III UNIDAD

RELACIONES Y FUNCIONES

RELACIONES BINARIAS

PAR ORDENADO

Es un arreglo de dos elementos que tienen un orden determinado donde “a” es llamada al

primera componente y “b” es llamada la segunda componente.

Ejemplo: son pares ordenados: ( 3,5) ; ( -2, 7), etc.

IGUALDAD DE PARES ORDENADOS

Los pares ordenados ( a, b) y ( c, d) diremos que son iguales si sus correspondientes

componentes son iguales, esto es:

( a, b) = ( c, d) a = c b = d

Ejemplo: Determinar el valor de x e y de tal manera que:

( 5x +24, -4 ) = ( -1, 2x-y )

Solución: Para calcular el valor de x e y aplicamos el concepto de igualdad de pares ordenados:

(5x + 2y, -4 ) = ( -1, 2x-y ) 5x + 2y = -1 2x – y = -4 X = -1 y = 2

DEFINICION DE PRODUCTO CARTESIANO

Dado los conjuntos no vacíos A y B llamaremos producto cartesiano A x B, al conjunto de todos

los pares ordenados (a, b) de tal manera que los primeros componentes “a” pertenece al

conjunto A y la segunda componente “b” pertenece al conjunto B.

La notación del producto cartesiano de A y B es AxB simbólicamente se representa:

A x B = { ( a , b ) / a A b B }

Nota : ( a, b ) A x B a A b B

Ejemplo: Sean A = { 1 , 3 , 5 } y B = { 2 , 4 } e n t o n c e s

A x B = { ( 1 , 2 ) , ( 1 , 4 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 4 ) , ( 5 , 2 ) , ( 5 , 4 ) }

Observación: Cuando los conjuntos A y B son finitos entonces:

n (A x B) = n (A). n (B)

SESIÓN N°07

Ejemplo: si A = { 2 , 4 } y B = { 1 , 3 , 5 } entonces

A x B = { ( 2 , 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 5 ) , ( 4 , 1 ) , 4 , 3 ) , ( 4 , 5 ) }

De donde: n (A x B) = n (A). n (B) = (2) (3) = 6

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PRODUCTO CARTESIANO

En el producto cartesiano A x B a cada uno de los conjuntos A y B lo representaremos sobre dos

rectas perpendiculares en donde los elementos del conjunto A se representa sobre el eje

horizontal y los elementos del conjunto B se representan sobre el eje vertical, de tal manera

que las líneas verticales que pasan por los elementos de A y las líneas horizontales que pasan

por los elementos de B al interceptarse se obtienen los pares ordenados de A x B

Si A = { 1 , 3 , 5 } y B = { 2 , 4 } entonces

A x B= { ( 1 , 2 ) , ( 1 , 4 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 4 ) , ( 5 , 2 ) , ( 5 , 4 ) }

Observación: Consideremos los siguientes casos: 1. Si A = B, el producto cartesiano denotaremos por A x B = A x A =

2. Si A = B = R entonces A x B = R x R = este producto representa el plano cartesiano

EJERCICIOS DESARROLLADOS 1. Determinar los valores x e y en el siguiente caso:

(4, 2x-10) = (x-1, y+2)

Y

X

4

2

1 3 5

A x B B

A

Solución Mediante la igualdad de pares ordenados se tiene: (4, 2x-10) = ( x-1, y+2) 4= x-1 x= 5 2x-10= y+2 y = -2

2. Dados los conjuntos A = { x Z/ - 1 ≤ x ≤ 3 }; B = { x Z/ 1 ≤ x ≤ 4 } y C = { x Z/ 1 ≤ x ≤ 4 } Hallar los siguientes conjuntos: a) A x B b) B x C c) ( A – C ) x B

Tabulando los conjuntos dados se tiene: A = { - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 } B = { 1 , 2 , 3 , 4 } C = { 1 , 2 , 3 , 4 } a) AxB= { ( - 1 , 1 ) , ( - 1 , 2 ) , ( - 1 , 3 ) ,

( - 1 , 4 ) , ( 0 , 1 ) , ( 0 , 2 ) ( 0 , 3 ) , ( 0 , 4 ) , ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) ( 3 , 3 ) , ( 3 , 4 ) }

b) A x C = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 3 , 4 ) , ( 4 , 1 ) , ( 4 , 2 ) , ( 4 , 3 ) , ( 4 , 4 ) }

c) A – C = { - 1 , 0 } (A-C) x B = { ( - 1 , 1 ) , ( - 1 , 2 ) , ( - 1 , 3 ) , ( - 1 , 4 ) , ( 0 , 1 ) , ( 0 , 2 ) , ( 0 , 3 ) , ( 0 , 4 ) } EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Determinar los valores de la variable en los siguientes pares ordenados:

a. ( a ; b ) = ( -8 ; 5 ) b. ( x ; y ) = ( ; ) c. ( 2w ; -3 ) = ( -6 ; z-7) d. ( 6 ; m-n ) = (m+n ; 10 ) e. ( 5x+2y ; -4 ) = ( -1 ; 2x-y )

2. Dado los conjuntos: A = ( x /x<3) B = (x N/x es par y x<5)

C = ( x N/x es impar y x ≤ 4 ) hallar el conjunto ( A ∩ B ) x ( C – A )

RELACIONES BINARIAS Dado los conjuntos no vacios A y B, llamaremos relación binaria de A en B a todo subconjunto R del produto cartesiano A x B, donde las componentes de sus pares ordenados están relacionados, esto es:

R es una relación de A en B R está Contenida en A x B Con los conjuntos: A = { 1 , 3 , 5 , 6 } y B = { x / x : 2 ≤ x < 4 } entonces es = { 2 , 3 } A x B = { ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 5 , 2 ) , ( 5 , 3 ) , ( 6 , 2 ) , ( 6 , 3 ) } Determinar las siguientes relaciones: a) R = { ( x , y )

R = { ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 3 , 3 ) } b) P = { ( x , y )

B x A = { ( 2 , 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 5 ) , ( 2 , 6 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 3 ) , ( 3 , 5 ) , ( 3 , 6 ) } P = { ( 2 , 3 ) , ( 3 , 5 ) }

c) Q = { ( x , y )

d) Q = { ( - 2 , 0 ) , ( - 1 , 3 ) , ( 0 , 4 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 0 ) } Observación: Si A tiene p elementos y B tiene q elementos entonces existen Relaciones entre A y B donde n = pq

Ejemplo: si A = { 1 , 3 } y B = { 2 , 4 } entonces A x B = { ( 1 , 2 ) , ( 1 , 4 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 4 ) }

El número de relación que se obtendrá de A x B es = 16, es decir que se pueden formar 16 relaciones: { ( 1 , 2 ) }, { ( 1 , 2 ) , ( 3 , 2 ) }, { ( 1 , 4 ) }, { ( 3 , 2 ) }, { ( 3 , 4 ) } , { ( 1 , 2 ) , ( 1 , 4 ) }, { ( 1,4 ), ( 3, 2 ) },{ ( 1, 2 ),( 3, 4 ) }, { ( 1, 4 ), ( 3, 4 ) }, { ( 3, 2 ) ,{ ( 3, 4) } , { ( 1, 2 ), ( 1, , 4 ), ( 3, 2 ) }, { ( 1, 2 ), ( 1, 4 ),( 3, 4 ) }, { ( 1, 4 ), ( 3, 2 ), ( 3, 4 ) }, { ( 1, 2 ), ( 3, 2 ), ( 3, 4 ) }, { ( 1 , 2 ) , ( 1 , 4 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 4 ) }, D O M I N I O Y R A N G O D E U N A R E L A C I O N DOMINIO.- Es el conjunto formado por los primeros componentes de los pares ordenados que forman la relación R y se denota por Dom (R)

Dom (R) = { a A/ b (a, b) R} RANGO.- Es el conjunto formado por la segunda componente de los pares ordenados que forman la relación R y se denota por Rang (R)

Rang (R) = { b / a (a, b) R} Ejemplo: En la relación binaria R R : { ( 3,5 ), ( 3, 6 ), ( 4,5 ), ( 4, 6 }

SESIÓN N°08

El Dominio de R es : { ( 3 , 4 ) } E l R a n g o d e R e s : { ( 5 , 6 ) } Observación:

Cada elemento del Domino se llama PRE-IMAGEN

Cada elemento del Rango se llama IMAGEN

En toda relación hay : - Un conjunto de partida - Un conjunto de llegada y - Una regla de correspondencia

Ejemplo: Sean los conjuntos A = { 2 , 3 , 5 , 6 } B = { 3 , 4 , 6 } y R { ( x , y ) expresar R como un conjunto de pares ordenados y hallar su dominio y rango Solución: Primero identificamos los tres elementos de toda relación:

i) A es el conjunto de partida ii) B es el conjunto de llegada iii) (x < y) es la regla de correspondencia

Luego graficamos su diagrama sagital: R1 : (x < y ) A B 2 . . 3 3 . . 4 R = { (2,3 ), ( 2,4 ), ( 2,6 ), ( 3, 4), ( 3,6 ), ( 5, 6 ) } Dom R = { 2 , 3 , 5 } Rang R= { 3 , 4 , 6 } RELACION INVERSA.- Si R está contenida AxB es una relación de A en B, entonces a la relación inversa de R lo denominaremos por y está definido por:

= { ( x , y ) Ejemplo: Si R = { ( 3,2 ), ( 3,1 ), ( 4,2 ), ( 4, 5), ( 6,8 ) } = { ( 2,3 ), ( 1,3 ), ( 2,4 ), ( 5, 4), ( 8,6 ) }

a) Hallar la inversa de : R = { ( x , y )

Solución: Para determinar la inversa de una relación se despeja x es decir: x = 12 -3y Luego se permuta x por y es decir: y = 12 – 3x

= { ( x , y )

RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO: RELACIÓN REFLEXIVA:

Diremos que R es una relación reflexiva, si a A (a, a) R Ejemplo: Sea:

A = {1, 5, 6} y sea R1 relaciones de A en A

R1 = {(1, 1); (5, 5); (6, 6); (5,1)} Es reflexiva, pues:

1 A (1, 1) R1

5 A (5, 5) R1

6 A (6, 6) R1 Así mismo:

R2 = {(1, 1); (5, 5); (5, 1); (6, 5)}

No es reflexiva porque falta el par (6, 6)

RELACION SIMÉTRICA:

Diremos que R es una relación SIMETRICA, si (a, b) R (b, a) R Ejemplo: La relación:

R = {(1, 5); (2, 3); (5, 1); (3, 2)} Es simétrica pues:

(1, 5) A (5, 1) R

(2, 3) A (3, 2) R

RELACION ANTISIMETRICA Una relación R en A, diremos que es antisimétrica si: Para todo (a,b) pertenece a R y (b,a) pertenece R implica que a=b, esto es:

R es antisimétrica a,b A, ⌠ (a, b) R ( b, a ) R a = b⌡

RELACIÓN TRANSITIVA Diremos que R, es una relación TRANSITIVA si:

(a, b) R (b, c) R (a, c) R Veamos: Si: A = {1, 2, 3, 4} sea R relación de A en A La relación:

R = {(1, 2); (3, 1); (3, 2)} Es transitiva pues:

(3, 1) R (1, 2) R (3, 2) R

RELACIÓN DE EQUIVALENCIA Se establece entre los elementos de un mismo conjunto A, llamada relación R de A en A o simplemente relación R en A y que además, es necesario que se cumplan 3 condiciones:

a) Que sea una relación reflexiva. b) Que sea una relación simétrica. c) Que sea una relación transitiva.

Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} la relación R en A dado por R = {(1,1); (2,2); (3,3);( 4,4); (5,5) } es una relación de equivalencia porque es reflexiva, simétrica y transitiva en A. PROBLEMAS RESUELTOS

1. Dados los conjuntos:

A = {2, 3, 4, 5} y B = {3, 6, 7, 10} Con la relación:

R = {(x, y) A x B / “Y” divide a “X” exactamente} Los pares ordenados que satisfacen la relación “R” son: Rpta.: (3, 3); (2, 6); (2, 10); (5, 10)

2. Dada la relación:

R = {(1, 2): (2, 2): (4,6)} Hallar el dominio y rango de dicha relación.

Rpta: Dom(R) = {1, 2, 4} Rang(R) = {2, 6}

3. Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4} y B = {1, 4, 6, 9} y la relación:

R = {(x, y) A x B / y = x2} ¿Cuántos pares ordenados satisfacen la relación “R”? Rpta.: Satisfacen la relación “R” 3 pares ordenados R = {(1, 1); (2, 4), (3,9)}

4. Dados los conjuntos P y T, hallar el dominio y el rango de la relación R de P en T cuya regla de correspondencia es Y – X + 3

Si: P = { x/x Z; -2 ≤ x < 2}

T = { x/x N; 0 < x ≤ 3} Rpta.: Dom(R) = {0, -1, -2} Rang(R) = {3, 2, 1}

5. Sean W = {1, 2, 3, 4} y R = {(1, 1); (1, 3); (2, 2); (3, 1); (4, 4} ¿Es reflexiva R?

Rpta.: R es no reflexiva por que 3 W Y (3, 3) R. 6. ¿Hay algún conjunto A en que toda relación en A sea simétrica?

Rpta.: Si A es el conjunto vacío o si A solamente tiene un elemento, entonces toda relación en A es simétrica.

7. Sean W = {1, 2, 3, 4} y R = {(2, 2); (2, 3); (1, 4) (3, 2)}. ¿Es R transitiva?

Rpta.: R no es transitiva, puesto que (3, 2) R, (2, 3) R pero (3, 3) R.

8. Sea R la relación definida en los números naturales por:

R = {(x, y) N2/ x + 3y =12} Hallar la suma de los elementos de: D(R) – R(R)

Rpta.: 23

9. Dado la siguiente relación: R= {(7, 3); (5, 2); (7, 4); (7, 1)}

¿Cuál es la suma de los elementos del dominio? Rpta.: 26

10. Dados los conjuntos:

A = {x N / x es impar, x [3, 7] }

B = {x N / x es impar, x ]3, 11[ } Determinar la relación R definida por Y = x + 2 ¿Cuál es la suma de los elementos del dominio? Rpta.: 15 EJERCICIOS DIVERSOS 11. Dados los conjuntos: A = {2, 3, 4, 5} y B = {3, 6, 7, 10}

Hallar la relación R = {(x, y) A x B / “y” divide a “x” exactamente} 12. Dada la relación: R = {(1, 2): (2, 2): (4,6)}

Hallar el dominio y rango de dicha relación. 13. Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4} y B = {1, 4, 6, 9} y la relación:

R = {(x, y) A x B / y = x2} ¿Cuántos pares ordenados satisfacen la relación “R”? 14. Dados los conjuntos P y T, hallar el dominio y el rango de la relación R de P en T cuya regla

de correspondencia es Y – X + 3

Si: P = { x/x Z; -2 ≤ x < 2} T = { x/x N; 0 < x ≤ 3} 15. Sean W = {1, 2, 3, 4} y R = {(1, 1); (1, 3); (2, 2); (3, 1); (4, 4} ¿Es reflexiva R? 16. Sean W = {1, 2, 3, 4} y R = {(2, 2); (2, 3); (1, 4) (3, 2)}. ¿Es R transitiva?

17. Sea R la relación definida en los números naturales por: R = {(x, y) N2/ x + 3y =12} Hallar la suma de los elementos de: Dom(R) – Rang(R)

18. Dado la siguiente relación: R= {(7, 3); (5, 2); (7, 4); (7, 1)} ¿Cuál es la suma de los elementos del dominio?

19. Dados los conjuntos:

A = {x N / x es impar, x [3, 7] }

B = {x N / x es impar, x ]3, 11[ } Determinar la relación R definida por Y = x + 2 ¿Cuál es la suma de los elementos del dominio?

20. Encuentra el dominio y rango de la siguientes relaciones:

a) {(5; 2), (6; 4), (8; 6)} b) {(6; 0), (7; 5), (8; 5)} c) {(8; 1), (8;1), (5; 1)}

21. Sean: ; . Determinar R por extensión, además, calcular el dominio y rango. 12. Sea R la relación representada en el diagrama adjunto.

13. Sean:

Hallar dominio y rango de cada una de las

relaciones

14. Sean: Hallar dominio y rango de cada una de las relaciones

15.- Sean: A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 8}. Hallar la suma de elementos de las siguientes relaciones R1 = {(3, 2), (1, 8), (5, 4)} R2 = {(3, 8)} R3 = {(x, y) / x A y B x y} R4 = {(x, y) / x A y B x y 7} R6 = {(2, 3), (6, 1)}

16.- Sea A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3}. Sea R la relación: "x es menor que y" Hallar la suma de los elementos del rango

17.- Sea A = {1, 3, 5}. Decir si es reflexiva las siguientes relaciones:

R1 = {(1, 3), (3, 5), (1, 1), (5, 1), (5, 5), (3, 1), (3, 3)} R2 = {(1, 1), (5, 3), (5, 5), (3, 1)}

18.- Sea A = {3, 4, 2} entonces decir si es simétrica las siguientes relaciones: R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)} S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)}

19.- Sea = {2, 4, 6, 3} entonces decir si es transitiva las siguientes relaciones: R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)} S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)}

20.- En N la relación R definida por: “x R y x divide a y” es simétrica

FUNCIONES

Una función es un conjunto de pares ordenados de números reales (x, y) con la condición de que dos pares distintos no pueden tener iguales los primeros elementos. El conjunto de todos los valores que tiene “x” se llama dominio (D) de la función y el conjunto de todos los valores que pueda tener “y” denominado el rango (R) de la función. Si f es una función entonces la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos (x, y) en los números reales cuyas coordenadas cartesianas están dadas por las parejas ordenadas. Se tiene el siguiente ejemplo:

f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} El Dominio de la función: D = {1, 2, 3, 4} El Rango de la función: R = {2, 3, 4, 5}

Representación de la función en el gráfico

1 2 3 4

5

4

3

2

1

Y = R

X = D

Forma de representar una función

f = {(x, f (x)) / x D f} Se lee “la función f cuyo conjunto de (x, f (x)) tal que x pertenece al dominio de la función. También puede representarse de la siguiente manera:

f = {(x, y) / y = f (x), x D f} Ejemplo: Sea D f = {1, 2, 3, 4}, y = f (x) = x + 1 Solución: Reemplazamos el dominio de la función en f (x):

Para x = 1 f (1) = 1 + 1 = 2 .................... (1, 2)

Para x = 2 f (2) = 2 + 1 = 3 .................... (2, 3)

Para x = 3 f (3) = 3 + 1 = 4 .................... (3, 4)

Para x = 4 f (4) = 4 + 1 = 5 .................... (4, 5)

SESIÓN N°09

Cuando no nos dan el rango ni el dominio: Ejemplo: Determinar el dominio y el rango de la función:

f = {(x, y) / x – y = 2}

Solución: Ahora comenzamos a despejar y en: x – y = 2 quedando: y = f (x) = x – 2 Entonces el criterio que se debe tomar es qué valores tendrá para que y resulte un número real; por lo tanto cualquier número real que tenga x el dominio resultará un número también real: Luego: El Dominio (D) = # R El Rango (R) = # R Ejemplo: Analizar el dominio y el rango de f = {(x, y) / y =x2} Solución: De la función dada en el conjunto se tiene:

y = x2

Observe que cualquier número real puede tomar x, entonces el dominio es un # real. Pero el rango que se obtiene al dar valores a x siempre resultará positivo por estar elevado a una potencia par. Luego concluyendo tenemos:

,0

#2

R

RDxY

Clasificación de funciones

Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo:

Puedes entender una función como una manera de conectar elementos de un conjunto "A" a los de otro conjunto "B":

"Inyectivo" significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A"). "Sobreyectivo" significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno). "Biyectivo" significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay una correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.

Definiciones formales INYECTIVO Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y.

Ejemplo: f(x) = x2 del conjunto de los números naturales a es una función inyectiva.

(Pero f(x) = x2 no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros (esto incluye números negativos) porque tienes por ejemplo

f(2) = 4 y f(-2) = 4)

Nota: inyectiva también se llama "uno a uno", pero esto se confunde porque suena un poco como si fuera biyectiva. SOBREYECTIVO (O TAMBIÉN "EPIYECTIVO") Una función f (de un conjunto A a otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en A que cumple f(x) = y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B. Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos.

Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales al de los números pares no negativos es sobreyectiva.

Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales a no es sobreyectiva,

porque, por ejemplo, ningún elemento de va al 3 por esta función. BIYECTIVA Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x) = y Alternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva. Ejemplo: La función f(x) = x2 del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva. (Pero no desde el conjunto de todos los números reales porque podrías tener por ejemplo

f(2)=4 y f(-2)=4)

FUNCIONES ESPECIALES FUNCION CONSTANTE: Es una función cuyo dominio son números reales y su rango es una constante perteneciente a los números reales. La función constante se representa como: y = f (x) = c donde c es una cantidad real.

Luego: f = {(x, c) / x # R}

Si x = -2 f (-2) = c ................ (-2, c)

Si x = -1 f (-1) = c ................ (-1, c)

Si x = 0 f (0) = c ................ (0, c)

Si x = 1 f (1) = c ................ (1, c) Puede observar cómo ha quedado el gráfico.

C C C

1-1-2 X

Y

FUNCION DE IDENTIDAD Es una función que tiene como dominio a los números reales. La función identidad se representa: I(x) = f(x) = x o también como:

I = {(x, I(x)) / x #R}

Para x = 1 I(-1) = -1 ...... (-1, -1)

Para x = 1 I(1) = 1 ...... (1, 1)

Para x = 2 I(2) = 2 ...... (2, 2)

Para x = 3 I(3) = 3 ...... (3, 3) Observe el gráfico de la función:

2

1

1 2

Y

X

-1

-1

I

FUNCION RAIZ CUADRADA

Es de la forma : y = x , cuyo Dom(f) = {R+} = [ 0, y el Rang(f) = {R+} = [ 0,

La notación simbólica de la función raíz cuadrada es : f = {(x, y) / y = x }

Ejemplo: Trazar la gráfica de la función : y = x y determinar su dominio y rango

Solución: para x = 0 y = 0 = 0 ( 0, 0)

x = 1 y = 1 = 1 ( 1, 1)

x = 4 y = 4 = 2 ( 4, 2)

x = 9 y = 9 = 3 ( 9, 3) . . .

El dominio de la función: [ 0,

El rango de la función: [ 0,

1 2 3 4

3

2

1

FUNCION LINEAL

Una función lineal es aquella que es de la forma: y = mx + b, donde m y b R y cuyo dominio y rango resultan números reales. Ejemplo 1: Sea la función y = 2x – 1

Para x = 0 y = f (0) = 2(0) – 1 = -1 (0; -1)

Para x = 1 y = f (1) = 2(1) – 1 = 1 (1; 1)

Para x = 2 y = f (2) = 2(2) – 1 = 3 (2; 3)

Y así sucesivamente se pueden hallar infinitos puntos dando valores para x R lo que daría como resultado los valores para y que también pertenecen a los números R, concluyendo que:

Dom(f) = {R} = ; y el Ran(f) ={R} = ;

Gráfica de la función:

3

2

1

1 2 3 X

Y

-1

Ejemplo 2:

Graficar y hallar el dominio y rango de la siguiente función:

Solución: El intervalo nos indica que: - 3 x 4 Tabulamos:

Para x = - 3 y = f (-3) = 3 +

(- 3) = -1,5 (-3; -1,5)

Para x = - 2 y = f (-2) = 3 +

(- 2) = 0 (-2; 0)

Para x = 0 y = f (0) = 3 +

(0) = 3 (0; 3)

Para x = 4 y = f (4) = 3 +

(4) = 9 (4; 9)

Dom(f) = Ran(f) =

SESIÓN N°10

GRÁFICA DE FUNCIONES

¿CÓMO RECONOCER SI UNA RELACION ES UNA FUNCION? EN UNA GRAFICA .- Una relación es una función si al trazar una recta perpendicular por cualquier parte de la gráfica, ésta solo se intersecta en un punto de ella. Veamos las relaciones cuyos gráficos son:

R

R

R 0 R-1 X 0 1

4

R

R

X

0

R

R

6

X0

(a) (b)

(c) (d)

R

R20

R

R4X

5

1

-3 0

(e) (f)

¿Cuáles de estas relaciones son funciones? Solución: Teniendo en cuenta la consideración anterior, decimos que las relaciones (a), (b), (d) y (f) son funciones y que las relaciones (c) y (e) no son funciones. Veamos por qué: Al trazar una recta perpendicular por cada una de las gráficas dadas, en las gráficas (a), (b), (d) y (f) dicha perpendicular toca solo un punto de cada una de ellas por lo tanto se trata de gráficas de funciones; en cambio en las gráficas (c) y (e) la recta perpendicular toca más de un punto por lo tanto éstas no son funciones pero si son gráficas de relaciones. Con todo lo mencionado estamos en condiciones de dar una definición. Una relación R entre A y B es llamada función si todo elemento del dominio de R tiene una y solo una imagen en B. (Rango) ¿Cuál será entonces el dominio y el rango de las funciones (a), (b), (d) y (f) de las gráficas analizadas anteriormente?

Considerando esta última definición, podemos hacer el siguiente análisis: Con (a) observamos que la función (o con más exactitud el gráfico de la función) se extiende infinitamente por la izquierda y por la derecha, además la función está definida en todo punto de la recta R.

Así el dominio Dom(f) Nº R = (- , ). Observamos también que la función toma solo valores positivos, desde valores cercanos a cero hasta valores muy grandes que es el rango de la

función Rang(f) = (o, ) Con (d): en este caso la función está definida en toda la recta y toma un solo valor, 6. Así D = No. Real y R = {6} Con (f) vemos que la función está definida en el intervalo [-3, 4] y con valores en el intervalo [ -1, 5]. Por lo tanto queda la función como:

Dom(f) = [-3, 4] y Rang(f) = [-1, 5]

EN UN DIAGRAMA SAGITAL.- Una relación es función cuando de cada punto del dominio sale solo una flecha. Ejemplo 1: Sean los conjuntos A = {2; 6; 9; 15}, B = {3; 6; 5} y la relación

R = { (6,3), (6,6), (9,3), (15,3), (15,5) } donde x A e y B entonces esta relación tiene el siguiente diagrama sagital:

2

6

9

15

3

6

5

BA

¿Qué podemos observar en este gráfico? Veamos: 1) Que el elemento 6 en A le corresponde dos elementos en B, que son 3 y 6. Esto es, 6 en A tiene dos imágenes en B. 2) Lo mismo sucede con el elemento 15 en A, el que tiene dos imágenes en B (que son 3 y 5): 3) Que el elemento 3 en B es imagen de 6, 9 y 15, así 3 es imagen de más de un elemento en A. 4) Que 2 en A no tiene ninguna imagen.

De estas observaciones resaltamos las dos primeras; así, que un elemento en A tiene más de una imagen en B. Concluimos diciendo que esta relación no es una función.

Ejemplo 2: Sea la relación definida por el siguiente diagrama:

A B

a

b

c

d

1

2

4

5

En este ejemplo observamos que los elementos de A tienen una sola imagen según R, a diferencia del ejemplo anterior en que podían tener más de una imagen. Esta última relación toma el nombre de función. FUNCIÓN CUADRÁTICA: Definición: Es una función con dominio el conjunto de lo números reales y cuya regla de

correspondencia es:

f(x) = ax2 + bx + c; a, b, c, ; a 0

Su gráfica es una parábola simétrica respecto a una recta vertical, llamada eje de simetría,

abierta hacia arriba si a > 0 hacia abajo si a < 0.

Nota Gráfica:

Sea la función y = ax2 + bx + c

D = Discriminante = b2 – 4ac

x

y

I.

-b/2a

x

VERTICEf(-b/2a)

1 x2

x

y

x

VERTICEf(-b/2a)

1x2

a > 0

D > 0

-b/2a

a < 0

D > 0

{x1; x2 } raíces de la ecuación cuando y = 0

x

y

II.

x1 x2= = - b/2a

a > 0

D > 0

x

y

x1 x2= = - b/2a

a < 0

D = 0

{x1; x2 } raíces iguales de la ecuación cuando y = 0

x

yIII.

f(-b/2a)

-b/2a

x

y

f(-b/2a)

-b/2a

a > 0 , D < 0 a < 0 , D < 0

En esta función cuando y = 0; los valores de “x” son números complejos.

EJERCICIOS

1. Sea la función: f: R R f(x) = 2x – 1

Indique su gráfica aproximada:

(x)

(y)a)

(x)

(y)b)

(x)

(y)c)

(x)

(y)d)

(x)

(y)e)

FUNCION VALOR ABSOLUTO

Es de la forma: y = f (x) = l x l = x, si x 0

-x, si x < 0

Cuyo Dom(f) = {R} = ; y el Rang(f) = {R+} = [ 0,

Notación: f = {(x, l x l) / x # R}

Para graficar la función valor absoluto y = f(x) = l x l 1ro. Hallamos los pares ordenados:

Si x = -2 y = f (-2) = l-2 l (-2, 2)

Si x = 1 y = f (-1) = l-1 l (-1, 1)

Si x = 0 y = f (0) = l 0 l (0, 0)

Si x = 1 y = f (1) = l 1 l (1, 1)

-3 -2 -1 0 1 2 3 X

Y

OPERACIONES CON FUNCIONES

1. Suma de funciones

xgxfxgf , gDomfDomgfDom )(

2. Diferencia de funciones

xgxfxgf , gDomfDomgfDom )(

3. Multiplicación de funciones

xgxfxfg . , gDomfDomgfDom ).(

4. División de funciones

xg

xfx

g

f

, gDomfDomgfDom )( 0)(/ xgx

5. Composición de funciones

,)()( xgfxgf )()()()( fDomxggDomxgfDom

,)()( xfgxfg )()()()( gDomxffDomxfgDom

Observación Las operaciones entre funciones están definidas siempre y cuando el dominio de las nuevas funciones sea distinto de vacío.

Ejemplos

1. Si ( ) 1 ( ) 2,f x x y g x x hallar ))(( xgf y ( )( )f

xg

Solución

Como ;1Dom f y Dom g , entonces:

;1Dom f g , ;1 2f

Domg

Luego:

21)()()( xxxgxfxgf

7321

2

1

)(

)()(

x

x

xg

xfx

g

f

2. Si 7,3,2)( xxxf y 3,0,4)( xxxg . Hallar )(xgf y )(xfg

Solución

a) )()()()( fDomxggDomxgfDom

7,343,0 xx

31

743

x

x

3,0)( gfDom 1 0 3

Por lo tanto:

xxxfxgfxgf 2)4(24)()(

b) )()()()( gDomxffDomxfgDom

3,027,3 xx

21

12

320

x

x

x

)( fgDom

Por lo tanto:

)(xfg no está definido.

EJERCICIOS

1) Dada las funciones:

,24)(13)( xxgyxxf hallar las operaciones siguientes:

a) ))(( xgf b) ))(( xgf c) ))(.( xgf d) ))(( x

g

f

xxf )( y ,123)( 2 xxxg hallar las operaciones siguientes

a) ))(( xgf

b) ))(( xgf

c) ))(.( xgf

d) ))(( xf

g

2) Sean las funciones:

2;63

2;42)(

xx

xxxf y

4;4

4;24)(

2

xx

xxxg

Hallar:

3 . 2 5)

2 2 6

g fa H

f g

2 . 6 12)

7 0/

f g g fb H

f g

3) Sean Las funciones:

1;256

1;46)(

2

xx

xxxf y

0;

0;24)(

2 xx

xxxg

Hallar: a)

3 2 2 1

3 3

/f g f gH

g f

1/ 2

3 . 2 2)

2

f g f gb H

f g g f

4) Si 9,5,4,0,5,1,2,3 f y 6,8,1,5,2,3,4,2g

Hallar: 2; ; . ; ; 3/f g f g f g f g f g

5) Sean las funciones:

2,3,4,0,5,1,2,2 f y 6,0,1,5,2,3,4,2g

Hallar:

(2) 2 (0)

4 (3)

/f g f gM

g f

6) Sean las Funciones

Hallar:

x

y( )g x

3

8

6 5

4

x

y( )f x

4

6

6 4

4

3

2

2

a) )6)((3

)0)((4)5.)(.(2

gf

gfgfE b)

)20)((5

)8)((2)15)((3

gf

gfgfE

7) En cada uno de los ejercicios, indicar el dominio de gf , fg y hallar su regla de

correspondencia si existe.

a) 4,1,4)( xxxf y 5,0,12)( xxxg

b) 7,1,33)( xxxf y ( ) 12, 2;4g x x x

c) 8,3,1)(2

xxxf y ( ) 3 , 5;2g x x x

EJERCICIOS

I. Determinar las intersecciones con los ejes coordenados, dominio, rango y gráfica de las siguientes funciones:

1. 5)( xf

2. 2)( xf

3. 32)( xxf

4. xxf 41)(

5. xxf 4)(

6. 5)( xxf

7. 13)( xxf

8. 262)( xxf

9. xxf 41)(

10. 3)( xxf

11. xxf 32)(

12. x

xf2

1)(

13. 1

3)(

xxf

14.

64,

44,23)(

xsix

xsixxf

15.

6;61

61; 1

1; 34

)(

xx

x

xx

xf

16.

4203

424126

220

)(

x ;x-

x- ;x--

-x ;

xf

17.

2;10

20;6

0;4

)(

x

xx

x

xf

II. Determine las intersecciones con los ejes coordenados, también pruebe la simetría con respecto al eje x, al eje y y al origen No haga el bosquejo de la gráfica.

a) xy 3

b) 122 yx

c) 1 xy

d) 44 22 xy

e) 22yx

f) 5

3

xy

g) 022 yxyx

h) 252 xy

i) 6

42

x

y

j) 3xy