vector xdiferente de cero es un vector propio de A si Ax es un multiplo escalar de x ; es decir,

Ax = λx (5.1)

para algun escalar λ. Al escalar λ se le llama valor propio de A.

Dada una matriz cuadrada A de orden n, nuestro problema sera encontrar los vectorespropios; es decir, los vectores que verifican el sistema dado en (5.1). A ese sistema lo podemospasar al siguiente sistema homogeneo

(A−λI)x = 0 (5.2)

donde I es la matriz identidad de orden n.El sistema (5.2) tiene solucion no trivial cuando:

det(A−λI)=0

De esta ecuacion obtenemos una ecuacion cuya incognita es λ, y se le llama ecuacion o poli-nomio caracterıstico cuyas raıces son los valores propios. Para encontrar los vectores propiosasociados a cada λi debemos resolver el sistema

(A−λiI)x = 0 para cada i

47

48 CAPITULO 5. VECTORES PROPIOS Y FORMAS CUADRATICAS

Ejemplo 5.1.1 Dada la matriz

A =

1 2 00 1 0−1 1 2

los valores propios se obtienen resolviendo

det

1 − λ 2 00 1 − λ 0−1 1 2 − λ

= 0

obteniendo la siguiente ecuacion caracterıstica

(1 − λ)2(2 − λ) = 0

de donde obtenemos dos valores propios reales y diferentes λ1 = 1 y λ2 = 2. Observamosque λ1 tiene multiplicidad 2. Ahora encontraremos los vectores propios correspondientes, deacuerdo a (5.2)

(a) λ1 = 1 y x = (x1, x2, x3) 0 2 00 0 0−1 1 1

x1

x2

x3

=

000

de donde obtenemos

2x2 = 0−x1 + x2 + x3 = 0

por lo tanto los vectores propios correspondientes al dado valor propio son s0s

= s

101

, s ∈ IR (5.3)

(b) λ1 = 2 y x = (x1, x2, x3) −1 2 00 −1 0−1 1 0

x1

x2

x3

=

000

de donde obtenemos

x1 = 0x2 = 0

por lo tanto los vectores propios correspondientes al dado valor propio son 00s

= s

001

, s ∈ IR (5.4)

5.2. DIAGONALIZACION 49

si analizamos las soluciones dadas en (5.3) y (5.4) observamos que se generan dossubespacios (en este caso de IR3) y se les llaman subespacios propios correspon-dientes a los respectivos valores propios

S(1) = {s(1, 0, 1) : s ∈ IR}y

S(2) = {s(0, 0, 1) : s ∈ IR}en este caso los dos subespacios propios son de dimension 1 y las bases son respec-tivamente

B1 = {(1, 0, 1)}

B2 = {(0, 0, 1)}

Geometricamente S(1) es el conjunto de vectores x tal que A los transforma en x, y, S(2)es el conjunto de vectores x tal que A los transforma en 2x.

Sea A una matriz de orden n×n, es interesante tener en cuenta las siguientes propiedades:

• Propiedad 1: Si A es una matriz triangular (superior o inferior) sus n valores propiosson los n elementos de la diagonal.

• Propiedad 2: Si la matriz A es simetrica (A = At) , todos sus valores propios son reales.

• Propiedad 3: Sean λ1, ..., λm m valores propios distintos de A . Cualquier conjuntos dem vectores propios asociados x1, ...,xm a dichos valores propios son linealmente inde-pendientes.

• Propiedad 4: Si todos los n valores propios son distintos, se puede formar una base deIRn compuesta por n vectores propios, uno por cada uno de los n valores propios.

• Propiedad 5: Los valores propios de A y de At son iguales.

• Propiedad 6: Los vectores propios de A y de At correspondientes a valores propiosdiferentes, son ortogonales.

Ejercicio 5.1.1 Demostrar las propiedades 1,3,4,5 y 6.

En el tema 3 nos habıamos dejado planteado el problema de

5.2 Diagonalizacion

Diagonalizar una matriz cuadrada A consiste en efectuar un cambio de base de forma tal que,referida a la nueva base, la matriz asociada a la transformacion lineal que A representa seauna matriz diagonal.

Definicion 5.2.1 Se dice que una matriz cuadrada A es diagonalizable si hay una matrizinversible P tal que P−1AP sea diagonal; se dice que la matriz P diagonaliza a A.

La matriz P es la matriz de cambio de base.

Teorema 5.2.1 Si A es una matriz de orden n × n, entonces las proposiciones que siguenson equivalentes:


(a) A es diagonalizable

(b) A tiene n vectores propios linealmente independientes.

Demostracion: Ver la demostracion en : Introduccion al Algebra Lineal, H. Anton, pagina310.

Observacion 5.2.1 Sea T la transformacion lineal asociada a la matriz A en base canonicaC , es decir,

A = AT,C,C

A una matriz diagonalizable y B la base formada por los vectores propios

x 1 =

x11...

xn1

· · · · · · · · ·

xn =

x1n...

xnn

entonces P es la matriz de cambio de base de B hacia C, es decir, P = PBC . Ademas

D = P−1AP

o lo que es lo mismoD = PC,BAPB,C

donde

P = PB,C =

x11 · · · x1n... · · · ...

xn1 · · · xnn

Observacion 5.2.2 Por la propiedad 4 y teorema 5.2.1, tenemos que si A tiene n valorespropios reales y distintos entonces A es diagonalizable.

Ejemplo 5.2.1 Sea T : IR3 → IR3 la transformacion lineal dada por

T (x1, x2, x3) =

5x1

7x1 − 2x2 − 14x3

5x3

Encontraremos una base para IR3 de tal manera que la matriz asociada a T en esa base seadiagonal.

Solucion: Si C ={e1, e2, e3

}, se tiene

T (e1) =

570

, T (e2) =

0−20

, T (e1) =

0−145

5.2. DIAGONALIZACION 51

de modo que la matriz asociada es

AT,C,C =

5 0 07 −2 −140 0 5

Ahora queremos cambiar de la base canonica a una base B =

{v1,v2,v3

}, tal que si P es la

matriz de transicion de la base B hacia la base C , se tiene

D = P−1AP

es decir, P diagonaliza a A. De la misma forma que empleamos en el ejercicio 6.1, se tieneque los valores propios de A son λ1 = λ2 = 5 y λ3 = −2 ,(observa que el valor propio 5 tienemultiplicidad 2) y los subespacios correspondientes son:

S(5) = {s(1, 1, 0) + t(2, 0, 1) : s ∈ IR ∧ t ∈ IR}S(−2) = {s(0, 1, 0) : s ∈ IR }

Por lo tanto la matriz P que diagonaliza es

P =

1 2 01 0 10 1 0

y

P−1 =

1 0 −20 0 1−1 1 2

realizando las operaciones matriciales correspondientes se obtiene

D = P−1AP =

5 0 00 5 00 0 −2

5.2.1 Diagonalizacion Ortogonal. Matrices Simetricas

En esta seccion resolveremos el problema en donde no solamente queremos diagonalizar lamatriz sino tambien que resulte ortogonal; es decir, que la base obtenida sea ortogonal.

Definicion 5.2.2 Una matriz cuadrada A con la propiedad de que

A−1 = At

se denomina matriz ortogonal.

Es interesante el siguiente resultado

Proposicion 5.2.1 Las proposiciones siguientes son equivalentes:

(a) A es ortogonal

(b) Los vectores fila de A forman un conjunto ortonormal en IRn, con el productoescalar euclidiano.


(c) Los vectores columna de A forman un conjunto ortonormal en IRn, con el productoescalar euclidiano.

Demostracion: Se deja como ejercicio.Sugerencia: A−1A = AtA = I

Definicion 5.2.3 Se dice que una matriz cuadrada A es ortogonalmente diagonalizablesi existe una matriz ortogonal P tal que diagonalize a A. Se dice que la matriz P diagonalizaortogonalmente a A.


(a) A es ortogonalmente diagonalizable,

(b) A tiene un conjunto ortonormal de n vectores propios.


(a) A es ortogonalmente diagonalizable,

(b) A es simetrica.

Teorema 5.2.4 Si A es y una matriz simetrica, entonces los vectores propios de subespaciospropios diferentes son ortogonales.

Ejercicio 5.2.1 Hallar una matriz ortogonal P que diagonalice a 2A, siendo

A =

2 1 11 2 11 1 2

Recordad el proceso de Gram-Schmidt. (Intoduccion al Algebra Lineal: H. Anton, pag.216).

Terminaremos esta seccion dando dos propiedades de las matrices simetricas

• Propiedad 1: La ecuacion caracterıstica de una matriz simetrica A solo tiene raıcesreales.

• Propiedad 2: Si un valor propio λ de una matriz simetrica A se repite k veces, comouna raız de la ecuacion caracterıstica, entonces el subespacio propio correspondiente aλ tiene k dimensiones.

5.3 Formas cuadraticas

Para estudiar formas cuadraticas, aplicaremos los resultados obtenidos en el estudio de cambiode base y diagonalizacion ortogonal. Las aplicaciones de ellas tienen particular relevancia enel estudio de la teorıa de optimizacion.

Definicion 5.3.1 Se dice que una aplicacion f de E1 × E2 ( E1 y E2 subespacios de IRn)en IR es una aplicacion bilineal si cada aplicacion parcial de Ei en IR asociada a f es unaaplicacion lineal.

5.3. FORMAS CUADRATICAS 53

Ejemplo 5.3.1 Sea f : IR2 × IR2 → IR definida por

f(x,y) = x1y1 − 2x2y2 + 3x1y2

donde x=(x1, x2) y y=(y1, y2). Probemos que f es una funcion bilineal. De acuerdo a ladefinicion debemos probar que

f(αx1 + βx2,y) = αf(x1,y) + βf(x2,y) , ∀α, β ∈ IR

f(x, δy1 + γy2) = δf(x,y1) + γf(x,y2) , ∀δ, γ ∈ IR

Consideremos xi = (xi1, x

i2) y yi = (yi

1, yi2) y lo haremos solamente para la primera variable

f(αx1 + βx2,y) = (αx11 + βx2

1)y1 − 2(αx12 + βx2

2)y2 + 3(αx11 + βx2

1)y2 == (αx1

1y1 − 2αx12y2 + 3αx1

1y2) + (βx21y1 − 2βx2

2y2 + 3βx21y2) =

= αf(x1,y) + βf(x2,y)

en forma analoga para la segunda variable.

Como en las transformaciones lineales, tambien existe una matriz A asociada a la funcionbilineal respecto a la base canonica tal que

f(x,y) = xtAy

La matriz A queda determinada conociendo las imagenes de C ×C para IRn. Para el anteriorejemplo, tenemos

f(e1, e1) = a11 = 1f(e1, e2) = a12 = 3f(e2, e1) = a21 = 0f(e2, e2) = a22 = −2

por lo tanto la matriz A asociada a la dada funcion bilineal respecto a la base canonica es

A =

[1 30 −2

]

Dada una matriz A de orden n × n , nos define una unica funcion bililineal definida por

f(x,y) = xtAy

En esta seccion nos interesan las formas cuadraticas que se definen como

f(x,x) = xtAx (5.5)

analizando (5.5) la podemos estudiar como una funcion

Q : IRn → IR

tal que

Q(x) = f(x,x) =n∑

i=1

aijxixj (5.6)


A Q le llamamos la forma cuadratica asociada a la funcion bilineal f . La forma cuadratica Qasociada a f dada en el ejercicio (5.3.1) es

Q(x, y) = x2 − 2y2 + 3xy (5.7)

Hasta ahora hemos encontrado la forma cuadratica a partir de conocer la funcion bilineal, loque queremos ahora es encontrar la matriz MC [Q]asociada a una dada forma cuadratica Qrespecto a la base canonica. Para ello escribimos a (5.6) como

Q(x) =n∑

i=1

aiix2i + 2

n∑i,j=1j>i

aij

2xixj =

n∑i=1

miix2i + 2

n∑i,j=1j>i

mijxixj

donde mii = aii para cada i y mij = aij

2 para cada i y j. Siendo x=(x1, ..., xn) ∈ IRn, se puedeescribir

Q(x1, ..., xn) = x1(m11x1 + · · · + m1nxn)++x2(m12x1 + · · · + m2nxn)+

...................................+xn(m1nx1 + · · · + mnnxn) =

= [x1...xn]

x1(m11x1 + · · · + m1nxn)x2(m12x1 + · · · + m2nxn)...................................

xn(m1nx1 + ... + mnnxn)

= [x1...xn]

m11 m12 ... m1n

m12 m22 ... m2n...

... ......

m1n m2n ... mnn

x1......

xn

lo cual facilita la introduccion del algebra matricial con sus reglas y notaciones en el estudiode las formas cuadraticas. En forma matricial, escribimos

Q(x,y) = xtMC [Q]x

donde

MC [Q] =

m11 m12 · · · m1n

m12 m22 · · · m2n...

... · · · ...m1n m2n · · · mnn

que es una matriz simetrica.

Ejemplo 5.3.2 Dada la f del ejemplo (5.3.1) obtuvimos la forma cuadratica asociada a ella,que es

Q(x, y) = x2 + 3xy − 2y2

para encontrar la matriz simetrica asociada a Q , debemos expresarla de la siguiente manera

Q(x, y) = x2 +32xy +

32xy − 2y2

por lo tanto

MC [Q] =

[1 3

232 −2

]♦


Si MC [Q] fuera diagonal, tendrıamos que la forma cuadratica Q asociada es

Q(x) =n∑

i=1

miix2i (5.8)

Uno de los objetivos de esta seccion, es estudiar el signo de Q(x), dado x, y vemos que esmucho mas simple estudiarlo en una expresion como la dada en (5.8), por lo cual nuestroobjetivo sera diagonalizar a MC [Q], es decir, hacer un cambio de base de tal manera que lamatriz asociada a la nueva base resulte diagonal. De acuerdo a la propiedad 2 de matricessimetricas, MC [Q] es diagonalizable, y ademas es ortogonalmente diagonalizable. Es decir,existe una base B ortonormal formada por los vectores propios correspondientes a MC [Q] talque

Q(x) = xt(P tCBMB [Q] PCB)x

aplicando propiedad asociativa del producto de matrices, tenemos

Q(x) = (xtP tCB)MB [Q] (PCBx) = (PCBx)tMB [Q] (PCBx) =

= [x ]tB MB [Q] [x ]B , x ∈ IRn

es decirQ(x) = [x ]tB MB [Q] [x ]B (5.9)

Ejemplo 5.3.3 Sea Q[x] =12x2 − 3xy + 1

2y2, vamos a encontrar la matriz diagonal asociadaa Q respecto a una base B ortonormal.

MC [Q] =

[12 −3

2−3

212

](5.10)

los valores propios correspondientes son λ1 = 2, λ2 = −1 y sus correspondientes vectorespropios son x1 = (1,−1) y x2 = (1, 1). Como la matriz obtenida en (5.10) es simetrica losvectores x1 y x2 resultan ortogonales. Lo unico que nos resta hacer es normalizarlos, y asıobtenemos

PBC =

[1√2

1√2

− 1√2

1√2

]y

P−1BC = P t

BC =

[1√2

− 1√2

1√2

1√2

]realizando las operaciones matriciales correspondientes obtenemos

MB [Q] =

[2 00 −1

]

si [x]B =

[x′

y′

], las nuevas coordenadas de x las obtenemos mediante

[x′

y′

]=

[1√2

− 1√2

1√2

1√2

] [xy

]

♦


5.3.1 Clasificacion de las formas cuadraticas

Como dijimos anteriormente, es importante estudiar el signo de Q(x) y de acuerdo a laexpresion obtenida en (5.9) el signo no varıa si analizamos la matriz MB [Q] o MC [Q] por loque es conveniente calcular siempre MB [Q] . Las siguientes definiciones son de uso corriente

Se dice que una forma cuadratica Q : IRn → IR es:

-definida positiva: si Q(x) > 0, para todo x 6= 0;-definida negativa: si Q(x) < 0, para todo x 6= 0;-semidefinida positiva: si Q(x) ≥ 0, para todo x, habiendo un x 6= 0 tal que

Q(x) = 0-semidefinida negativa: si Q(x) ≤ 0, para todo x, habiendo un x 6= 0 tal que

Q(x) = 0-indefinida: si existen x1,x2 tales que Q(x1) > 0 y Q(x2) < 0 .

Existen diferentes criterios para conocer que signo tiene Q(x)

1. Criterio de los valores propios

Una forma cuadratica Q es:

(a) definida positiva si y solo si todos los valores propios de MC [Q] son positivos;(b) definida negativa si y solo si todos los valores propios de MC [Q] son negativos;(c) semidefinida positiva si y solo si el menor valor propio de MC [Q] es nulo;(d) semidefinida negativa si y solo si el mayor valor propio de MC [Q] es nulo;(e) indefinida si y solo si MC [Q] tiene valores propios de signos opuestos.

Las dificultades que a veces se presentan para calcular los valores propios de una matriz,hace necesario estudiar otros criterios. Antes daremos algunas definiciones necesarias:

Definicion 5.3.2 Sea A una matriz de orden n × n

(a) Siendo 1 ≤ i1 < ... < ir ≤ n, llamaremos submatriz principal de orden r de A ala submatriz de A obtenida suprimiendo en A todas las filas y columnas que notengan subındices en el conjunto {i1, i2, ..., ir} ; la representaremos

Ai1,i2,...,ir =

ai1i1 ai1i2 · · · ai1ir

ai2i1 ai2i2 · · · ai2ir...

... · · · ...airi1 airi2 · · · airir

y al correspondiente determinante lo llamamos menor principal

(b) Se llama submatriz preferente de A de orden p a la submatriz de A que se obtienesuprimiendo todas las filas y las columnas de ındice superior a p. La representare-mos por A12...p, es

A12...p =

a11 a12 · · · a1p

a21 a22 · · · a2p...

... · · · ...ap1 ap2 · · · app

y al correspondiente determinante lo llamamos menor preferente.


Nota 5.3.1 Una submatriz preferente es una submatriz principal.

Ejemplo 5.3.4 Sea

A =

1 0 0 −12 3 −1 10 1 0 5−2 −3 4 2

tenemos que la submatriz principal de orden 3

A134 =

1 0 −10 0 5−2 4 2

(hemos suprimido la segunda fila y la segunda columna). La submatriz principal de orden 2

A24 =

[3 1−3 2

]

1. Criterio de clasificacion por menores principales

Una forma cuadratica Q es:

(a) definida positiva si y solo si los menores principales de MC [Q] son positivos;

(b) definida negativa si y solo si los menores principales de orden par de MC [Q] sonpositivos y los de orden impar son negativos;

(c) semidefinida positiva si y solo si los menores principales de MC [Q] son mayores oiguales a 0 y el det(MC [Q]) = 0

(d) semidefinida negativa si y solo si los menores principales de orden par de MC [Q] sonmayores o iguales a 0 y los de orden impar son menores o iguales a 0 y det(MC [Q]) =0;

(e) indefinida si y solo si no es ninguno de los casos anteriores.

Existe una relacion entre menores preferentes y menores principales:

Teorema 5.3.1 Sea la forma cuadratica Q

(a) Si todos los menores preferentes son mayores que 0, entonces tambien lo son todoslos menores principales.

(b) Si todos los n−1 primeros menores preferentes son mayores que 0 y el det(MC [Q]) =0, entonces todos los menores principales de A son mayores o iguales a 0.

Se puede consultar Matematicas para Economistas de Grafe, paginas 240 a 249.

Capıtulo 6

El espacio euclıdeo: estructuratopologica

6.1 Funciones de IRn en IRm

6.1.1 Definiciones y ejemplos

En esta seccion comenzaremos a generalizar los conceptos de lımite y derivada para funcionesde mas de una variable real. Ya que a menudo las funciones de una variable no basta parareflejar la complejidad de numerosos fenomenos. Por ejemplo podemos ver que la funcion dedemanda de un bien D, depende simultaneamente de su precio, P, de los precios de los demasbienes, S1, ..., Sn, del nivel de renta, R.

Una funcion definida de IRn en IRm la denotaremos por F :IRn −→ IRm. Cuando n = m = 1se llaman funcion de una variable real, de las cuales conocemos los conceptos de lıimites,derivadas, etc. Cuando n = 1 y m > 1 se llama funcion vectorial de una variable real.

Aquı estudiaremos el caso n > 1 y m ≥ 1, cuando m = 1 se llama funcion real de unavariable vectorial o, mas brevemente, un campo escalar. Cuando m > 1 se llama funcionvectorial de una variable vectorial, o simplemente campo vectorial.

Nota 6.1.1 Denotaremos por x =(x1, ..., xn)

Ejemplo 6.1.1 (Funciones Lineales) Sea f : IRn −→ IR definida como

f(x1, ..., xn) = a1x1 + · · · + anxn

donde a1, ..., am ∈ IR

Ejemplo 6.1.2 (Funcion de produccion de Cobb–Douglas)Esta funcion establece una relacion entre el output producido y los inputs de capital, k, ytrabajo, L:

y = f(k, L) = AkαLβ

donde A,α, β son constantes. Ası esta funcion aparece como un campo escalar de dos variables.

Ejemplo 6.1.3 El valor del contenido de un cilindro de radio r y altura h depende de susdimensiones, del precio unitario p (ptas/kg), de la materia que encierra y de la densidad d dela misma:

V = f(r, h, p, d) = πr2hpd

V aparece como un campo escalar de cuatro variables.

59

60 CAPITULO 6. EL ESPACIO EUCLIDEO: ESTRUCTURA TOPOLOGICA

Ejemplo 6.1.4 (La funcion norma)Este es un ejemplo de una funcion definida por propiedades. Sea f : IRn −→ IR que cumple:

1. f(x + y) ≤f(x) + f(y) para cada x,y ∈ IRn(Desigualdad triangular).

2. f(x) = 0 si y solo si x = 0.

3. f(x) ≥ 0 para cada x ∈ IRn.

4. f(αx) =| α | f(x) donde α ∈ IR.

A esta funcion f(x) se la denota como ‖ x ‖. La funcion norma es un concepto deimportancia en matematicas por eso simplemente se la denomina norma.

Los ejemplos siguientes aclaran un poco el ejemplo anterior.

Ejemplo 6.1.5 (La norma Euclıdea, o norma 2)Sea x ∈ IRn definimos la norma euclıdea x como

‖ x ‖2=√

x21 + · · · + x2

n

se puede mostrar que esta definicion cumple las propiedades del Ejemplo 6.1.4. La normaeuclıdea sera la que mas usaremos, en lo que queda del curso.

Ejemplo 6.1.6 (La norma maximo, o norma ∞)Sea x ∈ IRn definimos la norma maximo x como

‖ x ‖∞= max {| x1 |, · · · , | xn |}se puede mostrar que esta definicion cumple las propiedades del Ejemplo 6.1.4.

Ejemplo 6.1.7 (La norma 1)Sea x ∈ IRn definimos la norma 1 de x como

‖ x ‖1=| x1 | + · · ·+ | xn |se puede mostrar que esta definicion cumple las propiedades del Ejemplo 6.1.4.

Ejemplo 6.1.8 Determınese el dominio y el rango del campo escalar

z = f(x, y) =√

9 − x2 − y2

Solucin: Dom(f) ={(x, y) : x2 + y2 ≤ 3

}y R(f) = [0, 3] .

Las operaciones de suma, resta, multiplicacion se definen en forma similar al caso de fun-ciones de una variable real. Definiremos a continuacion la composicion de campos vectoriales

Definicion 6.1.1 (Composicion de campos vectoriales)Sea F :IRm −→ IRp y G :IRn −→ IRm decimos que la funcion de composicion F ◦ G estadefinida sı la imagen del dominio de G esta contenido en el dominio de F esto es:

G (Dom (G)) ∩ Dom (F) 6= ∅El campo vectorial F◦G:IRn −→ IRp esta definido como (F ◦ G) (x) = F (G (x)) . Diremos quela composicion de los campos vectoriales F y G esta bien definida en a si a∈ Dom (F ◦ G) .

6.1. FUNCIONES DE IRN EN IRM 61

Ejemplo 6.1.9 Sea F :IR2 −→ IR2 y G :IR2 −→ IR2 definidos por

G(x, y) =(y2 − x, y2 − x − 1

)y F(u, v) =

(ln (u) ,

√v)

Determınese el campo vectorial F ◦ G Determinar tambien el dominio de F ◦ G.

Solucion: Es claro que Dom(G) = IR2 y Dom(F) = {(u, v) : u > 0, v ≥ 0} entonces

G (IR2) = IR2 ∩ Dom (F) = {(u, v) : u > 0, v ≥ 0} 6= ∅

Entonces

H (x, y) = (F ◦ G) (x, y) =(

ln(y2 − x

),√

y2 − x − 1)

Denotamos con Dom1(H) (Dom2(H)) el dominio de la primer (segunda) componente delcampo vectorial. Es claro que el D(H) es la interseccion de D1(H) y D2(H). Entonces

Dom (H) ={(x, y) : y2 > x

}∩

{(x, y) : y2 ≥ x + 1

}=

{(x, y) : y2 ≥ x + 1

}6.1.2 Representacion grafica. Curvas y superficies de nivel

Graficar funciones de una variable real nos ha ayudado intuitivamente sobre la validez deposibles propiedades de las funciones. Ahora trataremos de graficar campos escalares y vecto-riales para que nos ayuden a ver posibles propiedades de estos campos. Ya que solo podemosrepresentar graficamente un espacio de dimension 3 podremos graficar campos escalares dedos variables (i.e f : IR2 → IR) y campos vectoriales de una variable (i.e F: IR → IR2). En unprimer momento graficaremos campos escalares.

Definicion 6.1.2 Sea f : IRn → IR la grafica de f esta definida como un subconjunto de IRn+1

Gr (f) ={(x, f (x)) ∈ IRn+1 : x ∈ Dom (f)

}Nota 6.1.2 Usaremos Mahtematica para graficar campos escalares de dos variables. La or-den es Plot3D[f, {x, xinicial, xfinal} ,{y, yinicial, yfinal},opciones]

Ejemplo 6.1.10 Fig. 1 representa la grafica de la funcion f (x, y) = 6−2x−3y que ha sidograficada con la ordenPlot3D [6 − 2x − 3y, {x,−2, 2}, {y,−3, 3} , AxesLabel− > {X, Y, Z}, V iewPoint− > {3, 3, 3}].Un ejercicio obsoleto serıa tratar de hacer esta grafica sin la ayuda del ordenador. Una formade hacer esto es hacer los siguientes pasos:

1. Hay que pensar que tipo de grafica es la que queremos realizar. En este caso es un plano.

2. hacer el sistema de coordenadas.

3. dibujar en el primer cuadrante positivo del plano x–z la funcion z = f (x, 0) = 6 − 2x(esto darıa una recta que une el punto 6 del eje z con el punto 3 del eje x)

4. Idem al punto anterior pero para el plano y–z. La funcion es z=f (0, y) = 6 − 3y.


5. Idem la punto anterior pero para el plano x–y. La funcion serıa z=0=f (x, y) = 6 −2x − 3y o lo que es lo mismo la recta que une los puntos 2 del eje y con el punto 3del eje x. Lo que hemos dibujado en este punto junto con los dos anteriores son lainterseccion de la grafica de la funcion con los planos y, x y z respectivamente. Engraficos mas complicados se trata de seguir dibujando intersecciones de la grafica conplanos paralelos a los anteriores por ejemplo f (x, 1) = 6 − 2x − 3, f (x, 2) = −2x, etc.La Fig.4.1′ ha sido realizada usando este mecanismo.

0

1

2

3

X

0

0.5

1

1.5

2

Y

-5

0

5

Z

0

1

2

3

X

0

0.5

1

1.5

2

Y

-5

0

5

Fig.4.1

4x

y

z

1 2 3 4

1234567

12

3

Fig.4.1′

Ejemplo 6.1.11 (Silla de montar)Sea f (x, y) = x2 − y2. La Fig.4.2 ha sido realizada con la ordenPlot3D

[x2 − y2, {x,−2, 2}, {y,−2, 2} , AxesLabel− > {X, Y, Z}]

-2

-1

0

1

2

X

-2

-1

0

1

2

Y

-4

-2

0

2

4

Z

-2

-1

0

1

2

X

-2

-1

0

1

2

Y

-4

-2

0

2

4

Fig.4.2

Los comentarios del ejemplo 6.1.10 nos lleva a introducir la definicion siguiente

Definicion 6.1.3 (Conjunto de nivel)Dado un campo escalar y = f(x) una c–conjunto de nivel o simplemente un conjunto de niveles el conjunto

{x ∈ IRn : f (x) = c}Cuando n=2, el conjunto de nivel es un subconjunto de IR2 que lo denominaremos curva denivel. Si n=3, el conjunto de nivel es una superficie en IR3 a la que denominaremos superficiede nivel.

A nosotros nos interesaran al prinicipio (o siempre) solo las curvas de nivel. Las graficasde las curvas de nivel de una funcion nos permite ver el comportamiento de la funcion sintener que dibujar una superficie en IR3 que en general es mas difıcil de dibujar. Por ejemplomapas que representan los accidentes de un terreno (como pueden ser montanas, picos, valles,etc) se representan con curvas de nivel. Notamos que cuando dibujamos varias curvas de nivelestas no se cortan (ya que f es una funcion), ademas cuanto mas cerca estan dos curvas de

6.2. LIMITE Y CONTINUIDAD 63

nivel nos dicen que la variacion de la funcion es mas grande(!) es decir la altura (ya que lascurvas de nivel es la interseccion de la grafica de la funcion con un plano paralelo al planohorizontal (plano x–y)) de la funcion varıa mas rapidamente.

Nota 6.1.3 Nuevamente usaremos Mathematica para graficar las curvas de nivel. La ordenContourPlot[f, {x, xmin, xmax} , {y, ymin, ymax} , opciones] nos da una familia de 10 curvas denivel.

Ejemplo 6.1.12 La Fig.4.1b nos da las curvas de nivel del ejemplo 6.1.10. La zonas masoscuras corresponden a valores mas grandes de c. Esta grafica ha sido realizada con la ordenContourPlot[6 − 2x − 3y, {x, 0, 3} , {y, 0, 2}] .

Ejemplo 6.1.13 La Fig.4.2b nos da las curvas de nivel del ejemplo6.1.11. Ha sido realizadacon la orden ContourPlot[xˆ2 − yˆ2, {x,−2, 2} , {y,−2, 2} , P lotPoints− > 40]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.5

1

1.5

2

Fig.4.1b-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Fig.4.2b.

6.2 Lımite y continuidad

6.2.1 Conceptos basicos

El concepto de lımite, que utilizaremos para definir la derivada o diferencial, es fundamentalpara el estudio del comportamiento de los campos escalares y vectoriales. Antes de definirlımite daremos algunas definiciones que nos seran de utilidad

Definicion 6.2.1 (Producto Escalar)Sean x,y ∈ IRn, el producto escalar de x e y esta definido por

x.y =‖ x ‖‖ y ‖ cos α (6.1)

donde α mide el angulo que forman x e y. En el caso que la norma usada en la ecuacion(6.1) sea la norma euclıdea la ecuacion (6.1) (se puede verificar) que se transforma en

x.y =n∑

i=1

xiyi

El producto escalar tiene las siguientes propiedades

Proposicion 6.2.1 Sean x,y, z ∈ IRn entonces vale lo siguiente:


1. x.(y + z) = x.y + x.z.

2. x.αy = α(x.y) para cada α real.

3. x.y = y.x.

4. x.x ≥ 0 y x.x = 0 si y solo si x=0.

5. | x.y |≤‖ x ‖‖ y ‖ Desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Solucion: Queda para los alumnos.Otro concepto que utilizaremos es el de distancia

Definicion 6.2.2 (Distancia)Sean x,y ∈ IRn la distancia entre x e y es

d (x,y) =‖ x − y ‖ (6.2)

En el caso que usemos la norma euclıdea la ecuacion (6.2) nos queda

d (x,y) =

(n∑

i=1

(xi − yi)2)1/2

Las siguientes son generalizaciones de conceptos estudiados en Matematicas I (es decircuando se estudio funciones de una variable real).

Definicion 6.2.3 (n–Bola abierta, o Bola abierta)Sea a ∈ IRn y r un numero real, la bola abierta centrada en a y radio r, es el conjunto

B (a, r) = {x ∈ IRn : d (x,a) r} = {x ∈ IRn :‖ x − a ‖ r}En IR una bola abierta es simplemente un intervalo abierto con punto medio en a. En IR2 ycon la norma euclıdea es un circunferencia centrada en a con radio r sin el borde(!)

Definicion 6.2.4 (n–Bola cerrada, o Bola cerrada)Sea a ∈ IRn y r un numero real, la bola abierta centrada en a y radio r, es el conjunto

B (a, r) = {x ∈ IRn : d (x,a) ≤ r} = {x ∈ IRn :‖ x − a ‖≤ r}En IR una bola cerrada es simplemente un intervalo cerrado con punto medio en a. En IR2 ycon la norma euclıdea es un circunferencia centrada en a con radio r con el borde(!)

Nota 6.2.1 Ya que las bolas abierta y/o cerradas a las que llamaremos simplemente bolas(cuando no necesitemos distinguier si es abierta y/o cerrada) dependen de cual de las normasestamos usando. Se puede mostrar que todas las bolas definidas por las distintas normas sonequivalentes en el sentido que dada una bola por ejemplo definida con la norma 2 existe unabola definida con lo norma 1 (o ∞) la cual esta contenida en la bola definida con la norma 2.E inversamente.

Definicion 6.2.5 (Punto interior)Sea S un subconjunto de IRn y supongamos que a ∈ S. Se dice que a es un punto interior de Ssi existe una bola abierta con centro en a, cuyos puntos pertenecen todos a S. Es decir existeun real r > 0 tal que

B (a, r) ⊂ S

Denotaremo por S◦ el conjunto de todos los puntos interiores de S.


Definicion 6.2.6 (Conjunto Abierto)Un conjunto S de IRn es un conjunto abierto si todos sus puntos son interiores. Es decir paracada a ∈ S exitste una bola abierta contenida en S. Se puede mostrar que S es abierto si ysolo si S = S◦

Definicion 6.2.7 (Conjunto cerrado)Un conjunto S de IRn es un conjunto cerrado si el complemento es abierto. Es decir paracada a /∈S existe una bola abierta contenida en el complemento de S. O lo que es lo mismoSc = (Sc)◦ .

Ejemplo 6.2.1 En IR un intervalo (a, b) es un conjunto abierto. Tambien la union de doso mas intervalos abiertos es tambien un conjunto abierto. Un ejemplo de un conjunto que noes abierto es un intervalos cerrado o semicerrado.

Ejemplo 6.2.2 En IR2 una 2–bola centrada en 0 y radio 1, B (0, 1) es un conjunto abierto.Al igual que en el ejemplo anterior una union de bolas abiertas es un conjunto abierto. Ejem-plos de conjuntos que no son abiertos son rectangulos con bordes, cırculos con bordes, bolascerradas. Se puede mostrar que la interseccion finita de conjuntos cerrados es un conjuntocerrado.

Ejercicio 6.2.1 Sea (a,b) un intervalo abierto de la recta real y I = {(x, 0) : x ∈ (a, b)}.Mostrar que I no es un conjunto abierto de IR2. Se puede generalizar este ejercicio al siguiente:Sea S un conjunto abierto de IRn entonces probar que S no es un conjunto abierto de IRn+1.Donde

S = {(x1, ..., xn, 0) : (x1, ..., xn) ∈ S}

Definicion 6.2.8 (Punto adherente)Sea a∈ IRn y S ⊂ IRn.a es un punto adherente si para toda bola abierta se cumple que

B (a, r) ∩ S 6= ∅

El conjunto de todos los puntos adherentes de S se llama la clausura de S y se denota por S.Es inmediato que S ⊂ S.

Ejemplo 6.2.3 B (x, r) = B (x, r) , tambien B (x, r) = B (x, r), esto se puede generalizar aS =S. para cualquier conjunto S.

Ejercicio 6.2.2 S es un conjunto cerrado si y solo si S = S.

Definicion 6.2.9 (Punto de acumulacion)Sea a∈ IRn y S⊂ IRn.a es in punto de acumulacion de S si a es un punto adherente deS − {a} . S′ denotara el conjunto de puntos de acumulacion de S.

Ejemplo 6.2.4 (B (x, r))′ = B (x, r) en este ejemplo vemos que el conjunto de puntos deacumulacion coincide con la clausura (es decir con el conjunto de puntos adherente) pero estono vale en general. Veamos el siguiente

Ejercicio 6.2.3 Sea S = {1, 2} ⊂ IR mostrar que S′ = ∅ y S = S. Ayuda: hacer un dibujoadecuado!


Otro ejercicio es el siguiente

Ejercicio 6.2.4 S es un conjunto cerrado si y solo si S′ ⊂ S

Definicion 6.2.10 (Punto frontera)Sea a∈ IRn y S⊂ IRn.a es in punto frontera si para toda bola abierta se cumple que

B (a, r) ∩ S 6= ∅ y B (a, r) ∩ Sc 6= ∅El conjunto de todos los puntos frontera de S se llama la frontera de S y se denota por fr(S).Es claro que fr(S) = fr(Sc). Tambien se puede mostrar que fr(S) = fr(S), para cualquierconjunto S.

Ejercicio 6.2.5 Mostrar que S = S ∪ fr(S)

Ejercicio 6.2.6 Mostrar que S es un conjunto cerrado si y solo si fr(S) ⊂ S.

Definicion 6.2.11 (Conjunto acotado)S ⊂ IRn es un conjunto acotado si existe un n–bola abierta que contiene al conjunto S. Esdecir existe un numero real r > 0 tal que

S ⊂ B (0, r)

Definicion 6.2.12 (Conjunto compacto)S ⊂ IRn es un conjunto compacto si es cerrado y acotado.

6.2.2 Sucesiones

Si a cada numero natural m le asociamos un numero am ∈ IRn decimos que el conjuntoordenado a1,a2, ...,am, ... define una sucesion en IRn. Es decir una sucesion es una aplicacions : IN → IRn tal que s(m) = am . Indicaremos esta sucesion como {am}m∈IN . Si I es elconjunto de indices, indicaremos la sucesion como {am}m∈I . Llamaremos a am el terminom–esimo de la sucesion.

Definicion 6.2.13 (Sucesion convergente)Se dice que la sucesion {am}m∈IN es convergente si existe un x∈IRn tal que la sucesion seaproxima tanto como queremos a x. Esto es, para cada ε > 0 existe n(ε) > 0 tal que paracada m > n(ε) vale que d (am,x) < ε. En este caso decimos que el lımite de la sucesion es x.Lo denotaremos por

limm→∞am = x o am → x (m → ∞) oam → x

El caso que la sucesion no es convergente diremos que es divergente.

Nota 6.2.2 Sea {am}m∈IN una sucesion. {am}m∈IN que converge a x entonces x es un puntode acumulacion de {am}m∈IN

Ejemplo 6.2.5 Sea am = (1/(m + 1), 2) es claro que esta sucesion converge a x =(0,2).

Ejemplo 6.2.6 Sea am = ((−1)m, 1/(m + 1)) es claro que esta sucesion no converge porquesi desarrollamos algunos terminos (-1,1/2), (1,1/3), (-1,1/4),... la primer componente saltaentre -1 y 1 mientras que la segunda componente se aproxima a 0. Los siguientes resultadosnos ayudaran a decidir cuando una sucesion es convergente.


Proposicion 6.2.2 Una sucesion es convergente si y solo si cada componente es convergente.Esto es {am}m∈IN es convergente si y solo si para cada i = 1, ..., n {am

i }m∈IN , es convergentedonde am = (am

1 , ..., amn ).

El siguiente resultado es una generalizacion directa de sucesiones de una variable (es decirsucesiones definidas en IR.

Proposicion 6.2.3 Si una sucesion es convergente entonces el lımite es unico.

Demostracion: Es similar al caso de una variable.Sea {am}m∈IN una sucesion, indicaremos por {amk}k∈IN una subsucesion de {am}m∈IN

donde mk ∈ IN , y m1 < m2 < ...

Proposicion 6.2.4 Si {am}m∈IN converge hacia x entonces cualquier subsucesion convergetambien hacia x.

Demostracion: Queda como ejercicio.

Nota 6.2.3 Volviendo al ejemplo 6.2.6 y utilizando el resultado anterior vemos que la sub-sucesion de los numeros pares converge a (1,0) mientras que la de los impares converge a(-1,0), entonces por proposicion 6.2.4 la sucesion no puede ser convergente.

El resultado siguiente nos da otra caractarizacion de conjuntos compactos

Proposicion 6.2.5 Sea S ⊂ IRn, S es un conjunto compacto si y solo si cualquier sucesionde puntos de S, tiene una subsucesion que converge a un punto de S.

6.2.3 Definicion de lımite

Definicion 6.2.14 (Lımite de una funcion)Sea f : D ⊂ IRn → IR, y a un punto de acumulacion de D decimos que l es el lımite de fcuando x se aproxima a a si f se aproxima a l tanto como uno quiere cuando x se aproximaa a. Esto es dado un ε > 0 existe δ> 0 tal que para cada x ∈ B (a, δ) ∩ (D − {a}) entonces‖ f(x) − l ‖< ε. Esto lo denotaremos por

limx→a

f (x) = l

Ejemplo 6.2.7 Sea

f(x, y) =

{x2 + y (x, y) 6= (0, 0)

1 (x, y) = (0, 0)

Es inmediato mostrar que limx→0 f (x) = 0. Note tambien que limx→0 f (x) = 0 6= f (0) = 1

Proposicion 6.2.6 Si el lımite existe es unico

El resultado siguiente sera de utilidad para determinar si el lımite de una funcion noexiste(!)

Proposicion 6.2.7 Sea f : D ⊂ IRn → IR, y a un punto de acumulacion de D. limx→a f (x) =l si y solo si para cada sucesion xm → a entonces la sucesion f(xm) → l.


Nota 6.2.4 El resultado anterior se usa para demostrar que limx→a f (x) = l no existe.Esto es: Hay que encontrar dos sucesiones distintas {xm} e {ym} que converjan a a y lasimagenes por f de estas sucesiones converjan a lımites distintos.

Ejemplo 6.2.8 Sea f(x + y) = (x − y)/(x + y) si x + y 6= 0. Si tomamos las sucesionesxm = (1/m, 0) e ym = (0, 1/m) vemos que limm→∞ f ((1/m, 0)) = 1 mientras quelimm→∞ f ((0, 1/m)) = −1.

Puesto que estas definiciones son extensiones directas del caso uni–dimensional, no debesorprender que muchas de las propiedades de los lımites tambien puedan extenderse. Porejemplo, los teoremas relativos a sumas, productos, etc.

Teorema 6.2.1 Si limx→a f (x) = l, y limx→a g (x) = k, entonces:

1. limx→a [f (x) + g (x)] = l + k

2. limx→a αf (x) = αl para todo α real

3. limx→a f (x) · g (x) = l · k4. limx→a ‖ f (x) ‖=‖ l ‖El resultado siguiente nos da una relacion que existe entre lımite de una funcion y lımite

de funciones de una variable

Proposicion 6.2.8 Sea f : D ⊂ IR2 → IR. Si lim(x,y)→(a1,a2) f (x, y) = l entonces

limy→a2

[lim

x→a1f (x, y)

]= lim

x→a1

[lim

y→a2f (x, y)

]= l

Estos lımites se los llama lımites iterados

El ejemplo siguiente muestra que los lımites iterados pueden existir y ser iguales pero ellımite de la funcion no existe.

Ejemplo 6.2.9 Sea f(x, y) =(3x2y3

)/

(2y5 − 2x5

). Calculemos el lımite iterado cuando

(x, y) → (0, 0). Es inmediato que limx→0 f (x, y) = 0 (ya que y 6= 0), y tambien limy→0 f (x, y) =0 por lo tanto los lımites iterados existen y son iguales. Para mostrar que el lımite no existeusaremos Proposicion 6.2.7. Note que debido a la existencia del lımite iterado si el lımiteexiste este valdria 0. Ahora construiremos una sucesion (xm, ym)m∈IN tal que f (xm, ym) noconverja a 0. Sea ym = xm/2 entonces f (xm/2, xm) = 24/62 y por ser constante entoncesesta sucesion converge a 24/62 6= 0.

6.2.4 Continuidad

La definicion siguiente es una generalizacion inmediata de funciones de una variable real

Definicion 6.2.15 (Funciones continuas)Sea f : D ⊂ IRn → IR, y a∈ D decimos que f es continua en a si

limx→a

f (x) = f (a) (6.3)

Si f es continua en todo punto de D decimos que f es continua en D. Usando que x−a = hla ecuacion (6.3) nos queda

limh→0

f (a + h) = f (a)


Ejemplo 6.2.10 Sea f(x, y) = 2x + 3y (es decir f es una transformacion lineal). De-mostraremos que esta funcion es continua en cualquier punto a∈ IR2. Por linealidad tenemosque f (a + h) = f (a) + f (h) por lo tanto basta mostrar la continuidad de f en (0,0). Peroesto es inmediato.

Ejemplo 6.2.11 (Continuidad y componentes de un campo vectorial)Si un campo vectorial F tiene los valores en IRn, cada uno de los valores F(x) tiene mcomponente y podemos escribir

F (x) = (f1 (x) , · · · , fm (x))

Los m campos escalares f1 (x) , · · · , fm (x) se llaman componentes del campo vectorial F.Diremos que F es continuo en un punto si y solo si, cada componente fk (x) es continuo endicho punto.

Ejemplo 6.2.12 El ejemplo 6.2.7 es un ejemplo de una funcion no continua.

Los resultados siguiente nos ayudara a reconocer funciones y/o campos vectoriales contin-uos.

Teorema 6.2.2 Si limx→a f (x) = f (a) , y limx→a g (x) = g (a) , entonces:

1. limx→a [f (x) + g (x)] = f (a) + g (a)

2. limx→a αf (x) = αf (a) para todo α real

3. limx→a f (x) · g (x) = f (a) · g (a)

Teorema 6.2.3 Sean f y g dos funciones tales que la funcion compuesta f ◦ g este biendefinida en a siendo (f ◦ g)(x) = f [g (x)] . Si g es continua en a y f es continua en g(a)entonces la funcion compuesta (f ◦ g) es continua en a.

Ejemplo 6.2.13 El teorema anterior implica la continuidad de los campos escalares h, cuan-do h(x, y) esta definida por formulas tales como

cos(x2y), exp(x − y3), log(cos

(exp(x − y3)

))En estos ejemplos las funciones son continuas en todos los puntos en los que estan definidas.

Capıtulo 7

La derivada en IRn

7.1 La derivada de una funcion escalar respecto de un vector

En funciones de una variable real, estudiamos la variacion de una funcion cuando nos des-plazabamos de un punto a otro proximo. Pues bien, ahora deseamos estudiar la variacionde una funcion escalar, es decir, de IRn en IR, cuando nos desplazamos desde a a un puntoproximo que pertenece al dominio de dicha funcion. En general, la variacion de la funciondependera de la direccion en la que nos movemos a partir de a. Sea S ⊂ IRn , f : S → IR unafuncion y a∈ S◦. Estudiaremos la variacion de la funcion en un punto a y en una direccionque la representaremos por el vector v . Es decir, nos movemos de a hacia otro punto a+v ,siguiendo la recta que une ambos puntos. Cada punto de la recta tiene la forma a+hv dondeh ∈ IR. La distancia entre esos dos puntos es ‖ hv ‖=| h |‖ v ‖.

y

a

a+hv

v

xFig.1

Puesto que a∈ S◦, existe una bola B(a,r)⊂S. Si h se elije tal que a+hv ∈ S entonces elsegmento que une a con a+hv estara contenido en S. Mantengamos h 6= 0, pero tal que elsegmento antes mencionado permanezca en S. El cociente

f(a + hv) − f(a)h

(7.1)

nos da la variacion de la funcion cuando nos desplazamos desde a hasta a+hv, y se denominapromedio de variacion de f en el segmento de recta que une a con a+hv.

Definicion 7.1.1 Dada una funcion f : S → IR , S ⊂ IRn, a∈ S◦ y v ∈ IRn. La derivada def en a con respecto a v, que la representamos con el sımbolo f ′(a ; v ) es

f ′(a ;v) = limh→0

f(a + hv) − f(a)h

(7.2)

71

72 CAPITULO 7. LA DERIVADA EN IRN

cuando tal lımite existe.

Ejemplo 7.1.1 Sea f : IR2 → IR definida por

f(x, y) = cx + by

y v = (v1, v2) entonces

f(a + hv) − f(a)h

=c(a1 + hv1) + b(a2 + hv2) − (ca1 + ba2)

h=

h(cv1 + bv2)h

donde a=(a1, a2) . Por lo tanto

f ′(a ;v) = cv1 + bv2 (7.3)

La funcion f es una transformacion lineal y observamos que la derivada en cualquier direccionv existe y es la misma transformacion lineal evaluada en (v1, v2) es decir,

f ′(a ;v) = f(v)

Ejemplo 7.1.2 Sea f : IR2 → IR definida por f(x, y) = x13 y

23 . Calculemos la derivada de f

en el punto (0,0) y en la direccion(

1√2, 1√

2

)es decir, debemos calcular

limh→0

f((0, 0) + h

(1√2, 1√

2

))− f(0, 0)

h

Podemos considerar la funcion f restringida a la recta dada por{t(

1√2, 1√

2

): t ∈ IR

}como

una funcion de una variable

g(t) = f

((0, 0) + t

(1√2,

1√2

))cuya grafica coincidira con la seccion vertical de la superficie z = f(x, y) por el plano verticalque pasa por (0,0) con direccion (1,1). Entonces

f ′(

(0, 0);(

1√2,

1√2

))=

dg(0)dt

= g′(0)

Esto nos proporciona una manera util de calcular, y de imaginar graficamente, la derivada

Ejercicio 7.1.1 Completar el ejemplo (7.1.2), haciendo los calculos para la funcion dada..

Como una generalizacion del ejemplo (7.1.2), tenemos

Teorema 7.1.1 Si g(t) = f(a + tv) y si una de las derivadas g′(t) o f ′(a + tv;v) existe,entonces tambien existe la otra y coinciden,

g′(t) = f ′(a + tv;v)

En particular, cuando t = 0 tenemos g′(0) = f ′(a;v).

Ejercicio 7.1.2 Demostrar el teorema (7.1.1).-

7.2. DERIVADAS DIRECCIONALES Y DERIVADAS PARCIALES 73

7.2 Derivadas direccionales y derivadas parciales

Cuando ‖ v ‖= 1, la distancia entre a y a+hv es | h |. En tal caso el cociente (7.1) representala variacion de la funcion por unidad de distancia.

Definicion 7.2.1 Si v es un vector unitario, la derivada f ′(a;v) se llama la derivada di-reccional de f en a en la direccion v. En particular, si v = ek (k-esimo vector coordenadounitario) la derivada direccional f ′(a , ek) se denomina derivada parcial respecto a ek y serepresenta mediante el sımbolo Dkf(a). Ası pues

Dkf(a) = f ′(a; ek) (7.4)

La definicion (7.1.1) para una funcion f definida en IR2 nos quedara

D1f(a) = limh→0

f(a1 + h, a2) − f(a1, a2)h

Consideremosl(x) = f(x, a2)

Observamos que

l′(a1) =dl

dx(a1) = D1f(a)

En forma analoga para D2f(a). En consecuencia, la interpretacion para derivadas parcialeses que para obtener la derivada respecto de x (o y) se deriva considerando a la funcion comodependiente solo de la variable x (o y). Geometricamente

y=a

z

a

a

z-

g(x)=f(x,a )

a =f (a ,a )(x-a )3 2 1 1x

y=a2

2

2

3

a1

x

y

Fig.2

En el punto (a1, a2, a3) la recta tangente a la curva definida por z = f(x, a2) tiene comopendiente a D1f(a).

Otra notacion usada para (7.4)

∂f

∂xk(a1, ..., an)

En IR3, si a=(a, b, c) las derivadas parciales se designan

∂f

∂x(a, b, c) ,

∂f

∂y(a, b, c) y

∂f

∂z(a, b, c)

oD1f(a, b, c) , D2f(a, b, c) y D3f(a, b, c)


Ejemplo 7.2.1 Sea f(x, y) = x2 + xy ,a=(1,3), v = (−1, 2). Calculemos la derivada direc-cional de f en el punto a y en la direccion v.

Lo primero que debemos hacer es normalizar al vector v. Sea

w= v‖v‖

De acuerdo a (7.2)

f ′(a ;w) = limh→0

(1 − h√5)2 + (1 − h√

5)(3 + 2 h√

5) − 4

h= lim

h→0

−h(h + 3)h√

5

Por lo tantof ′(a ;w) = − 3√

5

Este valor representa la variacion instantanea de f en el punto (1,3) en la direccion dada v.

Ejemplo 7.2.2 Sea f(x, y) = x2 cos y + ysenx , tenemos

∂f

∂x(x, y) = 2x cos y + ycosxquad,

∂f

∂y(x, y) = −x2seny + senx

Nota 7.2.1 El (7.1.2) la derivada que se ha calculado es la derivada direccional.

7.2.1 Derivadas parciales de orden superior

Las derivadas parciales de primer orden originan nuevas funciones D1f, ..., Dnf por lo tan-to podemos calcular sus derivadas llamadas derivada segunda de f . Para funciones de dosvariables existen cuatro derivadas parciales de segundo orden

D1(D1f) =∂2f

∂x2, D1(D2f) =

∂2f

∂x∂y, D2(D1f) =

∂2f

∂y∂x, D2(D2f) =

∂2f

∂y2

y

∂2f

∂y∂x=

∂

∂y

(∂f

∂x

)y

∂2f

∂x∂y=

∂

∂x

(∂f

∂y

)(7.5)

a estas derivadas parciales segundas se les llama “derivadas cruzadas”.

Ejemplo 7.2.3 Sea f(x, y) = x4 + y3 − 4x2y2 , tenemos

∂f

∂x(x, y) = 4x3 − 8xy2 ∂f

∂y(x, y) = 3y2 − 8x2y

∂2f

∂x2= 12x2 − 8y2 ∂2f

∂y2= 6y − 8x2

∂2f

∂y∂x=

∂

∂y

(4x3 − 8xy2

)= −16xy y

∂2f

∂x∂y=

∂

∂x

(3y2 − 8x2y

)= −16xy

En este ejemplo vemos que las derivadas parciales cruzadas son iguales.

7.2. DERIVADAS DIRECCIONALES Y DERIVADAS PARCIALES 75

Nota 7.2.2 Este ejemplo sugiere la siguiente pregunta: ¿ Son siempre iguales las derivadasparciales cruzadas ? La respuesta es no, si bien la igualdad se cumple en puntos “donde lafuncion no presenta problemas”. El siguiente ejercicio muestra que existen funciones cuyasderivadas cruzadas en un punto no son iguales:

Ejercicio 7.2.1 Sea

f(x, y) =

{xy x2−y2

x2+y2 para (x, y) 6= (0, 0)0 para (x, y) = (0, 0)

Demostrar que D21f(0, 0) = ∂2f∂y∂x(0, 0) = −1 y D12f(0, 0) = ∂2f

∂x∂y (0, 0) = 1.

Sugerencia: Utilice la definicion :

D21f(0, 0) = limk→0

D1f(0, k) − D1f(0, 0)k

En forma analoga para D12f(0, 0).

Teorema 7.2.1 Si f es una funcion escalar tal que las derivadas parciales D1f, D2f, D12fy D21f existen en un conjunto abierto S. Si (x1, x2) es un punto de S, y en tal punto D12f yD21f son continuas, entonces tenemos

D12f(x1, x2) = D21f(x1, x2)

7.2.2 Derivadas direccionales y continuidad

Uno de los resultados que conocemos para funciones f : IR → IR es que si la funcion esderivable entonces es continua. Veamos ahora si podemos tener algun resultado semejante aeste para funciones f : IRn → IR. Lo que uno pensarıa es que si f : IRn → IR es derivable enun punto a en cualquier direccion v entonces es continua en el punto a. Pues este resultadoes falso, veamos el siguiente

Ejemplo 7.2.4 Sea f una funcion escalar definida en IR2 del modo siguiente:

f(x, y) =

{xy2

x2+y4 si x 6= 00 si x = 0

(7.6)

Veamos si existe la derivada en el punto a= (0, 0) en cualquier direccion v = (v1, v2). Con-sideremos h 6= 0

f(a + hv) − f(a)h

=f(hv) − f(0)

h=

f(hv1, hv2)h

=v1v

22

v21 + h2v4

2

Si v1 6= 0 y haciendo h → 0 tenemos f ′(0,v) = v22

v1existe. Analizemos el caso v = (0, v2).

Encontramos quef(hv1, hv2)

h=

f(0, hv2)h

= 0

Por lo tanto existe la derivada en el punto a en cualquier direccion. Ahora analizemos lacontinuidad de la funcion en el punto dado. Calculemos el lımite de la f en la direccionx = y2, mediante un simple calculo tenemos que f(y2, y) = 1

2 , por lo tanto f(x, y) → 12

cuando x → 0 en la direccion x = y2.De acuerdo a la definicion dada de f en (7.6) resultaque f no es continua.

Existe un concepto llamado diferencial que es mas general y nos permitira extender losconceptos ya vistos para funciones de una variable real.


7.3 Diferenciabilidad

Ya hemos visto linealidad y continuidad como dos caracterısticas utiles de funciones de IRn

en IR. Pero sabemos que una funcion arbitraria no tiene porque ser lineal o continua. Hayfunciones que no son lineales, pero localmente actuan como una funcion lineal. Tales funcionesson las funciones diferenciables. Con el fin de obtener una definicion de funciones diferencialescuyo dominio es un subconjunto de IRn es conveniente recordar lo visto para n = 1. Si f esuna funcion cuyo dominio es (a, b) ⊂ IR y si x ∈ (a, b), entonces a la derivada en dicho puntose define como el numero real

f ′(x) = limh→0

f(x + h) − f(x)h

siempre que este lımite exista. Por lo que

f(x + h) − f(x) = f ′(x)h + hEx(h) (7.7)

dondelimh→0

Ex(h) = 0

Notese que en (7.7) f ′(x)h es una funcion lineal de h y es una aproximacion de la diferenciaf(x+h)− f(x) en un entorno del punto x . A la aplicacion h → f ′(x)h se le llama diferencialde f en x y se la designa como df(x), es decir

df(x)(h) = f ′(x)h (7.8)

Si i(x) = x, tenemos que

di(x)(h) = i′(x)(h) = 1.h = h (7.9)

pero

di(x)(h) = dx(h) (7.10)

de (7.9) y (7.10) y como x es un punto arbitrario, tenemos que

di(x)(h) = dx(h) = h (7.11)

Por lo tanto (7.8) nos queda

df(x)(h) = f ′(x)(h) = f ′(x)dx(h) (7.12)

es decir que a la funcion diferencial la podemos notar como

df(x) = f ′(x)dx (7.13)

Recordando el concepto de transformacion lineal, podemos observar que si tenemos unatransformacion lineal T de IRn en IR, vemos que el grafico de tal transformacion es un hiper-plano en IRn+1. Sabemos que Gr(T ) = {(x, xn+1) ∈ IRn × IR : xn+1 = T (x)} .

Ejemplo 7.3.1 Sea T definida por

T (x, y) = 2x + 3y

elGr(T ) = {(x, y, z) : z = 2x + 3y}

representa un plano en IR3.

7.3. DIFERENCIABILIDAD 77

Una funcion diferenciable tiene la propiedad de que para cualquier punto del dominio, elgrafico se puede mirar localmente como un hiperplano, o lo que es lo mismo, en un entornodel punto, a la funcion se la puede aproximar mediante una transformacion lineal. Es decir:Una funcion f : IRn → IR es diferenciable en un punto x = (x1, ..., xn) si, cuando x esta cercade x , f(x) cerca de x se aproxima a una funcion lineal Tx : IRn → IR. Dicho de otra forma,f : IRn → IR es diferenciable en un punto si cerca de este punto se comporta igual que latransformacion lineal que tiene por grafico el plano tangente a la grafica de f en dicho punto.

Formalizemos este concepto:

Definicion 7.3.1 Sea f : S → IR una funcion, donde S es un conjunto abierto en IRn , ya ∈ S. Si existe una transformacion lineal Ta de IRn en IR, tal que

lim‖h‖→0

f(a + h) − f(a) − Ta(h)‖ h ‖ = 0 (7.14)

decimos que f es diferenciable en a, y su diferencial es Ta .

Si f es diferenciable para todo punto de S decimos que es diferenciable en S.En (7.14) se sobreentiende, naturalmente, que h ∈ IRn; si ‖ h ‖ es suficientemente pequeno,

entonces a + h ∈ S , pues, S es abierto, y, f(a + h) esta definida.

Nota 7.3.1 Analizando (7.14) , la existencia de dicho lımite implica que existe una funcionEa(h) tal que

f(a + h) = f(a) + Ta(h)+ ‖ h ‖ Ea(h) (7.15)

a (7.15) se le llama ”formula de Taylor de primer orden” para f(a + h) y podemos observarque Ta(h) es una aproximacion lineal a f(a + h)− f(a). El error viene dado por ‖ h ‖ Ea(h)que tiende a cero cuando ‖ h ‖→ 0.

Ejemplo 7.3.2 Demostrar que toda transformacion lineal T es diferenciable.

Debemos demostrar que existe una transformacion lineal Ta tal que se verifica (7.14) paraT . Elijamos como transformacion lineal Ta a la misma T . Es decir:

lim‖h‖→0

T (a + h) − T (a) − T (h)‖ h ‖ = lim

‖h‖→0

T (a) + T (h) − T (a) − T (h) |‖ h ‖ = 0

Por lo tanto queda demostrado que toda transformacion lineal es diferenciable y su diferenciales ella misma.

Desde ahora en adelante trabajaremos con n = 2, los conceptos podran ser facilmentegeneralizados para cualquier n numero natural.

Teorema 7.3.1 Si f es diferenciable en a con diferencial Ta, entonces existe la derivadaf ′(a;v) para toda direccion v y ademas tenemos que

Ta(v) = f ′(a;v) (7.16)

Para el alumno que desee ver la demostracion: Tom Apostol, CALCULUS, vol 2, pagina 316.

Nota 7.3.2 f ′(a;v) es una combinacion lineal de las componentes de v, es decir, si v =(v1, v2), tenemos que

f ′( a;v) = D1f(a)v1 + D2f(a)v2 (7.17)


Veamos como se obtiene (7.17), utilizando la propiedad de linealidad de la transformacionlineal Ta y teniendo en cuenta (7.16) y (7.4) Ta(ei) = f ′(a; ei) = Dif(a)

f ′(a,v) = Ta(v) = Ta(v1e1 + v2e

2) = v1Ta(e1) + v2Ta(e2) = v1D1f(a) + v2D2f(a)

Nota 7.3.3 (La diferencial de f : IR2 → IR) Repitiendo el razonamiento de la diferencialde funciones de una variable real y denotando con df(a) a la diferencial de f en a, podemoscalcular que

df(a) = D1f(a)dx + D2f(a)dy (7.18)

donde dx y dy son las diferenciales de i1(x, y) = x y i2(x, y) = y. Note tambien que df(a) = Ta.

Observacion 7.3.1 Si f : U → IR es diferenciable en a∈ U ⊂ IR2, su diferencial es unatransformacion lineal de IR2 en IR , cuya matriz sera de orden 1 × 2. Segun lo anterior, lamatriz es

MTa =[

∂f∂x (a) ∂f

∂y (a)]

Observamos que los resultados obtenidos en nota (7.3.3) y en la ecuacion (7.17) nos dicenque la transformacion lineal df(a) aplica cada vector en la derivada direccional de f segun ladireccion del vector v (si no es unitario se considera v

‖v‖).

Observacion 7.3.2 Usando producto escalar, (7.17) se puede escribir como

f ′(a;v) =(

∂f

∂x(a),

∂f

∂y(a)

). (v1, v2)

llamamos gradiente de f en el punto a a

∇f(a) =(

∂f

∂x(a),

∂f

∂y(a)

)por lo tanto

f ′(a;v) = ∇f(a). (v1, v2) (7.19)

Esta es la notacion vectorial de la derivada. Cabe destacar que desde un punto de vistaoperacional, la matriz de df(a) y el vector gradiente efectuan el mismo calculo, pero esta claroque conceptualmente son cosas distintas.

Sea α es el angulo formado por el vector ∇f(a) y el vector unitario v. Recordandopropiedades del producto escalar y teniendo en cuenta la relacion dada en (7.19) , la derivadadireccional f ′(a,v) es la componente de ∇f(a) a lo largo del vector unitario v, pues

f ′(a;v) =‖ ∇f(a) ‖ cos α

Graficamente


α

f(a)

α

f(a) cosFig.3

Si tomamos la derivada direccional en todas las direcciones v podemos decir que la derivadadireccional es maxima cuando cos(α) = 1, es decir, cuando α = 0. En otras palabras, laderivada direccional en a tiene valor maximo en la direccion del gradiente en a y su valorcoincide con ‖ ∇f(a) ‖. Ademas, la derivada direccional en una cierta direccion v es lacomponente del gradiente sobre la misma.

Ejemplo 7.3.3 Sea f(x, y) = e2x cos y, el vector gradiente para el punto (x, y) es

∇f(x, y) = (2e2x cos y,−e2xseny)

y en el punto (0,π) es∇f((0, π)) = (−2, 0)

Por lo tanto f ′((0, π); (−2, 0)) = 4 ≥ f ′((0, π);v) , para toda direccion v.

Las definiciones y resultados anteriores se pueden generalizar para funciones f : IRn → IR.En particular, el gradiente de f en a es:

∇f(a) = (D1f(a), ..., Dnf(a))

Nota 7.3.4 Por el teorema (7.3.1) y la observacion (7.3.2) , la formula (7.15) podemosescribirla como

f(a + v) =f(a) + ∇f(a).v+ ‖ v ‖ Ea(v)) (7.20)

of(a + v) − f(a) = ∇f(a).v+ ‖ v ‖ Ea(v))

Graficamente puede visualizarse de la siguiente forma. Supongamos una superficie en IR3

y un punto a = (a1,a2 ) . Consideremos el siguiente plano

f(x, y) − f(a1, a2) = m(x − a1) + n(y − a2)

si (m, n) = ∇f(a1, a2) (suponemos que f es diferenciable en dicho punto), la expresion anteriornos queda

f(x, y) − f(a1, a2) = ∇f(a1, a2).((x − a1), (y − a2))

si h = x − a1 , k = y − a2 y θ(h, k) =‖ (h, k) ‖ E(a, (h, k)) es muy pequena o tiende acero, dicha ecuacion no es nada mas que el Gr(Ta (h, k)) y se puede mostrar que es el planotangente a la superficie en el punto (a1, a2, f(a1, a2)).


Teorema 7.3.2 Si una funcion escalar f es diferenciable en a, entonces f es continua ena.

Demostracion:Recordemos que para demostrar que f es continua en a debemos probar que

limh→0

f(a + h) − f(a) = 0 (7.21)

De acuerdo a la igualdad dada en (7.3) , aplicando la desigualdad triangular y la deCauchy-Schwarz (| w.v |≤‖ w ‖‖ h ‖) , tenemos

0 ≤| f(a + h) − f(a) |≤‖ ∇f(a) ‖‖ h ‖ + ‖ h ‖| Ea(h) |Lo que demuestra que (7.21) se cumple.

7.3.1 Condicion suficiente de diferenciabilidad

Por el teorema (7.3.1), tenemos que si f es diferenciable entonces f es derivable en cualquierdireccion, en particular, existen tambien todas las derivadas parciales. No obstante, la exis-tencia de todas las derivadas parciales no implica diferenciabilidad. En el ejemplo (7.2.4),tenemos que existen las derivadas parciales en (0,0) y sin embargo no es continua en dichopunto, y por lo tanto no puede ser diferenciable en (0,0). Pero bajo ciertas

condiciones de las derivadas parciales tendremos que la funcion es diferenciable.

Teorema 7.3.3 Si existen todas las derivadas parciales en una cierta bola B(a, r) y soncontinuas en a, entonces f es diferenciable en a.

Ejercicio 7.3.1 Verificar en el ejemplo (7.2.4) que las derivadas parciales no son continuas.

7.3.2 Diferenciabilidad de funciones vectoriales.

Recordemos que si F : D → IRm, D ⊂ IRn es una funcion decimos que F es una funcionvectorial.

F (x1, ..., xn) = (f1(x1, ..., xn), f2(x1, ..., xn), ..., fm(x1, ..., xn) (7.22)

donde fi : IRn → IR para cada i = 1, ...mUno de los resultados conocido es

Proposicion 7.3.1 F : D → IRm es continua para a∈ D si y solo si fi es continua en apara cada i = 1, ...m

Ejemplo 7.3.4 Sea F (x, y, z) = (x − y, zy − x2) , esta funcion esta definida de IR3 en IR2

y una forma sencilla de denotarle es F (x, y, z)=(f1(x, y, z), f2(x, y, z)) , donde

f1(x, y, z) = x − yf2(x, y, z) = zy − x2

Definicion 7.3.2 Sea F : D → IRm una funcion, donde D es un subconjunto abierto de IRn,y a ∈D. Si existe una transformacion lineal Ta de IRn en IRm , tal que

lim‖h‖→0

‖ F (a + h) − F (a) − Ta(h) ‖‖ h ‖ = 0

decimos que F es diferenciable en a, y su diferencial es Ta .


Con la base canonica tanto para IRn como para IRm , Ta(h) = Ah, donde A es la matriz deorden m×n y h es, por convencion, un vector columna de IRn. A Ta se le llama la diferencialde F en a y la notaremos por DF (a) y esta representada por la matriz A. Veamos ahoracomo es dicha matriz:

Sea F como la definimos en (7.22). puesto que DF (a) es una funcion lineal tenemos queella es

DF (a) =

∂f1(a)

∂x1

∂f1(a)∂x2

... ∂f1(a)∂xn

∂f2(a)∂x1

... ... ∂f2(a)∂xn

......

......

∂fm(a)∂x1

... ... ∂fm(a)∂xn

A esta matriz se le llama “matriz jacobiana de F” en el punto a. Y tenemos que la derivadaen la direccion h es

DF (a).h =

∂f1(a)

∂x1

∂f1(a)∂x2

... ∂f1(a)∂xn

∂f2(a)∂x1

... ... ∂f2(a)∂xn

......

......

∂fm(a)∂x1

... ... ∂fm(a)∂xn

h1......

hn

El siguiente resultado es una generalizacion del teorema (7.3.3) para funciones vectoriales.

Teorema 7.3.4 Si una funcion vectorial F es diferenciable en a , entonces F es continuaen a.

7.3.3 Diferenciabilidad y derivacion de funciones compuestas

Primero trataremos el caso de funciones r : D → IRn y f : E → IR, donde D ⊂ IR y E ⊂ IRn.Suponemos que para todo t ∈ D, r(t) ∈ E , por lo tanto podemos considerar

f ◦ r(t) = f(r(t)) ∀t ∈ D

Ejemplo 7.3.5 Seanf(x, y) = x − y2

yr(t) = (t + 2t2, t − 1)

entoncesf ◦ r(t) = f(t + 2t2, t − 1) = t + 2t2 − (t − 1)2 = t2 + 3t − 1

Es de esperar que siempre que las funciones f y r sean diferenciables, f ◦ r es tambiendiferenciable.

Teorema 7.3.5 (Regla de la cadena) Sean r : D → IRn y f : E → IR, dos funciones dondeD es un intervalo de IR y E un conjunto abierto de IRn que contiene a r(D). Definimos lafuncion compuesta g = f ◦ r en D mediante la ecuacion

g(t) = f(r(t)) si t ∈ D

Sea t ∈ D en el que r′(t) existe y supongamos f diferenciable en r(t). Entonces existe g′(t) yes

g′(t) = ∇f(r(t)).r′(t)


La regla de la cadena nos sirve ademas para deducir propiedades geometricas del vectorgradiente. Sean f : E ⊂ IRn → IR diferenciable, el gradiente

∇f(x) =(

∂f(x)∂x1

, ...,∂f(x)∂xn

)y la derivada direccional en la direccion v

f ′(x,v) = ∇f(x).v

que nos da la razon de cambio de f en el punto x en la direccion v.Consideremos la superficie S definida por la ecuacion f(x) = c, (donde es c constante);

es decir, S es una superficie de nivel. Afirmamos que ∇f(x) es ortogonal a esta superficie,(es decir, es perpendicular al planto tangente en x a S). Para probar esto, consideremos unacurva definida por r(t) en S tal que r(0) = x0 ∈ S. Ver la figura (4). Lo que afirmamos es

∇f(x0).r′(0) = 0 (7.23)

Puesto que r(t) ∈ S, f(r(t)) = c. Diferenciando f ◦ r y usando la regla de la cadena,conseguimos

∇f(r(t)).r′(t) = 0

Haciendo t = 0 nos da el resultado deseado.

0

f(x )

r’(0)

r(t)S

z

y

x

x

0

Fig.4

Podemos concluir que el plano tangente a S en el punto x0 esta dado por

∇f(x0).(x − x0) = 0

Recordemos que el ∇f(x0) es la direccion en la cual f cambia mas rapidamente, (releerobservacion 2 de la pagina 8). Este hecho es importante tenerlo en cuenta, por ejemplo, enlos problemas de optimizacion.

Analizemos lo visto anteriormente en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 7.3.6 Sea f : IR2 → IR definida por

f(x, y) = x2 + y2 − 2


el∇f(x0) = (2x0, 2y0)

En la siguiente figura, en la parte (a) esta la grafica correspondiente a la superficie dada yen la (b) se observa que las curvas de nivel son circunferencias con centro en el punto (0, 0) yradio

√c + 2 donde c es la constante correspondiente a la curva de nivel f(x, y) = c. Ademas se

observa el campo de gradientes y analizando la direccion de este campo se llega a la conclusionde que en el punto (0, 0,−2) la funcion presenta un mınimo.

-1

-0.5

0

0.5

1

x

-1

-0.5

0

0.5

1

y

-2

-1.5

-1

-0.5

0

z

-1

-0.5

0

0.5

1

x

-1

-0.5

0

0.5

1

y

-2

1.5

-1

.5

0

Fig.5a

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Fig.5b

Ejercicio 7.3.2 Analizar las curvas de nivel y el campo gradiente para f : IR2 → IR definidapor

f(x, y) = −2x2 − y2 + 2


En los apuntes referentes al Mathematica hay varios ejemplos en los que puedes analizara la funcion estudiando las curvas de nivel y su campo gradiente.

Teorema 7.3.6 (Regla de la cadena para funciones vectoriales): Sean F y G dos funcionesvectoriales tales que la funcion compuesta H = F ◦ G este definida en un entorno del pun-to a. Supongamos que G sea diferenciable en el punto a, con diferencial G′(a). Pongamosb = G(a) y supongamos que F es diferenciable en b, con diferencial F′(b). Entonces H esdiferenciable en a, y la diferencial viene dada por

H′(a) = F′(b) ◦ G′(a)

que es la composicion de las transformaciones lineal F′(b) y G′(a).

Como ya sabemos, a la composicion de transformaciones lineales le corresponde la multi-plicacion de sus matrices, obtenemos

DH(a) = DF(b).DG(a)

donde b = G(a).

Ejemplo 7.3.7 Dados los campos vectoriales:

F(x) =

y1

y2

y3

=

f1(x1, x2)f2(x1, x2)f3(x1, x2)

=

x1 + x2

x1

x22

Φ(x1, x2)=

[x1

x2

]=

[ϑ1(t1, t2)ϑ2(t1, t2)

]=

[t21 + 1

t22

]

Calcularemos D(F ◦ Φ(x1, x2) en el punto t0 = (1, 1).Lo primero que haremos es calcular las matrices jacobianas para cada funcion dada:

DF(x) =

1 11 00 2x2

y

DΦ(t) =

[2t1 00 2t2

]

En t0 = (1, 1)x0

1 = ϑ1(1, 1) = 2x0

2 = ϑ2(1, 1) = 1

por lo tanto

DF(x0) =

1 11 00 2

y

DΦ(1, 1) =

[2 00 2

]


en consecuenciaD(F ◦ Φ)(1, 1) = DF(x0).DΦ(1, 1)

∂y1

∂t1∂y1

∂t2∂y2

∂t1∂y2

∂t2∂y3

∂t1∂y3

∂t2

=

2 22 00 4

Capıtulo 8

Ejercicios Adicionales

1. Durante un juicio, el fiscal y el abogado dijeron lo siguiente: Fiscal:“si el acusado es cul-pable, entonces tenıa un complice”. Abogado:“Eso es falso!”. Por que retiro el acusadoel encargo de su defensa a su abogado? (Raymond Smullyan).

2. Dado el sistema

{(x − 1)(y − 2) = 0(x − 2)(y − 3) = 0

donde x e y son numeros reales. Se definen las siguientes proposiciones:

pi =“x = i ” ; qi = “y=1+i” ; r= “ x e y resuelven el sitema”

Dı cuales de los siguientes enunciados es verdadero:

(a) p1∧ q2 ⇒ r

(b) r ∧ q2 ⇒ p2

(c) p1∧ q1 ⇒ ⇁r

(d) p1∨q2 ⇒r

(e) Escriba un enunciado que resulte la solucion del sistema.

3. Representa graficamente la funcion definida por f (x) = 4 − x2.. Encuentra el conjuntode IR2 que verifique 4− x2. − y < 0. Determina cuales de las siguientes afirmaciones sonciertas:

(a) ∃x,∃y,4 − x2. − y < 0

(b) ∀x,∀y, 4 − x2. − y < 0

(c) ∃x,∀y, 4 − x2. − y < 0

(d) ∃y, ∀x, 4 − x2. − y < 0

(e) ∀x,∃y, 4 − x2. − y < 0

(f) ∀y, ∃x, 4 − x2. − y < 0

4. Sean los conjuntos A = {a, e, i, o, u} y B = {10, 30, 40}. Sea Γ la correspondencia segunel cual a cada letra del conjunto A le asociamos los numeros de B que tiene la propiedadque la letra en cuestion interviene en su nombre. Por ejemplo, la u la asociamos al 40

87

88 CAPITULO 8. EJERCICIOS ADICIONALES

pues dicha letra forma parte de la palabra “cuarenta”, pero no a los otros dos numeros.escribiremos Γ(u) = {40}.

10 30 40a

e

i

o

u

Fig.1 : Diagrama cartesiano

ae 10i 30o 40u

Fig.2 : Diagrama de flecha

(a) En la figura 1, representa la correspondencia Γ como un subconjunto del productocartesiano A × B.

(b) En la figura 2, representa la correspondencia Γ con un diagrama de flecha.

(c) Determina el dominio y el rango de Γ.

(d) Cual es la imagen inversa de 30?

(e) : Es Γ una correspondencia unıvoca, semiunıvoca, inyectiva, suprayectiva (o ex-haustiva), biyectiva?.

5. Considera la correspondencia A ⊂ IR × IR definida como:

A = {(x, y)/y ≥ ln(x) ∧ y ≤ −2x + 1}

(a) Representa graficamente la correspondencia A .

(b) Determina el dominio y el rango de A.

(c) Representa graficamente A(1) (la imagen de 1).

6. Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3}, da ejemplos de una correspondencia R que cumpla:

(a) semiunıvoca y no inyectiva;.

(b) semiunıvoca y suprayectiva;.

(c) suprayectiva y no semiunıvoca.

7. Sean f : X → Y y g : Y → Z dos funciones y, suponga que la composicion h = g ◦ fexiste. demuestra:

(a) Si f no es inyectiva entonces h no es inyectiva.

89

(b) Si h es inyectiva, f es inyectiva.

8. Sea la funcion f : X → Y . Dados los conjuntos A ⊂ X y B ⊂ X. Demostrar:

(a) f [A ∩ B] ⊂ f [A] ∩ f [B].

(b) Si f es inyectiva,f [A ∩ B] = f [A] ∩ f [B].

(c) Dar un contraejemplo donde se muestre que si f no es inyectiva no se verificasiempre f [A ∩ B] ⊂ f [A] ∩ f [B]..

9. Considera el conjunto X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} .Definimos en X la siguiente relacion binaria:Sea x ∈ X, diremos que x esta relacionado con y si el numero de letras que tiene lapalabra que designa a x es y . Escribiremos xRy. Por ejemplo 2R3.

(a) Representa la relacion R como:

i. un subconjunto de pares ordenadosii. con un grafico de coordenadas;iii. con un grafico de flecha.

(b) Determina si es reflexiva,simetrica o transitiva.

(c) Determina si es asimetrica o antisimetrica.

10. Sea A el conjunto de los puntos geograficos de Cataluna y f : A → IR la funcion queasigna a cada punto de Cataluna la altura sobre el nivel del mar. Definimos la relacionbinaria S sobre A como sigue: xSy ⇔ f(x) = f(y).

(a) Demuestra que S es una relacion de equivalencia.

(b) Cuales son las clases de equivalencia?

11. Se dice que una relacion binaria es cıclica si a º b y b º c implica c º a.

(a) Demuestra que toda relacion de equivalencia es cıclica.

(b) Es cierto que toda relacion binaria reflexiva y cıclica es una relacion de equivalencia?

12. Definamos la relacion binaria M = {(a, b) ∈ IN × IN/∃c ∈ IN, ac = b} (es decir, aMb sib es un multiplo de a).

(a) Es un orden o preorden?

(b) Es M un orden total (completo) o un orden parcial?

(c) Si S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Representa a M definido sobre S en un diagrama de co-ordenadas. Determina los elementos maximales, maximos, mınimos y minimalessegun la relacion M .

13. Demostrar que toda aplicacion estrictamente monotona (estrictamente creciente o es-trictamente decreciente) de E totalmente ordenado en F ordenado es inyectiva.


14. Cincuenta gimnastas estan formados en 10 columnas y cinco filas. El entrenador escogeuno de ellos segun el siguiente criterio: primero escoge al individuo mas alto de cadacolumna. De entre estos diez candidatos escoge al mas bajo. Resulta que se llama Pedroy que estaba situado en la tercera fila y en la sexta columna. (podrıamos decir que esel elemento a36). Por otro lado, el masajista necesita un ayudante. Primero escoge alindividuo mas bajo de cada fila y de entre estos cinco escoge al mas alto. Resulta ser untal Ramon que estaba situado en la segunda fila y en la octava columna. (Podrıamosdecir que es el elemento a28). Cual es mas alto Pedro o Ramon? (De hecho se trata dedemostrar que si i ∈ {1, 2, ...5}y j ∈ {1, 2, ..., 10} ,

maxj

min iaij ≤ mini

maxj

aij

15. Supongamos que representamos el consumo de un agente economico mediante un parordenado (x1, x2), donde x1 denota la cantidad de alimentos y x2 la cantidad de ropa.Si IR+ es el conjunto de numeros reales no negativos, el conjunto de alternativas delconsumidor es IR2

+=IR+ × IR+. Supongamos que el consumidor tiene unas preferenciasbien establecidas de manera que dado dos pares ordenados x=(x1, x2) y y=(y1, y2)siempre se puede decir si x es al menos tan deseado como y o no. En caso afirmativoescribiremos x º y. Es facil ver que º es de hecho una relacion binaria definida en elconjunto de alternativas IR2

+. Normalemte se supone que el consumidor es consistentey que, por tanto, la relacion binaria º es reflexiva y transitiva (es decir º es un pre-orden). A partir del preorden de preferencias se pueden definir dos relaciones binariasasociadas: la relacion de preferencia estricta y la relacion de indiferencia. Se dice que xes estrictamente preferido a y si x es al menos tan preferido como y pero no es ciertoque y es al menos tan preferido como x. Formalmente:

x Â y ⇔ (x º ∧¬(y º x)

Donde el sımbolo ¬ representa la negacion. Por otro lado, se dice que x es indiferente ay si x es a al menos tan preferida como x. Formalmente:

x ≈ y ⇔ (x º y ∧ y º x)

(a) Demuestra que la relacion de preferencia estricta Â es transitiva y no reflexiva.

(b) Demuestra que la relacion de indiferencia es una relacion de equivalencia. Ob-serva que dentro de cada clase de equivalencia encontraras todas las alternativasindiferentes: es de hecho lo que los economistas llaman una curva de indiferencia.

16. Describe el dominio de f , y encuentra, si es posible, el valor de la funcion en los puntosindicados:

(a) f(x, y) = 2x − y2, (x, y) = (0, 0)

(b) f(x, y) = y+2x , (x, y) = (0, 0), (x, y) = (1,−2)

(c) f(u, v) = uvu−2v , (u, v) = (1, 0), (u, v) = (2, 1)

17. Usando el Mathematica grafica las siguientes funciones :

(a) f(x, y) = 6 − 2x − 3y

91

(b) z = cosx + 2seny

(c) z = 1/(9x2 + y2)

(d) z = ln(x2 + y2)

(e) z = ln(x2 − y2)

(f) f(x, y) =√

1 − x2 − y2

(g) f(x, y) =√

x2 + y2 − 1

18. Determina si son linealmente independientes los siguientes vectores:

(a) x = (1, 2), y = (1, 0)

(b) x = (1,−3), y = (−3, 9)

(c) x = (1, 2,−1), y = (1, 0,−1)

(d) x = (0, 1, 2), y = (−1, 1, 2), z = (2,−1, 2)

(e) x1 = (1, 0, 2),x2 = (−1, 2, 2),x3 = (2, 1, 2)

19. Dados los vectores x = (6,−2), y = (−3, 1)

(a) ¿Los vectores dados, forman una base para IR2?

(b) ¿Cual es la dimension del espacio generado por x y y?

(c) De un vector z tal que con y formen una base para IR2.

20. (a) Representa graficamente y determina si son subespacios vectoriales los siguientessubconjuntos de IRn :

i. S ={x ∈ IR2 : x1=2x2

}ii. T =

{x ∈ IR2 : ∀i, xi=2

}iii. W =

{x ∈ IR3 : x1=2x2

}(b) Da una base para cada subespacio del ıtem anterior.

(c) ¿Cual es la dimension para cada subespacio?

(d) Da S ∩ T.¿Es un subespacio de IR2?. Sı lo es, da una base para dicha interseccion.

21. Sea{x1, x2

}un conjunto linealmente independiente de vectores de IR3. Definamos los

siguientes vectores: v1 = 2x1 + x2 y v2 = λx1 − x2, siendo λ cualquier numero real. ¿Esun conjunto linealmente independiente

{v1, v2

}? Demuestra tu afirmacion.

22. Dados los vectores x1, x2,x3 que determinan una base para IR3. Analiza si el conjunto{x1 − x2, x2 − x3, x3 − x1

}determinan una base para IR3.

23. Demuestra si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:

(a) Todo vector es combinacion lineal de sı mismo.

(b) Cualquier vector es combinacion lineal del vector nulo.

(c) Todo sistema de vectores al cual pertenece el vector nulo, es linealmente dependi-ente.

24. Sea{v1, v2

}un sistema linealmente independiente de dos vectores de IRn que genera un

subespacio vectorial S ⊂ IRn. Sea v3 un vector que no pertenence a S. Demuestra:


(a) El conjunto{v1, v2, v3

}es linealmente independiente.

(b) La dimension del subespacio es menor que n, es decir, dimS < n.

25. Sea Pn el conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual a n.

(a) Demuestra :

i. Pn es un espacio vectorial.ii. B =

{1, 1 + x,−x2, x3

}es una base para P3.

(b) ¿Cual es la dimension de P3 ?

(c) Da otra base para P3

(d) Dı cuales de los siguientes vectores pertenecen a P3.Los que pertenezcan, encuentrala combinacion lineal con respecto a B.

i. p1 = x2 + 2ii. p2 = x3 + 2x − 1iii. p3 = x5 + 2x3

(e) ¿Como se generalizan los resultados anteriores para Pn?

26. Considera las siguientes matrices y vectores:

a =

−1−10

b =

103

c =

[−12

]d =

103

A =

[2 − 14 5

]B =

[3 − 1 00 − 5 0

]C =

[−1 3−2 6

]

M =

3 − 1 43 3 0

1 0 − 2

Realizar, si es posible, los calculos siguientes:

a) btab) btdc) bt(d + a)

d) bta + btde) ctcf) cct

g) Ach) ctAci) AtA

j) BMk) ABbl) btM

27. Considera las matriz:

A =

a b cd e fg h i

y suponga que detA = 5. Calcula

(a) det(3A)

(b) det(2A−1)

(c) det((2A)−1)

93

(d) det

a d gb e hc f i

(e) Demostrar que (AB)−1 = B−1A−1

28. Con las mismas matrices dadas en el ejercicio (26), calcula, si es posible, las expresionessiguientes:

a) A−1

b) (I − C)−1

c) (detM)btB

d) D−1

e) A + Cf) (A + C)−1

g) (BM)t

h) ctCBd

29. La suma y el producto de matrices cuadradas de orden n tiene propiedades semejantesa la suma y producto de numeros reales, pero se tiene que el producto de matrices no esconmutativo y no toda matriz tiene elemento simetrico respecto del producto (es decir,no toda matriz tiene matriz inversa).

(a) En caso de los numeros reales sabemos que ab=0 implica que uno de los dos numeroses cero. Construye dos matrices cuadradas A y B de orden 2 tal que AB=0 y A6= 0y B6= 0.

(b) En el caso de los numeros reales sabemos que podemos aplicar la ley de simplifi-cacion de manera que si c 6= 0, cd = ce implica d = e. Da un ejemplo de matricescuadradas de orden 2 tal que C 6= 0, CD = CE y sin embargo D6= E.

(c) Demostrar que si C es no singular, CD = CE implica D = E.

(d) En el caso de los numeros reales, si a = a−1 entonces a = 1. En el caso de lasmatrices puede suceder que A = A−1 y A 6= I. Da un ejemplo que ejemplifiqueeste caso.

30. Si A es una matriz cuadrada de orden n definimos:

An = AA...A︸︷︷︸n−veces

Demostrar si son ciertas o falsas las afirmaciones siguientes:

(a) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

(b) (AB)2 = A2B2

31. Considera las matrices:

A =

[2 11 1

], B =

[8 42 1

], C =

1 2 11 4 20 1 1

D =

[−1 42 1

]

(a) Calcula, si es posible, detA, detB,detC

(b) Comprueba que det(AD) = detAdetD

(c) Calcula, si es posible, A−1, B−1, C−1


32. Se dice que una matriz cuadrada A es simetrica si A = At. Si B y C son dos matricescuadradas del mismo orden y simetricas, demuestra que la matriz M = BC es simetricasi y solo si, BC = CB.

33. Dada la matriz

A =

[3 11 1

]

demuestra que todas las matrices B que conmutan con A son de la forma λA+µI.

34. Sea f : IR2 → IR2. Determine cuales de las siguientes funciones son lineales:

(a) f(x, y) = (2x, y)

(b) f(x, y) = (0, x + y)

(c) f(x, y) = (2, y)

(d) f(x, y) = (x, y2)

35. Sea f : IR2 → IR3 una funcion lineal. y ademas:

f(e1) =

210

y f(e2) =

10−1

(a) Encuentra la expresion de f para calcular el valor de la funcion en cualquier punto

de IR2.

(b) Determina el valor de f en los puntos (-1,1) y (2,0)

(c) Cual es la representacion matricial de f?

36. Encuentra la representacion matricial (respecto de las bases usuales) de las siguientesfunciones lineales:

(a) f : IR3 → IR2 definida por f(x1, x2, x3) =

[2x1 − x2

4x1 + x3

]

(b) f : IR2 → IR4 definida por f(x1, x2) =

2x1 − x2

4x1

x1 + x2

0

(c) f : IR3 → IR definida por f(x1, x2, x3) = 2x1 − x2 + x3

37. Sea T : IR2 → IR2 definida por:

T (x, y) =

[cos α senα−senα cos α

] [xy

]

(a) Demostrar que T es una transformacion lineal.

95

(b) Dados e1 = (1, 0) y e2 = (0, 1) y α=π/4, encontrar sus imagenes y representarlasen el plano xy. Encontrar la expresion para T (x, y) cualquiera sea (x, y) ∈ IR2.

38. Sea T : IR2 → IR2 definida por:

T (x, y) =

[λ 00 λ

] [xy

]

(a) Demostrar que T es una transformacion lineal.

(b) Dados e1 = (1, 0) y e2 = (0, 1) ,encontrar sus imagenes y representarlas en el planoxy. Encontrar la expresion para T (x, y) cualquiera sea (x, y) ∈ IR2.¿ Cual es suinterpretacion geometrica?

39. Demuestra que si T es una transformacion lineal entre espacios vectoriales que son nosingulares, y u y v son vectores linealmente independientes, T (u) y T (v) tambien sonlinealmente independientes.

40. Sea T : IR3 → IR3 definida por

T ((x1, x2, x3)) =

x1 − x2

x2 − x1

x1 − x3

i. Halla la matriz de T con respecto a la base B = {v1, v2, v3} , es decir , calcular

AT,B,B, en donde

v1 =

101

v2 =

011

v3 =

110

ii. Use la matriz obtenida en (a) para calcular T (2, 0, 0).

41. Sea T : IR3 → IR3 definida por

T ((x1, x2, x3)) =

x1 − x2

x2 − x1

x1 − x3

i. Halla la matriz de T con respecto a la base B = {v1, v2, v3} , en donde

v1 =

101

v2 =

011

v3 =

110

ii. Use la matriz obtenida en (a) para calcular T (2, 0, 0).iii. Encontrar la matriz de transicion de la base B a la base canonica.iv. Si C es la base canonica, para [x]B = (x1, x2) encontrar [x]C .

42. Demuestra que si T : V → V es una contraccion o una dilatacion de V, (es decir,T (v) = λx, donde λ es un numero real), entonces la matriz de T con respecto a cualquierbase de V es una matriz diagonal.


43. Sea B = {v1, v2, v3, v4} una base para un espacio vectorial V .

i. Halla la matriz con respecto a B de la transformacion lineal T : V → V definidapor:

T (v1) = v2, T (v2) = v3, T (v3) = v4, T (v4) = v1

ii. Halla la matriz de transicion de la base B a la nueva base< (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 0), (0, 0, 1,−1) >

siendo B la base canonica de IR4.

44. Demuestra que si T : V → V es una contraccion o una dilatacion de V , entonces lamatriz de T con respecto a cualquier base de V es una matriz diagonal.

45. Sea B = {v1, v2, v3, v4} una base para un espacio vectorial V . Halla la matriz conrespecto a B de la transformacion lineal T : V → V definida por:

T (v1) = v2, T (v2) = v3, T (v3) = v4, T (v4) = v1

46. ¿Para que valores de a y b el siguiente sistema de ecuaciones lineales es compatible?

(a − 3)x + y = b

x + (a − 3)y + z = 0−x + y + 2z = 0

47. Considera el sistema de ecuaciones:

x1 + x2 − x4 = 2x3 = 1

x1 − x4 = 0

(a) Representa el sistema en forma matricial, AX=b

(b) Calcula el rango de la matriz asociada r(A) y la matriz ampliada r(A| b)

(c) Encuentra la solucion.

48. Calcula el rango de las siguientes matrices:

(a) M =

3 −1 91 0 3−1 0 −3

C =

0 −1 43 3 01 0 −2

D =

[3 6 121 2 4

]

49. Para cada una de las siguientes ecuaciones lineales que se dan a continuacion, anal-iza si tiene una, varias o ninguna solucion. Razona las respuestas. En las ecuacionesdonde aparecen parametros, se debe encontrar para que valores de los parametros dichossistemas tienen solucion. Puedes utilizar el Mathematica para hacerlo.

97

a)2x − y + 3z = 54x + y + 6z = 7

b)3x + 2y − z = 85x + 4y − 5z = 148x + 6y − az = 22

c)x + y + z = 3x − y + z = b

2x + az = 1

d)x + y + az = 9ax + 4y − 3z = b

3x + 6y − 5z = 0

e)2x − y + 3z = b

x − y − z = −1y + bz = 0

50. La poblacion activa de un paıs se clasifica en tres categorıas profesionales:Categorıa 1: Tecnicos superiores.Categorıa 2: Obreros especializados.Categorıa 3: Obreros no especializados.Por tanto, en cada ano, la fuerza de trabajo de este paıs queda caracterizada por elnumero de personas incluidas en cada una de tales categorıas.Denominandolas, respec-tivamente, x1, x2, x3, el estado del sistema en un cierto instante viene definido por elvector x.

xt = [x1 x2 x3]

Supongase que:

(a) Cada trabajador activo tiene un hijo y uno solo.(b) El 70 por 100 de los hijos de los tecnicos superiores lo son tambien, el 20 por 100

pasa a ser obreros especializados y el 10 por 100,obreros no especializados.(c) Los hijos de los obreros especializados se reparten en las tres categorıas en propor-

ciones del 20,60,20 por 100.(d) Para los hijos de los obreros no especializados tales proporciones son del 20,30,50

por 100.

Formula un modelo matematico que caracterice la evolucion de la fuerza de trabajo dedicho paıs. Determine la proporcion de nietos de los x3 trabajadores no cualificados que,segun tales hipotesis, seran tecnicos superiores.

51. Dadas:

A =

[3 08 −1

]B =

[4 −1−8 2

]C =

[0 71 0

]

D =

1 −1 0−1 1 10 1 −1

E =

1 0 00 1 00 0 1

Determina:


i. los valores propios para cada matriz dada,ii. los vectores propios correspondientes,iii. comprueba que Ax = λx y Dx = λx,

iv. Si Λ es la matriz diagonal que tiene a los valores propios como elementos de ladiagonal, correspondiente a la matriz B, comprueba que B y Λ son semejantes.

v. Haz lo mismo que en el item anterior, pero para la matriz D.

vi. Comprueba que detA es igual al producto de los valores propios correspondi-entes a dicha matriz.

vii. Calcula la dimension de los espacios generados por los autovectores de cadauna de la matrices dadas. Los espacios obtenidos, ¿Son ortogonales?

52. Sea T : IR2 → IR2 la transformacion lineal asociada a cada matriz cuadrada de orden 2,dadas en el ejercicio anterior. ¿Que rectas de IR2 que se aplican sobre sı mismas bajoT?.

53. Demuestra que los valores propios de una matriz triangular son los elementos que seencuentran en la diagonal principal.

54. Sean T : IR4 → IR4 y T ′ : IR4 → IR4 dos transformaciones lineales con matricesasociadas A y B (respecto a una misma base de IR4), respectivamente.

i. Halla la matriz asociada a T ◦ T ′.ii. Si A y B son matrices inversibles, ¿Cual es la matriz asociada a T ◦ T ′?iii. Si λ1, λ2, λ3, λ4 son los valores propios de A y β1, β2, β3, β4 son los valores

propios de B, ¿que puedes decir de los valores propios de la matriz asosiada aT ◦ T ′?

55. Demuestra que si λ es un valor propio para A , entonces λ2 es un valor propio para A2.Generalizando: demuestre que λn es un valor propio para An , (n es un entero positivo).

56. ¿Cual es el valor de a que hace que x sea un vector propio de la matriz A?

x =

[50

]A =

[2 1a 1

]

57. Demuestra que si A es una matriz cuadrada de orden n con n valores propios diferentes,entonces det A = λ1λ2 ...λn =

∏ni=1 λi.

58. Sea A es una matriz cuadrada de orden 2 inversible, que tiene valores propios λ1 y λ2

con los correspondientes vectores propios x1 y x2. ¿Que puedes decir de los valores yvectores propios de la matriz A−1?

59. En este ejercicio veras, por calculo directo, que para algunas matrices, si λ1 es el valorpropio de maxima magnitud y x1 es su vector propio, entonces, dado cualquier vectorp ∈ IR2 , el producto Anp es una combinacion lineal de x1 cuando n → ∞. Consideralas matrices: [

1 00 1

2

] [1 10 1

2

]

Si p = (p1, p2), para cada una de las siguientes matrices seguir los siguientes pasos:

99

i. Calcula Ap, A2p, A3p, etc. hasta que puedas decir como es Anp.

ii. Calcula el valor propio de maxima magnitud, λ1, y el vector propio asociado ael, x1.

iii. Utiliza tu respuesta dada en (a) para demostrar que la sucesion de vectoresyn = Anp, tiende, en el lımite cuando n crece indefinidamente, a una combi-nacion lineal del vector propio x1. (Puedes suponer, si conviene, que pi 6= 0).

iv. Explica la interpretacion geometrica de la propiedad que acabas de comprobar,que podrıas enunciar ası: Si transformas repetidamente un vector segun unamatriz, se torna cada vez mas paralelo al vector propio del maximo valor propio.

v. En los casos anteriores, el valor propio maximo era 1. Estudia que ocurre enel siguiente caso: [

2 02 1

]

60. La companıa de aviacion Espantox tiene vuelos que conectan las ciudades de Atenas,Barcelona, Caracas, Dublin y Estocolmo. Cada dıa a las nueve de la manana salen losvuelos siguientes (y no salen mas que estos):

(a) de Atenas sale un vuelo a Barcelona,

(b) de Barcelona salen dos vuelos: uno a Caracas y otro hacia Dublin,

(c) de Dublin salen dos vuelos: uno hacia Caracas y el otro a Estocolmo,

(d) de Estocolmo sale un solo vuelo a Dublin.

Numera cada ciudad segun el orden alfabetico y construye una matriz cuadrada A deorden 5, segun el criterio siguiente: el elemento aij es igual a 1 si se puede ir un dıa dela ciudad i a la ciudad j, es decir, si existe un vuelo si sale de la ciudad i en direccion ala ciudad j o bien si i = j. En caso contrario, el elemento aij es igual a cero.

i. Construir la matriz A.ii. ¿Cual es el significado de la cuarta columna de la matriz A?iii. ¿Es simetrica?, ¿Cual es el significado de la simetrıa de A?iv. Considera la matriz A2 y denota por a2

ij al elemento de la fila i y la columnaj. ¿Que significa a42 = 0? ¿Que significa a2

42 = 0?.v. ¿Cual es la interpretacion de la matriz A3?vi. Utiliza las potencias de la matriz A para calcular cual es el viaje que necesita

mas dıas.

61. Justificar si las siguientes matrices podrıan estar asociadas a una forma cuadratica:

A =

[1 3 23 2 1

]B =

[1 −22 1

]C =

1 2 32 −3 −43 −4 0

62. Considera las formas cuadraticas siguientes:

i. Q1(x) = x21 + x2

2 + 4x1x2 + 2x1x3 + 6x3x2

ii. Q2(x) = x21 + 4x2

2 + 4x1x2

iii. Q3(x) = x21 + 4x2

2 + 4x1x2 + x23


iv. Q4(x) = 2x21 + 2x2

2 + 2x23 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x3x2

(a) Determina la matriz simetrica asociada

(b) Determina por el metodo de los menores principales si son definidas positivas onegativas.

63. Considera el vector x y la matriz A siguientes:

x =

x1

x2

x3

A =

1 0 22 −1 10 1 0

i. Determina la forma bilineal correspondiente a la forma cuadratica xtAx.

ii. Computa xtAx para los vectores (1,1,4),(-1,0,1) y (0,2,-2).iii. ¿Es la forma cuadratica definida positiva o definida negativa?

64. Dadas las siguientes matrices:

A =

[1 00 −4

]B =

−1 0 00 −4 00 0 −3

C =

−1 3 03 −10 50 5 −26

D =

1 2 32 1 03 0 −26

E =

−1 3 03 −10 50 5 −26

F =

−1 3 0 13 −10 5 20 5 −26 11 2 1 −704

i. Determina la forma bilineal correspondiente a la forma cuadratica xtAx.

ii. ¿Es la forma cuadratica definida positiva, definida negativa? En caso de nega-tiva encuentra un vector x tal que xtAx > 0 y un vector y tal que ytAy < 0.

(Para las tres primeras matrices, hazlo a mano, para las otras utiliza el Mathematica).

65. Demuestra que si B es una matriz cuadrada no singular, entonces

i. BtB es una matriz simetrica.ii. La forma cuadratica asociada a la matriz BtB es definida positiva.

Mas funciones de Mathematica relacionadas con el algebra de matrices.

NullSpace[M]: da una lista de vectores que forman una base para el espacio nulo de lamatriz M.

Eigenvalues[M]: Calcula los valores propios de la matriz M.

Eigenvectors[M]: Calcula los vectores propios de la matriz M.

66. Si x e y son dos vectores cualesquiera de IR2, establezca la veracidad o falsedad de lassiguientes afirmaciones:

(a) ‖x + y‖2 +‖x − y‖2 = 2‖x‖2 +‖y‖2

(b) x≥ y ⇒ ‖x‖ ≥ ‖y‖

101

(c) y> 0 ∧ x.y = 0 ⇒ x = 0

(d) 14‖x + y‖2 -1

4‖x − y‖2 = x.y

67. (a) Demuestre que el vector 1‖x‖x es un vector de norma 1.

(b) Demuestre que si x es un vector ortogonal a los vectores u y v, entonces x esotogonal a k1 u+k2v para todos los escalares k1 y k2.

(c) Demuestre que si x e y son dos vectores ortogonales y no nulos de IR2, entonces< x, y >es un sistema de vectores linealmente independiente.

68. Dado un vector y∈ IR2 , definimos el subconjunto S ={x ∈ IR3 : x.y = 0

}de todos

los vectores ortogonales a y. Demuestra que S es un subespacio vectorial. Si y=(1,1,1)encuentra una base para S.

69. Demuestra que si S es un subconjunto de IRn , se verifica siempre:

(a) S◦ ⊂ S ⊂ S

(b) fr(S)∩A◦=∅

70. Sean A y B dos subconjuntos de IR2. Supongamos que A es acotado, B cerrado y B ⊂ A.¿Es B necesariamente compacto?

71. Considera el subconjunto de IR2 de la figura 1 y la siguiente relacion de pre-orden:

(x1, x2) ≤ (y1, y2) ⇔ x1 ≤ y1 ∧ x2 ≤ y2

y

x

Fig.1 Un subconjunto de IR2

(a) Indica graficamente los elementos maximales, minimales, maximos y mınimos.

(b) Demuestra que el subconjunto dado es acotado

(c) ¿Es compacto?

72. Si A es un subconjunto de IR2 . Demuestra si son ciertas o falsas las siguientes afirma-ciones:

(a) Si A no es acotado, no tiene elemento maximo.


(b) Si A no es superiormente acotado, no tiene elemento maximo.(c) Si A es acotado, tiene siempre elemento maximo.(d) Si denotamos por maxA el conjunto de los elementos maximos y por minA el

conjunto de los elementos mınimos de A, ¿Es cierto que x∈minA ∩ max A implicaque A tiene un solo elemento?

(e) Si denotamos por maxlA el conjunto de los elementos maximales y por minlA elconjunto de los elementos minimales de A, ¿Es cierto que x∈min lA∩max lA implicaque A tiene un solo elemento?

73. Sean S={x ∈ IR2 :| x1 |≤ 1, x2 = 0

}, T=

{x ∈ IR2 : x1 = 0, | x2 |≤ 1

}, y

W={x ∈ IR2 : x2

1 + x22 < 1

}.

(a) Representa graficamente los conjuntos S,T,W, S∪T, y (S∪T)∩W.(b) Determina los elementos maximales, minimales, maximos y mınimos de S, T y W.(c) Demuestra que los subconjuntos dados son acotados.(d) Determina fr(S) , fr(W), T◦ , W◦.

74. Sea S es un subconjunto de IR2

(a) Demuestre que si m es un punto interior de S, no puede ser un elemento maximalde S.

(b) Demuestre que todo elemento maximal de S pertenece a su frontera.

75. Supongamos que el vector xi = (xi1, x

i2, x

i3) representa los consumos de plastico, gasolina

y electricidad, respectivamente. Como vemos, estos productos son factores productivospara algunas industrias y tambien bienes de consumo directo. Los vectores de demandade estos productos por parte de los sectores productivos y consumidores son:

industria del plastico x1 = (0, 4, 2)industria de la bencina x2 = (8, 0, 6)industria electrica x3 = (1, 6, 0)consumidores x4 = (1, 9, 5)govern x5 = (8, 8, 8)empresas exportadoras x6 = (7, 2, 0)

Supongamos que los precios de los tres productos mencionados son 4Mpts por unidadde plastico, 3Mpts por unidad de gasolina y 2Mpts por unidad de energia electrica. Estose puede representar con un vector de precios p = (p1, p2, p3) = (4,3,2).

(a) Defina con Mathematica los seis vectores de demanda implicados, y el vector deprecio p.

(b) A partir de ahora no tendras que entrar al Mathematica ningun dato adicional:ya hemos entrado toda la informacion necesaria. Para obtener una componentede un vector has de teclear un doble corchete. Por ejemplo, puedes obtener elconsumo de gasolina en la industria electrica tecleando x3[[2]]. El gasto de losconsumidores se puede expresar vectorialmente como el producto escalar px4 ypara hacer el calculo con el Mathematica teclearemos p.x4 .El vector de demandaagregada se escribe como x =

∑6i=1 xi. Calcula con el Mathematica tecleando

x = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6.

103

(c) Escribe con notacion vectorial los gastos de cada industria. Especifica las instruc-ciones de Mathematica para obtener los resultados y computarlos numericamente.

(d) Haz lo mismo con los beneficios (ingresos por venta menos gastos) de cada una delas industrias.

76. Si{xt

}es una sucesion en IR2 que tiene todos sus terminos en el conjunto A⊂ IR2 (es

decir, ∀t,xt ∈A) y que converge a un punto x,demuestra que x no puede ser un puntoexterior de A. (Recuerda que x es un punto exterior de A si existe un ε > 0 tal que labola y el conjunto A son disjuntos, es decir, B( x, ε)∩A=∅).

77. Si{xt

}es una sucesion en IR2 que no tiene ninguno de sus terminos en el conjunto

A⊂ IR2 (es decir, ∀t,xt ∈ Ac) y que converge a un punto x,demuestra que x no puedeser un punto interior de A.

78. Supone que la sucesion pt = (pt1, p

t2) = (4 + (−1)t, 3 − 6

t ) expresa la evolucion temporalde un vector de precios.

(a) Dibuja los 6 primeros terminos de la sucesion.

(b) Es cierto que hay vectores de precios de la sucesion que estan tan cerca del puntop =(5,3) como se quiera (es decir, que dada una bola con centro en p =(5,3) ycualquier radio, B( p, ε) siempre se puede encontrar algun termino de la sucesionque pertenece a la bola)? .

(c) Es convergente esta sucesion?

79. Sea T : IR2 → IR2 una transformacion lineal. Calcular la derivada f ′(a;v) para lafuncion escalar definida en IR2 mediante la ecuacion f(x) = x.T (x)

80. En cada uno de los siguientes ejercicios, calcular todas las derivadas parciales de primerorden y de segundo orden de la funcion escalar dada.

i. f(x, y) = x2 + y2sen(xy)ii. f(x, y) =

√x2 + y2

iii. f(x, y) = x+yx−y

iv. f(x, y) = 1y cos x2

81. Para las funciones dadas en el ejercicio anterior, hallar el vector gradiente en cada puntoen el que exista.

82. Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones en los puntos y direccionesdadas:

i. f(x, y, z) = x2 + 2y2 +3z2 en (1, 1, 0) en la direccion v = e1 − e2 + 2e3

ii. f(x, y) =√

x2 + y2 en (−1, 1) en la direccion v = (2, 3)

83. Hallar los puntos (x, y) y las direcciones para las que la derivada direccional de f(x, y) =3x2 + y2 tiene el valor maximo, si (x, y) esta en el cırculo x2 + y2 = 1

84. Sean f y g dos funciones diferenciables en un conjunto abierto S. Deducir las siguientespropiedades del gradiente:

i. Si f es constante en S, entonces el ∇f = 0.


ii. ∇(f + g) = ∇f + ∇g

iii. ∇(cf) = c∇f si c es constanteiv. ∇(fg) = f∇g + g∇f

85. Encontrar la direccion de maximo crecimiento de f(x, y, z) = xysenz en el punto (3, 2, 0)

86. Si

(a) f(x1, x2) = x21 + 2x1x2 + x2

2

(b) f(x1, x2) = x21x2 + x3

2x1

i. ¿Cual es la derivada de la funcion f en el punto (1,2) en la direccion del vector(1,-1)?

ii. ¿Cual es la direccion en la que la derivada es cero?iii. ¿Cual es la direccion en la cual la derivada es maxima? ¿Cual es la derivada

en este caso?iv. Escribe el vector normal a la curva de nivel de f en el punto (1,2) y dibujalo.v. Dibuja, con auxilio de Mathematica si quieres, un grafico de las curvas de nivel

con gradientes.

87. Dada la superficie en IR3, definida por la ecuacion x2 − y2 + xz = 2

i. ¿Cual es el domino de la funcion correspondiente a la superficie dada?ii. Las derivadas parciales primeras ¿son continuas en el dominio?iii. ¿Es diferenciable en el punto (1,1,2)?iv. ¿Cual el la ecuacion del plano tangente a la superficie en el punto (1,1,2)?

88. Considerar las cinco proposiciones que siguen relativas a un campo escalar f : S → IR ,siendo S ⊂ IR2 y a ∈ S◦,

i. f es continuo en aii. f es diferenciable en aiii. f ′(a;v) existe para todo v ∈IR2

iv. Existen todas las derivadas parciales de f en un entorno de a y son continuasen a

v. ∇f = 0.

En la siguiente tabla, marca con una I el cuadrado correspondiente si la proposicion dela fila (x) implica siempre la proposicion de la columna (y). Por ejemplo, si (a) implicasiempre (b), poner I en segundo cuadrado de la primera fila. La diagonal principal hasido ya marcada.

a b c d ea Ib Ic Id Ie I

105

89. Sea f : IR2 → IR dada por

f(x, y) =

{x + y si x = 0 o y = 0

1 en otro caso

i. Calcular las derivadas parciales en el origen.ii. Calcular la derivada direccional siguiendo un vector v unitario pero no de la

base canonica.iii. ¿Que conclusion obtienes comparando los resultados obtenidos en los dos items

anteriores?

90. Sean f : IR2 → IR definida por

f(x, y) = y2ex2+1

y g : IR → IR2 diferenciable en un intervalo abierto J de IR

g(z) = (h1(z), h2(z))

i. Calcular l(z) = (f ◦ g)(z) para todo z de J.

ii. Hallar l′(z)iii. Calcular l′(z) si

h1(z) = 2zh2(z) = 2z − 1

91. Considera la funcion f : IR3 → IR dada por f(x, y, z) = xy2z y la funciong : IR3 → IR3 dada por x

yz

= g(r, s, t) =

r + 2s + 3t2r + 3s + t3r + s + t

Calcula las derivadas Df(x, y, z), Dg(r, s, t) y DΦ(r, s, t), donde Φ = f ◦ g

92. Suponga que f : IR2 → IR es diferenciable, y = f(x1, x2), y que

x1 = r cos θx2 = rsenθ

Calcula las derivadas ∂y/∂r y ∂y/∂θ

93. Las ecuaciones u = f(x, y), x = X(r, s, t), y = Y (r, s, t) definen u como funcion de r, s yt, sea esta u = F (r, s, t). Expresar las derivadas parciales ∂F

∂r , ∂F∂s y ∂F

∂t en funcion de lasderivadas parciales de f, X e Y.

94. Resolver el ejercicio anterior en cada uno de los casos particulares siguientes:

(a) X(r, s, t) = r + s , Y (r, s, t) = t(b) X(r, s, t) = r + s + t , Y (r, s, t) = r2 + s2 + t2

(c) X(r, s, t) = rs , Y (r, s, t) = s

t


95. Sean F :IR3 → IR2 y G :IR3 → IR3 dos funciones vectoriales definidos como sigue:

F(x, y, z) = (x2 + y + z)e1 + (2x + y + z2)e2

G(u, v, w) = uvwe1 + senve2 + ueve3

i. Calcular cada una de las matrices jacobianas.ii. Calcular la funcion compuesta H(u, v, w) = F(G(u, v, w))iii. Calcular la matriz jacobiana DH(u, 0, v).

96. El beneficio, u de un empresario agrıcola depende de la recoleccion de n productos segunla funcion u = f(x1, ..., xn). La recoleccion del producto i depende de la temperatura,t, y la humedad, h, segun la funcion xi = ϑi(t, h).

i. Expresa en forma matricial las derivadas Df(x) y Dϑ(t, h)ii. Demuestra que el efecto de la temperatura sobre los beneficios viene dada por

la expresion∂u∂t

=n∑

i=1

∂u∂xi

∂xi

∂t

iii. Si f(x1, x2) + 2x1 + 4x2 y ϑi(t, h) = t1i h1− 1

i , calcula el valor de las derivadasparciales ∂u

∂t y ∂u∂h cuando t=25 y h=64. ¿Que significa la derivada direccional

en este punto en la direccion del vector (1,-1)?

97. El coste total de una empresa que produce dos artıculos A y B es funcion de las canti-dades producidas de ambos xA y xB , a traves de la expresion:

C = f(xA, xB) =100xA

+200x3

B.

i. Calcula la variacion del coste total frente a variaciones en las cantidades pro-ducidas de cada uno de ellos suponiendo que la produccion del otro se mantieneconstante.

ii. Segun los resultados obtenidos, ¿son los costes marginales interdependientes?

98. La ecuacionx3 + y3 − 3xy = 0

define a y como funcion implıcita de x. Calcula ∂y∂x

99. Las siguientes ecuaciones definen a z como funcion implıcita de x e y

i. sen(x + y) + sen(y + z) = 1ii. x + z + (y + z)2 = 6

sea z = f(x, y). Calcular las derivadas parciales ∂f∂x , ∂f

∂y , ∂2f∂x∂y para cada item.

100. La curva de costes de una empresa viene dada por:

C(x) = 100 + ax − bx2

tal quea = 2t2 y b = t2 − 2t

Determine la ley de variacion del coste marginal CMa = dC(x)dx en funcion del tiempo,

suponiendo que la cantidad adquirida varıa de la forma x = 12 t2.

107

101. (Teorema de Euler) Una funcion f : IRn → IR es llamada “homogenea de grado m” si

f(tx) = tmf(x) ∀x ∈ IRn, ∀t ∈ IR

Si f es diferenciable y homogenea, mostrar que para x ∈IRn,

Df(x).x = mf(x),

esto es,n∑

i=1

xi∂f(x)∂xi

= mf(x) (8.1)

A la relacion (8.1) se le llama igualdad de Euler. (Sugerencia: Considere g(t) = f(tx) ycompute g′(1) usando la regla de la cadena)

102. Dada la funcion de produccion de Cobb-Douglas

q(K, L) = AKαLβ

i. ¿Cual es el grado de homogeneidad para q?ii. Determina la relacion que deben satisfacer los parametros α, β para que la

funcion sea homogenea de grado 1.iii. Verifica para esta funcion la igualdad dada en el ejercicio anterior.iv. Calcula el Hessianov. Si A = 1, α = 1

3 y β = 23 , identifica y clasifica (si existen) los puntos esta-

cionarios.vi. Para el caso dado en el item anterior, dibuja las curvas de nivel y el campo

gradiente.

103. Identifica y clasifica (si existen) los puntos estacionarios de las superficies que tienen lasecuaciones cartesianas que se dan.

i. z = x2 + (y − 1)2

ii. z = x2 − (y − 1)2

iii. z = (x − y + 1)2

iv. z = (x2 + y2)e−(x2+y2)

104. (a)(Metodo de los mınimos cuadrados): Dados n numeros distintos x1, ..., xn y otrosn numeros y1, ..., yn (no necesariamente distintos), es imposible encontrar una rectaf(x) = ax+ b que pase por todos los puntos (xi, yi) para cada i . No obstante, podemosencontrar una funcion lineal con la que el “error cuadratico total”

E(a, b) =n∑

i=1

[f(xi) − yi]2

sea mınimo. Determinar los valores de a y b para que eso ocurra.

(b) Dada la siguiente tabla


i xi yi

1 −1 12 0 0.53 1 −14 1.5 −1.55 2 0

Encontrar la recta f(x) = ax + b tal que el error cuadratico sea mınimo.

105. La funcion de inversion neta total de un paıs es:

I(i, y) = 50 + 8i − 40i2 + 0.6y − 0.03y2

Calcule los valores de la tasa de interes i y de la renta y que maximizan tal funcion.

Bibliografıa

[1] Howard Anton. Introduccion al Algebra Lineal. Ed. LIMUSA S.A., tercera edition, 1991.

[2] T. M. APOSTOL. Calculus, volume II. Ed. Reverte, Barcelona, 1990.

[3] N. BLACHMAN. Mathematica. Ed. Ariel, 1993.

[4] R. Caballero-Fernandez, S. Calderon-Montero, T. Galache-Laza, A. Gonzalez Pareja,M. Rey-Borrego, and F. Ruiz de la Rua. Matematicas Aplicadas a la Economıa y a laEmpresa. Ed. Piramide, 1993.

[5] Alpha Chiang. Metodos Fundamentales de Econmıa Matematica. Ed. McGrawHill, 1987.

[6] Andres Gutierrez G. and Fernando Garcıa C. Algebra Lineal, volume I. Ed. Piramide,1990.

[7] Andres Gutierrez G. and Fernando Garcıa C. Algebra Lineal, volume II. Piramide, 1990.

[8] J. Grafe-Arias. Matematicas UniversitariasPara Estudiantes de Economicas y Empresariales. Mc-Graw Hill, 1985.

[9] Michel Queysanne. Algebra Basica. Ed. Vicens-Vives, 1990.

[10] S. Wolfram. Mathematica. Ed. Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1991.

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