Dimensión de una matriz Operaciones con matrices Propiedades de la suma Propiedades del producto Ejemplos

Álgebra matricial

Autor: Gonzalo Ma Rueda Colinas

Dimensión de una matriz Operaciones con matrices Propiedades de la suma Propiedades del producto Ejemplos

Esquema

1 Dimensión de una matrizDisposición de filas y columnasDimensión

2 Operaciones con matricesProducto por escalarSumaProducto

3 Propiedades de la suma

4 Propiedades del producto

5 EjemplosDespejar por la izquierda de XDespejar por la derecha de X

Dimensión de una matriz Operaciones con matrices Propiedades de la suma Propiedades del producto Ejemplos

Disposición de filas y columnas

Filas y columnas

FilasLas filas en una matriz son horizontales.Se empiezan a numerar por arriba.

ColumnasLas columnas en una matriz son verticales ( como en unedificio )Se empiezan a numerar por la izquierda.

A =

(4 3 10−5 7 −1

)

Dimensión de una matriz Operaciones con matrices Propiedades de la suma Propiedades del producto Ejemplos

Disposición de filas y columnas

Filas y columnas

FilasLas filas en una matriz son horizontales.Se empiezan a numerar por arriba.

ColumnasLas columnas en una matriz son verticales ( como en unedificio )Se empiezan a numerar por la izquierda.

A =

(4 3 10−5 7 −1

)segunda fila

Dimensión de una matriz Operaciones con matrices Propiedades de la suma Propiedades del producto Ejemplos

Disposición de filas y columnas

Filas y columnas

FilasLas filas en una matriz son horizontales.Se empiezan a numerar por arriba.

ColumnasLas columnas en una matriz son verticales ( como en unedificio )Se empiezan a numerar por la izquierda.

A =

(4 3 10−5 7 −1

)segunda fila

tercera columna

Dimensión de una matriz Operaciones con matrices Propiedades de la suma Propiedades del producto Ejemplos

Dimensión

Contar filas y columnas

DimensiónPara saber la dimensión de una matriz se cuenta elnúmero total de filas y el de columnas, en ese orden.Se especifica mediante el producto de filas × columnas.El producto no se efectúa.Se escribe como subíndice fuera de la matriz.

A =

(4 3 10−5 7 −1

)2×3

Posición de un elementoLa posición de un elemento de la matriz, se especificanombrando primero la fila y segundo la columna en la que está.

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Dimensión

Contar filas y columnas

DimensiónPara saber la dimensión de una matriz se cuenta elnúmero total de filas y el de columnas, en ese orden.Se especifica mediante el producto de filas × columnas.El producto no se efectúa.Se escribe como subíndice fuera de la matriz.

A =

(4 3 10−5 7 −1

)2×3

Posición de un elementoLa posición de un elemento de la matriz, se especificanombrando primero la fila y segundo la columna en la que está.

Dimensión de una matriz Operaciones con matrices Propiedades de la suma Propiedades del producto Ejemplos

Dimensión

Contar filas y columnas

DimensiónPara saber la dimensión de una matriz se cuenta elnúmero total de filas y el de columnas, en ese orden.Se especifica mediante el producto de filas × columnas.El producto no se efectúa.Se escribe como subíndice fuera de la matriz.

A =

(4 3 10−5 7 −1

)2×3

Posición de un elementoLa posición de un elemento de la matriz, se especificanombrando primero la fila y segundo la columna en la que está.

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Dimensión

A veces se escribe la matriz con elementos genéricos, sinsaber exactamente lo que valen los mismos.

A =

a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44

4×4

El primer subíndice hace referencia a la fila.El segundo subíndice hace referencia a la columna.Los elementos se escriben en minúscula con la mismaletra que el nombre de la matriz.En notación matemática una matriz de m filas y ncolumnas de números reales, se puede escribir así:

A = (aij) , 1 6 i 6 m; 1 6 j 6 n

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Producto por escalar

Producto de un escalar por una matriz

Sean k un número real y A ∈ Mm×n.k(aij) = (kaij)

DefiniciónEl resultado es una matriz de la misma dimensión m × n.Cada elemento de la matriz, es el resultado de multiplicarel número por cada elemento de la matriz.

2

1 41 34 0

=

2 82 68 0

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Suma

Suma de matrices de la misma dimensión

Sean dos matrices A y B ∈ Mm×n.

DefiniciónLa suma es una matriz de la misma dimensión m × n.Cada elemento de la matriz suma, es la suma de loscorrespondientes elementos en las otras dos matrices.

5 −3 73 9 34 0 −1

+

1 6 −4−3 2 19 −5 0

=

3 30 11 413 −5 −1

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Suma

Suma de matrices de la misma dimensión

Sean dos matrices A y B ∈ Mm×n.

DefiniciónLa suma es una matriz de la misma dimensión m × n.Cada elemento de la matriz suma, es la suma de loscorrespondientes elementos en las otras dos matrices.

5 −3 73 9 34 0 −1

+

1 6 −4−3 2 19 −5 0

=

3 30 11 413 −5 −1

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Suma

Suma de matrices de la misma dimensión

Sean dos matrices A y B ∈ Mm×n.

DefiniciónLa suma es una matriz de la misma dimensión m × n.Cada elemento de la matriz suma, es la suma de loscorrespondientes elementos en las otras dos matrices.

5 −3 73 9 34 0 −1

+

1 6 −4−3 2 19 −5 0

=

3 30 11 413 −5 −1

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Suma

Suma de matrices de la misma dimensión

Sean dos matrices A y B ∈ Mm×n.

DefiniciónLa suma es una matriz de la misma dimensión m × n.Cada elemento de la matriz suma, es la suma de loscorrespondientes elementos en las otras dos matrices.

5 −3 73 9 34 0 −1

+

1 6 −4−3 2 19 −5 0

=

3 30 11 413 −5 −1

6

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Suma

Suma de matrices de la misma dimensión

Sean dos matrices A y B ∈ Mm×n.

DefiniciónLa suma es una matriz de la misma dimensión m × n.Cada elemento de la matriz suma, es la suma de loscorrespondientes elementos en las otras dos matrices.

5 −3 73 9 34 0 −1

+

1 6 −4−3 2 19 −5 0

=

3 30 11 413 −5 −1

6

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Producto

Producto de matrices

Sean dos matrices A ∈ Mm×n, B ∈ Mn×p .Para multiplicar dos matrices es necesario que el númerode columnas de la primera matriz coincida con el númerode filas de la segunda.El resultado es una matriz que tiene dimensión m × p.El elemento ij de la matriz resultante, se calculaempleando la fila i de la primera matriz y la columna j de lasegunda.Se hace el producto escalar de las dos tiras de números.

(5 3 73 9 3

)2×3·

1 6 4 33 2 1 31 5 0 2

3×4

=

(21 71 23 3833 51 21 42

)2×4

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Producto

Producto de matrices

Sean dos matrices A ∈ Mm×n, B ∈ Mn×p .Para multiplicar dos matrices es necesario que el númerode columnas de la primera matriz coincida con el númerode filas de la segunda.El resultado es una matriz que tiene dimensión m × p.El elemento ij de la matriz resultante, se calculaempleando la fila i de la primera matriz y la columna j de lasegunda.Se hace el producto escalar de las dos tiras de números.

(5 3 73 9 3

)2×3·

1 6 4 33 2 1 31 5 0 2

3×4

=

(21 71 23 3833 51 21 42

)2×4

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Producto

Producto de matrices

Sean dos matrices A ∈ Mm×n, B ∈ Mn×p .Para multiplicar dos matrices es necesario que el númerode columnas de la primera matriz coincida con el númerode filas de la segunda.El resultado es una matriz que tiene dimensión m × p.El elemento ij de la matriz resultante, se calculaempleando la fila i de la primera matriz y la columna j de lasegunda.Se hace el producto escalar de las dos tiras de números.

(5 3 73 9 3

)2×3·

1 6 4 33 2 1 31 5 0 2

3×4

=

(21 71 23 3833 51 21 42

)2×4

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Producto

Producto de matrices

Sean dos matrices A ∈ Mm×n, B ∈ Mn×p .Para multiplicar dos matrices es necesario que el númerode columnas de la primera matriz coincida con el númerode filas de la segunda.El resultado es una matriz que tiene dimensión m × p.El elemento ij de la matriz resultante, se calculaempleando la fila i de la primera matriz y la columna j de lasegunda.Se hace el producto escalar de las dos tiras de números.

(5 3 73 9 3

)2×3·

1 6 4 33 2 1 31 5 0 2

3×4

=

(21 71 23 3833 51 21 42

)2×4

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Producto

Producto de matrices

Sean dos matrices A ∈ Mm×n, B ∈ Mn×p .Para multiplicar dos matrices es necesario que el númerode columnas de la primera matriz coincida con el númerode filas de la segunda.El resultado es una matriz que tiene dimensión m × p.El elemento ij de la matriz resultante, se calculaempleando la fila i de la primera matriz y la columna j de lasegunda.Se hace el producto escalar de las dos tiras de números.

(5 3 73 9 3

)2×3·

1 6 4 33 2 1 31 5 0 2

3×4

=

(21 71 23 3833 51 21 42

)2×4

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Producto

Producto de matrices

Sean dos matrices A ∈ Mm×n, B ∈ Mn×p .Para multiplicar dos matrices es necesario que el númerode columnas de la primera matriz coincida con el númerode filas de la segunda.El resultado es una matriz que tiene dimensión m × p.El elemento ij de la matriz resultante, se calculaempleando la fila i de la primera matriz y la columna j de lasegunda.Se hace el producto escalar de las dos tiras de números.

(5 3 73 9 3

)2×3·

1 6 4 33 2 1 31 5 0 2

3×4

=

(21 71 23 3833 51 21 42

)2×4

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Producto

Producto de matrices

Sean dos matrices A ∈ Mm×n, B ∈ Mn×p .Para multiplicar dos matrices es necesario que el númerode columnas de la primera matriz coincida con el númerode filas de la segunda.El resultado es una matriz que tiene dimensión m × p.El elemento ij de la matriz resultante, se calculaempleando la fila i de la primera matriz y la columna j de lasegunda.Se hace el producto escalar de las dos tiras de números.

(5 3 73 9 3

)2×3·

1 6 4 33 2 1 31 5 0 2

3×4

=

(21 71 23 3833 51 21 42

)2×4

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Producto

Producto de matrices

Sean dos matrices A ∈ Mm×n, B ∈ Mn×p .Para multiplicar dos matrices es necesario que el númerode columnas de la primera matriz coincida con el númerode filas de la segunda.El resultado es una matriz que tiene dimensión m × p.El elemento ij de la matriz resultante, se calculaempleando la fila i de la primera matriz y la columna j de lasegunda.Se hace el producto escalar de las dos tiras de números.

(5 3 73 9 3

)2×3·

1 6 4 33 2 1 31 5 0 2

3×4

=

(21 71 23 3833 51 21 42

)2×4

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Producto

Producto de matrices

Sean dos matrices A ∈ Mm×n, B ∈ Mn×p .Para multiplicar dos matrices es necesario que el númerode columnas de la primera matriz coincida con el númerode filas de la segunda.El resultado es una matriz que tiene dimensión m × p.El elemento ij de la matriz resultante, se calculaempleando la fila i de la primera matriz y la columna j de lasegunda.Se hace el producto escalar de las dos tiras de números.

(5 3 73 9 3

)2×3·

1 6 4 33 2 1 31 5 0 2

3×4

=

(21 71 23 3833 51 21 42

)2×4

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Propiedades de la suma

1 ConmutativaA + B = B + A

2 AsociativaA + (B + C) = (A + B) + C

3 Elemento neutroExiste una matriz 0, para la que siendo A cualquier matriz,se cumple

A + 0 = A

La matriz 0 es aquella en la que todos los elementos de lamatriz son cero

4 Elemento opuestoToda matriz A tiene una opuesta, −A, para la que secumple que

A + (−A) = 0

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Propiedades del producto

1 No ConmutativaAB 6= BA

En general no se cumple la igualdad, aunque puede habermatrices para las que sí se verifica.

2 AsociativaA(BC) = (AB)C

3 Elemento neutro Existe una matriz denominada tambiénmatriz unidad o identidad I para la que:

AI = IA = A

4 Elemento inverso Cuando existe la matriz inversa A−1,( yaveremos cuándo ) se verifica

AA−1 = A−1A = I

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Propiedades del producto y de la suma

5 Distributivas

A(B + C) = AB + AC(B + C)A = BA + CA

La matriz identidad, es una matriz cuadrada que tiene unos enla diagonal principal y ceros en el resto, por ejemplo:

I3 =

1 0 00 1 00 0 1

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Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B

sumamos el opuesto de Cen los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) propiedad del opuesto.AX + 0 = B − C propiedad del elemento neutro.

AX = B − C multiplicamos en la izquierda de Apor A−1 ( sólo si existe inversa de A )

A−1(AX ) = A−1(B − C) asociativa del producto.(A−1A)X = A−1(B − C) propiedad matriz inversa.

IX = A−1(B − C) matriz identidad.X = A−1(B − C)

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Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B sumamos el opuesto de Cen los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) propiedad del opuesto.AX + 0 = B − C propiedad del elemento neutro.

AX = B − C multiplicamos en la izquierda de Apor A−1 ( sólo si existe inversa de A )

A−1(AX ) = A−1(B − C) asociativa del producto.(A−1A)X = A−1(B − C) propiedad matriz inversa.

IX = A−1(B − C) matriz identidad.X = A−1(B − C)

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Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B sumamos el opuesto de Cen los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C)

propiedad del opuesto.AX + 0 = B − C propiedad del elemento neutro.

AX = B − C multiplicamos en la izquierda de Apor A−1 ( sólo si existe inversa de A )

A−1(AX ) = A−1(B − C) asociativa del producto.(A−1A)X = A−1(B − C) propiedad matriz inversa.

IX = A−1(B − C) matriz identidad.X = A−1(B − C)

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Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B sumamos el opuesto de Cen los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) propiedad del opuesto.

AX + 0 = B − C propiedad del elemento neutro.AX = B − C multiplicamos en la izquierda de A

por A−1 ( sólo si existe inversa de A )A−1(AX ) = A−1(B − C) asociativa del producto.(A−1A)X = A−1(B − C) propiedad matriz inversa.

IX = A−1(B − C) matriz identidad.X = A−1(B − C)

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Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B sumamos el opuesto de Cen los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) propiedad del opuesto.AX + 0 = B − C

propiedad del elemento neutro.AX = B − C multiplicamos en la izquierda de A

por A−1 ( sólo si existe inversa de A )A−1(AX ) = A−1(B − C) asociativa del producto.(A−1A)X = A−1(B − C) propiedad matriz inversa.

IX = A−1(B − C) matriz identidad.X = A−1(B − C)

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Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B sumamos el opuesto de Cen los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) propiedad del opuesto.AX + 0 = B − C propiedad del elemento neutro.

AX = B − C multiplicamos en la izquierda de Apor A−1 ( sólo si existe inversa de A )

A−1(AX ) = A−1(B − C) asociativa del producto.(A−1A)X = A−1(B − C) propiedad matriz inversa.

IX = A−1(B − C) matriz identidad.X = A−1(B − C)

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Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B sumamos el opuesto de Cen los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) propiedad del opuesto.AX + 0 = B − C propiedad del elemento neutro.

AX = B − C

multiplicamos en la izquierda de Apor A−1 ( sólo si existe inversa de A )

A−1(AX ) = A−1(B − C) asociativa del producto.(A−1A)X = A−1(B − C) propiedad matriz inversa.

IX = A−1(B − C) matriz identidad.X = A−1(B − C)

Dimensión de una matriz Operaciones con matrices Propiedades de la suma Propiedades del producto Ejemplos

Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B sumamos el opuesto de Cen los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) propiedad del opuesto.AX + 0 = B − C propiedad del elemento neutro.

AX = B − C multiplicamos en la izquierda de Apor A−1 ( sólo si existe inversa de A )

A−1(AX ) = A−1(B − C) asociativa del producto.(A−1A)X = A−1(B − C) propiedad matriz inversa.

IX = A−1(B − C) matriz identidad.X = A−1(B − C)

Dimensión de una matriz Operaciones con matrices Propiedades de la suma Propiedades del producto Ejemplos

Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B sumamos el opuesto de Cen los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) propiedad del opuesto.AX + 0 = B − C propiedad del elemento neutro.

AX = B − C multiplicamos en la izquierda de Apor A−1 ( sólo si existe inversa de A )

A−1(AX ) = A−1(B − C)

asociativa del producto.(A−1A)X = A−1(B − C) propiedad matriz inversa.

IX = A−1(B − C) matriz identidad.X = A−1(B − C)

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Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B sumamos el opuesto de Cen los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) propiedad del opuesto.AX + 0 = B − C propiedad del elemento neutro.

AX = B − C multiplicamos en la izquierda de Apor A−1 ( sólo si existe inversa de A )

A−1(AX ) = A−1(B − C) asociativa del producto.

(A−1A)X = A−1(B − C) propiedad matriz inversa.IX = A−1(B − C) matriz identidad.X = A−1(B − C)

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Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B sumamos el opuesto de Cen los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) propiedad del opuesto.AX + 0 = B − C propiedad del elemento neutro.

AX = B − C multiplicamos en la izquierda de Apor A−1 ( sólo si existe inversa de A )

A−1(AX ) = A−1(B − C) asociativa del producto.(A−1A)X = A−1(B − C)

propiedad matriz inversa.IX = A−1(B − C) matriz identidad.X = A−1(B − C)

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Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B sumamos el opuesto de Cen los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) propiedad del opuesto.AX + 0 = B − C propiedad del elemento neutro.

AX = B − C multiplicamos en la izquierda de Apor A−1 ( sólo si existe inversa de A )

A−1(AX ) = A−1(B − C) asociativa del producto.(A−1A)X = A−1(B − C) propiedad matriz inversa.

IX = A−1(B − C) matriz identidad.X = A−1(B − C)

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Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B sumamos el opuesto de Cen los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) propiedad del opuesto.AX + 0 = B − C propiedad del elemento neutro.

AX = B − C multiplicamos en la izquierda de Apor A−1 ( sólo si existe inversa de A )

A−1(AX ) = A−1(B − C) asociativa del producto.(A−1A)X = A−1(B − C) propiedad matriz inversa.

IX = A−1(B − C)

matriz identidad.X = A−1(B − C)

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Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B sumamos el opuesto de Cen los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) propiedad del opuesto.AX + 0 = B − C propiedad del elemento neutro.

AX = B − C multiplicamos en la izquierda de Apor A−1 ( sólo si existe inversa de A )

A−1(AX ) = A−1(B − C) asociativa del producto.(A−1A)X = A−1(B − C) propiedad matriz inversa.

IX = A−1(B − C) matriz identidad.

X = A−1(B − C)

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Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B sumamos el opuesto de Cen los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) propiedad del opuesto.AX + 0 = B − C propiedad del elemento neutro.

AX = B − C multiplicamos en la izquierda de Apor A−1 ( sólo si existe inversa de A )

A−1(AX ) = A−1(B − C) asociativa del producto.(A−1A)X = A−1(B − C) propiedad matriz inversa.

IX = A−1(B − C) matriz identidad.X = A−1(B − C)

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Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B sumamos el opuesto de Cen los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) propiedad del opuesto.AX + 0 = B − C propiedad del elemento neutro.

AX = B − C multiplicamos en la izquierda de Apor A−1 ( sólo si existe inversa de A )

A−1(AX ) = A−1(B − C) asociativa del producto.(A−1A)X = A−1(B − C) propiedad matriz inversa.

IX = A−1(B − C) matriz identidad.X = A−1(B − C)

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Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B sumamos el opuesto de Cen los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) propiedad del opuesto.AX + 0 = B − C propiedad del elemento neutro.

AX = B − C multiplicamos en la izquierda de Apor A−1 ( sólo si existe inversa de A )

A−1(AX ) = A−1(B − C) asociativa del producto.(A−1A)X = A−1(B − C) propiedad matriz inversa.

IX = A−1(B − C) matriz identidad.X = A−1(B − C)

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Despejar por la izquierda de X

Despejar una matriz en una ecuación

AX + C = B sumamos el opuesto de Cen los dos lados.

AX + C + (−C) = B + (−C) propiedad del opuesto.AX + 0 = B − C propiedad del elemento neutro.

AX = B − C multiplicamos en la izquierda de Apor A−1 ( sólo si existe inversa de A )

A−1(AX ) = A−1(B − C) asociativa del producto.(A−1A)X = A−1(B − C) propiedad matriz inversa.

IX = A−1(B − C) matriz identidad.X = A−1(B − C)

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Despejar por la derecha de X

Despejar una matriz en una ecuación

XA + C = B

sumamos el opuesto de Cen los dos lados.

XA + C + (−C) = B + (−C) propiedad del opuesto.XA + 0 = B − C propiedad del elemento neutro.

XA = B − C multiplicamos en la derecha de Apor A−1 ( sólo si existe inversa de A )

(XA)A−1 = (B − C)A−1 asociativa del producto.X (AA−1) = (B − C)A−1 propiedad matriz inversa.

XI = (B − C)A−1 matriz identidad.X = (B − C)A−1

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Despejar por la derecha de X

Despejar una matriz en una ecuación

XA + C = B sumamos el opuesto de Cen los dos lados.

XA + C + (−C) = B + (−C) propiedad del opuesto.XA + 0 = B − C propiedad del elemento neutro.

XA = B − C multiplicamos en la derecha de Apor A−1 ( sólo si existe inversa de A )

(XA)A−1 = (B − C)A−1 asociativa del producto.X (AA−1) = (B − C)A−1 propiedad matriz inversa.

XI = (B − C)A−1 matriz identidad.X = (B − C)A−1

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Despejar por la derecha de X

Despejar una matriz en una ecuación

XA + C = B sumamos el opuesto de Cen los dos lados.

XA + C + (−C) = B + (−C)

propiedad del opuesto.XA + 0 = B − C propiedad del elemento neutro.

XA = B − C multiplicamos en la derecha de Apor A−1 ( sólo si existe inversa de A )

(XA)A−1 = (B − C)A−1 asociativa del producto.X (AA−1) = (B − C)A−1 propiedad matriz inversa.

XI = (B − C)A−1 matriz identidad.X = (B − C)A−1

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Despejar por la derecha de X

Despejar una matriz en una ecuación

XA + C = B sumamos el opuesto de Cen los dos lados.

XA + C + (−C) = B + (−C) propiedad del opuesto.

XA + 0 = B − C propiedad del elemento neutro.XA = B − C multiplicamos en la derecha de A

por A−1 ( sólo si existe inversa de A )(XA)A−1 = (B − C)A−1 asociativa del producto.X (AA−1) = (B − C)A−1 propiedad matriz inversa.

XI = (B − C)A−1 matriz identidad.X = (B − C)A−1

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XA + C = B sumamos el opuesto de Cen los dos lados.

XA + C + (−C) = B + (−C) propiedad del opuesto.XA + 0 = B − C

propiedad del elemento neutro.XA = B − C multiplicamos en la derecha de A

por A−1 ( sólo si existe inversa de A )(XA)A−1 = (B − C)A−1 asociativa del producto.X (AA−1) = (B − C)A−1 propiedad matriz inversa.

XI = (B − C)A−1 matriz identidad.X = (B − C)A−1

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XA + C = B sumamos el opuesto de Cen los dos lados.

XA + C + (−C) = B + (−C) propiedad del opuesto.XA + 0 = B − C propiedad del elemento neutro.

XA = B − C multiplicamos en la derecha de Apor A−1 ( sólo si existe inversa de A )

(XA)A−1 = (B − C)A−1 asociativa del producto.X (AA−1) = (B − C)A−1 propiedad matriz inversa.

XI = (B − C)A−1 matriz identidad.X = (B − C)A−1

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XA + C = B sumamos el opuesto de Cen los dos lados.

XA + C + (−C) = B + (−C) propiedad del opuesto.XA + 0 = B − C propiedad del elemento neutro.

XA = B − C

multiplicamos en la derecha de Apor A−1 ( sólo si existe inversa de A )

(XA)A−1 = (B − C)A−1 asociativa del producto.X (AA−1) = (B − C)A−1 propiedad matriz inversa.

XI = (B − C)A−1 matriz identidad.X = (B − C)A−1

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XA + C = B sumamos el opuesto de Cen los dos lados.

XA + C + (−C) = B + (−C) propiedad del opuesto.XA + 0 = B − C propiedad del elemento neutro.

XA = B − C multiplicamos en la derecha de Apor A−1 ( sólo si existe inversa de A )

(XA)A−1 = (B − C)A−1 asociativa del producto.X (AA−1) = (B − C)A−1 propiedad matriz inversa.

XI = (B − C)A−1 matriz identidad.X = (B − C)A−1

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XA + C = B sumamos el opuesto de Cen los dos lados.

XA + C + (−C) = B + (−C) propiedad del opuesto.XA + 0 = B − C propiedad del elemento neutro.

XA = B − C multiplicamos en la derecha de Apor A−1 ( sólo si existe inversa de A )

(XA)A−1 = (B − C)A−1

asociativa del producto.X (AA−1) = (B − C)A−1 propiedad matriz inversa.

XI = (B − C)A−1 matriz identidad.X = (B − C)A−1

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XA + C + (−C) = B + (−C) propiedad del opuesto.XA + 0 = B − C propiedad del elemento neutro.

XA = B − C multiplicamos en la derecha de Apor A−1 ( sólo si existe inversa de A )

(XA)A−1 = (B − C)A−1 asociativa del producto.

X (AA−1) = (B − C)A−1 propiedad matriz inversa.XI = (B − C)A−1 matriz identidad.X = (B − C)A−1

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XA + C + (−C) = B + (−C) propiedad del opuesto.XA + 0 = B − C propiedad del elemento neutro.

XA = B − C multiplicamos en la derecha de Apor A−1 ( sólo si existe inversa de A )

(XA)A−1 = (B − C)A−1 asociativa del producto.X (AA−1) = (B − C)A−1

propiedad matriz inversa.XI = (B − C)A−1 matriz identidad.X = (B − C)A−1

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XA = B − C multiplicamos en la derecha de Apor A−1 ( sólo si existe inversa de A )

(XA)A−1 = (B − C)A−1 asociativa del producto.X (AA−1) = (B − C)A−1 propiedad matriz inversa.

XI = (B − C)A−1 matriz identidad.X = (B − C)A−1

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XA = B − C multiplicamos en la derecha de Apor A−1 ( sólo si existe inversa de A )

(XA)A−1 = (B − C)A−1 asociativa del producto.X (AA−1) = (B − C)A−1 propiedad matriz inversa.

XI = (B − C)A−1

matriz identidad.X = (B − C)A−1

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(XA)A−1 = (B − C)A−1 asociativa del producto.X (AA−1) = (B − C)A−1 propiedad matriz inversa.

XI = (B − C)A−1 matriz identidad.

X = (B − C)A−1

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(XA)A−1 = (B − C)A−1 asociativa del producto.X (AA−1) = (B − C)A−1 propiedad matriz inversa.

XI = (B − C)A−1 matriz identidad.X = (B − C)A−1

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XI = (B − C)A−1 matriz identidad.X = (B − C)A−1

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XI = (B − C)A−1 matriz identidad.X = (B − C)A−1

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(XA)A−1 = (B − C)A−1 asociativa del producto.X (AA−1) = (B − C)A−1 propiedad matriz inversa.

XI = (B − C)A−1 matriz identidad.X = (B − C)A−1