Árbol binarioElaborado por

Ricardo Cárdenas cruz

Jeremías Martínez Guadarrama

Que es un árbol

Introducción

• Un Árbol Binario es un conjunto finitode Elementos, de nombre Nodos deforma que:

El Árbol Binario es Vació si no tiene ningún elemento enel.

El Árbol Binario contiene un Nodo Raíz y los dos queparten de él, llamados Nodo Izquierdo y Nodo Derecho.

Los Árboles tiene 3 Recorridos Diferentes los cuales son:Pre-Orden In-Orden Post-Orden Pre-Orden

• Definición: • El Recorrido “Pre-Orden” lo recorre de la siguiente

manera, viaje a través del Árbol Binariodesplegando el Contenido en la Raíz, despuésviaje a través del Nodo Izquierdo y después através del Nodo Derecho.

• Detalle: • Temp toma el Valor de la Raíz y compara si el

Árbol tiene algún Elemento, de otra maneraDesplegara “Árbol Vació…” y terminara el método.Si el Árbol tiene elementos dentro de él, lorecorrerá y viajara a través de los Arreglos Izq yDer para determinar que valor meter en la Pila yen Temp para de esta manera imprimir elsiguiente Elemento correspondiente.

• In-Orden

• El Recorrido “In-Orden” lo recorre de la siguiente manera, viaje a través del Árbol Binario desplegando el Contenido en el Nodo Izquierdo después la Raíz y finalmente viaja a través del Nodo Derecho.

• Detalle:

• Temp toma el Valor de la Raíz y compara si el Árbol tiene algún Elemento, de otra manera Desplegara “Árbol Vació…” y terminara el método. Si el Árbol tiene elementos dentro de él, lo recorrerá y viajara a través de los Arreglos Izq y Der para determinar que valor meter en la Pila y en Temp para de esta manera imprimir el siguiente Elemento correspondiente.

• Operaciones básicas• Una tarea muy común a realizar con un árbol es

ejecutar una determinada operación con cada uno delos elementos del árbol. Esta operación se consideraentonces como un parámetro de una tarea másgeneral que es la visita de todos los nodos o, como sedenomina usualmente, del recorrido del árbol.

• Si se considera la tarea como un proceso secuencial,entonces los nodos individuales se visitan en un ordenespecífico, y pueden considerarse como organizadossegún una estructura lineal. De hecho, se simplificaconsiderablemente la descripción de muchosalgoritmos si puede hablarse del proceso del siguienteelemento en el árbol, según un cierto ordensubyacente.

Diagrama:

• Búsqueda

• Definición:

• La Búsqueda es Similar a todas los Métodos anteriores de Búsqueda, simplemente efectúa un recorrido comparando el Elemento que deseas encontrar contra cada uno de los Elementos en los Arreglos.

• Detalle:

• El Algoritmo de Búsqueda compara el Elemento a buscar con cada uno de los datos de nuestro Árbol, compara si el Elemento con el Nodo Raíz, si no se encuentra en la Raíz… compara Elemento contra la Raíz para empezar a viajar por el Árbol respectivamente, usa un método similar al anterior hasta encontrar el Elemento. De otra forma la búsqueda es fallida.

• Un árbol binario puede definirse como un árbol que en cada nodo puede tener como mucho grado 2,es decir, a lo más 2 hijos. Los hijos suelen denominarse hijo a la izquierda e hijo a la derecha, estableciéndose de esta forma un orden en el posicionamiento de los mismos.

• Todas las definiciones básicas que se dieron para árboles generales permanecen inalteradas sin más que hacer las particularizaciones correspondientes.En los árboles binarios hay que tener en cuenta el orden izqda-drcha de los hijos.Por ejemplo:los árboles binarios a) y b) de la figura 1(adoptamos el convenio de que los hijos a la izquierda son extraídos extendiéndonos hacia la izquierda y los hijos a la derecha a la derecha) son diferentes,puesto que difieren en el nodo 5.El árbol c por convenio se supone igual al b) y no al a).

2. EL TIPO DE DATO ABSTRACTO ARBOL BINARIO.

• Para construir el TDA Arbol Binario bastaría con utilizar las primitivas de los árboles generales pero dado la gran importancia y peculiaridades que tienen este tipo de árboles, construiremos una serie de operaciones específicas. Consideraremos las siguientes:

• CREAR(e,Ti,Td).Devuelve un árbol cuya raíz contiene la etiqueta e asignando como hijo a la izquierda Ti y como hijo a la derecha Td.

• DESTRUIR(T).Libera los recursos que mantienen el árbol T de forma que para volver a usarlo se debe asignar un nuevo valor con la operación de creación.

3. Árbol binario de búsqueda..

• Los árboles binarios se utilizan frecuentemente para representar conjuntos de datos cuyos elementos se identifican por una clave única. Si el árbol está organizado de tal manera que la clave de cada nodo es mayor que todas las claves su subarbolizquierdo, y menor que todas las claves del subarbol derecho se dice que este árbol es un árbol binario de búsqueda.

Operaciones básicas

• Una tarea muy común a realizar con un árbol es ejecutar una determinada operación con cada uno de los elementos del árbol. Esta operación se considera entonces como un parámetro de una tarea más general que es la visita de todos los nodos o, como se denomina usualmente, del recorrido del árbol.

• Clasificación de Arboles Binarios

• Existen cuatro tipos de árbol binario:.

• Arbol Binario Distinto.

• Arbol Binario Similares.

• Arbol Binario Equivalentes.

• Arbol Binario Completos.

• Árbol Binario Distinto• Se dice que dos árboles binarios son distintos cuando sus

estructuras son diferentes. • Árbol Binario Similar• Dos arboles binarios son similares cuando sus estructuras

son idénticas, pero la información que contienen sus nodos es diferente.

• Árbol Binario Equivalente• Son aquellos arboles que son similares y que además los

nodos contienen la misma información. Ejemplo: • Árbol Binario Completo• Son aquellos arboles en los que todos sus nodos excepto

los del ultimo nivel, tiene dos hijos; el subarbol izquierdo y el subárbol derecho.

• La idea tras los árboles-B es que los nodos internos deben tener un número variable de nodos hijo dentro de un rango predefinido. Cuando se inserta o se elimina un dato de la estructura, la cantidad de nodos hijo varía dentro de un nodo. Para que siga manteniéndose el número de nodos dentro del rango predefinido, los nodos internos se juntan o se parten.

• Un árbol-B se mantiene balanceado porque requiere que todos los nodos hoja se encuentren a la misma altura.

• Los árboles B tienen ventajas sustanciales sobre otras implementaciones cuando el tiempo de acceso a los nodos excede al tiempo de acceso entre nodos. Este caso se da usualmente cuando los nodos se encuentran en dispositivos de almacenamiento secundario como los discos rígidos.

• Cada nodo tiene como máximo M hijos.• Cada nodo (excepto raíz y hojas) tiene como

mínimo M/2 hijos.• La raíz tiene al menos 2 hijos si no es un nodo

hoja.• Todos los nodos hoja aparecen al mismo nivel.• Un nodo no hoja con k hijos contiene k-1

elementos almacenados.• Los hijos que cuelgan de la raíz (r1, ···, rm) tienen

que cumplir ciertas condiciones: – El primero tiene valor menor que r1.– El segundo tiene valor mayor que r1 y menor que r2,

etc.– El último hijo tiene valor mayor que rm.