Relaciones Binarias y Funciones

CAPITULO IVRELACIONES BINARIAS Y FUNCIONES4.1. Relaciones Binarias.Definicin: dados los conjuntos A y B . Un conjunto S de pares ordenados se llama relacin binaria de A en B si S es un subconjunto del producto cartesiano es: S es una relacin de A en B si o Observacin:1. Si y se cumple que se dice que X esta en relacin con Y mediante S y se denota XSY.2. Si S es una relacin de A en B; al conjunto A se le llama conjunto DE PARTIDA y al conjunto B se le denomina conjunto de LLEGADA.3. Como , es una relacin de A en B y se llama RELACION NULA O VACIA.4. Si S es una relacin en A, si .5. Si S es una relacin de A en B y , a S se le representa por el diagrama siguiente:

Definicin: se dice que un conjunto S es una relacin en A si .Ejemplo 1: i. Sean los conjuntos y entre los conjuntos A y B podemos formar algunas relaciones como:

ii. Sean los conjuntos , luego:

Su diagrama respectivo ser:

iii. Para los conjuntos A y B del ejemplo sea , se tiene:

Cuyo diagrama es:

Ejemplo 2: sean . Dadas las relaciones en A tal que , Hallar Solucini.

ii.

Ejemplo 3: sea y sea hallar S y graficar.Solucin

Dominio y Rango de una RelacinConsideramos una relacin no vaca de A en B, es decir Definicin: si S es una relacin de A en B se define el dominio de S, denotado por al conjunto Luego:

Rango de una RelacinSi S es una relacin de A en B, se define el rango o imagen de S denotado por Rs, al conjunto:

Luego Ejemplo: sea Entonces Representado en el diagrama tenemos:

4.2. Propiedades del Dominio y Rango de una Relacin:Sean R y S dos relaciones de A en B, se cumple las siguientes propiedades:Dominios:1. 2. 3. Rango:4. 5. 6. Ejemplo 1: sean R y S dos relaciones de A en B diferentes de la siguiente manera:

Se tiene:a) b) Se cumple:1. 2. 3. 4. Ejemplo 2: sean S y T dos relaciones de A en B diferentes de la siguiente manera:

Se tiene: a)

Se cumple:

Ejemplo 3: sean las relaciones de A en B:

Se tiene:a) b) Se cumple:1. 2. 3. 4.

4.3. Relaciones de Aqu utilizaremos relaciones de A en B, donde

Observacin: para determinar el dominio de una relacin, primero se despeja y, luego se entiende a fondo (analiza) los valores que puedan tomar x para que la variable y sea real.Para determinar el rango de una relacin se despeja x luego se estudia a fondo (analiza) los valores que pueden tomar y para que la variable x sea real.

Ejemplo 1: determinar el dominio y rango de la siguiente relacin:

SolucinPrimeramente despejemos la variable y para obtener el dominio es decir:

Completando cuadrados:

Luego analizando los valores que pueda tomar para que sea un nuevo real es decir:

Ahora despejamos la variable x para obtener el rango, como:

Luego, analizando los valores que pueda tomar y para que x sea un nmero real se tiene: Completando cuadrados:

Ejemplo 2: hallar el dominio de la relacin:

SolucinPara calcular el dominio de la relacin S, en primer lugar despejamos y de la ecuacin:

Para que y sea real se debe cumplir:

Luego Ahora calculamos el rango de la relacin S despejando X de la ecuacin:

Por lo tanto: Ejemplo 3: hallar el dominio y el rango de la relacin:

SolucinSea para calcular el dominio de esta ecuacin despejamos: para que y sea real se debe cumplir:

La solucin es: para tambin se verifica por lo tanto: Luego para calcular el rango de la relacin despejamos x de la ecuacin luego que x se real se debe cumplir: se cumple

La solucin es Por lo tanto

4.4. Tipo de Relaciones:1. Relacin Reflexiva: sea S una relacin en A (es decir ), se dice que S es una relacin reflexiva en A si: es el conjunto diagonal:

Ejemplo 1: dado el conjunto , se tiene que la relacin: Es reflexiva porque Ejemplo 2: dado el conjunto , se tiene que la relacin: Es reflexiva porque Ejemplo 3: sean y las relaciones en A.

Luego es reflexiva en A pues elemento adems de otros pares, en cambio no es reflexiva en A, pues le falta el para serlo.

2. Relacin Simtrica:Sea S una relacin en , se dice que S es una relacin simtrica si:

Y es equivalente a:Ejemplo 4: en el ejemplo 2 se cumple que S es simtrica:Ejemplo 5: la relacin S en definida por es simtrica donde Ejemplo 6: dados y la relacin en A.

Luego son simtricas en A, pero no lo es porque le falta el par .

3. Relacin Transitiva: Sea S una relacin en , se dice que S es una relacin transitiva si:

Ejemplo 7: en el ejemplo 1, la relacin S es transitiva.Ejemplo 8: dado la relacin no es transitiva en B, pues bien se cumple que: En cambio falla en: ya que

4. Relacin de Equivalencia: sea S una relacin en A, se dice que S es una relacin de equivalencia si S es reflexiva, simtrica y transitiva.En el ejemplo (1) la relacin S es de equivalencia.

Ejemplo 9: sea S una relacin en definida por es S de equivalencia?Nota: para resolver un problema de equivalencia, se recomienda tres cosas concretas que se debe plantearse:1. en qu clase de conjunto est definida la relacin dada?2. Qu forma tiene los elementos de la relacin dada?3. Cmo est definida la relacin?Vase para el problema (9)1. S es una relacin en , esto es que: 2. Por lo tanto los elementos de S son de la forma 3. S est definida de la siguiente forma: Teniendo precisa esta idea, se puede demostrar se la relacin es reflexiva, simtrica y transitiva.1. Reflexiva: de acuerdo con la definicin se tiene que: para el ejemplo ser:

2. Simtrica: de la definicin: para el ejemplo ser:

En efecto: La suma de nmeros naturales es conmutativa la igualdad es Por lo tanto decimos que S es simtrica.

3. Transitiva: de la definicin: se para el ejemplo debe se prueba: Si Si En efecto:Si Si Sumando adecuadamente: la cual prueba que S es transitiva Como S es reflexiva, simtrica y transitiva, concluimos que S es una relacin de equivalencia.

5. Relacin Asimtrica: Sea S una relacin en B, decimos que S es una relacin asimtrica si: Ejemplo 10:a) sea en este caso S es asimtrica.b) Si , entonces S es asimtrica.

6. Relacin Antisimetrica: Sea S una relacin binaria en A, S es Antisimetrica, si Ejemplos 10:a) Si

b) La relacin de inclusin.

7. Relacin de Orden Parcial: Sea S una relacin binaria en A, S es una relacin de orden parcial si es reflexiva, Antisimetrica y transitiva.Ejemplo 11: la relacin de inclusin de conjuntos.

8. Relacin convexa (o comparable): Sea S una relacin binaria en A, S es CONVEXA si Ejemplo 12:Sea

9. Relacin de Orden Total: Sea S una relacin binaria en A, S es una relacin de orden TOTAL, si es de orden parcial y convexa. Ejemplo 13: la relacin a la derecha de o coincide con para puntos de una recta (que es la relacin )

10. Participacin y relacin de equivalencia:a) Nocin de Particin: dado un conjunto F, se llama Particin de F a una familia de subconjuntos de F, denotado por , cuyos elementos cumplen las tres condiciones siguientes:p1. , es decir ningn conjunto de la familia dese ser conjunto vaco.p2. , en otras palabras, la interseccin de los conjuntos de la familia debe ser desjunto dos a dos.p3. , en otras palabras esto quiere decir: la unin de todos los conjuntos que forman la familia debe ser el conjunto dado.

La familia es una particin de F, porque:p1. p2. p3. Ejemplo 1: la familia es una particin de

Ejemplo 2: la familia es una particin de Ejemplo 3: la familia es una particin del conjunto universal Ejemplo 4: sea La familia es una particin de A.La familia es una particin de A.La familia es una particin de A.La familia es una particin de A.

Ejemplo 5: sea el intervalo en el que: i. Dividimos en 6 subintervalos de igual longitud: ii. Los 6 subintervalos son de la forma:

iii. Se cumple: p1. p2. p3. iv. Por lo tanto, la familia es una particin de I.b) Clase de Equivalencia y Conjunto Cociente: Motivaremos con el siguiente ejemplo: es una relacin de equivalencia en , es decir S es reflexiva, simtrica y transitiva.Notacin:Debido a que es una relacin de equivalencia en A, la notacin nos dice que De tal manera que en la relacin S, del ejemplo, se tiene que:Indica que Indica que , como S es de equivalencia tambin por lo tanto Terminando encuentra la notacin que significa , se dice que S es una relacin de equivalencia en A, se cumple las tres condiciones siguientes:F1. F2. Si F3. Si Si S es una relacin de equivalencia en A, para cada elemento quede determinado un nuevo conjunto: el conjunto formado por todos los elementos de A que son equivalentes de A que son equivalentes con X modulo S.A este conjunto se le llama CLASE DE EQUIVALENCIA de con respecto a S y se denota por el smbolo de tal manera que: es fijoEl conjunto de todas las clases de equivalencia de A recibe el nombre del conjunto COCIENTE de A con respecto a S, y se denota .Ejemplo 6: dado y una relacin de equivalencia en A tenemos:

El conjunto cociente A con respecto a S es Ejemplo 7: sea S una relacin en definida por Ser S de equivalencia? Solucin1. S es una relacin en , esto quiere decir que 2. Por lo tanto los elementos de S son de la forma 3. S est definida de la siguiente manera:

Teniendo en forma precisa esta idea, empezamos a demostrar si la relacin es reflexiva, simtrica y transitiva.i. Reflexiva: de acuerdo con la definicin se tiene: para el problema ser:

ii. Simtrica: de acuerdo con la definicin: Para el problema se debe probar que:

En efecto:

La suma de nmeros naturales es conmutativa, la igualdad es simtrica.

Por lo tanto afirmamos que S es simtrica.

iii. Transitiva: de acuerdo con la definicin: para este problema se debe probar: Si En efecto:Si Si Sumando y cancelando:

La cual prueba que S es una relacin de equivalencia. Como S es reflexiva, simtrica y transitiva, concluimos que S es una relacin de equivalencia.

Ejemplo 8: sea R una relacin definida por: esta definicin es equivalente a: .Y se leer x es congruente con y, modulo 5. Analizar si la congruencia mdulo S es una relacin de equivalencia.SolucinSe debe tener en cuenta: 1. 2. Los elementos de R son , tal que; 3. R est definida de la siguiente manera:

Luego probemos:i. Reflexiva: de acuerdo con la definicin se tiene: para este problema: que se cumple solo para . Lo cual es verdadero. Por lo tanto, R es reflexiva.ii. Simtrica: esta definicin: debemos responder a la pregunta: 5 divide a . Para este problema:

Por lo tanto afirmamos que S es simtrica.

iii. Transitiva: de acuerdo con la definicin: para este problema: si Debemos responder la pregunta: 5 divide a ?En efecto:Si Si Sumando: Por lo tanto R es transitiva.Ejemplo 9: sea S una relacin definida por , por: Solucin1. Analizar si S es una relacin de equivalencia.2. Hallar los pares que cumplen Luego probemos:a) Si S es una relacin en , por lo tanto, los elementos de S son de la forma S est definida de la siguiente manera: Luego debemos probar que S es reflexiva, simtrica y transitiva.

i. Reflexiva: lo cual es cierto.

ii. Simtrica: si , debemos probar que:

En efecto (i)Si por el producto de nmeros enteros es conmutativo La igualdad de nmeros enteros es simtrica iii. Transitiva: si debemos probar que: En efecto:Si Si Multiplicando: Prop. Adver. Propiedad de cancelacin

Por lo tanto S es una relacin de equivalencia.Solucin (ii)Si

Ejemplo 10: La familia es una particin de A es una particin de AEjercicios Propuestos1. Sea S una relacin en definida por es S de equivalencia?2. Sea S una relacin definida por esta definicin es equivalente. y se leer x es congruente con y mdulo 3.3. Sea S una relacin reflexiva en A. demostrar que S es una relacin de equivalencia si entonces . 4. Sea S una relacin definida por . Analizar si S es una relacin de equivalencia.Hallar los pares que cumple .5. Sea Z el conjunto de los nmeros enteros y la relacin S definida sobre Z en es una relacin de equivalencia.

4.5. Graficas de Relaciones Diferentes por Ecuaciones e Inecuaciones:Una Relacin (en los nmeros reales) pueden ser representados por el plano cartesiano, de manera que los valores x del dominio en S se considere en el eje X, y los valores Y del rango o imagen de S en el eje Y, ubicando los puntos en el plano cartesiano. Aqu la relacin puede estar expresada en una de las formas:

4.6. Discusin de la Grfica de una Relacin:Para trazar la grfica de una relacin dad por la ecuacin tendremos el siguiente criterio:I. Interpretacin con los ejes coordenados:a) Con el eje: se hace b) Con el eje: se hace II. Simetras:a) Simetra con respecto al eje x: se hace b) Simetra con respecto al eje y: se hace c) Simetra con el origen: se hace a la vez: Teorema 1: si la ecuacin de una curva no se altera cuando la variable y es remplazada por y, la curva es simtrica con respecto al eje x.Teorema 2: si la ecuacin de una curva no se altera cuando la variable x es remplazada por x, la curva es simtrica con respecto al eje y.Teorema 3: si la ecuacin de una curva no se altera al remplazar las variables: respectivamente la curva es simtrica con respecto al origenIII. Extensin de la curva:Consiste en determinar el dominio y rango de la relacin: a) Extensin con el eje x: despejamos la ecuacin x en funcin de y: que viene hacer dominio de la ecuacin.b) Extensin con el eje y: despejamos la ecuacin x en funcin de y: que viene hacer el rango o margen de la relacin. IV. Asntotas:Definicin: se para una curva dada, existe una recta tal que, a medida que un punto de la curva se aleja independientemente de origen, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero, dicha recta se llama asntota de la curva.a) Asntotas paralelas o coinciden con el eje x: se llama asntota horizontal.b) Asntotas paralelas o coinciden con el eje y: de llama asntota vertical.Nota: si no es paralela a ninguno de los ejes coordenados, las asntotas se llaman oblicuas.V. Construccin de curvas: el trazado de una curva constara de las siguientes pasos:1. Determinacin de las interacciones con los ejes coordenados.2. Determinacin de la simetra de la curva con respecto a los ejes coordenados y el origen.3. Determinacin de la extensin de la curva.4. Determinacin de las ecuaciones de las asntotas verticales y horizontales que la curva pueda tener.5. Calculo de las coordenadas de un nmero suficiente de puntos.6. Trazado de la curva.Ejemplo 1: discutir y graficar la relacin SolucinI. Interpretacin con los ejes coordenados:a) Con el eje: se hace

b) Con el eje: se hace

II. Simetras:a) Con el eje:

La ecuacin se altera luego no existe simetra simtrica con el eje x. b) Con el eje:

La ecuacin se altera luego no existe simetra con respecto al eje y.c) Con el origen:

Se altera la ecuacin por lo tanto no existe simetra con el origen.

III. Extensin de la curva:Despejamos y en funcin de x

a) Dominio de la ecuacin:

b) Rango de la ecuacin:Despejando x en funcin de y

IV. Asntota:a) Asntotas verticales o al eje x:

b) Asntotas horizontales o al eje y:

V. Construccin de la grfica:

Ejemplo 2: discutir y graficar la relacin SolucinI. Interpretacin con los ejes coordenados:a) Con el eje: se hace

c) Con el eje: se hace


No existe simetra simtrica con el eje x. b) Con el eje:

Como no vara si existe simetra con el eje y.c) Con el origen:

Como no vara luego no existe simetra con el origen. III. Extensin de la curva:Despejamos y en funcin de x

a) Dominio de la ecuacin:

b) Rango de la ecuacin:







Como la ecuacin no vara luego si existe simtrica con el eje x. b) Con el eje:

Tambin existe simetra con respecto al eje y.c) Con el origen:

Tambin existe simetra con el origen. III. Extensin de la curva:a) Dominio de la ecuacin: Para que sea real debe cumplirse.

La solucin es: Para tambin se verifica por lo tanto:


Para que sea real debe cumplirse.

Se cumple:

La solucin es: Por lo tanto:







No existe simtrica con el eje x. b) Con el eje:

Si existe simetra con respecto al eje y.c) Con el origen:

Por lo tanto no existe simetra con el origen. III. Extensin de la curva:a) Dominio de la ecuacin: Si luego


es real s:


Que viene hacer las asntotas.


Asntota horizontal.


Ejemplo 5: bosquejar la graficar la relacin SolucinEn, se tiene .Luego y como tiene el conectivo lgico entonces la grfica consiste de (la unin de) de ambas rectas.

Ejemplo 6: discutir y graficar la relacin i. ii. iii. iv. Solucini.

ii.

iii.

iv.

Nota: Luego las grficas de 4.7. Graficas de Relaciones Definidas por Inecuaciones:Consideramos la relacin: Un punto satisface la condicin si y solo si se encuentra en la semirecta vertical que cruza en la recta y que baja sin lmite (zona sombreada de la figura ).Cuando x toma todos los valores del eje x, la semirecta indica la barrera toda la zona sombreada.

Nota: Ejemplo 7: hallar la grfica de la interseccin de las relaciones:

Solucin

Nota: de la inecuacin puede expresarse como:i. ii. , entonces la grfica de la regin est acotada por la curva del borde determinada por la ecuacin:

Adems:i. Corresponde a la parte del plano acotada inferiormente por el borde pero no se incluye.ii. Corresponde a la grfica de incluyendo el borde Ejemplo 8: graficar la regin definida por la relacin:

Solucini. La grafica corresponde a la relacin de las regiones:

ii. La grfica de corresponde al complemento de la grfica de , incluyendo la curva-borde pues:

Ejemplo 9: graficar la regin definida por la relacin:

SolucinLa relacin S es la interseccin de: donde:i. ii.

Ejemplo 10: hallar la grfica de la interseccin de las relaciones:

Solucin

S corresponde a la interseccin de las tres regiones

Nota: observa que el origen (0,0) no se incluye en ningunos de los casos.Ejercicios Propuestos I. Hallar el dominio y rango de las relaciones siguientes:a) b) c) d) e) f) II. Graficar e indicar el dominio y el rango de las relaciones:g) h) i) III. Sea Cules de las siguientes afirmaciones son verdaderas?i. ii. iii. IV. Hallar.1. En se define la relacin:. Si, hallar 2. Dadas las relaciones en Z: , hallar Sea: 3. Dado el universo y las relaciones: Hallar 4. Dados los conjuntos: . Hallar el conjunto .5. Sea y dos relaciones en , hallar 6. Si Hallar 7. Hallar la interseccin de las relaciones en

8. Si U es el conjunto de tringulos del plano y si S es la relacin en U definida por:

Demostrar que S es una relacin de equivalencia.9. Una relacin S en A se llama ANTISIMETRICA si cumple que: . Demostrar que las relaciones definidas en son antisimtricas.V. Discutir graficar las siguientes relaciones:a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n)

4.8. Relaciones Inversas:4.8.1. Definicin: sea S es una relacin de A en B, es decir:, luego es una relacin de B en A, llamada relacin inversa de S y definimos: de tal manera que o equivalente: Ejemplo: si , y la relacin S de A en B entonces

4.8.2. Dominio y Rango de : si S es una relacin de A en B, se cumplen:

4.8.3. Propiedad: si S es una relacin en, se cumple que la grfica de es simtrica a la grfica de S con respecto a la recta .Ejemplo:

Como observar las relacin inversa , se obtiene intercambio x con y en . Es decir Nota: si entre se puede expresar de tres maneras:

4.8.4. Propiedades de la Relacin Inversa:Si son dos relaciones de A en B, se cumplen:1. 2. 3. 4. Prueba de (1) Probaremos: si En efecto:i. ii. iii. iv. v. vi. Probaremos: si En efecto:vii. viii. ix. x. xi. xii. xiii.

4.9. Composicin de Relaciones:Sea S una relacin de A en B y T una relacin de B en C Definamos la relacin compuesta de A en C de la siguiente manera:

Es decir: Su grafica correspondiente ser:

Donde:

Nota: la relacin existe si, por lo tanto, si Ejemplo 1: hallar la inversa de las siguientes relaciones:a) b) Solucin (a)Para determinar la inversa de una relacin se despeja x, es decir: luego se cambiar x por y es decir:

Solucin (b)En primer lugar despejamos x de , es decir:

Luego veremos cmo va variando y: Como

Luego por lo tanto el cambiar x por y se lee:

Relaciones Binarias y Funciones

Documents

Transcript of Relaciones Binarias y Funciones