radiacion electromagnetica

Electromagnetismo 2004 10-1

Juan C. Fernndez - Departamento de Fsica Facultad de Ingeniera Universidad de Buenos Aires www.fi.uba.ar

Introduccin En los captulos precedentes analizamos las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en un re-cinto sin fuentes de campo, que constituyen ondas electromagnticas. En tales casos se supona que las fuentes se hallaban fuera del recinto de integracin. En este captulo analizaremos las soluciones de las ecuaciones de Maxwell cuando las fuentes del campo se hallan dentro del re-cinto de integracin. De esta forma se determina la relacin entre el campo y sus fuentes, es de-cir, se describe el proceso de generacin de energa electromagntica radiante. El problema de la radiacin electromagntica tiene importancia prctica a altas frecuencias. En sistemas de potencia es de relevancia en situaciones de sobrecarga o desbalanceo transitorios, cada de rayos, y como factor de interferencia electromagntica sobre otros equipos o instalacio-nes. En comunicaciones inalmbricas, los sistemas radiantes se basan en estos principios. Final-mente, son de inters actual las consecuencias biolgicas y ambientales de los campos electro-magnticos, fundamentalmente en relacin a los eventuales efectos perjudiciales que las instala-ciones elctricas puedan tener sobre la salud humana y el medio ambiente.

Resolucin de las ecuaciones de Maxwell en el vaco con fuentes

En el vaco:

),(),(),(

0),(),(

0),(

),(),(

0

0

0

tt

tt

ttt

t

tt

rjrErH

rHrE

rH

rrE

=

=

+

=

=

Para resolver estas ecuaciones inhomogneas, es conveniente introducir los llamados potenciales electrodinmicos, que surgen de las propiedades de los campos:

Como 0),( = trH ),(1),(

0

tt rArH =

A es el llamado potencial vectorial electrodinmico1.

Entonces: 0),(),( 0),(),( 0 =

+=

+ tttt rA

trE

trHrE

Luego: 0),(),( =

+trArE tt

de modo que el campo dentro del corchete se puede escribir como el gradiente de un potencial

escalar: ),(),(),( ttt rtrArE =

+

trArrE

=

),(),(),( ttt

es el llamado potencial escalar electrodinmico2.

1 Ntese que este potencial vectorial electrodinmico coincide con el potencial vectorial magntico que hemos visto

previamente en el caso esttico cuando los campos no dependen del tiempo. 2 Tambin el potencial escalar electrodinmico coincide con el potencial electrostrtico cuando los campos no de-

penden del tiempo.

10 - Radiacin Electromagntica



Ejemplo 10.1: Analizar la unicidad en la seleccin de los potenciales electrodinmicos. Como se define el potencial vectorial a partir de: 0/),(),( = tt rArH se ve que puede escribirse tambin: [ ] 0/),(),(),( ttt rrArH += donde ),( tr es un campo escalar diferenciable cualquiera, ya que el rotor de un gradiente siempre es cero. Entonces el poten-cial vectorial no es nico, sino que est definido a menos del gradiente de un campo escalar. Si tomamos entonces: ),(),(),( ttt rrArA +=

queda para el campo elctrico: tr

trAr

trArrE

=

=),(),(),(),(),(),( tttttt

o sea: trA

trrrE

+=),(),(),(),( tttt

de manera que si tomamos los potenciales electrodinmicos:

trrr

rrArA

=

+=),(),(),(

),(),(),(ttt

ttt

llegamos a las mismas expresiones de los campos que antes. La funcin es arbitraria, y su eleccin se conoce como una calibracin o gauge. Las leyes fsicas deben ser invariantes frente a una transformacin de calibracin. Las modernas teoras de gauge en la descripcin de las interacciones elementales han creado una nueva visin de la fsica.

Los potenciales electrodinmicos (r,t) y A(r,t) permiten obtener los campos. Veamos cmo se escriben las ecuaciones de Maxwell para estos potenciales:

jAArjrErH

AArrE

=

+

+=

=

+=

+=

ttt

ttt

tttt

00

0

0

2

00

1 ),(),(),(

),(),(

de donde:

( ) jAAAjAAA 022

22

202

2

222 11 11 =

+

+=

+

+tctctctc

Todo campo vectorial queda unvocamente definido si se dan su divergencia y su rotor. En el caso del potencial vectorial A se conoce el rotor (que es H) pero las ecs. de Maxwell no dan nin-guna condicin sobre su divergencia. Es as que podemos elegirla de la forma ms conveniente para resolver el problema. Esta eleccin arbitraria se llama una calibracin, como se mencion en el Ejemplo 10.1. En nuestro caso, las ecuaciones diferenciales para los potenciales electrodinmicos se simplifi-

can si usamos la calibracin de Lorentz: 012 =

+tcA

de donde queda:

),(),(1),( ),(),(1),( 022

22

02

2

22 tt

tcttt

tct rjrArArrr

=

=

que son ecuaciones vectoriales de DAlembert inhomogneas. La solucin de estas ecuaciones inhomogneas son las siguientes (APENDICE 7):

=

=VV

dVR

ttdVR

tt ),(4

),( ),(4

1),( 0

0

rjrArr

con: cRttR / == rr

Se ve de estas expresiones que los potenciales en un punto r del espacio y en el instante t dependen de lo que ocurri en las fuentes en un instante ante-rior t. Por esta razn se lla-man potenciales retardados.



Este retardo surge del valor finito de propagacin de la luz en el vaco, que da lugar a un interva-lo entre el momento que se da un cambio en la fuente y el momento en que se observa el corres-pondiente cambio en el campo lejano observado. Los cambios se propagan en forma ondulatoria con velocidad c. Estas ecuaciones representan la generacin de ondas electromagnticas a partir de sus fuentes. Estas ondas transportan energa desde las fuentes hacia otros sistemas.

De la expresin de A se observa que existe generacin de ondas cuando la corriente depende del tiempo. Si la corriente es estacionaria, no existe generacin de ondas. Una corriente estacionaria (independiente del tiempo) implica que las cargas se hallan en movimiento uniforme. Una co-rriente no estacionaria implica cargas aceleradas.

Parmetros bsicos de las antenas

Su objetivo es enviar o recibir energa y/o informacin a distancia en forma de ondas electro-magnticas. Se puede pensar una antena como un dispositivo de adaptacin de impedancias entre la lnea o gua de alimentacin y el espacio. En las siguientes secciones presentamos los parme-tros bsicos que describen el comportamiento de las antenas. Resistencia de radiacin Cuando la antena acta como emisora, enva energa al espacio que la rodea. Se puede modeli-zar esta cesin de energa con una analoga circuital donde la energa radiada se supone disipada por efecto Joule en una resistencia de radiacin.

Diagrama de radiacin Un parmetro importante de una antena es la distribucin espacial de la radiacin que emite. Sabemos que mediante interferencia de radiadores coherentes podemos obtener una distribucin no uniforme de la radiacin. Esto permite lograr guiar ondas an el espacio libre sin contornos. Las grficas de campo o densidad de potencia radiada segn las direcciones del espacio son los llamados diagramas de radiacin. Estos diagramas tambin describen las propiedades anistro-pas de recepcin de antenas receptoras, de manera que son caractersticas de gran inters en el diseo de un enlace de radiocomunicaciones.Habitualmente el diagrama de radiacin de una an-tena es un diagrama tridimensional o un grupo de secciones sobre planos que definan las caracte-rsticas de la antena. Normalmente se trata de un diagrama en coordenadas esfricas y secciones sobre planos horizon-tales (a constante) o verticales (a constante). En la figura se muestran diagramas polares horizontales del campo y la densidad de potencia radiados por un arreglo de radiadores ubicados sobre el eje vertical.

Generador Onda guiada

Antena Generador Onda guiada

R Radiacin

Onda libre

Se concluye entonces que slo cargas aceleradas emiten ondas electromagn-ticas, mientras que cargas en movimiento uniforme no emiten radiacin.

Una antena es un transductor entre una onda guiada y una onda en el espacio libre.



Tambin se pueden dibujar los diagramas en coordenadas cartesianas, con ordenada proporcional a la amplitud del campo o a la densidad media de potencia radiada, en escala normal o en escala logartmica (en dB), como se ilustra en las siguientes figuras para el mismo sistema de las grfi-cas polares.

Se observa que el diagrama de radiacin consiste en una serie de lbulos. Se ve adems que (en general) el diagrama de radiacin de campo revela con ms detalle la estructura lobular de la radiacin, aunque el diagrama de densidad de potencia describe en forma ms realista la distri-bucin anisotrpica de la energa radiada. En lo que sigue en esta seccin, nos referiremos al diagrama de potencia. Hay lbulos principales, en las direcciones de mxima radiacin, y lbulos secundarios, que se hacen ms evidentes en los diagramas logartmicos. El lbulo se define por su amplitud y su ancho de haz de potencia media para el cual la densidad de potencia cae a la mitad del valor mximo para el lbulo (y los campos a 2/1 ). En muchos casos la antena produce una polarizacin no lineal, y se pueden dar los diagramas de radiacin para cada componente de polarizacin o un diagrama de potencia, que grafica el mdu-lo del vector de Poynting (para el campo completo) en funcin de la direccin (,). Habitual-mente los diagramas de potencia se normalizan a la densidad mxima.

Potencia media radiada

El vector de Poynting medio emitido por la antena ser: ( )*Re21 HEN >=<

30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

Diagrama de campo Diagrama de potencia

(grados) (grados)



La potencia media radiada por la antena se calcula mediante el flujo del vector de Poynting a travs de una superficie cerrada que contiene a la antena:

= S dsP nN La superficie de integracin es cualquiera. Supongamos, por ejemplo, que tomamos a S1 como superficie de inte-gracin, y obtenemos un valor 1P . Si luego tomamos otra superficie S2 que contiene a S1, obtendremos en prin-cipio otro valor 2P . Pero el espacio entre S1 y S2 es va-co, es decir, no contiene fuentes (otros radiadores) ni su-mideros (por ejemplo, cuerpos conductores) de energa electromagntica. Por lo tanto la potencia que cruza S1 debe ser la misma que cruza S2. De esta forma demostra-

mos que la superficie de integracin puede ser cualquiera y entonces se elige por conveniencia matemtica una esfera centrada en el centro de la antena:

>===< donde Ei es la amplitud del cam-

po incidente. Por otra parte, este campo incidente inducir una fem LEV i sobre la antena, don-

de L es su longitud. Se puede entonces pensar en un circuito equivalente como el de la figura, donde ZA es la impedancia de la antena. Por lo tanto, la potencia transmitida a la carga es:

( ) ( ) 222

**

2221

21

AL

LLLL ZZ

RVRIIIZeIVeP

+===>=<

Si queremos hallar la abertura mxima no debe haber prdidas en la antena, de modo que la parte real de la impedancia de antena es solamente la resistencia de radiacin: ArA iXRZ += lo que indica que toda la potencia activa absorbida por la antena es potencia de radiacin. Adems, para mxima transferencia de potencia de la antena a la carga, la impedancia de carga debe ser conju-gada de la de la antena: ArAL iXRZZ ==

* y entonces:

r

i

rr

r

AL

L

RLE

RV

R

RV

ZZ

RVP

88222

222

2

2

2

2

===+

>=<

La abertura efectiva mxima resulta as: ri

rie R

L

E

RLENPA

m 42

8 20

02

22

==

>=< rr

HEN

Luego (sealamos en rojo los trminos de radiacin):

( )* ( ) ( )0 0220

1 1 1 1Re Re sen sen2 2 4 4

i t kr i t kriI L I LikE H e er r r

k ikr r

= +

2 2 2 2 3 22 2

20 02 2 2 2 3 2 2

0 0

3 sen1 1 Re sen2 16 32

iI L I L kk k ik ikr r r r r r

ikr

= + + =



( )

01cossen8

Re21

sen14

1cossen4

2Re21Re

21

222

20

2

220

)(0)(

0

0*

=

++=

+

+=

rrki

rkik

rLIi

rkie

rLI

rki

re

rLIiHE krtikrtir

y finalmente: rrN 8

sen

32

sen 2

2

2200

20

2

23220

==> = =

< >

2( , ) senf =

Este diagrama presenta un mximo o lbulo principal para = /2. El diagrama no presenta dependencia respecto de por la simetra de revolucin del problema respecto del eje z, de ma-nera que la grfica polar 2D es una seccin recta del diagrama 3D que es un toro.

Potencia radiada

La potencia media radiada por el dipolo es: >=>= de modo que podemos usar las aproximaciones de dipolo elemental.

La potencia radiada es: ( ) WLIP >=< 443 2200 que es muy baja. La resistencia de radiacin es: ( ) = 50720 1077.8103.232 LRr tambin muy baja



Radiacin dipolar magntica Para el espacio vaco, las ecuaciones de Maxwell donde figura el rotor de los campos son sim-

tricas: 0),(),( 0),(),( 00 =

=

+

ttt

ttt rErHrHrE

Nada cambia si reemplazamos E por H y 0 por 0 en la ley de Faraday, H por (-E) y 0 por 0 en la de Maxwell-Ampre. Esta propiedad se conoce como dualidad, y lleva a que podamos expresar la solucin de un problema con una fuente magntica a partir de la solucin para un problema similar con una fuente elctrica. Para usar esta propiedad expresamos los campos de la radiacin por un dipolo elctrico corto, no en trminos de la corriente que circula por el elemento sino a travs de su momento dipolar elctrico, que podemos calcular a partir de la ecuacin de continuidad aplicada dentro del ele-mento conductor. Para variaciones armnicas:

0 0/ =+=+ it jj Integramos sobre un volumen V que encierre un solo extremo del elemento:

( ) ===+VVVV

dVidSdVidVdVi S

0 njjj

de donde: qiI =0 . En esta ecuacin q es la carga acumulada en el extremo del elemento. Debido a la pequea longitud del elemento no habr carga acumulada en su interior, aunque un razonamiento similar nos demuestra que hay una carga acumulada (-q) en el otro extremo del elemento. Podemos pensar as al elemento

de corriente como un dipolo, cuyo momento dipolar ser: iLIqLp 0== A partir de este resultado podemos expresar los campos y otras caractersticas del dipolo elctri-co corto radiante en trminos de este momento dipolar elctrico4:

En la magnetosttica se define el momento dipolar magntico de una espira como nm IS= , donde I es la corriente que circula por la espira, S su rea y n la normal. El campo magntico creado por este dipolo magntico tiene la misma forma matemtica que el campo elctrico crea-do por el dipolo elctrico en la electrosttica. En la electrodinmica podemos, utilizando la pro-piedad de dualidad, escribir los campos creados por un dipolo magntico radiante por el que cir-cula una corriente armnica. Para ello usamos las siguientes relaciones duales:

Dipolo elctrico radiante Dipolo magntico radiante Momento dipolar elctrico Momento dipolar magntico Campo E, 0 Campo H, 0 Campo H, 0 Campo (-E) , 0

zp )( 0 iLI= zm IS=

de donde:

sen

rkie

rpitH krti

+=

14

),( )(r

senr

kiermi

tE krti

+=

14

),( )(0r

cos12

),( )(2

0

+=

rkie

rptE krtir r

cos12

),( )(2

+=

rkie

rmtH krtir r

sen

rrikke

rptE krti

=

2

2)(

0

14

),(r

senrr

ikker

mtH krti

=

2

2)( 14

),(r

4 En realidad, en la deduccin original de los campos radiados por este elemento realizada por Hertz consider efec-

tivamente un dipolo (dos cargas elctricas) cuya carga depende del tiempo, de donde surge el nombre de este ra-diador.

I0

V

S



Y los campos de radiacin del dipolo magntico radiante quedan entonces

4

),( )(2

0 senermk

t krtirad=rE

4),( )(

2

sener

mkt krtirad=rH

Los campos de radiacin son normales entre s y a la direccin radial de propagacin, y se hallan en relacin de dualidad respecto de los campos radiados por el dipolo elctrico corto. El vector medio de Poynting es:

( ) rHEN 32

4

4

Re21Re

21 2

22

2200

4)(0

2)(0

20*

senr

SIksene

r

SIksene

r

SIk krtikrti =

==><

El diagrama de radiacin es el mismo que para el dipolo elctrico corto. La potencia radiada es:

4

2200

2

0

32

2200

42

34sen

322

SIdSIkdSNrPS

r ==>< A partir de estas expresiones se pueden calcular los otros parmetros de la antena dipolar magn-tica.

Resistencia de radiacin: rRISIP 204

2200

2

21

34

=>=> )el tringulo formado por los vectores r, r y R es muy delgado. Por el teorema del coseno y desarrollando en serie de Taylor a primer orden:

rrrr 222 += rrrR Podemos aproximar a orden cero en la amplitud del campo (el denominador de la expresin anterior), pero debemos mantener orden uno en la fase, ya que en general usamos la descripcin del radiador fuera del origen de coordenadas para

analizar la superposicin coherente de los campos radiados por un conjunto de radiadores, y es el trmino de fase el que introduce el fenmeno de interferencia. Por otra parte, los ngulos esfri-cos tienden a sus valores respecto del sistema coordenado original: y .

Aproximamos as: rkrrr

= ikrti

ikkrti

er

efer

efF)()(

),(),()(

&&

ya que rkrrrk == krrkkRk )( . En resumen:

y

z

x

r

En la superposicin de campos emitidos por radiadores elementales, los campos de radiacin lejanos habitualmente pueden calcularse: aproximando la amplitud a orden cero: rR /1/1 aproximando la fase a orden uno: rk krkR suponiendo paralelos los campos emitidos

y

z

x

'

r R

r



Dipolo elctrico largo El dipolo elctrico corto es un sistema ideal, ya que la corriente no puede ser constante sobre toda su extensin, porque debe anularse en los extremos. En el caso de una antena dipolar de longitud L cualquiera podemos anular la corriente en los ex-tremos abiertos, pero entonces debemos admitir que la corrien-te vara a lo largo de la antena. Se observa experimentalmente que en muchos casos de inters la distribucin de corriente a lo largo de la antena se puede expresar aproximadamente como:

tiezLItzI

=

22sen),( 0

Para calcular los campos emitidos por el dipolo largo podemos repetir el procedimiento realizado con el dipolo corto o pode-mos pensar que la antena est formada por una sucesin de dipolos elctricos cortos de longitud dl, cada uno de los cuales emitir un campo de radiacin:

0

0

0

2

sen),(2

sen4

),(

dEdH

ldetzIR

ilde

RktzIidE ikRikR

=

==

En estas ecuaciones: 22 )( zzR +== rr y es el ngulo formado entre R y el eje z. Como la relacin de fases entre las corrientes que alimentan a los distintos elementos radiantes es fija, dada por la expresin de la distribucin de corriente sobre la antena, los radiadores emi-ten en coherencia de fase, y se suman los campos.

0

2/

2/

00 sen2

2sen2

EHzd

RezLeIiE

L

L

ikRti =

=

Para distancias muy alejadas ( Lr >> ) aproximamos el campo generado por cada elemento como se ha explicado en la seccin precedente y tenemos:

cos)(

zikikr

zikikrkriikR

er

eer

er

eR

e == zrrk

Luego:

2/

2/

cos)(00

2sensen

2

L

L

zikkrti zdezkkLerIi

E

En el APENDICE 8 se calcula esta integral:

=

2coscos

2cos

sen2

2sen 2

2/

2/

cos kLkLk

zdezkkLL

L

zik

con lo que tenemos:

( )0 0

0

cos cos cos 2 sen 2 2

i t kri I EkL kLE e Hr

Podemos reescribir esta expresin como el producto entre el campo generado por un nico dipo-lo corto de longitud L y otro factor:

z

r r

R L/2

-L/2

dl

0



2coscos

2cos

sen2)(00 kLkLe

rIiE krti

=

2coscos

2cos

sensen

2 2

)(00 kLkLL

erLIi krti

donde el primer factor

sen2

),( )(00 krtid erLIi

rE = es el campo que generara un nico

dipolo corto de longitud L y

=

2coscos

2cos

sen)2/(

1),(2

kLkL

kLLF

es un factor de interferencia que depende de la direccin en el espacio (como en toda interfe-rencia) y tambin de la longitud del dipolo. Este factor de interferencia surge de la superposicin coherente de dipolos elementales que se ha usado en el clculo del campo radiado. El diagrama de radiacin generado por el dipolo largo es:

( )

=>< [ ]

= par )2()(4

impar )2(4

0

nnCinnCinnnCinRr

y la abertura efectiva mxima: [ ]

==

par )2()(4/impar )2(/

42

220

nnCinnCinLnnCinL

RLA

r

e

5 En diagramas no normalizados los mximos crecen rpidamente con la longitud de la antena, de acuerdo a los valores de la grfica de la pgina previa. 6 M.Bisceglia, E.Zubcov, J.C.Fernandez, Curso de electromagnetismo,Ed. Nueva Librera (1982), p.347.

L/ = 1/2 L/ = 3/2 L/ = 5

30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180



Ejemplo 10.4: Calcular la resistencia de radiacin para dipolos elctricos radiantes de n/2,

con n =1, 10. Calculamos de tablas o mediante series los cosenos integrales7 para obtener:

n Rr Comentarios n Rr 1 0.194 0 = 73.08 dipolo de media onda 6 0.785 0 = 295.55 2 0.528 0 = 198.95 dipolo de onda completa 7 0.347 0 = 130.76 3 0.279 0 = 105.42 8 0.853 0 = 321.29 4 0.689 0 = 259.46 9 0.367 0 = 138.28 5 0.320 0 = 120.68 10 0.906 0 = 341.29

Se observa que la resistencia de radiacin aumenta, tendiendo a 0 con la longitud del dipo-lo y es mayor para antenas de longitud mltiplo de onda completa. Este comportamiento es-t relacionado con la forma y tamao de los lbulos de radiacin de las figuras previas, donde se ve cmo aumenta la radiacin emitida con el tamao de la antena.

La antena dipolar elctrica o dipolo largo, es una antena resonante porque en el caso ideal de prdidas nulas se forma sobre ella una onda estacionaria de corriente con nodos en los extremos abiertos. Por lo tanto la longitud de la antena debe ser un nmero entero de semilongitudes de onda para satisfacer esta condicin. De esta forma se ve que slo se puede excitar un conjunto discreto de frecuencias de resonancia. Si se alimenta a la antena con una frecuencia no "permiti-da", habr una fuerte reflexin a la entrada de la antena, que se comporta en forma similar a una lnea resonante. Por lo tanto la antena dipolar elctrica es una antena de banda angosta alrededor de la/s frecuencia/s de resonancia. Este resultado es para un alambre de seccin despreciable. Puede demostrarse que el ancho de banda de una antena dipolar elctrica aumenta si se usan alambres de mayor seccin.

En muchas ocasiones el dipolo tiene una sola rama a la que se co-necta el generador, cuya otra conexin se hace a tierra. La otra rama se puede considerar como la imagen en tierra de la rama verdadera. As, una rama de L = /4 produce un dipolo de /2. Esta disposi-cin se conoce como antena ltigo y es muy usada (automviles, tel-fonos celulares, etc.). Para que este sistema sea eficiente la tierra de-be acercarse al comportamiento de plano conductor perfecto, de ma-nera que debe ser de alta conductividad y extenderse varias veces /4

alrededor de la posicin del ltigo. En general, la mayora de las antenas se disean y construyen sobre tierra, y el mtodo de im-genes se usa extensivamente. Sin embargo, en la realidad la tierra no es un conductor perfecto, ni siquiera en casos un buen conductor. A partir de las investigaciones pioneras de Sommerfeld a principios del siglo XX, la radiacin de un dipolo elctrico sobre un plano terrestre de conducti-vidad finita se puede describir convenientemente como la superposicin de una onda espacial, cuyos campos decaen como 1/r (los tpicos campos de radiacin que hemos ya encontrado) y una onda de superficie cuyos campos decaen como 1/r2, de forma que estos trminos dejan de tener importancia en la radiacin lejana. Sin embargo, la presencia de conductividad finita altera los diagramas de radiacin, de manera que los lbulos que se dan para el plano horizontal = /2 giran sus mximos a un cierto ngulo de elevacin, y la potencia emitida rasante al suelo se ve reducida respecto al caso ideal. En la figura8 se muestra la influencia en el diagrama de radiacin de una antena dipolar vertical de 10m de longitud colocada a /2 por encima de tierra, con suelos de distinta conductividad, 7 En el Apndice 9 se dan las expresiones de las series que representan al coseno integral. 8 Esta figura est tomada de A ground is just a ground unless it is a model of a ground, L.B.CebikW4RNL, http://www.cebik.com/modelling.html.



modelizado con el pro-grama EZNEC/4. Se observa primero que el caso de tierra de con-ductor perfecto los l-bulos, que tienen su mximo sobre el plano horizontal, se mueven hacia arriba. La cada de la conductividad del suelo disminuye el va-

lor del mximo de radiacin y convierte el cero en un mximo secundario (Ntese que la escala es logartmica, en dB).

Antenas de onda viajera El dipolo elctrico largo que hemos analizado es una antena resonante, porque las distribuciones de corriente y tensin a lo largo de la misma son ondas estacionarias. Podemos analizar esta an-tena como una lnea de transmisin de impedancia caracterstica variable y abierta en el extremo. Sin embargo, es posible construir antenas donde la onda de corriente es una onda viajera que se propaga a lo largo de ella. Por ejemplo, consideremos un conductor recto de longitud L donde la corriente est definida por la onda progresiva:

)(0),(

kztieItzI = El campo elctrico radiado por cada elemento dz de la antena ser, como en el caso del dipolo largo:

ldetzIR

ilde

RktzIi

dE ikRikR ==

sen),(2

sen4

),( 00

2

y aproximando de la misma manera que en ese caso:

L

zikzikkrti zdeeerIi

E0

cos)(00 sen2

La integral es inmediata y obtenemos:

[ ]1cos1

sen4)1(cos

1sen2

)1(cos)(00)1(cos

)(00

=

ikLkrtiikLkrti eerI

ikee

rIiE

y finalmente: 0

)1(cos2)(00

cos1

sen)cos1(2

sen

2

EH

Lkee

rI

EL

ikkrti =

El diagrama de radiacin (no normalizado) ser:

)2/(

)cos1(sen

8)cos1(

sen)cos1(2

sen

82 2

2

2

200

2

22

2

200

0222

tan

LI

LkIErNr r

=

=><

En la figura se muestran cuatro casos. Obsrvese que los mximos se hallan orientados hacia el sentido de propagacin de la onda viajera (+z). El valor de los mximos crece con la longitud de la antena en forma similar a la de la antena resonante. Podemos calcular la potencia total radiada por esta antena:

=>> d): cos

2

2,1

2,12,1 dikikri

ikrikr

er

eer

er

e = rk y tenemos:

+=

+

+ )2cos

2()

2cos

2()

2(0cos2

cos2)(0

dki

dkikrtii

dik

dikkrti eee

rE

eeeer

EE

=

+

2coscos

2

)2

(0

de

rE krti

El vector medio de Poynting es:

>= 0 tenemos que: d

nnd

== cos cos

Como 1cos , esta condicin se cumple solamente para d . En tal caso, aparecen otros mximos principales en direcciones no laterales. En las figuras siguientes se muestran los diagramas de campo de interferencia para N = 6 y dis-tintas relaciones d/. Se observa que el ancho del lbulo principal disminuye a medida que au-menta d/ cuando d < , y que aparecen otros lbulos para d .

N = 5 N = 10 N = 25



Consideremos ahora que mantenemos los campos de igual amplitud pero con fases variables. Esto se logra desfasando las corrientes alimentadoras de cada radiador. Slo podemos obtener una serie geomtrica si la fase crece linealmente con la posicin del dipo-lo en el arreglo, o sea si: == 1 nnn n . En tal caso:

+

+

=

=

+

+

+

=

+

2cos

2sen

2cos

2sen

11),(

]cos[2)(0

)cos(

)cos()(0

1

0

)cos()(0

kd

kdNee

rE

eee

rE

eer

EtE

kdNikrti

kdi

kdiNkrti

N

n

kdinkrtir

y el diagrama de radiacin es:

30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

d/ = 0.05 d/ = 0.25 d/ = 0.5

d/ = 1 d/ = 2 d/ = 5

30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180



+

+

=

+

+

=>= 0. Existe = 0 si dd 2 02 b) < 0. Existe = 0 si dd + 2 02 O sea que en general podemos decir que existir un mximo principal si:

Ld)(N-)(N-d 2 121 2 donde es el desfasaje total del arreglo (entre el primer y el ltimo elemento). Suponiendo que se cumpla esta condicin, el mximo principal se da para:

dd MM

2

cos 0cos2 ==+=

Como puede verse, M depende del desfasaje. Si es cero, el mximo principal se da para M = /2, lo que nos lleva a las formaciones laterales ya vistas.

Por otra parte, si: 0 2

2

M

M

====

dd

y se tienen las llamadas formaciones de punta (endfire arrays), donde la mxima radiacin se da sobre la lnea que contiene a los dipolos. Las siguientes grficas muestran los diagramas de campo de 6 radiadores en una formacin de punta:

30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

d/ = 0.05 d/ = 0.25 d/ = 0.5

d/ = 1 d/ = 2 d/ = 5



Arreglos en fase (phased arrays) El anlisis de las formaciones laterales y de punta indica que introduciendo un desfasaje entre las corrientes alimentadoras de un arreglo de radiadores se logra modificar la posicin del mximo principal. Podemos ver que el diagrama de radiacin:

( )( )

+

+

==

2cossen

2cossen

sensen)(

22

2

22

2

dN

dN

NNf

que da el mximo principal para = 0 si d < . Si tomamos: 0cos2 d= nos queda ( )0coscos2 = d que se anula con = 0. Variando 0 con el tiempo se logra que el

mximo principal de radiacin gire en el tiempo. Esta caracterstica se usa, por ejemplo, en rada-res de aeropuertos donde es importante el seguimiento de los aviones. En las siguientes grficas se muestra el diagrama de radiacin para un arreglo lineal de 5 elementos, separados en d = 0.4, para distintos ngulos 0:

Se observa la relocacin del mximo principal siguiendo el ngulo 0, desde la formacin de punta, para 0 = 0, hasta la formacin lateral, para 0 = 90 y luego se repite el comportamiento en el otro hemisferio.

30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

0 = 0 0 = 30 0 = 45

0 = 60 0 = 90 0 = 120 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

0 = 135 0 = 150 0 = 180



Redes horizontales Consideremos ahora N radiadores puntuales que se hallan sobre una lnea horizontal. Asumiremos nuevamente que se trata de radiadores isotrpicos porque nos interesa analizar el diagrama de interferencia. Ubicamos el sis-tema de coordenadas de forma que la posicin del n-simo radiador de la fila es: xr )1( dni = . El campo creado por el conjunto es:

nnn

ikRti

N

nn RR

eeEtEn

n rrr ==

+

= ),( )(

10 con

donde hemos supuesto que cada radiador genera un campo de amplitud E0n y fase n. Para puntos lejanos podemos aproximar nuevamente a orden uno en la fase:

cossen)1( dnrR nn = rr y a orden cero en la amplitud, para obtener:

[ ]=

+N

n

kdnin

krti neEer

tE1

cossen)1(0

)(1),( r

[ ] 0,1 1 0001

0

cossen0

)( ===

=

+ EeEer

N

n

nkdin

krti n con

Consideremos primero campos de igual amplitud y en fase. Tomamos cteEE n == 00 y ncten == 0 . La sumatoria constituye una serie geomtrica, ya que cada trmino es

igual a precedente multiplicado por un factor constante cossenikde :

=

=

=

=

cossen2

sen

cossen2

sen

11),(

cossen)1(21

)(0

cossen21

cossen21

cossen21cossen

21

cossen)1(21

)(0

cossen

cossen)(0

1

0

cossen)(0

kd

Nkd

eer

E

ee

eeeer

E

eee

rE

eer

EtE

kdNikrti

kdikdi

NkdiNkdikdNikrti

ikd

iNkdkrti

N

n

inkdkrtir

y el diagrama de interferencia ser proporcional a:

=

>== 0. Existe = 0 si

dd 2

02

d) < 0. Existe = 0 si

dd +2

02

O sea que en general podemos decir que existir un mximo principal si:

Ld)(N-)(N-d

2 1

21

2

donde es el desfasaje total del arreglo (entre el primer y el ltimo elemento). Suponiendo que se cumpla esta condicin, el mximo principal se da para:

dd

MM

2cos 0cos2 ==+=

Como puede verse, M depende del desfasaje. Si es cero, el mximo principal se da para M = /2, lo que nos lleva a las formaciones laterales ya vistas.

Por otra parte, si: 0 2

2

M

M

==

==

d

d

y se tienen nuevamente las formaciones de punta, donde la mxima radiacin se da sobre la lnea que contiene a los radiadores.



30

210

0

60

240

90

270

120

300

150

330

180

Ejemplo 10.6: No siempre los radiadores emiten campos polarizados en la misma direccin. Considere dos dipolos elctricos cortos perpendiculares entre s, situados en el mismo pun-to. Las corrientes alimentadoras son de igual amplitud y frecuencia, pero pueden estar des-fasadas en . Se pide hallar el diagrama de radiacin sobre el plano horizontal que contiene a los dipolos y analizar la polarizacin de la onda radiada.

Elegimos un sistema de coordenadas con su origen en los dipolos y orientado como indica la figura. El punto campo se toma sobre el plano horizontal xy. El dipolo 1 (orientado segn -z) crea el campo:

zE sen )(0)(01krtikrti e

rE

er

E ==

porque sobre el plano xy: ' = /2 y z = . Para expresar el campo creado por el dipolo 2 debemos re-emplazar por el ngulo entre el eje del dipolo (x en nues-tro caso) y el vector posicin r. Sobre el plano xy este ngulo es , y el versor resulta el versor . Entonces el campo emitido por el dipolo 2 es:

sen )(02+= krtie

rE

E

y el campo elctrico total es: [ ]zEEE sen)(021 +=+= ikrti eerE

El campo magntico radiado puede calcularse como:

[ ] [ ]

sensen )(0

0)(

0

0

0

=+=

= zzrErH ikrtiikrti eer

Eee

rE

y el vector medio de Poynting:

( ) ( ) ( )[ ] ( )

22

0

20

20

20 sen1

2sensen

221

+=+== r

Eeee

rE

e ii zzHEN *

Se ve que el vector medio de Poynting es la suma de los vectores de Poynting individuales de cada dipolo. No hay un factor de interferencia. Esto se debe a que los campos radiados son

perpendiculares entre s. Adems no depende del des-fasaje entre las corrientes alimentadoras de los elemen-tos. Las direcciones de mxima radiacin corresponden a = /2, 3/2, para las cuales el seno vale 1. El dia-grama de radiacin sobre el plano horizontal que con-tiene a los dipolos es entonces:

2sen1)(

2 +=f

y se muestra en la figura a la izquierda. Este diagrama es la semisuma de los diagramas horizontales de radia-cin individuales de cada dipolo, que se muestran en rojo en la figura. Para analizar el comportamiento de la polarizacin de la onda radiada, seguimos un procedimiento similar al de la pgina 328. El campo elctrico total es:

( ) ( )[ ]zzE )cos()cos(sensen 0)(0 krtkrtr

Eee

rE

e ikrti ++=

+=

Entonces: )cos(0 krtr

EEz =

[ ] sen)sen(cos)cos(sen)cos(sen 00 krtkrtrE

krtr

EE =+=

x

z

r

y E1

E2

1

2

'



y podemos escribir:

0

)cos(ErE

krt z=

sensencotan

sensencotan)cos()sen(

000 ErE

ErE

ErE

krtkrt z ==

Elevamos ambas ecuaciones al cuadrado y sumamos miembro a miembro para obtener:

2

00

2

0

2

0

20

22

0

22

0

2

00

2

0

sencos)/sen)(/(

2/sen/

sensencotan2

sensen)cotan1(1

sensencotan1

=

+

++

=

+

=

rErEEE

rEE

rEE

EEEr

ErE

ErE

ErE

ErE

ErE

zz

zz

zz

que podemos comparar con la ecuacin de la elipse de polarizacin hallada en el Captulo 6:

2

00

2

0

2

0sencos2 =

+

yx

yx

y

y

xx

EEEE

EE

EE

Observamos que ambas ecuaciones son formalmente idnticas, de manera que el sistema de dos dipolos cruzados emite una onda elpticamente polarizada. Se observa tambin que los semiejes de la elipse cambian con r (por el decaimiento de la amplitud de los campos de una onda esfrica) y con . En particular, en la direccin de mnima radiacin sen = 0, y se tiene E = 0. Entonces en esa direccin slo hay Ez y la onda es linealmente polarizada. En la direccin de mxima radiacin sen = 1, y el estado de polarizacin de la onda radia-da depende solamente de :

220

2

0

2

0

sencos)/(

2//

=

+

rEEE

rEE

rEE zz

= n. E = Ez y la onda es linealmente polarizada a /4 del plano xy.

= (2n+1)/2. 2

022

=+r

EEE z y la onda es circularmente polarizada.

Para valores intermedios de la onda resulta elpticamente polarizada. En otras direcciones la onda resulta elpticamente polarizada.

Ejemplo 10.7: Las antenas usan reflectores para modificar sus diagramas de radiacin y me-

jorar su eficiencia. Considere un arreglo lineal de N alambres conductores de seccin des-preciable S y altura h



campos que llegan a dos elementos adyacentes. Esta diferencia de caminos se traduce en una diferencia de fase ikdlk sen== entre los campos y, por lo tanto, entre las corrientes de elementos adyacentes. Por comodidad colocamos el origen de coordenadas en un extremo de la distri-bucin y tenemos para el elemento n-simo la corriente:

)sen()( ini nkdtio

tion eESeESI

== rk Como la altura del elemento es mucho menor que podemos suponer que la distribucin de corriente es uniforme y que el elemento se comporta como un dipolo radiante elemental, y emite un campo elctrico de radiacin:

sen

4sen

4),( cossensen)(

0

20

0

2inkdinkdkrtiiikrn

n eeerkhESiee

rkhIit in == rkrE

El campo total emitido por la distribucin es:

]2/sen[]2/sen[sen

4

sen4

),(

]2/)1([

0

20

1

0

)cossen(sen)(

0

20

NerkhESi

eerkhESi

t

Nkrti

N

n

inkdkrti i

+

=

+

=

= rE

donde: )cossen(sen += ikd . El diagrama de radiacin es proporcional a:

]2/[sen]2/[sensen

1621

2

22

220

2

4220

22

0

2

NkhESNr r =

Sobre el plano horizontal 2/ = y tenemos:

)cos(sen ]2/[sen]2/[sen

1621

2

2

220

2

4220

22

0

2

+== ir kd

NkhESNr

El valor mximo de esta expresin se da para 0= , de modo que el diagrama de radiacin

queda: )cos(sen ]2/[sen

]2/[sen)( 222

+== ikdN

Nf

La condicin de mximo implica: iMikd sencos 0)cos(sen ==+= Pero, de la figura: iM sensen sencos 2/ === y se observa que el mximo de radiacin se da en la direccin que predice la ley de Snell de la reflexin. Adems, de la figura de la pgina 410 se ve que el diagrama de radiacin tiene un mximo principal ms angosto y mximos secundarios ms pequeos cuanto mayor sea el nmero N de elementos en la distribucin, de forma que la potencia emitida en las di-recciones de reflexin secundaria es ms baja cuanto mayor es N.

Ejemplo 10.8: Extender los resultados del ejemplo previo al caso de un reflector plano conduc-tor. El reflector puede considerarse como la superposicin de elementos de ancho dx y altura h. Cada elemento se puede ver como un dipolo, que emite un campo:

xdeeerkhESi

td xikxikkrti i =

sen4

),( cossensen)(0

20rE E

sta es la misma expresin del ejemplo precedente, con: xnd . El campo total es la integral:

2/

)2/sen(sen4

sen4

),(

)(

0

20

2/

2/

)cossen(sen)(

0

20

krti

L

L

xikkrti

er

LkhESi

xdeerkhESi

t i

+

=

= rE

i

x

d

x

z

y

h

L

i

Ei

Er

ki

kr dx



con )cossen(sen += ikL . El diagrama de radiacin es proporcional a:

2

22

220

2

4220

222

)2/()2/(sensen

16

khESNr r =

y nuevamente el mximo principal de esta ecuacin se da para 0= , lo que lleva a la ley de Snell de la reflexin para la radiacin en el plano horizontal. Nuevamente aparecen mximos secundarios cuya altura es menor cuanto mayor sea kL. En el lmite = /2 LkL la funcin 22 )2/()2/(sen se convierte en una delta de Dirac )0( que lleva a que slo existe el rayo reflejado en la direccin de la ley de Snell de la ptica. Esta es una buena aproximacin cuando la longitud de onda es muy pequea frente a las dimensiones del re-flector.

El uso de arreglos de radiadores permite disear diagramas de radiacin que no pueden obtenerse con un nico elemento. Permiten modificar el ancho de los lbulos aumentando la directividad y elegir la direccin del espacio de mxima potencia. Tambin permiten lograr radiacin con pola-rizacin no lineal. Adems del nmero de elementos, el espaciamiento y el desfasaje entre las corrientes alimentadoras se pueden introducir valores distintos en las amplitudes de las corrien-tes alimentadoras o un espaciado no equidistante para tener an mayor flexibilidad en el dise-o, especialmente en la eliminacin de los lbulos secundarios y en el aumento del ancho de banda de la antena.

Tambin se pueden realizar arreglos 2D y 3D. Todos estos tipos de sistemas radiantes se presen-tan en el programa APV.EXE11 que se puede descargar del ftp de la materia. Este es un progra-ma de DOS que permite ver los diagramas de radiacin de distintos tipos de arreglos con diver-sos elementos y otros tipos de antenas.

11 Desarrollado por A.Z. Elsherbeni y C.D.Talor Jr., Dept. Electrical Engineering, Univ. Mississippi, 1993.



Antena bicnica Como se mencion al final de la seccin del dipolo elctrico lar-go, el ancho de banda de la antena aumenta con la seccin del alambre. Este efecto se aprovecha en la antena bicnica. La antena bicnica ideal consiste en dos conos infinitos enfrenta-dos por los vrtices, como se indica en la figura. Como la estruc-tura es infinita, se puede analizar como una lnea de transmisin de parmetros variables a lo largo de su estructura. Cuando se conecta un generador a la entrada de la antena, circularn co-rrientes a lo largo de los conos. A su vez, estas corrientes crean un campo magntico H que tiene simetra cilndrica respecto del eje de los conos. Las variaciones en el tiempo del campo magn-tico generan un campo elctrico. Ambos campos resultan en una onda electromagntica que se propaga hacia fuera de la antena. Suponemos el caso ms sencillo, que la onda sea una onda esf-rica elemental y que el campo electromagntico sea transversal (TEM) a la propagacin. En tal caso, el campo elctrico tendr solamente componente E. Entonces, en la regin entre los conos tenemos: EH == EH

La ecuacin de Maxwell-Ampere: EH i= en coordenadas esfricas puede escribirse:

sen00

sen

sen1

2 Ei

Hrr

rr

r=

r

de donde: ( ) ( ) EiHrrr-Hr =

= 1 0sen

sen1

De la primera ecuacin surge que: ( )

sen

1 0sen = HH y como suponemos

ondas esfricas elementales, podemos asumir: sen

140 reHH

ikr

=

Introduciendo esta expresin en la segunda ecuacin obtenemos E:

( )

He

rHe

rHkeH

rriHr

rriE

ikrikrikr

===

=

=

sen4sen4sen1

411 00

0

Los campos satisfacen la relacin de las ondas esfricas elementales. Podemos calcular el dia-

grama se radiacin: ( )

22

202

2*22

sen32221 HHrHEerNr r ===

Esta expresin es mxima para = h que es el valor mnimo de , de donde el diagrama de ra-

diacin es simplemente:

22

sensen

)( hf =

Existen otros modos no TEM que aparecen cuando la antena no es infinita. En este caso se dis-tingue entre una regin interior hasta la tapa de los conos y una regin exterior. En la regin in-terior, y lejos de las tapas, se puede suponer vlida la descripcin sencilla TEM que hemos anali-

z

h

E

H

~ V

I

I



zado, porque el sistema se comporta como una lnea de transmisin, mientras que cerca de las tapas y en la regin exterior es necesario usar otros modos no TEM en funcin de armnicos cilndricos. Las antenas cnicas o bicnicas se usan desde los tiempos de Marconi por su gran ancho de ban-da, pero slo a mediados del siglo XX se encontr una descripcin matemtica satisfactoria. Ac-tualmente es una de las antenas usadas en ensayos de EMC (compatibilidad electromagntica). Antenas tipo Yagi-Uda Los arreglos de radiadores vistos hasta el momento consisten de elementos idnticos todos acti-vos, es decir, todos alimentados por corrientes desde el sistema generador. Esto puede ser com-plicado desde el punto de vista prctico porque los desfasajes y/o amplitudes deben seguir una funcin rgida para garantizar el diagrama de radiacin. El llamado arreglo Yagi-Uda tiene un nico elemento activo y otros elementos (pasivos) por los que circulan corrientes inducidas por el campo generado por el elemento activo. El desfasaje adecuado entre las corrientes se logra ajustando el tamao y separacin de los elementos pasivos.

En el esquema de la figura se ve un dipolo activo de longitud l1 y un elemento pasivo de longitud l2 separados una distancia d. La linealidad de las ecuaciones de Maxwell hace posible escribir un par de ecuaciones que relacionan los voltajes y las corrientes en el centro de los elementos:

22212122121111IZIZV

IZIZV+=+=

Las Zij son constantes que dependen de las longitudes de los elementos, su espaciado y la longitud de onda de la radiacin. Se puede demostrar que V2 = 0, de manera que: 122212 )/( IZZI = . El campo emitido por el conjunto se puede escribir como:

( ) cos121cos21 /1 ikdikdrad eIIaeaaE +=+ y el diagrama de radiacin ser proporcional a:

+=

cos

2221

2

2221

2cos

2221 Re211),( ikdikd e

ZZ

ZZ

eZZ

f

El primer trmino representa la contribucin del radiador activo, el segundo la contribucin del radiador pasivo y el tercero es un trmino de interferencia. Cuando esta interferencia es tal que maximiza la radiacin en el sentido de +z el elemento pasivo se conoce como un director, mien-tras que si la radiacin se maximiza segn -z el elemento pasivo se conoce como un reflector. La mxima directividad de un director se obtiene cuando 11.0d . Si el elemento activo es de me-dia onda, el espaciado debe ser mayor: 48.038.0



la longitud de onda de diseo, de modo que la respuesta en frecuencia de la antena Yagi-Uda es pobre.

Antenas log-peridicas Consideremos una estructura como la de la figura. La locali-zacin y longitud de los sucesivos elementos aumenta de

uno al siguiente en un factor constante: 11 == nnnn llzz donde la longitud del primer elemento es funcin de la lon-gitud de onda de operacin. Si ahora multiplicamos la longi-tud de onda de operacin por , todas las posiciones y longi-tudes de la estructura se multiplican por y el resultado es

una estructura idntica a la original (supuestamente indefinida). Por lo tanto la estructura radia de igual manera para longitudes de onda , , 2, etc., de donde podemos escribir el conjunto de longitudes de onda permitidas como: 111 == nnn .

Expresando esta ecuacin en trminos de logaritmos:

)1(loglog )1(loglog 11 =+= nffn nn

La estructura se conoce como logartmica-peridica o log-peridica. Un anlisis de las caractersticas de radiacin de esta estructura se puede hacer a partir de una estructura de tres elementos y la antena Yagi-Uda. Se halla del clculo que la mxima radiacin a lo largo del arreglo se da cuando el elemento central, supuesto activo, tiene una longitud de media onda. Como el elemento menor acta como director y el mayor como reflector en la ante-na Yagi-Uda, entonces la radiacin se dirige hacia el extremo derecho del arreglo. Para mejorar el ancho de banda, se adopta la siguiente forma de alimentacin desde el extremo ms corto de la

antena y se conectan los sucesivos semi-elementos del arre-glo como se indica en la figura, espaciando los elementos en la mitad de su longitud en ese punto. Esto hace que la corriente en el elemento n+1 est adelantada /2 respecto del elemento n. Si el elemento n es resonante a la frecuen-cia de operacin, la distancia al siguiente elemento es /4. Estas dos caractersticas llevan a que ambos elementos ra-dien en fase.

El clculo detallado muestra que que la fase de la tensin provista a los sucesivos dipolos aumenta uniformemente desde el extremo de alimentacin. Si el elemento resonante est al medio del arreglo, es esta regin la que radiar ms eficientemente. Si se vara la frecuencia, ser otra regin la de mxima radiacin. El clculo demuestra que hay poca variacin en el diagrama de radiacin en el rango de frecuencias de operacin

),( 1)1(

1 ffn .

ln

zn



APENDICE 7 - Resolucin de las ecuaciones de la radiacin Los potenciales retardados satisfacen las ecuaciones inhomogneas de la radiacin electromag-ntica:

02

2

22 ),(),(1),(

tt

tct rrr =

),(),(1),( 022

22 tt

tct rjrArA =

Puede observarse que cada componente cartesiana de la ecuacin vectorial para A(r,t) es mate-mticamente equivalente a la ecuacin diferencial escalar para (r,t), de forma que vamos a re-solver esta ltima ecuacin diferencial y escribiremos por analoga la solucin para el potencial vectorial.

02

2

22 ),(),(1),(

tt

tct rrr =

La solucin de esta ecuacin diferencial lineal e inhomognea dentro de un recinto del espacio se puede escribir como la suma de la solucin general de la ecuacin homognea ms una solucin particular de la ecuacin completa. La ecuacin homognea se obtiene cuando se toma (r,t) = 0 para todo punto del recinto de integracin. Desde el punto de vista fsico, esta suposicin es equivalente a decir que no hay fuentes del potencial escalar electrodinmico dentro del recinto de inters. Pero si no hay fuen-tes, no puede haber campo, de manera que habr una solucin no trivial del problema slo en el caso en que las fuentes se hallen fuera del recinto de integracin. Por lo tanto, la solucin de la ecuacin homognea representa la contribucin a la radiacin de las fuentes externas al recinto de integracin. Esta situacin fue analizada en los Captulos precedentes, donde se estudi la propagacin de ondas electromagnticas en recintos sin fuentes de campo. Por lo tanto, para los propsitos presentes podemos suponer que no hay fuentes de campo fuera del recinto de integra-cin y entonces debemos anular la solucin de la ecuacin homognea. La solucin del problema ser entonces la solucin particular.

Para obtener una solucin particular, y dada la linealidad de la ecuacin diferencial, vamos a dividir el recinto de integracin V en elementos de volumen infinitesimales dv. Como la forma de estos elementos es irrelevante, elegimos esferas de radio 0. Para una de estas esferas, situada en r, la ecuacin diferencial queda:

>==



( ) 22

2

2

2

2

2

22

22

2

211

2211

dRd

dRd

RdRdR

dRd

RR

dRd

R

dRd

dRd

RdRdR

dRdR

RdRdR

dRd

R

+=

+=

+=

+=

y la ecuacin de ondas resulta:

( ) ( ) ( ) 01011 22

22

2

2

2

22

2

=

=

Rtc

RdRd

tcR

dRd

R

Pero esta ecuacin es matemticamente idntica a la ecuacin de las ondas planas, de manera que podemos escribir la solucin formal:

RcRtftctRftR )/(),( )(),( mm == rr

donde el signo positivo identifica una onda "progresiva" (que se propaga en el sentido de R cre-cientes) y el signo negativo a una onda "regresiva" (que se propaga en el sentido de R decrecien-tes). Para determinar cul funcin )/( cRtf m es la apropiada, consideramos la condicin de borde para 0R . En este caso vale la ecuacin inhomognea (ya que



las caractersticas de la fuente en un instante previo. Esta solucin tambin describe, desde el punto de vista ondulatorio, una onda esfrica que viaja desde el punto fuente hacia afuera (es decir, en el sentido de R crecientes).

R

vdtR

vdcRtt00 4),(

4)/,(),(

=

+

rrr representa el potencial creado en ),( tr por la pre-

sencia de la fuente en ),( t r , con cRtt /+= , o sea, el efecto en el punto campo se debe a las caractersticas de la fuente en un instante posterior. Esta solucin tambin describe, des-de el punto de vista ondulatorio, una onda esfrica que viaja desde fuera hacia el punto fuente (es decir, en el sentido de R decrecientes).

Podemos visualizar la primera solucin como la generacin de una onda electromagntica esfri-ca que surge del punto fuente y se propaga en todas direcciones a la velocidad c. La segunda solucin, en cambio, representa una onda que llega al punto fuente desde toda direccin del es-pacio. Por otra parte, hay una relacin de causalidad en la primera solucin, porque el efecto (el poten-cial creado) es posterior a la causa (las variaciones en el tiempo de la fuente). El intervalo entre los dos sucesos es el tiempo necesario para que la radiacin cubra la distancia R movindose a velocidad c. En la segunda solucin, la causalidad est invertida, y debemos considerar que la fuente de la radiacin que viaja hacia adentro se halla en otro sitio del espacio. La primera solucin (con cRtt /= ) se denomina solucin retardada y satisface las interpre-taciones de generacin de energa y causalidad que hemos dado. La segunda solucin (con

cRtt /+= ) se denomina solucin adelantada y no es compatible con la interpretacin de una fuente de ondas electromagnticas, por lo que la descartamos12. Por superposicin podemos hallar el potencial escalar producido por todo el recinto de integra-cin:

=

V Rvdtt ),(

41),(

0

rr con cRtt /=

que es la expresin buscada. Adems, cada componente cartesiana del potencial vectorial tiene una solucin de esta misma forma matemtica, de manera que podemos escribir:

=V R

vdtt ),(4

),( 0 rjrA con cRtt /=

12 Modernas teoras fsicas especulativas asignan significado fsico a los potenciales adelantados y los incorporan en las ecuaciones de la electrodinmica cuntica.



APENDICE 8 - Clculo de la integral del campo de un dipolo largo Vamos a calcular la integral:

=

2/

2/

cos

2sen

L

L

zik zdezkkLF

que surge en la determinacin del campo elctrico radiado por un dipolo largo de longitud L. Primero dividimos la integral en dos intervalos para eliminar el mdulo en el argumento del se-no:

+

+=

2/

0

cos0

2/

cos

2sen

2sen

Lzik

L

zik zdezkkLzdezkkLF

Ahora realizamos los cambios de variable:

segunda la en yintegral primera la en

2/ 2/zdkdvzkkLv

zdkduzkkLu===+=

+=

=

2/

0

coscos

22/

0

coscos

2

0

2/

cos)2/(2/

0

cos)2/(

sensen

sen1sen1

kLiv

kLikLiu

kLi

kL

vkLikL

kLui

dvevk

edueuk

e

dvevk

dueuk

F

Pero: ( )[ ]aiaedxex aia

xi sencos11

1sen2

0

= y entonces:

+

+=

++

=

2sencos

2cos

sen

12

sencos2

cossen

1

2sencos

2cos1

sen2sencos

2cos1

sen

cos2

2

cos2

2

cos2

2

cos2cos

22

cos2

kLikLek

kLikLek

kLikLek

ekLikLek

eF

kLikLi

kLikLikLi

kLi

y finalmente:

=

2coscos

2cos

sen

22

kLkL

kF



APENDICE 9 Desarrollo en serie del coseno integral Las integrales que definen el coseno integral:

=x

dtt

txCin0

cos1)(

+==x

xCinxdtt

txCi )()ln(cos)(

La constante ...5772156649.0 se conoce como constante de Euler. Para argumentos x pequeos, podemos expresar el coseno en el integrando mediante una serie de Taylor:

=

=

0

2

)!2()()cos(

k

k

ktt

=

+

=

+

=

=

=

=

1

121

1

21

0

2

)!2()1(

)!2()1(1

)!2()1(11cos1

k

kk

k

kk

k

kk

kt

kt

tkt

ttt

y entonces, integrando trmino a trmino:

=

+

=

+

=

+ =

=

=

=

1

21

1 0

121

0 1

121

0 )!2(2)1(

)!2()1(

)!2()1(cos1)(

k

kk

k

xk

kx

k

kkx

kkxdtt

kdt

ktdt

ttxCin

Esta expresin converge rpidamente para valores pequeos de x debido al factorial en el deno-minador. Para x 20 el carcter oscilatorio de la serie origina errores significativos por redondeo y truncaje en los primeros trminos, que son los ms significativos, para los cuales la funcin x2k crece ms rpidamente con k que el factorial y se requiere usar otros mtodos de representacin para el clculo.

Se ha usado esta expresin para el clculo de las resistencias de radiacin en los Ejemplos 10.4 y 10.5.



G = k D

Ae = /

RESUMEN La resolucin de las ecuaciones de Maxwell en un recinto con fuentes de campo

(problema de la radiacin) se simplifica usando los potenciales electrodinmicos en lugar de los campos:

trArrE

=

),(),(),( ttt ),(1),(0

tt rArH =

Estos potenciales electrodinmicos satisfacen ecuaciones de onda vectoriales in-homogneas:

),(),(1),( ),(),(1),( 022

22

02

2

22 tt

tcttt

tct rjrArArrr

=

=

Estas ecuaciones tienen como solucin (Apndice 7) los potenciales retardados, cuyo valor en el punto campo depende del valor de las fuentes en instantes anteriores, por la propagacin a velocidad finita de la radiacin electromagntica:

=

=VV

dVR

ttdVR

tt ),(4

),( ),(4

1),( 00

rjrArr

cRttR / :con == rr

De estas soluciones surge que slo cargas aceleradas emiten radiacin electromag-ntica.

Se presentan las propiedades fundamentales de las antenas: diagrama de radiacin. Describe grficamente la anisotropa de transmi-

sin/recepcin de las antenas receptoras:

),( 2 fN

NdPd

dPdNr

dPd

maxr

r

max

r =><

ancho de haz de potencia media. Es el ngulo para el cual la densidad de poten-cia cae a la mitad del valor mximo para un lbulo de radiacin.

rea de haz. Es el ngulo sobre el cual se concentrara la radiacin si fuera de-ntro de este ngulo de valor igual al mximo:

4),(

4

= dfA . directividad. Es la relacin entre la densidad de potencia mxima y la densidad de

potencia promedio sobre una esfera. Es inversamente proporcional al rea de

haz: A

Amax

PP

PdPd

D

=

=

=

4

4//

4/

ganancia: donde k es la eficiencia, relacionada con las prdidas por efecto Joule en los conductores de la antena.

rea o abertura efectiva. Da la relacin entre la potencia elctrica til y la densi-dad de potencia que recibe la antena:



Las propiedades de las antenas estn ligadas entre s. Algunas relaciones impor-

tantes son: AemA =2 ee AGAD m 22

4 4

==

El sistema radiante usado como base para el anlisis de antenas de hilo largas es el dipolo elctrico radiante, para el que se calculan los campos. Se demuestra que los campos tienen trminos de radiacin, que transportan potencia media y trminos de induccin, que no lo hacen. Los campos de radiacin constituyen una onda esfrica elemental:

sen)sen(4

sen4

),(

sen)sen(4

sen4

),(

0)(0

0

20)(

0

20

krtrkLIe

rkLIit

krtr

kLIer

kLIit

krtirad

krtirad

==

==

rH

rE

rrN 8

sen

32

sen 2

2

2200

20

2

23220

==>< par )2()(4impar )2(

8

200

nnCinnCinnnCinIP

y de onda viajera:

0

)1(cos2)(00

cos1

sen)cos1(2

sen

2

EH

Lkee

rI

EL

ikkrti =

( ) ( )

++>=> = d: a) calcular los campos radiados y el vector de Poyn-ting medio de radiacin. b) Dibujar el diagrama de radiacin horizontal y vertical. c) Analizar la presencia de lbulos y sus magnitudes relativas en los diagramas de radiacin.

10.7) Repita el ejercicio anterior para dos dipolos ubicados en r1,2 = (d/2)z . 10.8) Un conjunto de tres dipolos cortos orientados segn z estn alineados paralelos al eje x.

La separacin entre ellos es d = /2 y el desfasaje de la corriente entre dos elementos es = . Determinar el diagrama de radiacin para = /2.

E

z

a

b

1 km



10.9) Considere la misma situacin del ejercicio anterior pero determine el diagrama de radia-cin en el plano zx.

10.10) Un conjunto de tres dipolos cortos se alinean paralelamente separados por una distancia d = 2/3 y con un desfasaje = 2/3 entre las corrientes. Hallar el diagrama de radiacin en el plano = /2.

10.11) Calcule la anchura del haz principal de un sistema lineal uniforme de cinco elementos con espaciado /2 en los planos a) horizontal y b) vertical.

[Rta: a) 47.2, b) 106.2]

10.12) Cuatro radiadores de igual amplitud estn espaciados en /2. a) Halle el ngulo de fase que se requiere para maximizar el campo en la direccin = 90.

radiacion electromagnetica

Education

Transcript of radiacion electromagnetica

Induccion electromagnetica

Introduccion a la Interferencia Electromagnetica y Compatibilidad Electromagnetica

BOLETIN EPIDEMIOLOGICO MENSUAL DE LA LINEA DE AIRE, RUIDO Y RADIACION ELECTROMAGNETICA · 2017-05-23 · ELECTROMAGNETICA LINEA DE AIRE, RUIDO Y RADIACIÓN ELECTROMAGNETICA . 2 TABLA

Fuerza Electromagnetica

Cap 1 Propiedades Radiacion Electromagnetica

Física electromagnetica

Radiacion Electromagnetica

RADIACION ELECTROMAGNETICA - SEMANA 123.ppt

RADIACION ELECTROMAGNETICA Y LUZ AZUL · RADIACION ELECTROMAGNETICA Y LUZ AZUL Estudios de última generación para contrarrestar sus efectos adversos sobre la piel.

Teoria electromagnetica

Efectos de la radiacion electromagnetica en la salud

RADIACION ELECTROMAGNETICA-Ual-2011

Compatibilidad electromagnetica

Semana8 ondas electromagnetica

Contaminacion electromagnetica

Rad. Electromagnetica

Contaminación electromagnetica

Inducción electromagnetica

Secretaría de Salud Aire, Ruido y Radiacion Electromagnetica

Aire, Ruido y Radiacion Electromagnetica