Transformada laplace diferenciales_ejercicios_resueltos

UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control, Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales. 1 / 28

Universidad Nacional Experimental del Táchira. Departamento de Ingeniería Electrónica. Núcleo de Instrumentación y Control. Profesor: Tito González. San Cristóbal, Jueves 15 de Octubre del 2009.

EJERCICIOS RESUELTOS DE TRANSFORMADA DELAPLACE DE ECUACIONES DIFERENCIALES

INTRODUCCION.

A continuación se obtiene la solución de tres ecuaciones diferenciales por medio de la utilizaciónde transformada directa e inversa de Laplace con el objeto de establecer las técnicas básicas para laaplicación de la herramienta en esta clase de problemas.

Los ejercicios se inician hallando la solución completa o respuesta total, y posteriormente sedesarrollan los conceptos de respuesta libre, respuesta forzada, la respuesta total como suma algebraica dela respuesta libre y la respuesta forzada, para finalmente desarrollar el concepto de función detransferencia.

Por otra parte, cada uno de los ejercicios se acompaña de sus respectivas gráficas tanto en eldominio de la frecuencia compleja “S” como en el dominio del tiempo, para mostrar el significado yvalores característicos de la transformación, en particular la relación que hay entre la posición de los polosy el comportamiento en tiempo.

Estos gráficos, se realizaron por medio de scripts en Matlab versión 5.3, los cuales están adisposición del publico en otro apartado, a objeto de que el interesado en el área experimente con lamodificación de los parámetros que se encuentran identificados para tal fin al inicio del script.

Cada ejercicio se encuentra identificado en su inicio con un nombre código como: TLEDE01, elcual significa: Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales Ejercicio 01, de manera tal de noperder el enlace entre el ejercicio resuelto y la codificación en Matlab.


( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ){ } ( ){ }

( ){ } ( ){ } ( ){ }

( ) ( ) ( ){ } ( ){ } ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

d g tdt

g t sen t con g y g

SoluciónAplicando Transformada Directa de Laplace

D g t g t sen t

D g t g t sen t

S G s Sg g G sS

S G s G sS

G s SS

G s SS

2

2

2

2

22 2

22 2

22 2

22 2

4 4 0 0 0 15

4 4

4 4

0 0 44

4

0 15 4

44

4 15

44

44

415

20

+ = = ′ =

+ =

+ =

− − ′ + =+

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

− − + =+

+ − =+

+ =+

+ =+

:

L L

L L L

( )( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( )

( )( )( )

( ){ }( )

( )( )( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]

SS

SS

G sS

S SG s

S

S S

Aplicando Transformada Inversa de Laplace

G sS

S S

S

S S

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

1 12 2

2 2 2 21

2 2

2 2 2 2

45 4

365 4

65 2 4

15 6

2 4

15 6

2 4

15 0 6

0 2 0 4

++

=++

=+

+ +⇒ =

+

+ +

=+

+ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

+ +

+ + + +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪− − −L L L

Ejercicio: TLEDE01

Obtenga la ecuación que es solución de la siguiente ecuación diferencial por el método de la Transformadade Laplace, haciendo uso de tablas y propiedades.


( ){ }( )[ ] ( )[ ]

( ){ }( )[ ] ( )[ ]

( ){ } ( ) ( )

L L

L L L

L

− −

− − −

− − ⋅ − ⋅

=∠

+ ++

∠+ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

=∠

+ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪+

∠

+ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

= ⋅ + + ⋅ +

1 1 1 12 2

2 22 2

1 1 1 1

1

2

12

1 2 2

2

2

22

1 1

11 1

2

22 2

0 2 0 4

1 2

G sM

SM

S

G sM

S

M

S

G sM

sen tM

sen te et tforma de la

respuesta

ϕ ϕ

ϕ

σ ω

ϕ

σ ω

ωω ϕ

ωω ϕσ σ

( ) ( )[ ]{ } ( )( )

( ) ( )[ ]{ } ( )( )

( ){ } ( )

Hallando los coeficientes

M G s SS

SM

M G s SS

SM

sustituyendo en la forma de la respuesta

G s g t sen

S j S j

S j S j

te

1 1 1

2

12

1 1

2

2 0 21 1

2 2 2

2

22

2

2

2 0 42 2

1 0

15 36

16815

05333 0

15 36

413

0 3333

053332

2

∠ = ⋅ + + =+

+= = ∠ = ∠

∠ = ⋅ + + =+

+= − = ∠ = ∠

= =

= − + = +

= − + = +

− ⋅

ϕ σ ω ϕ

ϕ σ ω π ϕ

σ ω

σ ω

.

.

.L ( ) ( ) ( )

( ){ } ( ) ( ) ( )

2 00 3333

44

0 2667 2 0 0834 4

0

1

t sen t

G s g t sen t sen t

e t+ +−

+

= = + +

⋅

−

.

. .

π

πL


( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ){ } ( ){ } ( ){ } { }

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( )

( )[ ] ( )

D h t Dh t h t con h y h


D h t D h t h t

S H s Sh h SH s h H sS

S H s SH s H sS

H s S SS

H s S SS

e

e

t

t

2 2

2

2

2

2

2

2 10 0 0 0 1 2

2 10

0 0 2 0 101

2

12 2 10

12

2 10 12

12

2 101

2

− + = = ′ =

′′ − ′ + =

− − ′ − − + =+

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

− − + =+

− + − =+

− + =+

+

− ⋅

− ⋅

/

:.

L L L L

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( ){ }( )

( )( )( )

( )( )( )

( ){ }( )

( ) ( )[ ]

12

2 22 2

42 2

12 4

2 2 10

12 4

2 2 10

12 4

2 1 3 1 3

12 4

2 1 3

2

1 12

1

1 12 2

=+ +

+=

++

=+

+ − +

=+

+ − +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

+

+ − + − −

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

=+

+ − +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

− − −

− −

SS

SS

H sS

S S S


H sS

S S S

S

S S j S j

H sS

S S

.

L L L

L L

Ejercicio: TLEDE02

Obtenga la ecuación que es solución de la siguiente ecuación diferencial por el método de la Transformadade Laplace, haciendo uso de tablas y propiedades.


( ){ } ( ) ( )[ ]

( ){ } ( ) ( )[ ]

( ){ } ( )

( ) ( )[ ] ( )

L L

L L L

L

− −

− − −

− − ⋅ − ⋅

= −

=+

+∠

− +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

=+

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪+

∠

+ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

= ⋅ + =+

1 12 2

1 1

1

1

22

22

1

22

11

2

12 1 3

1

1

11

2 4

1 2

H sk

SM

S

H sk

SM

S

H s kM

sen t

Hallando los Coeficientes

k H s SS

S

e et t

forma de la

respuesta

S

ϕ

σϕ

σ ω

ωω ϕ

σ

σ σ

σ ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )[ ]{ } ( )( )

( )( )

− +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=− +

− − − +

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

= = =

∠ = ⋅ + + =+

+

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=+ +

+ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=++

= −

∠ = ∠

= −

= − + = +

2 10

12 2 4

2 2 2 101

180 0556 1

12 4

2

12 1 3 4

1 3 22 5 15

3 30 667 01667

0 6872

2 2

22

22

2 2 1 3

Sk

M H s SS

Sj

jj

jj

M

S

S j S j

.

. .. .

.

ϕ σ ω

ϕ

σ ω

( ){ } ( ) ( )

( ) ( )

−

= = + ⋅ −

= + ⋅ ⋅ −

− − ⋅

− ⋅

0 245

118

0 68723

3 0 245

0 0556 0 2291 3 0 245

1 2

2

.

..

. . .

sustituyendo en la forma de la respuesta

H s h t sen t

h t sen t

e e

e e

t t

t t

L


Ejercicio: TLEDE03

Halle la respuesta total de la siguiente ecuación diferencial por el método de la Transformada de Laplace,haciendo uso de tablas y propiedades.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ){ } ( ){ }( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ }

( ) ( ) ( )

( )[ ]( )

′′ + ′ + = = = ′ =

′′ + ′ + =

′′ + ′ + =

− − ′ + − + = ⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

− + + =

+ + − =

+

y t y t y t x t con x t u t y y


y t y t y t x t

y t y t y t u t

S Y s Sy y SY s y Y sS

S Y s SY s Y sS

Y s S SS

Y s S

2 5 0 0 0 12

2 5

2 5

0 0 2 0 5 1

12 2 5 1

2 5 12

1

2

2

2

2

2

; ;

:

L LL L L L

[ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( )[ ]

( ){ } ( )( )[ ]

( )( )( )

( ){ } ( )( )

SS

SS

SS

Y sS

S S SY s

S

S S S


Y sS

S S S

SS S j S j

Y sS

S S

T

T

T

+ = + = + = +

=++ +

⇒ =+

+ + +

=+

+ + +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

+

+ + + −

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

=+

+ +

− − −

− −

5 1 12

22

22

22 2 5

12 2

0 2 5

12 2

0 2 5

12 2

1 2 1 2

12 2

1 2

2 2

1 12

1

1 12

L L L

L L [ ]2

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪


( ){ }( )[ ] ( )[ ]

( ){ } ( ) ( ) ( )

( ){ } ( )( )

L L L L

L

− − − −

− − ⋅

= =

= +∠

+ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

+∠

+ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

= = + ⋅ +

= ⋅ =+

+ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪= =

1 1 12 2

1 1 12 2

11

1

10 2 0

1 2 1 2

22

12 2

2 515

0 2

Y skS

MS

kS

MS

Y s y t k u tM

sen t

Hallando coeficientes

k Y s SS

S S

T

T Tt

forma de la

respuesta

TS S

e

ϕ ϕ

ϕ

.

( ) ( )[ ]{ } ( ) ( )

( ){ } ( ) ( ) ( )

( ){ } ( )

=

∠ = ⋅ + + =+⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

− + +− +

∠ =+

− += − = ∠ − = ∠

= = + ⋅ −

= =

= − + = − +

− −

−

k

M Y s SSS

jj

Mjj

j M

Sustituyendo en la forma de la respuesta

Y s y t u t sen t

Y s y t u

TS j S j

T Tt

T T

e

1

2 2

1 2 1 2

1

1

1 21

2 2 12 1 2 2

1 2

121 2

0 3 0 4 12 0 9273

0 214

2 0 9273

0 2

ϕ

ϕ ϕ. . .

. .

.

L

L ( ) ( )t sen te t+ ⋅ −−0 25 2 0 9273. .


Ejercicio: TLEDE04

Halle la respuesta libre de la siguiente ecuación diferencial por el método de la Transformada de Laplace,haciendo uso de tablas y propiedades.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ){ } ( ){ }

( ){ } ( ){ } ( ){ } { }

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ }

( ) ( ) ( )( )[ ]

′′ + ′ + = = = ′ =

′′ + ′ + =

′′ + ′ + =

− − ′ + − + =

− + + =

+ + − =


SoluciónAplicando Transformada Directa de Laplace y considerando que x t y todassus condiciones iniciales son cero

y t y t y t x t

y t y t y t

S Y s Sy y SY s y Y s

S Y s SY s Y s

Y s S S

2 5 0 0 0 12

2 5

2 5 0

0 0 2 0 5 0

12 2 5 0

2 5 12

2

2

2

; ;

:

L L

L L L L

( )[ ]

( ) [ ] ( ) [ ]

( ){ } [ ] ( )( )

( ){ }( )[ ]

0

2 5 12

12 2 5

12

2 5

12

2 5

12

1 2 1 2

12

1 2

2

2 2

1 12

1

1 12 2

Y s S S

Y sS S

Y sS S


Y sS S S j S j

Y sS

L

L

L

+ + =

=+ +

⇒ =+ +

=+ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

+ + + −

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

=+ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

− − −

− −

L L L

L L


( ){ }( )[ ]

( ){ } ( ) ( )

( ) ( )[ ]{ } { }

( ){ } ( ) ( )

( ){ } ( )

L L

L

L

L

− −

− − ⋅

= − + = − +

− −

− −

=∠

+ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

= = ⋅ +

∠ = ⋅ + + = =

∠ = ∠

= = ⋅

= =

1 12 2

1 1

2 2

1 2 1 2

1

1

1 2

22

1 2 12

12

12 0

14

2

0 25

Y sM

S

Y s y tM

sen t


M Y s S

M


Y s y t sen t

Y s y t

L

L Lt

forma de la

respuesta

LS j S j

L Lt

L Lt

e

e

e

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

. ( )sen t2


Ejercicio: TLEDE05

Halle la respuesta forzada de la siguiente ecuación diferencial por el método de la Transformada deLaplace, haciendo uso de tablas y propiedades.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ){ } ( ){ }( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ }

( ) ( ) ( )

( )[ ]

′′ + ′ + = = = ′ =

′′ + ′ + =

′′ + ′ + =

− − ′ + − + = ⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

+ + =

+ + =


SoluciónAplicando Transformada Directa de Laplace y considerando que todaslas condiciones iniciales son cero

y t y t y t x t

y t y t y t u t

S Y s Sy y SY s y Y sS

S Y s SY s Y sS

Y s S S

2 5 0 0 0 12

2 5

2 5

0 0 2 0 5 1

2 5 1

2 5

2

2

2

; ;

:

L LL L L L

( ) [ ] ( ) [ ]

( ){ } [ ] ( )( )

( ){ }( )[ ]

1

12 5

12 5

12 5

11 2 1 2

11 2

2 2

1 12

1

1 12 2

S

Y sS S S

Y sS S S


Y sS S S S S j S j

Y sS S

F

F

F

=+ +

⇒ =+ +

=+ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

+ + + −⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=+ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

− − −

− −

L L L

L L


( ){ }( )[ ] ( )[ ]

( ){ } ( ) ( ) ( )

( ){ } ( )

L L L L

L

− − − −

− − ⋅

= =

= +∠

+ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

+∠

+ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

= = + ⋅ +

= ⋅ =+ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪= = =

1 1 12 2

1 1 12 2

11

1

10 2 0

1

1 2 1 2

22

12 5

15

0 2

Y skS

MS

kS

MS

Y s y t k u tM

sen t


k Y s SS S

k

M

F

F Ft

forma de la

respuesta

FS S

e

ϕ ϕ

ϕ

.

( ) ( )[ ]{ }

( ){ } ( ) ( ) ( )

( ){ } ( ) ( ) ( )

∠ = ⋅ + + = ⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=− +

∠ = − − = ∠ − = ∠

= = + ⋅ −

= = + ⋅ ⋅ −

= − + = − +

− −

− −

ϕ

ϕ ϕ

Y s SS j

M j M


Y s y t u t sen t

Y s y t u t sen t

FS j S j

F Ft

F Ft

e

e

1 21 1

1 2

0 2 0 4 0 447 2 034

0 20 447

22 2 034

0 2 0 2235 2 2 034

2 2

1 2 1 2

1

1

. . . .

..

.

. . .

L

L


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

y t u t sen t

y t u t sen t t seny t u t sen t sen ty t u t sen t t

y t u t

Tt

Tt

Tt t

Tt t

Tt

ee

e ee e

e

= + −

= + ⋅ − ⋅

= + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

= + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

= + ⋅ ⋅

−

−

− −

− −

−

0 2 0 25 2 0 9273

0 2 0 25 2 0 9273 2 0 92730 2 0 25 0 9273 2 0 25 0 9273 20 2 015 2 01999 2

0 2 015

. . .

. . cos . cos .

. . cos . . . cos

. . . cos

. . ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

sen t t

y t sen t

y t u t sen t

y t u t sen t t seny t u t sen t sen ty t u t sen

e

e

ee

e ee

t

Lt

Ft

Ft

Ft t

Ft

2 0 2 2

0 25 2

0 2 0 2235 2 2 034

0 2 0 2235 2 2 034 2 2 0340 2 0 2235 2 034 2 0 2235 2 034 20 2 0 099863 2

− ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

= + −

= + ⋅ − ⋅

= + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅

−

−

−

−

− −

−

. cos

.

. . .

. . cos . cos .

. . cos . . . cos

. . ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

t t

y t u t sen t t

y t y t y t

y t sen t u t sen t t

y t sen t u t sen t ty t

e

e e

e e ee e e

t

Ft t

T L F

Tt t t

Tt t t

T

+ ⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= +

= ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

=

−

− −

− − −

− − −

0199949 2

0 2 01 2 0 2 2

0 25 2 0 2 01 2 0 2 2

0 25 2 0 2 01 2 0 2 2

. cos

. . . cos

. . . . cos

. . . . cos( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 2 0 25 2 01 2 0 2 2

0 2 015 2 0 2 2

. . . . cos

. . . cos

u t sen t sen t t

y t u t sen t t

e e e

e e

t t t

Tt t

+ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

− − −

− −

Ejercicio: TLEDE06

Demostración de que la respuesta total es la suma de la respuesta libre con la respuesta forzada.


Ejercicio: TLEDE07

Halle la función de transferencia de la siguiente ecuación diferencial por el método de la Transformada deLaplace, haciendo uso de tablas y propiedades.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ){ } ( ){ }

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( )

( ) ( ) ( )

′′ + ′ + = = = ′ =

′′ + ′ + =

′′ + ′ + =

− − ′ + − + =

+ +


y t y t y t x t

y t y t y t X s

S Y s Sy y SY s y Y s X s

S Y s SY s Y s

2 5 0 0 0 12

2 5

2 5

0 0 2 0 5

2 5

2

2

; ;

Solución:Aplicando Transformada Directa de Laplace y la condición de que laFunción de transferencia se halla para todas las condiciones iniciales igualesa cero y sin sustituir a X(s) por su transformación

L L

L L L

( )

( )[ ] ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) [ ]

( ){ } [ ] ( )( )

( ){ }( )[ ]

=

+ + =

=+ +

⇒ = =+ +

=+ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

+ + + −⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=+ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

− − −

− −

X s

Y s S S X s

Y sX s

S SF s

Y sX s S S


F sS S S j S j

F sS

2

2 2

1 12

1

1 12 2

2 5

2 512 5

12 5

11 2 1 2

11 2

L L L

L L


( ){ }( )[ ]

( ){ } ( ) ( )

( ) ( )[ ]{ } { }

( ){ } ( ) ( )

( ){ } ( ) ( )

L L

L

L

L

− −

− − ⋅

= − + = − +

− −

− −

=∠

+ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

= = ⋅ +

∠ = ⋅ + + = =

∠ = ∠

= = ⋅

= =

1 12 2

1 1

2 2

1 2 1 2

1

1

1 2

22

1 2 1 1

1 0

12

2

05 2

F sM

S

F s f tM

sen t


M F s S

M


F s f t sen t

F s f t sen t

e

e

e

tforma de la

respuesta

S j S j

t

t

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

.

Transformada laplace diferenciales_ejercicios_resueltos

Education

Transcript of Transformada laplace diferenciales_ejercicios_resueltos