Ejercicios Transformada de Laplace
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Transcript of Ejercicios Transformada de Laplace
EJERCICIO.
Un sistema esta modelado bajo la siguiente ecuación diferencial:
)(2)(6)()(
2
2
txtydt
tdy
dt
tyd
Hallar la función de transferencia H(s) cuando la entrada x(t) es un impulso unitario.
Solución
y’’-y’-6y = 2x, entonces aplicando Laplace )(2)(6)()(2 sXsYssYsYs
)(2]6)[( 2 sXsssY , y por lo tanto se tiene 6
2
)(
)()(
2
sssX
sYsH
)2)(3(
2
)(
)()(
sssX
sYsH ; Aplicando la transformada inversa de Laplace:
11
)2)(3(
2)(
sssH , y desarrollando por fracciones parciales:
32)2)(3(
2)( 11
s
k
s
k
sssH
22
21)3(
2
)3)(2(
2)2()()2(
ss
ssss
ssHsk
5
2
)32(
2
5
21 k
33
32)2(
2
)3)(2(
2)3()()3(
ss
ssss
ssHsk
5
2
)23(
2
5
22 k
3
1
5
2
2
1
5
2
)2)(3(
2)(
sssssH
111
3
1
5
2
2
1
5
2)(
sssH
tt eeth 32
5
2
5
2)(
EJERCICIO
El sistema eléctrico mostrado en la figura tiene como modelo matemático la siguiente ecuación
a) Hallar la función de transferencia del sistema (condiciones iniciales iguales a cero).
Solución: Condiciones iniciales q(0)=0, q’(0)=0, i(0)=0.
qC
RqLq1
''' L
qCL
qL
Rq
L
L
1'''
Lq
CLq
L
Rq
1'''
Aplicando la transformada de Laplace
LLq
CLq
L
RqL
11 1'''
)()(
)(1
)( tvdt
tdiLdtti
CtRi i
?)(
)()(
sV
sQsH
i
salidatq
entradatv
FC
HL
R
i
)(
)(
02.0
2
16
dt
tdqti
)()(
queolvidar No Nota.
L
sVsQ
LCqssQ
L
RqsqsQs
)()(
1)0()()0(')0()(2
L
sVsQ
LCssQ
L
RsQs
)()(
1)()(2
LCs
LRs
L
sV
sQ
1
1
)(
)(2
Reemplazando para L=2, R=16 y C=0.02, tenemos que:
258
21
)02.0(21
216
21
)(
)(22
sssssV
sQ
b) Encontrar la carga q(t) (la salida) en cualquier tiempo t>0 si la entrada es un paso (escalón) de 300 voltios. Solución
Ahora bien si la entrada es v=300(t) (señal escalón o paso de amplitud 300).
Y la s
LtL300
300)(300 11 )(300 tv , s
sVtvL300
)()(1
ssssV
sssQ
300
258
21
)(258
21
)(22
)258(
150)(
2
ssssQ
Para hallar la carga q(t) se aplica la transformada inversa de Laplace, ya que )()(1 tqsQL
se debe realizar el desarrollo en fracciones parciales. Para encontrar q(t) a partir de
)258(
150)(
2
ssssQ , se pueden utilizar Diferentes Métodos.
Se va explicar y aplicar cada método, paso por paso:
Método I; Fracciones parciales mediante ecuaciones algebraicas: cbxx
BAx
2
258)258(
1502
321
2
ss
ksk
s
k
sss se multiplican ambos miembros por el mínimo común denominador
s(s2+8s+25):
258
)258()()258(
)258(
)258(1502
2
32
2
1
2
2
ss
sssksk
s
sssk
sss
sss
skskssk )()258(150 32
2
1 ; se encuentra k1 sustituyendo s=0:
)0)()0(()25)0(80(150 32
2
1 kkk 61 k
Reemplazando k1=6 y desarrollando los factores, se obtiene:
)()258(6150 32
2 ksksss
skskss 3
2
2
2 150486150
150)48()6(150 3
2
2 sksk ; aquí se igualan los coeficientes de potencias iguales de s lo que
da:
062 k
0483 k
150150
Substituyendo los valores de k1, k2 y k3, en 258)258(
1502
321
2
ss
ksk
s
k
sss se obtiene:
22222222 3)4(
24
3)4(
)4(66
3)4(
24)4(66
258
4866
258
4866
ss
s
ss
s
sss
s
sss
s
s
2222 3)4(
38
3)4(
)4(6
6
ss
s
s
2222 3)4(
38
3)4(
)4(6
6)(
ss
s
ssQ
Se aplica transformada inversa: NOTA 1
significa INVERSA DE LAPLACE
1
22
1
22
11
3)4(
38
3)4(
)4(6
6)(
ss
s
ssQ
1
22
1
22
11
3)4(
38
3)4(
)4(6
16)(
ss
s
ssQ ; Para solucionar, ver la tabla de
transformadas de Laplace.
)3(8)3(6)1(6)()( 441
tSenetCosetqsQ tt
)3(8)3(66)( 44 tSenetCosetq tt
c) Calcular la corriente i(t) de acuerdo a los resultados obtenidos en el punto anterior. Solución
Ahora se debe hallar dt
tdqti
)()( :
)3(8)3(6)6()( 44 tSene
dt
dtCose
dt
d
dt
d
dt
tdq tt
tttt e
dt
dtSentSen
dt
dee
dt
dtCostCos
dt
de
dt
tdq 4444 )3()3(8)3()3(6)0()(
62 k
483 k
tttt etSentCoseetCostSenedt
tdq 4444 4)3()3(384)3()3(36)0()(
)3(4)3(38)3(4)3(36)( 4444 tSenetCosetCosetSene
dt
tdq tttt
)3(32)3(24)3(24)3(18)( 4444 tSenetCosetCosetSene
dt
tdq tttt
)3(32)3(18)( 44 tSenetSene
dt
tdq tt
)3(50)( 4 tSeneti t
Método II; Fracciones parciales usando la relación:
2222 )(
2
)(
)(2
s
y
s
sx
js
jyx
js
jyx
)258(
150)(
2
ssssQ , se hallan las raíces de la ecuación cuadrática s2+8s+25.
2
68
2
368
2
100648
)1(2
)25)(1(488
2
422 j
a
acbbs
342
6
2
8j
j
, de aquí que 342,1 js .
)34()34()258(
150)(
*
21
2 js
k
js
k
s
k
ssssQ
0
2
0
201)258(
150
)258(
150)(
ss
ssssss
sssQK
25
150
25)0(8)0(
1502
61 k , igual al k1 encontrado mediante el otro método.
34
34)34)(34(
150)34()()34(
js
jsjsjss
jssQjsk
1824
150
)6)(34(
150
)3434)(34(
150
)34(
1502
34jjjjjjjjss
js
2418
150
j , Racionalizando el denominador se tiene:
576324
36002700
576432432324
36002700
2418
2418
2418
1502
j
jjj
j
j
j
j
9
36
9
27
900
36002700j
j
43 jk y su conjugado será 43* jk
Reemplazando k1, k y k*, en la ecuación general, se obtiene:
)34(
43
)34(
436
)34()34()258(
150)(
*
21
2 js
j
js
j
sjs
k
js
k
s
k
ssssQ
haciendo uso de la relación, donde x=-3, y=-4, =4 y =3; se obtiene que:
2222 )(
2
)(
)(2
s
y
s
sx
js
jyx
js
jyx
22222222 3)4(
38
3)4(
)4(6
3)4(
)4)(3(2
3)4(
)4)(3(2
ss
s
ss
s
2222 3)4(
38
3)4(
)4(6
6)(
ss
s
ssQ , aplicando la transformada inversa para obtener q(t):
1
22
1
22
11
3)4(
38
3)4(
)4(6
6)(
ss
s
ssQ
1
22
1
22
11
3)4(
38
3)4(
)4(6
16)(
ss
s
ssQ ; Para solucionar, ver la tabla de
transformadas de Laplace.
)3(8)3(6)1(6)()( 441
tSenetCosetqsQ tt
)3(8)3(66)( 44 tSenetCosetq tt
La cual es idéntica a la obtenida por el método anterior.
)3(50)( 4 tSeneti t
d) Si vi(t)=100Sen(3t), hallar q(t) e i(t):
22 3
3100)()3(100)3(100)(
ssVtSentSentv
258
21
)(
)(2
sssV
sQ; Reemplazando V(s)
9
300
258
5.0)(
22
ssssQ
)9)(258(
150)(
22
ssssQ , utilizando cualquiera de los métodos expuestos anteriormente se
encuentra que:
2222222222 3)4(
4
52
75
3)4(
1
26
75
352
75
3
1
26
75
)9)(258(
150)(
s
s
ss
s
sssssQ
aplicando la transformada inversa, tenemos:
)3(52
75)3(
26
25)3(
52
75)3(
26
25)( 44 tCosetSenetSentSentq tt
)3(2)3(352
25)3(3)3(2
52
25)( 4 tSentCosetCostSentq t
)3(17)3(652
25)3(3)3(2
52
75)()( 4 tSentCosetSentCos
dt
tdqti t
e) Halle la respuesta impulso. Solución
Nota: Significa La TRANSFORMADA DE LAPLACE
1)()()()()( sVttvttv
258
21
)(
)(2
sssV
sQ; Reemplazando V(s) )1(
258
5.0)(
2
sssQ Esta es la respuesta impulso.
Método ; Fracciones Parciales :
)34()34(258
5.0)()(
*
1
2 js
k
js
k
sssHsQ
3434
1)34(
5.0
)34)(34(
21
)34(js
js
jsjsjsjsk
k1 jjjj 12
1
6
5.0
3434
5.0
, no olvidar que j
j
1
12
11 jk y
12
1* jk
)34(
121
)34(
121
)()(js
j
js
jsHsQ
, de aquí utilizando la relación, donde: x=0, y=1/12, =4, y
=3.
2222 )(
2
)(
)(2
s
y
s
sx
js
jyx
js
jyx
2222 3)4(
)3(12
12
3)4(
)4)(0(2
ss
s
22 3)4(
3
6
1)()(
ssHsQ , aplicando la transformada inversa, se obtiene:
)3(6
1)()( 4 tSenethtq t
Esta es la respuesta impulso.
EJERCICIO
Hallar la transformada de Laplace de la siguiente señal periodica función: G(t)=
SOLUCION La grafica de la función G(t), es :
Periodo T=2. Teorema visto en clase : Transformada de Laplace de una función periódica es :
TsT
sTdttGe
etG
0)(
1
1)( . En las tablas de transformada se encuentra esta relación.
2
02
2
02)0()(
1
1)(
1
1)( dtedttSene
edttSene
etG sTsT
s
sT
s
Sen(t), 0<t<
0, <t<2
02)(
1
1)( dttSene
etg sT
s, podemos resolver la integral
0)( dttSene sT de dos formas o
métodos, usando integración por partes o utilizando la formula que se vio en clase, la cual estaba escrita en el tablero el día del parcial:
)()()(2222
bxCoseba
bbxSene
ba
abxSene axaxax
, donde a=-s y b=1.
Se resolverá el problema utilizando la ecuación anterior, por ser el método más rápido:
0
2222)(
1)(
1)(
1)()(
tCoses
tSenes
stSene ststst
0
22)(
1
1)(
1
tCose
stSene
s
s stst
0
2)()(
1
tCostsSens
e st
)0()0(1
)()(1 2
0
2CossSen
s
eCossSen
s
e ss
1
1
1
1
11
1
1)1(
1 22222
s
e
ss
e
ss
e sss
)1(1
1
1
1
1
1)(
1
1)(
222202
se
e
s
e
edttSene
etg
s
ss
s
sT
s
)1(1
1)(
22
se
esG
s
s
También se puede solucionar integrando por partes pero la solución es más laborioso.
EJERCICIO Con condiciones iniciales iguales a cero, la respuesta (de un sistema lineal invariante en el tiempo) a una entrada x(t)=Sen(2t), para t>0, esta dada por y(t)=2e-2t+Sen(2t)-2Cos(2t), para t>0, encontrar la
función de transferencia. SOLUCION
NOTA: Este símbolo significa Transformada de Laplace, NO una integral
Nota:
4
2)2()()(
2 s
tSentxsX
)2(2)2(2)()( 2 tCostSenetysY t
)4)(2(
122
)4)(2(
)2(2)2(2)4(2
4
2
4
2
2
222
2
22
ss
s
ss
ssss
s
s
ss
)2(2
122
4
2
)4)(2(
122
)(
)()(
2
2
s
s
s
ss
s
sY
sXsH
2
6)(
s
ssH
