operaciones binarias

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

MatemáticaSerie 3 para docentes de SecundariaTeoría de Matemática BásicaFascículo 6: ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

© Ministerio de EducaciónVan de Velde 160, San Borja

Primera edición, 2007Tiraje: 14 000 ejemplaresImpreso en Empresa Editora El Comercio S.A.Jr. Juan del Mar y Bernedo 1318,Chacra Ríos Sur, Lima 01

Hecho el Depósito Legal en laBiblioteca Nacional del PerúNro. 2007-00274

Coordinación y supervisión general MED

Antonieta Cubas MejíaSupervisión pedagógica MED

Juan Carlos Sandoval PeñaVerificación de estilo MED

Miguel Luis Bances Gandarillas

Autoría

Ediciones El Nocedal S.A.C.Coordinador

Rubén Hildebrando Gálvez ParedesElaboración pedagógica

Felipe Eduardo Doroteo PetitItala Esperanza Navarro MontenegroEdgar Justo Chacón NietoDaniel José Arroyo GuzmánColaboración especial

Nestor Sánchez LeónRevisión pedagógica

Hno. Marino La Torre MariñoRevisión académica

Armando Zenteno RuizDiseño y diagramación

Virginia Rosalia Artadi León

Ilustraciones

Patricia Nishimata OishiBrenda Román GonzálezFotografía

Enrique BachmannCorrector de estilo

Marlon Aquino Ramírez

Z_S3 F6 D.indd 1Z_S3 F6 D.indd 1 6/1/07 1:12:45 PM6/1/07 1:12:45 PM

Ser docente en Matemática, en la actualidad, es un gran reto, pues representa una tarea compleja y requiere multiplicidad de saberes. No es sufi ciente dominar los contenidos temáticos del área, además se debe lograr que los estudiantes desarrollen las capacidades del área (razonamientos y demostración, comunicación matemática y resolución de problemas), y los valores y actitudes que les permitan una educación integral para alcanzar su autorrealización. Esto exige que los docentes estén actualizados en las nuevas tendencias curriculares, metodologías y vigencia de contenidos matemáticos.

El fascículo aborda la temática referida a las Estructuras Algebraicas más conocidas, como el grupo y el anillo, a partir del manejo de las operaciones con números naturales. Incluye, asimismo, ejemplos prácticos y ejercicios orientados a la búsqueda de sus posibles aplicaciones en la vida cotidiana.

Desarrollamos el estudio de las Estructuras Algebraicas de una manera sencilla, pero profunda; empezamos estableciendo el concepto de operaciones binarias, y las de grupo, sobre la base de sus cuatro axiomas, mostrando algunos de los más importantes ejemplos de grupo; luego se demuestran las propiedades que se cumplen en un grupo y se defi nen los principales tipos de grupos. Asimismo, se defi nen los subgrupos. En la segunda parte se estudia la estructura y las propiedades del anillo, así como los conceptos de anillo con unidad, anillo conmutativo, anillo con división, anillo booleano, cuerpo y dominios de integridad.

Complementamos el fascículo con logros de aprendizaje, recuperación de saberes previos, estrategias de aprendizaje, metacognición, evaluación, bibliografía y enlaces web.

Z_Estructuras_AlgebTOTAL.indd 1Z_Estructuras_AlgebTOTAL.indd 1 5/31/07 8:21:03 PM5/31/07 8:21:03 PM

Presentación ......................................................................................................................... 1Índice .................................................................................................................................... 2Organizador visual de contenidos ........................................................................................ 3Motivación ........................................................................................................................... 4Logros de aprendizaje .......................................................................................................... 4Recuperación de saberes previos ......................................................................................... 4

1. OPERACIONES BINARIAS INTERNAS ................................................................................. 5 1.1 Defi nición ............................................................................................................... 5 1.2 Propiedades de las operaciones binarias internas .................................................... 6 1.3 Los enteros módulo n: n ....................................................................................... 10

Actividad 1 ..................................................................................................................... 12

2. GRUPOS ......................................................................................................................... 132.1 Estructuras algebraicas con una operación ............................................................ 132.2 Defi nición de grupo ............................................................................................... 15Actividad 2 ..................................................................................................................... 23

3. ANILLOS ........................................................................................................................... 24 3.1 Estructuras algebraicas con dos operaciones........................................................... 24 3.2 Defi nición de anillo ................................................................................................. 24 Actividad 3 ..................................................................................................................... 28

4. EVALUACIÓN .................................................................................................................. 29

5. METACOGNICIÓN ............................................................................................................ 30

Bibliografía comentada ....................................................................................................... 31Enlaces web ......................................................................................................................... 32

ÍNDICE


3

Fascículo 6 / ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

EST

RU

CT

UR

AS A

LG

EB

RA

ICA

S

Estru

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4

Serie 3 / TEORÍA DE MATEMÁTICA BÁSICA

LOGROS DE APRENDIZAJE

Analiza los contenidos sobre estructuras algebraicas a través de la lectura, observa-ción, diferenciación, identifi cación, com-paración y organización.

Aplica y utiliza las defi niciones y propie-dades sobre los grupos y anillos, en forma que sea adecuada a cada situación y con precisión necesaria, a través de las demos-traciones en función de su complejidad y de la naturaleza.

Representa información relativa a los Gru-pos y Anillos, presentados en forma gráfi ca o numérica mediante el análisis de cómo se han obtenido, cómo se representan y para qué se utilizan.

Interpreta enunciados matemáticos presen-tados en un lenguaje formal o en un lengua-je común a través de la lectura, la decodi-fi cación, la codifi cación, la clasifi cación, la discusión y la representación.

MotivaciónEl concepto de operación interna o ley de composición interna es uno de los más remotos de la Matemática y se remonta a los antiguos egipcios y babilónicos, quienes ya poseían métodos para calcular sumas y multiplicaciones de números naturales positivos y de números racionales positivos a pesar de no contar con el sistema de numeración decimal.

El estudio de los conjuntos y las operaciones internas que se defi nen en estos, tiene como punto de partida al conjunto de los números naturales y la operación de adición, pues se identifi can las propiedades de clausura, conmutativa, asociativa y la existencia del elemento neutro o identidad en dicho conjunto.

Sin embargo, al paso del tiempo, los matemáticos se dieron cuenta de que lo importante no eran las tablas de sumar o multiplicar de ciertos "números", sino el conjunto y su operación binaria defi nida en él. Esto, junto con ciertas propiedades que satisfacían dichos conceptos, dio lugar al concepto fundamental llamado grupo. En el gráfi co adjunto, se observa cómo la Teoría de Grupos se relaciona con la Química mediante el Grupo Simétrico o de Permutación.

Antes de empezar con el desarrollo del presente fascículo es indispensable que recuerdes algunas precisiones. Lee atentamente las preguntas y responde en una hoja aparte.

¿Qué es una operación matemática?

¿Qué es una aplicación?

¿Qué es una función?

¿Qué es una composición de funciones?

¿Qué es una matriz?

¿Qué entiendes por propiedad conmutativa de la adición?

¿Qué entiendes por propiedad asociativa de la adición?

¿Cuándo una relación es de equivalencia?

RECUPERACIÓN DE SABERES PREVIOS

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS


5


Operar es hacer corresponder dos elementos de un conjunto numérico con otro elemento del mismo conjunto al que llamamos el resultado de la operación.

1. OPERACIONESINTERNAS

En los diagramas mostrados, a cada par ordenado de elementos de se le asigna un único elemento en , es decir, a cada elemento

(a ; b) ∈ × le corresponde un único elemento (a + b) ∈ . Una función con esta característica recibe el nombre de operación binaria interna.

1.1 Definición

Sea A un conjunto no vacío, llamamos operación binaria * defi nida en A, a toda aplicación de A × A en A tal que a todo par ordenado de A × A le corresponde su compuesto que pertenece siempre a A.Notación: *: A × A → A (a; b) a a * bAsí, por ejemplo:a. + : N N× → (a; b) a a + b Donde + : operador (a + b) se lee “a más b”b. . : → (x; y) a x . y Donde (.) : operador x × y se lee “x por y”

c. Consideremos el conjunto E = {a; b; c} defi namos la operación * en E como:

* : E . E → E (x; y) a x * y = x * Es una operación binaria ya que para todo par ordenado (x; y) ∈ E × E le

hace corresponder su compuesto x*y ∈ Ε que es su primer componente x.

En todo conjunto diferente del vacío, se defi nen operaciones binarias llamadas también leyes de composición interna o aplicaciones binarias. Estas aplicaciones hacen corresponder a todo par ordenado en el conjunto, un compuesto que pertenece al mismo conjunto. Por ejemplo:( ; + ) Designa al

conjunto de los números naturales con la operación binaria de adición defi nida en .

( ; · ) Designa al conjunto de los números enteros con la operación binaria de multiplicación defi nida en .

[P(X); ∩] Designa al conjunto potencia de X con la operación binaria de intersección de conjuntos en P (X).

(a; b) a + b

N N×

+

(a; b) a . b

§ §× §×

.


6


A cada par ordenado (x; y) de elementos de E, la operación * le hace corresponder el elemento x en E, es decir (x; y) ∈ E × E, mediante la operación * le corresponde su primer componente.

Analicemos: si la operación * defi nida en E es una operación interna.1. Determinemos E × E :

E Ea a a b a cb a b b b cc a c b c c

¥ =⎧⎨⎪

( ; ); ( ; ); ( ; )( ; ); ( ; ); ( ; )( ; ); ( ; ); ( ; )⎩⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

2. Determinemos los valores x * y, (x; y) ∈ E × E a * a = a ; a * b = a ; a * c = a b * a = b ; b * b = b ; b * c = b c * a = c ; c * b = c ; c * c = c Observemos que todos los compuestos x * y pertenecen a E, luego la

operación * es una operación interna en E.3. Para su mejor comprensión, se utilizan las “tablas de doble entrada” donde

los elementos del conjunto E se colocan en la primera columna y primera fi la de la tabla, y sus compuestos en los recuadros correspondientes.

* a b ca a a ab b b bc c c c

fi la

diagonal principalcolumna

1.2 Propiedades de las operaciones binarias internas

Propiedad conmutativa

Una operación interna * defi nida en un conjunto E es conmutativa si:a, b ∈ E : a * b = b * a

Ejemplo:Sea E = { –1; 0; 1 } en el cual se defi ne la operación ∧, como: ∧ : E × E → E (a; b) a a ∧ b = a · b (la multiplicación ordinaria)Demostramos que a ∧ b = b ∧ aa ∧ b = a · b .............. defi nición de ∧ = b · a .............. conmutatividad de la multiplicación ordinaria = b ∧ a .............. defi nición de ∧ Por lo tanto, a ∧ b = b ∧ aLuego, la operación ∧ es conmutativa.

- : × →

(a; b) → a - bLa operación de sustracción (-) en , no es una operación binaria interna, ya que el compuesto a - b no siempre es un elemento de .

Cuando una operación está defi nida en una tabla, para que ésta sea conmutativa es condición necesaria y sufi ciente que los elementos con respecto a la diagonal sean simétricos.

∧ -1 0 1-1 1 0 -10 0 0 01 -1 0 1

Así, la tabla adjunta nos muestra los resultados de la operación ∧ defi nida sobre el conjunto E.Note que los elementos equidistantes a la diagonal trazada son iguales:

∧ -1 0 1-1 1 0 -10 0 0 01 -1 0 1

Por tal razón, podemos afi rmar que la operación ∧ es conmutativa.


7


Propiedad asociativa

Una operación interna * defi nida en un conjunto E es asociativa si:a; b ; c ∈ E: a * (b * c) = (a * b) * c

Ejemplo:Defi nimos sobre § la operación del modo siguiente: : § × § → § (a; b) a a b = a + b + ab

¿Es asociativa la operación así definida?Si queremos demostrar que la operación es asociativa, bastará con probar que: a, b, c ∈§ : a (b c) = (a b) c:Sea a, b, c ∈§ , se tiene:

a (b c) = a (b + c + bc) ............................ defi nición de = a + (b + c + bc) + a (b + c + bc) .... defi nición de = a + b + c + bc + ab + ac + abc .... propiedad distributiva en§ = (a + b + ab) + c + c (a + b + ab) .... propiedad asociativa en§ = (a b) + c + c (a b) ................ defi nición de = (a b) c ............................ defi nición de

Por lo tanto: a (b c) = (a b) cLuego, la operación es asociativa.

Elemento neutroUna operación interna * defi nida en un conjunto E se dice que tiene elemento neutro “e” si se cumple la siguiente condición:∃ e E / a E: a * e = e * a = a

Observaciones:i. El elemento neutro es único.ii. El resultado de operar el elemento neutro e E con cualquier otro elemento

x E, es igual al mismo elemento x E.Probaremos la primera observación. “El elemento neutro es único”.

En efecto:Sea e A, elemento neutro de A. Supongamos que existe otro elemento neutro e’ A tal que e’ ≠ e (hipotesis auxiliar). Entonces: e’ * e = e’ .................. por ser e elemento neutro de A e’ * e = e .................. por ser e’ elemento neutro de A (hipótesis auxiliar)Por lo tanto, e’ = e. Esto contradice la hipótesis auxiliar al aseverar que existe otro elemento neutro para la operación *. Entonces, se demuestra que el elemento neutro de todo conjunto es único.

Ejemplo:■ El elemento neutro de la operación binaria de la adición en es el cero, ya

que: ∃ 0 ∈ / ∀ a ∈ : a + 0 = 0 + a = a ∃ 0 ∈ / ∀ 3 ∈ : 3 + 0 = 0 + 3 = 3

En Geometría encontramos diversos ejemplos de operación interna, por ejemplo:

Del gráfi co tenemos que:

AoC = AoB + BoC

Es decir, la suma de dos ángulos es otro ángulo.

Del gráfi co tenemos que:

AC = AB + BC

Es decir, la suma de dos segmentos consecutivos es otro segmento.

CB

Ao

CBA

1.

2.


8


Por tal rezón podemos afi rmar que la operación ∧ es conmutativa.

┴ a b c da a b c db b b c ac c d a bd d a b c

* Elemento neutro: a* b ⊥ d = a

Por tanto, “b” es el inverso de “d ”, y viceversa.

Cuando una operación está defi nida en una tabla, para identifi car a cada uno de los elementos inversos, primero debemos identifi car al elemento neutro, y luego se buscará dos elementos que operados nos den el elemento inverso.

■ Considere el conjunto A = {a; b; c; d} . Se defi ne en A la operación binaria interna ⊥, en la tabla siguiente:

┴ a b c da a b c db b c d ac c d a bd d a b c

Se verifi ca que el elemento a ∈ A es el elemento neutro de la operación binaria ⊥, ya que todo elemento de A compuesto con el elemento “a” nos da el mismo elemento.

a ⊥ a = a b ⊥ a = b c ⊥ a = c d ⊥ a = d

Elemento inverso

En una operación interna * defi nida en un conjunto E, con elemento neutro e, se dice que un elemento a E tiene inverso β E, si se cumple la siguiente condición:

a * β = β * a = e

■ Considerando la operación ⊥, dado en el ejemplo anterior, dicha operación tiene elemento neutro (“a”) luego:

a ⊥ a = a entonces a es el elemento inverso de a b ⊥ d = a entonces d es el elemento inverso de b c ⊥ c = a entonces c es el elemento inverso de c d ⊥ b = a entonces b es el elemento inverso de d

■ Consideramos el conjunto de los números enteros , y la operación de adición (+) en , entonces:

Para cada a ∈ , ∃ - a ∈ / a + (-a) = 0 Ejemplos: 3 + (-3) = 0 → -3 es el elemento inverso de 3 7 + (-7) = 0 → -7 es el elemento inverso de 7 -5 + (+5) = 0 → +5 es el elemento inverso de -5

Propiedad distributivaDado un conjunto E y dos operaciones internas * y # defi nidas en E. Decimos que # es distributiva respecto a * si a, b, c ∈ E se cumplen:1. a # (b * c) = (a # b) * (a # c)2. (b * c) # a = (b # a) * (c # a)

Ejemplos:1. En operaciones, la adición ( + ) y la multiplicación ( · ) en el conjunto de

los números enteros . Notemos que la multiplicación ( · ) es distributiva

Cuando una operación está defi nida en una tabla, bastará con ubicar aquel elemento para el cual se refl ejan los demás elementos en la tabla:

┴ a b c da a b c db b b c ac c d a bd d a b c

Entonces, el elemento neutro es “a”.


9


Considere las siguientes matrices:

A B = B AEn estos casos decimos

que las matrices A y B son conmutativas

B

A

A

B

A

CONMUTATIVIDAD

AB = BA

A

C

A B

DISTRIBUTIVIDAD

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

A B

C

respecto a la operación de adición ( + ) en , pues ∀ a, b, c se cumple:

a × (b + c ) = a × b + a × c Ejemplo: – 2 × (7 + 5) = (–2) 7 + (–2) 5 = –14 – 10 = –242. Matrices cuadradas 2 × 2 Consideremos dos operaciones: La adición de matrices cuadradas 2 × 2

( + ) y la multiplicación de matrices cuadradas 2 × 2 ( . ), defi nidas en el conjunto de matrices cuadradas 2 × 2, es decir:

M

a aa a

a i j11 12

21 22ij2 1 2( ) / ; ; ;¢ ¢=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

{ }⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

∈ ∈

Sean A y B M2( ), defi nimos las operaciones ( + ) y ( . )

A + Ba aa a

b bb b

a + b a + ba

11 12

21 22

11 12

21 22

11 11 12 12

2

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=11 21 22 22

11 12

21 22

11 12

21 22

+ b a + b

A Ba aa a

b bb b

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎟

=+ ++ +

⎛⎝⎜

a b a b a b a ba b a b a b a b

11 11 12 21 11 12 12 22

21 11 22 21 21 12 22 22

⎞⎞⎠⎟

Se demuestra que:a. La adición de matrices es conmutativa: A + B = B + Ab. La multiplicación de matrices en general no es conmutativa: AB ≠ BA

Por lo tanto, AB ≠ BA

c. La adición de matrices posee elemento neutro, es decir: ∀ A M2 ( ), ∃ 0 M2 ( ) / A + 0 = 0 + A = A Es decir se verifi ca:

A + 0

a aa a

a aa a

11 12

21 22

11 12

21 22

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0 00 0

donde la matriz 00 00 0

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ se llama “Matriz Nula”

d. La multiplicación de matrices posee Elemento Neutro, es decir: ∀ A M2 ( ), ∃ I M2 ( ) / A . I = I . A = A


10


Es decir, se verifi ca:

A I

a aa a

a aa a

A11 12

21 22

11 12

21 22

× =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟×⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

1 00 1

donde la matriz I =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 00 1 se llama “Matriz Identidad”

e. La multiplicación de matrices es distributiva con respecto a la adición de matrices. Es decir:

A × (B + C) = A × B + A × C

Inconveniencia de la conmutatividadJorge y Cecilia son padres de Marcia y deciden comprar útiles escolares y uniforme.Jorge propone:Comprar él el uniforme y Cecilia los útiles escolares, mientras que, Cecilia sugiere:Comprar ella el uniforme y Jorge los útiles escolares. Vemos que no se ponen de acuerdo, ya que la conmutatividad sobre las compras de útiles y uniforme no funciona equitativamente, y este desacuerdo proviene del valor que demanda cada compra, ya que los útiles escolares demandan $ 400 y la compra de uniforme demanda un gasto por un valor de $ 300. Si ambos gastos fueran iguales no interesaría quién compre ambas cosas y la conmutatividad funcionaría.

Los múltiplos de cualquier número entero se denotan por:

åAsí, por ejemplo:

múltiplo de 2

múltiplo de 3

múltiplo de 4

1.3 Los Enteros Módulo n: n

Relación de equivalenciaSea R A × A, es decir, R una relación defi nida en A. Es de equivalencia, si se cumplen las tres propiedades siguientes:a. Refl exividad

∀ a A → (a; a) Rb. Simetría

Si (a; b) R → (b; a) Rc. Transitividad

Si a, b, c A; (a; b) R y (b; c) R → (a; c) R

a • • b

a •

a • • c

•b

Ejemplo:1. Defi nimos en la relación R de la siguiente manera:

a,b → (a; b) R si y sólo si b – a = R ={(a; b) / b – a = , a, b }

R ={(2; 4), (3; 9), (7; 5), (2; 2), (4; 2),....}(2; 4) R ya que 4 – 2 = 2 múltiplo de 2 = (3; 9) R ya que 9 – 3 = 6 múltiplo de 2 = (7; 5) R ya que 5 – 7 = –2 múltiplo de 2 = (5; 2) R ya que 2 – 5 = –3 no es múltiplo de 2Demostramos que R es una relación de equivalencia. En efecto:– Es refl exiva: ∀ a → (a; a) R si y sólo si a – a = 0 múltiplo de 2 Si 2 → (2; 2) R si y sólo si 2 – 2 = 0 múltiplo de 2– Es simétrica Si (a; b) R → (b; a) R así: b – a = → a – b = Si (6; 2) R → (2; 6) R así: 2 – 6 = –4 = → 6 – 2 = 4 = – Es transitiva Si (a; b) R y (b; c) R → (a; c) R Si (a; b) R → b – a = Si (b; c) R → c – b =

c – a = → (a; c) R ya que si dos números son múltiplos de 2, entonces su suma también lo es.


11


x⏐y se lee:

“x divide a y”

Como R es una relación de equivalencia en , es decir, R , entonces R defi ne una partición en y cada parte se llama “Clase de equivalencia”.

2. Sea n , donde n es un entero fi jo. Defi nimos la relación de la siguiente manera:

Si a,b , → a b (mod n) si y sólo si n | (b – a) Luego, la relación es una relación de equivalencia en . En efecto: – Es refl exiva: n | 0 → n | (a – a), ∀ a → a a (mod n) – Es simétrica Sea a, b / a b (mod n) → n |(b – a) → n| (a – b) → b a (mod n) – Es transitiva Si a b (mod n) b c (mod n) → a c (mod n) En efecto: Si a b (mod n) → n | b – a; Si b c (mod n) → n | c – b → n | (b – a) + (c – b) → n | c – a → a c (mod n) A la relación de equivalencia defi nida en se le llama “Relación

de congruencia módulo n”. La clase de equivalencia de a es el conjunto:

a = {z / z a (mod n)} = {z / n | (z – a)} = {z / z = a + nk; k } así, en la solución modulo 4 en 0 = {... –12; –8; –4; 0; 4; 8; 12; 16; ...} 1 = {... –11; –7; –3; 1 ; 5; 9; 13; 17; ...} 2 = {... –6; –2; 2; 6; 10; ...} Si además a, b a → b = a , es decir: 4,8 0 → 8 = 4 2,6 2 → 2 = 6 Ahora, por el algoritmo de Euclides, existe r tal que b = nk + r, con

k y 0 ≤ r < n Por lo tanto:Defi niciónEl conjunto de los “enteros módulo n”, denotado por ¢ n es el conjunto cuyos elementos son las clases de congruencias módulo n, es decir:

En ¢ n se define la adición módulo n:+ : ¢ n ¢ n → ¢ n

(a ; b) → a + b = a + b La cual está bien definida, es decir, que la suma de clases de congruencia es independiente de los representantes de cada clase.Se verifica que la adición en ¢ n es asociativa y conmutativa y el elemento neutro es 0.

Sea A un conjunto diferente del vacío

Aa ·

c ·b ·

Si defi nimos en A una relación de equivalencia,

el conjunto se parte

Cada parte se llama “clase de equivalencia”.

Por lo tanto, una relación de equivalencia R defi ne

una participación en A.

a · b ·

c ·

A × AR


12


+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 02 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 13 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 24 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 35 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 46 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 57 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 68 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 79 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 810 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 911 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Actividad 1Organizados en grupos de cuatro docentes, re-suelvan los siguientes casos y comparen sus re-puestas.1. Verifiquen que la adición en M2 ( ) es asociati-

va.2. Sea ⊕ la operación definida en A = {0, 1, 2}

mediante la tabla:

Si a = 0 ⊕ (1-1 ⊕ 2-1)-1

b = 0-1 ⊕ 2-1

⊕ 0 1 20 0 1 21 1 2 02 2 0 1

* 1 2 31 1 2 32 2 2 13 3 1 2

Podemos considerar a los elementos de 12 como las marcas de un reloj (ver gráfico), así por ejemplo:• Si son las 6 y transcurren 9 horas, el reloj marcará 6 + 9 = 15 = 12 + 3 = 3 • Si son las 9 y transcurren 8 horas, el reloj marcará 9 + 8 = 17 = 12 + 5 = 5 • Si son las 10 y transcurren 11 horas, el reloj marcará 10 + 11 = 21 = 12 + 9 = 9

Determina a ⊕ b Observación: x-1 denota el inverso de x ∈ A.3. Sea A = {1; 2; 3} se define la operación * por

la siguiente tabla:

Determina si * es conmutativa, asociativa y si tiene elemento neutro.

Multiplicación en 12

3 = {0, 1, 2}

• : 3 3 → 3

(a , b) → a · b

• 0 1 2

0 0 0 0

1 0 1 2

2 0 2 1

Ejemplo:Sea 12 = {0, 1, 2, 3, ... , 11}definimos: +: 12 12 → 12

(a ; b) → a + b = a + b

Para calcular la suma de dos elementos de 12 debemos tomar en cuenta que:

(12k + r) = r , ∀ k ; 0 ≤ r < 12

Así por ejemplo:* 5 + 11 = 16 = 12 + 4 = 4* 7 + 5 = 12 = 12 + 0 = 0* 9 + 10 = 19 = 12 + 7 = 7

De esta forma se obtiene la siguiente tabla:


13


2.1 Estructuras algebraicas con una operación

Situación 1En el conjunto de los números enteros , se defi ne la operación “*” mediante: a * b = a + b + 2, para todo a, b que pertenece a . Analicemos qué propiedades cumple la operación “*” en .Esto es:1º a * b = a + b + 2; aquí vemos que siempre a operado con b mediante

“*” pertenece al conjunto , ya que la suma de números enteros siempre es otro número entero. Esta propiedad recibe el nombre de clausura. Entonces, “*” cumple esta propiedad en .

2º a * (b * c) = (a * b) * c; aquí desarrollaremos cada miembro para ver qué resultado se obtiene. Así, a, b y c están en .

Entonces: a * (b * c) = a * (b + c + 2) Por defi nición de “*” = a + (b + c + 2) + 2 Por defi nición de “*” = a + b + c + 4 Defi nición de adición en .

(a * b) * c = (a * b) + c + 2 Por defi nición de “*”. = (a + b + 2) + c + 2 Por defi nición de “*”. = a + b + c + 4 Porque la adición en es asociativa y conmutativa. Ahora, podemos observar que los resultados de: a * (b * c) y (a * b) * c son iguales. Esta propiedad recibe el nombre

de asociatividad. Entonces, la operación “*” en cumple con esta propiedad.

3º Existe un único elemento e en tal que para todo elemento a en se cumple: a * e = e * a = a

Veamos qué resulta cuando desarrollamos cada miembro de las igualdades. Así:

a* e = a, entonces: a + e + 2 = a , Defi nición de * e = − 2 Aplicando propiedades de cancelación y opuesto en . e * a = a , entonces: e + a + 2 = a Defi nición de *. e = − 2 haciendo uso de la propiedad de cancelación y opuesto en .

2. GRUPOS

En el Álgebra, se consideran conjuntos diferentes del vacío provistos de una o

más leyes de composición interna que cumplen

ciertas propiedades que las caracterizan, de acuerdo

con ellas, se generan estructuras algebraicas muy

necesarias para analizar el comportamiento de dichas

leyes y poder obtener nuevas en un conjunto

dado. De esta manera se logran otras estructuras que permiten enunciar

principios universales del Álgebra. Por ejemplo,

si consideramos el conjunto E ≠ φ en el

cual se define una o más operaciones binarias y

leyes de composición interna que cumplen ciertas

propiedades, se denomina “Estructura Algebraica” y se

denota por: (E; *) o (E; *; #) .


14


Como podemos observar, existe un elemento e = – 2 en , tal que para todo elemento a en cumple la propiedad de: a * e = e * a = a. Esta propiedad recibe el nombre de existencia del elemento identidad o también denominado, existencia del elemento neutro. Entonces, la operación “*” en cumple con esta propiedad.

4º Para cada elemento a en , va a existir otro elemento a' en que cumpla la condición: a * a' = a' * a = e, siendo “e” el elemento neutro en .

Ahora veamos qué resulta al desarrollar cada miembro de la igualdad. Así:

a * a' = e, entonces: a + a' + 2 = – 2 Defi nición de *

a' = – a – 4 Aplicando propiedad de

elemento opuesto.

a' * a = e, entonces: a' + a + 2 = – 2 Defi nición de *

a' = – a – 4 Aplicando propiedad del

elemento opuesto.

Como podemos observar, para cada elemento “a” en existe otro elemento a' en , que cumple la propiedad a * a' = a' * a = e. Esta propiedad recibe el nombre de existencia del elemento opuesto o existencia del elemento inverso en el conjunto dado. Entonces, la operación “*” en cumple con esta propiedad.

5º a * b = b * a; aquí desarrollamos cada miembro de la igualdad y observamos los resultados siguientes:

a * b = a + b + 2 Por defi nición de *.

b * a = b + a + 2 Por defi nición de *.

= a + b + 2 Por la propiedad conmutativa de la adición en Como podemos apreciar, los resultados de a * b y b * a son iguales; esta

propiedad recibe el nombre de conmutativa, entonces la operación “*” cumple con esta propiedad en .

Por lo tanto, si agrupamos convenientemente las propiedades que cumple la operación binaria en el conjunto determinado, diferente del vacío, entonces iremos formando estructuras algebraicas diversas como: semigrupos, monoides, grupos anillos, cuerpos, espacios vectoriales, entre otros. En ese caso la situación (1) se refi ere a varias estructuras algebraicas, por ello:

Defi nición de semigrupo

Sea el conjunto E diferente del vacío y una operación “*”; el par (E; *) es un semigrupo, si y sólo si “*” en E es una operación binaria interna asociativa.

Un conjunto E y una operación * que cumpla la propiedad de clausura o cerradura, el por (E, *) se llama una “Estructura de monoide”.Por ejemplo:( ; +), el conjunto de

los números naturales, con la operación binaria de Adición, forma una estructura de monide, ya que (+) cumple con la propiedad de clausura o cerradura; es decir, dado dos elementos naturales a y b entonces a + b también es natural.

( ; −), el conjunto de los números naturales, con la operación binaria de la sustracción, no forma una estructura de monoide ya que (−) no cumple con la propiedad de clausura.

( ; · ), el conjunto de los números enteros, con la operación binaria de la multiplicación forma una estructura de monoide ya que (·) cumple en la propiedad de clausura.

( ; ÷ ), el conjunto de los números enteros, con la operación binaria de la división, no forma una estructura de monoide, ya que (÷) no cumple con la propiedad de clausura.


15


− Un semigrupo es un monoide asociativo.

− Un grupo es un semigrupo con elemento identidad e inverso.

Se deduce:− Todo grupo es un

semigrupo. − Todo grupo es un

monoide.− Todo semigrupo no

siempre es un grupo.− Todo monoide no es un

grupo.− Todo semigrupo es un

monoide.− Todo monoide no siempre

es semigrupo.

Ejemplos:

( ; · ), el conjunto de los números enteros, con la operación binaria de la multiplicación forma una estructura de semigrupo, ya que la operación (×) cumple con las propiedades de clausura y asociatividad.

(§ ; + ), el conjunto de los números racionales, con la operación binaria de la adición forma una estructura de semigrupo.

2.2 Definición de grupo

Sea un conjunto diferente del vacío “E”, y una función “*”. El par (E, *) es una estructura algebraica denominada grupo, si y sólo si * es una operación binaria interna en E, asociativa, con elemento identidad y tal que cada elemento de E admite un elemento inverso.

Simbólicamente podemos expresarlos:

(E, *) es grupo, si y sólo si: * cumple las propiedades:

G1 : Clausura

a, b E a * b E

G2 :Asociativa

a, b, c, E (a * b) * c = a * (b * c)

G3 :Elemento identidad

∃ e E / a E: a * e = e * a =a

G4 :Elemento inverso

Para cada a E: ∃ a' E / a * a' = a' * a = e

Donde “e” es el elemento identidad en E, vía la operación “*”.

Ejemplo 1

Dado el conjunto 2 = × formado por todos los pares ordenados de números reales y la adición “+” de pares ordenados de números reales a; b; c y d defi nida por:

(a; b) + (c; d) = (a + c; b + d)

El par ( 2, +) es una estructura algebraica de grupo, porque cumple con la defi nición correspondiente.

Esto es: “+” en 2 cumple las propiedades:

G1 : Clausura

Por defi nición: (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d), donde la suma de los números reales a y c; b y d, también es número real y constituido como par; ese elemento está en 2.

G2 : Asociativa

x; y; z, ∈ 2 se cumple : x + (y + z) = (x + y) + z


16


Esto es:Si: x ∈ 2 x = (a1 ; a2)

y ∈ 2 y = (b1 ; b2)

z ∈ 2 z = (c1 ; c2)

Luego: a + (b + c) es:

x + (y + z) = (a1 ; a2) + [ (b1 ; b2) + (c1 ; c2) ] Por notación en 2.

= (a1 ; a2) + (b1 + c1 ; b2 + c2) Por defi nición de “+”.

= (a1 + (b1 + c1) ; a2 + (b2 + c2)) Por defi nición de “+”.

x + (y + z) = (a1 + b1 + c1 ; a2 + b2 + c2) Por asociatividad de “+” en 2.

Asimismo: (x + y) + z es:

(x + y) + z = [ (a1 ; a2) + (b1 ; b2) ] + (c1 ; c2) Por notación en 2.

= (a1 + b1 ; a2 + b2) + (c1 ; c2) Por defi nición de “+”.

= [ (a1 + b1) + c1) ; (a2 + b2) + c2 ] Por defi nición de “+”.

(x + y) + z = (a1 + b1 + c1 ; a2 + b2 + c2) Por asociatividad de “+” en 2.

Por lo tanto: x + (y + z) = (x + y) + z

G3 : Elemento Identidad

∃! e ∈ 2 / x ∈ 2 x + e = x

Esto es:Si : x ∈ 2 x = (a1 ; a2) e ∈ 2 e = (e1 ; e2)

Luego: a + e = a es:

x + e = x (a1 ; a2) + (e1 ; e2) = (a1 ; a2) Por notación en 2.

(a1 + e1 ; a2 + e2) = (a1 ; a2) Por defi nición de “+”.

a1 + e1 = a1 y Por propiedad de igualdad

a2 + e2 = a2 de números reales.

e1 = 0 Por propiedades: cancelativa

e2 = 0 y elemento identidad en de la adición.

Luego, el elemento identidad de “+” en 2 es (e1 ; e2) = (0; 0)

G4 : Elemento inverso∀ x ∈ 2, ∃! x' ∈ 2 / x + x' = e

Esto es:Si: x ∈ 2 x = (a1 ; a2) x' ∈ 2 x' = (a'1 ; a'2)

no es grupo porque no posee elementos inversos.

es un grupo.donde es el

conjunto de los números racionales menos el cero, forma una estructura de grupo.

no es una estructura de grupo porque no posee elementos inversos.

El conjunto de vectores de posición que pertenece a forma un grupo abeliano.

(0;0)

(c;d)

a c

d

b(a;b)

(a+c; b+d)


17


No todo grupo es abeliano.

grupo

grupo abeliano

F = {f / f : A →B, biyectiva}en la operación de “composición de funciones”, forma un grupo:(F; °) grupo no abeliano.– Cerradura o clausura ∀ f, g ∈ F, f ° g ∈ F– Asociatividad (f ° g) ° h = f ° (g ° h)

– ∃ elemento neutro I f ° I = I ° f = f

– ∃ elemento inverso f -1 f ° f

-1 = f -1 f = I– no es conmutativo (en general) f ° g ≠ g ° f salvo ciertos particulares

como f ° I = I ° f

Luego: x * x' = e es:

x * x' = e (a1 ; a2) + (a'1 ; a'2) = (e1 ; e2) = (0 ; 0) por notación en 2

(a1 + a'1 ; a2 + a'2) = (0 ; 0)

a1 + a'1 = 0

a2 + a'2 = 0

a'1 = – a1

a'2 = – a2

Luego, el elemento inverso de “x” en 2 es x', también en 2, denotado por: x' = (– a1 ; – a2).

Grupo abeliano

El par (E, *) es una estructura algebraica denominada grupo abeliano si y sólo si: (E , *) es grupo y “*” cumple la propiedad conmutativa.

Ejemplo 2El problema de los cuatro colores afi rma que bastan cuatro colores para colorear un mapa geopolítico plano, sin que dos países con frontera común tengan el mismo color. Este problema topológico forma una estructura de grupo.Sea C = {0, 1, 2, 3} donde 0, 1, 2, 3 representan cuatro colores distintos y * una operación binaria interna definida por la siguiente tabla. Comprueba que (C, *) es un grupo.

• Dos colores iguales no se pueden juntar 1 * 1 = 0 ; 2 * 2 = 0 ; 3 * 3 = 0 ;

0 * 0 = 0

• Dos colores diferentes en una frontera conlleva, a tener junto a ellos, otro color

Así: 2 * 3 = 1 , 1 * 3 = 2 ,...

• * es una operación de clausura ya que los compuestos de tabla son elementos de C.

• * es una operación asociativa: Así, (2 * 3) * 1 = 2 * (3 * 1).

• * posee elemento identidad que es el cero. 0 * 0 = 0 ; 0 * 1 = 1 ; 0 * 2 = 2 ; 0 * 3 = 3

• * posee elemento inverso: todo elemento de C posee inverso que es el mismo elemento.

1 * 1 = 0 ; 2 * 2 = 0 ; 3 * 3 = 0 ; 0 * 0 = 0• * es una operación conmutativa: basta trazar la diagonal principal en la

tabla para verficiar que los elementos son simétricos a dicha diagonal.Por lo tanto: (C, *) es un grupo abeliano.

* 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 0 3 2

2 2 3 0 1

3 3 2 1 0


18


* a b ca a b cb a b cc a b c

* a b c da a b c db b d a cc c a d bd d c b a

El conjunto formado por la simetría del cuadrado con la operación simetría forma una estructura algebraica de grupo.

y

x

A B

D C

Nos preguntamos si el par (X , *) es un grupo abeliano.

Aplicando la defi nición de grupo abeliano, observamos en primer lugar que el par (X ; *) es grupo, debido a que cumple la defi nición de grupo; esto es: * es cerrado o cumple la propiedad de clausura. También es asociativo; existe elemento de identidad, tal como “a” y cada elemento de X como: a ; c ; b y d. Tienen sus respectivos elementos inversos tales como: a; b; c y d.

Segundo, “*” cumple la propiedad conmutativa, esto es, trazando un segmento por la diagonal principal, observamos que cada uno de los componentes de la tabla son simétricos.

Por lo, tanto el par (X ; *) es una estructura algebraica denominada grupo abeliano o grupo conmutativo.

Nos preguntamos si el par: (X, *) es una estructura de grupo.

Después de probar cada una de las propiedades de la estructura de grupo, esto es, aplicar la defi nición de grupo, observamos que el par (X, *) no es grupo, ya que no cumple la existencia del elemento identidad. Esto es:

a * a = a

b * b = b

c * c = c

Luego, el elemento identidad no es único.

Ejemplo 2

Dado el conjunto X = {a ; b ; c ; d} y la operación binaria * defi nida en la tabla siguiente:

Ejemplo 1

Dado el conjunto X = {a ; b ; c} y la operación binaria * defi nida en la tabla siguiente:

Monoide Semi-grupo

Grupo

Clausura x x xAsociativa x xElemento neutro x

Elemento inverso x

Propiedad

Estructura


19


* a b c da a b c db b d a cc c a d bd d c b a

Es importante que conozcamos algunos teoremas.

Teoremas

Teorema 1. Regularidad

Sea (E; *) una estructura algebraica denominada grupo.

Si : a * b = a * c entonces b = c , a , b, c ∈ E.

Teorema 2. De unicidad del elemento identidad

En todo grupo el elemento identidad es único.

Demostración:

(E; *) es grupo

Supongamos que existen e1 ∈ E y e2 ∈ E con e1 ≠ e2

elementos identidad del grupo (E; *) (denominada hipótesis auxiliar)

Tal que:

a ∈ E → a * e1 = a

a * e2 = a

Luego: a * e1 = a * e2

Por teorema de regularidad, concluimos que: e1 = e2, el mismo que contradice la hipótesis nula.

Por lo tanto, como existe una contradicción, el teorema queda demostrado.

Teorema 3. Unicidad del elemento inverso

En todo grupo el elemento inverso es único.

Teorema 4

Dado el grupo ( E; * ) a, b ∈ E se tiene:

(a * b)1 = b1 * a1

Subgrupos

Un subconjunto diferente del vacío H de E, es un subgrupo del grupo (E; *), si y sólo si: (H; *) es grupo. Se denota por: (H; *) ≤ (E, *).

Ejemplo:

Retomemos el grupo (X; *) del ejemplo anterior, donde * está defi nido por la tabla:

Consideremos el conjunto de simetrías y

rotacionesS = {I, f, g, h, k, l, m, n}

este conjunto formará una “estructura de

grupo” en la operación de “multiplicación

de funciones” o composición de

funciones.

A A A A

B B B B

C C C C

D D D D

A A A A

B B B B

C C C C

D D D D

A A A A

B B B B

C C C C

D D D D

A A A A

B B B B

C C C C

D D D D


20


En esta tabla elegimos a dos conjuntos, tales como:H1 = { a ; b } y H2 = .{ a ; b ; c }

Y observamos que (H1· *) no son grupos porque no cumplen la propiedad de clausura, ya que el elemento “d” está en el primer caso y es producto de “b * b”, haciendo que no se cumpla la propiedad de clausura; por lo tanto (H1; *) no es subgrupo de (X; *); lo mismo sucede con (H2; *) que tampoco es grupo, porque no cumple la propiedad de clausura.

Por lo tanto (H1; *) y (H2 ; *) no son subgrupos de (X, *).

Pero si consideramos otros conjuntos, teniendo en cuenta la tabla de referencia, esto es:

H3 = { a } y H4 = { a ; b ; c ; d }.

Observemos que (H3 ; *) y (H4 ; *) son grupos; debido a que cumplen con la defi nición de grupo; por lo tanto, establecemos:

Conclusión:

Todo grupo (X; *), tiene dos subgrupos triviales, tales como (H; *) y (G; *).

Donde el conjunto H tienen como único elemento al elemento identidad de X y el conjunto G tiene como elementos a todos los elementos de X.

A estos subgrupos se les llama “Subgrupos triviales”.

Aplicación 1Dado el grupo ( 2; +) ; asimismo el siguiente conjunto:H = { ( a1 ; a2 ) ∈ 2 / a2 = 2a1 + 1}, entonces (H; +) no es subgrupo aquí y

(H; +) no es grupo. Esto es:

1º ¿En (H; +) se cumple la propiedad de clausura? Veamos:

a, b ∈ H , entonces : a + b ∈ H

Si a ∈ H ⇒ a = (a1 ; 2a1 + 1)

b ∈ H ⇒ b = (b1 ; 2b1 + 1)

Luego: a + b = (a1 ; 2a1 + 1) + (b1 ; 2b1 + 1) por notación en H.

= (a1 + b1 ; 2a1 + 1 + 2b1 + 1) por definición de “+” en 2

= (d1, d2) ∉ H por notación en H.

Luego “+” en H no es cerrado.

2º ¿En (H · +) se cumple la propiedad asociativa? Veamos:

a, b, c, ∈ H, entonces: a + (b + c) = (a + b) + c

Si a ∈ H → a = (a1 ; 2a1 + 1)

b ∈ H → b = (b1 ; 2b1 + 1)

c ∈ H → c = (c1 ; 2c1 + 1)

A A

B B

C C

D D

A B

D C

A B

D C

A A

B B

C C

D D

Gráfi ca de la simetría h en el cuadrado ABCD

Gráfi ca de la rotación l en el cuadrado ABCD


21


El conjunto formado por las rotaciones del triángulo

con la operación rotación constituye un grupo.

y

x

Consideremos todas las simetrías y rotaciones

B

CA

A AB BC C

I

A BC

f

A BC

A BC

g

A BC

A AB BC C

A BC

A BC

k

A BC

j

A BC

h

El conjunto de simetrías y rotacionesT = {I, f, g, h, j, k}formará un grupo en la operación “composición de funciones”.

Entonces:

a + (b + c) = (a1 ; 2a1 + 1) + [ (b1; 2b1 + 1) + (c1 ; 2c1 + 1) ]

= (a1 ; 2a1 + 1) + (b1 + c1 ;2b1 + 1 + 2c1 + 1)

= (a1 + (b1 + c1) ; 2a1 + 1 + (2b1 + 1 + 2c1 + 1)

= (a1 + b1 + c1 ; 2a1 + 1 + 2b1 + 1 + 2c1 + 1)

Asimismo:

(a + b) + c = [ (a1 ; 2a1 + 1) + (b1; 2b1 + 1) ] + (c1 ; 2c1 + 1)

= (a1 + b1 ; 2a1 + 1 + 2b1 + 1) + (c1 ; 2c1 + 1)

= ( (a1 + b1) + c1 ; ( 2a1 + 1 + 2b1 + 1) + 2c1 + 1)

(a + b) + c = (a1 + b1 + c1 ; 2a1 + 1 + 2b1 + 1 + 2c1 + 1)

Como los resultados de : (a + b) + c y a + (b + c) son iguales,

entonces se cumple la propiedad asociativa.

3º ¿En (H; +) se cumple la propiedad del elemento identidad? a ∈ H, entonces, existe e ∈ H / a + e = a. como: a ∈ H a = (a1 ; 2a1 + 1) e ∈ H e = (e1 ; 2e1 + 1)

Luego:

a + e = a (a1 ; 2a1 + 1) + (e1 ; 2e1 + 1) = (a1 ; 2a1 + 1)

(a1 + e1 ; 2a1 + 1 + 2e1 + 1) = (a1 ; 2a1 + 1)

a1 + e1 = a1 y 2a1 + 1 + 2e1 + 1 = 2a1 + 1

entonces, e1 = 0 y e1 = −12

.

Ya que existen dos elementos de identidad distintos, concluimos que (H; +) no es un grupo, ya que no cumple la existencia de un único elemento identidad y tampoco es cerrado.

Aplicación 2

Dado el grupo ( 2; +) y el conjunto H2 = { (a1; a2) ∈ 2 / a2 = 3a1 } entonces (H2; +) es subgrupo de ( 2; +). Esto es (H2; +) ≤ ( 2; +). Debido a que (H2, +) es grupo.

Gráficamente observamos su representación en la siguiente página.

Teorema 5:

Si H es un conjunto diferente del vacío, del grupo (E; *) que verifica la condición: ∀ a, b ∈ H a * b’ ∈ H, entonces (H; *) es subgrupo de (E; *).

Aplicación 3

Dado el grupo ( 2; +) y H = { (a1 ; a2) ∈ 2 / a2 = 3a1 }


22


y

-y

x

-x

a2 = 3a1

0

Aplicación 4. RECORRIDO POR LA CANCHA DE FULBITOMatematiza la siguiente situación:Recorrido por los bordes de una cancha de fulbito de forma rectangular, en doble sentido y pasando por los vértices.

I. Representación de la situación: Observa el gráfi co. II. Conceptos defi nibles:2.1 Camino o trayectoria.- Recorrido por el perímetro de la cancha de ful-

bito según la condición señalada.2.2 Camino neutro.- Recorrido que no altera la posición inicial.2.3 Camino irreductible.- Recorrido representativo más simple de todos los

posibles recorridos y lo representa el siguiente diagrama.

Encontrándose el conjunto de caminos, esto es: C = {e; x; y; xy}2.4 Caminos equivalentes.- Dos o más caminos son equivalentes, si y sólo

si aplicados diferentes recorridos a los mismos vértices iniciales, se lle-ga a los mismos vértices fi nales. Así yxy = x.

2.5 Clases de caminos equivalentes.- Dado el conjunto de todos los cami-nos, por participación se formará un conjunto de clases de equivalencia con respecto a los caminos irreductibles, los que serán presentados por el conjunto C = {e; x; y; xy}

2.6 Operación interna.- Denotado por “ ° ”, que signifi ca recorrer por los la-dos de la cancha de fulbito respetando las condiciones indicadas. Esto es C × C → C, defi nida por la tabla de la página siguiente.

y

y

xx

Representación gráficade la Aplicación (2)

Entonces: (H; +) ≤ (R2, +). Esto es porque en ( 2, +) se cumple el siguiente teorema:

1º H ≠ φ, H tiene elementos, H no es un conjunto vacío.

2º a, b ∈ H a + b’ ∈ H.

como: a ∈ H a2 = 3a1

b ∈ H b2 = 3b1 b’2 = -3b’1

Luego: a + b' = (a1 ; 3a1) + (b’1 ; 3b’1)

= (a1 + b’1 ; 3a1 + 3b’1)

= (a1 - b1; 3a1 - 3b1) ∈ H

= (c1 ; 3c1) ∈ H

Finalmente a + b’ ∈ H, luego: (H; +) ≤ ( 2; +).

yy: recorrer el camino “y” ida y vuelta para llegar al mismo punto, por tal motivo se considera como la entidad “e”.xy = yx: recorrer el camino x,y es lo mismo que recorrer el camino y,x.yxy = x: recorrer el trayecto y,x,y siempre se llega a x.


23


Actividad 2

* e a b ce e a b ca a b c eb b c e ac c e a b

III. Axiomas

La “ ° ” verifi ca los siguientes axiomas: clausura, asociatividad, existencia del elemento identidad y existencia del elemento inverso, los que podemos comprobar en la tabla construida. Por lo tanto, el par (C, °) forma una es-tructura algebraica denominada grupo. Esta situación ejemplifi ca la estruc-tura algebraica de grupo y también la de subgrupo.

° e y x yx

e e y x yx

y y e yx x

x x yx e y

yx yx x y e

o I f g h k l m nIf mg g nhkl lmn

Verifica las propiedades de clausura, conmutatividad, asociatividad, existencia del elemento neutro y existencia del elemento nuevo.

4. Determina si cada par (E, *) constituye un grupo abeliano.

a. E = { a/a = 2q + 3, q ∈ } * es el producto ordinario. b. E = { a/a = 2q, q ∈ } * es el producto ordinario. c. E = { (a1 , a2) ∈ 2 / a1 ; a2 ∈ } * es el producto ordinario. d. E = { a/a = 2n – 1, n ∈ } * es el producto ordinario.5. Dado el grupo ( 3, +) y el conjunto H = {(a1, a2, a3) ∈ 3/ a1 = 0} Prueba que: (H; +) ≤ ( 3; +).6. Completa en una hoja aparte la tabla

correspondiente a las simetrías y rotaciones

Reunidos en grupos de cuatro colegas, discute la solución de cada una de las situaciones presentadas, luego comparte tus conclusiones con los otros grupos de trabajo:1. Demuestra cada uno de los teoremas

presentados en la sección grupos.2. Resuelve la ecuación: b * x = a en el grupo

(E; *).3. Sea (X, *), X= {e; a; b; c} y * una operación

binaria definida por la tabla siguiente:

del cuadrado ABCD propuesta en la pestaña de las páginas 18 y 19 definiendo la operación “o”.

o : S × S → S (F; G) → F o G

En forma análoga elabora la tabla correspondiente a las simetrías y rotaciones del triángulo propuesto en la pestaña de la página 21. Se define la operación:

o : T × T → T (F; G) → F o G T = {I; f; g; h, j, k} ¿Ambas tablas con la ley definida forman un

grupo?7. Dibuja el mapa del Perú y todas sus regiones

y verifica que bastan cuatro colores para colorear todas sus regiones sin que dos regiones con frontera común tengan el mismo color. Considera el siguiente gráfico de un supuesto mapa:

31 2

12

0

NO ESCRIBIRRBIRB RRR

SRIBR BB

SSCRS

RR

NES SS

NNON


24


matemáticascuriosidades 3.1 Estructuras algebraicas con dos operaciones

Situación (1)

Dado el conjunto X = { a; b } y las operaciones binarias “*” y “∆” defi nidas por las tablas siguientes:

3. ANILLOS

Podemos observar que:

- (X; *) es un grupo

- (X; ∆) es un semigrupo

- También se cumple la propiedad distributiva de * con respecto a ∆, es decir:

a * ( b ∆ a ) = ( a * b ) ∆ ( a * a )

Comprobándolo, tenemos:

a * ( b ∆ a ) = a * (a) Por defi nición de ∆

= a Por defi nición de *

Asimismo, el otro lado de la igualdad también resulta ser a

(a * b) ∆ (a * a) = b ∆ a Por definición de *

= a Por definición de ∆

A esta propiedad se le llama DISTRIBUTIVA.

Ahora, de lo que se trata es de presentar estructuras algebraicas, pero con dos operaciones binarias, que al igual que la estructura algebraica de grupo, irán recibiendo los nombres adecuados por las propiedades que vayan cumpliendo. Así, en esta sección estudiaremos a la estructura algebraica denominada anillo.

3.2 Definición de anillo

Sea el conjunto E diferente del vacío y las operaciones binarias * y ∆; la terna (E; *; ∆) es un anillo, si y sólo si cumple las condiciones siguientes:

* a ba a bb b a

∆ a ba a ab a b

Si tenemos un soldado

que está parado en la

posición inicial de atención

en el campo de formación,

podemos darle órdenes.

El conjunto de órdenes

“¡Atención!”, “a la derecha,

¡derecha!”, “izquierda,

¡izquierda!” y “¡media

vuelta…!”, forman un grupo

bajo la operación seguida

por ….

“a la izquierda, ¡izquierda!”

seguido por “media

vuelta…!”, tiene el mismo

efecto en términos de

orientación final del

soldado como el solo

comando, “¡a la derecha,

derecha!”.

“¡Atención!” es el elemento

identidad y cada comando

tiene inverso: “a la

derecha, ¡derecha!” y “a la

izquierda, ¡izquierda!” son

los inversos uno del otro.

Los inversos de “atención”

y “¡media vuelta…!” son

ellos mismos.


25


; para a, b, c ∈ E

Todo anillo es un grupo, pero no todo grupo es un anillo.

Anillo

¿( P(x); ∪ ; ∩ ) será un anillo?• ( P(x); ∪ ) no será un

grupo abeliano, por lo tanto, no es un anillo.

A B

C

X

• A ∪ B ∈ P (x)• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)• A ∪ φ = φ ∪ A = A• A ∪ ? = φ pues no

tienen inverso, por lo tanto, (P(x), ∪) no es un grupo.

Observación:P(x) conjunto de partes de X

1º (E, *) es un grupo abeliano.

2º (E, ∆) es un semigrupo.

3º la segunda operación (∆) es distributiva respecto a la primera (*).

Simbólicamente podemos representarlo: (E; *; ∆).

Es anillo si y sólo si se cumplen las propiedades siguientes:

Con respecto a la primera operación:

A1 : Clausura

a * b ∈ E; si a; b ∈ E

A2 : Asociativa

(a * b) * c = a * (b * c); si a; b; c ∈ E

A3 : Elemento identidad

∃! e ∈ E / a ∈ E, a * e = e * a = a

A4 : Elemento inverso

Para cada a ∈ E, ∃! a' ∈ E / a * a' = a' * a = e

e es el elemento identidad

A5 : Conmutativa

a * b = b * a; si a; b ∈ E

Con respecto a la segunda operación:

A6 : Clausura

a ∆ b ∈ E; si a; b ∈ E

A7 : Asociativa

(a ∆ b) ∆ c = a ∆ (b ∆ c); si a; b; c ∈ E

Con respecto a las dos operaciones:

A8 : Distributiva

a ∆ (b * c) = (a ∆ b) * (a ∆ c)

(b * c) ∆ a = (b ∆ a) * (c ∆ a)

Ejemplo:Verifi ca que ( ; +; · ), donde es el conjunto de los números naturales, “+” es la opearación adición y “·” es la operación de multiplicación, no forma un anillo.

Observamos que la terna no constituye un anillo, porque no cumple con la propiedad del elemento inverso ya que no existen números negativos en .

Es decir, en , la “+” no tiene elemento opuesto.

Grupo


26


+ 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 2 3 4 0

2 2 3 4 0 1

3 3 4 0 1 2

4 4 0 1 2 3

·· 0 1 2 3 4

0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4

2 0 2 4 1 0

3 0 3 1 4 2

4 0 4 3 2 1

Sean (G; *) y (G’; #) dos estructuras de grupo, y sea f una aplicación defi nida por:f: (G; *) → (G’; #)f se llama “homomorfi smo de grupo” si cumple la siguiente condición:f (a*b) = f(a) # f(b)

(G, *) (G, #)

f

a ·

b ·

· f (a)

· f (b)

Considere dos grupos ( ; + ) y ( ; ×) y una aplicación f defi nida por f: ( ; + ) → ( ; ×) x → f(x) = 2x

Vemos que f es un homomorfi smo en donde se verifi ca:f (a + b) = f(a) × f(b)En efecto:f(a+b) = 2a+b = 2a × 2b = f(a) × f(b)

Verifica que la forma (X; +; ×) es un anillo, y luego clasifica dicho anillo.

Veamos primero si la terna (X; + ; × ) constituye un anillo:

Primero: (X; +) es un grupo abeliano, porque cumple con las propiedades establecidas, se destaca que 0 ∈ X es el elemento identidad y los opuestos para cada elemento de X son:

0 → su opuesto es 0





Asimismo, trazando la diagonal principal en la tabla de la adición observamos que los elementos de la tabla son simétricos, por lo tanto, cumple la propiedad conmutativa.

Clases de anillo

1. Anillo conmutativo

Es todo anillo (E, *, ∆) que cumple la propiedad:

a; b ∈ E → a ∆ b = b ∆ a.

2. Anillo con identidad o con unidad

Es todo anillo (E; *; ∆) que cumple la propiedad:

∃ 1 ∈ E / a ∈ E: a ∆ 1 = 1 ∆ a = a

3. Anillo de división

Es todo anillo (E; *; ∆) con unidad cuyos elementos no nulos tienen elemento inverso.

Aplicación 1


27


por definición de “+” y “·” en las tablas respectivas} Sean (A; +; ×) y (B; +; ×)

un anillo, y sea la aplicación f defi nida porf: (A; +; ×) → (B; +; ×)f se llama “homomorfi smo de anillos”, si se cumplen las dos condiciones siguientes:- f (a + b) = f(a) + f(b), a, b, ∈ A- f(a × b) = f(a) × f(b) a; b ∈ A

(A; +; .) (B; +; .)

f

a ·

b ·

· f (a)

· f (b)

Segundo: (X, × ) es semigrupo, porque cumple con las propiedades estable-cidas de clausura y asociatividad; lo podemos observar en la tabla de multi-plicación de la página anterior.

Tercero: también se cumplen las leyes distributivas, por ejemplo, para

1 ; 2 ; 3 ∈ X se tiene:

1 × ( 2 + 3) = ( 1 × 2 ) + ( 1 × 3 )

1 × ( 0 ) = 2 + 3

0 = 0

Por todo lo probado, vemos que (X; +; × ) constituye un anillo.

Ahora veamos qué clase de anillo es:

- (X; +; × ) no es un anillo conmutativo, porque al trazar la diagonal principal en la tabla de la multiplicación sus elementos no son simétricos.

- (C; +; × ) es un anillo con unidad, porque existe elemento identidad en X, representada por 1.

- (C; +; × ) es un anillo de división, porque (Xi ;+; × ) es un anillo con unidad y sus elementos diferentes de cero tienen inversos, esto es:

Para 1 su inverso es 1




Teoremas

Teorema 1

Dado el anillo (E; +; ×); se cumple:

a ∈ E: a × 0 = 0

Demostración

a + 0 = a Propiedad del elemento identidad de “+”.

a ( a + 0 ) = a × a Propiedad de la monotomía del “×”

a × a + a × 0 = a × a Propiedad distributiva

a × a + a × 0 = a × a + 0 Propiedad del elemento identidad de “+”

a × 0 = 0 Propiedad cancelativa

Teorema 2

En todo anillo (E; +; ×) se cumple, a,b ∈ E

( -a ) × b = - ( a × b )a × ( -b ) = - ( a × b )


28


Actividad 3Organizados en grupo de tres colegas, resuelvan los siguientes casos y compartan sus soluciones destacando sus aciertos y errores.

1. Demuestra todos los teoremas presentados en este fascículo.

2. Dada la terna ( 2; +; ·) donde “+” y “.” son la adición y multiplicación usual, muestre que la terna así constituida es un anillo.

3. Dado y las operaciones binarias definidas en las tablas siguientes:

Verifica si ( 6; + ; · ) es un anillo.

Si así lo fuera, ¿qué clase de anillo es ( 6; +; · )?

+ 0 1 2 3 4 50 0 1 2 3 4 51 1 2 3 4 5 02 2 3 4 5 0 13 3 4 5 0 1 24 4 5 0 1 2 35 5 0 1 2 3 4

· 0 1 2 3 4 50 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 52 0 2 4 0 2 43 0 3 0 3 0 34 0 4 0 0 4 25 0 5 4 3 2 1

SubanillosLos subconjuntos de un anillo que realmente son interesantes son aquellos que tienen estructura de anillo respecto a las mismas operaciones del anillo.Definición:Sea (E, +, ·) un anillo. Un subconjunto no vacío S ⊂ E es subanillo de (E, +, ·) si y sólo si (S, +, ·) es un anillo.Ejemplos:1. (Z, +, ·) es subanillo de (Q, +, ·)2. Sea Sa = {ka / k ∈ Z} el conjunto de todos los múltiplos enteros de a ∈ Z,

entonces (Sa, +, ·) es subanillo de (Z, +, ·)3. (R, +, ·) es subanillo de (C, +, ·)4. Sea M2 ( ) el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 × 2, se

verifica que ( M2×2, +, · ) es un anillo. Si B a a= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∈⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

00 0 / ° es un

subconjunto de M2 ( ), se prueba fácilmente que (B, +, ·) es un subanillo de M2 ( )


29


4. EVALUACIÓN1. En , se defi ne la operación “*” como: Analiza si:

a. La operación “*” es conmutativab. La operación “*” es asociativac.

2. En se defi ne la operación “*” como:

Analiza si:a. La operación “*” es conmutativa y asociativab. La operación “*” cumple con el elemento neutro

3. Dado , se defi ne la operación “*” como , determina si existe el elemento neutro. ¿Qué elementos tienen inverso?

4. Sea el grupo y S = {a + b / a, b ∈ ∗}, verifi ca que no es un subgrupo de .

5. Sea G = {f / f: ; f (x) = ax + b, a 0}, prueba que G con la composición de funciones es un grupo.

6. Si E φ, prueba que (P(E), , ) es un anillo conmutativo y con unidad.

7. Demuestra que ( n, +, · ) es una estructura de anillos. Además, determina si ( 3, +, · ), ( 4, +, · ) y ( 5, +, · ) son subanillos.

8. Prueba que ( n, +, · ), n > 0 es un subanillo del anillo ( , +, · ).

9. Sea el conjunto C ≠ φ. Defi nimos la adición y la multiplicación como: ∀(x , a), (y , b) C2 tal que:

i. (x; a) + (y; b) = (x + y; a + b)

ii. (x;a) · (y;b) = (xy – ab; ay + bx)

Prueba que (C2, +, · ) es un anillo conmutativo y con unidad.

10. En una hoja aparte, completa la tabla de tal forma que la operación genere un grupo.

* a b c

a a b c

b b

c cCSCCC


30


Responde en una hoja aparte:

1. ¿De qué manera te organizaste para leer el fascículo y desarrollar las actividades propuestas?

2. ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿Por qué?

3. Si no te fue fácil, ¿qué hiciste para comprenderlo?

4. ¿Qué pasos has seguido para desarrollar cada una de las actividades?

5. ¿Cuáles de estos pasos te presentaron mayor difi cultad?

6. ¿Cómo lograste superar estas difi cultades?

7. Al resolver la evaluación, ¿qué ítems te presentaron mayor difi cultad?

8. ¿Qué pasos has seguido para superar estas difi cultades?

9. ¿En qué acciones de tu vida te pueden ayudar los temas desarrollados en este fascículo?

10. ¿Qué nivel de logro de aprendizaje consideras que has obtenido al fi nalizar este fascículo?

5. METACOGNICIÓNMetacognición es la habilidad de pensar sobre el discurso del propio pensamiento, es decir, sirve para darnos cuenta cómo aprendemos cuando aprendemos.

Muy bueno Bueno Regular Defi ciente

¿Por qué?

11. ¿Crees que las actividades de investigación fueron realmente un trabajo de equipo? Explica.

12. ¿Tuviste la oportunidad de compartir tus conocimientos con algunos de tus colegas? ¿Qué sentimientos provocaron en ti este hecho?

N O E S C R I B I R


31


1. Baumslang, Benjamín y Chandler, Bruce. Teoría de Grupos. Bogotá. Ed. Mc. Graw Hill Book, 1997.

Trata sobre los elementos teóricos y prácticos de la teoría de grupos, básicamente propone ejemplos con entes abstractos.

2. Bigard, A.; Crestey, M.; Grappy, J. Problemas de álgebra moderna. Barcelona. Ed. Reverte, 1975.

Trata sobre la teoría y práctica de diversas estructuras algebraicas, y presenta ejercicios y problemas propuestos y resueltos.

3. Dubriel, P. y Dubriel - Jacobi, M.L. Lecciones de álgebra moderna. Barcelona. Ed. Reverte, 1975.

Propone ejercicios y problemas de diversas estructuras algebraicas.

4. Faure, R.; Kaufman, A.; Denis, M.; Papín. Matemática moderna. Madrid. Ed. Paraninfo, 1999.

Es un compendio de contenidos matemáticos diversos. Se destaca el tratamiento teórico-práctico del Álgebra moderna, donde se trata especialmente de las estructuras algebraicas de grupo, anillo y cuerpo.

5. Hilton, Peter y Wo, Nel Chiang. Cursos de álgebra moderna. Madrid. Ed. Reverte, 1979.

Explica la teoría y la práctica del Álgebra moderna, con una sección especial para las estructuras algebraicas.

6. Lang, Serge. Álgebra Lineal. Puerto Rico. Ed. Aguilar S.A, 1975.

Texto que considera diversos temas, como ejercicios, teoremas, aplicaciones y biografías de matemáticos, en una de sus secciones trata de las estructuras algebraicas, con ejemplos en el plano abstracto y concreto.

BIBLIOGRAFÍAcomentada


32


1. http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Operaciones/operaciones/node2.html

Describe brevemente las principales estructuras algebraicas que puede tener un conjunto con una o varias operaciones internas, de acuerdo con las propiedades que cumplan dichas operaciones.

2. http://www.mat.ucm.es/~arrondo/estructuras.html

Es una página donde encontrarás apuntes sobre estructuras algebraicas y problemas pro-puestos.

3. http://alojamientos.us.es/da/apuntes/nestructuras.html

Es un archivo pdf que te servirá para complementar tus conocimientos sobre estructuras algebraicas.

4. http://es.wikipedia.org/wiki/Estructura_algebraica

En esta enciclopedia on-line, se puede encontrar una defi nición precisa de las principales estructuras algebraicas, tales como el monoide, grupo o anillo.

5. http://pacallao.tripod.com/gal8.pdf

En esta página se puede encontrar una gran cantidad de ejercicios referidos a las estructuras algebraicas y otros temas. Es ideal para que el estudiante lleve a la práctica lo aprendido en este fascículo.

ENLACESweb


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