4-relaciones binarias

1

Estructuras

Discretas I

Relaciones

Binarias

Universidad Nacional San Agustín

Dra. Norka Bedregal

1

ES

TR

UC

TU

RA

S D

ISC

RE

TAS

I

Dra. Norka Bedregal2

Para el caso especial en que R sea una relación de A en B con, A = B, se dice que, R es una relación en A o una relación binaria sobre A.

Relación Binaria.

Sea A un conjunto. Una relación en A es un subconjunto de A x S .

Es decir:

Ejemplo:

Sea A = {2, a , 3}, los siguientes conjuntos son relaciones en A

RE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS

2


Ejemplo:

Sea H = { x / x es un ser humano}

R la relación “es madre de”

¿R es una relación en H. Por qué?

Si Ana es la madre de Luis, decimos que el par (Ana,Luis) ∈∈∈∈ R.

Note que los pares que verifiquen R son un subconjunto de H x H.

RE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS


Ejemplo

Sea A = {1; 2; 3; 4}

R = {(1; 1); (1; 2); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (3; 1); (4; 2)}

La relación se puede representar por medio de un diagrama

llamado grafo dirigido

RE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS

3


Para poder construir el grafo dirigido A debe contener un número finito de elementos

Los vértices del grafo

son los elementos A y

las aristas dirigidas

representan los

elementos de R

Ejemplo

Sea A = { a , b , c , d}

R = { (a, b), (a, c), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c) }

RE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS


Ejemplo

Sean A = { a , b , c , d} y

R = { (a, b), (a, c), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c) }

R puede representarse como matriz donde 1 indica que hay relación

y 0 que no hay relaciónRE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS

4


Si se establece una relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen cinco propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación

� Propiedad reflexiva

� Propiedad simétrica

� Propiedad asimétrica

� Propiedad antisimétrica

� Propiedad transitiva

RE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS


Es decir una relación es reflexiva si y solamente si todo elemento está relacionado consigo mismo.

Sea R una relación en el conjunto A. R se llama reflexiva si

En consecuencia R no es reflexiva si

RE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS

5


Ejemplo:

Considere las siguientes relaciones en:

RE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS


Es decir una relación es simétrica si y solamente si a está relacionado

con b implica que b está relacionado con a.

Sea R una relación en el conjunto A. R se llama simétrica si para

cada la siguiente implicación es verdadera:

En consecuencia R no es simétrica si existen

tales que:

RE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS

6


Ejemplo:

Considere las siguientes relaciones en .

RE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS


Sea R una relación en el conjunto A. R se llama antisimétrica si para


En consecuencia R no es antisimétrica si existen

tales que:

Es decir, una relación es antisimétrica si y

solamente si no hay elementos a y b

distintos tales que, a esté relacionado con b

y b esté relacionado con a.RE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS

7


Una relación es antisimétrica cuando sólo cumplen la propiedad simétrica

los pares de elementos iguales y no la cumplen los pares formados por

distintos elementos.

RE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS


Ejemplo:


RE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS

8


Sea R una relación en el conjunto A. R se llama transitiva si para


En consecuencia: R no es transitiva si existen tales que:

Es decir, una relación es transitiva si y solamente si a está relacionado

con b y b está relacionado con c, entonces a está relacionado con c.RE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS


Ejemplo:


RE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS

9


Dado A = {1, 2, 3} decir a que tipo pertenecen las siguientes

relaciones

� R1 = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}.

� R2 = {(1, 1)}.

� R3 = {(1, 2)}.

� R4 = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}.

RE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS


Sea A = {2, 3, 4, 5, 6}

R = {(x, y) / x∈∈∈∈A, y∈∈∈∈A, | x – y | es divisible por 3}

� Escribir por extensión a R.

� Determine qué propiedades cumple esta relación

RE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS

10


Como casos especiales de las relaciones en un conjunto se define:

� Relaciones de orden: Permite ordenar los elementos a través

de la relación.

� Relación de equivalencia: Permite marcar características

similares entre los elementos de un conjunto

RE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS


Si a es un conjunto finito de n elementos, la matriz de la relación identidad IA es la matriz identidad de orden n

Relación identidad:

Dado un conjunto A, se denota por IA a la relación binaria definida por:

babIa A =⇔

Observaciones

� ( ){ }AxxxIR A ∈== /,0

RRR nn o=+1

� Si R esta definida sobre un conjunto finito, entonces es fácil comprobar que:

( ) ( )( )nn RMRM =

RE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS

11


Relación de Conectividad

Dada una relación R sobre el conjunto finito A, la relación de conectividad se define como:

bRaZnbRa n/+∞ ∈∃⇔

Teorema.

Si R es una relación binaria, entonces.

U∞

=

∞ =1n

nRR

RE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS


Relación de Accesibilidad

Dada una relación R sobre el conjunto finito A, la relación de accesibilidad se define como:

bRaINnbRa n/* ∈∃⇔es decir:

∞= RIR A U*

Teorema.

Si R es una relación binaria, entonces.

U∞

=

=1

*

n

nRR

RE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS

12


Corolario:

Sean R y S relaciones en A, entonces:

Teorema:Sea R una relación definida sobre el conjunto A, entonces R es reflexiva si contiene a la relación identidad

RE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS


Teorema:

Sea R una relación definida sobre el conjunto A, entonces:

Corolario:


RE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS

13


Teorema:

Sea R una relación definida sobre el conjunto A, entonces:

Corolario:


RE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS


Teorema:

Sea R una relación definida sobre el conjunto A, entonces R es transitiva si y

sólo si:

RR ⊆2

Corolario:

Sean R y S relaciones transitivas en A, entonces también es transitiva la

relación:

Corolario:

Sean R y S relaciones antisimétricas en A, entonces también es antisimétrica

la relación:

RE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS

14


TareaSe deja como ejercicio expresar los teoremas y corolarios anteriores en función de la matriz de la relación sobre un conjunto finito.

RE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS


Ejercicio 1.-Determine si los siguientes conjuntos son ejemplos de relaciones en los enteros

RE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS

15


Ejercicio 2.-Considere las relaciones del ejercicio (1), indique cuáles si son reflexivas, simétricas, transitivas o antisimétricas

RE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS


RE

LAC

ION

ES

BIN

AR

IAS

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