7-8-2015
Trabajo FinalEcuaciones Diferenciales
Universidad Latina de Costa Rica
Bachiller Ingeniería en Sistemas
Computacionales
Profesor: José Antonio Otárola
Estudiante:
Hersann Fonseca Quirós
Andrés Cartin Montero
Kenneth Chacón Villalobos
Jimmy González Núñez
Tabla de ContenidosPágina
Justificación 1
Marco Teórico 2
Transformada de la Place 2
Importancia y aplicación de la transformada de Laplace
en la ingeniería
4
Herramienta Utilizada para el desarrollo de La
Transformada de Laplace: Matlab
4
MATLAB 5
Comandos Utilizados para el desarrollo de la
Transformada de Laplace en Matlab
6
Desarrollo de Ejercicios 7
Ejemplo 1 7
Ejemplo2 8
Transformada de Laplace Inversa 8
Ejemplo 3 8
Ejercicios para resolver 9
Ejemplo 1 9
Ejemplo 2 9
Conclusiones 10
Bibliografía 11
1Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab
JustificaciónLas aplicaciones de la Transformada de Laplace, aparecen comúnmente en
tratados sobre solución de ecuaciones diferenciales. Un campo específico de
aplicación es el cálculo de valores tales como corrientes, voltajes y otros factores
en redes eléctricas, cuando estos varían en el tiempo.
Tales aplicaciones son brevemente presentadas en libros dedicados a los circuitos
eléctricos. La importancia de este proyecto radica en que en él se hallará de una
manera ilustrada con ejemplos, las aplicaciones del tema mostrando la
importancia de éstos tópicos en la formación del ingeniero y cómo los temas
tratados en el curso de Matemática IV tienen amplias aplicaciones.
Para lograr un fácil manejo de la resolución de cualquier transformada de Laplace,
en cualquier campo de la ingeniería, daremos a conocer una herramienta y su
funcionamiento para lograr tener un entendimiento de la misma de una manera
eficaz. Y además proporcionar a nuestros compañeros del curso una alternativa
de resolución a este tipo de problemas matemáticas, en cualquier campo que se
desarrolle y se tenga de por medio una Transformada de Laplace.
2Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab
Marco TeóricoLa investigación tiene como objetivo disminuir la complejidad de solución de
cualquier ejercicio que esté presente la Transformada de Laplace. Con ello vamos
a dar a conocer la herramienta informática llamada Matlab, la cual nos permite
desarrollar cualquier ejercicio involucrado con el tema central, ya sea en el campo
de la electrónica, en el manejo de control digital entre otras áreas de la ingeniería.
Se utilizara Matlab para desarrollar transformada de Laplace y su inversa,
ejecutando una serie de comandos para llegar a tener el resultado final, al igual
como si hubiéramos realizado con dicho desarrollo matemático visto en clases.
Primeramente vamos a dar a conocer aspectos teóricos, que debemos a dar
conocer, antes de entrar a desarrollar ejercicios en Matlab. Luego de tener esos
conocimientos, vamos a pasar a explicar de qué trata la herramienta Matlab, y por
ultimo vamos a desarrollar ejercicios matemáticos que nos piden que lo
solucionemos utilizando la trasformada de la place, utilizando la herramienta
Matlab.
Transformada de LaplaceAhora bien vamos a definir que es la transformada de Laplace, para adquirir su
concepto y aplicarlo en desarrollo de la investigación.
¿Qué es la Transformada de Laplace?
Es una técnica matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales,
como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la Transformada de
Mellin, entre otras.
Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian
una función en una variable de entrada en otra función en otra variable.
3Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab
Definición de la Transformada de Laplace
Principales Propiedades de la Transformada de Laplace
a) La transformada de la place es Lineal
b) La transformada de una derivada
c) Transformada de una integral
Es importante conocer o bien entender las propiedades de Laplace descritas
anteriormente, para posterior resolver ya sea por desarrollo matemático, o bien
tener una noción de ellas mismas para poder desarrollar ejercicios en Matlab. A
continuación vamos a dar a conocer para que se utiliza la Transformada de
Laplace en el desarrollo de la ingeniería, los cuales la mayoría de oportunidades
está presente.
4Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab
Importancia y aplicación de la transformada de Laplace en la
ingenieríaLa transformada de Laplace se en la ingeniería de diferentes formas entre las
cuales podemos mencionar varias de ellas tales como:
El control de procesos que lo podemos aplicar por ejemplo: El ámbito doméstico
(para controlar las temperaturas, humedad, en edificios), en la transportación (para
controlar que los autos o aviones se muevan de un lugar a otro de forma segura y
exacta), en la industria (para controlar un sin número de variables en los
procesos).
También en la ingeniería química tienen una gran importancia en control de
procesos y en el estudio de la cinética de reacciones complejas, donde pueden
existir sistemas de ecuaciones diferenciales fácilmente resolubles por Laplace.
Y por último en otra área de la ingeniería donde la transformada de Laplace
cumple un papel importante es en la ingeniería electrónica, donde se utiliza para el
estudio de transistores para averiguar cuál es el escalón de tensión de un circuito
dado, entre otros usos que se le da a este método matemático.
Herramienta Utilizada para el desarrollo de La Transformada de
Laplace: MatlabYa tenemos los conocimientos básicos acerca de la transformada de Laplace, ya
conocemos el concepto, su fórmula general, sus propiedades, y además
conocemos las aplicaciones de la misma en la ingeniería. Por lo que vamos a
proceder a utilizar la herramienta Matlab para la solución de ejercicios que esté
presente Laplace, esto con el objetivo de proporcionar a los ingenieros de
5Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab
cualquier área, el conocimiento acerca del uso de la herramienta y así contar con
una alternativa más de solución o de obtener conclusiones
MATLAB (abreviatura de MATrix LABoratory, "laboratorio de matrices")
Es una herramienta de software matemático que ofrece un entorno de cálculo
técnico de altas prestaciones para cálculo numérico y visualización, el cual su
desarrollo está integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio (lenguaje
M). Está disponible para las plataformas Unix, Windows, Mac OS X y GNU/Linux.
Análisis numérico
Cálculo matricial
Procesamiento de señales
Gráficos
Utiliza un entorno fácil de usar, donde los problemas y las soluciones son
expresados como se escriben matemáticamente, sin la programación tradicional.
El nombre MATLAB proviene de ``MATrix LABoratory'' (Laboratorio de Matrices).
MATLAB fue escrito originalmente para proporcionar un acceso sencillo al
software matricial desarrollado por los proyectos LINPACK y EISPACK, que juntos
representan lo más avanzado en programas de cálculo matricial. MATLAB es un
sistema interactivo cuyo elemento básico de datos es una matriz que no requiere
dimensionamiento. Esto permite resolver muchos problemas numéricos en una
fracción del tiempo que llevaría hacerlo en lenguajes como C, BASIC o
FORTRAN. MATLAB ha evolucionado en los últimos años a partir de la
colaboración de muchos usuarios. En entornos universitarios se ha convertido en
la herramienta de enseñanza estándar para cursos de introducción en álgebra
lineal aplicada, así como cursos avanzados en otras áreas. En la industria,
MATLAB se utiliza para investigación y para resolver problemas prácticos de
ingeniería y matemáticas, con un gran énfasis en aplicaciones de control y
procesamiento de señales. MATLAB también proporciona una serie de soluciones
específicas denominadas TOOLBOXES. Estas son muy importantes para la
6Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab
mayoría de los usuarios de MATLAB y son conjuntos de funciones MATLAB que
extienden el entorno MATLAB para resolver clases particulares de problemas
como:
Procesamiento de señales
Diseño de sistemas de control
Simulación de sistemas dinámicos
Identificación de sistemas
Redes neuronales y otros.
Probablemente la característica más importante de MATLAB es su capacidad de
crecimiento. Esto permite convertir al usuario en un autor contribuyente, creando
sus propias aplicaciones. En resumen, las prestaciones más importantes de
MATLAB son:
Escritura del programa en lenguaje matemático.
Implementación de las matrices como elemento básico del lenguaje, lo que
permite una gran reducción del código, al no necesitar implementar el
cálculo matricial.
Implementación de aritmética compleja.
Un gran contenido de órdenes específicas, agrupadas en TOOLBOXES.
Posibilidad de ampliar y adaptar el lenguaje, mediantes ficheros de script y
funciones .m.
Comandos Utilizados para el desarrollo de la Transformada de
Laplace en Matlab Definición de la Transformada de Laplace
7Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab
MATLAB, resuelve la transformada de Laplace, mediante el comando: Laplace
Sintaxis:
laplace(F)
laplace(F,t)
Nota:
Donde t es el símbolo de la variable en f que viene determinada por el comando syms
A continuación vamos a desarrollar dos ejemplos utilizando los comandos
descritos anteriormente, y conforme avancemos en el desarrollo de los ejercicios,
vamos a dar a conocer otros comandos y su rol que desempeña en la ejecución
del ejercicio
Desarrollo de Ejercicios1. Ejemplo: Calcular la transformada de la función, mediante MATLAB.
a) Procedimiento: Introduzca los siguientes comandos:
Nos devuelve:
8Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab
b)
Escribiendo la el comando:
Nos devuelve el resultado en formato matemático normal:
2. Ejemplo: Calcular la transformada de la función , mediante MATLAB.
1. Procedimiento: Introduzca los siguientes comandos:
Nos devuelve:
2. Escribiendo la el comando:
Nos devuelve el resultado en formato matemático normal:
Transformada de Laplace InversaEl comando ilaplace, calcula la transformada inversa de Laplace.
3. Ejemplo.- Calcular la transformada inversa de
a) Procedimiento.- Introduzca los siguientes comandos:
9Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab
Nos devuelve:
Ejercicios para resolverYa conocidos los conceptos de la transformada de Laplace y sus características y
además de eso tener el conocimiento de la herramienta Matlab, y ejecutando los
comandos requeridos para resolver Laplace, resuelva los siguientes ejercicios.
1. Ejercicio: Calcular la transformada de la función , mediante MATLAB.
2. Calcular la transformada de la función , mediante MATLAB.
10Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab
Conclusiones Como grupo de trabajo podemos tener la satisfacción de haber cumplido con el
objetivo y solucionar el problema que se tenía con el planeamiento de la
investigación desde un inicio, el cual era proporcionar una alternativa a los
estudiantes de ingeniera, para resolver la transformada de Laplace de una manera
más rápida y eficaz.
Y además se tuvo como objetivo enseñar a los compañeros del curso, aspectos
básicos de uso de la herramienta utilizada en la investigación, en este caso
Matlab. Lo cual es una herramienta fácil de utilizar, y además de eso nos
proporciona una infinidad de utilidades.
Y finalmente logramos que el estudiante tuviese un mejor entendimiento de la
aplicación matemática de la Transformada de Laplace, y además de eso dejamos
claro las diferentes aplicaciones de la ingeniería donde está presente Laplace, de
ahí la importante de tener conocimiento de la Herramienta Matlab.
11Trabajo de Investigación: Transformada de Laplace utilizando Matlab
BibliografíaAguilar, G. (2011). Transformada de Laplace. Consulta realizada el 04 de agosto
2015, en: http://www.unizar.es/pde/fjgaspar/TransLaplace.pdf
Barreto, J. (2013). Aplicación de la Transformada de Laplace y las ecuaciones
diferenciales en el dominio del tiempo en cálculo de circuitos eléctricos. Consulta
realizada el 07 de agosto 2015, en:
http://www.abaco.com.ve/Calculo/ProyectoLaplaceb.pdf
Guía para el uso de Matlab Symbolic Math Toolbox. (s.f). Consulta realizada el 05
de agosto 2015, en:
http://www.bioingenieria.edu.ar/academica/catedras/control/archivos/material/
Anexos/apunte%20matlab%20parte3
Miranda, A. (2013). Transformada de Laplace. Consulta realizada el 04 de agosto
2015, en: http://es.slideshare.net/AlexisMiranda1/transformada-de-laplace-
22131966
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