Producto Cartesiano

RELACIONESProducto cartesianoEjemplo: Sean A = {1, 2, 3} y B = {5, 6}A x B consta de los 6 pares de la lista(1, 5)(2, 5)(3, 5)(1, 6)(2, 6)(3, 6) Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) donde x A e y B. En smbolosA x B = {(x, y) / x A y B }

Producto cartesianoPara representar grficamente el producto cartesiano utilizaremos la representacin cartesiana que consiste en trazar ejes perpendiculares; en el eje horizontal colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto B, los elementos del producto cartesiano los forman los puntos de interseccin que se obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los elementos del conjunto B paralelas al eje horizontal. Ejemplo: La representacin grfica de los pares de A B ={(1, 5), (2, 5),(3, 5),(1, 6),(2, 6),(3, 6) }

B 6 5 1 2 3 A A x B = B x A?

No son iguales ... Por ej. si A = {a, b, c}, B = {1, 2}

A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b, 2), (c, 1), (c,2) }B x A = { (1,a), (1,b), (1,c), (2, a), (2, b), (2,c) }Si A y B son finitos el nmero de elementos de A x B es llamado cardinal de A x B y denotado por A x B A x B= A. B Adems A. B = B. A= B x AEntonces A x B= B x AProducto cartesianoProducto cartesiano de conjuntos de infinitos elementosA={x R/-2 x 3} yB ={x R/-1 x 2} No podemos enlistar los elementos de AxB pero tenemos en el rectngulo sombreado de azul todos los elementos (puntos) del mismo.

A={x R/-2 x 3} yB ={x R/-1 x 2} Los puntos del rectnguloen rosa constituyen el producto cartesiano BxA

Producto cartesianoB1230 Ejemplo Sean A = {1, 2, 3} y B = {0, 1, 2, 3}. Entonces A x B={(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0).(3,1),(3,2),(3,3)}Consideremos el siguiente subconjunto de AxB R = { (a, b) A x B / a + b 3} 123A0Nos interesan algunos subconjuntos del producto cartesiano RELACIONES BINARIAS Dados dos conjuntos A y B, una relacin R binaria es cualquier subconjunto de AxB R A B

Notacin: Si aA y bB, para decir que a est relacionado con b por R escribimos: (a,b)R o aRb

Si a no est relacionado con b, entonces (a,b)R

Si B=A, se dice que R es una relacin binaria definida en A . Escribimos R A A

EjemplosAlgunos elementos de la relacin son:( 2 ,1 ) , (4, 2), ( 10, 5) , (20,10) , (100,50), etc Sea R definida en N por medio de R={(x,y)/x es el doble de y}Entonces: 1 R 2, 2 R 2, 2 R 6, 2 R 18, 3 R 18, 3 R 21, 3 R 3, ....R={(x,y)/x divide a y} NxNDISTINTAS FORMAS DE REPRESENTAR Relaciones: -

Matriz Booleana: MR: Hay 1 en la matriz si el par est en la relacin y cero si no est. Digrafo: Si aRb, de a parte una flecha hacia bRelaciones con notacin Matricial Ejemplo: Sea U = {a, e, i, o, u}, A = {a, o} y B = { i, u} A x B= {(a,i), (a,u), (o,i), (o,u)} Son relaciones de A en B:R1= R2 = {(a,i), (a,u)}

R3 = {(a, i) }

R4 = A x B

La matriz del producto cartesiano tiene en todas las filas 1 porque todos los pares ordenados estn en la relacin. a R4 i, a R4 u, o R4 i, o R4 u

La matriz de R2 tiene 1 en la primera fila porque corresponde al elemento a de A que se relaciona con los dos elementos i, u de B; a R2 i, a R2 u y ceros en la segunda fila porque el elemento o de A no se relaciona con ningn elemento de B en R2

definiciones:Sea R una relacin binaria sobre un conjunto A. Diremos que R es:

Reflexiva: si x A se verifica que x R xSimtrica: si x, y A se verifica que x R y y R x Transitiva: si x, y, z A se verifica que x R y, y R z x RzAntisimtrica: si x, y A se verifica que x R y, y R x x = yOtra manera de expresarlo: Si xy [ (x,y) R v (y,x) R ]121) En N, x R y x divide a y es reflexiva ya que xN, x R x porque x divide a x

2) En N, a R b a es el doble de b. no es reflexiva ya que (1,1)R ya que 1 no es el doble de 1

3) En Z, a R b a b es mltiplo de 2. es simtrica ya que si a R b p Z tal que a b =2p b a = 2(-p) con -p Z b R a

4) En N, x R y x divide a yno es simtrica ya que 2 R 4 porque 2 divide a 4 pero 4 no divide a 2 por lo tanto (4,2) R

Ejemplos:

13Ejemplos:

5) En N, x R y x divide a y es transitiva ya que si a R b y b R c entonces existen n, m N tales que: b = an y c = bm. Combinndolas, c = bm = (a.n).m= a(n.m) con n.m N a R c

6) En N, a R b a es el doble de b no es transitiva ya que (4, 2) R y (2, 1) R puesto que 4 es el doble de 2 y 2 es el doble de 1, sin embargo 4 no es el doble de 1, de donde (4,1)R

7) En N, x R y x divide a y es antisimtrica ya que si a R b y b R a entonces existen n, m N tales que: b = an y a = bm. Combinndolas, a = bm = (a.n).m n.m = 1 n=m=1 a=b

8) En Z, a R b a b es mltiplo de 2 no es anti simtrica ya que 2R4 y 4R2, pero 2414ResumenReflexiva: se satisface sii x A x R x no se satisface sii xA/ (x,x)R

Simtrica:se satisface sii x, y A x R y y R x no se satisface sii x, y A / (x, y) R (y, x) R

Transitiva: se satisface sii x, y, z A se verifica que x R y, y R z x Rz no se satisface sii x, y, z A:(x, y) R (y, z) R (a,z) R

Antisimtrica: se satisface sii x, y A se verifica que x R y, y R x x = y no se satisface sii x, y A: (x, y) R (y, x) R x y15Anlisis de las relaciones segn la Matriz MR y su grafo dirigido (digrafo)

Sea R una relacin binaria sobre un conjunto A. Diremos que R es:Reflexiva: Si en la diagonal principal de la matriz MR todos los elementos son 1 (MATRIZ) Todo elemento tiene una flecha que comienza y termina en s mismo (un bucle). (DIGRAFO)Simtrica: Sii MR = (MR)t : La matriz asociada a la relacin coincide con su traspuesta. (MATRIZ)Todo par de elementos que tiene una flecha, la tiene en las dos direcciones (DIGRAFO)Transitiva: Sea MR2 = MR x MR (Producto booleano de matrices); Sii el elemento de la fila i columna j de MR2 es 1 entonces el elemento de MR en la misma posicin tambin es 1 es decir la relacin R2 es un subconjunto de R; en particular pueden coincidir. (MATRIZ)La relacin R es transitiva si cada vez que hay un camino de longitud 2 entre dos elementos, tambin hay un camino de longitud uno entre los mismos. (DIGRAFO)Antisimtrica : Sii hay 1 en la fila i columna j de MR entonces hay 0 en la misma posicin de (MR)t y viceversa, salvo en la diagonal principal. (MATRIZ) Sii para cada par de elementos distintos relacionados la flecha est solo en un sentido (DIGRAFO)16Relaciones de orden: Definicin y notacin

Dada una relacin binaria R definida sobre A, se dice que R es una relacin de orden en A si verifica las propiedades reflexiva antisimtrica transitivaSe dice entonces que A est ordenado por R NotacinUtilizaremos el smbolo para las relaciones de orden

a R b a bSe lee a es anterior a b (menor o igual) o bien b es posterior a a (mayor o igual)Distintas relaciones sobre un mismo conjunto, dan lugar a distintos conjuntos ordenados.

a, b A son comparables si a R b o b R a

Orden total y parcial

(A, ) est totalmente ordenado si cualquier par de elementos son comparables, se dice entonces que es de orden total. En otro caso, se dice que (A, ) est parcialmente ordenado y que es de orden parcial.Por ejemplo:(N, ) es un conjunto totalmente ordenado. Sea U = {1, 2, 3} y en P(U) = {, {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3}} se define la relacin A R B sii A B. (P(U), R) no es un conjunto totalmente ordenado ya que existen elementos tales como {1} y {2, 3} de P(U) que no son comparables, es decir que no estn relacionados .

EjemploEn N, a b n N / b=anEs una relacin de orden ya que es:

reflexiva: a=a1 aN

antisimtrica: a,bN si a b y b a n,m N / b=any a=bm, entonces b= [bm]n=bmn luego mn=1 y como n,m N m=n=1, as a=b

transitiva: a,b,cN si a b y b c n,m N /b=any c=bm, entonces c= [an]m=anm luego c=a nm, si k = n.m, kN /c=ak, es decir, a c

Elementos notablesDados (A,) y CA, C aA es cota superior de C si cC, ca C est acotado superiormente La menor de las cotas superiores es el supremo.

aA es cota inferior de C si cC, ac C est acotado inferiormente La mayor de las cotas inferiores es el nfimo.

El supremo y el nfimo, si existen, han de ser comparables con el resto de las cotas superiores o inferiores, respectivamente.

20Elementos notables (b)Dados (A,) y CA, CaC es elemento maximal de C si cC, aca=c

mC es mximo de C si cC, cmsi existe, es el nico elemento maximal de C

aC es elemento minimal de C si cC, caa=c.

mC es mnimo de C si cC, mcsi existe, es el nico elemento minimal de C

Elementos notables (continuacin)Pueden existir uno, varios o ningn elemento maximal y minimal.

El mximo (mnimo), cuando existe, es el nico elemento maximal (minimal).

Si en C existe supremo (nfimo) es nico.

Si C tiene mximo (mnimo) coincide con el supremo (nfimo). Sea (A, R ) es un conjunto parcialmente ordenado y finito.

A cada elemento del conjunto A se le asocia un punto en el plano (o en el espacio), que llamaremos vrtice. Un diagrama de Hasse es el grfico resultante al unir dos elementos consecutivos mediante un segmento de recta, que llamaremos arista.Ejemplo: Sea A = {a,b,c} y la relacin RR = {(a,a), (b,b), (c,c), (b,a), (b,c), (a,c)}Es de orden total. Su diagrama de Hasse es:

Diagramas de Hasse:Ejemplos1) Sea B = {1, 2}, en P(B )= {, {1}, {2}, {1,2}} se define la relacin de inclusin, la cual es de orden parcial {1} {1,2} y {2} {1,2}Entonces, B es el elemento maximal y es el elemento minimal, pues no existe otro elemento en P(B ) que est por debajo del minimal, ni por encima del maximalEl elemento mximo de P(B) es el elemento maximal B, el universo y el elemento mnimo de P(B) es el conjunto vaco.2) En el conjunto C = {, {1}, {2}} se define la relacin de inclusin. Observar que {1} y {2}. es el elemento minimal y es el mnimo del conjunto C y tanto {1} como {2} son los elementos maximales. No existe elemento mximo en C

Diagrama de Hasse para la relacin inclusin en P(B)

Diagrama de Hasse para A = {2, 3, 4, 6, 8, 12 } con la relacin (a, b) R sii a divide a b : a|bObservamos que no estn relacionados:2 con 34 con 63 con 4La relacin es de orden parcial ya que no todo par de elementos es comparable

Retorno

Diagrama de Hasse (continuacin)Relaciones de equivalencia Sea A un conjunto no vaco en el conjunto Universal U.Una relacin binaria R sobre A, es una relacin de equivalencia si R satisface las tres propiedades: R es reflexiva R es simtrica R es transitivaUna relacin de equivalencia identifica los elementos de un conjunto que satisfacen una misma propiedad y los llama elementos equivalentes.

Relaciones de equivalenciaClases de equivalenciaDefinicin:Sea R una relacin de equivalencia en un conjunto A no vaco.Sea a A, llamaremos clase de equivalencia de a y la escribiremos por [a] al conjunto de todos los elementos que estn relacionados con a, es decir [a] = { x A / x R a }Ejemplo:La relacin R sobre Z : a R b a b es mltiplo de 2.Hay dos clases de equivalencia distintas, la del 0 y la del 1:

[0] = { 0, 2, 4, 4, } y [1] = { 1, 3, 5, } Particin de un conjuntoDefinicin:Ejemplos:Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} una particin P de A, con 3 celdas, es P = { {1,3}, {4}, {2,5} }, donde A1={1,3}, A2={4}, A3={2,5}. En efecto {1,3} {4}= {1,3} {2,5}= {4} {2,5}=. Adems {1,3} {4} {2,5} = {1, 2, 3, 4, 5} = ASea A un conjunto no vaco. Sean Diremos que P es una particin de A y escribimos si: y

Cada subconjunto Aj es una celda de la particinClase de equivalenciaDefinicin:Sea R una relacin de equivalencia en A. El conjunto de las clases de equivalencia se llama conjunto cociente de A por R.

El conjunto cociente es una particin de A En efecto, Las clases de equivalencia son disjuntas dos a dos. La unin de todas las celdas coincide con el conjunto A.

Clase de equivalenciaDemostracin:1) Sean x, y A [x]= [y] [x] [y] =

i) Si x R y [x]= [y]; sea z [x] z R x x R y z R y (transitividad) z [y], de donde [x] [y]. Razonando de manera similar se prueba que [y] [x]. Por lo tanto, [x] = [y].

ii) Si (x,y) R entonces [x] [y] = . En efecto, si existiera z [x] [y] entonces z R x z R y por lo tanto, x R y, lo cual es un absurdo.

Clase de equivalencia

Demostracin:2) Veamos que

En efecto, si x A, como R es reflexiva, x R x x [x]

Por otro lado, sea z tal queEjemplosRelaciones de equivalenciaLa relacin R sobre (Z+)x(Z+) definida por: (x,y) R (a,b) x+y = a+bLa relacin R sobre 2 definida por: (x,y) R (a,b) x.y = a.bSe puede demostrar que ambas son relaciones de equivalencia ya que verifican las propiedades reflexiva, simtrica y transitiva. A continuacin veremos los conjuntos cocientes de ambas relaciones

Particin de (Z+)x (Z+)Conjunto cociente de (x,y)R(a,b) sii x+y=a+b, R definida sobre (Z+)x (Z+); los puntos (resaltados), unidos por trazos pertenecen a la misma clase de equivalencia, esto es: [(4;5)]={(2;7), (1;8), (3;6), (5;4), (6;3), (7;2)} [(2;2)]={(1;3), (3;1)}En el grfico vemos[(4;5)], [(4;4)], [(4;3)], [(4;2)], [(4;1], [(3;1)], [(1;2)]

Particin de 2

(x,y)R(a,b) sii x.y=a.b, R definida sobre 2 ; los puntos que estn en una misma curva pertenecen a la misma clase de equivalencia, esto es: [(12;2)]={(10;2,4), (2,4;10), (-10;-2,4), (-12;2).} puntos en la curva celeste (todos) [(12;1)]={(10;1,2), (1,2;10), (-12;-1), (-4,8;-2,5), (4,8;2,5).} ,puntos en la curva rosa (todos)

EjemploA={palabras de n bits} w(a) el nmero de unos que contiene a aRb w(a) w(b) (mod 2)R es de equivalencia: Reflexiva: aRa w(a) w (a)(mod 2)Simtrica: aRbbRa w(a) w(b)(mod 2) w(b)w(a)(mod 2)Transitiva: aRb y bRcaRc w(a)w(b)(mod 2) y w(b)w(c)(mod 2) w(a)w(c)

R define en A una particin formada por dos clases de equivalencia, cada una con 2n-1 elementosPorque de la cantidad 2n la mitad tiene un nmero par de 1 y la otra mitad un nmero impar[0]={aA / a tiene un nmero par de unos}[1]={aA / a tiene un nmero impar de unos}Para n=3[0]={000, 011, 101, 110}[1]={001, 010, 100, 111}

ejemplo 1

A={palabras de n bitsejemplo 1

A={palabras de n bits