P. geométrica

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 9: Proporcionalidad geométrica

ANTERIOR SALIR

9Proporcionalidad geométrica

INTERNET

LECTURA INICIAL

ESQUEMA

ACTIVIDAD

Una de las aplicaciones más frecuentes de la semejanza es la elaboración de planos, mapas, maquetas…


ANTERIOR SALIR

Tales de Mileto

Busca en la web

Enlace al teorema de Tales

Enlace a la historia de Tales de Mileto


ANTERIOR SALIR

Esquema de contenidos

Proporcionalidad geométrica

Segmentos en el plano

Recta, semirrecta y segmento

Segmentos proporcionales

Criterios de semejanza

Teorema de Tales

Definición

Aplicaciones

Polígonos semejantes

Escalas

Semejanza de triángulos

Triángulos semejantes

Triángulos en posición de Tales


ANTERIOR SALIR

Recta, semirrecta y segmento

Una recta es una línea continua formada por infinitos puntos que no tiene principio ni final.

Una semirrecta es una recta que tiene principio pero no tiene final.

Un segmento es la porción o parte de una recta delimitada por dos puntos (extremos).


ANTERIOR SALIR

Los segmentos AB y CD son proporcionales a EF y GH, si la razón de AB y CD es igual a la razón de EF y GH.

Segmentos proporcionales

Razón de 2 segmentos:

razónrCD

AB

rGH

EF

CD

AB


ANTERIOR SALIR

Teorema de Tales

Comparando la sombra de un bastón y la sombra de las pirámides, Tales midió, por semejanza, sus alturas respectivas. La proporcionalidad entre los segmentos que las rectas paralelas determinan en otras rectas dio lugar a lo que hoy se conoce como teorema de Tales.

Teorema de Tales

Si tres o más rectas paralelas a, b y c son intersecadas por dos transversales r y s, los segmentos de las transversales, determinados por las paralelas, son proporcionales.

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR

Pirámide

Los rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra. Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el triángulo determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes.

Teorema de TalesTeorema de Tales

Bastón

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR

Rayos del sol

Pirámide


SIGUIENTELos rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra. Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el triángulo determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes.


ANTERIOR SALIR

Rayos del sol

Pirámide


S (sombra pirámide)s (sombra bastón)



ANTERIOR SALIR

Rayos del sol

Pirámide


H


h



ANTERIOR SALIR

Rayos del sol

Pirámide

Podemos establecer la proporción


s

ShH

s

h

S

H

H


h



ANTERIOR SALIR

Ejemplo:

Calcular la medida del segmento x

Teorema de Tales

Ordenamos los datos en la proporción, de acuerdo al teorema de Tales

Es decir:

1524

8 x

524

12024x x120 24158 x

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR

Dividiendo un segmento AB en tres partes iguales

Aplicaciones del teorema de Tales

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR


1. Trazamos una semirrecta r con origen en A y cualquier inclinación.

SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR


2. Dibujamos sobre ella, a partir de A, 3 segmentos iguales.

SIGUIENTE




ANTERIOR SALIR


3. Unimos el extremo del último segmento con el punto B, y trazamos paralelas a esa recta desde las demás divisiones.

SIGUIENTE





ANTERIOR SALIR


3. Unimos el extremo del último segmento con el punto B, y trazamos paralelas a esa recta desde las demás divisiones.

Por el teorema de Tales, los segmentos en los que queda dividido el segmento AB son proporcionales a los dibujados sobre la recta, y por lo tanto, son iguales entre sí.





ANTERIOR SALIR

Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si:

-Tienen sus ángulos iguales:

-Tienen sus lados proporcionales:

Semejanza de triángulos

'CC 'BB 'ˆˆ AA

'''''' CA

AC

CB

BC

BA

AB

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR

Decimos que dos triángulos ABC y A’B’C’ están en posición de Tales cuando:

- Tienen un ángulo en común,

- Los lados opuestos a este ángulo, FD y BC, son paralelos.

Semejanza de triángulos. Triángulos en posición de Tales

A

Dos triángulos en posición de Tales son siempre semejantes.


ANTERIOR SALIR

Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes.

Criterios de semejanza de triángulos

PRIMER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales.

SEGUNDO CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales.

TERCER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.

'''''' CA

AC

CB

BC

BA

AB

'ˆˆ

'ˆˆ

BB

AA

''''

'ˆˆ

BA

AB

CA

AC

AA

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR

¿Cuál es la altura de la torre?

Aplicaciones de la semejanza de triángulos

Los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes por ser triángulos rectángulos y tener un ángulo agudo en común.

Así, aplicando la proporcionalidad entre sus ángulos:

La altura de la torre es 25 m.

mAC

BA

AB

CA

AC 25

12

1003AC

12

100

3

''''


ANTERIOR SALIR

Dos polígonos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

Se llama razón de semejanza al cociente de la longitud de un lado de un polígono entre la longitud correspondiente del otro polígono.

Polígonos semejantes

5,03

5,1

7

3,5

3

5,1

7

3,5

''''''''

AD

DA

DC

CD

CB

BC

BA

AB

Los dos rectángulos son semejantes, con razón de semejanza 0,5.


ANTERIOR SALIR

Se llama escala a la razón de semejanza entre la figura representada y la figura original.

Escalas

realidad laen distancia

ciónrepresenta laen distanciaescala


ANTERIOR SALIR

Enlaces de interés

El pantógrafo

IR A ESTA WEB

Curso de geometría

IR A ESTA WEB


ANTERIOR SALIR

Actividad: Proporcionalidad geométrica

Dirección: http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad4b.htm

En la sección chilena de la Editorial Santillana, en esta actividad aplicamos una propiedad interesante para cualquier triángulo rectángulo que Euclides descubrió hace muchos siglos.

Para desarrollarla, sigue este enlace.

P. geométrica

Education

Transcript of P. geométrica