7-8-2015

Trabajo FinalEcuaciones Diferenciales

Universidad Latina de Costa Rica

Bachiller Ingeniería en Sistemas

Computacionales

Profesor: José Antonio Otárola

Estudiante:

Hersann Fonseca Quirós

Andrés Cartin Montero

Kenneth Chacón Villalobos

Jimmy González Núñez

Tabla de ContenidosPágina

Justificación 1

Marco Teórico 2

Transformada de la Place 2

Importancia y aplicación de la transformada de Laplace

en la ingeniería

4

Herramienta Utilizada para el desarrollo de La

Transformada de Laplace: Matlab

4

MATLAB 5

Comandos Utilizados para el desarrollo de la

Transformada de Laplace en Matlab

6

Desarrollo de Ejercicios 7

Ejemplo 1 7

Ejemplo2 8

Transformada de Laplace Inversa 8

Ejemplo 3 8

Ejercicios para resolver 9

Ejemplo 1 9

Ejemplo 2 9

Conclusiones 10

Bibliografía 11

1Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab

JustificaciónLas aplicaciones de la Transformada de Laplace, aparecen comúnmente en

tratados sobre solución de ecuaciones diferenciales. Un campo específico de

aplicación es el cálculo de valores tales como corrientes, voltajes y otros factores

en redes eléctricas, cuando estos varían en el tiempo.

Tales aplicaciones son brevemente presentadas en libros dedicados a los circuitos

eléctricos. La importancia de este proyecto radica en que en él se hallará de una

manera ilustrada con ejemplos, las aplicaciones del tema mostrando la

importancia de éstos tópicos en la formación del ingeniero y cómo los temas

tratados en el curso de Matemática IV tienen amplias aplicaciones.

Para lograr un fácil manejo de la resolución de cualquier transformada de Laplace,

en cualquier campo de la ingeniería, daremos a conocer una herramienta y su

funcionamiento para lograr tener un entendimiento de la misma de una manera

eficaz. Y además proporcionar a nuestros compañeros del curso una alternativa

de resolución a este tipo de problemas matemáticas, en cualquier campo que se

desarrolle y se tenga de por medio una Transformada de Laplace.

2Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab

Marco TeóricoLa investigación tiene como objetivo disminuir la complejidad de solución de

cualquier ejercicio que esté presente la Transformada de Laplace. Con ello vamos

a dar a conocer la herramienta informática llamada Matlab, la cual nos permite

desarrollar cualquier ejercicio involucrado con el tema central, ya sea en el campo

de la electrónica, en el manejo de control digital entre otras áreas de la ingeniería.

Se utilizara Matlab para desarrollar transformada de Laplace y su inversa,

ejecutando una serie de comandos para llegar a tener el resultado final, al igual

como si hubiéramos realizado con dicho desarrollo matemático visto en clases.

Primeramente vamos a dar a conocer aspectos teóricos, que debemos a dar

conocer, antes de entrar a desarrollar ejercicios en Matlab. Luego de tener esos

conocimientos, vamos a pasar a explicar de qué trata la herramienta Matlab, y por

ultimo vamos a desarrollar ejercicios matemáticos que nos piden que lo

solucionemos utilizando la trasformada de la place, utilizando la herramienta

Matlab.

Transformada de LaplaceAhora bien vamos a definir que es la transformada de Laplace, para adquirir su

concepto y aplicarlo en desarrollo de la investigación.

¿Qué es la Transformada de Laplace?

Es una técnica matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales,

como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la Transformada de

Mellin, entre otras.

Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian

una función en una variable de entrada en otra función en otra variable.

3Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab

Definición de la Transformada de Laplace

Principales Propiedades de la Transformada de Laplace

a) La transformada de la place es Lineal

b) La transformada de una derivada

c) Transformada de una integral

Es importante conocer o bien entender las propiedades de Laplace descritas

anteriormente, para posterior resolver ya sea por desarrollo matemático, o bien

tener una noción de ellas mismas para poder desarrollar ejercicios en Matlab. A

continuación vamos a dar a conocer para que se utiliza la Transformada de

Laplace en el desarrollo de la ingeniería, los cuales la mayoría de oportunidades

está presente.

4Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab

Importancia y aplicación de la transformada de Laplace en la

ingenieríaLa transformada de Laplace se en la ingeniería de diferentes formas entre las

cuales podemos mencionar varias de ellas tales como:

El control de procesos que lo podemos aplicar por ejemplo: El ámbito doméstico

(para controlar las temperaturas, humedad, en edificios), en la transportación (para

controlar que los autos o aviones se muevan de un lugar a otro de forma segura y

exacta), en la industria (para controlar un sin número de variables en los

procesos).

También en la ingeniería química tienen una gran importancia en control de

procesos y en el estudio de la cinética de reacciones complejas, donde pueden

existir sistemas de ecuaciones diferenciales fácilmente resolubles por Laplace.

Y por último en otra área de la ingeniería donde la transformada de Laplace

cumple un papel importante es en la ingeniería electrónica, donde se utiliza para el

estudio de transistores para averiguar cuál es el escalón de tensión de un circuito

dado, entre otros usos que se le da a este método matemático.

Herramienta Utilizada para el desarrollo de La Transformada de

Laplace: MatlabYa tenemos los conocimientos básicos acerca de la transformada de Laplace, ya

conocemos el concepto, su fórmula general, sus propiedades, y además

conocemos las aplicaciones de la misma en la ingeniería. Por lo que vamos a

proceder a utilizar la herramienta Matlab para la solución de ejercicios que esté

presente Laplace, esto con el objetivo de proporcionar a los ingenieros de

5Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab

cualquier área, el conocimiento acerca del uso de la herramienta y así contar con

una alternativa más de solución o de obtener conclusiones

MATLAB (abreviatura de MATrix LABoratory, "laboratorio de matrices")

Es una herramienta de software matemático que ofrece un entorno de cálculo

técnico de altas prestaciones para cálculo numérico y visualización, el cual su

desarrollo está integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio (lenguaje

M). Está disponible para las plataformas Unix, Windows, Mac OS X y GNU/Linux.

Análisis numérico

Cálculo matricial

Procesamiento de señales

Gráficos

Utiliza un entorno fácil de usar, donde los problemas y las soluciones son

expresados como se escriben matemáticamente, sin la programación tradicional.

El nombre MATLAB proviene de ``MATrix LABoratory'' (Laboratorio de Matrices).

MATLAB fue escrito originalmente para proporcionar un acceso sencillo al

software matricial desarrollado por los proyectos LINPACK y EISPACK, que juntos

representan lo más avanzado en programas de cálculo matricial. MATLAB es un

sistema interactivo cuyo elemento básico de datos es una matriz que no requiere

dimensionamiento. Esto permite resolver muchos problemas numéricos en una

fracción del tiempo que llevaría hacerlo en lenguajes como C, BASIC o

FORTRAN. MATLAB ha evolucionado en los últimos años a partir de la

colaboración de muchos usuarios. En entornos universitarios se ha convertido en

la herramienta de enseñanza estándar para cursos de introducción en álgebra

lineal aplicada, así como cursos avanzados en otras áreas. En la industria,

MATLAB se utiliza para investigación y para resolver problemas prácticos de

ingeniería y matemáticas, con un gran énfasis en aplicaciones de control y

procesamiento de señales. MATLAB también proporciona una serie de soluciones

específicas denominadas TOOLBOXES. Estas son muy importantes para la

6Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab

mayoría de los usuarios de MATLAB y son conjuntos de funciones MATLAB que

extienden el entorno MATLAB para resolver clases particulares de problemas

como:

Procesamiento de señales

Diseño de sistemas de control

Simulación de sistemas dinámicos

Identificación de sistemas

Redes neuronales y otros.

Probablemente la característica más importante de MATLAB es su capacidad de

crecimiento. Esto permite convertir al usuario en un autor contribuyente, creando

sus propias aplicaciones. En resumen, las prestaciones más importantes de

MATLAB son:

Escritura del programa en lenguaje matemático.

Implementación de las matrices como elemento básico del lenguaje, lo que

permite una gran reducción del código, al no necesitar implementar el

cálculo matricial.

Implementación de aritmética compleja.

Un gran contenido de órdenes específicas, agrupadas en TOOLBOXES.

Posibilidad de ampliar y adaptar el lenguaje, mediantes ficheros de script y

funciones .m.

Comandos Utilizados para el desarrollo de la Transformada de

Laplace en Matlab Definición de la Transformada de Laplace

7Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab

MATLAB, resuelve la transformada de Laplace, mediante el comando: Laplace

Sintaxis:

laplace(F)

laplace(F,t)

Nota:

Donde t es el símbolo de la variable en f que viene determinada por el comando syms

A continuación vamos a desarrollar dos ejemplos utilizando los comandos

descritos anteriormente, y conforme avancemos en el desarrollo de los ejercicios,

vamos a dar a conocer otros comandos y su rol que desempeña en la ejecución

del ejercicio

Desarrollo de Ejercicios1. Ejemplo: Calcular la transformada de la función, mediante MATLAB.

a) Procedimiento: Introduzca los siguientes comandos:

Nos devuelve:

8Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab

b)

Escribiendo la el comando:

Nos devuelve el resultado en formato matemático normal:

2. Ejemplo: Calcular la transformada de la función , mediante MATLAB.

1. Procedimiento: Introduzca los siguientes comandos:

Nos devuelve:

2. Escribiendo la el comando:

Nos devuelve el resultado en formato matemático normal:

Transformada de Laplace InversaEl comando ilaplace, calcula la transformada inversa de Laplace.

3. Ejemplo.- Calcular la transformada inversa de

a) Procedimiento.- Introduzca los siguientes comandos:

9Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab

Nos devuelve:

Ejercicios para resolverYa conocidos los conceptos de la transformada de Laplace y sus características y

además de eso tener el conocimiento de la herramienta Matlab, y ejecutando los

comandos requeridos para resolver Laplace, resuelva los siguientes ejercicios.

1. Ejercicio: Calcular la transformada de la función , mediante MATLAB.

2. Calcular la transformada de la función , mediante MATLAB.

10Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab

Conclusiones Como grupo de trabajo podemos tener la satisfacción de haber cumplido con el

objetivo y solucionar el problema que se tenía con el planeamiento de la

investigación desde un inicio, el cual era proporcionar una alternativa a los

estudiantes de ingeniera, para resolver la transformada de Laplace de una manera

más rápida y eficaz.

Y además se tuvo como objetivo enseñar a los compañeros del curso, aspectos

básicos de uso de la herramienta utilizada en la investigación, en este caso

Matlab. Lo cual es una herramienta fácil de utilizar, y además de eso nos

proporciona una infinidad de utilidades.

Y finalmente logramos que el estudiante tuviese un mejor entendimiento de la

aplicación matemática de la Transformada de Laplace, y además de eso dejamos

claro las diferentes aplicaciones de la ingeniería donde está presente Laplace, de

ahí la importante de tener conocimiento de la Herramienta Matlab.

11Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab

BibliografíaAguilar, G. (2011). Transformada de Laplace. Consulta realizada el 04 de agosto

2015, en: http://www.unizar.es/pde/fjgaspar/TransLaplace.pdf

Barreto, J. (2013). Aplicación de la Transformada de Laplace y las ecuaciones

diferenciales en el dominio del tiempo en cálculo de circuitos eléctricos. Consulta

realizada el 07 de agosto 2015, en:

http://www.abaco.com.ve/Calculo/ProyectoLaplaceb.pdf

Guía para el uso de Matlab Symbolic Math Toolbox. (s.f). Consulta realizada el 05

de agosto 2015, en:

http://www.bioingenieria.edu.ar/academica/catedras/control/archivos/material/

Anexos/apunte%20matlab%20parte3

Miranda, A. (2013). Transformada de Laplace. Consulta realizada el 04 de agosto

2015, en: http://es.slideshare.net/AlexisMiranda1/transformada-de-laplace-

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