1

La transformada de Laplace

𝐹 (𝑠 )=𝐿 ¿

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

2

Sea una función definida t ≥ 0 la Transformada de Laplace se denotada o

dtetfsFtfL st

0

)()()}({

Observaciones:

Se obtiene una función que depende de la variable .

La transformada existe cuando la integral es converge.

3

Ejemplos.- Hallar la transformada de:

1.− 𝑓 (𝑡 )=1 ⇒ 𝐿 [1 ]=1𝑠

2 .− 𝑓 (𝑡 )=𝑒𝑎𝑡 ⇒ 𝐿 [𝑒𝑎𝑡 ]= 1𝑠−𝑎

4

TEOREMA 1.- Sean las funciones y con transformadas de Laplace y respectivamente, y constantes entonces

𝐿¿

Ejemplos: Hallar la transformada de:

1 .− 𝑓 (𝑡 )= h𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑡⇒ 𝐿 [ h𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑡 ]= 𝑠𝑠2−𝑎2

2 .− 𝑓 (𝑡 )= h𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡⇒ 𝐿 [ h𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡 ]= 𝑎𝑠2−𝑎2

5

y

⇒𝐿 [𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 ]= 𝑤𝑠2+𝑤2

y

𝐿 [𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 ]= 𝑠𝑠2+𝑤2

6

4.- Calcula la transformada de

unción Gamma

Γ (𝛼 )=0

∞

𝑒−𝑥𝑥𝛼−1𝑑𝑥

PropiedadΓ (α+1 )=𝛼 Γ (α )

Si

⇒ Γ (𝑛+1 )=𝑛 !

7

Si ⇒ 𝐿 [𝑡𝑎 ]= Γ (𝑎+1)𝑠𝑎+1

Observación:

𝑎≥0

Si ⇒ 𝐿 [𝑡𝑎 ]= 𝑎!𝑠𝑎+1

Ejemplohallar

1.-

2.-

8

Transformada de Laplace inversa

Se lee transformada de Laplace inversa

Ejemplos

1.-

2.-

3.- +

9

Teorema.- si entonces

PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN

En consecuencia si se conoce la transformada de , se obtiene la transformada de haciendo una translación sobre el eje s

10

Ejemplo: obtener

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

LUEGO SE OBTIENEN LOS SIGUIENTES RESULTADOS

11

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

12

Si la transformada de Laplace de existe entonces ¿

Luego )

)

En general

)

13

Ejemplo: obtener

1.-

2.-

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN

14

Si entonces:

𝐿 [0

𝑡

𝑓 (𝑢)𝑑𝑢 ]=¿¿

Tomando transformada inversa se obtiene:

=

Se aplica cuando se tiene en el denominador

15

Ejemplo: Halle

1.-

2.-

En General

𝐿−1 ¿

TEOREMA DE LA DERIVADA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

16

Si entonces

𝑑𝑑𝑠

𝐹 (𝑠 )=−𝐿 [𝑡𝑓 (𝑡)]

Ejemplo: Halle

1.-

2.- 𝐿¿

3.-

17

TEOREMA DE LA INTEGRAL DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Si y además lim𝑡→ 0

¿ existe entonces

𝐿¿Ejemplo: Halle

1.-

2.-

3.-

18

APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES CONSTANSTES

Ejemplo: Usando el método de transformada de Laplace resolver las siguiente ecuaciones diferenciales

1.-

2 .- ;

2.-

3 .- ;

19

APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES NO CONSTANSTES

Ejemplo: Usando el método de transformada de Laplace resolver las siguiente ecuaciones diferenciales

1.-

FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO

20

Definición:

Nota: Es la misma función escalón unitaria pero desplazada hacia la derecha a unidades, el subíndice indica donde se desplaza

21

𝐿 [𝜇𝑎(𝑡)]=𝑒−𝑎𝑠

𝑠

Se obtiene

22

Teorema.- si , entonces

SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN

23

Nota: el teorema se usa para obtener transformada inversa

Ejemplos: Hallar

1.-

2.-

3.-

CONVOLUCIÓN DE FUNCIONES

Dados y funciones, la convolución y se denota

24

y se define:

( 𝑓 ∗𝑔)(𝑡)=0

𝑡

¿¿

Propiedades:

1.− 𝑓 ∗𝑔=𝑔∗ 𝑓

2 .− 𝑓 ∗ (𝑔+h )= 𝑓 ∗𝑔+ 𝑓 ∗h

3 .− ( 𝑓 ∗𝑔)∗h= 𝑓 ∗(𝑔∗h)

4 .− 𝑓 ∗0=0∗ 𝑓 =0

25

¿y su equivalente

𝐿 [ ( 𝑓 ∗𝑔)(𝑡) ]=𝐹 (𝑠)𝐺 (𝑠)

TEOREMA: Dados y dos funciones, cuyas transformadas de Laplace son y respectivamente entonces

Ejemplo: Hallar

1.-

2.-

26

Resolver la ecuación integro-diferencial:

1.−𝑑𝑑𝑡 [𝑥 (𝑡)−4

0

𝑡

(𝑡−𝑠¿𝑥(𝑠)𝑑𝑠 ]=𝑒𝑡 ; 𝑥 (0)=1

2 .−𝑦 ′ (𝑡 )+𝑦 (𝑡 )−0

𝑡

𝑦 (θ )𝑠𝑒𝑛 (𝑡−𝜃 )𝑑𝜃=−𝑠𝑒𝑛𝑦 ; y (0)=1