Unidad III

Ing. Vanessa Borjas

Es una estructura discreta utilizada en

matemáticas para representar las relaciones

entre elementos de dos o más conjuntos.

Una Relación Binaria de A en B es un

subconjunto de AXB y sus elementos son pares

ordenados. Se representa por la letra R y

matemáticamente se expresa por:

R = {(a, b) | aA, bB, R AxB}

Tip

os

de

Re

lac

ion

es

Relaciones Binarias

Relaciones entre 2 conjuntos.

Relación binaria de A en B (conjuntos distintos).

Relación binaria de A en A.

Relaciones n-arias

Relaciones entre más de dos conjuntos.

R = {(a, b) | aA, bB, R AxB}

R = {(a, b) | aA, bA, R AxA}

R = = {(a, b, c,…n) | aA, bB, cC,….nN, R AxBxCx….N}

En algunos casos la relación de A en B

se puede denotar por:

aRb

lo cual expresa que el par (a, b) R.

Se dice que a está relacionado con b

mediante R.

Si el par (a, b) R, se denota por

a|Rb.

Sean los conjuntos

A = {0, 1, 2} B = {a, b}

Entonces, se puede definir el

subconjunto de pares ordenados

R1 = {(0, a), (0, b), (1, a), (2, b)}

como una relación de A en B.

Sea A = {1, 2, 3, 4}.

Qué pares ordenados están en la relación:

R = {(a, b) | el elemento a divide al elemento b}

Como (a, b) esta en R si, y solo si, a y b son enteros positivos menores o iguales a 4 tales

que a divide a b, se tiene que:

R = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,4), (3,3), (4,4)}

Considérense las siguientes relaciones en el conjunto de enteros: R1 = {(a, b)| a b} R2 = {(a, b)| a > b} R3 = {(a, b)| a = b o a = -b} R4 = {(a, b)| a = b} R5 = {(a, b)| a = b+1} R6 = {(a, b)| a+b 3} En cuales relaciones están contenidos lo

pares: (1,1), (1,2), (2,1), (1,-1), (2,2)

Solución:

El par (1,1) esta en R1, R3, R4 y R6

El par (1,2) esta en R1 y R6

El par (2,1) esta en R2, R5 y R6

El par (1,-1) esta en R2, R3 y R6

El par (2,2) esta en R21, R3 y R4

RELACIONES REFLEXIVAS

Una relación R en un conjunto A es

reflexiva si

(a, a) R para cada elemento a A.

Es decir, si la relación tiene pares

formados por el mismo elemento de A

en ambas posiciones del par ordenado.

R1 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3),

(4,1), (4, 4)}

R2 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (4,1), (4,

4)}

R1 es reflexiva ya que tiene los elementos

(1, 1), (2, 2), (3, 3) y (4, 4).

R2 no es reflexiva ya que no tiene el elemento

(3, 3).

RELACIONES SIMÉTRICAS

Una relación R en un conjunto A es simétrica si para cualquier elemento

(a, b) A se tiene que (b, a) R siempre que (a, b) R.

Es decir si la relación tiene pares

formados por elementos distintos de A en ambas posiciones del par ordenado.

R1 = {(1,1), (1,2), (2,1)}

R2 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3),

(4,1), (4, 4)}

R1 es simétrica porque al estar (1,2)

también está (2,1).

R2 es simétrica porque al estar (1,2)

está (2,1), al estar (1,4) está (4,1).

RELACIONES ANTISIMÉTRICAS

Una relación R en un conjunto A es antisimétrica si para cualquier elemento (a, b) A se tiene que (a, b) R y (b, a)

R solo si a = b.

Es decir si la relación no tiene pares formados por elementos distintos de A en ambas posiciones del par ordenado.

R1 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)}

R2 = {(3,4)}

R1 es antisimétrica porque al estar

(2,1) no está (1,2) o al estar (3,1) no está

(1,3) entre otros.

R2 es antisimétrica porque al estar

(3,4) no está (4,3)

Puesto que las relaciones de A en B son

conjuntos del producto cartesiano AXB,

dos o mas relaciones se pueden asociar

aplicando las operaciones conocidas para

combinar conjuntos.

Sean A = {1, 2, 3} y B = {1, 2, 3, 4}, de los cuales se tienen las relaciones:

R1 = {(1,1), (2,2), (3,3)} R2 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4)}

Obtener las combinaciones de R1 y R2: R1 U R2 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (3,3)} R1 ∩ R2 = {(1,1)} R1 – R2 = {(2,2), (3,3)} R2 – R1 = {(1,2), (2,3), (1,4)} R2 R1 = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (3,3)}

Las relaciones se representan

gráficamente por matrices binarias y

a través de las operaciones de

matrices binarias se pueden resolver

las combinaciones de relaciones.

Representar por matrices las relaciones

R1 = {(1,1), (2,2), (3,3)}

R2 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4)}

Y obtener las soluciones R1UR2, R1∩R2 y

R2R1 a través de matrices.

1 2 3 4

1 1 0 0 0

2 0 1 0 0

3 0 0 1 0

MR1 =

1 2 3 4

1 1 1 1 1

2 0 0 0 0

3 0 0 0 0

MR2 =

Representación matricial de las relaciones

R1 y R2:

1 2 3 4

1 1 0 0 0

2 0 1 0 0

3 0 0 1 0

MR1 =

1 2 3 4

1 1 1 1 1

2 0 0 0 0

3 0 0 0 0

MR2 =

1 2 3 4

1 1 1 1 1

2 0 1 0 0

3 0 0 1 0

MR1 U MR2 =

MR1 U MR2 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (3,3)}

MR1 U MR2

1 2 3 4

1 1 0 0 0

2 0 1 0 0

3 0 0 1 0

MR1 =

1 2 3 4

1 1 1 1 1

2 0 0 0 0

3 0 0 0 0

MR2 =

1 2 3 4

1 1 0 0 0

2 0 0 0 0

3 0 0 0 0

MR1∩MR2 =

MR1∩MR2 = {(1,1)}

MR1 ∩ MR2

1 2 3 4

1 1 0 0 0

2 0 1 0 0

3 0 0 1 0

MR1 =

1 2 3 4

1 1 1 1 1

2 0 0 0 0

3 0 0 0 0

MR2 =

1 2 3 4

1 0 1 1 1

2 0 1 0 0

3 0 0 1 0

MR1R2 =

MR1R2 = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (3,3)}

MR1 MR2