presentacion sobre termodinamica de la radiacion electromagnetica cerca a una superficie de...

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PROPIEDADES TERMODINAMICAS DE LARADIACION ELECTROMAGNETICA CERCA DE

UNA SUPERFICIE DE SCHWARZSCHILD.

W. A. Rojas C. y R. Arenas S.OBSERVATORIO ASTRONOMICO NACIONAL

Universidad Nacional de Colombia

Octubre 2009

W. A. Rojas C. y R. Arenas S. OBSERVATORIO ASTRONOMICO NACIONALUniversidad Nacional de ColombiaPROPIEDADES TERMODINAMICAS DE LA RADIACION ELECTROMAGNETICA CERCA DE UNA SUPERFICIE DE SCHWARZSCHILD.

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TERMODINAMICA DE LA RADIACIONELECTROMAGNETICA

Esta presentacion tratara sobre dos aspectos de la radiacionelectromagnetica:

1 Propiedades termicas de la radiacion electromagnetica: talescomo energıa libre de Helmhotlz (F), entropıa (S), energıainterna (E), calor especıfico (C) y presion (P).

2 Aplicar el metodo de Einstein al contexto gravitacional bajo laaproximacion de altas energıas para comprobar la estructuragranular de la radiacion.


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Propiedades termicas de la radiacion electromagnetica

Sea una metrica de la forma (que incluye los casos Schwarzschild,Reissner-Nordstrom de Sitter, etc):

ds2 = −f(r)dt2 + f(r)−1dr2 + r2dθ2 + r2sin2θdφ2 (1)

Retomando la expresion () para la energıa libre de Helmoltz para laradiacion electromagnetica en el espacio-tiempo de Minkowski []:

F

V=∫kBTLn

[1− e−

~ω(K)kBT

]4πK2dK

(2π)3= −

π2k4BT

4

90~3c3(2)


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Sea V , el volumen de una esfera:

V =∫ ∫ ∫

r2sinθdrdθdφ

Introduciendo la anterior expresion en la ecuacion () se halla:

F = −π2k4

B

90~3c3

∫T 4√−gd3x (3)

Donde el termino d3x = dθdφdr Y la ley de Tolman:

T 4V =∫T 4√−gd3x


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Tendremos que la forma final para la energıa libre Helmholtz en uncampo gravitacional intenso es []:

F =∫kBTLn

∣∣∣∣1− e~ω(K)kBT

∣∣∣∣ 4πK2dK

(2π)2

∫T 4√−gd3x (4)

Para evaluar primera integral que existe en (), la cual converge al

valor de −π4

45 , asi que:

F = −π2k4

B

90~3c3

∫T 4√−gd3x (5)

F =π2k4

B

90~3c3

∫ [T∞√f(r)

]4

r2sinθd3x (6)


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Cerca del horizonte se puede reemplazar la coordenada r por lacoordenada ρ, que mide la distancia propia desde el radio deSchwarzschild:

1− 2Gmc2r

≈ κ2ρ2

c4(7)

La energıa libre de Helmoltz para un sistema que se halla en uncampo gravitacional de acuerdo a () en coordenadas de Rindlertoma la forma:

F = −π2k4

Bc3

90~3T 4∞κ−3

∫d2σ

∫ρ−3dρ (8)

Donde hemos aprovechado el hecho de hacer d3x = dρd2σ.Haciendo A =

∫d2σ:

F = −π2k4

Bc3

90~3T 4∞κ−3A

[− 1

2ρ2

]ρ=ρ0ρ=0

(9)


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Asi, tenemos que la funcion para la energıa libre de Helmholtzdiverge para cuando ρ = 0 (sobre el horizonte). Luego se hacenecesario introducir un cut off para evitar la divergencia y asipoder evaluar (). Con la aproximacion de δ ε, () se puedereduce a:

F = −π2k4

Bc3

180~3ε2T 4∞κ−3A (10)

De la termodınamica estandar sabemos la relacion entre entropıa yla energıa libre de Helmholtz:

S = −(∂F

∂T∞

)V

=π2k4

Bc3

45~3ε2T 3∞κ−3A (11)


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La energıa interna1 corresponde a:

E =π2k4

Bc3

60~3ε2T 4∞κ−3A (12)

La capacidad calorıfica a volumen constante es:

Cv =(∂E

∂T∞

)V

=π2k4

Bc3

15~3ε2T 3∞κ−3A (13)

Calculamos la capacidad calorıfica a presion constante:

Cp = T∞

(∂S

∂T∞

)P

=π2k4

Bc3

15~3ε2T 3∞κ−3A (14)

1

dE = dF + T∞dS


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Dado que la presion viene dada en terminos de un diferencialenergetico (F ) respecto a uno volumetrico a temperaturaconstante; tal diferencial podemos expresarlo como ∂V = ε∂A.Entonces:

P = −1ε

(∂F

∂A

)T∞

=π2k4

Bc3

180~3ε3T 4∞κ−3 (15)


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Nocion de foton en un campo gravitacional intenso

En este apartado verificaremos si la nocion de foton hallada porEinstein en 1905 [1] se mantiene cuando se estudia la radiacionelectromagnetica en una superficie de Schwarzschild. Seguiremosel metodo usado por Einstein. En condiciones de equilibriotermodinamico, la radiacion que rodea al horizonte tendra maximaentropıa. Consideremos que la radiacion electromagnetica cerca dela superficie de Schwarzschild esta en equilibrio termico, luego sutemperatura es T∞ = Th. De acuerdo con el clasico segundoprincipio de termodinamica, suponemos la radiacionelectromagnetica como un sistema fısico que esta en un definidoestado que posee una entropıa S = V φ. Tal entropıa consiste de laentropıas monocromaticas que estan separadas las unas de lasotras. Por lo que podemos obtener por adicion [25]:

S =∫ ∞

0V φdν (16)


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Lo anterior es valido para el espacio-tiempo minkowskiano. En elcaso de un espacio-tiempo curvo se debe tener en cuenta como seafecta el volumen del sistema fısico con la gravedad, seadV = 4πr2dr√

f(r)elemento de volumen en coordenadas esfericas

afectado por la gravedad. Asi se tendra que (2) se transforma en:

S =∫ R

0

∫ ∞0

φ(ρ(ν), ν)dν4πr2dr√f(r)

(17)

Einstein [1] y Planck [25] demostraron que para la radiacionelectromagnetica que en el espacio euclideo:

δ

∫ ∞0

φ(ρ(ν), ν)dν = 0

Lo cual conduce obligatoriamente a:

∂φ

∂ρ=

1T∞

(18)W. A. Rojas C. y R. Arenas S. OBSERVATORIO ASTRONOMICO NACIONALUniversidad Nacional de ColombiaPROPIEDADES TERMODINAMICAS DE LA RADIACION ELECTROMAGNETICA CERCA DE UNA SUPERFICIE DE SCHWARZSCHILD.

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De acuerdo con Planck, el concepto de temperatura gana de nuevosignificado en el caso de la distribucion de cuerpo negro. Asi parauna frecuencia especıfica de radiacion la relacion entre temperaturay densidad de entropıa esta dada por (2) y entre todas lasdistribuciones posibles la normal one esta caraterizada por elhecho que todas las radiaciones de todas las frecuencias tiene lamisma temperatura cuando la radiacion se halla en elespacio-tiempo plano. En nuestro trabajo tendremos quetemperatura estara dada por la ley de Tolman:

∂φ

∂ρ=

1T (r)

=1T∞

f1/2(r) (19)

Por otro lado veamos la funcion de distribucion de cuerpo negropara la radiacion electromagnetica de acuerdo a planck:

ρ(ν, r) =8πhν3(r)

c3

[1

ehν(r)kBT (r) − 1

](20)


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Asi se tendra que la frecuencia y la temperatura (dada por la leyde Tolman) se ven afectadas por la gravedad. La frecuencia luegotoma la forma2:

ν = ν0f1/2(r) (21)

ρ(ν, r) =8πh(ν0f(r)−1/2)3

c3

1

ehν0f(r)

−1/2

kBT∞f(r)−1/2 − 1

(22)

2Una demostracion completa de esta formula se puede ver en la referencia[38]


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Con la aproximacion de hν0kBT∞

1, la ecuacion (7) se reduce a:

ρ(ν, r) =8πh(ν0f(r)−1/2)3

c3e

hν0kBT∞ (23)

Que corresponde a la funcion de distribucion de Wien para laradiacion de cuerpo negro. Observece que la correccion de lafrecuencia es compensada por la correccion de la temperatura porlo que el efecto neto es nulo sobre el argumento del exponente.Despejando de (8) el termino 1

T∞e incertandolo en (4):

dφ

dρ= − kB

hν0Ln

∣∣∣∣ ρc3

8πhν30f−3/2(r)

∣∣∣∣ f1/2(r) (24)

Integrando (9):

φ = −kBf1/2(r)ρhν0

[Ln

∣∣∣∣∣ρc3f3/2

8πhν30

∣∣∣∣∣− 1

](25)


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Tenemos que la densidad de entropıa considerada en un intervalode frecuencia ν y ν + dν esta dado por:

S = V φ∆ν (26)

Y la energıa por unidad de volumen y frecuencia en la forma:

E = V ρ∆ν (27)

De acuerdo a lo anterior se tiene que (10) se convierte en:

S = −kBf1/2(r)Ehν0

[Ln

∣∣∣∣∣ c3f3/2(r)E8πhν3

0V∆ν

∣∣∣∣∣− 1

](28)


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Sea S0, la entropıa de la radiacion electromagnetica confinada a unvolumen V0:

S0 = −kBf1/2(r)Ehν0

[Ln

∣∣∣∣∣ c3f3/2(r)E8πhν3

0V0∆ν

∣∣∣∣∣− 1

](29)

Luego considerando la variacion en la entropıa ∆S:

∆S = −kBf1/2(r)Ehν0

Ln

∣∣∣∣ VV0

∣∣∣∣ (30)

De acuerdo a este resultado. Si el principio de Boltzmann seconsidera siempre valido incluso en el gravitatorio:

∆S = kBLn |Ω|


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De la fısica estadistıca estandar es sabido que para un gas ideal laprobabilidad es

Ω =[V

V0

]NDe (15) se puede escribir como:

∆S = kBLn

∣∣∣∣ VV0

∣∣∣∣Ef1/2

hν∞(31)

Y Einstein en su trabajo hallo que para la radiacionelectromagnetica es:

∆S = kBln

∣∣∣∣ VV0

∣∣∣∣ Ehν (32)


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En la aproximacion de Wien que funciona bien en el rango de altasenergıas, la radiacion cerca a la superficie interior se comportacomo un gas ideal, con cuantos de energıa hν. Los masenergeticos se hallan en las proximidades de superficie interior y losde mas alta longitud de onda mas lejos3.La entropıa para un gas a temperatura constante es de la forma:

pdV = TdS = nRTdV

V(33)

En el lımite cuando ∆S → 0, (16) de transforma se reduce a:

dS =kBEf

1/2

hν∞

dV

V(34)

3Tal distribucion de la radiacion observada desde el infinito apareceria conun corrimiento al rojo.


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Luego:

T∞dS =kBEf

1/2

hν∞T∞

dV

V(35)

La comparacion entre las ecuaciones (18) y (20) nos permiteobtener mas evidencias a cerca de la estructura granular de laradiacion electromagnetica cerca de la superficie de Schwarzschild[26]


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