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Electromagnetismo 2004 10-1

Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar

Introducción En los capítulos precedentes analizamos las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en un re-cinto sin fuentes de campo, que constituyen ondas electromagnéticas. En tales casos se suponía que las fuentes se hallaban fuera del recinto de integración. En este capítulo analizaremos las soluciones de las ecuaciones de Maxwell cuando las fuentes del campo se hallan dentro del re-cinto de integración. De esta forma se determina la relación entre el campo y sus fuentes, es de-cir, se describe el proceso de generación de energía electromagnética radiante. El problema de la radiación electromagnética tiene importancia práctica a altas frecuencias. En sistemas de potencia es de relevancia en situaciones de sobrecarga o desbalanceo transitorios, caída de rayos, y como factor de interferencia electromagnética sobre otros equipos o instalacio-nes. En comunicaciones inalámbricas, los sistemas radiantes se basan en estos principios. Final-mente, son de interés actual las consecuencias biológicas y ambientales de los campos electro-magnéticos, fundamentalmente en relación a los eventuales efectos perjudiciales que las instala-ciones eléctricas puedan tener sobre la salud humana y el medio ambiente.

Resolución de las ecuaciones de Maxwell en el vacío con fuentes

En el vacío:

),(),(),(

0),(),(

0),(

),(),(

0

0

0

tt

tt

ttt

t

tt

rjrErH

rHrE

rH

rrE

=∂

∂−×∇

=∂

∂+×∇

=•∇

=•∇

ε

µ

ερ

Para resolver estas ecuaciones inhomogéneas, es conveniente introducir los llamados potenciales electrodinámicos, que surgen de las propiedades de los campos:

Como 0),( =•∇ trH ⇒⇒⇒⇒ ),(1),(0

tt rArH ×∇=µ

A es el llamado potencial vectorial electrodinámico1.

Entonces: 0),(),( 0),(),( 0 =×∇∂∂

+×∇⇒=∂

∂+×∇ tttt rA

trE

trHrE µ

Luego: 0),(),( =

∂∂

+×∇trArE tt

de modo que el campo dentro del corchete se puede escribir como el gradiente de un potencial

escalar: ),(),(),( ttt rtrArE φ−∇=∂

∂+ ⇒⇒⇒⇒

trArrE∂

∂−−∇=

),(),(),( ttt φ

φ es el llamado potencial escalar electrodinámico2.

1 Nótese que este potencial vectorial electrodinámico coincide con el potencial vectorial magnético que hemos visto

previamente en el caso estático cuando los campos no dependen del tiempo. 2 También el potencial escalar electrodinámico coincide con el potencial electrostrático cuando los campos no de-

penden del tiempo.

10 - Radiación Electromagnética



Ejemplo 10.1: Analizar la unicidad en la selección de los potenciales electrodinámicos.

Como se define el potencial vectorial a partir de: 0/),(),( µ×∇= tt rArH se ve que puede escribirse también: [ ] 0/),(),(),( µttt rrArH Ψ∇+×∇= donde ),( trΨ es un campo escalar diferenciable cualquiera, ya que el rotor de un gradiente siempre es cero. Entonces el poten-cial vectorial no es único, sino que está definido a menos del gradiente de un campo escalar. Si tomamos entonces: ),(),(),( ttt rrArA Ψ∇+=′

queda para el campo eléctrico: tr

trAr

trArrE

∂Ψ∂∇

−∂

∂−−∇=

∂′∂

−−∇=),(),(),(),(),(),( tttttt φφ

o sea: trA

trrrE

∂∂

−

∂Ψ∂

+−∇=),(),(),(),( tttt φ

de manera que si tomamos los potenciales electrodinámicos:

trrr

rrArA

∂Ψ∂

−=′

Ψ∇+=′),(),(),(

),(),(),(ttt

ttt

φφ

llegamos a las mismas expresiones de los campos que antes. La función Ψ es arbitraria, y su elección se conoce como una calibración o gauge. Las leyes físicas deben ser invariantes frente a una transformación de calibración. Las modernas teorías de gauge en la descripción de las interacciones elementales han creado una nueva visión de la física.

Los potenciales electrodinámicos φ(r,t) y A(r,t) permiten obtener los campos. Veamos cómo se escriben las ecuaciones de Maxwell para estos potenciales:

jAArjrErH

AArrE

=

∂∂

+∇∂∂

+×∇×∇⇒=∂

∂−×∇

−=•∇∂∂

+∇⇒−=

∂∂

+∇•∇⇒=•∇

ttt

ttt

tttt

φεµ

ε

ερφ

ερφ

ερ

00

0

0

2

00

1 ),(),(),(

),(),(

de donde:

( ) jAAAjAAA 02

2

22

202

2

222 11 11 µφµφ

=∂∂

+∇−

∂∂

+•∇∇⇒=∂∂

+

∂∂

∇+∇−•∇∇tctctctc

Todo campo vectorial queda unívocamente definido si se dan su divergencia y su rotor. En el caso del potencial vectorial A se conoce el rotor (que es H) pero las ecs. de Maxwell no dan nin-guna condición sobre su divergencia. Es así que podemos elegirla de la forma más conveniente para resolver el problema. Esta elección arbitraria se llama una calibración, como se mencionó en el Ejemplo 10.1. En nuestro caso, las ecuaciones diferenciales para los potenciales electrodinámicos se simplifi-

can si usamos la calibración de Lorentz: 012 =∂∂

+•∇tcφA

de donde queda:

),(),(1),( ),(),(1),( 02

2

22

02

2

22 tt

tcttt

tct rjrArArrr µ

ερφφ =

∂∂

−∇=∂∂

−∇

que son ecuaciones vectoriales de D’Alembert inhomogéneas. La solución de estas ecuaciones inhomogéneas son las siguientes (APENDICE 7):

∫∫′′

=′′

=VV

dVR

ttdVR

tt ),(4

),( ),(4

1),( 0

0

rjrArrπ

µρ

επφ

con: cRttR / −=′′−= rr

Se ve de estas expresiones que los potenciales en un punto r del espacio y en el instante t dependen de lo que ocurrió en las fuentes en un instante ante-rior t’. Por esta razón se lla-man potenciales retardados.



Este retardo surge del valor finito de propagación de la luz en el vacío, que da lugar a un interva-lo entre el momento que se da un cambio en la fuente y el momento en que se observa el corres-pondiente cambio en el campo lejano observado. Los cambios se propagan en forma ondulatoria con velocidad c. Estas ecuaciones representan la generación de ondas electromagnéticas a partir de sus fuentes. Estas ondas transportan energía desde las fuentes hacia otros sistemas.

De la expresión de A se observa que existe generación de ondas cuando la corriente depende del tiempo. Si la corriente es estacionaria, no existe generación de ondas. Una corriente estacionaria (independiente del tiempo) implica que las cargas se hallan en movimiento uniforme. Una co-rriente no estacionaria implica cargas aceleradas.

Parámetros básicos de las antenas

Su objetivo es enviar o recibir energía y/o información a distancia en forma de ondas electro-magnéticas. Se puede pensar una antena como un dispositivo de adaptación de impedancias entre la línea o guía de alimentación y el espacio. En las siguientes secciones presentamos los paráme-tros básicos que describen el comportamiento de las antenas. Resistencia de radiación Cuando la antena actúa como emisora, envía energía al espacio que la rodea. Se puede modeli-zar esta cesión de energía con una analogía circuital donde la energía radiada se supone disipada por efecto Joule en una resistencia de radiación.

Diagrama de radiación Un parámetro importante de una antena es la distribución espacial de la radiación que emite. Sabemos que mediante interferencia de radiadores coherentes podemos obtener una distribución no uniforme de la radiación. Esto permite lograr “guiar” ondas aún el espacio libre sin contornos. Las gráficas de campo o densidad de potencia radiada según las direcciones del espacio son los llamados diagramas de radiación. Estos diagramas también describen las propiedades anisótro-pas de recepción de antenas receptoras, de manera que son características de gran interés en el diseño de un enlace de radiocomunicaciones.Habitualmente el diagrama de radiación de una an-tena es un diagrama tridimensional o un grupo de secciones sobre planos que definan las caracte-rísticas de la antena. Normalmente se trata de un diagrama en coordenadas esféricas y secciones sobre planos horizon-tales (a ϕ constante) o verticales (a θ constante). En la figura se muestran diagramas polares horizontales del campo y la densidad de potencia radiados por un arreglo de radiadores ubicados sobre el eje vertical.

Generador Onda guiada

Antena Generador Onda guiada

R Radiación

Onda libre

Se concluye entonces que sólo cargas aceleradas emiten ondas electromagné-ticas, mientras que cargas en movimiento uniforme no emiten radiación.

Una antena es un transductor entre una onda guiada y una onda en el espacio libre.



También se pueden dibujar los diagramas en coordenadas cartesianas, con ordenada proporcional a la amplitud del campo o a la densidad media de potencia radiada, en escala normal o en escala logarítmica (en dB), como se ilustra en las siguientes figuras para el mismo sistema de las gráfi-cas polares.

Se observa que el diagrama de radiación consiste en una serie de lóbulos. Se ve además que (en general) el diagrama de radiación de campo revela con más detalle la estructura lobular de la radiación, aunque el diagrama de densidad de potencia describe en forma más realista la distri-bución anisotrópica de la energía radiada. En lo que sigue en esta sección, nos referiremos al diagrama de potencia. Hay lóbulos principales, en las direcciones de máxima radiación, y lóbulos secundarios, que se hacen más evidentes en los diagramas logarítmicos. El lóbulo se define por su amplitud y su ancho de haz de potencia media ∆ϕ para el cual la densidad de potencia cae a la mitad del valor máximo para el lóbulo (y los campos a 2/1 ). En muchos casos la antena produce una polarización no lineal, y se pueden dar los diagramas de radiación para cada componente de polarización o un diagrama de potencia, que grafica el módu-lo del vector de Poynting (para el campo completo) en función de la dirección (θ,ϕ). Habitual-mente los diagramas de potencia se normalizan a la densidad máxima.

Potencia media radiada

El vector de Poynting medio emitido por la antena será: ( )*Re21 HEN ×>=<

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

Diagrama de campo Diagrama de potencia

θ (grados) θ (grados)

∆ϕ



La potencia media radiada por la antena se calcula mediante el flujo del vector de Poynting a través de una superficie cerrada que contiene a la antena:

∫ •=S

dsP nN ˆ

La superficie de integración es cualquiera. Supongamos, por ejemplo, que tomamos a S1 como superficie de inte-gración, y obtenemos un valor 1P . Si luego tomamos otra superficie S2 que contiene a S1, obtendremos en prin-cipio otro valor 2P . Pero el espacio entre S1 y S2 es va-cío, es decir, no contiene fuentes (otros radiadores) ni su-mideros (por ejemplo, cuerpos conductores) de energía electromagnética. Por lo tanto la potencia que cruza S1 debe ser la misma que cruza S2. De esta forma demostra-

mos que la superficie de integración puede ser cualquiera y entonces se elige por conveniencia matemática una esfera centrada en el centro de la antena:

∫∫ Ω><=•><>=<π4

2ˆ drNdSP rS

nN

donde dΩ es el ángulo sólido elemental subtendido por el elemento dS. Definimos así el dia-grama de radiación de potencia:

),( 2 ϕθfN

NdPd

dPdNr

dPd

maxr

r

max

r =><><

=Ω

Ω⇒><=

Ω><

Area de haz

Se define como área de haz a: πϕθ

π

4),(

4

≤Ω=Ω ∫ dfA y es el ángulo sobre el cual se

concentraría la radiación si fuera dentro de este ángulo de valor igual al máximo. Se tiene que: AmaxAmaxr dPdrNP ΩΩ=Ω><>=< 2

El área de haz mide la anisotropía de la radiación. Es menor cuanto más concentrada se halla la radiación en un ángulo pequeño.

El área de haz se puede expresar en forma aproximada como el producto de los anchos de poten-cia media sobre las dos direcciones principales ortogonales:

ϕθ ∆∆≅ΩA También en ocasiones se separa la contribución de los lóbulos mayores de los lóbulos menores:

mMA Ω+Ω≅Ω lo que lleva a definir la eficiencia del haz principal como: AMM ΩΩ= /ε

Directividad, ganancia y eficiencia La directividad de una antena es la relación entre la densidad de potencia máxima y la densidad de potencia promediada sobre una esfera. Resulta en un número ≥ 1 que mide el grado de aniso-tropía de la radiación. Una antena muy directiva concentra su radiación en un ángulo sólido pe-queño.

De acuerdo a su definición: A

Amax

PP

PdPd

DΩ

=Ω

=Ω

=π

ππ4

4//

4/ y se ve que la directi-

vidad es inversamente proporcional al área de haz.

S1

S2 dS dΩ

r

Una antena isotrópica tiene directividad unitaria.



Se denomina ganancia de la antena a: donde k es la eficiencia de la antena, que está relacionada con las pérdidas por efecto Joule en los conductores de la antena. Si (idealmente) la antena no presenta pérdidas óhmicas, k = 1 y la ganancia coincide entonces con la directividad. Impedancia de entrada La impedancia de entrada es la impedancia que la antena presenta al circuito de alimentación. En general es compleja: ZA = RA + i XA y la parte resistiva se puede descomponer en la parte Rj que representa las pérdidas óhmicas en el circuito de la antena y la resistencia de radiación Rr, asociada a la potencia emitida: RA = Rj + Rr. La impedancia de entrada de la antena es un parámetro fundamental para la adaptación de la an-tena al circuito alimentador y es frecuente que su variación con la frecuencia sea uno de los pa-rámetros de diseño más importantes.

En general podemos considerar un generador de impedancia interna ZG conec-tado a una antena de impedancia de entrada ZA. La corriente de alimentación de la antena es la que circula por el circuito equivalente de la figura:

)( AGrjGAG XXiRRRV

ZZVI

++++=

+=

donde V es la tensión pico del generador. La potencia media de pérdidas óh-

micas en la antena es: 22

22

)()(221

AGrjG

jjj XXRRR

RVRIP

++++==

mientras que la potencia media radiada por la antena es:

22

22

)()(221

AGrjG

rr XXRRR

RVRIP

++++==

Finalmente, la potencia media perdida en el circuito del generador es:

22

22

)()(221

AGrjG

GGG XXRRR

RVRIP

++++==

El generador debe suministrar estas tres potencias. La condición de máxima transferencia de potencia del generador a la antena se da cuando la impedancia de la antena es el conjugado de la impedancia del generador:

AGrjAG XXRRRR −=+== En este caso las potencias involucradas valen:

)(8

)(8

)(8

2

2

2

2

2

rjG

rj

r

rj

jj RR

VP

RRRV

PRR

RVP

+=

+=

+=

de donde se ve que: PPPP jAG +== es decir la potencia perdida en el circuito interno del generador es igual a la potencia total que se envía a la antena, donde parte se disipa por efecto Joule y parte es emitida en forma de radiación electromagnética. Si la antena idealmente no tuviera pérdidas el generador debería suministrar el doble de la potencia que se quiere emitir en la condición de máxima transferencia de potencia. En casos prácticos debe suministrar más, para compensar las pérdidas óhmicas de la antena y de la/s líneas de transmisión de conexión. Abertura o área efectiva Cuando la antena se utiliza como receptora, recibe una dada densidad de potencia electromag-nética, que convierte en energía eléctrica en un circuito. La relación entre la potencia eléctrica

ZA

ZG

V I

G = k D



útil y la densidad de potencia que recibe la antena tiene dimensiones de área, y se denomina área o abertura efectiva de la antena:

La abertura efectiva de la antena significa el área efectiva que presenta a la radiación inciden-te, como si fuera una “abertura” por donde pasa toda la potencia recibida. La abertura efectiva de la antena resume dos características: la anisotropía o directividad de la antena y la eficiencia de conversión de energía radiante en potencia eléctrica en un circuito. Si suponemos que esta efi-ciencia es máxima (unitaria), la abertura efectiva se denomina abertura efectiva máxima. Para calcular la abertura efectiva máxima de una antena receptora consideremos una antena que

está conectada a una carga ZL, sobre la que incide una onda desde un transmisor lejano, que podemos considerar una onda plana. En tal caso, el vector de Poynting o densidad de potencia incidente es:

02 2ηiEN >=< donde Ei es la amplitud del cam-

po incidente. Por otra parte, este campo incidente inducirá una fem LEV i≈ sobre la antena, don-

de L es su longitud. Se puede entonces pensar en un circuito equivalente como el de la figura, donde ZA es la impedancia de la antena. Por lo tanto, la potencia transmitida a la carga es:

( ) ( ) 2

22**

2221

21

AL

LLLL ZZ

RVRIIIZeIVeP

+==ℜ=ℜ>=<

Si queremos hallar la abertura máxima no debe haber pérdidas en la antena, de modo que la parte real de la impedancia de antena es solamente la resistencia de radiación: ArA iXRZ += lo que indica que toda la potencia activa absorbida por la antena es potencia de radiación. Además, para máxima transferencia de potencia de la antena a la carga, la impedancia de carga debe ser conju-gada de la de la antena: ArAL iXRZZ −== * y entonces:

r

i

rr

r

AL

L

RLE

RV

R

RV

ZZ

RVP

88222

222

2

2

2

2

===+

>=<

La abertura efectiva máxima resulta así: ri

rie R

L

E

RLENPA

m 42

8 20

02

22η

η==

><><

=

para una antena del tipo de un alambre recto. Cuando la antena es una espira, la fem inducida será:

cSEiSEiSBidtdV iiim ωηµωω ==≈Φ= )/( 00 donde S es el área de la espira. Luego:

88 2

2222

⇒=>=<r

i

r Rc

SE

R

VP

ω

rri

rie

R

S

Rc

S

E

RcSE

NPA

m 2

20

2

2

220

02

2222

42

8

λ

ηπωη

η

ω===

><

><=

donde se ha usado: ω/c = 2π/λ Una misma antena puede utilizarse como transmisora y receptora. Por lo tanto, sus características de rtransmisión y recepción están ligadas. Las relaciones más importantes son3:

AemA Ω=2λ ee AGAD

m 22

4 4λπ

λπ

=⇒= :

3 Ver, por ejemplo, W.Stutzman & G.Thiele, “Antenna Theory and Design”, 2nd.Ed., Wiley, New York, 1998, p.78.

ZL

L ZL

ZA

V I

Ae = <P>/<N>



Tipos básicos de radiadores En este capítulo veremos algunos de los tipos básicos de radiadores: el dipolo eléctrico corto, el dipolo magnético elemental y las ranuras radiantes. Con estos tipos podemos describir antenas de mayor complejidad y tamaño.

Los diagramas de radiación y la polarización de los campos emitidos por estos radiadores se muestran en las figuras para comparación. Debe tenerse en cuenta que la intensidad de la poten-cia radiada por estos elementos es diferente y los diagramas no están a escala.

Una clasificación básica de las antenas surge de su comportamiento en frecuencia. Hay configu-raciones de banda angosta, que emiten eficientemente sólo en un conjunto discreto de frecuen-cias (quizás una sola) y antenas de banda ancha, que emiten con eficiencia similar en un espec-tro importante. Cada tipo tiene aplicaciones específicas y veremos ejemplos de ambos tipos de antenas en este Capítulo.

Radiación dipolar eléctrica Las antenas tradicionales consisten en conductores filiformes por los que circulan corrientes de-pendientes del tiempo. El caso más simple de emisión de ondas electromagnéticas o radiación, se da en el caso de un hilo muy corto, que transporta una corriente uniforme variable en el tiem-po. Este objeto no corresponde a ningún caso real, pero se trata de un caso límite que se puede usar luego para el análisis de antenas reales mediante superposición.

Suponemos que por el hilo, que llamamos dipolo eléctri-co radiante, circula una corriente armónica uniforme

tieItI ω0)( = (en notación fasorial). El potencial vectorial

magnético creado por el dipolo será:

∫∫ ′′

=′′′

=CV

zdrtIVd

Rtt zrjrA ˆ)(

4),(

4),( 00

π

µ

π

µ

donde hemos pasado de una integral de volumen a una integral de línea, y como r’ = 0 y la corriente no depen-

de de r’ queda: zrA ˆ4

),( )/(00 crtierLI

t −= ω

π

µ

A partir del potencial vectorial podemos calcular el cam-po magnético: H = ∇×A. Para ello nos conviene expresar A en coordenadas esféricas, ya que su dependencia funcional es respecto de la distancia r. De la figura: θsenˆcosˆ θθ −= rz

y entonces: ( )θsenˆcos4

),( )/(00 θθπ

µ ω −= − rrA crtier

LIt

E

H

Dipolo eléctrico

E H

Dipolo magnético

Ranura radiante

E H

La combinación de estos tres tipos elementales de radiadores lleva a la mayoría de los tipos de antenas de uso en la técnica.

z

θ r

r

θ

z

x

z

y

A(r,t)

L I(t)

r



En coordenadas esféricas:

0

0

ˆsenˆˆ

sen1

sen

ˆsenˆˆ

sen1

22

θφθ

θ

φθθ

θθφθ

φθθ

θrAA

r

rr

rArrAA

r

rr

rrr

∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

=×∇

rr

A

( )

( ) φθθπ

µ

φθθ

θπ

µφ

θ

ω

ωθ

ˆsensen4

ˆcossen4

ˆ)(1

00

00

+−−=

∂∂

−∂∂

−=

∂∂

−∂

∂=

−−

−−

reekie

rLI

ree

re

rLIA

rrA

rkri

kriti

krikritir

y finalmente: φθπµ

ω ˆsen14

1),( )(0

0

+=×∇= −

rkie

rLIt krtiArH

Se ve que H(r,t) tiene dos términos, uno que depende como 1/r y otro que depende como 1/r2. A partir de H(r,t) se puede calcular E(r,t) con la ecuación de Maxwell-Ampère:

( ) ( )

∂∂

−∂∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

=×∇=⇒∂∂

=×∇

φφ

φ

θθθθθεω

θφθ

φθθ

θεωεωε

Hrr

rHrri

Hrr

rr

riit

senˆsenˆsen11

sen00

ˆsenˆˆ

sen111

20

200

0

rE

r

HEEH

y finalmente:

−−−

+−= − θθθ

ωεπω ˆ1senˆ1cos2

4),( 2

2)(

0

0

rrikk

rki

re

rLIi

t krti rrE

Se ve que E(r,t) tiene dos componentes, una sobre r y otra sobre θ . Esta última componente presenta un término que depende como 1/r mientras que todos los otros términos de E(r,t) de-penden de potencias de r inversas mayores. Los campos creados por cargas estáticas y corrientes estacionarias contenidas en recintos acota-dos a grandes distancias varían como 1/rn, con n ≥ 2. Este es el primer caso que hemos encon-trado donde campos lejanos varían como 1/r. Estos términos, que predominan a grandes distan-cias sobre los otros términos, se denominan términos de radiación. Para completar el análisis de su significado calculamos la potencia media que transportan las ondas generadas por el dipolo. Necesitamos el valor medio del vector de Poynting. En notación

fasorial: ( ) ( )θφθ

φφθ

φ

θˆˆRe

21

000

ˆˆˆRe

21*Re

21 **

*

HEHEH

EE rr −=

=×=>< rr

HEN

Luego (señalamos en rojo los términos de radiación):

( )* ( ) ( )0 02

2

0

1 1 1 1Re Re sen sen2 2 4 4

i t kr i t kriI L I LikE H e er r r

k ikr r

ω ωθ φ θ θ

πε ω π− − − = − − +−

2 2 2 2 3 22 2

20 02 2 2 2 3 2 2

0 0

3 sen1 1 Re sen2 16 32

iI L I L kk k ik ikr r r r r r

ikrθθ

π ε ω π ε ω

= + − − + − = −



( )

01cossen8

Re21

sen14

1cossen4

2Re21Re

21

222

20

2

220

)(0)(

0

0*

=

+−+=

+−

+= −−−

rrki

rkik

rLIi

rkie

rLI

rki

re

rLIiHE krtikrti

r

θθωεπ

θπ

θθωεπ

ωωφ

y finalmente: rrN ˆ8

senˆ

32

sen 2

2

2200

20

2

23220

==><λ

θη

ωεπ

θ L

r

I

r

kLI

Se observa que sólo contribuyen al valor medio del vector de Poynting los términos de ra-diación en el desarrollo de los campos:

φθωπ

φθπ

θθωωεπ

θθωεπ

ω

ω

ˆsen)sen(4

ˆsen4

),(

ˆsen)sen(4

ˆsen4

),(

0)(0

0

20)(

0

20

krtrkLIe

rkLIit

krtr

kLIer

kLIit

krtirad

krtirad

−−==

−−==

−

−

rH

rE

de donde:

0000

0

20

1

4

4 ηεωε

π

ωεπ====

ck

rkLI

rkLI

rad

rad

HE

Estos campos se denominan campos de radiación y son los que describen la emisión de energía electromagnética del dipolo. Se ve que los términos de radiación dependen como 1/r , son perpendiculares entre sí y a la dirección de propaga-ción radial, y la relación entre ellos es la impedancia intrín-seca del vacío. Constituyen entonces una onda esférica ele-mental.

Ejemplo 10.2: Analizar la relación entre los campos de radiación y los potenciales electrodi-námicos.

Para soluciones armónicas: AE ωφ i+−∇=

El potencial vectorial es: ( )θsenˆcos4

),( )/(00 θθπ

µ ω −= − rrA crtier

LIt

Y el campo eléctrico de radiación: θθωεπ

ω ˆsen4

),( )(

0

20 krti

rad er

kLIt −−=rE

Se ve que θω θˆ),( Aitrad =rE de donde surge que el campo de radiación está relacionado

solamente con la componente de A transversal a la propagación. El potencial escalar no interviene en la definición del campo de radiación, sino que da lugar a componentes longi-tudinales a la propagación que no son términos de radiación.

De estas ecuaciones surge que una forma sencilla de hallar, en forma aproximada, los campos lejanos o campos de radiación de un radiador es: 1) calcular A con la solución particular ecuación inhomogénea; 2) calcular E rad = iω AT donde AT es la componente de A transversal a la propagación; 3) calcular 0/ˆ ηradrad ErH ×=

x

z

y

N(r,t)

Hφ(r,t)

Eθ(r,t)

L I(t)

r



z

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

z

Los otros términos de los campos se denominan campos de inducción o términos de inducción y decaen más rápido que los términos de radiación. Estos términos no transportan energía neta (en valor medio temporal), pero definen los valores relevantes del campo en las cercanías del emisor. El diagrama de radiación para el dipolo eléctrico corto se obtiene de:

22 20 0

2

22 20 0max

sen8( , )

8

r

r

I Lr Nf

r N I L

η θλθ φ

ηλ

< > = =

< >

⇒ 2( , ) senf θ φ θ=

Este diagrama presenta un máximo o lóbulo principal para θ = π/2. El diagrama no presenta dependencia respecto de φ por la simetría de revolución del problema respecto del eje z, de ma-nera que la gráfica polar 2D es una sección recta del diagrama 3D que es un toro.

Potencia radiada

La potencia media radiada por el dipolo es: ∫ •><=><

S

dSP nN ˆ

donde S es una superficie cerrada cualquiera que encierra al radiador. Debido a que <N> depen-de de r y de θ, conviene usar una superficie esférica. Se tiene:

∫∫ ∫∫

=

=•><=><

ππ π

θθπλ

ηφθθθ

λη

0

322

0022

0 02

22200 sen2

8sensen

8ˆ dLI

ddrr

LIdSP

S

nN

y entonces: 22

00

3

=><λ

ηπ LIP

Se observa que la potencia media radiada depende del cuadrado de la corriente pico y de la rela-ción (L/λ)2. Como para el dipolo elemental esta relación es muy pequeña, la potencia emitida por el dipolo radiante eléctrico también lo es. Podemos calcular los otros parámetros vinculados con la radiación:

• Resistencia de radiación: rRILIP 20

2200

21

3=

>=<λ

ηπ ⇒ 2

032

=λ

ηπ LRr

• Ancho de haz de potencia media: o90/2 4/ 2/1sen 2,12 ==∆⇒±=⇒= πθπθθ

• Area de haz y eficiencia del haz principal:



1 38sensen

0

32

04

2

4

=ΩΩ

===Ω=Ω><><

=Ω ∫∫∫∫ AM

Mmaxr

rA dddd

NN

επθθϕθππ

ππ

• Directividad: 2/3/4 =Ω= AD π

• Abertura efectiva máxima: πλη

83

4

220 ==

re R

LAm

(se verifica 2/4 λπmeAD = )

Ejemplo 10.3: Un dipolo eléctrico radiante de 1 cm de longitud alimentado por una corriente pico de 1 A y frecuencia 10 MHz. Halle la potencia radiada y la resistencia de radiación

A 10 MHz la longitud de onda es cmLmfc 130/ =>>≈=λ de modo que podemos usar las aproximaciones de dipolo elemental.

La potencia radiada es: ( ) WLIP µ≈ληπ>=< 443 2200 que es muy baja.

La resistencia de radiación es: ( ) Ω×≈η×≈ληπ= −− 50

720 1077.8103.232 LRr

también muy baja



Radiación dipolar magnética Para el espacio vacío, las ecuaciones de Maxwell donde figura el rotor de los campos son simé-

tricas: 0),(),( 0),(),( 00 =∂

∂−×∇=

∂

∂+×∇

ttt

ttt rErHrHrE εµ

Nada cambia si reemplazamos E por H y µ0 por ε0 en la ley de Faraday, H por (-E) y ε0 por µ0 en la de Maxwell-Ampère. Esta propiedad se conoce como dualidad, y lleva a que podamos expresar la solución de un problema con una fuente magnética a partir de la solución para un problema similar con una fuente eléctrica. Para usar esta propiedad expresamos los campos de la radiación por un dipolo eléctrico corto, no en términos de la corriente que circula por el elemento sino a través de su momento dipolar eléctrico, que podemos calcular a partir de la ecuación de continuidad aplicada dentro del ele-mento conductor. Para variaciones armónicas:

0 0/ =+•∇⇒=∂∂+•∇ ωρρ it jj Integramos sobre un volumen V que encierre un solo extremo del elemento:

( ) ∫∫∫∫∫ =•⇒=•∇⇒=+•∇VVVV

dVidSdVidVdVi ρωρωωρS

ˆ 0 njjj

de donde: qiI ω=0 . En esta ecuación q es la carga acumulada en el extremo del elemento. Debido a la pequeña longitud del elemento no habrá carga acumulada en su interior, aunque un razonamiento similar nos demuestra que hay una carga acumulada (-q) en el otro extremo del elemento. Podemos pensar así al elemento

de corriente como un dipolo, cuyo momento dipolar será: ωiLIqLp 0== A partir de este resultado podemos expresar los campos y otras características del dipolo eléctri-co corto radiante en términos de este momento dipolar eléctrico4:

En la magnetostática se define el momento dipolar magnético de una espira como nm ˆIS= , donde I es la corriente que circula por la espira, S su área y n la normal. El campo magnético creado por este dipolo magnético tiene la misma forma matemática que el campo eléctrico crea-do por el dipolo eléctrico en la electrostática. En la electrodinámica podemos, utilizando la pro-piedad de dualidad, escribir los campos creados por un dipolo magnético radiante por el que cir-cula una corriente armónica. Para ello usamos las siguientes relaciones duales:

Dipolo eléctrico radiante ⇒ Dipolo magnético radiante Momento dipolar eléctrico ⇒ Momento dipolar magnético Campo E, µ0 ⇒ Campo H, ε0 Campo H, ε0 ⇒ Campo (-E) , µ0

zp ˆ)( 0 ωiLI= ⇒ zm ˆIS=

de donde:

θπ

ω ωφ sen

rkie

rpitH krti

+= − 1

4),( )(r

⇒ θπ

µω ωφ sen

rkie

rmi

tE krti

+−= − 1

4),( )(0r

θεπ

ω cos12

),( )(

20

+= −

rkie

rptE krti

r r ⇒ θ

πω cos1

2),( )(

2

+= −

rkie

rmtH krti

r r

θεπ

ωθ sen

rrikke

rptE krti

−−−= −

2

2)(

0

14

),(r ⇒ θ

πω

θ senrr

ikker

mtH krti

−−−= −

2

2)( 14

),(r

4 En realidad, en la deducción original de los campos radiados por este elemento realizada por Hertz consideró efec-

tivamente un dipolo (dos cargas eléctricas) cuya carga depende del tiempo, de donde surge el nombre de este ra-diador.

I0

V

S



Y los campos de radiación del dipolo magnético radiante quedan entonces

φθπ

η ω ˆ4

),( )(2

0 senermk

t krtirad

−=rE θθπ

ω ˆ4

),( )(2

sener

mkt krtirad

−−=rH

Los campos de radiación son normales entre sí y a la dirección radial de propagación, y se hallan en relación de dualidad respecto de los campos radiados por el dipolo eléctrico corto. El vector medio de Poynting es:

( ) rHEN ˆ32

ˆ4

ˆ4

Re21Re

21 2

22

2200

4)(0

2)(0

20* θ

π

ηθθ

πφθ

π

η ωω senr

SIksene

r

SIksene

r

SIk krtikrti =

×−=×=>< −−−

El diagrama de radiación es el mismo que para el dipolo eléctrico corto. La potencia radiada es:

4

2200

2

0

32

2200

42

34sen

322

ληπθθ

πηπ

π SIdSIkdSNrPS

r ==><=>< ∫∫

A partir de estas expresiones se pueden calcular los otros parámetros de la antena dipolar magné-tica.

• Resistencia de radiación: rRISIP 204

2200

2

21

34

=>=<λ

ηπ ⇒ 4

20

2

38

ληπ SRr =

• Abertura efectiva máxima: 8

3 2

2

20

2 λληπ

==r

e RSA

m

El ancho de haz de potencia media, el área de haz y la eficiencia del haz principal y la directivi-dad coinciden con las expresiones del dipolo eléctrivo corto. Es interesante comparar las potencias radiadas por las dos antenas elementales en similares con-diciones. Tomamos el mismo valor de I0, frecuencia y tamaño equivalente con: S = L2:

( )( )

14222

0031

22200

23

4<<==

><><

λπ

ληπληπ S

LISI

PP

E

M

para dipolos pequeños frente a la longitud de onda. Por lo tanto, el dipolo magnético radiante es aún menos eficiente que el dipolo eléctrico de dimensiones similares.

Radiador isotrópico Se ve que la radiación emitida por el dipolo eléctrico corto es anisótropa, es decir, depende de la dirección en el espacio. En análisis teóricos es conveniente disponer de un radiador (ideal) que emita en forma isótropa. Este radiador isótropo o isotrópico se puede describir mediante los campos y densidad de potencia:

que representan una onda esférica elemental.

Por otra parte, estas expresiones coinciden con las correspondientes a los campos del dipolo eléc-trico elemental sin tener en cuenta la variación con θ.

radiador isotrópico 1),( 2

20

2

0

)(

=⇒=><==−

φθηη

φ θω

θ fr

ANEHr

eAE r

krti



Radiador fuera del origen Los campos de un radiador situado en el origen de coordenadas pue-den describirse por ondas esféricas elementales, modulada por un factor de anisotropía debido a la geometría del radiador y la distribu-

ción de corriente dentro del radiador: r

efFkrti )(

),()(−

=ω

φθr En la figura se muestra esta geometría. Si se corre el origen de coor-denadas, de modo que el radiador pase a la posición r’, la expresión de los campos debe modificarse a:

RefF

kRti )(

),()(−

′′=ω

φθr donde rrR ′−==R

θ’ y φ’ son los ángulos esféricos en el sistema coordenado centrado en el radiador. Para distancias lejanas ( rr ′>> )el triángulo formado por los vectores r, r’ y R es muy delgado. Por el teorema del coseno y desarrollando en serie de Taylor a primer orden:

rrrr ˆ222 •′−≈•′−′+= rrrR Podemos aproximar a orden cero en la amplitud del campo (el denominador de la expresión anterior), pero debemos mantener orden uno en la fase, ya que en general usamos la descripción del radiador fuera del origen de coordenadas para

analizar la superposición coherente de los campos radiados por un conjunto de radiadores, y es el término de fase el que introduce el fenómeno de interferencia. Por otra parte, los ángulos esféri-cos tienden a sus valores respecto del sistema coordenado original: θ’→ θ y φ’ → φ.

Aproximamos así: rkrrr ′•−

•′−−

=≈ ikrti

ikkrti

er

efer

efF)()(

),(),()(ωω

φθφθ &&

ya que rkrrrk ′•−=•′−≈⇒= krrkkRk )ˆ( ˆ . En resumen:

y

z

x

θ

φ

r

En la superposición de campos emitidos por radiadores elementales, los campos de radiación lejanos habitualmente pueden calcularse: • aproximando la amplitud a orden cero: rR /1/1 ≈ • aproximando la fase a orden uno: rk ′•−≈ krkR • suponiendo paralelos los campos emitidos

φ’ y

z

x

θ '

φ

r R

r’ θ



Dipolo eléctrico largo El dipolo eléctrico corto es un sistema ideal, ya que la corriente no puede ser constante sobre toda su extensión, porque debe anularse en los extremos. En el caso de una antena dipolar de longitud L cualquiera podemos anular la corriente en los ex-tremos abiertos, pero entonces debemos admitir que la corrien-te varía a lo largo de la antena. Se observa experimentalmente que en muchos casos de interés la distribución de corriente a lo largo de la antena se puede expresar aproximadamente como:

tiezLItzI ωλπ

−=

22sen),( 0

Para calcular los campos emitidos por el dipolo largo podemos repetir el procedimiento realizado con el dipolo corto o pode-mos pensar que la antena está formada por una sucesión de dipolos eléctricos cortos de longitud dl´, cada uno de los cuales emitirá un campo de radiación:

0

0

0

2

sen),(2

sen4

),(

η

θλη

θωεπ

θφ

θ

dEdH

ldetzIR

ilde

RktzIidE ikRikR

=

′′=′′= −−

En estas ecuaciones: 22 )( zzR ′−+=′−= ρrr y θ′ es el ángulo formado entre R y el eje z. Como la relación de fases entre las corrientes que alimentan a los distintos elementos radiantes es fija, dada por la expresión de la distribución de corriente sobre la antena, los radiadores emi-ten en coherencia de fase, y se suman los campos.

0

2/

2/

00 sen2

2sen2 η

θλπ

λη θ

φω

θEHzd

RezLeIiE

L

L

ikRti =′′

′−= ∫

−

−

Para distancias muy alejadas ( Lr >> ) aproximamos el campo generado por cada elemento como se ha explicado en la sección precedente y tenemos:

ϑcosˆˆ)ˆ(

zikikr

zikikrkriikR

er

eer

er

eR

e ′−

′•−′•−−−

==≈ zrrk

Luego: ∫−

′− ′

′−≈

2/

2/

cos)(00

2sensen

2

L

L

zikkrti zdezkkLerIi

E θωθ θ

λη

En el APENDICE 8 se calcula esta integral:

−

=′

′−∫

−

′

2coscos

2cos

sen2

2sen 2

2/

2/

cos kLkLk

zdezkkLL

L

zik θθ

θ

con lo que tenemos:

( )0 0

0

cos cos cos 2 sen 2 2

i t kri I EkL kLE e Hr

ω θθ φ

η θπ θ η

− ≈ − ≈

Podemos reescribir esta expresión como el producto entre el campo generado por un único dipo-lo “corto” de longitud L y otro factor:

θ

z

r r´

R L/2

-L/2

dl´

ρ 0

θ′



−

≈ −

2coscos

2cos

sen2)(00 kLkLe

rIiE krti θθπ

η ωθ

−

= −

2coscos

2cos

sensen

2 2

)(00 kLkLL

erLIi krti θ

θπλ

θλ

η ω

donde el primer factor θλ

ηθ ω

θ sen2

),( )(00 krtid erLIi

rE −= es el campo que generaría un único

dipolo “corto” de longitud L y

−

=

2coscos

2cos

sen)2/(

1),(2

kLkL

kLLF θ

θθ

es un factor de interferencia que depende de la dirección en el espacio (como en toda interfe-rencia) y también de la longitud del dipolo. Este factor de interferencia surge de la superposición coherente de dipolos elementales que se ha usado en el cálculo del campo radiado. El diagrama de radiación generado por el dipolo largo es:

( )

=><

><=

==

×=×=><

maxmax

d

d

maxr

r

dr

LFLF

rE

rE

NrNr

f

LFrEEE

EHEN

),(),(

),(

),(),(

),(),(2

12

Re21Re

21

2

2

2

2

2

2

22

00

2

0

**

θθ

θ

θφθ

θθηηη

θ

θ

θθθ

θφθ

y se observa que se cumple la llamada regla de multiplicación de diagramas: el diagrama de radiación total se puede expresar como el producto del diagrama de radiación de cada elemento en que se divide el sistema radiante y el diagrama de radiación que surge de la interferencia entre los radiadores elementales independientemente de sus características individuales. Realizando las cuentas:

maxr

r

NrNrf><><

=2

2

),( φθ pero: θ

λπθ

λπ

πη

2

2

2

2002

sen

coscoscos

8

−

=><

LLINr r

el máximo de esta densidad de potencia depende de una forma trascendente de la relación λ/L . Para hallar el máximo, graficamos la siguiente expresión en función de θ para distintos valores

de L/λ: θλπθ

λπθ 2

2

sencoscoscos)(

−

=

LLg

A la derecha se da el diagrama de radiación logarítmico (en dB) normalizado para las distintos valores de de L/λ. Observamos el reposicionamiento y modificación del valor de los máximos

L/λλλλ fmax θθθθ (grados) 1/2 1.0 90 1 4.0 90

3/2 1.96 42.6, 137.4 5 11.6 35,145

Diagrama logarítmico normalizado (en dB)



principales con la longitud de la antena. Se ve que aumenta la intensidad de los máximos con la relación L/λ y aparecen lóbulos secundarios en distintas direcciones. En las figuras se presenta el diagrama de radiación polar normalizado5 lineal que pueden compa-rarse con los diagramas lineales de la página previa:

Finalmente, podemos calcular la potencia radiada por el dipolo largo:

∫∫

=><=><−π

θπ

ηπ

θ

λ

πθ

λ

π

02

200

sen

2coscoscos

82 d

IdSNP

LL

Sr

Esta expresión se puede calcular6 en términos del llamado coseno integral:

∫−

=x

dtt

txCin0

cos1)(

Definimos λ/2Ln = (número de semilongitudes de onda que entran en la longitud de la antena)

y entonces: [ ]

−=><

parimpar )2()(4 )2(

8

200

nnCinnCinnnCinIP

πππ

πη

o, en función de la resistencia de radiación:

2

20 rRIP =>< ⇒ [ ]

−= par )2()(4impar )2(

40

nnCinnCinnnCinRr ππ

ππ

η

y la abertura efectiva máxima: [ ]

−==

par )2()(4/impar )2(/

42

220

nnCinnCinLnnCinL

RLA

r

e πππππη

5 En diagramas no normalizados los máximos crecen rápidamente con la longitud de la antena, de acuerdo a los valores de la gráfica de la página previa. 6 M.Bisceglia, E.Zubcov, J.C.Fernandez, “Curso de electromagnetismo”,Ed. Nueva Librería (1982), p.347.

L/λ = 1/2 L/λ = 3/2 L/λ = 5

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180



Ejemplo 10.4: Calcular la resistencia de radiación para dipolos eléctricos radiantes de nλ/2,

con n =1, 10. Calculamos de tablas o mediante series los cosenos integrales7 para obtener:

n Rr Comentarios n Rr 1 0.194 η0 = 73.08Ω dipolo de media onda 6 0.785 η0 = 295.55Ω 2 0.528 η0 = 198.95Ω dipolo de onda completa 7 0.347 η0 = 130.76Ω 3 0.279 η0 = 105.42Ω 8 0.853 η0 = 321.29Ω 4 0.689 η0 = 259.46Ω 9 0.367 η0 = 138.28Ω 5 0.320 η0 = 120.68Ω 10 0.906 η0 = 341.29Ω

Se observa que la resistencia de radiación aumenta, tendiendo a η0 con la longitud del dipo-lo y es mayor para antenas de longitud múltiplo de onda completa. Este comportamiento es-tá relacionado con la forma y tamaño de los lóbulos de radiación de las figuras previas, donde se ve cómo aumenta la radiación emitida con el tamaño de la antena.

La antena dipolar eléctrica o dipolo largo, es una antena resonante porque en el caso ideal de pérdidas nulas se forma sobre ella una onda estacionaria de corriente con nodos en los extremos abiertos. Por lo tanto la longitud de la antena debe ser un número entero de semilongitudes de onda para satisfacer esta condición. De esta forma se ve que sólo se puede excitar un conjunto discreto de frecuencias de resonancia. Si se alimenta a la antena con una frecuencia no "permiti-da", habrá una fuerte reflexión a la entrada de la antena, que se comporta en forma similar a una línea resonante. Por lo tanto la antena dipolar eléctrica es una antena de banda angosta alrededor de la/s frecuencia/s de resonancia. Este resultado es para un alambre de sección despreciable. Puede demostrarse que el ancho de banda de una antena dipolar eléctrica aumenta si se usan alambres de mayor sección.

En muchas ocasiones el “dipolo” tiene una sola rama a la que se co-necta el generador, cuya otra conexión se hace a tierra. La otra rama se puede considerar como la imagen en tierra de la rama verdadera. Así, una rama de L = λ/4 produce un “dipolo” de λ/2. Esta disposi-ción se conoce como antena látigo y es muy usada (automóviles, telé-fonos celulares, etc.). Para que este sistema sea eficiente la tierra de-be acercarse al comportamiento de plano conductor perfecto, de ma-nera que debe ser de alta conductividad y extenderse varias veces λ/4

alrededor de la posición del látigo. En general, la mayoría de las antenas se diseñan y construyen sobre tierra, y el método de imá-genes se usa extensivamente. Sin embargo, en la realidad la tierra no es un conductor perfecto, ni siquiera en casos un buen conductor. A partir de las investigaciones pioneras de Sommerfeld a principios del siglo XX, la radiación de un dipolo eléctrico sobre un plano terrestre de conducti-vidad finita se puede describir convenientemente como la superposición de una onda espacial, cuyos campos decaen como 1/r (los típicos campos de radiación que hemos ya encontrado) y una onda de superficie cuyos campos decaen como 1/r2, de forma que estos términos dejan de tener importancia en la radiación lejana. Sin embargo, la presencia de conductividad finita altera los diagramas de radiación, de manera que los lóbulos que se dan para el plano horizontal θ = π/2 giran sus máximos a un cierto ángulo de elevación, y la potencia emitida rasante al suelo se ve reducida respecto al caso ideal. En la figura8 se muestra la influencia en el diagrama de radiación de una antena dipolar vertical de 10m de longitud colocada a λ/2 por encima de tierra, con suelos de distinta conductividad, 7 En el Apéndice 9 se dan las expresiones de las series que representan al coseno integral. 8 Esta figura está tomada de “A ground is just a ground – unless it is a model of a ground”, L.B.CebikW4RNL, http://www.cebik.com/modelling.html.



modelizado con el pro-grama EZNEC/4. Se observa primero que el caso de tierra de con-ductor perfecto los ló-bulos, que tienen su máximo sobre el plano horizontal, se mueven hacia arriba. La caída de la conductividad del suelo disminuye el va-

lor del máximo de radiación y convierte el cero en un máximo secundario (Nótese que la escala es logarítmica, en dB).

Antenas de onda viajera El dipolo eléctrico largo que hemos analizado es una antena resonante, porque las distribuciones de corriente y tensión a lo largo de la misma son ondas estacionarias. Podemos analizar esta an-tena como una línea de transmisión de impedancia característica variable y abierta en el extremo. Sin embargo, es posible construir antenas donde la onda de corriente es una onda viajera que se propaga a lo largo de ella. Por ejemplo, consideremos un conductor recto de longitud L donde la corriente está definida por la onda progresiva:

)(0),( kztieItzI −= ω

El campo eléctrico radiado por cada elemento dz´ de la antena será, como en el caso del dipolo largo:

ldetzIR

ilde

RktzIi

dE ikRikR ′′=′′= −− θλη

θωεπθ sen),(

2sen

4),( 0

0

2

y aproximando de la misma manera que en ese caso:

∫ ′≅ ′′−−L

zikzikkrti zdeeerIi

E0

cos)(00 sen2

θωθ θ

λη

La integral es inmediata y obtenemos:

[ ]1cos1

sen4)1(cos

1sen2

)1(cos)(00)1(cos

)(00 −−

=−−

≅ −−−

− θωθ

ωθ θ

θπ

ηθ

θλ

η ikLkrtiikL

krti eerI

ikee

rIiE

y finalmente: 0

)1(cos2)(00

cos1

sen)cos1(2

sen

2 ηθ

θθ

πη θ

φ

θωθ

EH

Lkee

rI

EL

ikkrti =−

−

−≅−−

El diagrama de radiación (no normalizado) será:

)2/(

)cos1(sen

8)cos1(

sen)cos1(2

sen

82 2

2

2

200

2

22

2

200

0222

θ

θλ

π

πη

θ

θθ

πηηθ tan

LI

LkIErNr r

−

=−

−

≅=><

En la figura se muestran cuatro casos. Obsérvese que los máximos se hallan orientados hacia el sentido de propagación de la onda viajera (+z). El valor de los máximos crece con la longitud de la antena en forma similar a la de la antena resonante. Podemos calcular la potencia total radiada por esta antena:

∫∫−

−

=Ω><=><π

π

θπ

ηπθ

θθ

02

200

4

22)cos1(

3sen)cos1(2

2sen

82 dIdNrP

Lk

r

O

z

L

r r´

R



Esta integral vale9:

( ) ( )

+−+=><

λπλπλπλ

πη

/4)/4sen(/4/2ln1415.1

4

200

LLLCiL

IP

donde ∫∞

−+=−=x

xCinxdtt

txCi )()ln(cos)( γ es otra va-

riante del coseno integral. La constante 577216.0≈γ es llamada constante de Euler.

De aquí la resistencia de radiación resulta:

( ) ( )

+−+=

λπλπ

λπλπη

/4)/4sen(/4/2ln1415.1

20

LLLCiLRr

y la abertura efectiva máxima:

( ) ( )

+−+

==

λπλπλπλ

πη

/4)/4sen(/4/2ln1415.1

2/4

220

LLLCiL

LRLA

re

Ejemplo 10.5: Calcular Rr para antenas de onda viajera de nλ/2, con n =1, 10.

La expresión a usar es: ( ) ( )

+−+=

πππ

πη

nnnCinRr 2

)2sen(2ln1415.12

0

Calculamos de tablas o mediante series10 los cosenos integrales para obtener:

n Rr n Rr 1 0.185 η0 = 69.80Ω 6 0.467 η0 = 175.92Ω 2 0.293 η0 = 110.37Ω 7 0.491 η0 = 185.15Ω 3 0.357 η0 = 134.48Ω 8 0.513 η0 = 193.15Ω 4 0.403 η0 = 151.66Ω 9 0.531 η0 = 200.20Ω 5 0.438 η0 = 165.00Ω 10 0.548 η0 = 206.52Ω

Se observa que la resistencia de radiación aumenta en forma monótona, tendiendo a η0 con la longitud de la antena. Salvo para n = 1, los valores para n impar son mayores y los valo-res para n par menores que los de la antena resonante de igual longitud.

Las antenas de onda viajera se pueden combinar para construir antenas V o antenas rómbicas, disposiciones cuyas características de radiación se pueden describir en función de las halladas. Como además la longitud de onda de la onda viajera no tiene que cumplir ninguna condición en los extremos de la antena, como en el caso de las antenas resonantes, no hay condición sobre la frecuencia de la corriente alimentadora y estas antenas son antenas de banda ancha, a diferen-cia de las antenas resonantes que son de banda angosta.

9 J.A.Stratton, "Electromagnetic Theory", Mc-Graw Hill, New York, (1941), p.445. 10 En el Apéndice 9 se dan las expresiones de las series que representan al coseno integral.

z

L=λλλλ/2 L=λλλλ L=3/2λλλλ L=5λλλλ



Redes o arreglos de radiadores Las antenas individuales dan diagramas de radiación que no siempre satisfacen las necesidades. Es posible modificar el diagrama de radiación usando múltiples radiadores, causando interfe-rencia entre los campos emitidos por cada uno. Para ello es necesario que los radiadores emitan en forma coherente, es decir, que haya una correlación de fase entre los campos, lo que se logra habitualmente estableciendo una correlación de fase entre las corrientes alimentadoras de los radiadores.

Estas disposiciones se conocen como redes o arreglos de radiadores, y la mayoría de las antenas de uso actual se basa en ellas.

Analicemos el caso más simple que consiste en un par de radiadores iso-trópicos separados una distancia d. Como la recta que une ambos radia-dores es un eje de simetría de revolución del sistema, tomamos un siste-ma de referencia centrado en el par, con los radiadores sobre el eje z, de forma que los campos no dependan de φ. Suponemos además que las corrientes alimentadoras son de igual amplitud pero que puede haber un desfasaje ψ entre ellas. El campo emitido por el par de dipolos es, por superposición coherente para distancias lejanas:

+≅

−−ψω

θi

ikrikrti e

re

reeEE

210

21

donde r1 y r2 son las distancias desde cada radiador al punto de observa-ción. Hemos adjudicado al segundo dipolo el desfasaje de las corrientes.

Para puntos lejanos (r >> d): θcos

2

2,1

2,12,1 dikikr

iikrikr

er

eer

er

e ±−′•

−−

=≈ rk y tenemos:

+=

+≈

−−−+−−− )2

cos2

()2

cos2

()2

(0cos2

cos2)(0

ψθ

ψθ

ψωψθθω

θ

dki

dkikrtii

dik

dikkrti eee

rE

eeeer

EE

−=

+−

2coscos

2

)2

(0 ψθλ

πψω de

rE krti

El vector medio de Poynting es:

−≅⇒><=

−≅=><

2coscos),( ),(

2coscos

24

222

20

20

0

20 ψ

θλ

πψθψθψ

θλ

πηη

dFFNdr

EEN

maxrr qu

e es un factor de interferencia entre los dos radiadores, que tienen diagramas individuales esfé-ricos. Este factor depende de θ y ψ y en las siguientes figuras se grafica para diversas relaciones d /λ y desfasajes ψ.

0

ψ = 0 d/λ = 1/5 d/λ = 1/2 d/λ = 1

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

x

r1

-d/2

θ φ

z

r2 r

d/2



ψ = 0 d/λ = 1/5 d/λ = 1/2 d/λ = 1

ψ = π/4 d/λ = 1/5 d/λ = 1/2 d/λ = 1

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

ψ = π/2 d/λ = 1/5 d/λ = 1/2 d/λ = 1

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180



Se observa la influencia que tiene la separación y el desfasaje en el diagrama de interferencia de los dos radiadores. En los diagramas siguientes, para d = 5λ se ve la complejidad de los diagra-mas obtenidos aún con sistemas muy simples.

Consideramos ahora la misma configuración pero reemplazamos los radia-dores isotrópicos con dipolos eléctricos cortos paralelos al eje z. Repetimos el cálculo del campo radiado y el diagrama de radiación para obtener:

−=

+≈

+−

−−

2coscossen

2

sen

)2

(0

cos2

cos2)(0

ψθλ

πθ

θ

ψω

ψθθωθ

derE

eeeer

EE

krti

idikdikkrti

ψ = π d/λ = 1/5 d/λ = 1/2 d/λ = 1

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

ψ = 0 ψ = π/2 ψ = π

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

x

r1

-d/2

θ

φ

z

r2

r d/2



y el vector medio de Poynting es:

),,(4

2coscossen

24

222

20

20

0

20

ψφθ

ψθλ

πθηη

FN

dr

EEN

dipr

r

><=

−

≅=><

que es un nuevo ejemplo de la:

La anisotropía en el diagrama de radiación introducida por el elemento base se ve así multiplica-da por la anisotropía introducida por el factor de interferencia, que depende de la dirección del espacio y el desfasaje entre las corrientes alimentadoras de los elementos. Este resultado es to-talmente general y se aplica cualquiera sea el elemento base (siempre que el arreglo sea de ele-mentos idénticos).

En la siguiente figura se grafica el diagrama dipolar, el factor de interferencia y su producto para d = λ , ψ = π/2.

Redes lineales Consideremos ahora N radiadores puntuales que se hallan situados sobre una línea recta. Esta es una red lineal.

Analizamos primero una red vertical. Asumiremos que se trata de radiado-res isotrópicos porque nos interesa analizar el diagrama de interferencia. Colocamos el sistema de coordenadas de manera que la posición del n-ésimo radiador de la fila sea: zr ˆ)1( dni −=′ . El campo creado por el conjunto es:

nnn

ikRti

N

nn R

ReeEtE

nn rrr ′−==

−+

=∑ ),( )(

10 conψω

θ

donde hemos supuesto que cada radiador genera un campo de amplitud E0n y fase ψn. Para puntos lejanos podemos aproximar como en la sección ante-rior, a orden uno en la fase: θcos)1( dnrR nn −−≅′−= rr y a orden cero

en la amplitud, para obtener: [ ] [ ]∑∑

−

=

+−

=

+−− =≅1

0

cos0

)(

1

cos)1(0

)( 11),(N

n

nkdin

krtiN

n

kdnin

krti nn eEer

eEer

tE ψθωψθωθ r con 0,1 000 == ψE .

Consideremos primero campos de igual amplitud y en fase. Entonces podemos tomar nctecteEE nn ∀==== 000 ψy . La suma se convierte en una serie geométrica, ya que cada término es igual al precedente multi-

X =

d = λ ψ = π/2

rn

θ

z

r d

Regla de multiplicación de diagramas El diagrama de radiación del conjunto es el producto del diagrama de radiación del elemento base por un diagrama de interferencia



plicado por el factor constante θcosikde :

=

−

−=

−−

=≅

−−

−

−−−

−−

=

− ∑

θ

θθω

θθ

θθθω

θ

θωθω

θ

cos2

sen

cos2

sen

11),(

cos)1(21

)(0

cos21cos

21

cos21cos

21

cos)1(21

)(0

cos

cos)(0

1

0

cos)(0

kd

Nkd

eer

E

ee

eeeer

E

eee

rEee

rEtE

kdNikrti

kdikdi

NkdiNkdikdNikrti

ikd

iNkdkrti

N

n

inkdkrtir

y el diagrama de interferencia será proporcional a:

=

≅>=<θ

λπ

θλ

π

ηθ

θ

ηηθ

cossen

cossen

2cos2

sen

cos2

sen

22 2

2

0

20

2

2

0

20

0

222

d

dNEkd

NkdEE

rNr r

que es función del tipo )(sen/)(sen 22 ββN . Esta función tiene el máximo principal para

πθλ

πβ nd== cos , que vale: ( )0

20

2 2/ ηEN de donde el diagrama de radiación es:

=><

><=

θλ

π

θλ

πφϑ

cossen

cossen),(

22

2

2

2

dN

dN

NrNr

fmaxr

r

Graficamos la expresión no normaliza-da en función de β para varios valores de N: Los máximos principales se dan para β = nπ, con n entero (n = 0,1,2…). Como θλπβ cos)/(d= , la condición n = 0, β = 0 lleva a 0cos =θ , que impli-ca un máximo sobre el plano horizontal θ=π/2. Este máximo siempre existe, aunque no siempre es el máximo principal. Por este motivo, estos arre-glos con corrientes alimentadoras en fase se conocen como formaciones la-terales (broadside arrays).

Para n > 0 tenemos que: d

nnd λθπθλ

π =⇒= cos cos

Como 1cos ≤θ , esta condición se cumple solamente para d ≥ λ. En tal caso, aparecen otros máximos principales en direcciones no laterales. En las figuras siguientes se muestran los diagramas de campo de interferencia para N = 6 y dis-tintas relaciones d/λ. Se observa que el ancho del lóbulo principal disminuye a medida que au-menta d/λ cuando d < λ , y que aparecen otros lóbulos para d ≥ λ.

N = 5 N = 10 N = 25



Consideremos ahora que mantenemos los campos de igual amplitud pero con fases variables. Esto se logra desfasando las corrientes alimentadoras de cada radiador. Sólo podemos obtener una serie geométrica si la fase crece linealmente con la posición del dipo-lo en el arreglo, o sea si: δψψδψ =−⇒= −1 nnn n . En tal caso:

+

+

=

−−

=≅

+−

+

+−

−

=

+− ∑

2cos

2sen

2cos

2sen

11),(

]cos[2)(0

)cos(

)cos()(0

1

0

)cos()(0

δθ

δθδθω

δθ

δθωδθω

θ

kd

kdNee

rE

eee

rE

eer

EtE

kdNikrti

kdi

kdiNkrti

N

n

kdinkrtir

y el diagrama de radiación es:

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

d/λ = 0.05 d/λ = 0.25 d/λ = 0.5

d/λ = 1 d/λ = 2 d/λ = 5

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180



+

+

=⇒

+

+

=>=<

2cossen

2cossen

)(

2cos

2sen

2cos

2sen

22 22

2

2

2

0

20

0

222

δθλ

π

δθλ

πθ

δθ

δθ

ηηθ

dN

dNf

kd

kdNEE

rNr r

La presencia del desfasaje δ varía la posición de los máximos principales del diagrama de radia-ción. Como en el caso de desfasaje nulo, el máximo principal se da cuando:

πδθλ

πβ nd=+= cos2 .

Analizamos el caso β = 0. Como 1cos ≤θ se ve que el dominio de β es: λπδβλπδ dd 22 +≤≤−

Entonces, para que exista un máximo principal, el valor β = 0 debe estar dentro del dominio de β. Como δ puede ser positivo o negativo, se dan dos posibilidades: a) δ > 0. Existe β = 0 si λπδλπδ dd ≤⇒≤− 2 02 b) δ < 0. Existe β = 0 si λπδλπδ dd ≤⇒≥+− 2 02 O sea que en general podemos decir que existirá un máximo principal si:

λπψλπδλπδ Ld)(N-)(N-d ≤∆⇒≤⇒≤ 2 121 2 donde ∆ψ es el desfasaje total del arreglo (entre el primer y el último elemento). Suponiendo que se cumpla esta condición, el máximo principal se da para:

dd MM

λπδθδθλπβ2

cos 0cos2 −=⇒=+=

Como puede verse, θM depende del desfasaje. Si δ es cero, el máximo principal se da para θM = ±π/2, lo que nos lleva a las formaciones laterales ya vistas.

Por otra parte, si: 0 2

2

M

M

=⇒−==⇒=

θλπδπθλπδ

dd

y se tienen las llamadas formaciones de punta (endfire arrays), donde la máxima radiación se da sobre la línea que contiene a los dipolos. Las siguientes gráficas muestran los diagramas de campo de 6 radiadores en una formación de punta:

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

d/λ = 0.05 d/λ = 0.25 d/λ = 0.5

d/λ = 1 d/λ = 2 d/λ = 5



Arreglos en fase (phased arrays) El análisis de las formaciones laterales y de punta indica que introduciendo un desfasaje entre las corrientes alimentadoras de un arreglo de radiadores se logra modificar la posición del máximo principal. Podemos ver que el diagrama de radiación:

( )( )

+

+

==

2cossen

2cossen

sensen)(

22

2

22

2

δθλ

π

δθλ

π

ββθ

dN

dN

NNf

que da el máximo principal para β = 0 si d < λ. Si tomamos: 0cos2 θλπδ d−= nos queda ( )0coscos2 θθλπβ −= d que se anula con θ = θ0. Variando θ0 con el tiempo se logra que el

máximo principal de radiación gire en el tiempo. Esta característica se usa, por ejemplo, en rada-res de aeropuertos donde es importante el seguimiento de los aviones. En las siguientes gráficas se muestra el diagrama de radiación para un arreglo lineal de 5 elementos, separados en d = 0.4λ, para distintos ángulos θ0:

Se observa la relocación del máximo principal siguiendo el ángulo θ0, desde la formación de punta, para θ0 = 0, hasta la formación lateral, para θ0 = 90 y luego se repite el comportamiento en el otro hemisferio.

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ0 = 0 θ0 = 30 θ0 = 45

θ0 = 60 θ0 = 90 θ0 = 120 θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ 30 30 0

60 60

90 90

120 120

150 150 180

θ0 = 135 θ0 = 150 θ0 = 180



Redes horizontales Consideremos ahora N radiadores puntuales que se hallan sobre una línea horizontal. Asumiremos nuevamente que se trata de radiadores isotrópicos porque nos interesa analizar el diagrama de interferencia. Ubicamos el sis-tema de coordenadas de forma que la posición del n-ésimo radiador de la fila es: xr ˆ)1( dni −=′ . El campo creado por el conjunto es:

nnn

ikRti

N

nn R

ReeEtE

nn rrr ′−==

−+

=∑ ),( )(

10 conψω

θ

donde hemos supuesto que cada radiador genera un campo de amplitud E0n y fase ψn. Para puntos lejanos podemos aproximar nuevamente a orden uno en la fase:

φθ cossen)1( dnrR nn −−≅′−= rr y a orden cero en la amplitud, para obtener:

[ ]∑=

+−−≅N

n

kdnin

krti neEer

tE1

cossen)1(0

)(1),( ψφθωθ r

[ ] 0,1 1 000

1

0

cossen0

)( === ∑−

=

+− ψψφθω EeEer

N

n

nkdin

krti n con

Consideremos primero campos de igual amplitud y en fase. Tomamos cteEE n == 00 y ncten ∀== 0ψ . La sumatoria constituye una serie geométrica, ya que cada término es

igual a precedente multiplicado por un factor constante φθ cossenikde :

=

−

−=

−−

=≅

−−

−

−−−

−−

=

− ∑

φθ

φθφθω

φθφθ

φθφθφθω

φθ

φθωφθω

θ

cossen2

sen

cossen2

sen

11),(

cossen)1(21

)(0

cossen21

cossen21

cossen21cossen

21

cossen)1(21

)(0

cossen

cossen)(0

1

0

cossen)(0

kd

Nkd

eer

E

ee

eeeer

E

eee

rE

eer

EtE

kdNikrti

kdikdi

NkdiNkdikdNikrti

ikd

iNkdkrti

N

n

inkdkrtir

y el diagrama de interferencia será proporcional a:

=

≅>=<φθ

λπ

φθλ

π

ηφθ

φθ

ηηθ

cossensen

cossensen

2cossen2

sen

cossen2

sen

22 2

2

0

20

2

2

0

20

0

222

d

dNEkd

NkdEE

rNr r

Para el plano horizontal 2/πθ = , esta función tiene el máximo para 0cossen =φθλ

π d , que vale:

( )02

02 2/ ηEN ⇒

=><><

=φθ

λπ

φθλ

πφϑ

cossensen

cossensen),(

22

2

2

2

dN

dN

NrNrf

maxr

r

es el diagrama de radiación, que puede escribirse: ( )( )ββφϑ 22

2

sensen),(

NNf =

Esta expresión en β es la misma que para la red vertical, de modo que son aplicables las conclu-siones halladas en la sección precedente. Los máximos principales se dan para β = nπ. Como

rn

d

x θ

φ

z

r



φθλπβ cossen)/(d= la condición β = 0 lleva a 0cossen =φθ .

En el plano horizontal (θ = π/2) esto significa que los máximos principales se dan para φ = π/2, 3π/2 (direcciones laterales a la línea de dipolos). La otra condición β = nπ lleva a que nd =φθλ cossen)/( . Como las funciones trigonométri-cas tienen módulo ≤ 1, esta condición se cumple solamente para (d/λ) ≥ 1. En tal caso, aparecen otros máximos principales en direcciones no laterales. Estos arreglos son formaciones laterales como las vistas en la sección precedente. Consideremos ahora nuevamente campos de igual amplitud pero con fases linealmente variables con la posición, como antes: δψψδψ =−⇒= −1 nnn n .

En tal caso:

)cossen(

)cossen()(0

1

0

)cossen()(0

11),(

δφθ

δφθωδφθω

θ +

+−

−

=

+−

−−

=≅ ∑ kdi

kdiNkrti

N

n

kdinkrti

eee

rE

eer

EtE r

+

+

=+−

2cossen

2sen

2cossen

2sen

]cossen[

2)(0

δφθ

δφθδφθω

kd

kdNee

rE kdNikrti

y el diagrama de radiación es proporcional a:

+

+

=>=<

2cossen

2sen

2cossen

2sen

22 2

2

0

20

0

222

δφθ

δφθ

ηηθ

kd

kdNEE

rNr r

Podemos realizar el mismo análisis que en el caso del arreglo vertical. Para que exista un máximo principal, el valor β = 0 debe estar dentro del dominio de β. Como δ puede ser positivo o negativo, se dan dos posibilidades:

c) δ > 0. Existe β = 0 si λπ

δλ

πδ dd≤⇒≤−

2 02

d) δ < 0. Existe β = 0 si λπ

δλ

πδ dd≤⇒≥+−

2 02

O sea que en general podemos decir que existirá un máximo principal si:

λπψ

λπδ

λπδ Ld)(N-)(N-d

≤∆

⇒≤⇒≤2

12

1 2

donde ∆ψ es el desfasaje total del arreglo (entre el primer y el último elemento). Suponiendo que se cumpla esta condición, el máximo principal se da para:

dd

MMλ

πδφδφ

λπβ

2cos 0cos2 −=⇒=+=

Como puede verse, φM depende del desfasaje. Si δ es cero, el máximo principal se da para φM = ±π/2, lo que nos lleva a las formaciones laterales ya vistas.

Por otra parte, si: 0 2

2

M

M

=⇒−=

=⇒=

φλ

πδ

πφλ

πδ

d

d

y se tienen nuevamente las formaciones de punta, donde la máxima radiación se da sobre la línea que contiene a los radiadores.



φ

30

210

0

60

240

90

270

120

300

150

330

180

Ejemplo 10.6: No siempre los radiadores emiten campos polarizados en la misma dirección. Considere dos dipolos eléctricos cortos perpendiculares entre sí, situados en el mismo pun-to. Las corrientes alimentadoras son de igual amplitud y frecuencia, pero pueden estar des-fasadas en ψ. Se pide hallar el diagrama de radiación sobre el plano horizontal que contiene a los dipolos y analizar la polarización de la onda radiada.

Elegimos un sistema de coordenadas con su origen en los dipolos y orientado como indica la figura. El punto campo se toma sobre el plano horizontal xy. El dipolo 1 (orientado según -z) crea el campo:

zE ˆˆsen )(0)(01

krtikrti er

Ee

rE −− =′′= ωω θθ

porque sobre el plano xy: θ' = π/2 y zˆ =′θ .

Para expresar el campo creado por el dipolo 2 debemos re-emplazar θ por el ángulo entre el eje del dipolo (x en nues-tro caso) y el vector posición r. Sobre el plano xy este ángulo es φ, y el versor θ resulta el versor φ . Entonces el campo emitido por el dipolo 2 es:

φφ ψω ˆsen )(02

+−= krtier

EE

y el campo eléctrico total es: [ ]zEEE ˆˆsen)(021 +=+= − φφ ψω ikrti ee

rE

El campo magnético radiado puede calcularse como:

[ ] [ ]φφη

φφηη

ψωψω ˆˆsenˆˆsenˆˆ )(

0

0)(

0

0

0

−=+×=×

= −− zzrErH ikrtiikrti eer

Eee

rE

y el vector medio de Poynting:

( ) ( ) ( )[ ] ( )φη

φφφφη

ψψ 22

0

20

20

20 sen1

2ˆˆsenˆˆsen

221

+=−×+ℜ=×ℜ= −

rE

eeer

Ee ii zzHEN *

Se ve que el vector medio de Poynting es la suma de los vectores de Poynting individuales de cada dipolo. No hay un factor de interferencia. Esto se debe a que los campos radiados son

perpendiculares entre sí. Además no depende del des-fasaje entre las corrientes alimentadoras de los elemen-tos. Las direcciones de máxima radiación corresponden a φ = π/2, 3π/2, para las cuales el seno vale 1. El dia-grama de radiación sobre el plano horizontal que con-tiene a los dipolos es entonces:

2sen1)(

2 φφ +=f

y se muestra en la figura a la izquierda. Este diagrama es la semisuma de los diagramas horizontales de radia-ción individuales de cada dipolo, que se muestran en rojo en la figura. Para analizar el comportamiento de la polarización de la onda radiada, seguimos un procedimiento similar al de la página 328. El campo eléctrico total es:

( ) ( )[ ]zzE ˆ)cos(ˆ)cos(senˆˆsen 0)(0 krtkrtr

Eee

rE

e ikrti −++−=

+ℜ= − ωφψωφφφ ψω

Entonces: )cos(0 krtr

EEz −= ω

[ ]ψωψωφψωφφ sen)sen(cos)cos(sen)cos(sen 00 krtkrtr

Ekrt

rE

E −−−=+−=

x

θ

φ

z

r

y E1

E2

1

2

θ'



y podemos escribir:

0

)cos(ErE

krt z=−ω

ψφψ

ψφψωω φφ

sensencotan

sensencotan)cos()sen(

000 ErE

ErE

ErE

krtkrt z −=−−=−

Elevamos ambas ecuaciones al cuadrado y sumamos miembro a miembro para obtener:

ψψφφ

ψφ

ψψφ

ψ

ψφψ

φφ

φφ

φ

2

00

2

0

2

0

20

22

0

22

0

2

00

2

0

sencos)/sen)(/(

2/sen/

sensencotan2

sensen)cotan1(1

sensencotan1

=−

+

−

++

=

−+

=

rErEEE

rEE

rEE

EEEr

ErE

ErE

ErE

ErE

ErE

zz

zz

zz

que podemos comparar con la ecuación de la elipse de polarización hallada en el Capítulo 6:

φφ 2

00

2

0

2

0sencos2 =−

+

yx

yx

y

y

xx

EEEE

EE

EE

Observamos que ambas ecuaciones son formalmente idénticas, de manera que el sistema de dos dipolos cruzados emite una onda elípticamente polarizada. Se observa también que los semiejes de la elipse cambian con r (por el decaimiento de la amplitud de los campos de una onda esférica) y con φ. En particular, en la dirección de mínima radiación sen φ = 0, y se tiene Eφ = 0. Entonces en esa dirección sólo hay Ez y la onda es linealmente polarizada. En la dirección de máxima radiación sen φ = 1, y el estado de polarización de la onda radia-da depende solamente de ψ:

ψψφφ 22

0

2

0

2

0

sencos)/(

2//

=−

+

rEEE

rEE

rEE zz

ψ = ±nπ. Eφ = Ez y la onda es linealmente polarizada a π/4 del plano xy.

ψ = ±(2n+1)π/2. 2

022

=+r

EEE z φ y la onda es circularmente polarizada.

Para valores intermedios de ψ la onda resulta elípticamente polarizada. En otras direcciones la onda resulta elípticamente polarizada.

Ejemplo 10.7: Las antenas usan reflectores para modificar sus diagramas de radiación y me-

jorar su eficiencia. Considere un arreglo lineal de N alambres conductores de sección des-preciable S y altura h<<λ a la frecuencia de trabajo. Una on-da plana verticalmente polarizada incide sobre el conjunto formando un ángulo αi con la normal a la distribución. Esta onda induce corrientes variables en el tiempo sobre los alambres, que entonces se convierten en radiadores. Halle la amplitud del campo radiado por el conjunto y el diagrama de radiación horizontal. Analice su uso como reflector. Por la continuidad del campo eléctrico sobre la interfase aire-conductor podemos suponer que el campo dentro de cada

alambre es igual al campo incidente, de forma que la corriente que circula en el n-ésimo alambre es inn SEI σ= donde Ein es el campo incidente sobre ese alambre. Pero la fase del campo incidente va cambiando de elemento a elemento, porque, co-mo se muestra en la figura, hay una diferencia de caminos idl αsen=∆ entre los

x

z

y

h

L

α αi

Ei

Er

ki

kr

Ei E



campos que llegan a dos elementos adyacentes. Esta diferencia de caminos se traduce en una diferencia de fase ikdlk αϕ sen=∆=∆ entre los campos y, por lo tanto, entre las corrientes de elementos adyacentes. Por comodidad colocamos el origen de coordenadas en un extremo de la distri-bución y tenemos para el elemento n-ésimo la corriente:

)sen()( ini nkdtio

tion eESeESI αωω σσ −•− == rk

Como la altura del elemento es mucho menor que λ podemos suponer que la distribución de corriente es uniforme y que el elemento se comporta como un dipolo radiante elemental, y emite un campo eléctrico de radiación:

θθωεπ

σθθ

ωεπφθαω ˆsen

4ˆsen

4),( cossensen)(

0

20

0

2inkdinkdkrtiiikrn

n eeerkhESiee

rkhIit in −−−′•−− == rkrE

El campo total emitido por la distribución es:

θββθ

ωεπσ

θθωεπ

σ

βω

φθαω

ˆ]2/sen[]2/sen[sen

4

ˆsen4

),(

]2/)1([

0

20

1

0

)cossen(sen)(

0

20

NerkhESi

eerkhESi

t

Nkrti

N

n

inkdkrti i

−+−

−

=

+−−

=

= ∑rE

donde: )cossen(sen φθαβ += ikd . El diagrama de radiación es proporcional a:

]2/[sen]2/[sensen

1621

2

22

220

2

4220

22

0

2

ββθ

ωεπσ

ηNkhES

Nr r =

Sobre el plano horizontal 2/πθ = y tenemos:

)cos(sen ]2/[sen]2/[sen

1621

2

2

220

2

4220

22

0

2 φαβββ

ωεπσ

η+== ir kdNkhESNr

El valor máximo de esta expresión se da para 0=β , de modo que el diagrama de radiación

queda: )cos(sen ]2/[sen

]2/[sen)( 22

2

φαβββφ +== ikd

NNf

La condición de máximo implica: iMikd αφφαβ sencos 0)cos(sen =⇒=+=

Pero, de la figura: iM αααφαπφ sensen sencos 2/ =⇒=⇒−= y se observa que el máximo de radiación se da en la dirección que predice la ley de Snell de la reflexión. Además, de la figura de la página 410 se ve que el diagrama de radiación tiene un máximo principal más angosto y máximos secundarios más pequeños cuanto mayor sea el número N de elementos en la distribución, de forma que la potencia emitida en las di-recciones de reflexión secundaria es más baja cuanto mayor es N.

Ejemplo 10.8: Extender los resultados del ejemplo previo al caso de un reflector plano conduc-tor. El reflector puede considerarse como la superposición de elementos de ancho dx y altura h. Cada elemento se puede ver como un dipolo, que emite un campo:

xdeeerkhESi

td xikxikkrti i ′= ′−′−− θθωεπ

σ φθαω ˆsen4

),( cossensen)(

0

20rE E

sta es la misma expresión del ejemplo precedente, con: xnd ′→ . El campo total es la integral:

θγγ

θωεπ

σ

θθωεπ

σ

ω

φθαω

ˆ2/

)2/sen(sen4

ˆsen4

),(

)(

0

20

2/

2/

)cossen(sen)(

0

20

krti

L

L

xikkrti

er

LkhESi

xdeerkhESi

t i

−

−

+′−−

=

′= ∫rE

αi

x

d

x

z

y

h

L

α αi

Ei

Er

ki

kr

dx



con )cossen(sen φθαγ += ikL . El diagrama de radiación es proporcional a:

2

22

220

2

4220

222

)2/()2/(sensen

16 γγθ

ωεπσ khESNr r =

y nuevamente el máximo principal de esta ecuación se da para 0=γ , lo que lleva a la ley de Snell de la reflexión para la radiación en el plano horizontal. Nuevamente aparecen máximos secundarios cuya altura es menor cuanto mayor sea kL. En el límite ∞→= λπ /2 LkL la función 22 )2/()2/(sen γγ se convierte en una delta de Dirac )0(δ que lleva a que sólo existe el “rayo” reflejado en la dirección de la ley de Snell de la óptica. Esta es una buena aproximación cuando la longitud de onda es muy pequeña frente a las dimensiones del re-flector.

El uso de arreglos de radiadores permite diseñar diagramas de radiación que no pueden obtenerse con un único elemento. Permiten modificar el ancho de los lóbulos aumentando la directividad y elegir la dirección del espacio de máxima potencia. También permiten lograr radiación con pola-rización no lineal. Además del número de elementos, el espaciamiento y el desfasaje entre las corrientes alimentadoras se pueden introducir valores distintos en las amplitudes de las corrien-tes alimentadoras o un espaciado no equidistante para tener aún mayor flexibilidad en el dise-ño, especialmente en la eliminación de los lóbulos secundarios y en el aumento del ancho de banda de la antena.

También se pueden realizar arreglos 2D y 3D. Todos estos tipos de sistemas radiantes se presen-tan en el programa APV.EXE11 que se puede descargar del ftp de la materia. Este es un progra-ma de DOS que permite ver los diagramas de radiación de distintos tipos de arreglos con diver-sos elementos y otros tipos de antenas.

11 Desarrollado por A.Z. Elsherbeni y C.D.Talor Jr., Dept. Electrical Engineering, Univ. Mississippi, ©1993.



Antena bicónica Como se mencionó al final de la sección del dipolo eléctrico lar-go, el ancho de banda de la antena aumenta con la sección del alambre. Este efecto se aprovecha en la antena bicónica. La antena bicónica ideal consiste en dos conos infinitos enfrenta-dos por los vértices, como se indica en la figura. Como la estruc-tura es infinita, se puede analizar como una línea de transmisión de parámetros variables a lo largo de su estructura. Cuando se conecta un generador a la entrada de la antena, circularán co-rrientes a lo largo de los conos. A su vez, estas corrientes crean un campo magnético Hφ que tiene simetría cilíndrica respecto del eje de los conos. Las variaciones en el tiempo del campo magné-tico generan un campo eléctrico. Ambos campos resultan en una onda electromagnética que se propaga hacia fuera de la antena. Suponemos el caso más sencillo, que la onda sea una onda esfé-rica elemental y que el campo electromagnético sea transversal (TEM) a la propagación. En tal caso, el campo eléctrico tendrá solamente componente Eθ. Entonces, en la región entre los conos tenemos: θφ θφ

ˆ ˆ EH == EH

La ecuación de Maxwell-Ampere: EH ωεi=×∇ en coordenadas esféricas puede escribirse:

θωε

θφθ

φθθ

θ θ

φ

ˆ

sen00

ˆsenˆˆ

sen1

2 Ei

Hrr

rr

r=

∂∂

∂∂

∂∂r

de donde: ( ) ( ) θφφ ωεθθθ

EiHrrr

-Hr

=∂∂

=∂∂ 1 0sen

sen1

De la primera ecuación surge que: ( )θ

θθ φφ sen

1 0sen ∝⇒=∂∂ HH y como suponemos

ondas esféricas elementales, podemos asumir: θπφ sen

140 reHH

ikr−

=

Introduciendo esta expresión en la segunda ecuación obtenemos Eθ:

( ) φφθ ηθπ

ηθωεπθπωεωε

Her

Her

HkeHrri

Hrrri

Eikrikrikr

===

∂∂

−=∂∂

−=−−−

sen4sen4sen1

411 00

0

Los campos satisfacen la relación de las ondas esféricas elementales. Podemos calcular el dia-

grama se radiación: ( )θπ

ηηφφθ 22

2022

*22

sen32221 H

HrHEerNr r ==ℜ=

Esta expresión es máxima para θ = θh que es el valor mínimo de θ, de donde el diagrama de ra-

diación es simplemente: θθ

θ 2

2

sensen

)( hf =

Existen otros modos no TEM que aparecen cuando la antena no es infinita. En este caso se dis-tingue entre una región interior hasta la tapa de los conos y una región exterior. En la región in-terior, y lejos de las tapas, se puede suponer válida la descripción sencilla TEM que hemos anali-

z

θ

θh

Eθ

Hφ

~ V

I

I



zado, porque el sistema se comporta como una línea de transmisión, mientras que cerca de las tapas y en la región exterior es necesario usar otros modos no TEM en función de armónicos cilíndricos. Las antenas cónicas o bicónicas se usan desde los tiempos de Marconi por su gran ancho de ban-da, pero sólo a mediados del siglo XX se encontró una descripción matemática satisfactoria. Ac-tualmente es una de las antenas usadas en ensayos de EMC (compatibilidad electromagnética). Antenas tipo Yagi-Uda Los arreglos de radiadores vistos hasta el momento consisten de elementos idénticos todos acti-vos, es decir, todos alimentados por corrientes desde el sistema generador. Esto puede ser com-plicado desde el punto de vista práctico porque los desfasajes y/o amplitudes deben seguir una función rígida para garantizar el diagrama de radiación. El llamado arreglo Yagi-Uda tiene un único elemento activo y otros elementos (pasivos) por los que circulan corrientes inducidas por el campo generado por el elemento activo. El desfasaje adecuado entre las corrientes se logra ajustando el tamaño y separación de los elementos pasivos.

En el esquema de la figura se ve un dipolo activo de longitud l1 y un elemento pasivo de longitud l2 separados una distancia d. La linealidad de las ecuaciones de Maxwell hace posible escribir un par de ecuaciones que relacionan los voltajes y las corrientes en el centro de los elementos:

22212122121111IZIZV

IZIZV+=+=

Las Zij son constantes que dependen de las longitudes de los elementos, su espaciado y la longitud de onda de la radiación. Se puede demostrar que V2 = 0, de manera que: 122212 )/( IZZI −= . El campo emitido por el conjunto se puede escribir como:

( )θθ cos121

cos21 /1 ikdikd

rad eIIaeaaE +=+∝ y el diagrama de radiación será proporcional a:

−+=

−∝ θθφθ cos

2221

2

2221

2cos

2221 Re211),( ikdikd e

ZZ

ZZ

eZZ

f

El primer término representa la contribución del radiador activo, el segundo la contribución del radiador pasivo y el tercero es un término de interferencia. Cuando esta interferencia es tal que maximiza la radiación en el sentido de +z el elemento pasivo se conoce como un director, mien-tras que si la radiación se maximiza según -z el elemento pasivo se conoce como un reflector. La máxima directividad de un director se obtiene cuando λ11.0≅d . Si el elemento activo es de me-dia onda, el espaciado debe ser mayor: λλ 48.038.0 << d . En el caso de un reflector, la máxima directividad de un reflector se obtiene cuando λ16.0≅d . Si el elemento activo es de media on-da, el espaciado debe ser mayor: λλ 52.051.0 << d . El arreglo Yagi-Uda más simple consiste de un elemento activo, un director y un reflector. En esta situación puede mantenerse las separaciones antedichas, pero surge que el director debe ser un poco menor aún que elemento activo y el reflector un poco mayor.

La adición de más reflectores no modifica mucho el diagrama de radiación, pero sí lo hacen más directores, de manera que las antenas típicas de TV consisten de un dipolo (doblado) activo, un reflector y un conjunto de directores de tamaños variables. Directividades entre 10 y 100 se pue-den obtener en función de la cantidad de directores usada. Sin embargo estos valores se dan para

x l2 l1

d



la longitud de onda de diseño, de modo que la respuesta en frecuencia de la antena Yagi-Uda es pobre.

Antenas log-periódicas Consideremos una estructura como la de la figura. La locali-zación y longitud de los sucesivos elementos aumenta de

uno al siguiente en un factor constante: 11 −− == nnnn llzz ττ donde la longitud del primer elemento es función de la lon-gitud de onda de operación. Si ahora multiplicamos la longi-tud de onda de operación por τ, todas las posiciones y longi-tudes de la estructura se multiplican por τ y el resultado es

una estructura idéntica a la original (supuestamente indefinida). Por lo tanto la estructura radia de igual manera para longitudes de onda λ, τλ, τ2λ, etc., de donde podemos escribir el conjunto de longitudes de onda “permitidas” como: 1

11 λτλτλ −

− == nnn .

Expresando esta ecuación en términos de logaritmos:

ττλλ )1(loglog )1(loglog 11 −−=⇒−+= nffn nn

La estructura se conoce como logarítmica-periódica o log-periódica. Un análisis de las características de radiación de esta estructura se puede hacer a partir de una estructura de tres elementos y la antena Yagi-Uda. Se halla del cálculo que la máxima radiación a lo largo del arreglo se da cuando el elemento central, supuesto activo, tiene una longitud de media onda. Como el elemento menor actúa como director y el mayor como reflector en la ante-na Yagi-Uda, entonces la radiación se dirige hacia el extremo derecho del arreglo. Para mejorar el ancho de banda, se adopta la siguiente forma de alimentación desde el extremo más corto de la

antena y se conectan los sucesivos semi-elementos del arre-glo como se indica en la figura, espaciando los elementos en la mitad de su longitud en ese punto. Esto hace que la corriente en el elemento n+1 esté adelantada π/2 respecto del elemento n. Si el elemento n es resonante a la frecuen-cia de operación, la distancia al siguiente elemento es λ/4. Estas dos características llevan a que ambos elementos ra-dien en fase.

El cálculo detallado muestra que que la fase de la tensión provista a los sucesivos dipolos aumenta uniformemente desde el extremo de alimentación. Si el elemento resonante está al medio del arreglo, es esta región la que radiará más eficientemente. Si se varía la frecuencia, será otra región la de máxima radiación. El cálculo demuestra que hay poca variación en el diagrama de radiación en el rango de frecuencias de operación

),( 1)1(

1 ff n−−τ .

ln

zn



APENDICE 7 - Resolución de las ecuaciones de la radiación Los potenciales retardados satisfacen las ecuaciones inhomogéneas de la radiación electromag-nética:

02

2

22 ),(),(1),(

ερφφ tt

tct rrr −=

∂∂

−∇ ),(),(1),( 02

2

22 tt

tct rjrArA µ−=

∂∂

−∇

Puede observarse que cada componente cartesiana de la ecuación vectorial para A(r,t) es mate-máticamente equivalente a la ecuación diferencial escalar para φ(r,t), de forma que vamos a re-solver esta última ecuación diferencial y escribiremos por analogía la solución para el potencial vectorial.

02

2

22 ),(),(1),(

ερφφ tt

tct rrr −=

∂∂

−∇

La solución de esta ecuación diferencial lineal e inhomogénea dentro de un recinto del espacio se puede escribir como la suma de la solución general de la ecuación homogénea más una solución particular de la ecuación completa. La ecuación homogénea se obtiene cuando se toma ρ(r,t) = 0 para todo punto del recinto de integración. Desde el punto de vista físico, esta suposición es equivalente a decir que no hay fuentes del potencial escalar electrodinámico dentro del recinto de interés. Pero si no hay fuen-tes, no puede haber campo, de manera que habrá una solución no trivial del problema sólo en el caso en que las fuentes se hallen fuera del recinto de integración. Por lo tanto, la solución de la ecuación homogénea representa la contribución a la radiación de las fuentes externas al recinto de integración. Esta situación fue analizada en los Capítulos precedentes, donde se estudió la propagación de ondas electromagnéticas en recintos sin fuentes de campo. Por lo tanto, para los propósitos presentes podemos suponer que no hay fuentes de campo fuera del recinto de integra-ción y entonces debemos anular la solución de la ecuación homogénea. La solución del problema será entonces la solución particular.

Para obtener una solución particular, y dada la linealidad de la ecuación diferencial, vamos a dividir el recinto de integración V en elementos de volumen infinitesimales dv´. Como la forma de estos elementos es irrelevante, elegimos esferas de radio δ → 0. Para una de estas esferas, situada en r´, la ecuación diferencial queda:

>′−==

<′−==−=

∂∂

−∇δ

δε

ρδφδφ

rrR

rrRrrr

R

Rtt

tct

si 0

si ),(),(1),( 02

2

22

donde ),( trδφ es el potencial escalar creado por la esfera, dado que fuera de ella no hay carga. Como nos interesa la solución fuera de la esfera, nos queda la ecuación:

0),(1),(2

2

22 =

∂∂

−∇ ttc

t rr δφδφ

El elemento de carga tiene simetría esférica, de manera que ),(),( tRt δφ=δφ r , donde R es la distancia al centro de la esfera. Entonces podemos escribir:

δφ

=δφ∇=δφ∇dRdR

dRd

RtRt 2

222 1),(),(r ⇒ 011

2

2

22

2 =∂δφ∂

−

δφ

tcdRdR

dRd

R

Pero el laplaciano se puede reescribir como: ( )δφRdRd

R 2

21 ya que:

S

V

r r´

R dV



( ) 2

2

2

2

2

2

2

22

22

2

211

2211

dRd

dRd

RdRdR

dRd

RR

dRd

R

dRd

dRd

RdRdR

dRdR

RdRdR

dRd

R

δφδφδφδφδφ

δφδφδφδφδφ

+=

+=

+=

+=

y la ecuación de ondas resulta:

( ) ( ) ( ) 010112

2

22

2

2

2

22

2

=δφ∂∂

−δφ⇒=∂δφ∂

−δφ Rtc

RdRd

tcR

dRd

R

Pero esta ecuación es matemáticamente idéntica a la ecuación de las ondas planas, de manera que podemos escribir la solución formal:

RcRtftctRftR )/(),( )(),( m

m =⇒= rr δφδφ

donde el signo positivo identifica una onda "progresiva" (que se propaga en el sentido de R cre-cientes) y el signo negativo a una onda "regresiva" (que se propaga en el sentido de R decrecien-tes). Para determinar cuál función )/( cRtf m es la apropiada, consideramos la condición de borde para 0→R . En este caso vale la ecuación inhomogénea (ya que δ<R ) y tenemos:

02

2

22

02

2

22 ),(),(1),( ),(),(1),(

ερδφδφ

ερδφδφ tRtR

tctRtt

tct −=

∂∂

−∇⇒−=∂∂

−∇rrr

ya que se sigue cumpliendo la simetría esférica. Podemos escribir entonces el laplaciano como antes:

02

2

22

20

2

2

22

20

2

2

22

),(),(12

),(),(11),(),(1),(

ερ

−=δφ∂∂

−δφ

+δφ

ερ

−=δφ∂∂

−

δφ

⇒ε

ρ−=δφ

∂∂

−δφ∇

tRtRtcdR

ddRd

R

tRtRtcdR

dRdRd

RtRtR

tctR

En esta última ecuación se ve que el término del laplaciano predomina frente a la derivada tem-poral para 0→R , debido a los factores inversamente proporcionales a R. Entonces podemos

escribir: 0

2 ),(),(ε

ρ−≈δφ∇

tRtR

que es una ecuación de Poisson cuasi-estática. Esta ecuación tiene la solución particular que es

la integral de Poisson: vdtRt ′ρπε

≈δφ ),(4

1),(0

r

Por lo tanto este es el límite al que debe tender la solución general fuera de la esfera. La forma matemática obtenida anteriormente y la condición de borde se satisfacen simultáneamente si:

RvdcRttvdtRt

RcRtft

0

0

4)/,(),(

4),(),(

)/(),(

πε′′ρ

≈δφ⇒

πε′ρ

≈δφ

=δφm

mrr

r

r

Esta es entonces la solución a la ecuación inhomogénea para un elemento de volumen infinitesi-mal dv´. Se observa que el doble signo describe dos soluciones físicamente diferentes:

R

vdtR

vdcRtt00 4),(

4)/,(),(

πε′′′ρ

=πε

′−′ρ≈δφ

rrr representa el potencial creado en ),( tr por la pre-

sencia de la fuente en ),( t ′′r , con cRtt /−=′ , o sea, el efecto en el punto campo se debe a



las características de la fuente en un instante previo. Esta solución también describe, desde el punto de vista ondulatorio, una onda esférica que viaja desde el punto fuente hacia afuera (es decir, en el sentido de R crecientes).

R

vdtR

vdcRtt00 4),(

4)/,(),(

πε′′′′ρ

=πε

′+′ρ≈δφ

rrr representa el potencial creado en ),( tr por la pre-

sencia de la fuente en ),( t ′′′r , con cRtt /+=′′ , o sea, el efecto en el punto campo se debe a las características de la fuente en un instante posterior. Esta solución también describe, des-de el punto de vista ondulatorio, una onda esférica que viaja desde fuera hacia el punto fuente (es decir, en el sentido de R decrecientes).

Podemos visualizar la primera solución como la generación de una onda electromagnética esféri-ca que surge del punto fuente y se propaga en todas direcciones a la velocidad c. La segunda solución, en cambio, representa una onda que llega al punto fuente desde toda dirección del es-pacio. Por otra parte, hay una relación de causalidad en la primera solución, porque el efecto (el poten-cial creado) es posterior a la causa (las variaciones en el tiempo de la fuente). El intervalo entre los dos sucesos es el tiempo necesario para que la radiación cubra la distancia R moviéndose a velocidad c. En la segunda solución, la causalidad está invertida, y debemos considerar que la fuente de la radiación que viaja hacia adentro se halla en otro sitio del espacio. La primera solución (con cRtt /−=′ ) se denomina solución retardada y satisface las interpre-taciones de generación de energía y causalidad que hemos dado. La segunda solución (con

cRtt /+=′′ ) se denomina solución adelantada y no es compatible con la interpretación de una fuente de ondas electromagnéticas, por lo que la descartamos12. Por superposición podemos hallar el potencial escalar producido por todo el recinto de integra-ción:

∫′′′ρ

πε=φ

V Rvdtt ),(

41),(

0

rr con cRtt /−=′

que es la expresión buscada. Además, cada componente cartesiana del potencial vectorial tiene una solución de esta misma forma matemática, de manera que podemos escribir:

∫′′′

πµ

=V R

vdtt ),(4

),( 0 rjrA con cRtt /−=′

12 Modernas teorías físicas especulativas asignan significado físico a los potenciales adelantados y los incorporan en las ecuaciones de la electrodinámica cuántica.



APENDICE 8 - Cálculo de la integral del campo de un dipolo largo Vamos a calcular la integral:

∫−

′ ′

′−=

2/

2/

cos

2sen

L

L

zik zdezkkLF θ

que surge en la determinación del campo eléctrico radiado por un dipolo largo de longitud L. Primero dividimos la integral en dos intervalos para eliminar el módulo en el argumento del se-no:

∫∫ ′

′−+′

′+= ′

−

′2/

0

cos0

2/

cos

2sen

2sen

Lzik

L

zik zdezkkLzdezkkLF θθ

Ahora realizamos los cambios de variable:

segunda la en yintegral primera la en

2/ 2/zdkdvzkkLv

zdkduzkkLu′−=⇒′−=′=⇒′+=

∫∫

∫∫

−−

−−

+=

−=

2/

0

coscos

22/

0

coscos

2

0

2/

cos)2/(2/

0

cos)2/(

sensen

sen1sen1

kLiv

kLikLiu

kLi

kL

vkLikL

kLui

dvevk

edueuk

e

dvevk

dueuk

F

θθ

θθ

θθ

Pero: ( )[ ]aiaedxex aia

xi sencos11

1sen2

0

αα

αα −−−

=∫ y entonces:

−−+

+−=

+−+

−−=

−

−−

2sencos

2cos

sen

12

sencos2

cossen

1

2sencos

2cos1

sen2sencos

2cos1

sen

cos2

2

cos2

2

cos2

2

cos2cos

22

cos2

kLikLek

kLikLek

kLikLek

ekLikLek

eF

kLikLi

kLikLikLi

kLi

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

y finalmente:

−

=

2coscos

2cos

sen

22

kLkL

kF θ

θ



APENDICE 9 – Desarrollo en serie del coseno integral Las integrales que definen el coseno integral:

∫−

=x

dtt

txCin0

cos1)( ∫∞

−+=−=x

xCinxdtt

txCi )()ln(cos)( γ

La constante ...5772156649.0≈γ se conoce como constante de Euler. Para argumentos x pequeños, podemos expresar el coseno en el integrando mediante una serie de Taylor:

∑∞

=

−=

0

2

)!2()()cos(

k

k

ktt ⇒ ∑∑∑

∞

=

−+∞

=

+∞

=

−=

−=

−−=

−

1

121

1

21

0

2

)!2()1(

)!2()1(1

)!2()1(11cos1

k

kk

k

kk

k

kk

kt

kt

tkt

ttt

y entonces, integrando término a término:

∑∑ ∫∫ ∑∫∞

=

+∞

=

−+∞

=

−+ −=

−=

−=

−=

1

21

1 0

121

0 1

121

0 )!2(2)1(

)!2()1(

)!2()1(cos1)(

k

kk

k

xk

kx

k

kkx

kkxdtt

kdt

ktdt

ttxCin

Esta expresión converge rápidamente para valores pequeños de x debido al factorial en el deno-minador. Para x ≥ 20 el carácter oscilatorio de la serie origina errores significativos por redondeo y truncaje en los primeros términos, que son los más significativos, para los cuales la función x2k crece más rápidamente con k que el factorial y se requiere usar otros métodos de representación para el cálculo.

Se ha usado esta expresión para el cálculo de las resistencias de radiación en los Ejemplos 10.4 y 10.5.



G = k D

Ae = <P>/<N>

RESUMEN • La resolución de las ecuaciones de Maxwell en un recinto con fuentes de campo

(problema de la radiación) se simplifica usando los potenciales electrodinámicos en lugar de los campos:

trArrE∂

∂−−∇=

),(),(),( ttt φ ),(1),(0

tt rArH ×∇=µ

• Estos potenciales electrodinámicos satisfacen ecuaciones de onda vectoriales in-homogéneas:

),(),(1),( ),(),(1),( 02

2

22

02

2

22 tt

tcttt

tct rjrArArrr µ

ερφφ =

∂∂

−∇=∂∂

−∇

• Estas ecuaciones tienen como solución (Apéndice 7) los potenciales retardados, cuyo valor en el punto campo depende del valor de las fuentes en instantes anteriores, por la propagación a velocidad finita de la radiación electromagnética:

∫∫′′

=′′

=VV

dVR

ttdVR

tt ),(4

),( ),(4

1),( 0

0

rjrArrπµρ

επφ

cRttR / :con −=′′−= rr

• De estas soluciones surge que sólo cargas aceleradas emiten radiación electromag-nética.

• Se presentan las propiedades fundamentales de las antenas: • diagrama de radiación. Describe gráficamente la anisotropía de transmi-

sión/recepción de las antenas receptoras:

),( 2 ϕθfN

NdPd

dPdNr

dPd

maxr

r

max

r =><><

=Ω

Ω⇒><=

Ω><

• ancho de haz de potencia media. Es el ángulo para el cual la densidad de poten-cia cae a la mitad del valor máximo para un lóbulo de radiación.

• área de haz. Es el ángulo sobre el cual se concentraría la radiación si fuera de-ntro de este ángulo de valor igual al máximo: πϕθ

π

4),(

4

≤Ω=Ω ∫ dfA .

• directividad. Es la relación entre la densidad de potencia máxima y la densidad de potencia promedio sobre una esfera. Es inversamente proporcional al área de

haz: A

Amax

PP

PdPd

DΩ

=Ω

=Ω

=π

ππ4

4//

4/

• ganancia: donde k es la eficiencia, relacionada con las pérdidas por efecto Joule en los conductores de la antena.

• área o abertura efectiva. Da la relación entre la potencia eléctrica útil y la densi-dad de potencia que recibe la antena:



• Las propiedades de las antenas están ligadas entre sí. Algunas relaciones impor-

tantes son: AemA Ω=2λ ee AGAD

m 22

4 4λπ

λπ

=⇒=

• El sistema radiante usado como base para el análisis de antenas de hilo largas es el dipolo eléctrico radiante, para el que se calculan los campos. Se demuestra que los campos tienen términos de radiación, que transportan potencia media y términos de inducción, que no lo hacen. Los campos de radiación constituyen una onda esférica elemental:

φθωπ

φθπ

θθωωεπ

θθωεπ

ω

ω

ˆsen)sen(4

ˆsen4

),(

ˆsen)sen(4

ˆsen4

),(

0)(0

0

20)(

0

20

krtrkLIe

rkLIit

krtr

kLIer

kLIit

krtirad

krtirad

−−==

−−==

−

−

rH

rE

rrN ˆ8

senˆ

32

sen 2

2

2200

20

2

23220

==><λ

θη

ωεπ

θ L

r

I

r

kLI

tal que el campo eléctrico y el campo magnético son perpendiculares entre sí y a la dirección radial de propagación y están relacionados entre sí por la impedancia in-trínseca del vacío, como en el caso de las ondas planas. Los campos de radiación son los campos emitidos por las antenas, mientras que ambos tipos de campo intervienen en el análisis de la radiación de interferencia.

• Se obtienen los campos emitidos por el dipolo eléctrico elemental. A partir de ellos se determina el diagrama de radiación: 2( , ) senf θ φ θ=

y la potencia radiada es: 22

00

3

=><λ

ηπ LIP

• Se hallan por el principio de dualidad los campos emitidos por un dipolo magnético elemental:

φθπ

η ω ˆ4

),( )(2

0 senermk

t krtirad

−=rE θθπ

ω ˆ4

),( )(2

sener

mkt krtirad

−−=rH

• Se expresa el campo emitido por un radiador fuera del origen de coordenadas aproximando la amplitud a orden cero, la fase a orden uno y considerando campos paralelos:

Si: R

efFkRti )(

),()(−

′′=ω

φθr con rrR ′−==R

resulta: rrr &&•′−

≈ ikkrti

er

efF)(

),()(ω

φθ

• Las antenas largas (de tamaño comparable a la longitud de onda de la radiación) se modelizan mediante la superposición coherente de los campos emitidos por radiado-res elementales. Se analizan antenas largas resonantes:

( )0 0

0

cos cos cos 2 sen 2 2

i t kri I EkL kLE e Hr

ω θθ φ

η θπ θ η

− ≈ − ≈



[ ]

−=>< par )2()(4impar )2(

8

200

nnCinnCinnnCinI

P πππ

π

η

y de onda viajera:

0

)1(cos2)(00

cos1

sen)cos1(2

sen

2 ηθ

θθ

πη θ

φ

θωθ

EH

Lkee

rI

EL

ikkrti =−

−

−≅−−

( ) ( )

+−+>=<

λπλπ

λπλπ

η/4

)/4sen(/4/2ln1415.14

200

LLLCiLIP

en términos de las funciones coseno integral. • Otra forma de modificar el diagrama de radiación de una antena es agrupar antenas.

El caso más sencillo es aquél donde todos los radiadores son idénticos, con la misma intensidad y frecuencia de corriente de alimentación y la interferencia se logra por su ubicación espacial y/o desfasaje. Se analizan distribuciones lineales de radiadores, con corrientes desfasadas en forma uniforme ( n nψ δ= ) :

( )( )

[ sen cos ]( )0 2sen cos

2 2

sen cos2 2

sen( , )

sen

Ni kdi t kr

kdN

kd

EE t e er

θ φ δωθ

δθ φ

δθ φ

+−+

+

≈r



PROBLEMAS

10.1) Una estación de radio emite isotrópicamente una potencia de P0 watts. Para un receptor ubicado a una distancia D que sintoniza a dicha estación, ¿Cuál es la intensidad de los cam-pos eléctrico y magnético que recibe?.

10.2) Considere un radiador que emite un campo lejano dado por )cos( krtrAE −= ωθ con A =

60 V y f =100 MHz. a) Compruebe que la onda radiada tiene un frente de onda esférico. b) Calcule el H de radiación. c) Verifique que el radiador es isotrópico y calcule la potencia media emitida.

[Rta: 60 W] 10.3) Para el radiador isotrópico del problema anterior: a) si a una distancia de 1 km se coloca

una espira rectangular de lados a = 5 cm, b = λ/2, tal que su plano contiene al campo eléctrico emitido tal como indica la figura. ¿Cuál es el valor eficaz de la fem inducida sobre la espira?

[Rta: 4.24 mV] 10.4) Dos radiadores isotrópicos idénticos al del problema 7.2) se encuentran ubicados en

r d z1 2= −( / )) y r d z2 2= ( / )) . a) Determinar los campos eléctricos emitidos por cada radiador y el campo radiado total. b) Calcular el valor medio del vector de Poynting de radiación para cada radiador y para el conjunto. c) Calcular la potencia media radiada por el sistema.

10.5) A 10 km de una antena dipolar elemental orientada verticalmente, y a su misma altura, se

mide la densidad media de flujo de potencia radiada, que es de 10-6 W/m2. Hallar las amplitudes de los campos E y H radiados en ese punto, indicando sus direcciones y sentidos. Calcular la potencia media total irradiada por la antena.

[Rta: 27.46 mV/m, 72.84 µA/m, 837.76 W]

10.6) Dos dipolos de longitud l, paralelos al eje z, están ubicados en r1 = (d/2)x y r2 = -(d/2)x respectivamente. Las corrientes excitadoras son de igual amplitud y frecuencia y están desfasadas en π/2. Para r >> λ = d: a) calcular los campos radiados y el vector de Poyn-ting medio de radiación. b) Dibujar el diagrama de radiación horizontal y vertical. c) Analizar la presencia de lóbulos y sus magnitudes relativas en los diagramas de radiación.

10.7) Repita el ejercicio anterior para dos dipolos ubicados en r1,2 = ±(d/2)z .

10.8) Un conjunto de tres dipolos cortos orientados según z están alineados paralelos al eje x. La separación entre ellos es d = λ/2 y el desfasaje de la corriente entre dos elementos es α = π. Determinar el diagrama de radiación para θ = π/2.

Eθ

θ

z

a

b

1 km



10.9) Considere la misma situación del ejercicio anterior pero determine el diagrama de radia-ción en el plano zx.

10.10) Un conjunto de tres dipolos cortos se alinean paralelamente separados por una distancia d = 2λ/3 y con un desfasaje α = 2π/3 entre las corrientes. Hallar el diagrama de radiación en el plano θ = π/2.

10.11) Calcule la anchura del haz principal de un sistema lineal uniforme de cinco elementos con espaciado λ/2 en los planos a) horizontal y b) vertical.

[Rta: a) 47.2º, b) 106.2º]

10.12) Cuatro radiadores de igual amplitud están espaciados en λ/2. a) Halle el ángulo de fase α que se requiere para maximizar el campo en la dirección θ = 90º.