arboles binarios

Estructuras de Datos

Ricardo Ruiz Rodrguez

67

Captulo 6. RBOLES.

6.1 rboles binarios. Un rbol binario es un conjunto finito de elementos, el cual est

vaco o dividido en tres subconjuntos separados:

El primer subconjunto contiene un elemento nico llamado raz del rbol.

El segundo subconjunto es en s mismo un rbol binario y se le conoce como subrbol izquierdo del rbol original.



68

El tercer subconjunto es tambin un rbol binario y se le conoce como subrbol derecho del rbol original.

El subrbol izquierdo o derecho puede o no estar vaco.

Cada elemento de un rbol binario se conoce como nodo del

rbol.

La Ilustracin 2 muestra una representacin de un rbol binario.

Ejercicio: Una lista podra ser un rbol binario? Una lista

doblemente enlazada? Por qu? Qu otros ejemplos podran o no

considerarse como rboles binarios?



69

Ilustracin 2 rbol binario. Si B es la raz de un rbol binario y D es la raz del subrbol

izquierdo/derecho, se dice que B es el padre de D y que D es el

hijo izquierdo/derecho de B.



70

A un nodo que no tiene hijos, tal como A o C de la Ilustracin

2, se le conoce como hoja.

Un nodo n1 es un ancestro de un nodo n2 (y n2 es un

descendiente de n1) si n1 es el padre de n2 o el padre de algn

ancestro de n2.

Recorrer un rbol de la raz hacia las hojas se denomina

descender el rbol y al sentido opuesto ascender el rbol.

Un rbol estrictamente binario es aquel en el que cada nodo

que no es hoja, tiene subrboles izquierdo y derecho que no estn

vacos.



71

Un rbol estrictamente binario con n hojas siempre contiene

2n-1 nodos.

El nivel de un nodo en un rbol binario se define del modo

siguiente:

1.La raz del rbol tiene el nivel 0.

2.El nivel de cualquier otro nodo en el rbol es uno ms que el

nivel de su padre.

La profundidad o altura de un rbol binario es el mximo

nivel de cualquier hoja en el rbol.



72

Un rbol binario completo de profundidad p, es un rbol

estrictamente binario que tiene todas sus hojas en el nivel p.

6.2 Operaciones en rboles binarios. Se aplican varias operaciones primitivas a un rbol binario.

Si p es un apuntador a un nodo nd de un rbol binario:

1.La funcin info(p) regresa el contenido de nd.

2.La funcin left(p) regresa un apuntador al hijo izquierdo de

nd.

3.La funcin right(p) regresa un apuntador al hijo derecho de

nd.



73

4.La funcin father(p) regresa un apuntador al padre de nd.

5.La funcin brother(p) regresa un apuntador al hermano de nd.

6.La funcin isLeft(p) regresa true si nd es un hijo izquierdo de

algn otro nodo en el rbol, y false en caso contrario.

7.La funcin isRight(p) regresa true si nd es un hijo derecho de

algn otro nodo en el rbol, y false en caso contrario.

En la construccin de un rbol binario son tiles las

operaciones:



74

1.makeTree(x) crea un nuevo rbol que consta de un nodo

nico con un campo de informacin x, y regresa un apuntador

a este nodo.

2.setLeft(p, x) crea un nuevo hijo izquierdo de node(p) con el

campo de informacin x.

3.setRight(p, x) crea un nuevo hijo derecho de node(p) con el

campo de informacin x.

6.3 Aplicaciones de rboles binarios. Un rbol binario es una estructura de datos til cuando deben

tomarse decisiones en dos sentidos en cada punto de un proceso.



75

Suponga que se desea encontrar todos los duplicados de una

lista de nmeros.

Considrese lo siguiente:

1.El primer nmero de la lista se coloca en un nodo que se ha

establecido como la raz de un rbol binario con subrboles

izquierdo y derecho vacos.

2.Cada nmero sucesivo en la lista se compara con el nmero

en la raz, aqu se tienen 3 casos:

a. Si coincide, se tiene un duplicado.

b.Si es menor, se examina el subrbol izquierdo.



76

c. Si es mayor, se examina el subrbol derecho.

3.Si alguno de los subrboles esta vaco, el nmero no es un

duplicado y se coloca en un nodo nuevo en dicha posicin del

rbol.

4.Si el subrbol no est vaco, se compara el nmero con la raz

del subrbol y se repite todo el proceso con el subrbol.

Un rbol binario de bsqueda (ABB) no tiene valores

duplicados en los nodos y adems, tiene la caracterstica de que:

1.Los valores en cualquier subrbol izquierdo son menores que

el valor en su nodo padre.



77

2.Los valores en cualquier subrbol derecho son mayores que el

valor en su nodo padre.

El rbol binario de bsqueda de la Ilustracin 3 fue construido

dada la siguiente secuencia de elementos:

14, 15, 4, 9, 7, 18, 3, 5, 16, 4, 20, 17

Ejercicio: realice la insercin de los elementos anteriores y

compare su rbol con el de la Ilustracin 3.

Una operacin comn es recorrer todo un rbol binario en un

orden especfico.



78

Ilustracin 3 rbol binario de bsqueda. A la operacin de recorrer un rbol de una forma especfica y

de numerar sus nodos, se le conoce como visitar el rbol

(procesar el valor del nodo).



79

Ejercicio: Cul es el orden natural de recorrido de una lista?

Cul sera el orden natural de recorrido de un rbol?

En general, se definen tres mtodos de recorrido de un rbol

binario.

Antes de presentarlos se debern tener en mente las siguientes

consideraciones:

1.No se necesita hacer nada para un rbol binario vaco.

2.Todos los mtodos se definen recursivamente.

3.Siempre se recorren la raz y los subrboles, la diferencia

radica en el orden en que se visitan.



80

Para recorrer un rbol binario no vaco en orden previo (orden

de primera profundidad) se ejecutan tres operaciones:

1.Visitar la raz.

2.Recorrer el subrbol izquierdo en orden previo.

3.Recorrer el subrbol derecho en orden previo.

Para recorrer un rbol binario no vaco en orden (orden

simtrico) se ejecutan tres operaciones:

1.Recorrer el subrbol izquierdo en orden.

2.Visitar la raz.



81

3.Recorrer el subrbol derecho en orden.

Para recorrer un rbol binario no vaco en orden posterior se

ejecutan tres operaciones:

1.Recorrer el subrbol izquierdo en orden posterior.

2.Recorrer el subrbol derecho en orden posterior.

3.Visitar la raz.

Ejercicios a desarrollar con rboles:

1.Ordenamiento de nmeros e identificacin de elementos

repetidos almacenados en una lista.



82

2.rboles de expresiones.

3.Determinar el nmero de nodos de un rbol binario.

4.La suma de todos los nodos.

5.La profundidad de un rbol binario.

6.Determinar si un rbol binario es o no estrictamente binario.

7.Determinar si un rbol binario es o no completo de nivel p.

6.4 Eliminacin de un ABB. La eliminacin es el problema inverso a la insercin, sin

embargo, las cosas no son tan sencillas como para la insercin.



83

Si el nodo que se pretende eliminar es un nodo hoja o un nodo

con un solo descendiente, la eliminacin es directa.

La dificultad radica en la eliminacin de un nodo con dos

descendientes. En este caso, el elemento eliminado ser substituido

por el descendiente ms a la derecha de su subrbol izquierdo (o

bien por el descendiente ms a la izquierda de su subrbol

derecho).

Obsrvese que estos nodos substitutos tienen a lo ms, un

descendiente.

Lo anterior queda mejor representado en la Ilustracin 4.



84

Ilustracin 4. Eliminacin de un ABB.



85

Ejercicio: En base al proceso descrito con anterioridad, inserte

en un ABB los nmeros: 9, 18, 10, 2, 6, 21, 8, 1, 7. Despus

elimine los nmeros 21, 18 y 9.

Ejercicio: Realice la implementacin de la eliminacin de

nodos en un ABB, considere los tres casos previstos:

1.Eliminacin de nodos hojas.

2.Eliminacin de nodos con un solo hijo.

3.Eliminacin de nodos con dos hijos (implemente el esquema

de substitucin del hijo ms a la derecha del subrbol

izquierdo).

arboles binarios

Documents

Transcript of arboles binarios