ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL Facultad de ingenierÍa de sistemas

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias

Transformada de Laplace

GRUPO #1:ROMMEL TORRES

CRISTIAN TUITICEJOSÉ ZURITA

18 de abril del 2013

La Transformada de Laplace, Definición, Propiedades (Linealidad, Orden Exponencial, etc.) Transformadas de Funciones Básicas, La Transformada Inversa, Tabla de Laplace.

Contenido1. INTRODUCCION..............................................................................................................3

2. DEFINICION BASICA......................................................................................................4

2.1. Transformadas de funciones básicas............................................................................4

3. PROPIEDADES..................................................................................................................5

3.1. Linealidad.....................................................................................................................5

3.2. Orden exponencial........................................................................................................5

4. TRANSFORMADA INVERSA.........................................................................................6

4.1. Transformadas inversas comunes.................................................................................6

5. TABLAS DE LAPLACE....................................................................................................7

6. EJERCICIOS RESUELTOS...............................................................................................8

7. EJERCICIOS PROPUESTOS..........................................................................................12

8. CONCLUSIONES............................................................................................................13

9. RECOMENDACIONES...................................................................................................13

10. BIBLIOGRAFIA............................................................................................................13

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1. INTRODUCCION

En cálculo elemental aprendimos que la diferenciación e integración son transformadas, esto significa, en términos aproximados, que estas operaciones transforman una función en otra. Por ejemplo, la función f(x) = x2 se transforma, a su vez, en una función lineal y una familia de funciones polinomiales cubicas mediante las operaciones de diferenciación e

integración: d x2

dx=2 x ˄ ∫ x2dx= x

3

3

+c , además estas dos transformadas poseen la

propiedad de linealidad.

En esta sección se dan algunos pasos hacia una investigación de como se puede usar la transformada de Laplace para resolver ciertos tipos de ecuaciones para una función desconocida. Se empieza el análisis con el concepto de Laplace inversa o, con mas precisión; la inversa de una transformada de Laplace F(s).

Resolver ecuaciones mediante la transformada de Laplace se requiere evaluar una transformada de Laplace inversa; esto, a su vez, requiere con frecuencia operaciones algebraicas sutiles y la descomposición de una expresión racional en fracciones parciales.

“Un tipo especial de transformada integral llamada Transformada de Laplace”

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2. DEFINICION BASICA

Si f (t) esta definida cuando t ≥0, la integral impropia ∫0

∞

K ( s , t ) f (t )dt, se define como un

límite:

∫0

∞

K ( s , t ) f (t )dt=limb→∞

∫0

b

K (s , t ) f ( t )dt .

Si existe el límite, se dice que la integral existe o que es convergente; si no existe el límite, la integral no existe y se dice que es divergente. En general, el límite anterior existe solo para ciertos valores de la variable s. La sustitución K(s, t) = e−st , proporciona una transformación integral muy importante.

Transformada de Laplace

Sea f una función definida para t ≥0. Entonces se dice que la integral.

L {f ( t)}=∫0

∞

e− st f ( t )dt

Es la transformada de Laplace de f, siempre que converja la integral.

2.1. Transformadas de funciones básicas

a) L {1 }=1s

c) L {eat }= 1s−a

e) L {coskt }= s

s2+k2

g) L {cosh kt }= s

s2+k2

b) L {t n }= n !

sn+1 para n=1, 2, 3,…

d) L {sen kt }= k

s2+k2

f) L {senh kt }= k

s2+k2

4

5

3. PROPIEDADES

3.1. Linealidad

En el curso elemental de cálculo aprendimos que la diferenciación y la integración transforman una función en otra función; por ejemplo, la función f(x) = 2 se transforma, respectivamente, en una función lineal, una familia de funciones. Polinomiales cúbicas y en una constante, mediante las operaciones de diferenciación, integración indefinida e integración definida:

d x2

dx=2 x , ∫ x2dx=x3+c , ∫

0

3

x2=9

Además, esas tres operaciones poseen la propiedad de linealidad. Esto quiere decir que para cualesquier constantes α y β,

ddx

[αf ( x )+βg ( x ) ]=αddx

f ( x )+ βddx

g(x )

∫ [αf ( x )+ βg(x) ]dx=α∫ f ( x )dx+ β∫ g(x )dx

∫a

b

[αf ( x )+ βg(x) ]dx=α∫a

b

f ( x )dx+ β∫a

b

g(x )dx

Siempre y cuando exista cada derivada e integral. Si f(x, y) es una función de dos variables, una integral definida defcon respecto a una de las variables produce una función de la otra variable; por ejemplo, al mantener “y” constante,

∫1

2

2 xy2dx=3 y2 . De igual forma, una integral definida como∫a

b

K ( s , t ) f (t), transforma una

función f (t) en una función de la variables. Nos interesan mucho las transformadas integrales de este último tipo, cuando el intervalo de integración es [ 0 ;∞¿ no acotado.

3.2. Orden exponencial

Se dice que f es de orden exponencial c, si existe constantes c, M > 0 y T > 0 tal que

|f (t)|≤M ect, para toda t > T.

Si f es una función creciente, entonces la condición |f (t)|≤M ect, t > T, simplemente

expresa que la grafica de f en el intervalo (T ,∞ ) no crece mas rápido que la grafica de la

función exponencial M ect , donde c es una constante positiva.

6

4. TRANSFORMADA INVERSA

Si F(s) representa la transformada de Laplace de una función f (t), es decir L {f ( t)}=F (s), se dice entonces que f (t) es la Transformada de Laplace inversa de

F(s) y se escribe f (t)=L−1 {F (s )}.

4.1. Transformadas inversas comunes

a) 1=L−1{1s }

c) eat=L−1{ 1

s−a }e) cos kt=L−1{ s

s2+k2 }g) cosh kt=L−1 { s

s2+k2 }

b) tn=L−1 { n !sn+1 }

d) senkt=L−1 { k

s2+k2 }f) senhkt=L−1 { k

s2+k2 }

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5. TABLAS DE LAPLACE

8

6. EJERCICIOS RESUELTOS

1) Evaluar L {e−3 t }

L {e−3 t }=∫0

∞

e−st e−3 tdt

¿∫0

∞

e−(s+3)t dt

¿1

s+3s>−3

2) Evaluar L {sen2 t }

L {sen2 t }=∫0

∞

e−st sen2t dt

¿∫0

∞

e−st sen2t dt=e−st (s∗sen2 t )−2 cos (2t)

s2+4 evaluado de 0 hasta ∞

¿2

s2+4s>0

3) Probar que L {cosat }= s

s2+a2 para s>0

4) Evaluar

9

10

5) Evaluar

6) Evaluar:

7) Resuelva utilizando Transformada de Laplace

Al transformar la función y sus derivadas primera y segunda, y al reemplazar los valores inicales tenemos.

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8) Resuelva Mediante Laplace

9) Resolver mediante Laplace

12

10) Resolver Mediante Laplace

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7. EJERCICIOS PROPUESTOS

*Hallar las transformadas de Laplace de las siguientes funciones:

1) f (T )=eaT

2) f (T )=sen2T+cos 2T

3) f (T )=T 2+6T−3

4) f (T )=(T+1)3

5) f (T )=(1+e2T )2

*Resolver las siguientes transformadas inversas

6) L−1 { 1

S3 }7) L

−1 { 1

S4 }8) L

−1 { 1

S2+ 48

S5 }9) L

−1 {( 2S− 1S3 )

2}10) L−1 {(S+1 )3

S4 }

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8. CONCLUSIONES

La integral impropia ∫0

∞

K ( s , t ) f (t )dt, se define como un límite:

∫0

∞

K ( s , t ) f (t )dt=limb→∞

∫0

b

K (s , t ) f ( t )dt .

La transformada de Laplace es de gran importancia como herramienta para solución de ecuaciones diferenciales

La transformada inversa es la resolución mediante procesos contrarios de una transformada de Laplace y su resultado es la función

9. RECOMENDACIONES

Repasar conceptos de variables impropias Conocer el origen de la tabla de Laplace y no solo aplicarla sin sentido Repasar definiciones de concurrencia

10. BIBLIOGRAFIA

SPIEGEL, MURRAY R. Ecuacionesdiferencialesaplicadas. Traducido por Henry Rivera García. 3ra edición. México: Prentice-Hall Hispanoamérica, S.A. 1983. ISBN 968-880-053-8.

SIMMONS, GEORGE F. Ecuaciones diferenciales. Con aplicaciones y notashistóricas. Traducido por Lorenzo Abellanas Rapun. 2da edición. España: McGraw-Hill Interamericana de España, S.A.U. 1998. ISBN 84-481-0045-X.

Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Zill, Dennis G. Thomson-2002.

Ecuaciones diferenciales. Edwards, C. Henry. Pearson-1991.

Ecuaciones diferenciales: un enfoque de modelado. Ledder, Glenn. McGraw-Hill-2006

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