Árboles Binarios

Principios de Computadoras II

Árboles Binarios

Departamento de Ingeniería Electrónica y ComputadorasUniversidad Nacional del Sur

Ricardo [email protected]

Principios de Computadoras IIArboles BinariosRicardo Coppo

2Universidad Nacional del Sur

Definición conceptual de árbol binario� Un árbol binario es una estructura de información

compuesta por colección o conjunto de nodos y arcos que forman una estructura jerárquica

� Posee una raíz de la cual dependen a lo sumo 2 subárboles no vacíos

� Cada subárbol posee una arista única que lo une con la raíz.

� Los nodos que no poseen subárboles dependientes se denominan “hojas” del árbol.



Ejemplo gráficoRaíz

Subárbolderecho

Subárbolizquierdo

La raíz puede estar vacía

Existe unarelación de“paternidad”



Definición recursiva� Formalmente un árbol binario se puede definir

de manera recursiva como sigue:

� Una estructura vacía es un árbol (árbol vacío)

� Sean A1 y A2 árboles disjuntos con raíces r1 y r2 respectivamente. Entonces, la estructura formada con un nodo r, que posee como hijos a A1 y A2 también es un árbol



Ejemplo

A1 A2



Ejemplo

A1 A2

A11 A12 A21 A22



Definiciones� Un “camino” entre un nodo n1 y nk se define como

una secuencia de nodos n1, n2, …, nk tal que ni es el padre de ni+1 para 1



Definiciones� Si hay un camino del nodo u al nodo v, entonces v

es “descendiente” de u.

� Si además u ≠ v entonces v es “descendiente propio” de u.

� De forma similar se puede definir “ascendiente” y “ascendiente propio”



Definiciones� Un nodo que no tiene hijos es una “hoja” del árbol

� Dos nodos que tienen al mismo padre son “hermanos”

� Se pueden definir otras relaciones de parentesco como “tíos”, “abuelos”, etc.



Definiciones� Para cualquier nodo ni, la “profundidad” de ni es la

longitud del camino desde la raíz hasta ni

� La “altura” de ni está dado por el camino más largo del nodo ni hasta una hoja (las hojas son de altura 0)

� La “altura” de un árbol es la altura de la raíz



Propiedades especiales� La cantidad máxima de hojas que puede tener un

árbol binario depende de la altura del mismo

� Altura 0 (árbol vacío) Hojasmax = 0� Altura 1 (raíz solo) Hojasmax = 2

1-1 = 1� Altura 2 Hojasmax = 2

2-1 = 2� Altura 3 Hojasmax = 2

3-1 = 4

� Altura h Hojasmax = 2h-1

En un árbol general no se puede calcular este valor



Árbol Binario (Implementación)Descripción del nodo

del árbol



Árbol Binario (Implementación)La clase principal



Árbol Binario (prueba)



Árbol Binario de Búsqueda(Binary Search Tree – BST)

� Un árbol binario de búsqueda es un árbol binario que además presenta las siguientes propiedades:

� Los valores o nodos contienen elementos que pueden ser ordenados de alguna manera (enteros, cadenas de caracteres, u otro orden definido por el programador).

� Para cada nodo del árbol que almacena un elemento v, todos los elementos xv se encuentran el en subárbol derecho.

� En principio se evita el almacenamiento de valores duplicados eneste tipo de árbol.



Arboles binarios de búsquedaK

A P

N R

45

35 99

22 37

En este tipo de árbol se evita almacenar valores re petidos.



Árboles Binarios de Búsqueda� Si el árbol se encuentra balanceado, los algoritmos de

búsqueda son muy eficientes O(log n).� En el peor caso se comporta como una lista enlazada

� Los algoritmos de determinación del mínimo y máximo elemento almacenado también son muy eficientes.

� Recorrer siempre a la derecha o a la izquierda hasta encontrar una hoja

� Debido a la velocidad de la búsqueda se puede definir un método “contiene(x)” o “pertenece(x)” que dado un valor x, determina si se encuentra o no en el árbol.



Árbol Binario de Búsqueda



Árbol Binario de BúsquedaImplementación



Implementación



Árbol Binario de Búsqueda



Implementación



Árbol Binario de Busqueda: Eliminación

Eliminar una hoja del árbol



Árbol Binario de Búsqueda: Eliminación

Eliminar un nodo con un solo hijo



Implementación

Sigue…

REVIS

AR!!



Implementación

Sigue…



Árbol de Búsqueda BinariaEliminación



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